Zavdannya, ką tu supranti apatinio laido integralas.

Priimtina, kad elementų funkcija yra priskirta ir užsirašykite sumą

kaip jis vadinamas integralu.

K: Pagal dainavimo integralą (o.i.) kaip funkciją ir kaip pasirinkimą

Pavadinimas:

Skaičiai vadinami integruotais (pagal Rіman) ant .

T. іsnuvannya: Tavo protui, sho.

Vіdpovіdno iki o.i paskyrimo. svarbu, kad integralas gali būti deponuotas formoje

Vіdpovіdno iki cl.17.1.1 ir 17.1.2 ir o. užrašome kreivinės trapecijos ploto formules: , robotų pajėgos

ant:

Subintegralo, integralinių sumų supratimas.

Apatinės vielos integralo pagrindas, kad tarpintegralo suma duotajam būtų akivaizdi, taigi riba duotų cilindrinio kūno tūrį. Tačiau tse mirkuvannya ne є suvorim. Aukštesniuose grūdinimosi kursuose reikia iškelti ir iškviesti teoremą subvertikalaus integralo pagrindu.

Teorema іsnuvannya. Nes ar tai būtų funkcija, be pertrūkių uždaroje srityje, kur galiu išmatuoti a, yra subintegralas, kad būtų tarpintegralinė suma su neribotu mažų protui maidančikų skaičiaus padidėjimu, kad oda nuo jų įtraukta į dėmę. Tsya riba negali būti deponuojama siekiant suskaidyti regioną, bet iš dalies, o ne į taškų pasirinkimą.

Nadalі mi vzglyaditimemo be funkcijos, be pertrūkių integracijos sferoje.

Iš pamatų teoremos galime, pavyzdžiui, padalinti sritį į mažus stačiakampius, kurių kraštinės yra lygiagrečios koordinačių ašims (230 pav.). Kai timu. Vibirayuchi potim prie odos mažos tiesiosios žarnos taškais, kuriuos galime parašyti, zgіdno z subvertikalaus integralo nominalai

Siekiant pagrįsti, kad galima gauti pagrindinį integralą, kaip tarp proto sumos, vikoristo ženklo pavadinimas taip pat yra

Viraz vadinamas kvadrato elementu Dekarto koordinatėmis ir papildomu stačiakampio kvadratu, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims.

Svarbu, kad sulenkus vientisą maišelį, maidanai, besiribojantys su tarpregionu, nesudarytų stačiakampių. Tačiau gali būti, kad atleidimas už tokių maidančikų pakeitimą kvadratais tarp kvadratų bus sumažintas iki nulio.

Pavaldžių integralų galia

Subintegralo (to yogo visnovok) galia yra analogiška vienkartinio dainavimo integralo galiai.

1°. Adityvumas. Kokia funkcija f(x, y) integruotas į regioną D ir kaip sritis D pagalbos kreivė G nulinis plotas yra padalintas į dvi grandis ir neslopina aukštų vidinių regiono taškų D 1 ta D 2, tada funkcija f(x, y) integruotas į odos vietas D 1 ta D 2, be to

2°. Linijinė galia . Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, a α і β - ar tai būtų kalbos skaičiai, tada funkcija [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] taip pat yra integruotas regione D, be to

3°. Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, tada yra integruotos papildomos šių funkcijų funkcijos D.

4°. Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) puolimo integracija regione D ir visur mano galerijoje f(x, y) ≤ g(x, y), tada

5°. Kokia funkcija f(x, y) integruotas į regioną D, tos funkcijos | f(x, y)| integruotas į regioną D, be to

(Žinoma, su integracija | f(x, y)| in D nerodo integracijos f(x, y) in D.)

6°. Vidutinės vertės teorema. Kokia įžeidžianti funkcija f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, funkcija g(x, y) yra nematomas (ne teigiamas) visur šioje galerijoje, Mі m- tikslios viršutinės ir apatinės funkcijos ribos f(x, y) srityje D, tada yra skaičius μ kad patenkina nervingumą m ≤ μ ≤ M ir kad formulė galiotų

Zocrema, kaip funkcija f(x, y) yra nepertraukiamas D, ir sritis D zv'yazkova, tada šioje galerijoje yra toks taškas ( ξ , η ), ką μ = f(ξ , η ), o formulė (11) atrodo taip

JUDAMI INTEGRALIAI

1 paskaita

Ilgalaikiai integralai.Apatinės srovės integralo paskirtis yra galia. Pakartotinės integracijos. Žemesnių integralų saitai su pasikartojančiais. Įdėjimas tarp integracijos. Dekarto koordinačių sistemos pagrindinių integralų skaičiavimas.

Subintegralas yra gilinamas supratimas apie sing integralą skirtingose ​​​​dviejų kintamųjų funkcijose. Tokiu būdu, atvirkščiai, integracija bus plokščia figūra.

Nagi D- Dejaka yra uždara, ribojama vietovė, ir f(x,y) – pakankama funkcija, tai pažymėjo ši galerija. Tarkime, kad tarp regionų D sumuojami iš paskutinio kreivių skaičiaus, bendraamžių užduotis protas y=f(x) arba x=g( y), de f(x) tai g(y) yra nepertraukiamos funkcijos.

