Apatinis integralas turi galią, analogišką dainuojamojo integralo galiai. Žymiai mažiau nei pagrindiniai:

1. Kokios yra funkcijos
integracija regione
, tada integracija į juos yra kiekis ir skirtumas, be to

2. Dėl ženklo galima kaltinti pastovųjį daugiklį apatinio laido integralas:

3. Jakšo
integruotas į regioną
, ir ši sritis yra padalinta į dvi sritis, kurios nesutampa і
, tada

.

4. Jakšo
і
integracija regione
, yakіy

, tada

.

5. Kas yra rajone
funkcija
patenkintas neatitikimais


de
і
aktai dіysnі skaičiai, tada

,

de – regiono plotas
.

Šių galių įrodymai yra analogiški paprasto integralo antrųjų teoremų įrodymams.

Vertikalaus integralo apskaičiavimas stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis

Tegul reikia apskaičiuoti pagrindinį integralą
, rajone - Stačiakampis, kuriam būdingi nelygumai ,.

Tarkime, kad
yra nenutrūkstamas tame pačiame stačiakampyje ir išsipučia naujoje nežinomoje reikšme, nors kūno tūrio integralas su pagrindu , kutais su žvėreliu viršuje
, iš šonų - butai
,
,
,
:

.

Iš kitos pusės tokią figūrą galima apskaičiuoti dainavimo integralo pagalba:

,

de
- šio kūno kirtimo su plokštuma, kuri eina per tašką, plotas ir statmenai ašiai
. Analizės šukės sukryžiuotos su kreivine trapecija
, apsuptas žvėries su funkcijų grafiku
, de fiksuotas ir , tada

.

Z tsikh triokh lygybės vyplivaє, scho

.

Nuo šiol bazinio integralo skaičiavimas buvo dviejų giedomųjų integralų skaičiavimas; skaičiuojant „vidinį integralą“ (parašyta arkomis) būti nekintamu.

Pagarba. Ar galite paaiškinti, kad likusi formulės dalis yra teisinga, kada
, taip pat iš pirmo žvilgsnio, jei funkcija
pakeisti nurodyto stačiakampio ženklą.

Formulės dalies teisės vadinamos iteruotu integralu ir žymimos taip:

.

Panašiai galima parodyti, kad

.

Virš to, kas buvo pasakyta, tu verkši

.

Išlikusi lygybė reiškia, kad integracijos rezultatas turi būti integracijos tvarka.

Norėdami pažvelgti į giliausią šlaitą, supažindinkime su standartinio ploto supratimu. Standartinis (arba teisingas) plotas, tiesiogiai suteiktas ašiai, vadinamas tokiu plotu, kuriam jis turi būti tiesus, lygiagretus ašies centrui, tarp ploto ne daugiau, o dviejuose taškuose žemesnis. Priešingu atveju, atrodo, apverčiant patį regioną, kad її kordonas yra tik vienas vėjas tiesiai.

Priimtina, kad regionas yra apsuptas

kad yra apsuptas žvėries su funkcijų grafiku
, apačioje - funkcijos grafikas
. Nagi R ( ,) - minimalus stačiakampis, kuriame yra išdėstyta sritis
.

Eikite į sritį
kad priskiriama nepertraukiama funkcija
. Pristatykime naują funkciją:

,

panašus į underwire integralo galias

.

Aš vėliau,

.

Oskіlki vіdrіzok
padengti plotą
tada, vėliau,
adresu


, bet gulėti vіdrіzkom padėtyje, tada
.

Su fiksuota galime parašyti:

.

Tada pirmasis ir trečiasis integralai dešinėje integracijos pusėje sudaro nulį

.

Otzhe,

.

Kodėl reikia naudoti formulę einamajam integralui per standartinės ašies plotą apskaičiuoti
per nuorodą į kartotinį integralą:

.

Jakšo regionas
є standartinė y tiesi ašis
ji pasirodo kaip neatitikimai ,

, taip pat galima tai įrodyti

.

Pagarba. Dėl regiono
, standartinės y tiesios ašys
і
, bus vikonai

Šiai formulei pakinta integravimo tvarka ir subtiesinio integralo apskaičiavimo valanda.

Pagarba. Kai tik integravimo sritis nustoja būti standartinė (teisinga) abiejose koordinačių ašyse, її padalykite į standartinių sričių sumą ir pavaizduokite integralą kaip integracijų šiose srityse sumą.

užpakalis. Apskaičiuokite einamąjį integralą
pagal regioną
, apsuptas linijomis:
,
,
.

