Матрицын эгнээний шийдэл. Цайны аяганд зориулсан математик Матрицууд ба тэдгээрийн дээрх гол зүйлүүд. Матрицын шилжүүлгийн ажиллагаа

Данийн арга зүйн тусламж нь танд хэрхэн ялахыг сурахад тусална матрицтай dії: матрицыг нэмэх (хасах), матрицыг шилжүүлэх, матрицыг үржүүлэх, пивот матрицын ач холбогдол. Хадгаламжийн бүх материалууд нь энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр хийгдсэн бөгөөд тэдгээр нь ижил аргаар хийгдсэн, ийм зэрэглэлд бэлтгэгдээгүй хүн матрицтай хэрхэн ажиллах талаар сурах боломжтой. Өөрийгөө хянах, өөрийгөө шалгахын тулд та матрицын тооцоолуур >>>-г ямар ч зардалгүйгээр ашиглаж болно.

Шинжлэх ухааны бус нэр томъёог "хуруугаар нь" тайлбарлаж чадвал би онолын дэд бүлгүүдийг багасгахыг хичээдэг. Газрын онолд дурлагсад, эелдэг бай, шүүмжлэлд бүү оролц, бидний үүрэг матрицыг хэрхэн ашиглах талаар сурах.

Сэдвийн өнгөц бэлтгэлийн хувьд (хэн "шатдаг") - эрчимтэй pdf-курс Матриц, тэр танхимыг vyznachnik!

Матриц бол тэгш өнцөгт хүснэгт юм элементүүд. Якостод элементүүдБид тоонуудыг харж болно, энэ нь тооны матрицууд юм. ЭЛЕМЕНТ- Цэ термин. нэр томъёо санаж байх ёстой, дарс нь ихэвчлэн сараачиж байна, би тод бичгээр энэ алсын хараа нь vikoristav байхгүй бол.

Зориулалт:матрицууд нь гайхалтай латин үсгээр сонсогддог

өгзөг:Хоёроос гурав матрицыг харцгаая:

Энэ матриц нь зургаагаас бүрдэнэ элементүүд:

Матрицын дунд байгаа бүх тоонуудыг (элементүүдийг) өөрөө олох боломжтой тул та энэ талаар юу ч олж чадахгүй.

Энэ бол зүгээр л тооны хүснэгт (багц) юм!

Тиймээс бид гэртээ ирлээ дахин бүү зохион байгуултайлбарт дурдаагүй тоо. Арьсны дугаар нь өөрийн ялзарч буй газартай бөгөөд тэдгээрийг холих боломжгүй юм!

Матрицыг харвал хоёр эгнээ байна:

ба гурван багана:

СТАНДАРТ: хэрэв бид матрицын тэлэлтийн талаар ярих юм бол саван дээрмөрийн тоог, дараа нь баганын тоог зааж өгнө. Тэд бага багаар "хоёр гурав" матрицыг сойзоор ангилав.

Хэрэв матрицын мөр, баганын тоо zbіgaєtsya байвал матрицыг гэнэ. дөрвөлжин, Жишээлбэл: - гурваас гурван матриц.

Матрицын нэг мөр эсвэл нэг эгнээний нэгэн адил ийм матрицыг бас нэрлэдэг векторууд.

Бид үнэхээр сургуулиудаас матрицуудыг мэддэг, жишээ нь "iks" ба "iplayer" координаттай цэгийг харцгаая: . Үнэн хэрэгтээ цэгийн координатыг нэгээс хоёр матрицад бичдэг. Үг хэлэхээс өмнө тэнхлэг нь тоонуудын дараалал яагаад чухал байж болох талаар жишээ юм: i - онгоцны хоёр өөр цэг.

Одоо хуримаа саадгүй үргэлжлүүлье матрицаас DIY:

1) Дия перша. Матрицаас хасахын алдаа (хасахыг матрицад оруулах).

Матриц руугаа орцгооё . Таныг дуулж байхад миний матриц хэт олон сөрөг тоотой байна. Матрицтай жижиг бичвэрийн сараачны харц, хасах тэмдэглэлийн гаргүй бичих нь хийцээрээ л муухай харагддаг нь бүр ч эвгүй.

Бид матрицын SKIN элементийн тэмдгийг өөрчилдөг матриц хоорондын хасахыг буруутгаж байна.:

Тэг дээр, таны мэдэж байгаагаар тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй, тэг - дарс, Африкт тэг.

Зворотный өгзөг: . Би гутаан доромжилсон харцаар харж байна.

Бид матрицын SKIN элементийн тэмдгийг өөрчилснөөр матрицад хасахыг нэвтрүүлж байна:

За, тэнхлэг, баян симпатик veyshlo. Би, naygolovnіshe, матрицыг ялахад ИЛҮҮ АМАРХАН байх болно. Учир нь энэ нь маш математик юм хүмүүсийн prikmeta: Илүү их хасах - илүү их луйварчид, өршөөл.

2) Диа найз. Матрицыг тоогоор үржүүлэх.

өгзөг:

Энэ нь энгийн, матрицыг тоогоор үржүүлэхэд танд хэрэгтэй савхинматрицын элементийг үржүүлнэ бүхэл тоо. At энэ тодорхой төрөлд- Гурвалсан.

Бас нэг бор өгзөг:

– матрицыг дрибээр үржүүлэх

Толгойн ар тал дээр бид робити байгаа хүмүүсийг хардаг ШААРДЛАГАГҮЙ:

Матрицад илүү их мөнгө нэмэх ШААРДЛАГАГҮЙ, нэгдүгээрт, матрицаас холдуулах нь илүү хялбар, өөр аргаар, шийдлийг викладачаар (ялангуяа яксчо) дахин шалгахад хялбар байдаг. - Үлдэгдэл нэхэмжлэх).

Тим илүү, ШААРДЛАГАГҮЙматрицын арьсны элементийн уян хатан байдал нь хасах sіm:

Гурван статистик Математик дамми эсвэл яагаад өөр, бид үүнийг санаж байна аравтын бутархайтүүнтэй бусад бүх математикчид өвөрмөц байхыг хичээдэг.

Нэг зүйл багаТаны програмд ​​robiti - матрицад хасах нэмэх:

Бас Якбигаас БҮГДматрицын элементүүдийг 7-д хуваасан илүүдэлгүйгээр, Дараа нь та чадна (мөн танд хэрэгтэй!) Boulo b podіlit.

өгзөг:

Би аль чиглэлд чадах вэ ХЭРЭГТЭЙматрицын бүх элементүүдийг үржүүлснээр матрицын бүх тоо 2-т хуваагдана. илүүдэлгүйгээр.

Жич: онолын хувьд ахисан түвшний математик"podіl" гэж ойлгодог сургуулийн сурагч байдаггүй. "Үүнд бүү нэм" гэсэн хэллэгийн оронд та үргэлж "илүү үржүүлэх" гэж хэлж болно. Тобто podіl - tse okremia vpadok олон тоо.

