Να γνωρίζετε τις συντεταγμένες της ορθογώνιας προβολής ενός σημείου απευθείας. Προβολή σημείου σε ευθεία γραμμή Συντεταγμένες προβολής σημείου σε ευθεία γραμμή. Προβολή σημείου σε ευθεία - θεωρία, εφαρμόστε τη λύση αυτή

Tsya άρθρο που εξετάζει την κατανόηση της προβολής ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή (όλα). Ο Mi damo yoma διορίστηκε για τη μικρή vikoristannya, την οποία εξηγώ. Vivchimo τρόπος εκχώρησης των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε ευθεία γραμμή (σε επίπεδο ή ασήμαντο χώρο). Ας το δοκιμάσουμε.

Στο άρθρο «Προβολή σημείου σε επίπεδο, συντεταγμένες» αναρωτηθήκαμε αν το σχέδιο ενός σχήματος πρέπει να γίνει κατανοητό από τις έννοιες του κάθετου ή ορθογώνιου σχεδίου.

Όλα τα γεωμετρικά σχήματα διπλώνονται σε σημεία. Επομένως, για να μπορέσουμε να προβάλουμε ένα σχήμα σε ευθεία γραμμή, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η δυνατότητα προβολής ενός σημείου σε ευθεία γραμμή.

Ραντεβού 1

Προβολή σημείου σε ευθεία γραμμή- tse ή το ίδιο το σημείο, όπως θα έπρεπε να βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία, ή τη βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο στη δεδομένη ευθεία.

Ας δούμε τα μικρά παρακάτω: το σημείο H 1 χρησιμεύει ως προβολή του σημείου M 1 στην ευθεία α, και το σημείο M 2, που βρίσκεται στην ευθεία γραμμή, είναι η προβολή στον εαυτό του.

Ο χαρακτηρισμός είναι πιο σωστός για το vipadka στην επιφάνεια και στον ασήμαντο χώρο.

Για να πάρουμε την προβολή του σημείου M 1 στην ευθεία a στο επίπεδο, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή b, για να περάσετε από ένα δεδομένο σημείο το M 1 i είναι κάθετο στην ευθεία a. Με αυτή τη σειρά, το σημείο τομής των ευθειών α και β θα είναι η προβολή του σημείου Μ 1 στην ευθεία α.

Σε έναν τετριμμένο χώρο, η προβολή ενός σημείου σε ευθεία γραμμή θα εξυπηρετείται από το σημείο της εγκάρσιας γραμμής της ευθείας α και το επίπεδο α, που θα διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο στην ευθεία α.

Η τιμή των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε ευθεία γραμμή

Ας δούμε τις αλυσίδες στα τοπία του σχεδίου στην επίπεδη και στην ασήμαντη έκταση.

Δώστε μας την εργασία ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων O x y, σημείο M1 (x1, y1) i ευθεία α. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ1 στην ευθεία α.

Ας περάσουμε από το δεδομένο σημείο M 1 (x 1, y 1) την ευθεία b κάθετη στην ευθεία α. Το σημείο θραύσης σημειώνεται ως H1. Το σημείο H 1 θα είναι το σημείο προβολής του σημείου M 1 στην ευθεία α.

Από την περιγραφή, είναι δυνατό να διαμορφώσετε έναν αλγόριθμο που σας επιτρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (x 1 y 1) στην ευθεία γραμμή a:

Αναδιπλούμενες ευθείες (όπως δεν διευκρινίζεται). Για zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya main rivnyan στο διαμέρισμα;

Καταγράψτε την ευθυγράμμιση της ευθείας b (για να περάσει από το σημείο Μ 1 και κάθετα στην ευθεία α). Εδώ, θα συμπληρωθεί το άρθρο σχετικά με την ευθυγράμμιση της ευθείας γραμμής, για να περάσει από ένα δεδομένο σημείο κάθετα στη δεδομένη ευθεία.

Είναι προφανές ότι οι συντεταγμένες της προβολής λαμβάνονται ως συντεταγμένες του εγκάρσιου σημείου των ευθειών α και β. Και σε αυτό, αποδεικνύεται το σύστημα των ισοτήτων, αποθήκες όπως - εξίσωση ευθειών α και β.

πισινό 1

Στο επίπεδο O x y, το δεδομένο σημείο M 1 (1, 0) είναι η ευθεία a (υψηλότερη ευθυγράμμιση - 3 x + y + 7 = 0). Είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ1 στην ευθεία α.

