Ang isa pa ay sapat na tanda ng pundasyon ng extremum. Ang paglaki at pagbabago ng mga pag-andar sa mga pagitan, mga extremum. Sapat na tanda ng sukdulan

Ang extremum point ng isang function ay ang punto ng lugar ng pagtatalaga ng function, kung saan ang halaga ng function ay nakatakda sa minimum o maximum na halaga. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema (minimum at maximum) ng function.

appointment. Krapka x1 mga lugar ng itinalagang function f(x) ay tinatawag na punto ng pinakamataas na pag-andar kahit na ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa halaga ng function sa mga puntong malapit dito, na kumakalat sa kanang kamay at kaliwang kamay dito (upang maiwasan ang hindi pagkakapantay-pantay f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximum.

appointment. Krapka x2 mga lugar ng itinalagang function f(x) ay tinatawag na ang pinakamababang punto ng function kahit na ang halaga ng function sa puntong ito ay mas mababa kaysa sa halaga ng function sa mga puntong malapit dito, ang kanang kamay at kasamaan sa gitna nito (ito f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tila sa lahat na ang function ay maaaring nasa punto x2 pinakamababa.

Mag tuldok tayo x1 - punto ng maximum na pag-andar f(x). Todi sa pagitan hanggang sa x1 lumalaki ang function Ito ay katulad ng mga function na higit sa zero ( f "(x) > 0 ), at sa pagitan pagkatapos x1 nagbabago ang function, ngayon, at katulad na mga function mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Posible rin na ang punto x2 - ituro ang pinakamaliit na function f(x). Todi sa pagitan hanggang sa x2 nagbabago ang function, at ang katulad na function ay mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 lumalaki ang function, at ang katulad na function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0). Kaninong isip ang may parehong punto x2 Ang mga function ng Pokhіdna ay katumbas ng zero o hindi.

Teorama ni Fermat. Anong punto x0 - punto ng extremum ng function f(x), pagkatapos ay sa nth point ang function ay katulad ng zero ( f "(x) = 0) o hindi.

appointment. Ang mga puntos, na may katulad na mga function na katumbas ng zero o hindi, ay tinatawag kritikal na puntos .

halimbawa 1. Tingnan natin ang pag-andar.

Sa punto x= 0 x= 0 ang kritikal na punto. Gayunpaman, tulad ng makikita sa graph ng function, mayroong pagtaas sa buong lugar ng ​​appointment, iyon ang punto x Ang = 0 ay hindi isang extremum ng function.

Sa ganitong paraan, isipin ang tungkol sa mga karapat-dapat sa isang function hanggang sa puntong maabot ang zero, o hindi kinakailangan, o ang mga kinakailangang isip ng isang extremum, o hindi sapat, maaari mong ituro ang mga shards at iba pang mga aplikasyon ng mga function, para sa ilan sa sa kanila, ang isip ay maaaring dayain, o kung hindi ang pag-andar ng isang extremum. Tom kailangan ng ina ng sapat na mga palatandaan, na nagbibigay-daan sa iyong hatulan, chi є sa isang partikular na kritikal na punto ng extremum at yaky mismo - maximum chi minimum.

Theorem (ang una ay sapat na tanda ng batayan ng extremum ng function). kritikal na punto x0 f(x) upang kapag dumadaan sa puntong ito, binabago ng function ang sign, bukod pa rito, kung nagbabago ang sign mula sa "plus" hanggang "minus", pagkatapos ay ang maximum na punto, at kung nagbabago ito mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.

Gaano kalapit ang punto x0 , kaliwang kamay at kanang kamay sa loob nito, kung ito ay nangangailangan ng isang senyas, nangangahulugan ito na ang pag-andar ay nagbabago, o lumalaki lamang sa paligid ng punto x0 . Sa anong direksyon sa punto x0 walang extremum.

Otzhe, upang magtalaga ng mga puntos sa sukdulan ng function, kung kinakailangan :

1. Maghanap ng angkop na function.
2. Itakda ang katumbas ng zero at magtalaga ng mga kritikal na puntos.
3. Ang mga thoughts chi paper ay nagmamarka ng mga kritikal na punto sa numerical axis at minarkahan ang mga palatandaan ng isang katulad na function ng pagbabawas ng mga pagitan. Kung ang tanda ay nagbabago mula sa "plus" sa "minus", kung gayon ang kritikal na punto ay ang pinakamataas na punto, at kung ito ay nagbabago mula sa "minus" sa "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.
4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.

puwit 2. Alamin ang mga extremum function .

Solusyon. Alam namin ang mga sumusunod na function:

Ito ay katumbas ng zero, upang malaman ang mga kritikal na punto:

.

Kaya, kung para sa anumang halaga ng "ix" ang banner ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang numero ay katumbas ng zero:

Alisin ang isang kritikal na punto x= 3. Ang tanda ng kabaligtaran ay makabuluhan sa mga pagitan na nililimitahan ng punto:

sa pagitan ng minus inconsistency hanggang 3 - minus sign, upang ang function ay magbago,

sa pagitan ng 3 hanggang plus inconsistencies - isang plus sign, upang ang function ay lumalaki.