Rozib'ёmo regionas D padorus rangas n dalis. plotas i-ї delyanki reiškia simboliu D s i. Ant odos dilyantsi, gana vibracija yra taškas Pi, ir išleiskite jį be-yak_y nustatydami Dekarto sistemos maє koordinates ( x i, y i). Sklademo integrali suma už funkciją f(x,y) pagal regioną D, kurios funkcijos reikšmė yra žinoma visuose taškuose Pi, padauginus їх iš dvigubų sklypų ploto Ds i Ir mes manome, kad visi rezultatai atimami:

Nazvemo skersmuo(G) srityse G didžiausias atstumas tarp regiono ribinių taškų.

Integralinis funkcijos f(x,y) srityje D vadinama riba, kiek integralinių sumų seka (1.1) neribotai didėjant pertraukų n skaičiui (pas ką). Užsirašykite taip

Verta pažymėti, kad, matyt, tam tikros funkcijos ir tam tikros integracijos srities integralinė suma turi nukristi į ploto išplėtimą. D pasirinkite tašką Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse reiškia, kad tarp vidinių vidinių sumų negalima gulėti tarp paskirtų chinnikіv. tvarka(arba, kaip atrodo, bendroji funkcija f(x,y) yra integruota į domeną D), pakanka, kad integralioji bool funkcija nepertraukiamas užduočių galerijos integracija.

Nagi funkcija f(x,y) integruotas į regioną D. Skaldos tarp kumuliacinių sumų tokioms funkcijoms negali būti kaupiamos integravimo srities padalijimo metodu, padalijimas gali būti atliekamas vertikalių ir horizontalių linijų pagalba. Todі daugiau verslininkų regione D matinis tiesus kirpimas, tokio dorivnyu plotas D s i=D x i D y i. Todėl ploto skirtumą galima parašyti kaip ds=dxdy. Otzhe, Dekarto koordinačių sistemoje po integralais pamatę galite užsirašyti

Pagarba. Kaip ir integrando funkcija f(x,y)º1, tada integracijos regiono integralas yra:

Svarbu tai, kad pabrauktos integracijos gali būti tokios pat galios, taip pat ir atskirai integruotos. Jų poelgiai reikšmingi.

Pavaldžių integralų galia.

1 0 .Linijinė galia. Kitos integralų sumos funkcijų sumos integralas:

o dėl integralo ženklo galima kaltinti pastovųjį daugiklį:

2 0 .Papildoma galia. Kadangi integracijos sritis D yra padalinta į dvi dalis, tada subintegralas yra išsamesnis nei integracijų per odos dalį suma:

3 0 .Vidurkio teorema. Kokia funkcija f( x,y)yra tęstinis regione D, tada galerijoje yra toks taškas(x, h) , ką:

Tolesnė mityba: kaip apskaičiuojami subintegralai? Jogas gali būti maždaug virahuvati, šiuo metodu jis sulaužomas veiksmingi metodai sulankstytos kaupiamųjų sumų sumos, kurios vėliau apskaičiuojamos skaitmeniniu būdu naudojant papildomą EOM. Analitiškai apskaičiuojant subintegralus, jie redukuojami iki dviejų sing-integralų.

Pakabinami arbatinukų integralai

Šioje pamokoje pristatoma puiki kelių integralų tema, iš kurios mokiniai išgirs kitą kursą. Perkelk tai trigubais integralais galite zalyakate apmušalą ne aukščiau, žemiau skirtumas lygusį tą vіdrazu, pažiūrėkime į maistą: na, kas tai? Zvichayno, deakim bus sulankstomas, ir, tiesą sakant, aš šiek tiek apšmeižiau vardų statistiką - norint išmokti virishuvati podvіynі іntegrali, būtina motina deyakі navichki. Pirma, jei imsitės integracijos, tada, aišku, turėsite integruotis. Logika. Otzhe, norėdami kurti programas, turite žinoti nereikšmingi integralai kad skaičius tiesiniai integralai karštas bi viduriniame lygyje. Gera naujovė ta, kad su galingų jėgų pagalba jie integravosi į didesnę vipadkiv, kad tai padarytų paprastai.

Kam sunku? Supratau dešinėje. Timas, kuris pirmuosius pusmečius gėrė daug alaus. Tačiau normalūs studentai gali būti priblokšti – svetainėje yra visos medžiagos, skirtos užpildyti spragas arba nesuprantamai. Jūs tiesiog praleidžiate daugiau nei valandą. Possilannya ant tų, yakі slydo vyvchiti arba kartoti, dodavatimutsya pіd valandą statti.

Įvadinėje pamokoje žingsnis po žingsnio bus aptariami šie pagrindiniai momentai:

– Suprasti apatinės srovės integralą

– Integracijos sritis. Integracijos regiono apėjimo tvarka. Kaip pakeisti apėjimo tvarką?

Po to, kaip gerai suprantate visą Aziją, galite pereiti prie straipsnio Kaip apskaičiuoti neįvertintą integralą? Taikyti tirpalą. Be to, yra platesnė užduotis einamojo integralo apskaičiavimas polinėmis koordinatėmis kad tipinis priedas apie reikšmė plokščios apribotos figūros svorio centrui.

Pradėkime nuo įžūlaus maisto – kas tai?

