Nuostolingo integralo apskaičiavimo procedūra yra panaši į bendrą veikiančio integralo veikimą. її aprašyme pristatome teisingos trivialios srities supratimą:

Paskyrimas 9.1. Trivialus regionas V, apsuptas uždaro paviršiaus S, vadinamas reguliariuoju, nes:

1. būk tiesus, lygiagrečiai ašiai Oz, nubrėžtas per vidinį srities tašką, kertantis S dviejuose taškuose;
2. visa sritis V projektuojama į Oxy plokštumą taisyklingoje dviejų pasaulių srityje D;
3. ar ploto V dalis, matoma joje plokštuma, lygiagreti su tuo, ar ji yra iš koordinačių plokštumų, gali turėti 1) ir 2).

Pažiūrėkime į teisingą plotą V, apačią ir viršų apribosiu paviršiais z=χ(x,y) ir z=ψ(x,y) ir projektuosiu į Oxu y plokštumą, teisingą plotą D, vidurį kurių ribose x pasikeis iš a į b, bus apjuostas kreivėmis y=φ1(x) ir y=φ2(x) (1 pav.). Tegul f(x, y, z) yra ištisinė funkcija srityje V.

Paskyrimas 9.2. Jis vadinamas funkcijos f(x, y, z) trigubu integralu per sritį V tokia forma:

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх be patvirtinimo, smarvės skeveldros iškeliamos panašiai kaip ir kiemo integralo kritimas.

Nuostolinio integralo apskaičiavimas.

9.1 teorema. Funkcijos f(x, y, z) trigubas teisingos srities V integralas yra toks pat kaip trikartis integralas toje pačioje srityje:

. (9.3)

Atneša.

Rozіb'ёmo ploto V plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumoms, n taisyklingose ​​srityse. Todі z galia 1 šauksmas

kur yra funkcijos f(x,y,z) trikartis integralas domene .

Vikoristovuyuchi formulė (9.2), tiesioginis paritetas gali būti perrašytas iš pirmo žvilgsnio:

Funkcijos f (x, y, z) tęstinumo supratimas yra aiškus, kuris yra tarp integralinės sumos, esančios dešinėje lygybės lygties pusėje, ir lygi trečiajam integralui. Tada pereidami prie ribos, kai imame:

ką reikėjo atnešti.

Pagarba.

Panašiai kaip ir apatinės srovės integralo kritimas, galima reikšti, kad integravimo tvarkos pakeitimas nepakeičia trijų kartų integralo vertės.

užpakalis. Skaičiuojant integralą de V yra trikampė piramidė, kurios viršūnės yra taškuose (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ir (0, 0, 1). Її projekcija į Oxy plokštumą є tricutnik su viršūnėmis (0, 0), (1, 0) ir (0, 1). Iš apačios plotą riboja plotas z = 0, o iš viršaus – plotas x + y + z = 1. Pereikime prie trigubo integralo:

Dėl dvigubo integralo ženklo galima kaltinti daugiklius, kurie slypi ne kintamoje integracijoje:

Kreivinės koordinačių sistemos trivialioje erdvėje.

1. Cilindrinė koordinačių sistema.

Taško Р(ρ,φ,z) cilindrinės koordinatės – taško projekcijos Ohu plokštumoje ir duoto taško z aplikatoriaus cepolinės koordinatės ρ, φ (2 pav.).

Perėjimo iš cilindrinių koordinačių į Dekarto koordinates formules galima nustatyti taip:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sferinė koordinačių sistema.

Sferinėms koordinatėms taško vietą erdvėje rodo tiesinė koordinatė ρ – atstumas nuo taško iki Dekarto koordinačių sistemos burbuliuko (arba sferinės sistemos polių), φ – poliarinė briauna tarp teigiamų. pіvvіssyu Ox ir taško projekcija į Oxy plokštumą, o θ - kutom tarp teigiamo Ozo ir dvigubo OP (3 pav.). Su kuo

Pateikta perėjimo iš sferinių koordinačių į Dekarto koordinačių formulė:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jakobijos ir jogo geometrinis zmistas.

Pažvelkime į laukinę tendenciją pakeisti metro integralo pokyčius. Nehai ties Ohu plokščiu plotu D pateiktas, apsuptas linija L. Tarkime, kad х і у є yra vienareikšmės ir nepertraukiamai besikeičiančios naujų kintančių u ir v funkcijos:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Pažiūrėkime į stačiakampę koordinačių sistemą Ouv, tašką P(u, v), kuris rodo P(x, y) iš srities D. Visi tokie taškai sudaro sritį D šalia plokštumos Ouv, Mane supa linija L?. Galima sakyti, kad formulės (9.6) nustato vieną su vienu atitikimą tarp sričių D ir D taškų. Kurioms tiesėms u = const, kad

v = const Ouv plokštumoje bus panaši į linijas Ohu plokštumoje.

Ouv plokštumoje matome stačiakampį maidaną ΔS, ribojamą tiesiomis linijomis u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé kreivinis maidanchik ΔS prie Ohu buto (4 pav.). Maidančikų analizės sritys bus žymimos ΔS ir ΔS. Dėl ciomu ΔS = Δu Δv. Mes žinome sritį ΔS. Pažymėtina, kad kreivinės chotyrikutniko viršūnės P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Mažų zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi diferencialų keitimas. Todi

Su kuria chotirikutnik P1 P2 P3 P4 galima paimti kaip lygiagretainį ir plotą galima priskirti analitinės geometrijos formulei:

(9.7)

Paskyrimas 9.3. Variantas vadinamas funkcijų φ(x, y) ir ψ(x, y) funkciniu variantu arba Jakobiniu.

