Дії над матрицями та їх визначниками. Основні операції над матрицями (складання, множення, транспонування) та його властивості. Операція множення матриць

Матриці. Події над матрицями. Властивості операцій над матрицями. Види матриць.

Матриці (і відповідно математичний розділ – матрична алгебра)мають важливе значення в прикладній математиці, тому що дозволяють записати в досить простій формі значну частину математичних моделейоб'єктів та процесів. Термін "матриця" з'явився 1850 року. Вперше згадувалися матриці ще древньому Китаї, пізніше в арабських математиків.

Матрицею A=A mnпорядку m*n називається прямокутна таблиця чисел, що містить m - рядків та n - стовпців.

Елементи матриці a ij ,у яких i=j називаються діагональними і утворюють головну діагональ.

Для квадратної матриці (m=n) головну діагональ утворюють елементи a 11 , a 22 ,..., a nn .

Рівність матриць.

A=Bякщо порядки матриць Aі Bоднакові та a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Події над матрицями.

1. Додавання матриць - поелементна операція

2. Віднімання матриць - поелементна операція

3. Добуток матриці на число - поелементна операція

4. Множення A*Bматриць за правилом рядок на стовпець(число стовпців матриці А має дорівнювати числу рядків матриці B)

A mk * B kn = C mnпричому кожен елемент з ijматриці C mnдорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А відповідні елементи j-го стовпця матриці B , тобто.

Покажемо операцію множення матриць на прикладі

5. Зведення у ступінь

m>1 ціле додатне число. А – квадратна матриця (m=n) тобто. актуально лише для квадратних матриць

6. Транспонування матриці А. Транспоновану матрицю позначають A T або A

Рядки та стовпці помінялися місцями

приклад

Властивості операцій над матрицями

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Види матриць

1. Прямокутні: mі n- довільні позитивні цілі числа

2. Квадратні: m=n

3. Матриця рядок: m=1. Наприклад, (1 3 5 7) - у багатьох практичних завданнях така матриця називається вектором

4. Матриця стовпець: n=1. Наприклад

5. Діагональна матриця: m=nі a ij = 0, якщо i≠j. Наприклад

6. Поодинока матриця: m=nі

7. Нульова матриця: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Трикутна матриця: всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють 0.

9. Симетрична матриця: m=nі a ij = a ji(тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять рівні елементи), а отже A"=A

Наприклад,

10. Кососиметрична матриця: m=nі a ij =-a ji(Тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять протилежні елементи). Отже, на головній діагоналі стоять нулі (бо при i=jмаємо a ii =-a ii)

Зрозуміло, A"=-A

11. Ермітова матриця: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- комплексно - сполучене до a ji, тобто. якщо A=3+2i, то комплексно - сполучене Ã=3-2i)

Призначення сервісу. Матричний калькуляторпризначений для вирішення матричних виразів, наприклад, таких як, 3A-CB 2 або A -1 +B T .

Інструкція. Для онлайн рішеннянеобхідно задати матричний вираз. На другому етапі потрібно буде уточнити розмірність матриць. Допустимі операції: множення (*), додавання (+), віднімання (-), зворотна матриця A^(-1), зведення в ступінь (A^2, B^3), транспонування матриці (A^T).

Допустимі операції: множення (*), додавання (+), віднімання (-), зворотна матриця A^(-1), зведення в ступінь (A^2, B^3), транспонування матриці (A^T).
Для виконання списку операцій використовуйте роздільник крапка з комою (;). Наприклад, для виконання трьох операцій:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необхідно буде записати так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриця - прямокутна числова таблиця, що має m рядків та n стовпців, тому схематично матрицю можна зображати у вигляді прямокутника.
Нульовою матрицею (нуль-матрицею)називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю та позначають 0.
Поодинокою матрицеюназивається квадратна матриця виду

Дві матриці A та B рівніякщо вони однакового розміру та їх відповідні елементи рівні.
Виродженою матрицеюназивається матриця, визначник якої дорівнює нулю (Δ = 0).

Визначимо основні операції над матрицями.

