Нелінійні коливання. Нелінійні акустичні коливання. Дивитись що таке "нелінійні коливання" в інших словниках

Коливання у фізич. системах, що описуються нелінійними системами звичайних диференціальних рівнянь

де містить члени не нижче 2-го ступеня за компонентами вектора - вектор-функція часу - малий параметр (або ). Можливі узагальнення пов'язані з розглядом розривних систем, впливів з розривними характеристиками (напр., типу гістерези), запізнення та випадкових впливів, інтегро-диференціальних і диференціально-операторних рівнянь, коливальних систем з розподіленими параметрами, що описуються диференціальними використанням методів оптимального керування нелінійними коливальними системами. Основні загальні завдання Н. до.: Знаходження положень рівноваги, стаціонарних режимів, зокрема періодич. рухів, автоколивань та дослідження їх стійкості, проблеми синхронізації та стабілізації Н. до.

Усі фізичні. Системи, строго кажучи, є нелінійними. Одна з найбільш характерних особливостей Н. к. - це порушення в них принципу суперпозиції коливань: результат кожного з впливів у присутності іншого виявляється іншим, ніж у разі відсутності іншого впливу.

Квазилінійні системи - системи (1) при . Основним методом дослідження є Малий параметр метод.Насамперед це метод Пуанкаре - Ліндштедта визначення переодич. рішень квазі лінійних систем, аналітичних за параметром при його досить малих значеннях, або у вигляді рядів за ступенями (див. гл. IX), або у вигляді рядів за ступенями і - Добавок до початкових значень компонент вектора (див. гл. III). Про подальший розвитокцього методу див, напр., - .

Іншим із методів малого параметра є метод зосередження.Разом з тим у дослідження квазілінійних систем проникали і нові методи: асимптотич. методи (див. , ), метод К-функцій (див. ), що базується на фундаментальних результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаєва та ін.

Істотно нелінійні системи, в яких брало відсутній заздалегідь прописуваний малий параметр. Для систем Ляпунова

причому серед власних чисел -матриці немає кратних кореня - Аналітич. вектор-функція х,розкладання до-рой починається з членів не нижче 2-го порядку, і має місце аналітичний перший інтеграл спеціального виду, А. М. Ляпунов (див. § 42) запропонував метод відшукання періодич. рішень у вигляді низки за ступенями довільної постійної з (за к-рую може бути прийнято початкове значення однієї з двох крнтич. змінних або).

Для систем, близьких до систем Ляпунова,

де того ж виду, що і (2), - аналітич. вектор-функція і малого параметра , безперервна і -періодична t,також запропоновано метод визначення періодич. рішень (див. гл. VIII). Системи типу Ляпунова (2), в яких брало матриця має lнульових власних значень з простими елементарними дільниками, два - чисто уявних власних значення і не має власних значень, кратних - Така сама, як і в (2), можуть бути зведені до систем Ляпунова (див. IV.2). Досліджувалися також Н. до. у системах Ляпунова та у т.з. системах Ляпунова з демпфуванням, і навіть вирішувалося загальне завдання перекачування енергії у яких (див. гл. I, III, IV).

Нехай суттєво нелінійна автономна система наведена до жорданового вигляду її лінійної частини.

де вектор припущення має хоча б одну ненульову компоненту; , Дорівнюють нулю або одиниці відповідно за відсутності пли наявності непростих елементарних дільників матриці лінійної частини, - коефіцієнти; безліч значень вектора з цілими компонентамп таке:

Тоді існує нормалізуюче перетворення:

що призводить (3) до нормальної форми диференціальних рівнянь

і таке, що , якщо . Таким чином, нормальна форма (5) містить лише резонансні члени, тобто коефіцієнти можуть бути відмінні від нуля лише для тих, для яких виконано резонансне рівняння

що грає істотну роль теорії коливань. Східність і розбіжність нормалізує перетворення (4) досліджена (див. ч. I, гл. II, III); дано обчислення коефіцієнтів (за допомогою їх симетризації) (див. § 5.3). У ряді завдань про Н. до. суттєво нелінійних автономних систем виявився ефективним методомнормальних форм (див., гл. VI-VIII).