Suprasti apatinės srovės integralą

Nežinančio žmogaus subvariantinis integralas rašomas taip:

Pažvelkime į terminus ir apibrėžimus:
- vertikalaus integralo piktograma;
- Integravimo sritis (plokščia figūra);
- Integrali dviejų kintamųjų funkcija, dažnai ji yra paprasta;
- Diferencialų ženkleliai.

Ką reiškia apskaičiuoti neįvertintą integralą?

Apskaičiuokite pagrindinį integralą – tse reiškia pažįstu KILO. Paprasčiausias skaičius:

І vkray bazhano žinok jogą teisingai =)

Rezultatas (skaičius) gali būti neigiamas. Ir nulį galima lengvai įvesti. Specialiai zupinivsya tam tikrą akimirką, oskolki chimalo studentai buvo neramūs, jei išeisite "kažkas nuostabaus".

Bagato, kuris prisimena tą „puikų“ vertės integralas- Tezh numeris. Čia kaip tik taip. Apatinis laido integralas turi іsnuє i vіdminny geometrinis zmist, Ale apie tse pіznіshe, usumu svіy valandą.

Kaip apskaičiuoti neįvertintą integralą?

Norint apskaičiuoti pagrindinį integralą, būtina jį iškviesti taip kartojame integralus. Zrobiti tse įmanoma du keliai. Didžiausias puolimo metodo išplėtimas:

Tarp integracijos būtina sukurti maisto tiekimo pavaduotoją. Be to, išorinio integralo mitybos požymiai yra vieni – tse numeriai, o vidinio integralo mitybos ženklų polaidiai yra funkcijas odnієї zminnoї , scho deponuoti "iks" forma.

Paimti žvaigždes tarp integracijos? Smarvė yra gulėti v_d tsgogo, kaip tos srities vadovo protui. Sritis yra nuostabi plokščia figūra, su kuria jūs ne kartą sulipote, pavyzdžiui, kai sunumeruoti plokščių figūrų plotai arba kūno įvyniojimo tūrio apskaičiavimas. Nezabar žinote, kaip teisingai nustatyti integracijos ribas.

Po to, nusprendus pereiti prie kartotinių integralų, be tarpininkų atliekamas toks skaičiavimas: pirmiausia imamas vidinis integralas, o paskui išorinis. Vienas po kito. Zvіdsi pavadinimas – iteraciniai integralai.

Apytiksliai atrodo, kad užduotis yra suskaičiuoti iki dviejų dainuojamųjų integralų. Kaip viskas nėra taip nuoseklu ir baisu, ir kaip patekote į „vienaskaitos“ dainavimo integralą, ko jums reikia atskirti nuo dviejų integralų ?!

Kitas būdas pereiti prie kartotinių integralų yra paprastesnis:

Kas pasikeitė? Integravimo tvarka pasikeitė: dabar vidinis integralas imamas "ix", o išorinis - "iplayer". Tarp integracijos, pažymėtos žvaigždutėmis - būti kitokiam! Viena po kitos išorinio integralo žvaigždės - tse numeriai, o vidinio integralo pagrindinės žvaigždės yra tekinimo funkcijos, scho meluoti "igrok" forma.

Kuris bi mi nepasirinko perėjimo prie kartotinių integracijų būdo, liekamasis garsas obov'yazkovo viide kad pats:

Prašau, prisiminti galios svarbą, kaip galima vikoristovuvati, zokrema, pakartotiniam sprendimo patikrinimui.

Subintegralo sprendimo algoritmas:

Susisteminame informaciją: kokia tvarka žiūrėti užduotį?

1) Kėdę būtina viskonizuoti. Be fotelio užduotis – nesulūžti. Tiksliau, nelaimėsi, bet tai bus panašu į žaidimą čekiuose. Ant fotelio pavaizduokite plotą kaip plokščią figūrą. Dažniausiai figūra yra paprasta ir apsupta linijų, parabolių, hiperbolių ir kt. Kompetentingas, kad shvidku tekhnіku pobudovі koslene galima išmokti pamokose Elementariųjų funkcijų grafikai ir pagrindinės galios, geometrinė grafikos transformacija. Otzhe, pirmasis etapas yra fotelio vikonati.

2) Nustatykite tarp integracijų ir pereikite prie kartotinių integracijų.

3) Paimkite vidinį integralą

4) Paimkite dabartinį integralą ir atimkite skirtumą (skaičius).

Integracijos sritis. Integracijos regiono apėjimo tvarka.
Kaip pakeisti apėjimo tvarką?

Šioje pastraipoje matome svarbiausią maistą – kaip pereiti prie kartotinių integracijų ir teisingai išdėstyti tarp integracijų. Kaip jau buvo pasakyta daugiau, galite tai padaryti taip:

Man tai patinka:

Praktikoje daugiausiai sunkumų kyla mokantis nepatogiausių užduočių, o mokiniai dažnai pasimeta integravimosi procese. Pažvelkime į konkretų pavyzdį:

užpakalis 1

Sprendimas:Įsivaizduokime integracijos sritį ant fotelio:

Zvichayna plokščia figūra ir nieko ypatingo.

Dabar pamatysiu tau odos priežiūros priemonę – kasimo pagaliuką, lazerinį žymeklį. Užduotis yra nuskaityti užtamsintos srities odos tašką:

Skatinkite lazerį praeiti integracijos sritį griežtai žemyn, tuomet turite užbaigti užsakymą žemesnė plokščios figūros. Promin įeiti į regioną per visą abscisę, kaip to prašo lygūs ir išeiti iš regiono per parabolę (raudona rodyklė). Norint apšviesti visą regioną, reikia smarkiai supykęs į dešinę nubrėžkite vkazіvka vzdovzh osі vіd nuo 0 iki 1 (žalia rodyklė).