Додавання матриць

Визначення. Сумою двох матриць A = | | a i k | | і B=||b і k || однакового розміру називається матриця C=||c i k || тих самих розмірів, елементи якої перебувають за формулою c i k =a i k +b i k . Позначається C=A+B.

Приклад 6 . .
Операція складання матриць поширюється у разі будь-якого числа доданків. Вочевидь, що A+0=A .
Ще раз підкреслимо, що складати можна лише матриці однакового розміру; для матриць різних розмірів операція додавання не визначена.

Віднімання матриць

Визначення. Різниця B-Aматриць B і A однакового розміру називається така матриця C, що A+C=B.

Розмноження матриць

Визначення. Добутком матриці A=||a i k || на число α називається матриця C = | |

Визначення. Нехай дані дві матриці A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) і B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), причому число стовпців A дорівнює числу рядків B . Добутком A на B називається матриця C=||c i k ||, елементи якої знаходяться за формулою .
Позначається C=A·B .
Схематично операцію множення матриць можна зобразити так:

а правило обчислення елемента у творі:

Підкреслимо ще раз, що добуток A·B має сенс тоді і тільки тоді, коли число стовпців першого співмножника дорівнює кількості рядків другого, при цьому у творі виходить матриця, число рядків якої дорівнює кількості рядків першого співмножника, а число стовпців дорівнює кількості стовпців другого. Перевірити результат множення можна через спеціальний онлайн-калькулятор.

Приклад 7 . Дано матриці і . Знайти матриці C = A B і D = B A.
Рішення. Насамперед зауважимо, що добуток A·B існує, оскільки число стовпців A дорівнює числу рядків B.

Зауважимо, що у випадку A·B≠B·A , тобто. добуток матриць антикоммутативно.
Знайдемо B A (множення можливо).

Приклад 8 . Дано матрицю . Знайти 3A 2 – 2A.
Рішення.

.
; .
.
Зазначимо такий цікавий факт.
Як відомо, добуток двох відмінних від нуля чисел не дорівнює нулю. Для матриць подібна обставина може і не мати місця, тобто добуток ненульових матриць може виявитися рівним нуль-матриці.

Зауважимо, що елементами матриці можуть бути не лише числа. Уявімо, що ви описуєте книги, які стоять на вашій книжковій полиці. Нехай у вас на полиці порядок і всі книги стоять на певних місцях. Таблиця , яка міститиме опис вашої бібліотеки (по полицях і слідування книг на полиці), теж буде матрицею. Але така матриця буде не числовою. Інший приклад. Замість чисел стоять різні функції, поєднані між собою деякою залежністю. Отримана таблиця також називатиметься матрицею. Іншими словами, Матриця, це будь-яка прямокутна таблиця, складена з одноріднихелементів. Тут і далі ми говоритимемо про матриці, складені з чисел.

Замість круглих дужок для запису матриць застосовують квадратні дужки або прямі подвійні вертикальні лінії.

(2.1*)

Визначення 2. Якщо у виразі(1) m = n, то говорять про квадратної матриці, а якщо , то про прямокутної.

Залежно від значень m та n розрізняють деякі спеціальні види матриць:

Найважливішою характеристикою квадратнийматриці є її визначникабо детермінант, Що складається з елементів матриці і позначається

Очевидно, що D E = 1; .

Визначення 3. Якщо , то матриця A називається невиродженою або не особливою.

Визначення 4. Якщо detA = 0, то матриця A називається виродженою або особливою.

Визначення 5. Дві матриці A і B називаються рівними та пишуть A = B, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні, тобто.

Наприклад, матриці та рівні, т.к. вони дорівнюють за розміром і кожен елемент однієї матриці дорівнює відповідному елементу іншої матриці. А ось матриці і не можна назвати рівними, хоча детермінанти обох матриць рівні, і розміри матриць однакові, але не всі елементи, що стоять на тих самих місцях рівні. Матриці та різні, тому що мають різний розмір. Перша матриця має розмір 2х3, а друга 3х2. Хоча кількість елементів однакова - 6 і самі елементи однакові 1, 2, 3, 4, 5, 6, але вони стоять на різних місцях у кожній матриці. А ось матриці і дорівнюють, згідно з визначенням 5.

