Знайти координати ортогональної проекції точки прямо. Проекція точки на пряму координати проекції точки на пряму. Проекція точки на пряму – теорія, приклади та рішення

Ця стаття розглядає поняття проекції точки на пряму (вісь). Ми дамо йому визначення з використанням малюнку, що пояснює; вивчимо спосіб визначення координат проекції точки на пряму (на площині або тривимірному просторі); Розберемо приклади.

У статті "Проекція точки на площину, координати" ми згадували, що проектування фігури є узагальненим поняттям перпендикулярного або ортогонального проектування.

Всі геометричні фігури складаються з точок, відповідно проекція цієї фігури є безлічю проекцій усіх її точок. Тому щоб мати можливість спроектувати фігуру на пряму, необхідно отримати навичку проектування точки на пряму.

Визначення 1

Проекція точки на пряму- це або сама точка, якщо вона належить заданій прямій, або основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на задану пряму.

Розглянемо малюнок нижче: точка H 1 служить проекцією точки М 1 на пряму a, а точка М 2 , що належить прямий, є проекцією сама себе.

Це визначення правильне для випадку на поверхні і в тривимірному просторі.

Щоб на площині отримати проекцію точки М 1 на пряму a проводиться пряма b , що проходить через задану точку M 1 і перпендикулярна прямий a . Таким чином, точка перетину прямих a та b буде проекцією точки М 1 на пряму a .

У тривимірному просторі проекцією точки на пряму буде слугувати точка перетину прямої a і площини α, що проходить через точку М 1 перпендикулярної прямої a .

Знаходження координат проекції точки на пряму

Розглянемо це питання у випадках проектування на площині та у тривимірному просторі.

Нехай нам задані прямокутна система координат O x y, точка М1 (x1, y1) і пряма a. Необхідно знайти координати проекції точки М1 на пряму a.

Прокладемо через задану точку М 1 (x 1 , y 1) пряму b перпендикулярно до прямої a . Точку перетину маркуємо як H1. Точка Н 1 буде точкою проекції точки М 1 на пряму a .

З описаної побудови можна сформулювати алгоритм, який дозволяє знаходити координати проекції точки М 1 (x 1 y 1) на пряму a:

Складаємо рівняння прямої (якщо воно не задано). Для здійснення цієї дії необхідна навичка складання основних рівнянь на площині;

Записуємо рівняння прямої b (що проходить через точку М 1 і перпендикулярної прямої a). Тут допоможе стаття про рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої;

Визначаємо шукані координати проекції як координати точки перетину прямих a і b. І тому вирішуємо систему рівнянь, складові якої – рівняння прямих a і b .

Приклад 1

На площині O x y задані точки М 1 (1, 0) та пряма a (загальне рівняння – 3 x + y + 7 = 0). Необхідно визначити координати проекції точки М1 на пряму a.

Рішення

Рівняння заданої прямої відоме, тому, згідно з алгоритмом, переходимо до кроку запису рівняння прямої b . Пряма b перпендикулярна до прямої a , а значить нормальний вектор прямої a служить напрямним вектором прямої b . Тоді напрямний вектор прямий b запишемо як b → = (3, 1). Запишемо і канонічне рівняння прямої b , оскільки нам також задані координати точки М 1 через яку проходить пряма b:

Завершальним кроком визначаємо координати точки перетину прямих a і b. Перейдемо від канонічних рівняньпрямий b до загального її рівняння:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 · (x - 1) = 3 · y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Складемо систему рівнянь із загальних рівнянь прямих a і b і розв'яжемо її:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 · (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 · (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Зрештою, ми отримали координати проекції точки М 1 (1 , 0) на пряму 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Відповідь: (- 2 , - 1) .

Докладніше розглянемо випадок, коли необхідно визначити координати проекції заданої точкина координатні прямі та паралельні їм прямі.

Нехай задані координатні прямі O x і O y, а також точка М 1 (x 1, y 1). Зрозуміло, що проекцією заданої точки на пряму координату O x виду y = 0 буде точка з координатами (x 1 , 0) . Так і проекція заданої точки на пряму координатну O y буде мати координати 0 , y 1 .