Eidami į sieną su lygybe (9.7), pašaliname geometrinį Jakobijos poslinkį:

Taigi Jakobijos modulis yra riba tarp be galo mažų kvadratų S ir S.

Pagarba. Panašiai galima priskirti Jakobijos supratimą ir geometrinę reikšmę n-pasaulio erdvei: kad x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), tada

(9.8)

Tokiu būdu Jakobijos modulis suteikia ribą tarp "obsyagiv" mažų erdvės plotų x1, x2, ..., xn ir u1, u2, ..., un.

Pakeitimų pakeitimas keliuose integraluose.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Tegu srityje D duota ištisinė funkcija z = f(x,y), ta pati funkcijos z = F(u, v) reikšmė srityje D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Pažiūrėkime į integralinę sumą

Dešinėje esanti deintegralinė suma perimama srityje D. Perėjimas prie ribos, kai atimame koordinačių transformavimo formulę braukimo integralu.

Išbandykite integralus. Kūno tūrio skaičiavimas.
Bandomasis integralas cilindrinėmis koordinatėmis

Tris dienas dekanate dangus gulėjo prie Pitagoro chalatų kelnių,
Fikhtengolto rankose yra trimavų tūris, kad baltos šviesos jogas yra gyvas,
Jie surišo trečiąjį integralą ir suvyniojo lavoną į matricą,
O maldos deputatas yra kaip nahabnikas perskaitęs Bernulio teoremą.

Prarastos integracijos yra tos, kurių nebegalite bijoti =) Nes jei perskaitysite visą tekstą, tai geriau viskam, ką padarėte neteisingai „aukštesnių“ integralų teorija ir praktika, taip pat priklausomi integralai. Ir ten, de podvіyny, netoliese ir pasiklydo:

Iš tiesų, ko čia bijoti? Integralas mažesnis, integralas didesnis.

Pažvelkime į įrašą:

- Trejybės integralo piktograma;
- Pidіntegralna trigubo keitimo funkcija;
- Dobutok diferencialai.
- Integracijos sritis.

Ypač vertas dėmesio galerijos integracija. Jaksčas pabrauktas integralas laimėjo plokščia figūra, tada čia - platus kūnas , taip, žinai viršuje. Esant tokiam rangui, nusikaltimas, kurį viscerališkai atspėjo, yra kaltas dėl orientavimosi pagrindiniai paviršiai ir nepamirškite laimėti paprasčiausių trivimir fotelių.

Dejakai buvo sumišę, išmintingi... Deja, straipsnio negalima pavadinti „naudingais manekenų integralais“, o kai ką žinoti / atsiminti būtina. Ale, nieko baisaus - visa publikacijų medžiaga ribine prieinama forma bus įsisavinta per trumpiausią laiką!

Ką reiškia apskaičiuoti prarastąjį integralą ir ko tam reikėjo?

Apskaičiuokite prarastą integralą – tse reiškia pažįstu KILO:

Paprasčiausiu būdu, jei trečiasis integralas skaitiniu požiūriu yra labiau pažengęs kūno atžvilgiu. І deisno, vіdpovidno į integracija, tvir one be galo mažas elementarios kūno „ceglinkos“ apimtis. Ir trečiasis integralas yra vieningi visi qi be galo mažos dalelės pagal regioną, po kurio išeina integrali (bendra) kūno tūrio vertė: .

Be to, svarbus ir trečiasis integralas fizines programas. Ale apie tse pіznіshe - 2-oje pamokos dalyje atsidavimas integralų papildomų nuostolių skaičiavimas, kuriai kintamojo funkcija yra pastovi kaip konstanta ir yra nenutrūkstama sferoje. Šiame straipsnyje išsamiai matome prievolės reikšmę, nes mano subjektyvus vertinimas pastebimas 6-7 kartus dažniau.

Kaip išspręsti prarastą integralą?

Vіdpovіd yra logiškai viplivає iš ankstesnio punkto. Būtina paskirti kūno apėjimo tvarka aš einu į kartojame integralus. Po to iš eilės išspręskite trimis pavieniais integralais.

Jakų bachite, visa virtuvė vis labiau nagaduє pagrindiniai integralai, Iš tієyu vіdminnіstyu, scho tuo pačiu metu mums buvo suteiktas dodatkova rozmіrnіst (apytiksliai atrodo, aukštis). Aš, pavieniui, daugelis iš jūsų jau atspėjote, kaip pažeidžiamas integralų praradimas.

Apibendrinkime, ką praradome:

užpakalis 1

Būkite malonūs, perrašykite antspaudu ant popieriaus:

І patarti dėl kito valgio. Chi žinote Jūs, kokie paviršiai yra lygūs qi? Chi zrozumіly jūs neoficialus zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, jako і paviršiaus raztashovanі erdvėje?

Kai tik shilyatsya į vulgarų vіdpovіdі "daugiau nі, nizh taip", tada obov'yazkovo opratsyut pamoka, kitaip jūs nenueisite toliau!

Sprendimas: vikoristo formulė

Kad schob z'yasuwati kūno apėjimo tvarka aš einu į kartojame integralus reikia (viskas genialiai paprasta) suprasti kas tai buvo. O sodriose vipadkose puiku ant tokios rožės pastatyti fotelius.