Визначення 6. Якщо зафіксувати кілька стовпців матриці A і така сама кількість ee рядків, тоді елементи, що стоять на перетині зазначених стовпців і рядків утворюють квадратну матрицю n - го порядку, визначник якої називається мінором k – го порядку матриці A.

приклад. Виписати три мінори другого порядку матриці

У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми .

Складання та віднімання матриць.

Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $A-B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

Приклад №1

Задано три матриці:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$.

Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено.

Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знайдемо матрицю $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Множення матриці на число.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

Приклад №2

Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Добуток двох матриць.

Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначення, а потім докладно розберемо, що воно означає і як із ним працювати.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-йрядки матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

Приклад №3

Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$:

Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають питання, можна глянути попередню тему: "Матриці. Види матриць. Основні терміни" , на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$.

Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$:

Аналогічно попередньому, маємо:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$

Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $A cdot B = B cdot A $. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$.

Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$.

Деякі характеристики операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ alpha $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма.

У цій статті ми розберемося як проводиться операція додавання над матицями одного порядку, операція множення матриці на число і операція множення матриць відповідного порядку, аксіоматично поставимо властивості операцій, а також обговоримо пріоритет операцій над матрицями. Паралельно з теорією наводимо докладні рішення прикладів, у яких виконуються операції над матрицями.

Відразу зауважимо, що все сказане нижче відноситься до матриць, елементами яких є дійсні (або комплексні) числа.

Навігація на сторінці.

Операція складання двох матриць.

Визначення операції складання двох матриць.

Операцію додавання визначено ТІЛЬКИ ДЛЯ МАТРИЦЬ ОДНОГО ПОРЯДКУ. Іншими словами, не можна знайти суму матриць різної розмірності і взагалі не можна говорити про складання матриць різної розмірності. Також не можна говорити про суму матриці та числа або про суму матриці та якогось іншого елемента.

Визначення.

Сума двох матрицьі - це матриця, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто.

Таким чином, результатом операції складання двох матриць є матриця того ж порядку.

Властивості операції складання матриць.

Які ж властивості має операція складання матриць? На це питання досить легко відповісти, відштовхуючись від визначення суми двох матриць даного порядку та згадавши властивості операції складання дійсних (або комплексних) чисел.

1. Для матриць А, В і С одного порядку характерна властивість асоціативності додавання А + (В + С) = (А + В) + С.
2. Для матриць цього порядку існує нейтральний елемент за додаванням, яким є нульова матриця. Тобто справедлива властивість А+О=А .
3. Для ненульової матриці А даного порядку існує матриця (-А) їх сумою є нульова матриця: А + (-А) = О .
4. Для матриць А і даного порядку справедливо властивість комутативності складання А + В = В + А .

Отже, безліч матриць даного порядку породжує адитивну групу Абеля (абелєву групу щодо операції алгебри складання).

Додавання матриць - рішення прикладів.

Розглянемо кілька прикладів складання матриць.

приклад.

Знайдіть суму матриць і .

Рішення.

Порядки матриць А і В збігаються і дорівнюють 4 на 2 , тому ми можемо проводити операцію додавання матриць і в результаті повинні отримати матрицю порядку 4 на 2 . Згідно з визначенням операції складання двох матриць, додавання виконуємо поелементно:

приклад.

Знайдіть суму двох матриць і елементами є комплексні числа.

Рішення.

Оскільки порядки матриць рівні, ми можемо виконати додавання.

приклад.

Виконайте додавання трьох матриць .

Рішення.

Спочатку складемо матрицю А з В, потім до отриманої матриці додамо З:

Отримали нульову матрицю.

Операція множення матриці на число.

Визначення операції множення матриці на число.

Операція множення матриці на число визначена ДЛЯ МАТРИЦЬ БУДЬ-ЯКОГО ПОРЯДКУ.

Визначення.

Добуток матриці та дійсного (або комплексного) числа- це матриця, елементи якої виходять множенням відповідних елементів вихідної матриці на число , тобто .

Таким чином, результатом множення матриці на число є матриця того ж порядку.

Властивості операції множення матриці на число.

З властивостей операції множення матриці на число випливає, що множення нульової матриці на число нуль дасть нульову матрицю, а добуток довільного числа і нульової матриці є нульова матриця.