3) Гуравдугаарт. Матрицын шилжүүлэг.

Матрицыг шилжүүлэхийн тулд шилжүүлсэн матрицын баганад мөр бичих шаардлагатай.

өгзөг:

Матрицыг шилжүүл

Энд зөвхөн нэг мөр байгаа бөгөөд дүрмийн дагуу үүнийг баганад бичих шаардлагатай.

шилжүүлсэн матриц юм.

Хөрвүүлсэн матрицыг дээд үсгийн индекс эсвэл баруун гарт могойн зураасаар тэмдэглэнэ.

Өгзөг таглах:

Матрицыг шилжүүл

Ар талд нь бид эхний алхам дээр эхний мөрийг дахин бичнэ.

Өөр нэг мөрийг өөр мөрөнд дахин бичье:

I, nareshti, гурав дахь эгнээний гурав дахь эгнээг дахин бич.

Бэлэн. Ойролцоогоор транспоз гэдэг нь матрицыг хажуу тийш эргүүлэх гэсэн үг юм.

4) Дөрөвдүгээрт. Нийлбэр (жижиглэнгийн) матриц.

Диа матрицуудын нийлбэр нь эвгүй юм.
БҮХ матрицыг нугалах боломжгүй. Vыkonannya нугалах (vіdnіmannya) матрицын хувьд ROZMIROM-ийн хувьд булцууны өмхий үнэр ижил байх шаардлагатай.

Жишээлбэл, хэрэв "хоёр хоёр" матриц өгөгдсөн бол та үүнийг зөвхөн "хоёр хоёр" матрицад болон өөр аргаар нэмж болно!

өгзөг:

Матрицуудыг нугалав і

Матрицыг нугалахын тулд тэдгээрийн шаардлагатай элементүүдийг нугалах шаардлагатай:

Өөр өөр матрицуудын хувьд дүрэм нь ижил байна, янз бүрийн элементүүдийн ялгааг мэдэх шаардлагатай.

өгзөг:

Матрицын ялгааг мэдэх ,

Төөрөхгүйн тулд та энэ өгзөгийг хэрхэн энгийн болгох вэ? Хасах зүйлийг нэмэхээс бүү эргэлз, үүний тулд бид матрицад хасах нэмэх болно.

Жич: онолын хувьд ахлах сургуулийн математикийн тухай ойлголт байхгүй. "Чи юу ч харсан" гэсэн хэллэгийн оронд "сөрөг тоог нэмэх" гэж үргэлж хэлж болно. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok атираат.

5) Дия пьята. Матрицуудыг хуулбарлах.

Ямар матрицыг үржүүлж болох вэ?

Шаардлагатай бол матрицыг матрицаар үржүүлж болно. Ингэснээр матриц дахь баганын тоо нь матриц дахь мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна..

өгзөг:
Та матрицыг матрицаар үржүүлж чадах уу?

Дахин хэлэхэд та эдгээр матрицуудыг үржүүлж болно.

Мөн ижил матрицаас номлолыг дахин зохион байгуул, тэгвэл ийм байдлаар үржүүлэх нь аль хэдийн боломжгүй юм!

Otzhe, vikonati олон тооны боломжгүй:

Оюутан матрицыг үржүүлэхийг зөвлөдөг бол үржүүлэх нь мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл бол даалгавруудыг заль мэх хийх нь тийм ч их биш юм.

Слайд нь хэд хэдэн хувьсагч матрицыг үржүүлж болохыг харуулж байна і тийм, і тийм.
Жишээлбэл, матрицын хувьд би үржүүлж болох тул үржүүлсэн

mxn өргөтгөлийн тэгш өнцөгт матриц нь m ба n баганын эгнээний өшөөг авахын тулд тэгш өнцөгт хүснэгтэд байрлуулсан mxn тоонуудын нийлбэр юм. Бид харцаар нь бичих болно

өөрөөр хэлбэл, A = (a i j) (i = ; j =) -ийг харахад a i j тоонуудыг її элемент гэж нэрлэдэг; эхний индекс нь эгнээний дугаарыг, нөгөө нь - мөрийн дугаарыг заана. Ижил хэмжээтэй A \u003d (a i j) ба B \u003d (b i j) -ийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, учир нь элементүүд нь хосоороо тэнцүү тул тэдгээр нь ижил газруудад зогсож, дараа нь A \u003d B, тиймээс a i j \u003d b i j.

Нэг мөр эсвэл нэг баганаас нугалах матрицыг мөр эсвэл баганын вектор гэж нэрлэдэг. Стоу векторууд болон эгнээний векторуудыг энгийнээр вектор гэж нэрлэдэг.

Нэг тоотой матрицыг тухайн тоонд буулгана. A rozmіru mxn, тэгтэй тэнцүү бүх элементүүдийг тэг гэж нэрлэдэг бөгөөд 0-ээр дамжин хуваарилагдана. Ижил индекстэй элементүүдийг толгойн диагональ элементүүд гэж нэрлэдэг. Хэрэв эгнээний тоо нь унтдаг хүмүүсийн тоотой тэнцүү бол m = n бол матрицыг n квадрат дараалал гэж нэрлэдэг. Толгойн диагональ нь тэг буюу түүнээс дээш элементтэй квадрат матрицуудыг диагональ гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар бичнэ.

.

Хэрэв бүх a i i элементүүд диагональ байдлаар 1 хүртэл нийлбэл үүнийг дан гэж нэрлэж, E үсгээр тэмдэглэнэ.

.

Квадрат матрицыг трикот гэж нэрлэдэг, учир нь толгойн диагональаас өндөр (эсвэл доогуур) байгаа бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Мөр, баганыг тоонуудынх нь хадгалсан газраар сольсон тохиолдолд шилжүүлгийг ийм хувиргалт гэж нэрлэдэг. Үүнийг дээд талд байгаа шилжүүлгийн дүрс T тэмдэглэнэ.

(4.1)-д бид багана бүхий мөрүүдийг дахин цэгцлэх боломжтой тул бид авна

,

А.Зокрем шилжүүлсэн мэт вектор-стовпцця-г шилжүүлэхэд эгнээ-вектор болон навпаки гарч ирнэ.

Дэд бүрэлдэхүүн хэсэг Мөн b тоог матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний элементүүд нь b тоог үржүүлэхийн тулд А-ийн хоёр дахь элементүүдээс ирдэг: b A = (b a i j).

Нэг хэмжээсийн A = (a i j) ба B = (b i j) нийлбэрийг ижил хэмжээсийн C = (c i j) гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн элементүүдийг c i j = a i j + b i j томъёонд хуваарилдаг.

Dobutok AB нь элсэлттэй холбоотой тул A баганын тоо нь U эгнээний тоотой тэнцүү байна.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j =, k = , томилогдсон AB дарааллаар томилогдсон, C = (c i k) гэж нэрлэгддэг элементүүдийг ийм дүрэмд хуваарилдаг:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Үгүй бол AB бүтээлийн элементийг дараах дарааллаар хуваарилсан юм шиг санагдаж байна: i-р эгнээ ба k-р баганын элемент нь i-р эгнээний А-ийн бүтээлч элементүүдийн хамгийн үзэсгэлэнтэй нийлбэр юм. k-р баганын хамааралтай элементүүд В.

