Рівняння зв'язування площин. Пучок площин, рівняння пучка площин. Пучок площин – визначення

Власним пучком площин називається множина всіх площин, що проходять через одну пряму.

Невласним пучком площин називається безліч усіх паралельних між собою площин.

Теорема 1.Для того щоб три площини, задані загальними рівняннями

щодо загальної декартової системи координат, що належали одному пучку, власному або невласному, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці

дорівнював або двом, або одиниці.

Доказ необхідності. Нехай три площини (1) належать одному пучку. Потрібно довести, що

Припустимо спочатку, що три дані поверхні належать своєму пучку. Тоді система (1) має безліч рішень (т.к. за визначенням власного пучка: три площини належать пучку, якщо вони проходять через одну пряму); це буде тоді і тільки тоді, коли, оскільки якщо, то система (1) або має єдине рішення, або несумісна, тому чи буде визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, відмінний від нуля або дорівнює нулю.

Якщо три дані площини належать невласному пучку, то ранг матриці

дорівнює 1, а значить, ранг матриці Мдорівнює або двом або одиниці.

Доказ достатності. Дано: Потрібно довести, що три дані площини належать одному пучку.

Якщо, то й. Нехай. Тоді система (1) спільна, має безліч рішень, а серед даних площин є перетинаються (т.к. якби не було перетинаються, то вони були б всі паралельні і ранг матриці був би дорівнює 1), тому три дані площини належать власному пучку.

Якщо; всі площини колінеарні (дві з них неодмінно паралельні, а третя може і збігатися з однією з паралельних площин).

Якщо, то і всі площини збігаються.

Теорема 2. Нехай у загальній декартовій системі координат задані дві різні площини та загальними рівняннями: ; .

Для того, щоб третя площина, задана також загальним рівнянням

щодо тієї ж системи координат, належала пучку, що визначається площинами і, необхідно і достатньо, щоб ліва частина рівняння площини була лінійною комбінацією лівих частин рівнянь площин і.

Доказ необхідності. Дано: площина належить пучку площин, що визначається площинами та. Потрібно довести, що існують числа і такі, що буде виконано тотожність, справедлива при всіх значеннях х, у, z:

Справді, якщо три площини, і належать одному пучку, то де

Перші два рядки цієї матриці лінійно незалежні (оскільки площини і різні), оскільки третій рядок є лінійна комбінація двох перших, тобто. існують число і такі, що

Помножуючи обидві частини першої рівності на х, обидві частини другої на у, обидві частини третьої на zі складаючи почленно отримані рівності і рівність, отримаємо тожність, що доводиться.

Доказ достатності.Нехай тотожність

справедливо за всіх значень х, уі z. Потрібно довести, що площина належить пучку, що визначається площинами та.

З цього тотожності випливають співвідношення,

так що третій рядок матриці Мє лінійна комбінація двох перших, а тому. Ч.т.д.

Рівняння де і не рівні нулю одночасно, називаються рівнянням пучка площин, що визначається двома різними площинами і рівняння яких у загальній декартовій системі координат такі:

Як було доведено, рівняння будь-якої площини пучка, що визначається різними площинами і може бути записано у вигляді.

Назад якщо рівняння, в якому хоча б одне з чисел і не дорівнює нулю, є рівняння першого ступеня, воно є рівнянням площини, що належить пучку, що визначається площинами і. Справді, третій рядок матриці М, Складеної з коефіцієнтів рівнянь і має вигляд

тобто. є лінійною комбінацією двох інших, тому.

Якщо площини і перетинаються, а й не дорівнюють нулю одночасно, то всі коефіцієнти при х, у, zв рівнянні не можуть дорівнювати нулю, так як якби мали місце співвідношення

то площини і були б колінеарними всупереч припущенню.

Але якщо площини і паралельні, то існують такі числа і, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, і такі, що в рівнянні всі коефіцієнти при х, уі zрівні нулю. Але тоді це буде невласний пучок, і як і у разі пучка прямих, тут треба бути дуже уважним.

У цій статті ми дамо визначення пучка площин, отримаємо рівняння пучка площин щодо заданої прямокутної системи координат та докладно розглянемо розв'язання характерних завдань, пов'язаних із поняттям пучка площин.

Навігація на сторінці.

Пучок площин – визначення.

З аксіом геометрії випливає, що в тривимірному просторі через пряму і точку, що не лежить на ній, проходить єдина площина. А з цього твердження випливає, що існує безліч площин, що містять заздалегідь задану пряму. Обґрунтуємо це.