Sprendimas.

Tsya sritis є standartinė jako schodo ašis
, taigi aš
.

Mes apskaičiuojame integralą, atsižvelgdami į standartinės ašies plotą
.

.

Pagarba. Kaip apskaičiuoti integralą, atsižvelgiant į standartinės ašies plotą
, gauname tą patį rezultatą:

.

užpakalis. Apskaičiuokite einamąjį integralą
pagal regioną
, apsuptas linijomis:
,
,
.

Sprendimas. Paprasčiausiai integracijos regionas suteikiamas mažyliui.

Tsya sritis є standartinė schodo ašis
.

.

užpakalis. Pakeiskite pakartotinio integravimo integravimo tvarką:

Sprendimas.Įsivaizduokime integracijos regioną.

Iš interintegracijos linijų žinome linijas, kurios apima integracijos sritį: ,
,
,
. Norėdami pakeisti integravimo tvarką, galime kaip funkcijos ir mes žinome kirtimo vietą:

,
,
.

Taigi, viename iš intervalų, funkcija yra išreiškiamas dviem analitinėmis virazėmis, tada integracijos sritis turi būti padalinta į dvi sritis, o pakartotinis mokesčio integralas yra dviejų integracijų suma.

.

1.1 Vertikalaus integralo nustatymas

1.2 Subintegralo dominavimas

Subintegralo (to yogo visnovok) dominavimas yra analogiškas vienkartinio dainavimo integralo dominavimui.

1°. Adityvumas. Jei funkcija f(x, y) yra integruota į sritį D ir jei sritis D už papildomos kreivės Г, nulinė sritis yra padalinta į dvi grandis ir negali turėti bendrų vidinių sričių D 1 ir D 2 taškų, tada funkcija f(x, y) yra integruota odoje iš D 1 ir D 2 sričių, be to

2°. Linijinė galia. Kaip funkcijos f(x, y) ir g(x, y) integruojamos erdvėje D, a? aš? - ar tai būtų kalbos skaičiai, tada funkcija [? f (x, y) + ? g (x, y)] taip pat yra integruotas į D sritį

3°. Kadangi funkcijos f(x, y) ir g(x, y) yra integruojamos į D sritį, tai papildomos šių funkcijų funkcijos yra integruojamos į D.

4°. Kaip galima funkcijas f(x, y) ir g(x, y) integruoti į sritį D ir kryžminti f(x, y)? g(x, y), tada

5°. Kadangi funkcija f(x, y) yra integruota domeno D, tai funkcija |f(x, y)| integruotas į D regioną

(Akivaizdu, kad | f (x, y) | D integravimas nerodo f (x, y) integravimo į D.)

6°. Vidutinės vertės teorema. Nors įžeidžiančios funkcijos f(x, y) ir g(x, y) yra integruotos į D sritį, funkcija g(x, y) yra nematoma (ne teigiama) visur šiame regione, M ir m yra tikslūs. funkcijos f( x, y) viršutinės ir apatinės ribos srityje D, tada yra skaičius?, kuris tenkina m? ? ? M i kad formulė galiotų

Sokrema, kadangi funkcija f(x, y) yra ištisinė D, o sritis D yra sujungta, tai šioje srityje yra toks taškas (?, ?), Kas? = f(?, ?), ir formulė atrodo taip

7°. Svarbi geometrinė galia. gyvenamasis plotas D

Tegu kūnas T (2.1 pav.) pateikiamas erdvei, žemiau ploto D, žvėriui - nepertraukiamos ir nematomos funkcijos grafikas) z \u003d f (x, y,) kaip jis priskirtas erdvei D, iš šonų - cilindrinis paviršius, tiesioginis є tarp srities D ir yra lygiagrečios Ozo ašiai. Tokio tipo korpusas vadinamas cilindriniu kūnu.

1.3 Vertikalaus integralo geometrinis aiškinimas

1.4 Stačiakampio vertikalaus integralo supratimas

Tegul stačiakampiui R = visur priskiriama pakankama funkcija f(x, y)? (div. 1 pav.).

Rozmarino segmentas a? x? b n dalinių atkarpų už pagalbinio taško a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Kodėl padalijimas tiesių, lygiagrečių ašims Ox ir Oy, pagalba padalija stačiakampį R į n · p dalinius stačiakampius R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Nurodomas stačiakampio R padalijimu, jis yra reikšmingas simboliu T. Padalijome pagal terminą „stačiakampis“, kad suprastume stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims.