Tobto, tuldok x= 3 - pinakamababang punto.

Alam namin ang halaga ng function sa pinakamababang punto:

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang extremum point ng function ay matatagpuan: (3; 0), bukod dito, ito ay ang pinakamababang punto.

Theorem (ang iba ay sapat na tanda ng batayan ng extremum ng function). kritikal na punto x0 є matinding punto ng function f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), kung gayon ang punto ay ang pinakamataas, at ang kabaligtaran ay mas mababa sa zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Tandaan 1. Ano ang nasa punto x0 lumiko sa zero at ang una, at ang isa ay patay, pagkatapos ay sa puntong ito imposibleng hatulan ang pagpapakita ng isang extremum sa batayan ng isa pang sapat na tanda. Ito ay kinakailangan para sa ganitong uri ng mood na mapabilis sa pamamagitan ng unang sapat na tanda ng extremum ng function.

Paggalang 2. Ang isa pang sapat na tanda ng extremum ng function ay hindi sapat at kahit na ang una ay hindi maganda sa nakatigil na punto (walang ibang paraan). Kinakailangan din para sa ganitong uri ng saloobin na mapabilis ng unang sapat na tanda ng extremum ng function.

Lokal na katangian ng extremums ng function

Malinaw na ang extremum ng function ay maaaring may lokal na karakter - ang halaga ng pinakamarami at hindi bababa sa mga halaga ng function ay katumbas ng pinakamalapit na halaga.

Sabihin nating tinitingnan mo ang iyong mga kinita sa oras ng kasal isang araw. Kung nakakuha ka ng 45,000 rubles mula sa damo, at 42,000 rubles mula sa quarter, at 39,000 rubles mula sa mga pula, kung gayon ang mga kita ng damo ay ang pinakamataas na function ng kita sa mga tuntunin ng pinakamalapit na halaga. Ang Ale ay nakakuha ng 71,000 rubles mula sa dilaw, 75,000 rubles mula sa tagsibol, at 74,000 rubles mula sa pagkahulog ng dahon, kaya ang parehong kita - ang minimum na function ng kita ay katumbas ng pinakamalapit na halaga. Madali mong bachite, upang ang maximum na average na halaga ng spring-grass-cherry ay mas mababa kaysa sa minimum ng spring-zhovtnya-leaf fall.

Sa pagsasalita zagalneno, sa pansamantala, ang pag-andar ay maaaring ang ina ng isang pagwiwisik ng mga sukdulan, bukod pa rito, maaaring lumitaw na ang minimum ng pag-andar ay mas malaki kaysa sa maximum. Kaya, para sa function na inilalarawan ng kaunti pa, .

Kaya't hindi kinakailangang isipin na ang maximum at minimum ng function ay, tila, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa lahat ng bahagi na makikita. Sa punto sa maximum, ang function ay may pinakamaliit na halaga sa hanay ng mga halagang ito, kung posible sa lahat ng punto, upang maabot ang puntong malapit sa maximum, at sa punto sa pinakamaliit - ang pinakamaliit na halaga sa hanay ng mga halagang ito, kung ito ay malapit sa mga punto sa pinakamababang punto.

Samakatuwid, maaari itong linawin upang mas maunawaan ang punto ng extremum ng function at tawagan ang mga punto ng minimum na mga punto ng lokal na minimum, at ang mga punto ng maximum - ang mga punto ng lokal na maximum.

Shukaemo matinding pag-andar nang sabay-sabay

halimbawa 3.

Solusyon. Ang function ay itinalaga at walang pagkaantala sa buong linya ng numero. Її pokhіdna іsnuє din sa buong linya ng numero. Pumasok si Tom sa partikular na uri na ito kritikal na mga puntos є mas mababa ti, para sa yak, tobto. , mga bituin na . Mga kritikal na punto at hatiin ang buong lugar ng itinalagang function sa tatlong pagitan ng monotonicity: . Viberemo sa balat ng mga ito sa pamamagitan ng isang control point at alam namin ang tanda ng susunod na isa sa pangalawang punto.

Para sa isang pagitan, ang isang control point ay maaaring: kilala. Ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, ibawas natin, at pagkuha ng isang punto sa pagitan, magagawa natin. Gayundin, sa pagitan i , at sa pagitan . Zgіdno na may unang sapat na tanda ng extremum, sa puntong walang extremum (ang mga shards ay mas malamang na kumuha ng sign sa pagitan), at sa mga punto ang function ay maaaring maging minimum (ang mga shards ay mas mababa kapag dumadaan sa susunod na point, binabago ang sign mula minus hanggang plus). Alam namin ang mga nauugnay na halaga ng function: , a . Sa pagitan, nagbabago ang function, ang mga spike sa interval na ito, at ang mga interval ay tumataas, ang mga spike sa interval na iyon.