З інших методів дослідження суттєво нелінійних систем застосовуються метод точкових відображень (див. , ), стробосконич. метод та функціонально-аналітич. методи.

Якісні методи Н. до. Вихідними тут є дослідження виду інтегральних кривих нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, проведені А. Пуанкаре (М. Poincare, див.). Програми для задач Н. до., що описуються автономними системами 2-го порядку див. Вивчено питання існування періодич. рішень та їх стійкості у великому для багатовимірних систем; розглянуті майже періодичні Н. до. Додатки теорії звичайних диференціальних рівнянь з малим параметром при деяких похідних до завдань релаксаційних Н. до. див.

Важливі аспекти Н. до. та літ. див. у статтях Обурень теорія, Коливань теорія.

Літ.: Пуанкаре А., Ізбр. праці, пров. з франц., Т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Вітт А. А., Xайкін С. Е., Теорія коливань, 2 видавництва, М., 1959; Булгаков Би. Ст, Коливання, М., 1954; Малкін І. Р., Деякі завдання теорії нелінійних коливань, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Ізбр. праці, т. 1, До., 1969; [Б] Боголюбов Н. Н., Митропольський Ю. А., Асимптотичні методи в теорії нелінійних коливань, 4 видавництва, М-, 1974; Каменков Р. Ст, Избр. праці, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Зібр. соч., т. 2, М-Л., 195В, с. 7-263; Старжинський Ст М., Прикладні методи нелінійних коливань, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. моск. Матем. Об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. І., Метод точкових відображень у теорії нелінійних коливань, М., 1972; Мінорський N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносільський М. А., Бурд Ст Ш., Колесов Ю. С, Нелінійні майже періодичні коливання, М., 1970; Пуанкаре А., Про криві, що визначаються диференціальними рівняннями, пров. з франц., М.-Л., 1947; Бутенін Н. Ст, Неймарк Ю. І., Фуфаєв Н. А., Введення в теорію нелінійних коливань, М., 1976; Плісе Ст А., Нелокальні проблеми теорії коливань, М. -Л., 1964; Міщенко Е. Ф., Розов Н. X., Диференціальні рівняння з малим параметром та релаксаційні коливання, М., 1975.

• - рухи або процеси, що володіють тим чи іншим ступенем повторюваності в часі...

  Фізична енциклопедія

• - тензорні коефіцієнти, що пов'язують нелінійну частину поляризації Р = Р л + Р нл одиничного об'єму середовища, що виникає під дією сильних електричних полів, з величинами...

  Фізична енциклопедія

• - зміни сигналу S вих, що призводять до спотворення повідомлення S вх, що передається, обумовлені нелінійністю оператора тракту передачі L: S вих = LS вх...

  Фізична енциклопедія

• - Процеси в коливання. і хвильових системах, що не задовольняють суперпозицію принципу...

  Фізична енциклопедія

• - коливальні системи, св-ва яких брало залежать від відбуваються в них процесів. Коливання таких систем описуються нелінійними ур-нями. Нелінійними явл.: механіч...

  Фізична енциклопедія

• - ур-ня, що не володіють властивістю лінійності...

  Фізична енциклопедія

• - виникають в результаті взаємодії хвиль, полів і частинок, при яких не виконується принцип суперпозиції хвиль і які описуються з урахуванням нелінійних доданків в ур-нях кінетики або...

  Фізична енциклопедія

• - нелінійні оптич...

  Фізична енциклопедія

• - коливання. і хвильові системи, властивості яких брало залежать від процесів, що відбуваються в них; описуються нелінійними диффсренцами. ур-нями. Одна з найб. характерних рисН.с.- порушення принципу суперпозиції...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - Системи, властивості та характеристики яких залежать від їх стану. Серед них можуть бути механічні та електричні коливальні системи, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

  Початки сучасного Природознавства

• - рухи або процеси, що володіють тим чи іншим ступенем повторюваності в часі - тріпотіння - kmitання; kmity - Schwingungen - rezgés - хелбелзел - wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - oscillations; vibrations - oscillations...

  Будівельний словник

• - Статтіволокно...