Už proto kūną supa kilkom paviršiai. Kodėl pradėti prašmatniai? Aš ištariu kitą užsakymą pasidaryk pats:

Ant burbuolės galima įsivaizduoti lygiagretus stačiakampis kūno projekcija į koordinačių plokštumą. Pirmą kartą pasakiau, koks projekcijos pavadinimas, lol =)

Jei projektavimas turi būti atliktas dideliu mastu, tada Persh paviršiai, jakі lygiagreti tsієї ašiai. Spėju, kokie tokie paviršiai nekeršyk už raides "ze". Išnagrinėtas vadovas turi tris:

- Rivnyannya nustato koordinačių sritį, kaip pereiti per visumą;
- Rivnyannya nustato koordinačių sritį, kaip pereiti per visumą;
- lygiavertė užduotis butas "plokščias" tiesus lygiagrečiai ašiai.

Shvidshe už viską, šukanos projekcija ateina trikutnik:

Galbūt ne visi turėjo likutinį supratimą, kur eiti. Parodykite, kad viskas išeina iš monitoriaus ekrano ir patenka tiesiai į jūsų perkėlimą ( tobto. išeik, stebiesi trečiąja pasaulio žvėries kėde). Doslidzhuvaniniai kūno plotai randami neodingame trikampio „koridoriuje“, o jo projekcija į naimovіrnіshe є užtemdytą tricutnik sritį.

Ypatingą pagarbą vertinu tam, ką praleidome daugiau pasiteisinimo dėl projekcijos ir įspėjimai „neishvidshe“, „nayimovirnishe“ buvo vipadkovy. Dešinėje tuo, kad dar ne visi paviršiai išanalizuoti, o gali būti taip, kad net iš jų „atrastų“ dalis tricutniko. Kaip grunto užpakalį klausiate sfera orientuota į koordinačių burbulą, kurio spindulys mažesnis nei vienas, pavyzdžiui, sfera – її projekcija plokštumoje (stulpelis ) Nekartosiu "nakry" užtemdyto ploto, o kūno projekcija bus vadinama ne trikotažu (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Iš kitos scenos pusės tai z’yasovuєmo, chim kūną supa žvėris, žemiau iš apačios ir vikonuemo fotelio platybės. Atsigręžiame į protą ir stebimės paviršiumi, tarsi paviršiaus nebeliktų. Niveliavimas nustato pačią koordinačių plokštumą, o niveliavimas - parabolinis cilindras, pakartotinai ragauti aukščiau plokščias ir pereiti per visumą. Šiame range kūno projekcija yra diisno є trikutnik.

Prieš kalbą čia pasirodė antžeminis Pagalvokite - naujoje lemputėje nederėtų įtraukti lygių plokštumų, paviršiaus skeveldrų, išsikišančių abscisės ašį, ir taip korpusas užsidaro. Tai reiškia, kad šią akimirką nebūtume galėję sukurti projekcijos – trikutnikas „nusitraukė“ tik atlikus išlyginimo analizę.

Tiksliai pavaizduotas parabolinio cilindro fragmentas:

Po vikonannya fotelio z apeinant kūną jokių problemų!

Pakaušyje svarbu, kokia projekcija pereinama (geriausios rankos pagalba vadovaukitės dviejų pasaulių foteliais). Tse drovus VISIŠKAI TAIP, jak i in apatiniai integralai! Spėliojimas lazerinis žymeklis kad lygaus ploto nuskaitymas. Pasirinkite „tradicinį“ 1-ąjį apėjimo būdą:

Dali paima į rankas žavų žiebtuvėlį, stebisi fotelio smulkmena ir griežtai žemyn apšviesti pacientą. Keičiasi, kad į kūną patektų per paviršių ir iš jo išeitų per paviršių. Šia tvarka kūno apėjimo tvarka:

Pereikime prie kartotinių integracijų:

1) Pradėkite nuo integralo "Z". Vikoristovuemo Niutono-Leibnizo formulė:

Įsivaizduokite „žaidimo“ integralo rezultatą:

Kas nutiko? Tiesą sakant, sprendimas buvo sumažintas iki subintegralo, o pats - iki formulės. cilindrinės sijos tūris! Daugiau žinote:

2)

Gerbkite racionalią 3 integralo sprendimo techniką.

Vidpovidas:

Skaičiavimą galima užrašyti ir „vienoje eilutėje“:


Bet tokiu būdu būkite atsargūs – jei laimėsite swidkost, grėsite kažkuo kitu, o jei turite svarbų užpakaliuką, yra daugiau šansų atleisti.

Pastaba apie svarbią mitybą:

Kodėl reikia dirbti fotelį, kad proto galva nereikalauja jų vikonanijos?

Chotirma galite gerti su takais:

1) Nubraižykite to paties kūno projekciją. Geriausias variantas – galima vikonuoti du neblogus fotelius, nedejuoti, neapiplėšti įsižeidusių fotelių. Rekomenduoju mus į priekį.

2) Nupieškite daugiau kūno. Tinka, jei kūnas nerangus, ta akivaizdi projekcija. Taigi, pavyzdžiui, prie pasirinkto užpakalio įstrigo trijų eilių fotelis. Tačiau čia yra minusas - pagal 3D paveikslą nėra paranku nustatyti projekcijos apėjimo eiliškumą, ir taip džiaugiuosi tik gero išsilavinimo žmonėmis.

3) Rodyti daugiau projekcijos. Tezh neblogai, bet apie obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentarus, nizh zamezhena region from raznih storіn. Deja, trečiasis variantas dažnai glumina – jei jau per vėlu, jis per didelis susitvarkyti su kitais sunkumais. І takі taikyti mi taip razglyademom.

4) Važiuokite be fotelio. Kiekvienam žmogui būtina pateikti minties turinį ir raštu pakomentuoti formą/formą. Verta rinktis pačius paprasčiausius iki chi zavdan, de vikonannya ir fotelis yra svarbus. Bet vis tiek geriau, jei norite naudoti eskizinius mažylius, „tikslo“ sprendimo šukes galima atmesti.