Будь-яку довільну пряму, паралельну осіабсцис, можна поставити неповним загальним рівнянням B y + C = 0 ⇔ y = - C B , а пряму, паралельну до осі ординат - A x + C = 0 ⇔ x = - C A.

Тоді проекціями точки М 1 (x 1 , y 1) на прямі y = - C B і x = - CA стануть точки з координатами x 1 , - C B і - CA A , y 1 .

Приклад 2

Визначте координати проекції точки М 1 (7 , - 5) на координатну пряму O y , а також на пряму, паралельну до прямої O y 2 y - 3 = 0 .

Рішення

Запишемо координати проекції заданої точки на пряму O y: (0 - 5) .

Запишемо рівняння прямої 2 y - 3 = 0 як y = 3 2 . Стає видно, що проекція заданої точки на пряму y = 3 2 матиме координати 7 3 2 .

Відповідь:(0 , - 5) та 7 , 3 2 .

Нехай у тривимірному просторі задані прямокутна система координат O x y z , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) та пряма a . Знайдемо координати проекції точки М1 на пряму a.

Побудуємо площину α, що проходить через точку М1 і перпендикулярну до прямої a. Проекцією заданої точки на пряму a стане точка перетину прямої a та площини α. Виходячи з цього, наведемо алгоритм для знаходження координат проекції точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на пряму a:

Запишемо рівняння прямої а (якщо воно не задано). Для вирішення цього завдання необхідно ознайомитись зі статтею про рівняння прямої у просторі;

Складемо рівняння площини ?

Знайдемо шукані координати проекції точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на пряму a – це будуть координати точки перетину прямої α та площини α (на допомогу – стаття «Координати точки перетину прямої та площини»).

Приклад 3

Задано прямокутну систему координат O x y z , і в ній – точку М 1 (0 , 1 , - 1) і пряму a . Прямий a відповідають канонічні рівняння виду: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Визначте координати проекції точки М1 на пряму a.

Рішення

Використовуємо вказаний вище алгоритм. Рівняння прямої відомі, тому перший крок алгоритму пропускаємо. Запишемо рівняння площини α. Для цього визначимо координати нормального вектора площини. Із заданих канонічних рівнянь прямої a виділимо координати напрямного вектора цієї прямої: (3, - 4, 1), який буде нормальним вектором площини α, перпендикулярної прямої a. Тоді n → = (3, - 4, 1) – нормальний вектор площини α. Таким чином, рівняння площини α матиме вигляд:

3 · (x - 0) - 4 · (y - 1) + 1 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Тепер знайдемо координати точки перетину прямої а та площини α, для цього використовуємо два способи:

1. Задані канонічні рівняння дозволяють отримати рівняння двох площин, що перетинаються, що визначають пряму a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 · (x + 2) = 3 · (y - 6) 1 · (x + 2) = 3 · (z + 1) 1 · ( y - 6) = - 4 · (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Щоб знайти точки перетину прямий 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 і площині 3 x - 4 y + z + 5 = 0 вирішимо систему рівнянь:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

У даному випадкувикористовуємо метод Крамера, але можна застосувати будь-який зручний:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Таким чином, проекцією заданої точки на пряму a є точка з координатами (1 , 2 , 0)

1. На основі заданих канонічних рівнянь легко записати параметричні рівняння прямої в просторі:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 · λ y = 6 - 4 · λ z = - 1 + λ

Підставимо в рівняння площини, що має вигляд 3 x - 4 y + z + 5 = 0 замість x , y і z їх вираження через параметр:

3 · (- 2 + 3 · λ) - 4 · (6 - 4 · λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1

Обчислимо шукані координати точки перетину прямої a та площини α за параметричними рівняннями прямої a при λ = 1:

x = - 2 + 3 · 1 y = 6 - 4 · 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Таким чином, проекція заданої точки на пряму a має координати (1, 2, 0)

Відповідь: (1 , 2 , 0)

Насамкінець зазначимо, що проекціями точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на координатні прямі O x , O y і O z будуть точки з координатами (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) та (0 , 0 , z 1) відповідно.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

З допомогою цього онлайн калькулятораможна знайти проекцію точки на пряму. Надається докладне рішення з поясненнями. Щоб обчислити проекцію точки на пряму, задайте розмірність (2-якщо розглядається пряма на площині, 3- якщо розглядається пряма у просторі), введіть координати точки та елементи рівняння в комірки і натискайте кнопку "Вирішити".