Upang linawin ang hinaharap na mga graphics, alam namin ang mga punto ng linya ng yoga na may mga coordinate axes. Kapag kinuha natin ang equal , ang ugat kung saan i , pagkatapos ay dalawang puntos (0; 0) at (4; 0) ng graph ng function ang matatagpuan. Vikoristovuyuchi lahat otrimani vіdomosti, budєmo iskedyul (div. on the cob butt).

Para sa pagpapatunay sa sarili gamit ang rozrachunkah, maaari mong pabilisin online na katulad na calculator .

puwit 4. Alamin ang extremums ng function at himukin ang iskedyul.

Ang saklaw ng function ay ang buong linya ng numero, maliban sa mga puntos, tobto. .

Para sa isang mabilis na follow-up, maaari mong pabilisin ang katotohanan na ang pag-andar ng steam room, shards . Samakatuwid, ang iskedyul ay simetriko tungkol sa axis Ouch magagamit lang ang follow-up na iyon para sa agwat.

Alam naming pupunta ako at mga kritikal na punto ng function:

1) ;

2) ,

Ngunit kung alam ng function ang pagkakaiba sa puntong ito, hindi ito maaaring maging isang extremum point.

sa ganoong paraan, function ay nakatakda maє dalawang kritikal na punto: i . Vrahovoyuchi pagpapares ng mga function, perevirim para sa isa pang sapat na pag-sign ng extremum ay lamang ng isang punto. Para sa kung sino ang kilala nating kaibigan ay mamamatay ako і makabuluhang її sign sa: otrimaєmo. Dahil i , pagkatapos є ang pinakamababang punto ng function, kung saan .

Upang magdagdag ng higit pang impormasyon tungkol sa iskedyul ng function, kinakailangang sundin ang pag-uugali sa mga hangganan ng itinalagang lugar:

(dito ang simbolo ay nagpapahiwatig ng ehersisyo x kanang kamay sa zero, bukod dito x maging mapuspos ng positibo; parehong ibig sabihin ng ehersisyo x to zero galit, saka x mapuspos ng negatibo). Sa ganoong ranggo, yakscho, kung gayon. Dali, alam namin

,

tobto. tulad niyan.

Ang break point na may mga axes ng graph function ay hindi maaaring. Maliit - on the cob butt.

Para sa pagpapatunay sa sarili gamit ang rozrachunkah, maaari mong pabilisin online na katulad na calculator .

Prodovzhuєmo shukati matinding pag-andar nang sabay-sabay

Halimbawa 8. Alamin ang mga extremum function.

Solusyon. Alam namin ang saklaw ng itinalagang function. Kaya kung makapanalo ang kaba, eh nahuhumaling tayo.

Alamin natin ang mga unang function ng pokhіdnu.

duje mahalagang impormasyon tungkol sa pag-uugali ng pag-andar, magbunga ng mga panahon ng paglago at pagkabulok. Їхнє perebuvannya є bahagi ng proseso mga follow-up na function at prompt graphics. Hanggang sa panahong iyon, ang matinding mga punto, kung saan mayroong pagbabago mula sa paglago patungo sa pagbaba, o mula sa isang pagbabago sa paglago, ay binibigyan ng espesyal na paggalang kapag halaga ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa kasalukuyang pagitan.

Sa artikulong ito, may pangangailangan na tukuyin, bumalangkas ng sapat na tanda ng pagtaas sa pagbabagong iyon sa pag-andar sa loob ng isang pagitan at sapat na dahilan para sa isang extremum, ilalagay natin ang buong teorya sa pagiging perpekto sa pamamagitan ng paglalapat ng gawaing iyon.

Navigation sa gilid.

Ang paglaki at pagbabago ng function sa pagitan.

Itinalagang pagpapalaki ng function.

Ang function na y=f(x) ay lumalaki sa pagitan ng X, gayundin para sa anumang i nerіvnіst vykonuetsya. Kung hindi, tila - ang mas malaking halaga ng argumento ay mas malaki kaysa sa halaga ng function.

Itinalagang function ng pagkabulok.

Ang function na y=f(x) ay nagbabago sa pagitan ng X, tulad ng para sa anumang i nerіvnіst . Kung hindi man, tila - ang mas malaking halaga ng argumento ay ibinibigay ng mas mababang halaga ng function.

TANDAAN: habang ang function ay itinalaga at walang pagkaantala sa mga pagitan ng paglago o pagkabulok (a; b), pagkatapos ay sa x = a і x = b, pagkatapos ay ang mga qi point ay kasama sa pagitan ng paglago o pagkabulok. Huwag mag-overestimate sa layunin ng paglago at pagkabulok ng function para sa interval X .

Halimbawa, mula sa mga kapangyarihan ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, alam natin na ang y=sinx ay itinalaga at hindi naaabala ng lahat ng mga epektibong halaga ng argumento. Samakatuwid, mula sa paglago ng sine function sa mga pagitan, maaari naming kumpirmahin ang paglago ng sine function sa pagitan.