Ant odos chastkovy stačiakampio Rkl pasirenkame visą tašką (?k,?l). Įdėjus ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, jis reikšmingas per stačiakampio R kl plotą ?R kl. Akivaizdu, kad ?R kl = ?x k ?y l .

vadinama funkcijos f(x, y) integralia suma, kuri suteikia tam tikrą stačiakampio R skirstinį T ir duotą tarpinių taškų (? k, l) pasirinkimą daliniuose skirstinio T stačiakampiuose.

Įstrižainė vadinama stačiakampio skersmeniu R kl . Simbolis? Žymiai didžiausias iš visų įprastų tiesiųjų pjūvių skersmenų R kl .

Skaičius I vadinamas integralinių sumų (1) riba ties? > 0, kaip tai gali būti bet koks teigiamas skaičius? ar gali taip pasakyti data?, kuo?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Aš |< ?.

Funkcija f(x, y) vadinama integruota (pagal Riemanną) stačiakampyje R, nes yra galutinė riba tarp funkcijos I integralų sumų at? >0.

Nurodyta riba I vadinama funkcijos f(x, y) subintegralu stačiakampiu R ir žymima vienu iš šių simbolių:

Pagarba. Taigi, kaip ir vienkartiniam integralui, nustatoma, kad funkcija f(x, y) yra integruota į stačiakampį R ir yra apribota šiame stačiakampyje.

Tai suteikia galimybę pažvelgti toliau nuo funkcijų f(x, y) ribos.

Pavaldžių integralų galia.

Dalis nepilno integralų galių be tarpininko rėkia iš kurios prasmės supranta tą integralų sumų galią, bet ji pati:

1. Kokia funkcija f(x, y) integruota į D, tada kf(x, y) tezh jis yra integruotas į šį galusi, be to (24.4)

2. Kas yra rajone D integravimo funkcijos f(x, y)і g(x, y), tada tos funkcijos yra integruotos į šią galeriją f(x, y) ± g(x, y), aš at

3. Kaip integruotis regione D funkcijas f(x, y)і g(x, y) nervistas f(x, y)≤g(x, y), tada

(24.6)

Pridėkime daugiau galios nepakankamam integralui:

4. Jakšo rajonas D padalintas į du regionus D 1 ta D 2 be švytinčių vidinių taškų ir funkcijos f(x, y) nepertraukiamai regione D, tada

(24.7) Atneša . Integralinė suma pagal regioną D iš pirmo žvilgsnio galite pamatyti:

regiono padalijimas D atliekami taip, kad tarp D 1 ta D 2 yra pastatytas tarp mūšio dalių. Prakaito perleidimas į sieną, atimant lygybę (24,7).

5. Integravimo metu įjungta D funkcijas f(x, y)ši funkcija yra integruota į mano galus | f(x, y) |, ir maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Atvežimas.

Žvaigždės už pagalbą pasienio punkte esant nervingumui (24.8)

6. de S D– regiono plotas D.Įrodymas, kurio teiginys atimamas, pakeičiant integralią sumą f(x, y)≡ 0.

7. Vis dar integruotas regione D funkcija f(x, y) patenkina nervingumą

m ≤ f(x, y) ≤ M,

tada (24.9)

Atvežimas.

Įrodymas atliekamas ribiniu perėjimu nuo akivaizdaus nelygumo

Pasekmė.

Kaip numalšinti visas nervingumo dalis (24.9) ant D, galite naudoti vadinamąją vidutinės vertės teoremą:

Zokrema, skirta nepertraukiamai veiklai f in D regione yra toks taškas ( x 0, y 0), yakіy f(x 0, y 0) = μ , tada

-

Kita vidutinės reikšmės teoremos formuluotė.

Geometrinis zmist apatinis integralas.

Pažiūrėkime į kūną V, apsuptas daliniu paviršiumi, ko klausia lygūs z = f(x, y), projekcija D tsієї paviršius vienoje plokštumoje hu lentelės formos cilindrinis paviršius, atkirstas nuo vertikalių, jungiantis taškus tarp paviršių su jų iškyšomis.

z = f(x, y)

V

y P ir D 2 pav.