  Енциклопедичний словник нанотехнологій

• - термін, який іноді вживають, маючи на увазі коливання в нелінійних системах.
• - Коливальні системи, властивості яких залежать від процесів, що в них відбуваються.

  Велика Радянська Енциклопедія

«КОЛИВАННЯ» ВИЗНАЧЕНЬ

Як говорити правильно: Нотатки про культуру російської мови автора Головін Борис Миколайович

«КОЛИВАННЯ» ВИЗНАЧЕНЬ На уроці учням було встановлено вправу: запровадити визначення словосполучення п'ять робочих. Учні швидко запропонували свої приклади: п'ять молодих робітників, п'ять старих робітників, п'ять кваліфікованих робітників... Труднощів ніяких не виникло.

§ 1 Економічні коливання

З книги Основи економіки автора Борисов Євген Пилипович

§ 1 Економічні коливання При пошуку істини ми натрапляємо на парадокс (несподіване явище, що не відповідає звичайним уявленням). Як виглядає хвилеподібний рух економіки Щоб переконатися в тому, що відбувається насправді, давайте подивимося на

Китайгородський Олександр Ісаакович

V. Коливання рівноваги У деяких випадках рівновагу дуже важко підтримати - спробуйте пройтися по натягнутому канаті. У той же час ніхто не нагороджує оплесками сидить у кріслі-гойдалці. Адже він теж підтримує свою рівновагу. У чому ж різниця в цих

Коливання

З книги Курс російської історії (Лекції XXXIII-LXI) автора Ключевський Василь Осипович

Відповідаючи на це питання, ми переберемо всі найпомітніші явища нашого внутрішнього життя. Вони дуже складні, йдуть різними, що часто перетинаються і іноді зустрічними течіями. Але можна розглянути їх загальний

Професор, д. ф.м. н.

1. Введення

Змінні стани. Оператор розвитку. Динамічні системи. ДС із зосередженими та розподіленими параметрами (ДССП та ДСРП). Математична модельДССП. Число ступенів свободи. Узагальнені координати та швидкості. Фазовий простір. Інтегральні криві та фазові траєкторії. Класифікація динамічних систем. Методи теорії нелінійних коливань (класифікація).

2. Коливання у лінійних системах

Лінійні автономні динамічні системи з одним ступенем свободи (лінійний осцилятор). Фазові портрети таких систем. Моделі Ломки та Вольтерра. Площина параметрів системи. Біфуркаційні криві. Неавтономні системи. Резонанс. Нормальні координати. Коливання в лінійних системах із двома ступенями свободи (пов'язані осцилятори). Коефіцієнти розподілу, зв'язаності та зв'язку, графіки Вина, внутрішній резонанс. Вимушені коливання у таких системах. Узагальнення на n ступенів волі. Коливання у нормальних координатах. Параметричні коливання. Моделі Хілла та Матьє. Теорема Флоке.

3. Теорія стійкості ДС.

Поняття стійкості за Ляпуновим. Стійкість рівноважного стану. Стійкість періодичного руху. Прямий метод Ляпунова. Метод першого наближення. Стійкість лінійних систем. Критерії стійкості Рауса, Гурвіца, Михайлова, Найквіста. Стійкість неавтономних систем.

4. Аналітичні методи

Особливості аналітичних методів. Метод малого параметра Пуанкаре. Нерезонансні вимушені вагання. Завдання Дюффінг. Коливання при резонансі на основній гармоніці та на субгармоніках. Модель Дюффінга та нелінійний резонанс. Нелінійні фазові коливання циклічних накопичувачах електронів. Власні періодичні коливання нелінійних систем. варіаційні методи. Метод Галеркіна. Метод варіації параметрів. Асимптотичні методи. U-метод для автономних систем. Модель Ван-дер-Поля. Тріодний генератор. Обертова фазова площина. Асимптотичний метод для неавтономних систем. Еквівалентна лінеаризація нелінійних систем. Метод усереднення. Переміщення Ван-дер-Поля. Нелінійний резонанс. Перекриття нелінійних резонансів. Автоколивання у багаточастотних системах. Вимушена синхронізація. Конкуренція Взаємна синхронізація мод.