Otzhe, kas atsitiko:
"Іgrek" keičiasi iš 0 į ;
„ix“ keičiasi iš 0 į 1.

Teigiama, kad užduotyse aukščiau parašyta, jei yra neatitikimų:

Įvardykite neatitikimo duomenis apeinant integracijos galeriją arba tiesiog integravimo tvarka

Sutvarkę apėjimo tvarką, nuo apatinės srovės integralo galime pereiti prie kartotinių integralų:

Pusė užduoties atlikta. Dabar reikia pereiti prie kartotinių integralų kitu būdu. Kam turėtumėte žinoti pagrindines funkcijas. Kas yra susipažinęs su kita pamokos pastraipa Tūrinis kūno įvyniojimas taip bus lengviau. Žvelgiant į sritį apibrėžiančias funkcijas . Tai dar paprasčiau, tada eikite į grąžinimo funkcijas, o tai reiškia "iksi" per "igreeks". Viena funkcija, de є aš "iks" ir "iplayer", є.

Yakscho, be to:
atbulinės eigos funkcija nustato dešinę parabolės pusę;
Atbulinės eigos funkcija nustato kairįjį parabolės kampą.

Ar dažnai kaltina sumniv, ašį, pavyzdžiui, parabolės kairiosios ar dešinės pusės pasirašymo funkciją? Apibendrinti skirtumus yra dar paprasčiau: paimkite, pavyzdžiui, parabolinį tašką (iš dešinės adatos) ir nustatykite koordinates tiesia linija, pavyzdžiui, ta pačia linija:

Atimama teisinga lygybė, nuo šiol funkcija priskiriama dešinei parabolės rankai, bet ne kairei.

Daugiau negu, kad tsyu reverb(galvos juodai) praleisti vakarą po to, kai perėjote į grąžinimo funkcijas. Valandai nieko nesiskolinsiu, bet pakrantėje giedosiu atleidimą!

Integracijos regionas apeinamas kitu būdu:

Dabar galime apkarpyti lazerinį žymeklį levoruch peržiūrėti galerijos integraciją. Promin lazerio praėjimo zona smarkiai supykęs į dešinę. At šiam konkrečiam tipui vіn įeikite į regioną per parabolinę adatą ir išeikite iš srities per tiesia linija, kaip nustatyta lygiaverte (raudona rodyklė). Norint nuskaityti visą plotą lazeriu, būtina atlikti vzdovzh ašį griežtai žemynįveskite nuo 0 iki 1 (žalia rodyklė).

Šiuo būdu:
„iks“ keičiasi nuo iki 1;
"Іgrek" keičiasi iš 0 į 1.

Šalia esančios teritorijos, kuri fiksuojama kaip pažeidimai, apėjimo procedūra:

Tada perėjimas prie pakartotinių integracijų yra toks:

Vidpovidas galima parašyti taip:

Dar kartą spėsiu, kad likutinis rezultatas negali būti skaičiuojamas priklausomai nuo regionų aplenkimo eilės (tam buvo nustatytas tinkamumas). Tačiau iki galutinio rezultato dar toli, dabar mūsų užduotis nebėra tinkamai išdėstyti interintegraciją.

užpakalis 2

Danijos subintegralas su integracijos regionu. Eikite į pakartotines integracijas ir išplėskite integracijas dviem būdais.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Kompetentingai pažadink kėdę važiuokite tiesia linija aplinkkelyje(žvaigždės ir kur šviesti lazeriniu žymekliu). Zrazok puikus dizainas kaip pamoka.

Dauguma tipinės užduotys trochai susitraukia pagal kitą formulę:

užpakalis 3

Sukelkite integracijos sritį

Sprendimas: Protui buvo duotas pirmasis būdas apeiti regioną. Sprendimai vėl prasideda nuo kėdės. Čia regionas guli ne ant sidabrinės lėkštės su juodu oblyamіvkoy, bet skatina jus nesudaryti ypatingų sunkumų. Ant nugaros „knіmaєmo“ funkcijos iš interintegracijos: , . Funkcija savavališkai nustato tiesią liniją, bet ką funkcija nustato? Pakeiskime trochą:
- šalia centro ant 2 spindulio koordinačių burbuliuko. Funkcija w nustato viršutinę liniją (nepamirškite, jei ją susumuojate, visada galite nustatyti tašką, esantį viršutinėje arba apatinėje eilutėje).

Įdomu tarp išorinio integralo: "ix" keičiasi nuo -2 iki 0.

Vikonaemo foteliai:

Tiksliau sakant, rodyklėmis nurodžiau pirmąjį būdą apeiti regioną, kuris savo ruožtu nurodo pasikartojančius proto integralus: .

Dabar reikia pakeisti regiono apėjimo tvarką, kuriai pereisime prie posūkio funkcijų (pvz. „iksi“ per „іgreki“):

Ne taip seniai funkciją pertvarkėme į statymo lygį, tarkime „iks“:
Dėl to reikalingos dvi pagrindinės funkcijos:
- Pasirašyti teisę pivkolo;
- Reikšmingas leva pіvkolo.
Žinau tą patį, tarsi kaltindamas sumnivą, paimk tašką ir pasakyk: de left ir de right.