өгзөг 2.1. doboot AB i-г мэдэх.

Шийдэл. Тавдугаар сар: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, дараа нь dobutok AB \u003d C іsnuє і элементүүд С тэнцүү байна.

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

мөн tvir BA нь үнэн биш юм.

өгзөг 2.2. Хүснэгтэд өдөр бүр 1, 2-р сүүний үйлдвэрүүдээс M 1, M 2, M 3 дэлгүүрт авдаг дан бүтээгдэхүүний тоог харуулсан бөгөөд арьсан сүүн бүтээгдэхүүнээс M 1 дэлгүүрт нэг бүтээгдэхүүнийг хүргэхэд 50 денийн үнэтэй байдаг. нэг, дэлгүүрт M 2 - 70, M 3 - 130 ден. нэг. Pіdrakhuvat schodennі тээврийн vitrati арьс ширний үйлдвэр.

сүүн бүтээгдэхүүн

Шийдэл. Чухал ач холбогдол бүхий матрицаар дамжуулан, ойлгохын тулд бидэнд өгсөн
B - дэлгүүрийн нэг бүтээгдэхүүний хүргэлтийн хэлбэлзлийг тодорхойлдог матриц, tobto,

,

Тодо матриц vitrate зөөвөрлөсөн матима дээр харав:

Мөн анхны будсан шилний үйлдвэр одоогоор 4750 гросзийн үнэтэй байна. нэг, нөгөө нь - 3680 ден.

өгзөг 2.3. Оёдлын бизнес нь өвлийн пальто, хагас улирлын пальто, борооны цув зэргийг бэлддэг. Арван жилийн турш төлөвлөсөн хувилбар нь X = (10, 15, 23) вектороор тодорхойлогддог. Vykorivuyutsya даавуу chotirioh төрлийн T1, T2, T3, T4. Хүснэгтэнд арьсны чичиргээний эд эсийн витрати (метр) норм. C = (40, 35, 24, 16) вектор нь арьсны төрлийн эд эсийн тоолуурын хэлбэлзлийг, вектор P = (5, 3, 2, 2) - эд эсийн тээвэрлэсэн метрийн хэлбэлзлийг илэрхийлнэ. арьсны төрөл.

	Vitrata даавуу
өвлийн хүрэм
Хагас улирлын пальто

Шугаман алгебр

Матрицууд

матриц rozmіru m x n - tse шулуун шугаман хүснэгт, өшөө авах м эгнээ болон n -ийг stoptsіv. Матрицыг бүрдүүлдэг тоонуудыг матрицын элементүүд гэж нэрлэдэг.

Матрицуудыг том латин үсгээр, элементүүдийг ижил жижиг үсгээр тэмдэглэсэн байна.

Жишээлбэл, 2 х 3 хэмжээст А матрицыг харцгаая.

Энэ матриц нь хоёр мөр (m = 2) ба гурван эгнээ (n = 3) байна, өөрөөр хэлбэл. вон нь зургаан элементээс бүрдэнэ a ij de i - мөрийн дугаар, j - мөрийн дугаар. Үүний тусламжтайгаар утга нь 1-ээс 2, нэгийн утга нь гурав хүртэл (бичлэгдсэн). Зокрема, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1.5; a 23 = 5.

Ижил хэмжээтэй (m x n) A ба B матрицуудыг дуудна тэнцүү, ингэснээр өмхий үнэр нь элемент тус бүрээр zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij-ийн хувьд, тэгвэл. ямар ч i ба j (та "i, j" гэж бичиж болно).

эгнээ матриц- нэг эгнээнээс нугалж буй ижил матриц ба матриц тамга- Нэг stovptsya нь нугалж байгаа Tse матриц.

Жишээлбэл, нь эгнээний матриц бөгөөд .

квадрат матриц n-р дараалал руу - матриц, баганын тоо хүртэл эгнээ хүртэл, n хүртэл.

Жишээлбэл, өөр дарааллын квадрат матриц.

Диагональматрицын элементүүд – мөрийн дугаар нь баганын дугаартай тэнцүү байх зорилтот элементүүд (a ij, i = j). Qi элементүүд нь сэтгэл хангалуун байдаг үндсэн диагональматрицууд. Урд талын өгзөгний гол диагональ нь 11 = 3 ба 22 = 5 гэсэн элементүүдээс бүрдэнэ.

Диагональ матриц- Энэ бол диагональ бус бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү квадрат матриц юм. Жишээлбэл, - Гурав дахь эрэмбийн диагональ матриц. Хэрэв тийм бол бүх диагональ элементүүд нэгтэй тэнцүү бол матрицыг дуудна ганц бие(Дууг Е үсгээр тэмдэглэсэн). Жишээлбэл, - Гурав дахь эрэмбийн дан матриц.

Матриц гэж нэрлэдэг тэгИнгэснээр бүх її элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг сүлжмэлТиймээс толгойн диагональ доорх (эсвэл түүнээс дээш) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, - Гурав дахь эрэмбийн трикут матриц.

Матриц дээрх үйлдлүүд

Матрицууд дээр дараах үйлдлүүдийг хийж болно.

1. Матрицыг тоогоор үржүүлэх. l тооны нэмэлт матриц нь B = lА матриц бөгөөд ямар ч i i j-ийн хувьд элементүүд нь b ij = la ij байна.

Жишээлбэл, якчо, тэгвэл .

2. Матрицын нэмэх. Ижил хэмжээтэй m x n хоёр A і матрицын нийлбэрийг C \u003d A + B матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь "i, j"-ийн хувьд ij \u003d a ij + b ij байна.

Жишээ нь, гэх мэт тэгээд

.

Урд талын үйл ажиллагааны тусламжтайгаар үүнийг хийх боломжтой болох нь чухал юм харааны матрицижил хэмжээтэй: ялгаа A-B\u003d A + (-1) * Урлаг.

3. Матрицуудыг хуулбарлах. Өргөтгөсөн n x p матрицад нэмэлт A өргөтгөсөн m x n матрицыг ийм матриц С гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний арьсны элемент нь s ij нь j-р матрицын харагдах элементүүд дээр А матрицын i-р эгнээний элементүүдийн нийлбэрийг нөхдөг. матрицын багана, tobto. .

Жишээ нь, гэх мэт

, дараа нь матриц үүсгэх өргөтгөл нь 2 x 3 байх бөгөөд эхийг анхаарч үзээрэй:

Ийм байдлаар А матрицыг нарийссан матриц гэж нэрлэдэг.

Квадрат матрицыг үржүүлэх үйл ажиллагааны үндсэн дээр үйл ажиллагаа хөл дээрх холбоосууд. А квадрат матрицын эерэг шат A m (m > 1) -ийг A, tobto-тэй тэнцүү нэмэлт m матриц гэнэ.