5. Якісні методи

5.1. Фазові портрети консервативних систем. Побудова фазових траєкторій з урахуванням енергетичного балансу. Фазові траєкторії на околиці рівноважного стану. Типи рухів у консервативних системах. Орбітна стійкість. Неізохронність та ангармонічність нелінійних коливань. Одночасткові рухи в магнітній пастці (електрон у поздовжньому полі). Модель Вольтерра. Ансамбль нелінійних осциляторів. Фазовий портрет перекриття нелінійних резонансів.

5.2. Періодичні автоколивання. Граничні цикли на фазовій площині. Залежність форми автоколивань від властивостей системи. Релаксаційні автоколивання. "Швидкі" та "повільні" рухи. Якісні дослідження розривних коливань. Модель релаксаційного генератора.

5.3. Фазові портрети рівноважних дисипативних систем. Грубість динамічної системи. Закони спільного існування спеціальних точок. Основні біфуркації на площині. Індекси Пуанкаре. Узагальнена електронна схема із нелінійним елементом. Кріотронні схеми. Тригерні осередки пам'яті. Коливання у надпровідних соленоїдах.

6. Метод точкових перетворень.

Метод точкових перетворень для дослідження автоколивальних систем. Кріотронний генератор. Гармонійний осцилятор із нелінійним згасанням.

7. Застосування якісних методів для дослідження неавтономних систем.

Синхронна багатолистова фазова площина. Субгармонічні коливання у феромагнітній плівці. Параметрична нестійкість. Бетатронні коливання в прискорювачах із жорстким фокусуванням. Принцип автофазування та синхротронні коливання в електронних прискорювачах та накопичувачах.

8. Стохастична динаміка найпростіших систем.

Точкові відображення. Біфуркація періодичних рухів. Гомоклінічні структури. Випадковість у динамічній системі. Стохастична динаміка одновимірних відображень. Генератор шуму, його статистичний опис. Шляхи виникнення дивних атракторів.

Література

1. Мандельштам по коливанням. М: Наука, 1972.

2. , Хайкін коливань. М: Наука, 1964.

3. Стрілець у теорію коливань. М: Наука, 1964.

4. , Митропольські методи теорії нелінійних коливань. М: Наука, 1974.

5. Фомель теорії нелінійних коливань. Новосибірськ: Вид-во НГУ, 1970.

6. Гольдін прискорювачів. М: Наука, 1983.

7. , Трубецьков в теорію коливань та хвиль. М: Наука, 1984.

Пров. з англ. Болдова Б. А. та Гусєва Г. Г. За редакцією В. Є. Боголюбова. - М: Мир, 1968. - 432 с.
534 (Механічні коливання. Акустика). Є текстовий шар (тобто легко копіюється текст).
Монографія відомого японського вченого Т. Хаясі присвячена теорії нелінійних коливальних процесів, що відбуваються в різних фізичних системах.
Книга являє собою перероблене і доповнене видання однієї з ранніх робіт автора, знайомої радянському читачеві з російського перекладу (Хаясі Т., Вимушені коливання в нелінійних системах, Іл, М., 1957). Однак після переробки та доповнення вийшла фактично нова книга.
Вона відрізняється від попередньої як новими розділами, а й значно вдосконаленою методикою викладу. Книга представляє інтерес як фізиків та інженерів різних спеціальностей, мають справу з теорією нелінійних коливань та її додатками, так математиків, котрі займаються теорією диференціальних рівнянь.
Зміст.
Передмова до російського видання.
Передмова.
Вступ.
Частина i. Основні методи аналізу нелінійних коливань.
Розділ i.
аналітичні методи.
Вступ.
Метод збурень.
Метод ітерацій.
Метод усереднення.
Принцип гармонійного балансу.
Численні приклади розв'язання рівняння Дуффінга.
Розділ II.
Топологічні методи та графічні рішення.
Вступ.
Інтегральні криві та особливі точки на площині станів.
Інтегральні криві та особливі точки у просторі станів.
Метод ізоклін.
Метод Льєнара.
Дельта метод.
Метод похилих прямих.
Розділ III.
Стійкість нелінійних систем.
Визначення стійкості за Ляпуновим.
Критерій Рауса – Гурвіца для нелінійних систем.
Критерій стійкості за Ляпуновим.
Стійкість періодичних коливань.
Рівняння Матьє.
Рівняння Хілла.
Поліпшене наближення характеристичного показника.
рівняння Хілла.
Частина ii, Вимушені коливання в режимі, що встановився.
Розділ iy.
Стійкість періодичних коливань у системах другого порядку.
Вступ.
Умови стійкості періодичних рішень.
Поліпшені умови сталості.
Додаткові зауваження щодо умов стійкості.
Розділ y.
Гармонійні коливання.
Гармонійні коливання при симетричній нелінійній характеристиці.
Гармонічні коливання за несиметричної нелінійної характеристики.