Pakeiskite zonos apėjimo tvarką:

Zgidno su kitu keliu, lazeriu promin įveskiteį regioną levoruch per liūtą pivkolo i eiti dešine ranka per tiesią liniją (raudona rodyklė). Tą pačią valandą lazerio įvedimas atlikti ordinačių ašyje įkalnėnįveskite nuo 0 iki 2 (žalia rodyklė).

Šia tvarka nurodoma apeiti zoną:

Žagalį galima parašyti užuomina:

užpakalis 4

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Užpakalis jau nebesulankstomas, bet pagarba, kad saujelę užduočių apeiti procedūra kitaip! Kam dirbti tokioje vipadkoje? Pirma, kaltinant kėdžių sunkumus, kėdės šukės priverčia man pačiam staiga įpiršti hemoraginės funkcijos grafiką. Rekomenduoju kitą užsakymą dіy: pirmiausia imamės „pirminės“ funkcijos (sakome „gravets“ per „iks“). Mes suteiksime jums „ekstremalios“ funkcijos grafiką (jei norite krapkovo, visada galite pasilepinti). Panašiai galime naudoti didesnę paprastą linijinę funkciją: galime „kapoti“ ir vesti tiesią liniją.

Analizuojame tarpusavio integracijos spragas: į vidurinį regioną patenkame per i ir išeiname per . Kai viską padarysite teisingai, galite pereiti prie „graikiško“ glotnumo nuo -1 iki 0. Kadangi ant kėdės nurodėte integravimo zoną, pakeiskite važiavimo ypatingų sunkumų sandėlyje tvarką. Zrazok sukūrė sprendimą pamokai.

Panašų užpakaliuką sutvarkysiu šiek tiek vėliau.

Navіt yakscho tu viską gerai supratai, būk malonus, neskubėkite, eikite tiesiai iki bėgimo integralo skaičiavimo. Apvažiavimo tvarka turtinga, o kai kurioms galvoms svarbu paimti rankas, tai daugiau, dar ne viską apžiūrėjau!

Priekiniuose chotiro užpakaliuose integracijos sritis buvo matoma kaip visuma 1, 2, 3 ir 4 koordinačių ketvirčiuose. Kam taip laukti? Ne, aišku.

užpakalis 5

Pakeiskite integravimo tvarką

Sprendimas: Tai tarsi kėdė, kurios funkcijos grafikas iš tikrųjų yra kubinė parabolė, tik „negulės ant šono“:

Regiono apėjimo tvarka, kuri nurodo kartotinius integralus , pažymėtas rodyklėmis. Reikia pagerbti, kad krėslo vikonnyno metu buvo nupiešta dar viena kontūrinė figūra (levoruchas ordinačių ašyje). Todėl turėtume gerbti regiono integraciją – regionui galite atleisti neteisingą skaičių.

Pereikime prie grąžinimo funkcijų:
- mums reikia tinkamos parabolės galvos;

Pakeiskime regiono apėjimo tvarką. Kaip prisimenate, naudojant kitą zonos apėjimo būdą, reikia nuskaityti sritį lazeriniu jungikliu dešinėje. Ale čia posterіgaєtsya cіkava rіch:

Kaip remontuoti panašiose situacijose? Tokiais atvejais integravimo sritį padalinkite į dvi dalis, o odos daliai sudėkite pakartotinį integravimą:

1) Jei „gravitacija“ pasikeičia nuo -1 iki 0 (žalia rodyklė), įeikite į regioną per kubinę parabolę ir išeikite per tiesią liniją (raudona rodyklė). Todėl teritorijos apėjimo tvarka bus tokia:

2) Jei „gravitacija“ pasikeičia nuo 0 iki 1 (ruda rodyklė), tada nedelsdami įeikite į sritį per parabolinę adatą ir išeikite per tą labai tiesią liniją (raudona rodyklė). Tada teritorijos apėjimo tvarka bus tokia:

Pakartojau pakartotinius integralus:

Dainavimas ir keli integralai turi tam tikrą galią adityvumas kad juos būtų galima sulankstyti, kurie tam tikru būdu ir šalia auga:
– O ašis ir mūsų pasivaikščiojimas po regioną kitaip, žiūrint į dviejų integralų sumą.

Vidpovidas parašyk taip:

Kokia apėjimo tvarka yra akivaizdžiausia? Zvichayno ta, kuri raidė duota galvoje užduotį – suskaičiuosite dvigubai mažiau!

užpakalis 6

Pakeiskite integravimo tvarką

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Esant naujam pіvkol, razbіrki z yakim, kaip pranešama, buvo peržiūrėti 3 priede. Sprendimas buvo parengtas kaip pamoka.

Ir iš karto, obіtsyane zavdannya, jei užduočių sąrašas yra dar vienas būdas apeiti regioną:

užpakalis 7

Pakeiskite integravimo tvarką

Sprendimas: Jei užduočių apėjimo procedūra atliekama kitu būdu, prieš žadinimo kėdę, reikia pereiti prie „aukštesnių“ funkcijų. Kuriam užpakaliukui transformuoti yra du pacientai: i.
Naudojant linijinę funkciją, viskas paprasta:

Funkcijos grafikas yra parabolė su pretenzija į kanoniškumą.