Матрицыг нэмэх (солих) ба үржүүлэх нь хоёр матрицад зориулагдаагүй, зөвхөн хамгийн их таалагдсаныг нь дуулахад зориулагдсан гэж үзье. znakhodzhennya суми чи rіznitі матриц їх rozmіr obov'yazkovo хувьд ижил байж болно. Матриц үүсгэхийн тулд эхний баганын тоог нөгөө дэх мөрийн тоогоор нэмэгдүүлж болно (ийм матрицуудыг гэж нэрлэдэг). гуйя).

Тоон дээрх үйлдлүүдийн чадавхитай ижил төстэй үйлдлүүдийн хүчийг харцгаая.

1) Эвхэх солих (шилжих) хууль:

A + B = B + A

2) Ассоциатив (аз жаргалтай) эвхдэг хууль:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Тархалтын (тархалтын) үржүүлэх хууль хэрхэн нугалах вэ:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Үржүүлэхийн ассоциатив (аз жаргалтай) хууль:

л (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Матрицын үржүүлэхийн өөрчлөлтийн хууль эсрэг чиглэлд өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл. AB ¹ BA. Түүгээр ч барахгүй AB суурийн үндсэн BA-г заавал хэлэх шаардлагагүй (матрицууд нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй байж болно, тэр ч байтугай индукцлагдсан өгзөгний хувьд олон тооны матрицууд байдаг шиг ижил dobuts оноогдоогүй). Ale navіt yakscho гомдоох, үүнийг хийх, өмхий архирах raznі.

Сайн арга замаар, солих хууль нь ижил эрэмбийн нэг матрицад квадрат А матрицыг нэмж болно, үүнээс гадна энэ нь А хүртэл нэмэгддэг (энд нэг матрицаар үржүүлэх нь тоог үржүүлэхэд нэгээр үржүүлэхтэй адил юм):

AE = EA = A

Үнэн,

Тоонуудыг үржүүлэхэд бид дахин нэг олон тооны матрицыг нэмдэг. Хэрэв та тэдгээрийн аль нэгийг тэгтэй тэнцүү байлгахыг хүсвэл илүү олон тоог тэг дээр нэмж болно, эсвэл түүнээс бага тоог нэмж болно. Матрицын талаар хэлэх боломжгүй, тобто. тэг матрицад тэгээс бусад нэмэлт матрицыг нэмж болно. Жишээлбэл,

Матриц дээрх үйлдлүүдийг авч үзье.

4. Матрицын шилжүүлэгє матриц А матрицаас m x n матриц руу A T матрицаас n x м өргөтгөл рүү шилжих үйлдлийг ижил мөр, баганад хоосон зайгаар тэмдэглэв.

%.

Шилжүүлэх үйл ажиллагааны хүч:

1) Бид дараахь зүйлийг сонгосон бөгөөд ингэснээр матрицыг хоёр руу шилжүүлж, бид гаралтын матриц руу шилжих болно: (AT) T = A.

2) Тогтмол үржүүлэгчийг шилжүүлэн суулгах тэмдгийг буруутгаж болно: (lА) T = lА T .

3) Тархалтаар үржүүлсэн нэмэлт матрицуудын шилжүүлэг: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T.

Матрицууд

Арьсны квадрат матрицын хувьд |A| тоог оруулна уу vyznachnik. Инноди йогийг D үсгээр тэмдэглэдэг.

Tse є чухал бага практик ажлуудын орой дээр. Тооцооллын арга замаар ихээхэн йог.

Эхний эрэмбийн матрицын хувьд її ганц элемент |А| = D1 = a11.

Өөр эрэмбийн її матрицын хувьд |A| томьёоны дараа тооцоолдог тул тоог тэмдэглэгч гэж нэрлэдэг. \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Гурав дахь эрэмбийн її матрицын хувьд энэ тоог томьёоны дараа тооцдог тул үүнийг тэмдэглэгч гэж нэрлэдэг.

Энэ нь 6 нэмэлтээс бүрдэх алгебрийн нийлбэрийг илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээрийн арьсанд арьсны эгнээ болон арьсны матрицын матрицаас яг нэг элемент ордог. Визначникийн томъёог цээжлэхийн тулд заль мэх буюу Саррусын дүрэм гэж нэрлэгддэг дүрмийг хурдасгах нь заншилтай байдаг (Зураг 6.1).

Бяцхан 6.1 дээр бузар муугийн бүдүүвчийг, нэмэх тэмдэг бүхий нэмэлтийн элементүүдийг хэрхэн сонгохыг харуулав - тэгш гуяны трикутникуудын толгойн диагональ болон оройд өмхий үнэр нь перебувааж, тэдгээрийг зэрэгцээ байрлуулна. dodankіv zі тэмдэг "хасах" нь zlіva vikoristovuєtsya схем; үүн дээр толгойн диагоналийн орлогчийг хажуу гэж нэрлэдэг.

Дээд зэрэглэлийн удирдагчдыг рекурсив аргаар тооцдог, tobto. дөрөвдүгээр зэрэглэлийн залгамжлагч гурав дахь зэрэглэлийн залгамжлагч, тав дахь зэрэглэлийн залгамжлагч дөрөв дэх зэрэглэлийн залгамжлагч гэх мэт. Аргыг тайлбарлахын тулд матрицын энэ алгебрийн нэмэлт элементийн минорын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай (энэ нь цаашдын авч үзэх арга нь өөрөө гурав дахь болон бусад дарааллаар тохирсон байх нь хамгийн чухал юм).

Бага n-р эрэмбийн M ij элемент a ij матрицыг А матрицаас авсан (n-1)-р эрэмбийн матрицын эхлэл ба j-р баганын i эгнээний i мөрийн тохирол гэнэ.

n-р эрэмбийн арьсны матриц нь (n-1)-р дарааллаар n2 бага байна.

Алгебрийн нэмэлтүүд n-р эрэмбийн ij элементийн ij матрицыг zі тэмдэг (-1) (i + j) авч його минор гэж нэрлэдэг:

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, энэ нь мөр ба хосын баганын тоонуудын нийлбэр, і A ij \u003d -M ij, хосолсонгүй.

Жишээ нь, гэх мэт , дараа нь ; гэх мэт.

Үндсэн төлбөрийг тооцох аргаДовтолгоонд polygaє: квадрат матрицын илэрхийлэгч нь алгебрийн нэмэлтүүд дээр дурын дарааллаар (stovptsya) элементүүдийн бүтээлийн нийлбэр юм.

(зохицуулалт i-р элементүүдэгнээ; );

(j-р баганын элементүүдийн зохион байгуулалт;).

Жишээлбэл,

Анхаарах зүйл бол трико матрицын анхдагч хэв маяг нь толгойн диагональ элементүүдээс илүү дэвшилтэт байдаг.

Магиструудын үндсэн эрх мэдлийг томъёолъё.