Розділ Yi.
Ультрагармонійні коливання.
Ультрагармонічні коливання в.
послідовно-резонансних ланцюгах.
Експериментальне дослідження.
Ультрагармонічні коливання у паралельно-резонансних ланцюгах.
Експериментальне дослідження.
Розділ Yii.
Субгармонічні коливання.
Вступ.
Зв'язок між нелінійною характеристикою та порядком.
субгармонійних коливань.

характеристиці, поданої кубічною функцією.
Субгармонічні коливання порядку 1/3 за нелінійної.
характеристиці, представленої поліном п'ятого ступеня.
Експериментальне дослідження.

характеристиці, представленої поліном третього ступеня.
Субгармонічні коливання порядку 1/2 за нелінійної.
характеристиці, представленої симетричною квадратичною.
функцією.
Експериментальне дослідження.
Частина ІІІ. Перехідні процеси вимушених вагань.
Розділ Yiii.
Гармонійні коливання.
Вступ.
Періодичні рішення та їх стійкість.
Аналіз гармонійних коливань із допомогою інтегральних.
кривих.
Аналіз гармонійних коливань фазової площині.
Геометричний аналіз інтегральних кривих для консервативних систем
Геометричний аналіз інтегральних кривих для дисипативних систем.
Експериментальне дослідження.
Розділ ix.
Субгармонічні коливання.
Аналіз субгармонійних коливань за допомогою інтегральних кривих.
Аналіз субгармонічних коливань порядку 1/3 фазової площині.
Експериментальне дослідження.
Субгармонійні коливання порядку 1/5.
Субгармонійні коливання порядку 1/2.
Аналіз субгармонічних коливань порядку 1/2 фазової.
площині.
Дослідження на аналоговій обчислювальній машині.
Розділ x.
Початкові умови, що призводять до різних видів.
періодичних коливань.
Метод аналізу.
Симетрична система.

коливань порядку 1/3.
Несиметричні системи.
Області тяжіння для гармонійних та субгармонічних.
коливань порядків 1/2 та 1/3.
Експериментальні дослідження.
Розділ Xi.

Вступ.
Майже періодичні коливання у резонансному ланцюзі з підмагнічуванням постійним струмом.
Зміст.
Експериментальне дослідження.
Майже періодичні коливання параметрично.
збуджуваного ланцюга.
Частина IV. Автоколивальні системи при періодичній дії зовнішньої сили.
Розділ XII.
Захоплення частоти.
Вступ.

Гармонічне захоплення.
Ультрагармонійне захоплення.
Субгармонічне захоплення.
Області захоплення частоти.
Аналіз з допомогою аналогової обчислювальної машини.

Автоколивальна система при нелінійній силі, що відновлює.
Розділ XIII.
Майже періодичні коливання.
Рівняння Ван-дер-Поля з примушуючим членом.

гармонійних коливань.
Геометричний розгляд інтегральних кривих.
межі гармонійного захоплення.
Майже періодичні коливання, що виникають.
ультрагармонійних коливань.
Майже періодичні коливання, що виникають.
субгармонійних коливань.
Автоколивальна система з нелінійною силою, що відновлює.
Додаток i. Розкладання функцій Матьє.
Додаток ii. Несталі рішення рівняння Хілла.
Додаток iii. Несталі рішення узагальненого рівняння Хілла.
Додаток iv. Критерій стійкості, отриманий методом.
обурень.
Додаток v. Зауваження щодо інтегральних кривих та особливих точок.
Додаток Vi. Електронний синхронний комутатор.
Завдання.
Література
Покажчик.
Т. Хаясі.
Нелінійні коливання у фізичних системах.