Нехай нам задано пряму a . Візьмемо точку М 1 , яка не лежить на прямій a . Тоді через пряму і точку М 1 ми можемо провести площину, причому тільки одну. Позначимо її. Тепер візьмемо точку М 2 , що не лежить у площині. Через пряму і точку М 2 проходить єдина площина . Якщо взяти точку М 3 , що не лежить ні в площині , ні в площині , можна побудувати площину , що проходить через пряму a і точку М 3 . Очевидно, цей процес побудови площин, що проходять через задану пряму a можна продовжувати нескінченно.

Так ми підійшли до визначення пучка площин.

Визначення.

Пучок площин- Це безліч всіх площин в тривимірному просторі, що проходять через одну дану пряму.

Пряму, яку містять усі площини пучка, називають центром цього пучка площин. Таким чином, має місце вираз «пучок площин із центром a».

Конкретний пучок площин можна визначити або вказавши його центр, або вказавши будь-які дві площини цього пучка, що по суті те саме. З іншого боку будь-які дві площини, що перетинаються, задають деякий пучок площин.

Рівняння пучка площин – розв'язання задач.

Для практичних цілей цікавить не стільки пучок площин у його геометричному образі скільки.

Давайте відразу відповімо на логічне запитання: «Що таке рівняння пучка площин»?

Для цього вважатимемо, що в тривимірному просторі введено Oxyz і заданий пучок площин за допомогою вказівки двох площин і з нього. Нехай площині відповідає загальне рівняння площини виду, а площині виду. Так от рівнянням пучка площин називають рівняння, яке задає рівняння всіх площин цього пучка.

Виникає таке логічне питання: «Який вид має рівняння пучка площин у прямокутній системі координат Oxyz»?

Вигляд рівняння пучка площин дає таку теорему.

Теорема.

Площина належить пучку площин, який визначають дві площини, що перетинаються і , задані рівняннями і відповідно, тоді і тільки тоді, коли її загальне рівняння має вигляд , де і - довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю (остання умова еквівалентна нерівності).

Доведення.

Для доказу достатності треба показати:

Перепишемо рівняння у вигляді. Отримане рівняння є загальним рівнянням площини, якщо вирази та одночасно не дорівнюють нулю.

Доведемо, що вони справді не звертаються до нуля одночасно методом від протилежного. Припустимо, що . Тоді, якщо, то, якщо ж, то. Отримані рівності означають, що вектори та пов'язані співвідношеннями або (за потреби дивіться статтю ), отже, виконується і . Так як - нормальний вектор площини, - нормальний вектор площини і вектори і колінеарні, то площини і паралельні або збігаються (див. статтю умова паралельності двох площин). А цього бути не може, тому що площини і задають пучок площин, а отже, перетинаються.

Отже, рівняння справді є загальним рівнянням площини. Покажемо, що площина, яка визначається цим рівнянням, проходить через лінію перетину площин і .

Якщо це дійсно так, то система рівнянь виду має безліч рішень. (Якщо записана система рівнянь має єдине рішення, то площини, з рівнянь яких складена система, мають єдину загальну точку, отже, площина перетинає пряму, що визначається площинами, що перетинаються і . Якщо записана система рівнянь не має рішень, то не існує точки, що одночасно належить всім трьом площинам, отже, площина паралельна прямий, заданої площинами, що перетинаються, і ).

Так як перше рівняння записаної системи рівнянь є лінійною комбінацією другого і третього рівнянь, воно зайве і його можна без наслідків виключити з системи (про це ми говорили в статті). Тобто, вихідна система рівнянь еквівалентна системі рівнянь виду . А ця система має безліч рішень, оскільки площини і мають безліч спільних точок через те, що вони перетинаються.

Достатність доведено.

Переходимо до підтвердження необхідності.

Для доказу необхідності потрібно показати, що, яка б не була наперед задана площина, що проходить через лінію перетину площин і вона визначається рівнянням при деяких значеннях параметрів і .

Візьмемо площину, яка проходить через точку і через лінію перетину площин і (М 0 не лежить на лінії перетину цих площин). Покажемо, що завжди можна вибрати такі значення і параметрів і , у яких координати точки М 0 задовольняти рівнянню , тобто, буде справедливо рівність . Цим буде доведено достатність.