Krapki extremum, extremum function.

Pangalanan ang punto pinakamataas na punto functions y=f(x) , kaya lahat ng x sa kapitbahayan ay patas. Ang halaga ng function sa punto hanggang sa maximum ay tinatawag maximum na function ibig kong sabihin.

Pangalanan ang punto pinakamababang punto functions y=f(x) , kaya lahat ng x sa kapitbahayan ay patas. Ang halaga ng function sa punto ng pinakamababa ay tinatawag pinakamababang function ibig kong sabihin.

Sa ilalim ng paligid ng punto, unawain ang pagitan , de - Tapusin ang isang maliit na positibong numero.

Ang mga punto ng minimum at maximum ay tinatawag matinding puntos, at ang halaga ng function, na tumutugma sa mga extremum point, ay tinatawag function extrema.

Huwag ipagkamali ang matinding function sa pinakamalaki pinakamababang halaga mga function.

Sa unang maliit, ang pinakamalaking halaga ng function sa itaas ay naabot sa punto ng maximum at ang susunod na maximum ng function, at sa isa pang maliit, ang pinakamalaking halaga ng function ay naabot sa puntong x = b, ngunit hindi sa punto ng maximum.

Sapat na upang maunawaan ang paglago ng nabagong function na iyon.

Sa batayan ng sapat na pag-iisip (tanda) ng paglago ng nabagong tungkulin, may mga puwang ng paglago ng binagong tungkulin.

Ang axis ng formula ay isang tanda ng paglaki at pagbabago ng function sa pagitan:

• kung ang isang katulad na function na y=f(x) ay positibo para sa anumang x sa pagitan ng X, pagkatapos ay lumalaki ang function sa X;
• Kung ang isang katulad na function na y=f(x) ay negatibo, kung ang x ay nasa pagitan ng X , pagkatapos ay ang function ay nagbabago sa X .

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, upang maipahiwatig ang paglago ng paglago at pagbabago sa pag-andar, kinakailangan:

Tingnan natin ang halimbawa ng kaalaman sa intervening growth at ang pagbabago ng function para sa pagpapaliwanag ng algorithm.

puwit.

Alamin ang mga puwang sa paglaki at pagbabago sa paggana.

Solusyon.

Sa unang pag-crop ito ay kinakailangan alamin ang saklaw ng pag-andar. Sa puwitan ng viraz, sa bannerman, maaari itong maging zero, mamaya,.

Lumipat tayo sa pamilyar na function:

Para sa layunin ng promіzhkіv zrostannya na zmenshennya funktії para sa isang sapat na pag-sign vyrishuєmo nerіvієmі і sa larangan ng appointment. Maging mabilis na gamitin ang paraan ng agwat. Ang nag-iisang ugat ng talaarawan ay є x = 2 at ang znamennik ay nagiging zero sa x = 0. Hinahati ng mga Qi point ang lugar ng itinalagang agwat, para sa ilang iba pang mga function, kinukuha nila ang sign. Makabuluhang mga puntos ng qi sa linya ng numero. Ang mga plus at minus ay mga makabuluhang pagitan sa pag-iisip, kung saan ito ay positibo at negatibo. Ang mga arrow sa ibaba ay schematically na nagpapakita ng pagtaas o pagbabago ng function sa isang partikular na agwat.

sa ganoong paraan, і .

Sa punto x=2 ang function ay itinalaga at walang patid, sa її na iyon ay dapat idagdag sa pagitan ng paglaki at sa pagitan ng pagkabulok. Sa puntong x=0, ang function ay hindi itinalaga, kaya ang puntong ito ay hindi kasama sa mga pagitan na nagbibiruan.

Gumuhit kami ng isang graph ng function para sa pagkuha ng mga resulta mula dito.

Mungkahi:

Lumalaki ang function sa , nagbabago sa pagitan (0; 2] .

Sapat na isip ang extremum ng function.

Para sa pag-alam sa maximum at minimum ng function, maaari isa koristuvatisya kung ang isa sa tatlo ay isang tanda ng isang extremum, malinaw naman, bilang ang function na nagbibigay-kasiyahan sa iyong isip. Ang pinakamalawak at pinaka-madaling gamitin ay ang una sa kanila.

Persha ay sapat na para sa labis na pag-iisip ni Umov.

Hayaang maiiba ang function na y=f(x) sa paligid ng punto, ngunit walang pagkaantala sa mismong punto.

Sa ibang salita:

Algorithm ng paghahanap ng punto sa extremum pagkatapos ng unang sign ng extremum ng function.