Virazimo „iplayer“ per „ix“:

Paimame du parabolės kaiščius: i. Jaku nuo ju vibrati? Paprasčiausias dalykas yra pamatyti fotelio vikonatą. Ir jei prisimenate analitinės geometrijos medžiagą apie parabolę, tuos pačius įžeidimus galite vadinti Krapkovu:

Dar kartą atkreipiu dėmesį į tai, kad ant šios kėdės buvo pabarstytos plokščios figūros ir svarbu pasirinkti figūrą! Pasirinkus juokaujančias figūras, jos padės integruoti kitus integralus:
, tada nepamirškite, ką nustato atbulinės eigos funkcija visi parabolė.

Rodyklės, rodančios figūrų apvažiavimą, tiksliai nurodo integracijų integravimo ribas .

Dosit shvidko išmokite atlikti tokią analizę mintyse ir žinote, kad reikia integracijos srities.

Jei figūra rasta, paskutinė sprendimo dalis yra dar paprastesnė, keičiame srities apėjimo tvarką:

Grąžinimo funkcijos jau žinomos ir reikalinga teritorijos apėjimo procedūra:

Pasiūlymas:

Paskutinis savarankiško kūrimo pastraipos pavyzdys:

užpakalis 8

Pakeiskite integravimo tvarką

Išoriškai sprendimas yra panašus į pamoką.

Pradėkime nuo subvarianto integralo apskaičiavimo proceso ir susipažinkime su geometriniu sudėtingumu.

Subintegralas yra skaitiniu požiūriu pranašesnis už plokščios figūros plotą (integracijos regionai). Paprasčiausia nepilno integralo forma, jei dviejų kintamųjų funkcija yra: .

Galime pažvelgti į pakaušį liūdnai pagarsėjusiu žvilgsniu. Tuo pačiu judi, viskas tikrai paprasta! Apskaičiuokite plokščių figūrų plotą, apsuptas linijų. Dainavimui svarbu turėti vіdrіzku. Figūrų sritys yra skaitiniu požiūriu pažangesnės:

Pavaizduojame sritį ant fotelio:

Pasirinkite pirmąjį būdą apeiti sritį:

Šiuo būdu:

І kažkada svarbus techninis triukas: galima įvesti pakartotinius integralus. Visų pirma vidinis integralas, tada išorinis integralas. Tiems arbatinukams labai rekomenduoju danišką būdą.

1) Apskaičiuokite vidinį integralą, su kuriuo integruojama pokyčiui "gravet":

Nereikšmingas integralasčia yra pati paprasčiausia ir toliau pergalinga banalioji Niutono-Leibnico formulė su tuo pačiu skirtumu, tarp integracijų yra ne skaičiai, o funkcijos. Užpakalinė dalis buvo įtraukta į "igrok" (pradinė funkcija) viršutinę ribą, tada apatinė riba

2) Rezultatas, atėmus iš pirmojo taško, turi būti pridėtas prie dabartinio integralo:

Didesnis kompaktiškas viso sprendimo įrašas atrodo taip:

Otriman formulė - būtent tai yra darbinė formulė plokščios figūros plotui apskaičiuoti „ekstremalaus“ dainavimo integralo pagalba! Stebėkite pamoką Ploto apskaičiavimas giedojimo integralo pagalba, Štai jis ant odos croci!

Tobto, užduotį apskaičiuoti plotą pagalbinio laido integralo pagalba mažai kam rūpi už dainavimo integralo pagalbą! Tiesą sakant, tai tas pats!

Aišku, tai nėra kaltas dėl jokių sunkumų! Pažiūrėsiu į mažus užpakaliukus, jūsų šukes, tiesą sakant, ne kartą sulipusias su šiomis užduotimis.

užpakalis 9

Apatinės vielos integralo pagalba apskaičiuokite plokščios figūros plotą, apsuptą linijomis,

Sprendimas: Pavaizduojame sritį ant fotelio:

Figūros plotas apskaičiuojamas pagal formulės subvertikalųjį integralą:

Norėdami apeiti sritį, pasirinkite kitą užsakymą:

Čia ir toliau nesigilinu, kaip pasižvalgyti po regioną, pirmoje pastraipoje šukės buvo iškeltos dar aiškiau.

Šiuo būdu:

Kaip jau nurodžiau, piliečiams lengviau greičiau apskaičiuoti kartotinius integralus, kuriuos pridėsiu prie metodo:

1) Niutono-Leibnizo formulių eilutė už nugaros analizuojama naudojant vidinį integralą:

2) Rezultatas, atėmus pirmąjį croc, pakeičiamas esamu integralu:

2 taškas – tiesą sakant, plokščios padėties srities atmetimas dainavimo integralo pagalba.

Pasiūlymas:

Ašis yra tokia bloga ir naїvne zavdannya.

Cicavi užpakalis savarankiškoms vyšnioms:

užpakalis 10

Apatinės vielos integralo pagalba apskaičiuokite plokščios figūros plotą, apsuptą linijomis,

Žvilgsnis į galutinį pamokos dizaino sprendimą.