Shukatimemo korpuso tūris tarp cilindrų, kurių pagrindas yra dalys Δ, tūrių sumos Si regionuose D, o pagal aukščius - vіdrіzki zavdovka f(Pi), de taškai Pi melas Δ Si. Pravažiuojama iki sienos su, otrimaemo, scho

(24.11)

kuris yra veikiamas vadinamojo cilindro integralo, apsuptas žvėries paviršiuje z = f(x, y), o žemiau – sritis D.

Pabraukimo integralo apskaičiavimas pagal jogos nuorodos kelią į antrąjį.

Perspektyvinė sritis D, ribojasi linijomis x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) ir φ 2 ( X) be pertraukos [ a, b]. Tada būk tiesus, lygiagretus koordinačių ašiai adresu ir pereiti per vidinį srities tašką D, kertantis regiono kordoną dviejuose taškuose: N 1 ta N 2 (1 pav.). Pavadinkime šią sritį teisingaįjungtas-

adresu teisinga ašis O adresu. Panašiai yra

y=φ 2 (x) yra sritis, kuri yra tiesiai tiesioje linijoje

N 2 ašys O X. Regionas, teisingas tiesiogiai -

Nії abi koordinačių ašys, mes

D tiesiog vadink teisingai. Pavyzdžiui,

Teisingas plotas parodytas 1 pav.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Nagi funkcija f(x, y) nepertraukiamai regione D. Pažiūrėk į Virazą

, (24.12)

rangas dvorazovym integralas funkcijos tipas f(x, y) pagal regioną D. Apskaičiuokime vidinį integralą (stovintį prie rankų) keisdami adresu, nepaisant X postiynim. Dėl to matome nepertraukiama funkcija peržiūrėti X:

Otrimanu funkcija yra integruota X tarp a prieš b. Dėl to mes paimame numerį

Pateikiame svarbią kiemo integralo galią.

1 teorema. Jakšo regionas D, taisykite tiesiai į priekį adresu, padalintas į dvi sritis D 1 ta D 2 tiesiai, lygiagreti ašis Pro adresu virš O ašies X, tada dvorazovo integralas virš regiono D daugiau tų pačių integralų sumų pagal regionus D 1 ta D 2:

Atvežimas.

a) Eik tiesiai į priekį x = c pertraukas D ant D 1 ta D 2, tiesiai į priekį adresu. Todi

+

+

b) Eik tiesiai į priekį y=h pertraukas D dešinėje tiesiai į priekį adresu regionuose D 1 ta D 2 (2 pav.). Žymiai per M 1 (a 1 , h) tai M 2 (b 1 , h) tiesės skersinės linijos taškai y=h nuo kordono L regionuose D.

y Regionas D 1, apsuptas nenutrūkstamų linijų

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) kreivė BET 1 M 1 M 2 At, lygus tam, ką užrašome

h M 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) adresu a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h adresu a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) tiesus x = a, x = b.

Regionas D 2 apsuptas linijų y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Vidiniam integralui galime įrodyti teoremą apie

integracijos nutraukimas:

O a a 1 b 1 b

+

Duokime dar vieną s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) adresu a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Pirmasis ir trečiasis atima integralus ir išlygina iki nulio. Otzhe,

I D = , tada.

Pagrindinė subintegralo galia

Subintegralo (to yogo visnovok) dominavimas yra analogiškas vienkartinio dainavimo integralo dominavimui.

1°. Adityvumas. Kokia funkcija f(x, y) integruotas į regioną D ir kaip sritis D pagalbos kreivė G nulinis plotas yra padalintas į dvi grandis ir neslopina aukštų vidinių regiono taškų D 1 ta D 2, tada funkcija f(x, y) integruotas į odos vietas D 1 ta D 2, be to

2°. Linijinė galia. Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, a α і β - ar tai būtų kalbos skaičiai, tada funkcija [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] taip pat yra integruotas regione D, be to

3°. Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, tada yra integruotos papildomos šių funkcijų funkcijos D.

4°. Kokios funkcijos f(x, y) tai g(x, y) puolimo integracija regione D ir visur mano galerijoje f(x, y) ≤ g(x, y), tada

5°. Kokia funkcija f(x, y) integruotas į regioną D, tos funkcijos | f(x, y)| integruotas į regioną D, be to

(Žinoma, su integracija | f(x, y)| in D nerodo integracijos f(x, y) in D.)