Ateikite nepriklausomos pagalbos įstaigai:

užpakalis 2

Nuostolių integralo pagalba apskaičiuokite kūno, apsupto paviršiais, tūrį

At šiam konkrečiam tipui integracijos sritis svarbiau suteikia nelygumai, o kaina trumpesnė - be jokių nelygumų nustato 1-ąjį oktantą, įskaitant koordinačių plokštumas, ir nelygumus - napіvspіr, kaip atkeršyti už koordinačių burbuolę (atvirkščiai)+ pati sritis. „Vertikalią“ plokštumą išskleidžia paraboloidinė parabolė, o ant fotelio bazhano reikia paskatinti kiaulpienes. Kam būtina žinoti papildomą atskaitos tašką, paprasčiau tariant, parabolės viršūnę. (Mes matome prasmę ir rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Supraskime toliau:

užpakalis 3

Nuostolių integralo pagalba apskaičiuokite kūno, apsupto tam tikrais paviršiais, tūrį. Vikonati fotelis.

Sprendimas: formule "fotelio viconati" suteikia mums deka laisve, ale, geriau viskam, perkeliant erdvaus fotelio vikonanny. Tačiau projekcijos taip pat negalima suvynioti, čia tai padaryti nėra lengviausia.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї ankstesnė taktika paviršiai, tarsi lygiagreti aplikacijos ašiai. Tokių paviršių išlyginimas neturėtų būti atkeršytas aiškiai pakeičiant „Z“:

- Rivnyannya nustato koordinačių plokštumą, kad ji eitų per visą ( jakas ant buto priskiriamas „tam pačiam pavadinimui“ lygus);
- lygiavertė užduotis butas, pereiti per „tą pačią eilutę“ "plokščias" tiesus lygiagrečiai ašiai.

Kūną, kuris juokauja, supa plokščias dugnas ir parabolinis cilindrasžvėris:

Sudarykime kūno apėjimo procedūrą, pagal kurią „iksovі“ ir „igrokovі“ tarp integracijos, manau, geriau dainuoti už dviejų pasaulių fotelių:

Šiuo būdu:

1)

Integruojant už "iplayer" - "ix" laikomas konstanta, tada konstanta turėtų būti kaltinama integralo ženklu.

3)

Vidpovidas:

Taigi, nepamirštant šiek tiek, zdebіlshogo otmany rezultatas mažai (ir navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym foteliai, oskolki z puikus ymovіrnіstyu vinikne iliuzija įpareigoja, Apie Yaku I rozpov_shche pamokoje Tūrinis kūno įvyniojimas. Taigi, įvertinus apžiūrėtojo lyderio kūną, man ypač pasisekė, kad naujajame yra daugiau nei 4 „kubeliai“.

Įžeidžiantis užpakalis nepriklausomam regėjimui:

užpakalis 4

Nuostolių integralo pagalba apskaičiuokite kūno, apsupto tam tikrais paviršiais, tūrį. Šio kūno fotelio darbas ir jo projekcija plokštumoje.

Zrazokas sukurtas kaip pamokos užduotis.

Neretai pasitaiko, kad trivimir kėdės vikonny yra sunkesnis:

užpakalis 5

Dėl nuostolingojo integralo žinoti kūno tūrį, kurį suteikia jį supantys paviršiai.

Sprendimas: projekcija čia gremėzdiška, bet per aplinkkelio tvarką reikia pagalvoti Kaip pasirinkti 1-ąjį būdą, tada figūrą teks padalyti į 2 dalis, kas neišvengiamai kels grėsmę sumi skaičiavimui du Trejybės integralai. Žmogui, turinčiam turtingesnę perspektyvą, yra kitas kelias. Tai galima pamatyti ir vizualizuoti šio kūno projekciją ant fotelio:

Dar kartą paklausiu tokių paveikslėlių tikslumo, aš jas siunčiu tiesiai iš savo rankraščių.

Mes pasirenkame perspektyvesnę figūros apėjimo tvarką:

Dabar į dešinę už kūno. Iš apačios jį supa lygus plotas, nuo žvėries – lygus plotas, kad eitų per visą ordinatą. Ir viskas būtų nieko, bet likęs butas yra per status ir nėra taip lengva apeiti teritoriją. Pasirinkimas čia nepavydėtinas: arba papuošalų robotas nedidelio mastelio (nes buvo plonas, kad būtų plonas), arba fotelis apie 20 centimetrų aukščio (tas ir tie, kurie telpa).

Ale ir trečias, ramiai rusiškas problemos sprendimo būdas yra balas =) ir butas į šoną, butas į dugną ir butas į žvėrį.

Akivaizdu, kad „vertikali“ integracija yra tokia:

Apskaičiuokime kūno tūrį, nepamiršdami, kad projekciją apėjome mažesniu išplėstiniu būdu:

1)

Vidpovidas:

Kaip jūs prisimenate, siūlymas į zavdannya kūno nėra brangus už šimtą dolerių, dažnai apsuptas buto žemiau. Bet tai nėra taisyklė, todėl jūs turite būti pasiruošę - galite praleisti dieną, de tilo roztashovani pid butas. Taigi, pavyzdžiui, jei pažvelgsite į butą pasirinktame zamіst, tada kūnas bus simetriškai pavaizduotas apatinėje erdvėje ir iš apačios bus apsuptas butu, o žvėriui - butas!

Nesunku perjungti, kad pamatytumėte tą patį rezultatą:

(Atminkite, kad reikia apeiti griežtai žemyn!)