1. Хэрэв мөр байгаа эсвэл матриц нь зөвхөн тэгээс бүрдсэн бол арбитрч 0-тэй тэнцүү байна (энэ нь розрахунка аргыг дагаж мөрддөг).

2. Хэрэв та матрицын зарим төрлийн эгнээний бүх элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлбэл ижил тоог бүхэл тоогоор үржүүлнэ).

Тэмдэглэл: тэмдэгтийн тэмдгийн хувьд та эгнээний халуун үржүүлэгчийг буруутгаж болно (матрицын тэмдгийн хувьд, үүний тэмдгийн хувьд та элементүүдийн халуун үржүүлэгчийг буруутгаж болно). Жишээлбэл, , .

3. її матрицыг шилжүүлэхэд илэрхийлэгч өөрчлөгдөхгүй: | A T | = | А | (Нотлох баримтыг хэрэгжүүлэхгүй).

4. Матрицын хоёр эгнээний (стопцив) орон зайг өөрчлөхдөө арбитрч пролегийн тэмдгийг өөрчилнө.

Кобын утгыг батлахын тулд матрицын дараалсан хоёр мөрийг дахин зохион байгуулахыг зөвшөөрнө: i-th ба (i + 1)-th. Rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj матрицын хувьд i-р эгнээ, мөн шинэ матрицын хувьд (мөрүүдийг өөрчилсөн) - by (i + 1) - th (niy-д энэ нь ижил байдаг тул элементийг элементээр шилжүүлдэг). Дараа нь нөгөө тэмдгийг өргөтгөхөд арьс нь алгебрийн матимыг пролегийн тэмдгээр нөхдөг тул (-1) нь (i + j) шат руу биш, харин (i + 1 + j) шат руу буурах болно. мөн өөр томьёонд томьёог нэмэхгүй. Ийм байдлаар приматуудын тэмдэг нь протиль болж өөрчлөгддөг.

Одоо шүүхүүдийг дахин зохион байгуулахгүй, харин өөр хоёр эгнээ, жишээлбэл, i-th ба (i + t)-th зэрэг нь хүлээн зөвшөөрөгдөх болно. Ийм сэлгэлт нь i-р эгнээний дараачийн t эгнээ доош, (i + t)-р эгнээний (t-1) эгнээний шилжилтийн үед боломжтой юм. Хэний хувьд примат тэмдэг өөрчлөгддөг (t + t - 1) = 2t - 1 удаа, өөрөөр хэлбэл. хосгүй олон удаа. Otzhe, усан үзмийн ороонго үлдсэнийг нь өөрчлөх болтугай.

Үүнтэй төстэй толин тусгалыг stovptsiv-д зориулж өөрчилж болно.

5. Хэрэв матриц нь хоёр ижил мөрийг (стопця) орлуулах бол дараагийнх нь 0-тэй тэнцүү байна.

Үнэн, хэрэв ижил мөрүүдийг (stovptsі) номлолоор дахин зохион байгуулвал тэр матрицыг өөрөө ижил томилогдсон хүмүүс авах болно. Нөгөө талаас, урд талын якистю венийн ард та тэмдэг, tobto-г өөрчилж болно. D = -D D = 0.

6. Матрицын хоёр эгнээний (stowptsіv) элементүүд пропорциональ тул нэгийн тоо 0-тэй тэнцүү байна.

Энэ хүч нь толгой үржүүлэгчийн дөнгөд зориулсан тэр дарсны урагшлах хүч дээр суурилдаг (матриц дахь пропорциональ коэффициентийн дөнгөний дараа дарсны дараа ижил эгнээнүүд байх ба үүний үр дүнд коэффициентийг тэгээр үржүүлнэ).

7. Ижил матрицын дараагийн эгнээний элементүүдийн (стопця) алгебрийн нэмэгдэл дээрх матрицын аль ч эгнээний (стопця) бүтээлч элементүүдийн нийлбэр нь үргэлж 0-ээс их байна: i ¹ j-ийн хувьд.

Эрчим хүчийг авчрахын тулд А матрицын j-р эгнээг i-р эгнээгээр солиход хангалттай. Товчилсон матрицад хоёр тэнцүү мөр байх тул дараагийнх нь 0-тэй тэнцүү байна. Нөгөө талаас үүнийг j-р эгнээний элементүүдээр тооцоолж болно: .

8. Матрицын индекс өөрчлөгдөхгүй, зөвхөн эгнээний элементүүд эсвэл матриц руу дараагийн эгнээний элементүүдийг (стоу) нэмж, ижил тоогоор үржүүлнэ.

За, би i-р эгнээний элементүүдэд нэмж оруулъя j-р элементмөрүүдийг l-ээр үржүүлсэн. Шинэ i-р эгнээний Тоди элементүүд харагдах болно
(a ik + la jk , "k). i-р эгнээний элементүүдийн дараа шинэ матрицын байршлын тэмдгийг тооцоолъё (үү элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлүүд өөрчлөгдөхөд өөрчлөгдөхгүй нь чухал):

Энэ примат гадаад матрицын примат шиг харагдахгүй гэдгийг бид авч хаясан.

9. Чухал ач холбогдол бүхий dobutku матрицууд илүү үнэтэй dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | А | * |U| (Нотлох баримтыг хэрэгжүүлэхгүй).

Тэд тооцоогоо өршөөхийн тулд илүү олон эрх баригчид болон яллагчдыг харав. Zzvichay namagayutsya perevorit матриц ийм хэлбэр, shchob байх-yaky stovpets эсвэл өс хонзон yaknabіlshe тэг нь эгнээ. Эхний эгнээ эсвэл нөгөө эгнээ тавих дараагийн арбитрыг мэдэхэд хялбар байдаг.

урвуу матриц

А-1 матриц гэж нэрлэдэг буцаах боломжтойА квадрат матрицын харьцааны дагуу матрицыг А матрицаар үржүүлсэн ч гэсэн баруун гартай тул нэг матриц гарч ирнэ: A -1 * A = A * A -1 = E.

Үүнээс үзэхэд урвуу матриц нь А матрицтай ижил дарааллын квадрат матриц юм.

Пивот матрицын тухай ойлголт нь тэнхлэгийн тооны тухай ойлголттой төстэй байгааг харж болно (бүхэл тоо нь өгөгдсөн тоогоор үржүүлснээр нэгийг өгнө: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Сахалтай тоонууд, crim 0, тоонуудыг ороож болно.

Хүч чадал, өгөөжийн квадрат матриц гэж юу болохыг олж мэдэхийн тулд арбитрыг мэдэх шаардлагатай. Хэрэв матриц нь тэгтэй тэнцүү бол ийм матриц гэж нэрлэдэг вируст, эсвэл ялангуяа.

Шаардлагатай хангалттай оюун ухаанСийвэнгийн матрицын үндэс: сийвэнгийн матриц нь ижил бөгөөд зөвхөн вирусоген бус матрицыг ашиглаагүй тохиолдолд л болно.