Підставимо в рівняння координати точки М0: . Так як площини і одночасно не проходять через точку М 0 (інакше ці площини збігалися б), то хоча б один із виразів або відмінно від нуля. Якщо , то рівняння можна вирішити щодо параметра як і, надавши параметру довільне ненульове значення обчислюємо . Якщо, то надавши параметру довільне ненульове значення, обчислюємо .

Теорему повністю доведено.

Отже, має вигляд. Воно задає всі площини пучка. Якщо ж узяти деяку пару значень і підставити в рівняння пучка площин, ми отримаємо загальне рівняння однієї площини з цього пучка.

Так як в рівнянні пучка площин параметри і одночасно не дорівнюють нулю, то його можна записати у вигляді , якщо , і у вигляді , якщо .

Однак ці рівняння не еквівалентні рівнянню пучка площин виду, тому що ні при яких значеннях із рівняння не можна отримати рівняння площини виду, а з рівняння ні при яких значеннях не отримати рівняння площини виду.

Переходимо до вирішення прикладів.

приклад.

Напишіть рівняння пучка площин, який у прямокутній системі координат Oxyz задають дві площини, що перетинаються. та .

Рішення.

Задане рівняння площини у відрізках рівносильне загальному рівняннюплощині виду. Тепер ми можемо записати потрібне рівняння пучка площин: .

Відповідь:

приклад.

Чи належить площину пучку площин з центром?

Рішення.

Якщо площина належить пучку, то пряма, що є центром пучка, лежить у цій площині. Таким чином, можна взяти дві різні точки прямої і перевірити, чи вони лежать у площині . Якщо так, то площина належить вказаному пучку площин, якщо ні – не належить.

Параметричні рівняння прямої у просторі дозволяють легко визначити координати точок, що лежать на ній. Візьмемо два значення параметра (наприклад, і) і обчислимо координати двох точок М1 і М2 прямий:

У статті ми розглянемо поняття пучка прямих. Уявимо рівняння пучка прямих. Наведемо приклади знаходження рівняння пучка прямих, що проходять через цю точку.

є рівнянням прямої, що проходить через точку P. Назад, будь-яка пряма, що проходить через точку Pвизначається рівнянням (3), при деяких числах λ 1 та λ 2 .

Доведення. По-перше покажемо, що рівняння (3) є лінійним рівнянням(Рівнянням першого порядку), тобто. рівнянням, при якому коефіцієнт при xабо yне дорівнює нулю.

Групуємо коефіцієнти при xі y:

Тоді, наприклад при λ 1 ≠0 (за умовою теореми хоча б один із чисел λ 1 та λ 2 не дорівнює нулю), отримаємо:

Отримана рівність є умовою паралельності прямих, що визначаються рівняннями (1) та (2), що суперечить умові теореми (ці прямі перетинаються і не збігаються). Отже хоча одне із рівностей (5) не виконується, тобто. хоча б один коефіцієнт при xі yу рівнянні (4) не дорівнює нулю. Звідси випливає, що рівняння (4) є лінійним рівнянням (рівнянням першого ступеня) і є рівнянням деякої прямої. За умовою теореми, ця пряма проходить через точку P(x 0 , y 0), яка є перетином прямих (1) та (2), тобто. виконуються рівності:

тобто. рівняння (3) проходить через точку P.

Доведемо другу частину теореми. Покажемо, що будь-яка пряма, яка проходить через крапку Pвизначається рівнянням (3) при деяких значеннях λ 1 та λ 2 .

Візьмемо деяку пряму через крапки Pі M"(x", y"). Покажемо, що ця пряма визначається рівнянням (3) при деяких значеннях λ 1 та λ 2, не рівних одночасно нулю.

У першій частині доказу теореми ми показали, що пряма, яка проходить через крапку Pвизначається рівнянням (3). Тепер, якщо ця пряма проходить через ще одну точку M"(x", y"), то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння (3):

Зауважимо, що висловлювання у дужках що неспроможні дорівнювати нулю одночасно, т.к. це означало б, що обидва рівняння проходять через точки Pі M"(x", y") і, отже, збігаються. Нехай, наприклад, λ 1 (A 1 x" 0 +B 1 y" 0 +C 1) ≠0. Тоді поставивши λ 2 довільне число, відмінне від нуля, вирішимо (9) щодо λ 1:

Підставимо координати точки Mна рівняння (12):

Спростимо (13):

Задавши, наприклад, λ 2 = 4, отримаємо λ 1 =−5.