Be to, „įsimylėjęs“ butą gali pasirodyti priekyje ne dešinėje, paprasčiausias užpakalis: maišas, užkištas daugiau nei butas – skaičiuojant jogos prievolę, nereikia žiūrėti į priekį.

Mes matome visus šiuos vaizdus, ​​tačiau kol kas savarankiškos vizijos uždavinys yra panašus:

užpakalis 6

Dėl nuostolingo integralo pagalbos žinoti apie kūną, apsuptą paviršiais

Trumpai tariant, sprendimas yra iliustruoti pamoką.

Pereikime prie kitos pastraipos su ne mažiau populiariomis medžiagomis:

Bandomasis integralas cilindrinėmis koordinatėmis

Cilindrinės koordinatės – ce, tiesą sakant, poliarines koordinates kosmose.
Cilindrinėje koordinačių sistemoje taško vietą erdvėje lemia poliarinės taško koordinatės – taško projekcija į plokštumą ir paties taško aplikacija.

Perėjimas iš trivimerinės Dekarto sistemos į cilindrinę koordinačių sistemą atliekamas pagal šias formules:

Šimtas penkiasdešimt mūsų transformacijų atrodo taip:

Aš, matyt, paprastu būdu, kuris lengvai matomas šiame straipsnyje:

Golovne, nepamirškite apie papildomą daugiklį „er“ ir teisingai sutvarkykite poliškumas tarp integracijos apeinant projekciją:

užpakalis 7

Sprendimas: dotrimuєmosya tos pačios eilės pasidaryk pats: žiūrime į priekį lygiems, kai kuriomis dienomis „Z“ pasikeičia Čia yra tik vienas. projekcija cilindrinis paviršius srityje є "to paties pavadinimo" colo .

Kvadratai supa shukane kūną iš apačios ir žvėrį („pakabinkite“ jogą nuo cilindro) ir yra suprojektuoti kolo:

Ant juodo trivimir fotelio. Pagrindinis sunkumas slypi paviršiaus plote, tarsi cilindras būtų susuktas po „pasvirusiu“ gaubtu, po kurio reikia eiti elipsės. Paaiškinkime šį perrašymą analitiškai: tam perrašome funkcinio vaizdo plokštumą ir apskaičiuojame funkcijos reikšmę („aukštis“) taškuose, kurių klausiame, tarsi gulėtume tarpprojekcijoje:

Atrodo, kad žinote taškus ant fotelio ir atidžiai (ir ne taip, kaip aš =)) zadnuєmo їх eilutė:

Kūno projekcija į plokštumą yra ilgis, o perėjimo į cilindrinę koordinačių sistemą greičio argumento ilgis:

Mes žinome paviršiaus išlyginimą cilindrinėmis koordinatėmis:

Dabar atlikite kūno apėjimo procedūrą.

Pažvelkime į pakaušį iš projekcijos. Kaip nustatyti apėjimo tvarką? Lygiai taip dalinių integralų poliarinėse koordinatėse skaičiavimas. Čia vynas yra elementarus:

„Vertikali“ interintegracija taip pat akivaizdi – ji į kūną patenka per plokštumą ir išeina per plokštumą:

Pereikime prie kartotinių integracijų:

Kuriam daugikliui „er“ iš karto įtraukiamas „savo“ integralas.

Vinik jak zavzhd lengviau prasibrauti pro šakeles:

1)

Imame įžeidžiančio integralo rezultatą:

Ir čia nepamirštama, kad fi svarbus kaip konstanta. Ale tse iki dainavimo valandos:

Vidpovidas:

Panaši užduotis savarankiškam regėjimui:

užpakalis 8

Nuostolių integralo pagalba apskaičiuokite paviršiais apsupto kūno tūrį. Šio kūno fotelis Vikonati ir jo projekcija aikštėje.

Zrazok puikus dizainas kaip pamoka.

Be abejo, to paties žodžio uždaviniuose nekalbama apie perėjimą prie cilindrinės koordinačių sistemos, ir nebus žinoma, kad žmogus kovotų su svarbiais Dekarto koordinačių integralais. ... O gal to nebus – net jei tai būtų trečias, ramiai rusiškas problemų sprendimo būdas.

Viskas tik prasideda! ...gerąja prasme :) =)

užpakalis 9

Dėl nuostolingo integralo pagalbos žinoti apie kūną, apsuptą paviršiais

Kukliai ir su pasimėgavimu.

Sprendimas: visas baigtinis paviršiusі elipsinis paraboloidas. Skaitytojai, pagarbiai susipažinę su straipsnio medžiaga Pagrindiniai erdvės paviršiai, jau pristatytas, lyg žvelgiant į kūną, tačiau praktikoje sulankstyti vipadai dažnai įstringa, todėl ves reportažą apie analitinį pasaulį.

Žinome nugarėlės linijas, kuriomis tonuojami paviršiai. Mes kuriame ir kuriame šią sistemą:

Iš 1 lygaus galime matyti vienas kitą terminais:

Dėl to pašalinamos dvi šaknys:

Įsivaizduokite, kad žinote, ar sistema yra lygi:
žvaigždės rėkia
Otzhe, šaknis vіdpovіdaє vienas taškas - koordinačių burbuolė. Natūralu – net viršūnių viršūnės užbėga į viršų.

Dabar įsivaizduokime kitą šaknį – tą patį, ar sistema lygi:

Koks yra rezultato geometrinis pakaitalas? „Aukštumose“ (prie plokštumos) paraboloidas ir kūgis yra tamsinti išilgai kolos- vienas spindulys, nukreiptas taške.