Бид хэрэгцээг нь авчрах болно. Дараа нь матрицыг урвуу матриц A -1 гэж үзье. A -1 * A \u003d Э.Тоди | A -1 * A | = | A -1 | * |А| = | E | = 1. Дараа нь,
|А| ¹0.

Бид хангалттай байдлыг авчирдаг. Үүнийг тодруулахын тулд ийлдсийн матрицыг тооцоолох аргыг энгийнээр тайлбарлах шаардлагатай бөгөөд үүнийг онгон бус матрицад үргэлж хийж болно.

Отже, нааш ир | А | ¹ 0. А матрицыг шилжүүлнэ. Арьс элементийн хувьд А Т ир(Харилцан, холбоотон):.

Хүлээн авсан матриц болон гаралтын бодит байдлыг бид мэднэ. Авчих . Энэ дарааллаар матриц нь диагональ байна. її толгойн диагональ дээр гаралтын матрицын тэмдгүүд байгаа бөгөөд элементүүдийн шугамууд нь тэг байна.

Үүний нэгэн адил та үүнийг харуулж чадна.

Хэрэв та матрицын бүх элементүүдийг |A|-д хуваавал нэг Е матрицыг хасна.

Ийм зэрэглэл , дараа нь. .

Бид пивот матрицын нэгдмэл байдлыг авчирдаг. А-ын үндсэн урвуу матриц, анхдагч нь A -1 гэж үзье. Чухал ач холбогдол бүхий її X. Тоди А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Эв нэгдэл авчирсан.

Мөн пивот матрицыг тооцоолох алгоритм нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.

1. Матрицын арбитрыг мэдэх | А | . Яксчо |А| = 0 бол А матриц нь вироген бөгөөд урвуу матрицыг мэдэх боломжгүй. Яксчо |А| ¹ 0, дараа нь гишгүүрийн зүүгээр очно уу.

2. AT матрицын шилжилтийг дэмжинэ.

3. Шилжүүлсэн матрицын алгебрийн нэмэлт элементүүдийг мэдэж, өгөгдсөн матрицыг индукцлаарай.

4. Хүлээн авсан матрицыг |A|-д хувааж ороосон матрицыг тооцоол.

5. Та тэнхлэгийн матрицын тооцооны зөвийг цэг рүү зөв аргаар эргүүлж болно: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Заль мэхний дүрмийн цаад матрицын нэг дугаарыг мэдэцгээе.

Дахин бичихийг алгасацгаая.

Та дараах матрицуудыг хүчирхэгжүүлж болно.

1) | A-1 | = 1 / | А |

2) (A -1) -1 = A

3) (А м) -1 = (А -1) м

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Матрицын зэрэглэл

Бага k-р захиалга m x n хэмжээтэй матрицад мөр, багана байгаа эсэхийг тааруулахын тулд А матрицаас авсан тул k-р эрэмбийн квадрат матрицын илэрхийлэгчийг нэрлэнэ.

Насанд хүрээгүй хүний ​​дараалал нь жижиг, tobto-оос илүүгүй гэдгийг анхаарах нь чухал юм. k £ мин (м; n). Жишээлбэл, А 5х3 матрицаас эхний, бусад, гуравдахь эрэмбийн квадрат дэд матрицуудыг хасах боломжтой (бага тушаалуудыг өргөжүүлэх боломжтой).

зэрэглэлматрицын нэр захиалга олохматрицын минорууд дахь тэг хэлбэрээр (Rang A, эсвэл r(A) гэж заана).

Хөөх

1) матрицын зэрэглэлийг хамгийн жижиг її razmiriv, tobto-аас сонгоно.
r(A) £ мин (м; n);

2) r(A) = 0, дараа нь матриц тэг бол (бүх матрицын элементүүд тэгтэй тэнцүү) байвал. r(A) = 0 A = 0;

3) n-р эрэмбийн квадрат матрицын хувьд r(A) = n ба дараа нь, хэрэв А матриц вирусгүй бол. r(A) = n | | ¹0.

Үнэн хэрэгтээ хэний хувьд ийм нэгээс илүү насанд хүрээгүй хүнийг тооцоолоход хангалттай (гурав дахь баганын амилалтаас хасагдсан (учир нь resht-д гурав дахь багана тэг байх бөгөөд өмхий үнэр нь тэгтэй тэнцүү байх болно) ).

Трикотын дүрмийн цаана = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн хэлтэрхий нь тэг, r(А) £ 2. Шардууд нь өөр эрэмбийн тэг биш минортой байдаг, жишээлбэл,

Бидний хүлээн зөвшөөрөгдсөн використани (насанд хүрээгүй янз бүрийн хүүхдүүдийг харах) нь асар их хөдөлмөрөөр илүү төвөгтэй чиг хандлагын өндөр зэрэглэлд тохирохгүй нь тодорхой байна. Өөрчлөлтийн ялалтын үйлсийн матрицын зэрэглэлийн тэмдгийг тэдний дууддаг шиг сонсоорой анхан шатны:

нэг). V_dkidannya тэг эгнээ (stovpts_v).

2). Мөр эсвэл матрицын бүх элементүүдийг тэгийг тооцохгүйгээр тоогоор хуулбарлах.

3). Матрицын эгнээний дарааллыг өөрчлөх (stovptsiv).

дөрөв). Дараагийн эгнээний (stovptsya) ижил элементүүдийн нэг эгнээний арьсны элементийн нэмэлт (stovptsya), тоогоор үржүүлнэ.

5). Хөрвүүлэх.

А матрицыг В матрицаас элементар хувиргалтаар авдаг тул эдгээр матрицуудыг нэрлэдэг тэнцүүби A~B гэж тэмдэглэнэ.

Теорем. Матрицын элементийн хувиргалт нь зэрэглэлийг өөрчилдөггүй.

Теоремын баталгаа нь матрицын давамгайлалаас тодорхой харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ эдгээр хувиргалтын үед квадрат матрицууд хадгалагддаг эсвэл тэгтэй тэнцүү биш тоогоор үржүүлдэг. Дайны үеэр гаднах матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн тэргүүлэх тэгүүдийн хамгийн том дараалал нь өөрөө үлддэг, өөрөөр хэлбэл. її зэрэглэл өөрчлөгдөөгүй.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар матрицыг алхам алхмаар (дахин боловсруулсан) гэж нэрлэдэг. алхам матриц), дараа нь. Толгойн диагональ доорх эквивалент матриц нь зөвхөн тэг элементтэй, толгойн диагональ нь тэг биш элементүүдтэй байна гэж үздэг.