Prikladakh 9-10 žymiai svarbiau laimėti pirmąjį būdą apeiti regioną, gerti daugiau skaitymo, prieš kalbą galite pakeisti apėjimo tvarką ir apskaičiuoti plotą kitu būdu. Jei neatleisite, tada, žinoma, pamatysite savo reikšmingą sritį.

1.1 Vertikalaus integralo nustatymas

1.2 Subintegralo dominavimas

Subintegralo (to yogo visnovok) galia yra analogiška vienkartinio dainavimo integralo galiai.

1°. Adityvumas. Jei funkcija f(x, y) yra integruota į sritį D ir jei sritis D už papildomos kreivės Г, nulinė sritis yra padalinta į dvi grandis ir negali turėti bendrų vidinių sričių D 1 ir D 2 taškų, tada funkcija f(x, y) yra integruota odoje iš D 1 ir D 2 sričių, be to

2°. Linijinė galia. Kaip funkcijos f(x, y) ir g(x, y) integruojamos erdvėje D, a? aš? - ar tai būtų kalbos skaičiai, tada funkcija [? f (x, y) + ? g (x, y)] taip pat yra integruotas į D sritį

3°. Kaip funkcijos f(x, y) ir g(x, y) yra integruotos į D sritį, taip ir papildomos šių funkcijų funkcijos yra integruotos į D.

4°. Kaip galima funkcijas f(x, y) ir g(x, y) integruoti į sritį D ir kryžminti f(x, y)? g(x, y), tada

5°. Kadangi funkcija f(x, y) yra integruota domeno D, tai funkcija |f(x, y)| integruotas į D regioną

(Akivaizdu, kad | f (x, y) | D integravimas nerodo f (x, y) integravimo į D.)

6°. Vidutinės vertės teorema. Nors įžeidžiančios funkcijos f(x, y) ir g(x, y) yra integruotos į D sritį, funkcija g(x, y) yra nematoma (ne teigiama) visur šiame regione, M ir m yra tikslūs. funkcijos f( x, y) viršutinės ir apatinės ribos srityje D, tada yra skaičius?, kuris tenkina m? ? ? M i kad formulė galiotų

Sokrema, kadangi funkcija f(x, y) yra ištisinė D, o sritis D yra sujungta, tai šioje srityje yra toks taškas (?, ?), Kas? = f(?, ?), ir formulė atrodo taip

7°. Svarbi geometrinė galia. gyvenamasis plotas D

Tegu kūnas T (2.1 pav.) pateikiamas erdvei, žemiau ploto D, žvėriui - nepertraukiamos ir nematomos funkcijos grafikas) z \u003d f (x, y,) kaip jis priskirtas erdvei D, iš šonų - cilindrinis paviršius, tiesioginis є tarp srities D ir yra lygiagrečios Ozo ašiai. Tokio tipo korpusas vadinamas cilindriniu kūnu.

1.3 Vertikalaus integralo geometrinis aiškinimas

1.4 Stačiakampio vertikalaus integralo supratimas

Tegul stačiakampiui R = visur priskiriama pakankama funkcija f(x, y)? (div. 1 pav.).

Rozmarino segmentas a? x? b n dalinių atkarpų už pagalbinio taško a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbitya už tiesių linijų pagalbą, lygiagrečios ašys Ox і Oy padalija stačiakampį R į n · p dalinius stačiakampius R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Nurodomas stačiakampio R padalijimu, jis yra reikšmingas simboliu T. Padalijome pagal terminą „stačiakampis“, kad suprastume stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims.

Ant odos chastkovy stačiakampio Rkl pasirenkame visą tašką (?k,?l). Įdėjus ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, jis reikšmingas per stačiakampio R kl plotą ?R kl. Akivaizdu, kad ?R kl = ?x k ?y l .

vadinama funkcijos f(x, y) integralia suma, kuri suteikia tam tikrą stačiakampio R skirstinį T ir duotą tarpinių taškų (? k, l) pasirinkimą daliniuose skirstinio T stačiakampiuose.

Įstrižainė vadinama stačiakampio skersmeniu R kl . Simbolis? Žymiai didžiausias iš visų įprastų tiesiųjų pjūvių skersmenų R kl .

Skaičius I vadinamas integralinių sumų (1) riba ties? > 0, kaip tai gali būti bet koks teigiamas skaičius? ar gali taip pasakyti data?, kuo?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Aš |< ?.

Funkcija f(x, y) vadinama integruota (pagal Riemanną) stačiakampyje R, nes yra galutinė riba tarp funkcijos I integralų sumų at? >0.

Nurodyta riba I vadinama funkcijos f(x, y) subintegralu stačiakampiu R ir žymima vienu iš šių simbolių:

Pagarba. Taigi, kaip ir vienkartiniam integralui, nustatoma, kad funkcija f(x, y) yra integruota į stačiakampį R ir yra apribota šiame stačiakampyje.

Tai suteikia galimybę pažvelgti toliau nuo funkcijų f(x, y) ribos.

Apatinis integralas turi galią, analogišką dainuojamojo integralo galiai. Žymiai mažiau nei pagrindiniai:

1. Kokios yra funkcijos
integracija regione
, tada integracija į juos yra kiekis ir skirtumas, be to

2. Dėl subvarianto integralo ženklo galima kaltinti pastovųjį daugiklį:

3. Jakšo
integruotas į regioną
, ir ši sritis yra padalinta į dvi sritis, kurios nesutampa і
, tada

.