Kai paraboloido „puodelyje“ yra kūgio „piltuvas“, nuraminti galutinį paviršių reikia perbraukti punktyrine linija (už vynmedžio yra tolimas mūsų vaizdas, žiūrint iš šio kampo):

Kūno projekcija plokštumoje colo su centru ant 1 spindulio koordinačių burbulo, kurio aš nedrįsau pavaizduoti per šio fakto akivaizdumą (protektorius komentaras robimo!). Prieš kalbą, prie dviejų priekinių kėdžių ant kėdės, projekcijos galėjo būti sumuštos, o ne tai.

Pereinant prie cilindrinių koordinačių, standartines formules galima parašyti paprasčiausiai ir siekiant apeiti kasdienių problemų projekciją:

Mes žinome cilindrinės koordinačių sistemos paviršiaus išlyginimą:

Kadangi problema žiūri į viršutinę kūgio dalį, tai galima pamatyti:

„Scanuemo body“ iš apačios į kalną. Pakeiskite šviesą, kad įeitumėte prieš naują elipsinis paraboloidas ir išeiti per galinį paviršių. Šia tvarka „vertikali“ kūno apėjimo tvarka:

Antra teisinga technika:

Vidpovidas:

Neretai, kai kūno prašoma neapjuosti paviršiais, bet be jokių nelygumų:

užpakalis 10

Geometrinis zmist pažeidimų platumas, esą paaiškinau iš to paties įrodančio straipsnio. Pagrindiniai erdvės paviršiai.

Tse zavdannya nori ir atsaugokite parametrą, tačiau leiskite tiksliai pasirinkti fotelį, kuris įkvepia svarbią kūno išvaizdą. Galvok kaip vikonati pobudova. Trumpai tariant, išeitis yra tai įrodyti – kaip pamoka.

... na ką, tai šprotas? Galvoju apie pamokos pabaigą, bet tada spėju, ko tu nori daugiau =)

užpakalis 11

Dėl nuostolingo integralo apskaičiuokite nurodyto kūno tūrį:
, De – Teigiamas skaičius.

Sprendimas: nelygumai nustatykite stulpelį su centru ant koordinačių burbuliuko į spindulį ir nelygumus - Apvalaus cilindro "vidinis" su visa spindulio simetrija. Šia tvarka kūną tarsi šnabždėdamas supa apskritas cilindras iš šono ir sferiniai segmentai, simetriški paviršiui viršuje ir apačioje.

Paimdami pagrindinį pasaulio vienetą, paimame fotelį:

Tiksliau, joga turėtų būti vadinama mažu kūdikiu, proporcijos skeveldros išilgai ašies man nebus geriau. Prote, dėl teisybės, proto, nieko kelti nereikėjo, o tokios iliustracijos pasirodė visai pakankamai.

Norėdami parodyti pagarbą, kad čia ne obov'yazkovo z'yasovuvati aukštis, ant tokio cilindro, kabančio nuo "skrybėlės" galo - tiesiog paimkite kompasą į rankas ir pažymėkite stulpelį su centru ant koordinačių burbulo. 2 cm spinduliu, tada skersinio taškai su cilindru atsiras savaime .

1. Cilindrinės koordinatės yra poliarinių koordinačių rinkinys xy plokštumoje ir iš reikšmingojo Dekarto aplikatoriaus z (3 pav.).

Tegu M(x, y, z) yra pakankamas taškas erdvėje xyz, P yra taško M projekcija į plokštumą xy. Tašką M vienareikšmiškai priskiria skaičių trejybė – taško P poliarinės koordinatės, z – taško M taikymas. Formulės, kurios jas vadina Dekarto, gali atrodyti

Jakobinė fermentacija (8)

užpakalis 2.

Apskaičiuokite integralą

de T – paviršių apsuptas plotas

Sprendimas. Integralą pereiname į sferines koordinates naudodami formules (9). Tą pačią integracijos sritį galima nustatyti su nelygumais

Ir tai reiškia

užpakalis 3Žinokite kūno tūrį, kutais:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - rutulys, kurio spindulys R \u003d v8, kurio centras yra taške O (000),

Viršutinė kūgio dalis z2 = x2 + y2 su visa Ozo simetrija ir viršūne taške O (2.20 pav.).

Mes žinome kūgio sferos skersinio liniją:

І šukės protui z? 0, tada

Apskritimas R=2, esantis netoli plokštumos z=2.

Teisingai (2,28)

de sritis u ribojasi su žvėrimi

(sferos dalis),

(Kūgio dalis);

plotas U projektuojamas Ohu srities D srityje – 2 spinduliu.

Be to, norint integralu laipsniškai perduoti į cilindrines koordinates, pergalės formulės (2.36):

Tarp pakeitimų r yra reikšmingas pagal atstumą D v už stulpelio R=2 su centru taške O, tuo pačiu ženklu: 0?c?2p, 0?r?2. Tokiu būdu sritis U cilindrinėse koordinatėse yra pažymėta progresuojančiais nelygumais:

Mes tai gerbiame

Zavantage iš Depositfiles

Potencialus integralas.

Kontroliuokite maistą.

Nuoseklus integralas, jėgos joga.

Trečiojo integralo pakeitimų pakeitimas. Nuostolinio integralo cilindrinėmis koordinatėmis apskaičiavimas.

Nuostolinio integralo sferinėmis koordinatėmis apskaičiavimas.