• Alam namin ang saklaw ng itinalagang function.
• Alam namin ang mga function ng nakatalagang lugar.
• Makabuluhang mga zero ng dial ng numero, mga zero ng banner ng kaukulang punto ng itinalagang lugar, kung saan walang posibleng matinding puntos, na dumadaan sa mga qi point, posibleng baguhin ang iyong sign).
• Hinahati ng mga tuldok ng Qi ang lugar na itinalaga para sa pag-andar ng promyzhki, para sa ilan ay mas mahusay na kunin ang pag-sign. Maaari naming makita ang mga palatandaan ng isang katulad na pagitan ng balat (halimbawa, pagkalkula ng halaga ng isang katulad na function sa anumang punto ng isang mahusay na kinuha na pagitan).
• Pinipili namin ang mga punto, kung saan ang pag-andar ay walang tigil at, na dumadaan sa mga yaks, binabago nito ang sign - mabahong mga punto ng extremum.

Masyadong mayaman na mga salita, mas maganda tumingin sa kіlka inilapat ang makabuluhang mga punto sa extremum at ang extremums ng function para sa tulong ng unang isip sapat extremum ng function.

puwit.

Alamin ang mga extremum function.

Solusyon.

Ang lugar ng pag-andar ay lahat ay hindi personal mga numero ng araw, Krim x = 2 .

Alam namin na pupunta ako:

Ang mga zero ng numerator є puntos x = -1 і x = 5 znamennik ay nagiging zero sa x = 2 . Makabuluhang bilang ng mga puntos sa numerical axis

Ang mga palatandaan ng isang katulad na pagitan ng balat ay nakikita, kung saan ang halaga ng isang katulad na pagitan ng balat ay kinakalkula, halimbawa, sa mga puntong x=-2, x=0, x=3 at x=6.

Gayundin, sa pagitan ito ay positibo (isang plus sign ay inilalagay sa maliit na isa sa itaas ng cim interval). Ganun din

Naglalagay kami ng minus sa isa pang agwat, isang minus sa isang ikatlong agwat, isang plus sa isang quarter.

Nawala upang pumili ng mga puntos, kung saan ang function ay walang patid at її pokhіdna pagbabago sign. Tse i є extremum points.

Sa punto x=-1 ang function ay walang tigil at unti-unting binabago ang sign mula plus hanggang minus, pagkatapos, pagkatapos ng unang sign sa extremum, x=-1 ang point sa maximum, ang pangalawa ay ang maximum ng function .

Sa punto x=5 ang function ay walang patid at unti-unting binabago ang sign ng minus sa isang plus, pagkatapos, x=-1 ang punto ng minimum, na nangangahulugang ang minimum ng function .

Mga graphic na ilustrasyon.

Mungkahi:

REVERSE RESPECT: ang unang sign ay sapat na para sa extremum, hindi ito nakakaapekto sa differential function ng point mismo.

puwit.

Maghanap ng mga extremum point at extrema function .

Solusyon.

Ang saklaw ng function ay ang lahat ng impersonal na tunay na numero. Ang function mismo ay maaaring isulat sa view:

Alam namin ang mga sumusunod na function:

Sa punto x=0 ay hindi posible, ang mga shards ng mga halaga ng one-sided inters ay hindi pinapayagan na maabot ang zero kapag ang argumento ay pinalaki:

Sa parehong oras, ang output function ay walang tigil sa puntong x=0 (div. split follow-up ng function para sa pagpapatuloy):

Alam namin ang kahulugan ng argumento, kung saan ito ay nagkakahalaga na maging zero:

Makabuluhang lahat ng mga punto sa linya ng numero at makabuluhang mas mababang pag-sign sa mga pagitan ng balat. Kung saan posible na kalkulahin ang halaga ng kamag-anak sa ilang mga punto ng agwat ng balat, halimbawa, sa x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, pagkatapos ng unang pag-sign ng extremum, ang mga punto ng minimum , tumuturo sa maximum na є .

Pagkalkula ng pinakamababang function

Kinakalkula ang maxima ng function

Mga graphic na ilustrasyon.

Mungkahi:

.

Isa pang tanda ng extremum ng function.

Tulad ng isang bachete, para sa isang tanda ng isang extremum ng isang function, ito ay mangangailangan ng isang katulad na isa, hindi bababa sa isang iba't ibang mga order sa mga puntos.

Ang unang sapat na tanda ng extremum ay nabuo sa pagpapabuti ng pagbabago ng tanda ng unang magandang oras ng paglipat sa kritikal na punto. Tungkol sa isa pang tanda ng extremum, tingnan sa ibaba sa § 6.4.

Theorem (ang unang tanda ng extremum) : YakschoX 0 - Kritikal na punto ng pag-andary=f(x) at sa totoong paligid ng puntoX 0 , pagdaan dito zlіva sa kanan, pokhіdna baguhin ang sign sa pagpapahaba, pagkataposX 0 є matinding punto. Bukod dito, habang ang tanda ng kabaligtaran ay binago mula sa "+" hanggang sa "-", pagkataposX 0 ay ang pinakamataas na punto, atf(x 0 ) ay ang maximum ng function, at ito ay katulad ng pagbabago ng sign mula sa "-" sa "+", pagkataposX 0 ay ang pinakamababang punto, atf(x 0 ) - Minimum na function.