4. Jakšo
і
integracija regione
, yakіy

, tada

.

5. Kas yra rajone
funkcija
patenkintas neatitikimais


de
і
aktai dіysnі skaičiai, tada

,

de – regiono plotas
.

Šių galių įrodymai yra analogiški paprasto integralo antrųjų teoremų įrodymams.

Vertikalaus integralo apskaičiavimas stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis

Tegul reikia apskaičiuoti pagrindinį integralą
, rajone - Stačiakampis, kuriam būdingi nelygumai ,.

Tarkime, kad
yra nenutrūkstamas tame pačiame stačiakampyje ir išsipučia naujoje nežinomoje reikšme, nors kūno tūrio integralas su pagrindu , kutais su žvėreliu viršuje
, iš šonų - butai
,
,
,
:

.

Iš kitos pusės tokią figūrą galima apskaičiuoti dainavimo integralo pagalba:

,

de
- šio kūno kirtimo su plokštuma, kuri eina per tašką, plotas ir statmenai ašiai
. Analizės šukės sukryžiuotos su kreivine trapecija
, apsuptas žvėries su funkcijų grafiku
, de fiksuotas ir , tada

.

Z tsikh triokh lygybės vyplivaє, scho

.

Vėliau apatinio integralo skaičiavimas buvo skaičiuojamas kaip dviejų dainuojančių integralų skaičiavimas; skaičiuojant „vidinį integralą“ (parašyta arkomis) būti nekintamu.

Pagarba. Ar galite paaiškinti, kad likusi formulės dalis yra teisinga, kada
, taip pat iš pirmo žvilgsnio, jei funkcija
pakeisti nurodyto stačiakampio ženklą.

Formulės dalies teisės vadinamos iteruotu integralu ir žymimos taip:

.

Panašiai galima parodyti, kad

.

Virš to, kas buvo pasakyta, tu verkši

.

Išlikusi lygybė reiškia, kad integracijos rezultatas turi būti integracijos tvarka.

Norėdami pažvelgti į giliausią šlaitą, supažindinkime su standartinio ploto supratimu. Standartinis (arba teisingas) plotas, tiesiogiai suteiktas ašiai, vadinamas tokiu plotu, kuriam jis turi būti tiesus, lygiagretus ašies centrui, tarp ploto ne daugiau, o dviejuose taškuose žemesnis. Priešingu atveju, atrodo, apverčiant patį regioną, kad її kordonas yra tik vienas vėjas tiesiai.

Priimtina, kad regionas yra apsuptas

kad yra apsuptas žvėries su funkcijų grafiku
, apačioje - funkcijos grafikas
. Nagi R ( ,) - minimalus stačiakampis, kuriame yra išdėstyta sritis
.

Eikite į sritį
kad priskiriama nepertraukiama funkcija
. Pristatykime naują funkciją:

,

panašus į underwire integralo galias

.

Aš vėliau,

.

Oskіlki vіdrіzok
padengti plotą
tada, vėliau,
adresu


, bet gulėti vіdrіzkom padėtyje, tada
.

Su fiksuota galime parašyti:

.

Tada pirmasis ir trečiasis integralai dešinėje integracijos pusėje sudaro nulį

.

Otzhe,

.

Kodėl reikia naudoti formulę einamajam integralui per standartinės ašies plotą apskaičiuoti
per nuorodą į kartotinį integralą:

.

Jakšo regionas
є standartinė y tiesi ašis
ji pasirodo kaip neatitikimai ,

, taip pat galima tai įrodyti

.

Pagarba. Dėl regiono
, standartinės y tiesios ašys
і
, bus vikonai

Šiai formulei pakinta integravimo tvarka ir subtiesinio integralo apskaičiavimo valanda.

Pagarba. Kai tik integravimo sritis nustoja būti standartinė (teisinga) abiejose koordinačių ašyse, її padalykite į standartinių sričių sumą ir pavaizduokite integralą kaip integracijų šiose srityse sumą.

užpakalis. Apskaičiuokite einamąjį integralą
pagal regioną
, apsuptas linijomis:
,
,
.

Sprendimas.

Tsya sritis є standartinė jako schodo ašis
, taigi aš
.

Mes apskaičiuojame integralą, atsižvelgdami į standartinės ašies plotą
.

.

Pagarba. Kaip apskaičiuoti integralą, atsižvelgiant į standartinės ašies plotą
, gauname tą patį rezultatą:

.

užpakalis. Apskaičiuokite einamąjį integralą
pagal regioną
, apsuptas linijomis:
,
,
.

Sprendimas. Paprasčiausiai integracijos regionas suteikiamas mažyliui.

Tsya sritis є standartinė schodo ašis
.

.

užpakalis. Pakeiskite pakartotinio integravimo integravimo tvarką:

Sprendimas.Įsivaizduokime integracijos regioną.

Iš interintegracijos linijų žinome linijas, kurios apima integracijos sritį: ,
,
,
. Norėdami pakeisti integravimo tvarką, galime kaip funkcijos ir mes žinome kirtimo vietą:

,
,
.

Taigi, viename iš intervalų, funkcija yra išreiškiamas dviem analitinėmis virazėmis, tada integracijos sritis turi būti padalinta į dvi sritis, o pakartotinis mokesčio integralas yra dviejų integracijų suma.

.