Nagi funkcija u= f(x,y,z) priskirtas uždarai zonai V erdvė R 3 . Rozib'ёmo regionas V padorus rangas n elementarios uždaros zonos V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n aišku. Gerokai d- didžiausias iš regionų skersmenų V 1 , … ,V n. Odos srityje V k pasirinkti gerą tašką P k (x k ,y k ,z k) ir sandėliavimas integrali suma funkcijas f(x, y,z)

S =

Paskyrimas.Bandomasis integralas funkcijos tipas f(x, y,z) pagal regioną V vadinama tarpintegrine suma
yakscho vin isnuє.

tokiu būdu,

(1)

Pagarba. Integrali suma S indėlis, trukdantis suskaidyti regioną V pasirinkite tašką P k (k=1, …, n). Tačiau jei yra riba, tai netrukdys suskaidyti regioną V pasirinkite tašką P k. Jei palyginsite subvarianto ir prieauginių integralų žymėjimą, juose lengva naudoti tą pačią analogiją.

Pakankamas nuostolingo integralo argumentavimas. Bandomasis integralas (13) naudojamas kaip funkcija f(x, y,z) yra įdėtas V aš esu nepertraukiamas V, už karūnos galutinio skaičiaus gumbuotų-lygių paviršių, pūvančių ties V.

Potry integralo galios aktai.

1) Jakšo W- Taigi skaitinė konstanta

3) Adityvumas pagal regionus. Jakšo regionas V padalintas į regionus V 1 і V 2, tada

4) Priglundantis kūnui V dorivnyuє

(2 )

Nuostolinio integralo Dekarto koordinatėmis apskaičiavimas.

Nagi D kūno projekcija V ant buto xOy, paviršius z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) apsupa kūną Vžemiau to žvėries aišku. Tse reiškia ką

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Toks kūnas vadinamas z- Cilindrinis. Bandomasis integralas (1) z- cilindrinis korpusas V apskaičiuojamas perėjus prie kartotinio integralo, kuris pridedamas iš integralo šarnyrinio tipo:

(3 )

Šiame kartotiniame stuburo integrale apskaičiuojamas vidinis pokyčio integralas z, kuriame x, y vvazhayutsya neišvengiamas. Suskaičiuokime apatinis integralas pasirinktos funkcijos vaizdas pagal regioną D.

Yakscho V x- cilindro formos arba y- cilindrinis korpusas, tada pataisykite pagal formulę

Dėl pirmosios formulės D  kūno projekcija Vį koordinačių plokštumą yOz, o kitoje – lėktuve xOz

taikyti. 1) Apskaičiuokite bendrą kūną V, apsuptas paviršių z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Sprendimas. Apskaičiuokime nuostolių integralo pagalbą už formulės (2)

Pereikime prie kartotinio integralo po formulės (3).

Nagi D- Colo x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Todi pagal (3) formulę imama

Norėdami apskaičiuoti šį integralą, pereiname prie polinių koordinačių. Kai timu kolo D virsti beveidžiu

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V apsuptas paviršių z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Apskaičiuokite

Kvadratai z=y , z=-y apjuosti kūną iš apačios ir žvėriui, plokščia x= 0 , x= 2 apjuosia kūną nugaroje ir priekyje bei plokščią y= 1 dešinė ranka V-z- cilindrinis korpusas, jogos projekcija D ant buto sveikasє stačiakampis OABC. Padėkime φ 1 (x , y ) = -y

Vertikalaus integralo pertvarkymas stačiakampių koordinačių pavidalu į poliarines koordinates
, sujungtos stačiosiomis koordinatėmis
,
, vadovaukitės formule

Kokia yra integracijos sritis
apsuptas dviejų mainų
,
(
), kurie išeina iš polių, tie du yra kreivai
і
, tada pagrindinis integralas apskaičiuojamas naudojant formulę

.

užpakalis 1.3. Apskaičiuokite figūros plotą, apsuptą šiomis linijomis:
,
,
,
.

Sprendimas. Norėdami apskaičiuoti regiono plotą
pagreitinta pagal formulę:
.

Įsivaizduojama sritis (1.5 pav.). Kam konvertuojame kreives: , , , . Pereikime prie polinių koordinačių: , . . Poliarinėje koordinačių sistemoje plotas apibūdinti lygūs:

.

1.2. Potencialūs integralai

Trečiųjų integralų pagrindinės galios yra analogiškos žemesniųjų integralų laipsniams.

Dekarto koordinatėse trečiasis integralas turėtų būti parašytas taip:

.

Yakscho
, tada trečiasis integralas virš srities skaičiais didesnis kūno tūris :

.

Nuostolinio integralo apskaičiavimas

Tegul integracijos sritis jį iš apačios ir iki žvėries supa aiškiai nedviprasmiški nenutrūkstami paviršiai
,
, be to, ploto projekcija į koordinačių plokštumą
є plokščias plotas
(1.6 pav.).

Tas pats su fiksuotomis vertėmis galiojančias paraiškas ploto taškas pasikeisti prie sienų. Todi otrimuemo: . Kas, be to, projekcija reiškia nelygumus , , de - vienareikšmiškai nepertraukiamas funkcijas ant , tada

.

užpakalis 1.4. Apskaičiuoti
, de - tvirtas, apsuptas butų:

	, , , ( , , ). Sprendimas. Integravimo sritis yra piramidė (1.7 pav.). Ploto projekcija є trikutnik , tiesiomis linijomis , , (1.8 pav.). At Aplikacijos taškas patenkinti nervingumą prie to .
	„Tricoutnik“ integracijos organizavimas , paimtas

Bandomasis integralas cilindrinėmis koordinatėmis

Perjungiant į Dekarto koordinates
į cilindrines koordinates
(1.9 pav.), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, be to

	, ,, trečiasis integralas paverčiamas į: užpakalis 1.5. Apskaičiuokite kūno, apsupto paviršiais, tūrį: , , . Sprendimas. Kūno apimtys, apie ką juokauti dorivnyuє .
	Integravimo sritys yra cilindro dalis, apsupta plokščiu dugnu. , bet žvėris plokščias (1.10 pav.). Ploto projekcija ir kolo sutelktas į koordinačių burbulą ir su vienu spinduliu. Pereikime prie cilindrinių koordinačių. , , . At Aplikacijos taškas , numalšina nervingumą arba cilindrinėmis koordinatėmis:

Regionas
, apsuptas kreivės
, laukiu, kitaip
prie tsimu polar kut
. Tegu rezultatai

.