Редактор Н. Плужнакова Художник О. Шкловська.
Художній редактор В. Шаповалов Технічний редактор Н. Турсукова.
Здано у виробництво 9/Х 1967 р. Підписано до друку 25/Ш 1968 р.
Папір 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 друк. л.
Уч. -вид. л. 24,
0. Вид. №1/3899.
Ціна 1р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 видавництва «Мир», пір. №38.
Видавництво "Мир", Москва, 1-й Ризький пров. 2.
Ленінградська друкарня №2 імені Євгенії Соколової Головполіграфпрому Комітету.
з друку при Раді Міністрів СРСР. Ізмайловський пр., 29.

Дивіться також

Андріанов І.В., Данишевський В.В., Іванков А.О. Асимптотичні методи в теорії коливань балок та пластин

• формат файлу: pdf
• розмір: 5.53 МБ
• доданий: 25 вересня 2011 р.

Дніпропетровськ: Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, 2010 р., 217 с. У монографії розглядаються асимптотичні методи вирішення завдань коливань балок та пластин. Основну увагу приділено гомотопічному методу збурень, що ґрунтується на введенні штучного малого параметра. Досліджено лінійні коливання конструкцій зі змішаними граничними умовами, а також нелінійні коливання систем з розподіленими...

Вібрації у техніці. Том 6. Захист від вібрації та ударів

• формат файлу: djvu
• розмір: 7.28 МБ
• додано: 27 жовтня 2009 р.

Фролов К. В. У шостому томі викладено методи зниження віброактивності джерел коливань та настроювання динамічних гасників. Розглянуто питання балансування деталей машин, що обертаються, врівноважування машин і механізмів, вибору раціональних законів переміщення робочих органів машин, ізоляції обладнання та основи, а також проблеми захисту людини від вібрації. Довідник призначений для інженерно-технічних працівників, зайнятих розрахунками, ...

Ганієв Р.Ф., Кононенко В.О. Коливання твердих тіл

• формат файлу: djvu
• розмір: 8.89 МБ
• додано: 27 жовтня 2011 р.

М.: Наука, 1976, 432 с. Досліджено нелінійні коливання у просторовому русі, зокрема умови виникнення резонансів. Робота є актуальною при створенні систем амортизації авіаційної та космічної техніки. Ганієв Р. Ф. – акад. РАН, Кононенко В. О. – акад. АН України. Амортизатор пружний 39 Віброамортизація 145, 41, 7 Віброізоляція 145, 417 Порушення кінематичне 134, 358 Гірорама двовісна 343 Гірорама тривісна 353 Гіроскоп астатич.

Ден-Гартог Д.П. Механічні коливання

• формат файлу: djvu
• розмір: 7.5 МБ
• доданий: 25 травня 2010 р.

М. Фізматгіз. 1960р. 574 с. Кінематика коливань. Системи з одним ступенем свободи. Два ступені свободи. Системи із довільним числом ступенів свободи. Багатоциліндрові двигуни. Обертаються частини машин. Автоколивання. Квазігармонічні та нелінійні коливання систем.

Мігулін В.В. Основи теорії коливань

• формат файлу: djvu
• розмір: 3.88 МБ
• додано: 10 січня 2010 р.

Книга знайомить читача із загальними властивостями коливальних процесів, що відбуваються в радіотехнічних, оптичних та інших системах, а також із різними якісними та кількісними методами їх вивчення. Значну увагу приділено розгляду параметричних, автоколивальних та інших нелінійних коливальних систем. Вивчення описаних у книзі коливальних систем і процесів у них наведено відомими методами теорії коливань без докладних...

Обморшев О.М. Введення в теорію коливань

• формат файлу: pdf
• розмір: 8.75 МБ
• додано: 23 лютого 2010 р.