Алхам давтамжийн матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бөгөөд үүнээс (r + 1) ба холоос эхлэн хөндлөн таарч байгаа хэсгүүд нь зогссон бөгөөд та r-р эрэмбийн гурван валютын матрицыг авч болно. скаляр нь тэгтэй ижил байх болно, 0-р дараалал, тэгтэй тэнцүү биш):

өгзөг. Матрицын зэрэглэлийг ол

нэг). Хэрэв 11 \u003d 0 бол (бидний тохиолдол шиг), дараа нь мөрүүдийг дахин зохион байгуулснаар 11 ¹ 0 болно. Энд бид матрицын 1, 2-р эгнээг санаж байна:

2). Одоо 11 болж байна уу? 0. Анхан шатны өөрчлөлтүүд Dob'єmosja, эхний stovptsi doіvnyuvali тэг үед shchob shta elementіv. Нөгөө мөрөнд 21 = 0 байна. Гурав дахь мөрөнд 31 = -4 байна. Өөх (-4) 0-д зогсож, гурав дахь эгнээнд эхний эгнээ нэмж, 2-оор үржүүлнэ (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Үүний нэгэн адил дөрөв дэх эгнээнд эхний эгнээ нэмнэ (нэгээр үржүүлэх, дараа нь (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Хасах матрицад a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, дараа нь та мөрүүдийг дахин байрлуулж болно). Нөгөө талын доорх диагональууд тэг байсан эсэхийг шалгацгаая. 3 ба 4-р эгнээний хувьд өөр эгнээ нэмж, үржүүлэлтийг -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d нэмнэ. - 3):

дөрөв). Товчилсон матрицад үлдсэн хоёр мөр нь тэг бөгөөд їх-г хасаж болно.

Алхам матрицыг хассан бөгөөд энэ нь хоёр эгнээ нугалж байна. Мөн r(A) = 2.

Tse ойлголт, scho zagalnyu є бүх боломжит үйл ажиллагаа, yakі матрицтай viroblyayutsya. Математик матриц - элементүүдийн хүснэгт. Ийм хүснэгтийн тухай, де м rowkіv ta n stoptsіv, энэ нь матриц rozmirnіst байж болох юм шиг байна мдээр n.

Матрицын тод харагдах байдал:

Учир нь шийдлийн матрицматриц гэж юу болохыг ойлгох, үндсэн параметрүүдийг мэдэх шаардлагатай. Матрицын үндсэн элементүүд:

• Толгойн диагональ нь элементүүдээс бүрддэг a 11, a 22 ..... a mn.
• Элементүүдээс бүрдсэн хажуугийн диагональ a 1n, a 2n-1 …..a м1.

Матрицын үндсэн төрлүүд:

• Квадрат - ийм матриц, мөрийн тоо = баганын тоо ( m=n).
• Тэг - бүх матрицын элементүүд = 0.
• Шилжүүлсэн матриц - матриц At, гадаад матрицаас сарлагийн була отримана Азамтай, багана дээрх эгнээ солих.
• Ганцаараа - толгойн диагональ бүх элементүүд = 1, шугам = 0.
• Урвуу матриц нь матриц бөгөөд урвуу матрицаар үржүүлэхэд үр дүнд нь нэг матрицыг өгдөг.

Матриц нь толгой ба хажуугийн диагональ хоёуланд нь тэгш хэмтэй байж болно. Тобто, якчо a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1Дараа нь матриц нь үндсэн диагональ дагуу тэгш хэмтэй байна. Квадрат матрицаас илүү тэгш хэмтэй байж болно.

Розвязання матрицын аргууд.

Бүгдээрээ майза матриц хувиргах аргаалдартай її vyznachnik дээр худлаа n th дараалал болон түүнээс дээш нь төвөгтэй хийх. 2 ба 3-р зэрэглэлийн приматуудыг мэдэхийн тулд өөр, илүү оновчтой аргууд байдаг.

Znakhodzhennya vyznachnikі 2-р дарааллаар.

Матрицыг тооцоолоход зориулагдсан ГЭХДЭЭ 2-р дарааллаар, толгойн диагональ дахь элементүүдийг бий болгохын тулд хажуугийн диагональ дээр нэмэлт элементүүдийг нэмэх шаардлагатай.

3-р зэргийн мэдлэгийн аргууд.

3-р эрэмбийн мэдлэгийн дүрмийг доор харуулав.

Трикутникийн дүрмийг нэгэн адил хялбаршуулсан интоорын матрицын аргууд, дараах байдлаар төлөөлж болно.

Өөрөөр хэлбэл, эхний арбитраас элементүүдийг шууд мэтээр хүлээн авахыг "+" тэмдгээр авна; яг үүнтэй адил, 2-р бичиг хэргийн ажилтны хувьд хамгийн чухал бүтээлүүдийг "-" тэмдгээр авсан тул ийм схемийн хувьд:

At матрицыг Саррусын дүрмээр шийдвэрлэх, баруун гараараа, гарын үсэг зурсан хүний ​​чиглэлд эхний 2 баганыг нэмж, толгойн диагональ болон диагональ дээр хамгийн чухал элементүүдийг үүсгэж, i-р параллель шиг "+" тэмдгээр 3-ыг авна; харин хажуугийн диагональ ба диагональ хоёр элементийг параллель гэх мэт "-" тэмдгээр үүсгэ:

Razkladannya vyznachnik тоо stovptsyu pіd цагийн vіrіshennya матрицын дарааллаар.

Визначник нь алгебрийн нэмэлтүүд дээрх vyznachnik эгнээний элементүүдийн бүтээлийн илүү сайн нийлбэр юм. Тэр эгнээ сонгох дуудаж / stovpets, тэг нь арга замаар. Зохион байгуулалтыг хийж байгаа эгнээ эсвэл эгнээ нь сумаар тодорхойлогдоно.

Приматыг интоорын матрицын цагийг трикот руу авчрах нь.

At шийдлийн матрицПриматыг трикотой харагдуулахын тусламжтайгаар дараах байдлаар дасгал хий: дууны эгнээний хамгийн энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар примат нь трикот дүр төрхтэй болж, примат, добутку элементүүдийн хүчээр ижил утгатай болно. , толгойн диагональ дээр зогсох шиг.

Матрицуудыг төгс болгох Лапласын теорем.

Лапласын теоремын цаадах матрицуудыг харвал теоремыг дунд үндэслэлгүйгээр өөрөө мэдэх шаардлагатай. Лапласын теорем: Алив Δ - tse vyznachnik nр захиалга. Vibiraemo шинэ бэ-yakі к rowkiv (abo stovptsiv), оюун санааны хувьд к≤ n - 1. Ийм цаг хугацаа нь ажлын нийлбэртэй байдаг кСонгогдсон хүний ​​өшөөг юу авах вэ гэсэн дараалал кэгнээ (stowptsyah), vyznachnik нь тэдний алгебрийн нэмэлтүүд дээр.

Виришення матриц.

-д зориулсан дараалал ийлдэс матрицын уусмал:

1. Квадрат матриц өгөгдсөн гэдгийг ойлгоорой. Сөрөг үзэл бодлын үед шүлсний матриц байж болохгүй нь тодорхой болно.
2. Алгебрийн нэмэлтийг тооцоолох.
3. Бид холбоотон (харилцан, ирэх) матрицыг бий болгодог C.
4. Алгебрийн нэмэлтүүдтэй урвуу матрицыг нэмэх: өгөгдсөн матрицын бүх элементүүд CДилимо дээр коб матриц. Дэд нийлбэр матриц нь санамсаргүй байдлаар тодорхойлогдсон пивот матриц байх болно.
5. Бид виконан роботыг шалгадаг: бид початковын матрицыг үржүүлж, матрицыг орхигдуулдаг, үр дүн нь нэг матриц байж болно.