2. Lauko teorijos elementai

Iš anksto atspėkime, kaip apskaičiuoti kreivinius ir paviršinius integralus.

Kreivinio integralo per kreivėms priskirtų funkcijų koordinates apskaičiavimas , bus sumažintas iki pirmojo formos integralo skaičiavimo

kaip kreivai pateikta parametriškai
rodantis kreivės burbulą , a
- Її galutiniai taškai.

Paviršiaus integralo kaip funkcijos apskaičiavimas
, pažymėtas ant dvipusio paviršiaus , pridėkite iki neįvertinto integralo apskaičiavimo, pavyzdžiui, protas

,

kaip paviršius , priskiriamas lygiems
, unikaliai suprojektuotas ant plokštumos
į regioną
. Čia - iškirpti tarp vieno normalaus vektoriaus į paviršių ir viskas
:

.

Vartojami galvos pusės paviršiaus protai nustatomas pasirinkus (2.3) formulės ženklą.

Paskyrimas 2.1. vektorinis laukas
vadinama taško vektorine funkcija
iš karto iš priskirtos srities її:

vektorinis laukas
pasižymi skalialine verte – skirtumai:

Paskyrimas 2.2. srautas vektorinis laukas
per paviršių vadinamas paviršiaus integralu:

,

de - vienas normalus vektorius į pasirinktą paviršiaus pusę , a
- skaliarinis doboot vektorius_v і .

Paskyrimas 2.3. tiražu vektorinis laukas

įjungta uždara kreivė vadinamas kreiviniu integralu

,

de
.

Ostrogradskio-Gausso formulė nustatyti ryšį tarp vektorinio lauko srauto per uždarą paviršių ir lauko skirtumai:

de - Viršuje, apsupta uždara kilpa , a - Vienas normalus vektorius į paviršių. Tiesiogiai normalu, gali būti naudos iš tiesioginio kontūro apėjimo .

užpakalis 2.1. Apskaičiuokite paviršiaus integralą

,

de - Zovnishnya kūgio dalis
(
), kurį mato lėktuvas
(2.1 pav.).

Sprendimas. viršuje unikaliai suprojektuotas rajone
butai
, o integralas apskaičiuojamas pagal (2.2) formulę.

Vienas normalus vektorius į paviršių mes žinome iš (2.3) formulės: . Čia normaliam pasirenkamas pliuso ženklas, nupjaunamos skeveldros oro vidurys kad normalu - Kvailas aš, otzhe, gali būti neigiamas. Vrakhovuyuchi šo , ant paviršiaus priimtina

Regionas
ir kolo
. Todėl likusiame integrale pereiname prie polinių koordinačių, kurioms
,
:

užpakalis 2.2. Raskite vektorinio lauko divergenciją ir kreivumą
.

Sprendimas. Formulei (2.4) imame

Vektorinio lauko rotorius žinomas iš (2.5) formulės.

užpakalis 2.3.Žinokite vektorinio lauko reikšmę
per dalį teritorijos :
, roztashovanu pirmoje oktantі
).

	Sprendimas.(2.6) formulės jėga . Atstovaujame daliai rajono : , raztashovanu pirmoje oktante. Gali atrodyti, kad nurodytos zonos lygiavimas vėjo užtvarose yra (2.3 pav.). Normalusis plokštumos vektorius gali koordinuoti: , vienas normalusis vektorius
	. . , , žvaigždės , otzhe,

de
- ploto projekcija ant
(2.4 pav.).

2.4 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko srautą per uždarą paviršių , gyveno butas
ta kūgio dalis
(
) (2.2 pav.).

Sprendimas. Paspartintas pagal Ostrogradskio-Gausso formulę (2.8)

.

Žinome vektorinio lauko divergenciją formulė (2.4):

de
- obsyag kūgis, yakim atliko іtegruvannya. Paspartinkite naudodami namų formulę kūgio tūriui apskaičiuoti
(- kūgio pagrindo spindulys, - Jogo ūgis). Dėl mūsų proto, mes galime priimti
. Likutis

.

užpakalis 2.5. Apskaičiuokite vektorinio lauko cirkuliaciją
palei kontūrą , iš viršaus padengtas peratinu
і
(
). Patikrinkite rezultatą naudodami Stokso formulę.

Sprendimas. Peretina zaznachenih paviršius є colo
,
(2.1 pav.). Tiesiai apeinant vibracinį, garsinį schobą jo apsuptyje, teritorija liko su blogiu. Užrašykime parametrinį kontūro išlygiavimą :

žvaigždės

be to, parametras pasikeisti prieš
. Už formulės (2.7) iš (2.1) ir (2.10) lygčių paimame

.

Dabar nurodykime Stokso formulę (2.9). Jako paviršius , ištemptas ant kontūro , galite užimti dalį ploto
. Tiesiogiai normalus
į tsієї naršyti zgodzhuєtsya z tiesioginės grandinės aplinkkelį . 2.2 taikymo vektoriaus skaičiavimo lauko rotorius:
. Taigi shukana cirkuliacija

de
- regiono plotas
.
- šalia spindulio
, žvaigždės