До цих пір, розглядаючи різного типу нестійкості, ми обмежували себе лише режимами малих амплітуд, коли завдяки можливості лінеаризації сильно спрощується запис та розв'язання дисперсійних рівнянь. Насправді в існуючих практично електронних пристроях у процесі наростання коливань, зазвичай, процеси стають істотно нелінійними. Як нечисленні винятки можна вказати, мабуть, дуже короткоімпульсні або дуже короткі вздовж електронного потоку електронно-пучкові системи, де коливання не встигають перейти в нелінійну стадію.

Розглядаючи особливості нелінійних коливань, спочатку звернемося до найпростіших рівнянь. Згадаймо, що лінійні коливання автономної одновимірної системи без втрат описуються рівнянням

Це найпростіше рівняння перетворюється на вид, характерний для нелінійних коливань, якщо другий член у лівій частині рівності - нелінійна функція f(x)

(10.5)

Найпростіший приклад нелінійних коливань - коливання електрона з великою амплітудою в періодичному полі типу, показаного на рис.10.1. Така ситуація реалізується в полі хвилі, що біжить, яка може виникнути, наприклад, в ЛБВ або ЛОВ .

У
системі координат, що рухається з хвилею, зміна потенційної енергії електрона описується

рівнянням

(10.6)

Тому рівняння руху електрона може бути записане у вигляді

так як
і
.

Таким чином, у типовій для НВЧ пристроїв ситуації рух електрона описується принципово нелінійним рівнянням. Однак у даному випадкупроявляється одна з властивостей нелінійних систем - їхня неізохронність, тобто. залежність їх стану від початкової енергії коливається частинки. Якщо початкова коливальна енергія електрона мала, він здійснює коливальні рухи з малою амплітудою поблизу мінімуму потенціалу. У цьому випадку його рух – практично гармонійний. Якщо ж початкова енергія велика і можна порівняти з глибиною потенційної ями, то амплітуда коливань теж велика й у результаті рух одночасно стає істотно нелінійним.

Іншою відмінністю нелінійних коливань є їх негармонійність. Негармонійність нелінійних коливальних пояснимдокладніше на іншому прикладі.

Нехай ми маємо справу з електронним пучком, що розповсюджується вздовж осі x, тобто. рух електронів одновимірно. Введемо початкову малу за амплітудою модуляцію швидкості електронів

, (10.8)

тобто. тепер повна швидкість електронів Vдорівнює сумі V=V o +u

Введення цього обурення призводить до того, що у пучку почнеться угруповання електронів. Звернемо увагу, що аналізована ситуація близька до реалізованої в клістроні, де в резонаторі відбувається модуляція за швидкістю, а в просторі дрейфу модуляція за швидкістю перетворюється на модуляцію за густиною.

Розглянемо еволюцію пучка в часі в системі координат, що рухається з початковою швидкістю електронів V o. У цій системі рух обумовлений лише початковим обуренням і рівняння руху можна записати у формі

(10.9)

Рівність нулю повної похідної обурення швидкості означає, що ми нехтуємо виникненням електричних сил через угруповання електронів та ведемо розгляд без магнітного поля. Звичайно, зневага електричними силами виправдана лише на початковій стадії угруповання. Потім електричними полями згустків вже нехтувати не можна. Саме ці поля обмежуватимуть угруповання. Таким чином, ми більш-менш коректно можемо аналізувати лише початковий етап еволюції угруповання у пучку електронів. Нехтувати дією магнітного поля можна й у тому випадку, коли воно існує, але орієнтоване у напрямку руху електронів. Однак важливо, щоб електрони не мали поперечних по відношенню до силових ліній магнітного поля швидкостей.

Простежимо еволюцію характеристик електронного потоку, скориставшись фазовою площиною x,u(Рис.10.2). Розглянемо для початку випадок, коли серед немає дисперсії. У фазовій площині кожна точка рухається зі своєю швидкістю. Крапки верхньої напівплощини рухаються вправо, а нижньої - вліво, причому швидкість кожної точки пропорційна віддаленню від осі х. Початковий стан зображено синусоїдою (тонка лінія малюнку 10.2a). Потім синусоїда спотворюється (товста лінія на тому ж малюнку) і в результаті угруповання електронів формуються максимуми густини просторового заряду поблизу точок, де величина u=0 (рис.10.2b). Одночасно зміна по хшвидкостей стає негармонічним і формуються згустки просторового заряду. Далі з'являються точки, де похідна прагне нескінченності, отже і концентрація електронів прагне нескінченності.