Виришення системийн матрицууд.

Учир нь матрицын системүүдийн шийдэлХамгийн түгээмэл арга бол Гауссын арга юм.

Гауссын арга нь алгебр (SLAE) ба вин polygaє-ийн шугаман тэгшитгэлийн системийг гарган авах стандарт арга бөгөөд дарааллаар өөрчлөлтүүд асаалттай байдаг тул нэмэлт элементийн өөрчлөлтийн хувьд тэгшитгэлийн системийг эквивалент (араа) руу авчирдаг. тоо) системийн арьсны элементийг мэддэг.

Гаусын аргає матрицыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл, шилдэг хэрэгсэл. Систем нь хувийн бус шийдэлтэй, эсвэл систем нь хураангуй бус байдаг шиг Крамерын дүрэм болон матрицын аргыг зөрчих боломжгүй юм.

Дамжуулах Гауссын арга нь мөн шууд (өргөтгөсөн матрицыг шаталсан харагдац болгон бууруулж, толгойн диагональ дор тэгийг арилгадаг) болон урвуу (өргөсгөж буй матрицын толгойн диагональ дээрх тэгийг арилгадаг) алхдаг. Шууд гарчиг нь Гауссын арга, урвуу - Гаусс-Жорданы арга юм. Гаусс-Жорданы арга нь өөрчлөлтийн дарааллыг эс тооцвол Гауссын аргатай төстэй.

Цаг 1. Дэлхий дээрх матриц Ам nтэгш өнцөгт хүснэгтийг m мөр, n баганатай гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тоонууд эсвэл бусад математикийн хувьсагчдаас (матрицын элементүүдийн зэрэглэл) нэмдэг, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, эсвэл

Уулзалт 2. Хоёр матриц
і
ижил хэмжээтэй гэж нэрлэдэг тэнцүү, элементүүдийг элементээр нь ангилдаг, өөрөөр хэлбэл. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Нэмэлт матрицуудын хувьд эдийн засгийн ордуудын үйлдлийг бичихэд хялбар байдаг, жишээлбэл, эдийн засгийн бууралтын дагуу нөөцийг хуваарилах хүснэгт.

Цаг 3. Тиймээс, матриц дахь эгнээний тоо нь її stovptsіv-ээс zbіgaєtsya байна. m = n бол матрицыг дуудна квадрат дараалалn, мөн өөр гэрэлд шулуун шугаман.

Цаг 4. А матрицаас А t матриц руу шилжих шилжилтийг мөр, баганыг хадгалалтын дарааллаар тэмдэглэсэн газрууд гэж нэрлэдэг. шилжүүлэн суулгахматрицууд.

Матрицыг харна уу: квадрат (хэмжээ 33) -
,

шулуун (хэмжээ 25) -
,

диагональ -
, ганц бие -
, тэг -
,

матриц-мөр -
, матриц-stowpets -.

Цаг 5. Ижил индекстэй n дарааллын квадрат матрицын элементүүдийг толгойн диагональ элементүүд гэж нэрлэдэг. ce элементүүд:
.

Цаг 6. n дарааллын квадрат матрицын элементүүдийг хажуугийн диагональ элементүүд гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээрийн индекс нь n + 1, өөрөөр хэлбэл. Элементүүд: .

1.2. Матриц дээрх үйлдлүүд.

1 0 . сүмою хоёр матриц
і
ижил хэмжээсийг С = (з ij) матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…) -тэй тэнцүү байна. , n).

Эвхэх матрицын үйл ажиллагааны хүч.

Be-yakah-ийн төлөө матрицууд A,B,Cнэг rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (шилжүүлэх чадвар),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (холбоо).

2 0 . Твором матрицууд
тоо бүрт  матриц гэж нэрлэдэг
i хэмжээтэй ижил хэмжээс нь А матриц бөгөөд үүнээс гадна b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийн хүч.

(А) = ()А (үржүүлэгчийн нэгдэл);

(А+В) = А+В (санамсаргүй нугалах матрицын үржвэрийн тархалт);

(+)А = А+А (санамсаргүй эвхдэг тоог үржүүлэх тархалт).

Цаг 7. Матрицуудын шугаман хослол
і
ижил хэмжээг A + B, de  ба  хэлбэрээр дууддаг - хангалттай тоо.

3 0 . Добутком А  Матрицууд A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk-ийг 3 expіrum mk матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд иймээс z ij элемент нь A і матрицын i-р эгнээнд байгаа бүтээлч элементүүдийн нийлбэр бөгөөд j-р багана юм. матрицын В, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB нь зөвхөн энэ тохиолдолд ашиглагддаг, учир нь А матрицын баганын тоо нь матрицын мөрүүдийн тооноос хамаарч өөр өөр байдаг.

Матрицыг үржүүлэх үйл ажиллагааны хүч:

(АВ)С = А(ВС) (холбоо);

(А+В)С = АС+ВС (санамсаргүй нугалах матрицын тархалт);

А(В+С) = АВ+АС (санамсаргүй нугалах матрицын тархалт);

АВВА (коммутатив биш).

Цаг 8. AB = BA байх A ба B матрицыг зорчих эсвэл явах гэж нэрлэдэг.

Квадрат матрицыг хуулбарлах нь өөр нэг матрицын дарааллаас үл хамааран матрицыг өөрчлөхгүй.

Цаг 9. Анхан шатны өөрчлөлтүүдматрицуудыг ийм үйлдлүүд гэж нэрлэдэг:

Хоёр эгнээ (stovptsiv) номлолоор солих.

Нэг эгнээний арьсны элементийг (стовпця) тэгтэй тэнцүү биш тоогоор хуулбарлах.

Дараагийн эгнээний хоёр дахь эгнээний элементүүдийн нэг эгнээний элементүүдэд (stowptsya) нэмэлт.

Цагийн тов 10. Матриц, матрицаас otrimana Мөн энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар гэж нэрлэдэг тэнцүү(BA гарын үсэг зурсан).

өгзөг 1.1. 2A-3B матрицуудын шугаман хослолыг мэдэх

,
.

,
,

.

өгзөг 1.2. Doboot матрицыг мэддэг
, гэх мэт

.

Шийдэл: эхний матриц дахь баганын тоог өөр матрицын мөрийн тооноос сольж, дараа нь нэмэлт матрицыг ашиглана. Үүний үр дүнд бид шинэ матрицыг авдаг
, де

Үүний үр дүнд бид авдаг
.

Лекц 2. Томилогдсон хүмүүс. Өөр нэг, гурав дахь дарааллаар vyznachniki-ийн тооцоо. Томилогдсон хүмүүсийн эрх мэдэлnр захиалга.