Покладемо значення λ 1 та λ 2 (12):

Відповідь:

Приклад 2. Побудувати рівняння прямих пучка з центром M(4,1):

Рішення. Візьмемо дві різні точки, що не збігаються з точкою M: M 1 (2,1), M 2 (-1,3). Побудуємо рівняння, що проходять через точки Mі M 1 . Нормальний вектор n 1 цієї прямої повинен бути ортогональним вектору , що дорівнює різницям координат точок Mі M 1: = (2-4, 1-1) = (-2,0). Тобто. можна взяти n 1 = (0,1). Тоді рівняння пряме з нормальним вектором n 1 , що проходить через точку Mмає такий вигляд:

Відповідь:

Зауважимо, що взявши інші точки M 1 та M 2, ми отримаємо рівняння того ж пучка прямих, але з іншими двома прямими.

Насамперед ми скажемо, що площина

є лінійна комбінація площин

якщо рівняння (1) є лінійною комбінацією рівнянь (2) і (3), тобто якщо знайдуться такі і , що має місце тотожність

З тотожності (4) випливає, що всяка точка ), що задовольняє обох рівнянь (2) і (3), задовольняє і рівнянню (1) - будь-яка точка, що належить обох площин (2) і (3), належить і площині (1) . Іншими словами:

Площина, що є лінійною комбінацією двох даних площин, що перетинаються (2) і (3), проходить через пряму перетину цих площин. Доведемо, що і, назад, будь-яка площина (1), що проходить через пряму перетину d двох даних площин (2) і (3), є лнейпо комбінацією цих площин.

Без обмеження спільності можемо припустити, що площина (1) не збігається з жодною з площин (2) і (3). Доказ такий самий, як у прямих (гл. V, § 5).

Площина, що проходить через пряму d, буде повністю визначена, якщо ми вкажемо якусь її точку (рис. 122), що не лежить на прямій d.

Візьмемо таку точку на нашій площині (1) і напишемо рівняння з двома невідомими і :

Так як за припущенням точка не лежить на прямій d, хоча б одна з дужок в лівій частині рівняння (5) відмінна від нуля; із цього рівняння (5) однозначно визначається відношення

Нехай тепер і якісь числа, що задовольняють пропорції (6). Тоді виконано і рівність (5), що означає, що точка лежить на площині

Але ця площина, будучи лінійною комбінацією площин (2) і (3), проходить через пряму d і містить точку , що належить площині (значить, площина (1) збігається з площиною (7) і є лінійною комбінацією площин (2) і ( 3).Твердження доведено.

Отже, щоб площина (1) проходила через пряму перетину двох площин (2) і (3), необхідно і достатньо, щоб рівняння (1) було лінійною комбінацією рівнянь (2) і (3).

Нехай тепер площини (2) та (3) паралельні. Так само як і в § 5 глави V, ми переконуємося в тому, що будь-яка площина, що є лінійною комбінацією площин (2) і (3), буде їм паралельна і що, назад, будь-яка площина, паралельна двом (паралельним між собою) площин (2) і (3), є їх лінійною комбінацією.

Назвемо сукупність всіх площин, що проходять через дану пряму d, власним пучком площин з віссю назвемо невласним пучком площин сукупність усіх площин, паралельних (у широкому значенні слова) однієї якоїсь площини. Нарешті, назвемо безліч всіх площин, що є лінійними комбінаціями двох яких-небудь площин і одномірним різноманіттям площин, породженим двома своїми елементами і . Ми довели, що будь-який пучок площин (власний чи невласний) є одномірним різноманіттям, породженим будь-якими своїми двома елементами.

Назад, всяке одновимірне різноманіття площин (породжене якими-небудь двома площинами і 62) є пучок площин - власний, якщо площини і 62 перетинаються, невласний, якщо вони паралельні.

У розділі XXIII цих «Лекцій» ми побудуємо проектний простір, поповнивши звичайний простір нескінченно віддаленими (невласними) точками таким чином, що сукупність цих нескінченно віддалених точок утворює нескінченно віддалену (невласну) площину;

Всі прямі, що лежать у цій площині, також будуть називатися нескінченно віддаленими або невласними. Кожна «власна» (тобто звичайна) площину простору перетинається з невласною площиною по невласної прямий - за єдиною невласною прямий цієї власної площині. При цьому виявляється, що дві власні площини тоді і тільки тоді паралельні, коли вони перетинаються (своєю загальною) нескінченно віддаленої прямої. Таким чином, у проективному просторі різницю між власними та невласними пучками площин зникає: невласний пучок – це пучок площин, віссю якого є одна з невласних прямих проективного простору.