Показники стають значно негармонічними. Той самий розгляд пояснює умови оптимального угруповання. Такі умови реалізуються перед початком перекидання хвилі.

1. Використана вище в лінійному аналізі гіпотеза про нескінченно малу величину збурень не дозволяє розглянути розвиток дійсних збурень. У лінійній теорії, очевидно, амплітуда обурень або взагалі визначено (на межі стійкості), або зростає безмежно (у зоні нестійкості), що виходить як її вихідних положень. Насправді при деякій амплітуді збурень стають суттєвими нелінійні ефекти, які запобігають безкінечному збільшенню амплітуди і призводять до граничного циклу коливань.

Нелінійність починає проявлятися лише для збурень з певною (критичною) амплітудою: при меншій амплітуді згідно з нелінійною теорією коливання згасають, при більшій - має місце так звана нелінійна нестійкість (нестійкість у великому, імпульсна нестійкість). Нелінійності коливального процесу в РДТТ визначаються нелінійністю процесу горіння і хвильового руху в камері, що проявляється у зростанні кривизни хвиль тиску, дисперсії збурень та у виникненні ударних хвиль.

Незважаючи на те, що лінійні теорії забезпечують досить повне розуміння проблеми нестійкості РДТТ, вони не можуть вирішити надзвичайно важливого для практики питання про найбільш небезпечні для двигуна та для всього ЛА коливання великої амплітуди. Тому вивченню таких нелінійних коливань приділяється дедалі більша увага. Нині можна зазначити вузьке коло вже вирішених нелінійних завдань.

2. Вихідні рівняння . Розглянемо у наступній постановці завдання про нелінійні акустичні коливання для одновимірної течії. Система нелінійних диференціальних рівнянь для такої нагоди може бути представлена ​​в наступному вигляді:

рівняння збереження маси газу

рівняння збереження маси частинок

; (5.85)

рівняння збереження кількості руху

; (5.86)

рівняння збереження енергії

де індекс « l » означає масову витрату на одиницю довжини; v- на одиницю обсягу; інші індекси та величини колишні.

3. Основні припущення . Для вирішення цих рівнянь зробимо такі припущення:

Відсутнє догоряння, тобто = 0; Q = 0;

Обмін енергією представлений теплообміном між частинками та газом у КС;

Перетин каналу заряду незмінний, тобто. F= const;

При z= 0 швидкості газу та частинок раїни нулю;

Для двофазного потоку в соплі передбачається постійне відставання важкої фракції;

Режим роботи сопла квазістаціонарний;

Характеристики перехідного горіння визначаються функцією чутливості у вигляді

. (5.88)

отже, характеристика горіння передбачає лінійність;

Враховується зв'язок швидкості горіння з тиском, в окремих випадках – зі швидкістю потоку;

Частинки розглядають лише одного розміру, причому з використанням лінійного та нелінійного коефіцієнта опору.

4. Результати чисельного рішення . Чисельні методи розв'язання нелінійних завдань стійкості включають метод характеристик, метод «дискретизації» та ін. Система представлених рівнянь (5.84)...(5.87) може вирішуватися, наприклад, методом характеристик. Таке рішення, отримане Ф. Куликом, дає залежність амплітуди збурень від часу. Приклади результатів чисельних розрахунків Ф. Кулика показано на рис.7. Початкові умови задавалися у вигляді стоячої хвилі основної частоти камери. Початкове обурення становило рівну частину першої та другої моди, але після трьох циклів тиск майже не містив другої гармоніки. Вплив зв'язку з перехідним горінням у разі, очевидно, грає вирішальну роль; функція чутливості при прийнятих А і У показує це сильною мірою для основної частоти і в слабкій - для другої моди. Можна також відзначити, що амплітуда тиску починає зростати не відразу; навіть спостерігається навіть деяке її згасання після одного циклу. Це можна пояснити тим, що швидкість горіння тільки після декількох циклів досягає значення, що відповідає обуренням тиску, що виникли.