Mukhang extreme kung suotin lokal(Misceviy) katangian at pagkamaramdamin ng isang maliit na labas ng kritikal na punto.

Ang mga punto ng extremum at mga punto ng pagpapalawak ay naghahati sa lugar ng itinalagang function ng agwat ng monotonicity.

Halimbawa 6.3. Halimbawa 6.1. alam namin ang mga kritikal na punto X 1 =0 і X 2 =2.

Siyempre, ang totoo sa mga puntong ito ay ang pag-andar y=2x 3 -6x 2 +1 maaaring extremum. Isipin sa її pokhіdnu
ibig sabihin X, kinuha si zliva at kanang kamay sa punto X 1 =0 upang dosit malapit sa labas, halimbawa, x=-1і x = 1. kinuha. Oskіlki pokhіdna baguhin ang sign mula sa "+" sa "-", pagkatapos X 1 =0 - ituro ang maximum, at ang maximum ng function
. Ngayon kumuha kami ng dalawang halaga x = 1 i x = 3 mula sa paligid ng isa pang kritikal na punto X 2 =2 . Naipakita na yan
, a
. Oskіlki pokhіdna baguhin ang sign mula sa "-" sa "+", pagkatapos X 2 =2 - Ang pinakamababang punto. At least functions
.

Upang malaman ang pinakamaraming at hindi bababa sa halaga ng pag-andar nang walang pagkagambala sa hangin
kinakailangang kalkulahin ang mga halaga ng її sa lahat ng kritikal na punto at kintsy ng winding, na pipiliin ng bv ang pinakamarami at hindi bababa sa.

6.3. Mga palatandaan ng pamamaga at pag-urong ng graph ng function. Kink points

Ang graph ng differentiated function ay tinatawagopuklimsa pagitan, tulad ng mga alak ng roztashovaniya mas mababa para sa kung ito ay iyong dotichnu sa pagitan na iyon;yumuko (lubog)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї sa pagitan.

6.3.1. Kinakailangan at sapat na mga palatandaan ng pamamaga at pag-urong ng mga graphics

a) Mga kinakailangang palatandaan

Ano ang iskedyul ng pag-andary=f(x) tumor sa pagitan(a, b) , saka mabait ang kaibigan
sa anong pagitan; bilang isang iskedyulpananakot sa(a, b) , pagkatapos
sa(a, b) .

P st function ng iskedyul y=f(x) tumor (a, b) (Larawan 6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh namamaga baluktot na zlіva sa kanan, її kut magbago ng masama (
), sa parehong oras, ang panghuling koepisyent ng tuldok ay nagbabago, na nangangahulugang ang unang pagkakataon ay nagbabago
sa (a, b) . Ang Ale, gayunpaman, ay katulad ng una, dahil ito ay katulad ng recessive function, ngunit maaari itong maging negatibo, tobto
sa (a, b) .

Ano ang iskedyul ng pag-andar pananakot sa (a, b) , Iyon, mirkuyuchi katulad, Bachimo, na kapag forging isang dotic vzdovzh curve (Fig. 6.3b) gupitin ang isang may sakit dotic paglago (
); At kahit na ito ay mukhang isang lumalagong function, maaari itong maging positibo, kaya
sa (a, b) .

b ) Sapat na mga palatandaan

Tulad ng para sa pag-andary=f(x) lahat ng mga puntos ay magkakaroon ng parehong pagitan
, pagkatapos ay ang graph ng functionpananakot sa anong pagitan, ngunit paano
, pagkatapostumor .

"Rule Doschu" : Upang matandaan ang ilang mga palatandaan ng isa pang pokhіdnoї pov'yazuvati z namamaga, at kung alin mula sa curved arc ng graph, ito ay inirerekomenda na tandaan: plus tubig sa baluktot na lunates, "minus water" - sa bulging lunares (Larawan 6.4).

Krapka graphics walang tigil na pag-andar, kung saan ang umbok ay nagbabago sa umbok ng chi navpak, ay tinatawagkink point .

Theorem (sapat para sa tanda ng inflection point).

Yakscho sa punto function
Iniiba ni dvіchі na ang kaibigan ay katulad sa tsіy point sa zero o hindi, at kahit na dumadaan sa punto mabuting kaibigan
baguhin ang tanda, pagkatapos ay ang tuldok є punto ng inflection. Mga coordinate ng kink point
.

Ang mga puntos, para sa ilang kaibigan, posibleng maging zero o hindi, ay tinatawag na kritikal na mga punto ng ibang uri.

Halimbawa 6.4. Alamin ang mga punto ng inflection at ipahiwatig ang mga pagitan ng pamamaga at indentation ng curve
(Curve Gaus).