Множення матриці на число - приклади та їх вирішення.

Розберемося з проведенням операція множення матриці на число на прикладах.

приклад.

Знайдіть добуток числа 2 та матриці .

Рішення.

Щоб помножити матрицю на число, потрібно кожен елемент помножити на це число:

приклад.

Виконайте множення матриці на число.

Рішення.

Помножуємо кожен елемент заданої матриці на це число:

Операція множення двох матриць.

Визначення операції множення двох матриць.

Операція множення двох матриць А і В визначається тільки для випадку, коли число стовпців матриці А рівне кількості рядків матриці В .

Визначення.

Добуток матриці А порядку та матриці В порядку- це така матриця З порядку , кожен елемент якої дорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці на відповідні елементи j-ого стовпця матриці В , тобто,

Таким чином, результатом операції множення матриці порядку на матрицю є матриця порядку .

Розмноження матриці на матрицю - рішення прикладів.

Розберемося з множенням матриць на прикладах, після цього перейдемо до перерахування властивостей операції множення матриць.

приклад.

Знайдіть всі елементи матриці С, яка виходить при множенні матриць і .

Рішення.

Порядок матриці А дорівнює p = 3 на n = 2, порядок матриці дорівнює n = 2 на q = 4, отже, порядок порядок виконання цих матриць буде p = 3 на q = 4 . Скористаємося формулою

Послідовно приймаємо значення i від 1 до 3 (оскільки p=3 ) для кожного j від 1 до 4 (оскільки q=4 ), а n=2 у нашому випадку, тоді

Так обчислені всі елементи матриці З і матриця, отримана при множенні двох заданих матриць, має вигляд .

приклад.

Виконайте множення матриць та .

Рішення.

Порядки вихідних матриць дозволяють провести операцію множення. В результаті ми маємо отримати матрицю порядку 2 на 3.

приклад.

Дано матриці та . Знайдіть добуток матриць А і В, а також матриць В і А.

Рішення.

Оскільки порядок матриці дорівнює 3 на 1 , а матриці дорівнює 1 на 3 , то А⋅В матиме порядок 3 на 3 , а добуток матриць В і A матиме порядок 1 на 1 .

Як бачите, . Це одна з властивостей операції множення матриць.

Властивості операції множення матриць.

Якщо матриці А, В і С відповідних порядків, то справедливі такі властивості операції множення матриць.

Слід зазначити, що при відповідних порядках добуток нульової матриці на матрицю А дає нульову матрицю. Добуток А на також дає нульову матрицю, якщо порядки дозволяють проводити операцію множення матриць.

Серед квадратних матриць існують так звані перестановочні матриці, Операція множення їм коммутативна, тобто . Прикладом перестановочних матриць є пара одиничної матриці будь-якої іншої матриці того ж порядку, так як справедливо .

Пріоритет операцій над матрицями.

Операції множення матриці на число та множення матриці на матрицю наділені рівним пріоритетом. У той самий час ці операції мають пріоритет вище, ніж операція складання двох матриць. Таким чином, спочатку виконується множення матриці на число та множення матриць, а вже потім проводиться додавання матриць. Однак порядок виконання операцій над матрицями може бути заданий явно за допомогою дужок.

Отже, пріоритет операцій над матрицями аналогічний пріоритету, присвоєному операціям складання та множення дійсних чисел.

приклад.

Дано матриці . Виконайте із заданими матрицями зазначені дії .

Рішення.

Починаємо з множення матриці А на матрицю В:

Тепер множимо одиничну матрицю другого порядку Е на два:

Складаємо дві отримані матриці:

Залишилося виконати операцію множення отриманої матриці на матрицю А:

Слід зауважити, що операції віднімання матриць одного порядку А і В не існує. Різниця двох матриць по суті є сума матриці А і матриці, попередньо помноженої на мінус одиницю: .

Операція зведення квадратної матриці в натуральну міру так само не самостійна, оскільки є послідовним множенням матриць.

Підведемо підсумок.

На безлічі матриць визначено три операції: додавання матриць одного порядку, множення матриці на число та множення матриць відповідних порядків. Операція додавання на безлічі матриць даного порядку породжує групу Абеля.