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Проекція точки на пряму – теорія, приклади та рішення

Розглянемо це завдання у двовимірному та тривимірному просторах.

1. Нехай у двомірному просторі задана точка M 0 (x 0 , y 0) і пряма L:

Алгоритм знаходження проекції точки на пряму Lмістить такі кроки:

• побудувати пряму L 1 , що проходить через точку M 0 і перпендикулярну до прямої L,
• знайти перетин прямих Lі L 1 (точка M 1)

Рівняння пряме, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) має такий вигляд:

Відкриємо дужки

(5)

Підставимо значення xі yв 4):

де x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".

Приклад 1. Знайти проекцію точки M 0 (1, 3) на пряму

Тобто. m=4, p=5. З рівняння прямої (6) видно, що вона проходить через точку M" (x", y")=(2, −3)(у цьому легко переконається − підставляючи ці значення (6) отримаємо тотожність 0=0), тобто. x"=2, y"=-3. Підставимо значення m, p, x 0 , y 0 ,x", y"в 5"):

2. Нехай у тривимірному просторі задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) і пряма L:

Знаходження проекції точки на пряму Lмістить такі кроки:

• побудувати площину α , що проходить через точку M 0 і перпендикулярну до прямої L,
• знайти перетин площини α і прямий L(крапка M 1)

Рівняння площини, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) має такий вигляд:

Відкриємо дужки

Підставимо значення xі yо 9):

Проекція точки на пряму лінію перебуває досить легко і за виконання деяких операцій нульове наближення обчислюється як проекція точки на дотичну пряму. Розглянемо цей окремий випадок спільної задачі.

Нехай дана пряма

і крапка . Вважатимемо, що вектор прямий w має довільну довжину. Пряма лінія проходить через точку , де параметр t дорівнює нулю, і має напрямок вектора w. Потрібно знайти проекцію точки на пряму лінію. Це завдання має єдине рішення. Побудуємо вектор з точки прямої в точку та обчислимо скалярне твір цього вектора та вектора прямої w. На рис. 4.5.1 показані напрямний вектор прямий w, її початкова точка З і проекція ; заданої точки. Якщо розділимо цей скалярний добуток на довжину вектора w, отримаємо довжину проекції вектора на пряму лінію.

Рис. 4.5.1. Проекція точки на пряму лінію

Якщо розділимо цей скалярний добуток на квадрат довжини вектора w, то отримаємо довжину проекції вектора на пряму в одиницях довжини вектора w, тобто отримаємо параметр t для проекції точки на пряму лінію.

Таким чином, параметр проекції точки на пряму лінію та радіус-вектор проекції ; обчислюються за формулами

(4.5.3)

Якщо довжина вектора w дорівнює одиниці, то (4.5.2) не потрібно виконувати розподіл на Відстань від точки до її проекції на криву в загальному випадку обчислюється як довжина вектора. Відстань від точки до її проекції на пряму лінію можна визначити, не обчислюючи проекцію точки, а скориставшись формулою

Окремі випадки.

Проекція точки на аналітичні криві також можна знайти без залучення чисельних методів. Наприклад, щоб знайти проекцію точки на конічний переріз, потрібно перевести точку, що проектується, в місцеву систему координат конічного перерізу, спроектувати цю точку на площину конічного перерізу і знайти параметр двовимірної проекції заданої точки.

Загальний випадок.

Нехай потрібно знайти всі проекції точки на криву лінію.

(4.5.5)

Це рівняння містить одну невідому величину – параметр t. Як було вже сказано, вирішення цього завдання розіб'ємо на два етапи. На першому етапі визначимо нульові наближення параметрів проекцій точки на криву, а на другому етапі знайдемо точні значення параметрів кривої, що визначають проекції заданої точки на криву лінію з