R solusyon. Alam namin ang kaibigang iyon pokhіdnі:
,. Ang isang kaibigan ay mabuti para sa iyo . Katumbas ng zero at pantay ang virishima otrimane
, de
din
, mga bituin
,
- Mga kritikal na punto ng ibang uri. Binabaliktad ang pagbabago ng tanda ng isa pang magandang oras para sa pagtawid sa kritikal na punto
. Yakscho
Halimbawa,
, pagkatapos
, ngunit
Halimbawa,
, pagkatapos
Tobto kaibigan baguhin ang tanda. Otzhe,
- abscissa ng kink point, її coordinate
. Sa pamamagitan ng parity functions
, may batik-batik
, simetriko na punto
, ang tezh ay magiging isang punto ng inflection.

Theorem (ang una ay sapat para sa extremum ni Umov). Hayaan ang pag-andar na hindi magambala sa punto, ngunit kung ang oras ay dumaan sa punto, ang tanda ay nagbabago. Todi - extremum point: ang maximum, na nangangahulugang ang sign ay nagbabago mula sa "+" hanggang "-", at sa pinakamaliit, na nangangahulugang "-" sa "+".

Nagdadala. Halika sa akin para sa .

Para sa teorama ni Lagrange , de .Todі yakshcho, pagkatapos; sa ganyan , otzhe, , o . Well, pagkatapos; sa ganyan , otzhe, o .

Dinala ni Otzhe, scho sa anumang mga puntong malapit, tobto. ay ang pinakamataas na punto ng function.

Ang patunay ng minimum point theorem ay isinasagawa sa katulad na paraan. Tapos na ang teorama.

Sa sandaling dumaan ang oras sa punto, hindi nito binabago ang tanda, kung gayon ang punto ay hindi labis.

Theorem (ang isang kaibigan ay sapat para sa extremum ni Umov). Hayaan ang punto na magkaroon ng isang katulad na function, na kung saan ay nag-iiba, 0 (), at ang isa ay katulad ng point zero () at hindi naaantala sa aktibong kapitbahayan ng punto. Todi - matinding punto; kung saan ang punto ay ang pinakamababa, at kung saan ang punto ay ang pinakamataas.

Algorithm para sa extremum function recognition pagkatapos ng unang sapat na dahilan upang malutas ang extremum.

1. Alamin ang lansihin.

2. Italaga ang mga kritikal na punto ng function.

3. Sundin ang tanda ng kaliwang kamay at kanang kamay sa kritikal na punto ng balat at ang paglaki ng visnovo tungkol sa pagpapakita ng mga sukdulan.

4. Alamin ang matinding halaga ng function.

Algorithm para sa extremum function recognition para sa tulong ng isa pang sapat na dahilan upang maalis ang extremum.

1. Alamin ang lansihin.

2. Alamin kaibigan pokhіdnu.

3. Alamin ang mga punto, ikaw yakikh.

4. Sa mga puntong ito, magtalaga ng tanda.

5. Zrobiti vysnovok tungkol sa likas na katangian ng extremums.

6. Alamin ang matinding halaga ng function.

puwit. tignan mo . Alam namin . Daly, para sa . Dolіdzhuєmo kritikal na mga punto para sa tulong ng unang sapat na isip extremum. Siguro, ano para sa akin sa , ako sa . Sa mga puntong i mas mainam na baguhin ang kanilang tanda: sa "+" sa "-" at sa "-" sa "+". Ang ibig sabihin ng Tse na ang point function ay may maximum, at ang point ay may minimum; . Para sa pagkakapantay-pantay, dapat nating maabot ang kritikal na punto pagkatapos ng tulong ng isa pang sapat na isip at labis. Sabihin nating mamamatay ang isang kaibigan. May: , at tse ay nangangahulugan na ang punto ay may pinakamataas na pag-andar, at ang punto ay may pinakamababa.

Pag-unawa sa mga asymptotics ng graph ng isang function. Pahalang, mahina at patayong asymptotics. mag-apply.

appointment. p align="justify"> Ang asymptote ng graph ng function ay tinatawag na tuwid na linya, na nagbibigay-daan sa iyong lumipat mula sa punto patungo sa gitna ng tuwid na linya patungo sa zero kapag ang punto ng graph ay hindi malayo sa cob ng mga coordinate.

Makilala ang vertical (Larawan 6.6 a), pahalang (Larawan 6.6 b) at sway (Larawan 6.6 c) asymptotes.

Sa fig. 6.6a ay ipinapakita patayong asymptote.

Sa Figure 6.6b - pahalang na asymptote.

Sa fig. 6.6v - asymptote.

Teorama 1. Sa mga punto ng vertical asymptotes (halimbawa, ) alam ng function ang pagkakaiba, sa pagitan ng mga linya at ang kanang kamay na paraan ng mga punto ay:

Teorama 2. Hayaang italaga ang tungkulin upang tapusin ang dakila at magtatag ng mga huling hangganan

І .

Pagkatapos ito ay tuwid, isang malabo na asymptote ng graph ng function.

Teorama 3. Hayaang italaga ang function para sa dosit great at іsnuє sa pagitan ng mga function. Pagkatapos ang tuwid na linya ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function.