6°. Vidutinės vertės teorema. Kokia įžeidžianti funkcija f(x, y) tai g(x, y) integracija šioje srityje D, funkcija g(x, y) yra nematomas (ne teigiamas) visur šioje galerijoje, Mі m- tikslios viršutinės ir apatinės funkcijos ribos f(x, y) regione D, tada yra skaičius μ kad patenkina nervingumą m ≤ μ ≤ M ir kad formulė galiotų

JUDAMI INTEGRALIAI

1 paskaita

Ilgalaikiai integralai.Apatinės srovės integralo paskirtis yra galia. Pakartotinės integracijos. Žemesnių integralų saitai su pasikartojančiais. Įdėjimas tarp integracijos. Dekarto koordinačių sistemos pagrindinių integralų skaičiavimas.

Subintegralas yra gilinamas supratimas apie sing integralą atliekant skirtingas dviejų kintamųjų funkcijas. Tokiu būdu, atvirkščiai, integracija bus plokščia figūra.

Nagi D- Dejaka yra uždara, ribojama vietovė, ir f(x,y) – pakankama funkcija, tai pažymėjo ši galerija. Tarkime, kad tarp regionų D yra sumuojami iš galutinio kreivių skaičiaus, pateikto proto lygiaverčių y=f(x) arba x=g( y), de f(x) tai g(y) yra nepertraukiamos funkcijos.

Rozib'ёmo regionas D padorus rangas n dalis. plotas i-ї delyanki reiškia simboliu D s i. Ant odos dilyantsi, gana vibracija yra taškas Pi, ir išleiskite jį be-yak_y nustatydami Dekarto sistemos maє koordinates ( x i, y i). Sklademo integralioji suma už funkciją f(x,y) pagal regioną D, kurios funkcijos reikšmė yra žinoma visuose taškuose Pi, padauginus їх iš dvigubų sklypų ploto Ds i Ir mes manome, kad visi rezultatai atimami:

Nazvemo skersmuo(G) srityse G didžiausias atstumas tarp regiono ribinių taškų.

Integralinis funkcijos f(x,y) srityje D vadinama riba, kiek integralinių sumų seka (1.1) neribotai didėjant pertraukų n skaičiui (pas ką). Užsirašykite taip

Brangus, scho, vzagali atrodo, neatskiriama suma už nustatyti funkcijas ir nurodytą integracijos sritį D pasirinkite tašką Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse reiškia, kad tarp vidinių vidinių sumų negalima gulėti tarp paskirtų chinnikіv. tvarka(arba, kaip atrodo, bendroji funkcija f(x,y) yra integruota į domeną D), pakanka, kad integralioji bool funkcija nepertraukiamas užduočių galerijos integracija.

Nagi funkcija f(x,y) integruotas į regioną D. Skaldos tarp kumuliacinių sumų tokioms funkcijoms negali būti kaupiamos integravimo srities padalijimo metodu, padalijimas gali būti atliekamas vertikalių ir horizontalių linijų pagalba. Todі daugiau verslininkų regione D matinis tiesus kirpimas, tokio dorivnyu plotas D s i=D x i D y i. Todėl ploto skirtumą galima parašyti kaip ds=dxdy. Otzhe, Dekarto koordinačių sistemoje po integralais pamatę galite užsirašyti

Pagarba. Kaip ir integrando funkcija f(x,y)º1, tada integracijos regiono integralas yra:

Svarbu tai, kad pabrauktos integracijos gali būti tokios pat galios, taip pat ir atskirai integruotos. Jų poelgiai reikšmingi.

Pavaldžių integralų galia.

1 0 .Linijinė galia. Kitos integralų sumos funkcijų sumos integralas:

o dėl integralo ženklo galima kaltinti pastovųjį daugiklį:

2 0 .Papildoma galia. Kadangi integracijos sritis D yra padalinta į dvi dalis, tada subintegralas yra išsamesnis nei integracijų per odos dalį suma:

3 0 .Vidurkio teorema. Kokia funkcija f( x,y)yra tęstinis regione D, tada galerijoje yra toks taškas(x, h) , ką:

Tolesnė mityba: kaip apskaičiuojami subintegralai? Jogas gali būti maždaug virahuvati, šiuo metodu jis sulaužomas veiksmingi metodai sulankstytos kaupiamųjų sumų sumos, kurios vėliau apskaičiuojamos skaitmeniniu būdu naudojant papildomą EOM. Analitiškai apskaičiuojant subintegralus, jie redukuojami iki dviejų sing-integralų.