Horizontal asymptote є tinatawag namin itong masamang asymptote, kung . Upang iyon, bagaman sa isang tuwid na linya ang kurba ay may pahalang na asymptote, kung gayon sa tuwid na linya ay walang masamang at malas.

puwit. Alamin ang mga asymptotics ng graph ng function.

Solusyon. Sa puntong ito, ang function ay hindi itinalaga, alam namin sa pagitan ng mga function na kaliwa at kanang kamay sa punto:

; .

Gayundin, ay isang vertical asymptote.

Ang pangunahing pamamaraan para sa follow-up ng mga function at paghihikayat ng kanilang mga iskedyul. puwit.

Pangkalahatang scheme ng follow-up function na prompt її graphic.

1. Alamin ang target na lugar.

2. I-follow up ang function para sa parity - unparity.

3. Alamin ang mga patayong asymptotics ng punto ng pagpapalawak (tulad ng є).

4. I-follow up ang pag-uugali ng function sa hindi pagkakapare-pareho; alamin ang pahalang at may sakit na mga asymptotes (tulad ng є).

5. Maghanap ng extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang mga punto ng linya ng graph na may mga coordinate axes i, dahil ito ay kinakailangan para sa isang schematic diagram, upang malaman ang mga karagdagang puntos.

7. Schematically tawagan ang iskedyul.

Detalyadong scheme follow-up function na humihikayat ng mga graphics .

1. Alamin ang destinasyong lugar .

a. Yakshcho є znamennik, si vin ay nagkasala ng zratatisya sa 0.

b. Ang sub-root ng ugat ng nakapares na yugto ay maaaring hindi negatibo (mas malaki sa o katumbas ng zero).

c. Maaaring positibo ang sublogarithmic virase.

2. Sundin ang function para sa parity - unparity.

a. Yakscho , pagkatapos ay ipinares ang function.

b. Yakshcho , kung gayon ang pag-andar ay hindi ipinares.

c. Yakshcho hindi vikonano hindi, hindi , pagkatapos ay ang function ng global view.

3. Alamin ang mga patayong asymptotics ng punto ng pagpapalawak (tulad ng є).

a. Ang patayong asymptote ay maaaring hindi gaanong binibigkas sa mga inter-rehiyon ng itinalagang function.

b. Yakscho (o ), pagkatapos ay patayo ang graph asymptote.

4. Sundin ang pag-uugali ng function sa hindi pagkakapare-pareho; alamin ang pahalang at may sakit na mga asymptotes (tulad ng є).

a. Yakscho, pagkatapos ay pahalang ang asymptote ng graph.

b. Yakshcho i kung gayon ang tuwid na linya ay isang mahinang asymptote ng graph.

c. Tulad ng para sa mga hangganan, na itinalaga sa mga talata a, b, ito ay posible lamang sa unilateral na pagmamalabis sa hindi pagkakapare-pareho (o ), kung gayon ang mga asymptotics ay magiging unilateral: kaliwa-panig na may at kanang-panig na may .

5. Maghanap ng extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function.

a. Alam pokhidnu.

b. Alamin ang mga kritikal na punto (ti points, de chi de nemaє).

c. Sa numerical axis, italaga ang itinalagang lugar at її kritikal na mga punto.

d. Sa balat ng mga nilalaman ng mga numerical na pagitan, markahan ang tanda ng susunod.

e. Ayon sa mga palatandaan ng mga katulad na pananaliksik ng mga balbas tungkol sa pagpapakita ng mga sukdulan sa mga uri na iyon.

f. Alamin ang matinding halaga.

g. Ayon sa mga palatandaan ng nagmamartsa na paglaki ng mga balbas tungkol sa paglaki at pagbabago.

6. Alamin ang mga punto ng linya ng graph na may mga coordinate axes i, dahil ito ay kinakailangan para sa isang schematic diagram, upang malaman ang mga karagdagang puntos.

a. Schob upang malaman ang mga punto ng linya ng graph mula sa vіssyu, ito ay kinakailangan upang paghiwalayin ang linya. Ang mga puntos, de zero, ay magiging mga punto ng linya ng graph z vyssyu.

b. Ang punto ng linya ng graph ay makikita mula sa itaas. Vaughn іsnuє, ito ay mas katulad ng isang punto upang makapasok sa lugar ng itinalagang function.

8. Schematically tawagan ang iskedyul.

a. Hikayatin ang coordinate system at asymptotes.

b. Ipahiwatig ang matinding mga punto.

c. Tukuyin ang mga break point ng graph gamit ang mga coordinate axes.

d. Schematically induce ang graph sa paraang, dumadaan sa mga itinalagang punto at lumalapit sa mga asymptotes.

puwit. Sundin ang function at schematically induce ang її graph.

2. - ang function ng isang ligaw na isip.

3. Oskіlki i , pagkatapos ay mga tuwid na linya є vertical asymptotes; mga tuldok at may tuldok. , kapag hindi pumasok sa lugar ng nakatalagang function