Λύση

Η στοίχιση που δίνει η ευθεία γραμμή, που σύμφωνα με τον αλγόριθμο περνάμε στη συντομότερη εγγραφή της ευθυγράμμισης της ευθείας β. Η ευθεία b είναι κάθετη στην ευθεία a, και επομένως το κανονικό διάνυσμα της ευθείας a είναι το άμεσο διάνυσμα της ευθείας b. Τότε το άμεσο διάνυσμα των ευθειών b μπορεί να γραφτεί ως b → = (3, 1). Ας γράψουμε την κανονική στοίχιση της ευθείας b, αλλά πρέπει επίσης να ορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 1 μέσω της ευθείας b:

Η τελική τομή δείχνει τις συντεταγμένες του εγκάρσιου σημείου των ευθειών a και b. Ας προχωρήσουμε κανονικός ριβνιάναπευθείας b σε zagalny її ίσο:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Ας φτιάξουμε ένα σύστημα εξισώσεων από τις άνω εξισώσεις των ευθειών a και b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Λοιπόν, αφαιρέσαμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (1, 0) στην ευθεία γραμμή 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Πρόταση: (- 2 , - 1) .

Η έκθεση θα επανεξεταστεί εάν είναι απαραίτητο να αναφερθούν οι συντεταγμένες της προβολής σημείο ρύθμισηςσε γραμμές συντεταγμένων και γραμμές παράλληλες με αυτές.

Έστω οι δεδομένες ευθείες συντεταγμένων O x і O y, καθώς και το σημείο M 1 (x 1, y 1). Συνειδητοποίησα ότι η προβολή ενός δεδομένου σημείου σε μια ευθεία συντεταγμένη O x της μορφής y = 0 θα είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (x 1, 0) . Άρα η προβολή του δεδομένου σημείου στην ευθεία συντεταγμένη O y θα είναι η συντεταγμένη 0 , y 1 .

Ο Be-yaku αρκετά ευθύς, παράλληλα με τον άξονατετμημένη, μπορείς να το βάλεις λάθος άγριος ζηλιάρης B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, και ευθεία, παράλληλα με τον άξονα y - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Στη συνέχεια, οι προβολές του σημείου M 1 (x 1, y 1) στην ευθεία γραμμή y \u003d - C B i x \u003d - CA γίνονται σημεία με συντεταγμένες x 1, - C B i - CA A, y 1.

πισινό 2

Πάρτε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (7, - 5) στην ευθεία συντεταγμένων O y , καθώς και στην ευθεία παράλληλη προς την ευθεία O y 2 y - 3 = 0 .

Λύση

Ας γράψουμε τις συντεταγμένες της προβολής του δεδομένου σημείου στην ευθεία O y: (0 - 5) .

Ας γράψουμε τη στοίχιση της ευθείας 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Γίνεται σαφές ότι η προβολή του δεδομένου σημείου στην ευθεία y = 3 2 με τον πίνακα συντεταγμένων 7 3 2 .

Πρόταση:(0 , - 5) και 7 , 3 2 .

Έστω ότι ο τετριμμένος χώρος έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z , σημείο M 1 (x 1 , y 1 , z 1) και ευθεία γραμμή a . Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ1 στην ευθεία α.

Θα αφήσουμε το επίπεδο α να διέλθει από το σημείο Μ1 i κάθετο στην ευθεία α. Η προβολή ενός δεδομένου σημείου σε μια ευθεία γραμμή α γίνεται σημείο σε μια ευθεία γραμμή α και ένα επίπεδο α. Με βάση αυτό εισάγουμε έναν αλγόριθμο για την τιμή των συντεταγμένων της προβολής του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στην ευθεία α:

Καταγράφουμε τη στοίχιση της ευθείας α (όπως δεν προσδιορίζεται). Για να κατανοήσετε αυτό το έργο, είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με αυτό το άρθρο σχετικά με την ευθυγράμμιση των ευθειών γραμμών στο διάστημα.

Μπορούμε να αποθηκεύσουμε την επιπεδότητα;

Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 (x 1, y 1, z 1) στην ευθεία α - θα υπάρχουν οι συντεταγμένες του σημείου της εγκάρσιας γραμμής της ευθείας α και του επιπέδου του α (για βοήθεια - το άρθρο "Συντεταγμένες του σημείου της εγκάρσιας γραμμής της ευθείας γραμμής του επιπέδου").

πισινό 3

Δίνεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z , i στο nіy - σημείο М 1 (0, 1, - 1) i ευθεία a . Η ευθεία α αντιστοιχεί στην κανονική στοίχιση: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ1 στην ευθεία α.

Λύση

Αλγόριθμος Vykoristovuёmo vkazyvshee. Rivnyannya ευθεία γραμμή, το πρώτο βήμα παραλείπεται από τον αλγόριθμο. Ας γράψουμε τη στοίχιση του εμβαδού α. Για τις οποίες οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της περιοχής είναι σημαντικές. Από τις δεδομένες κανονικές ευθυγραμμίσεις της ευθείας a, μπορούμε να δούμε τις συντεταγμένες του ευθείας διανύσματος της ευθείας: (3, - 4, 1), που θα είναι το κανονικό διάνυσμα της περιοχής α, κάθετο στην ευθεία ένα. Todi n → = (3, - 4, 1) είναι το κανονικό διάνυσμα της περιοχής α. Με αυτή τη σειρά, το επίπεδο του α matime φαινόταν ίσο:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Τώρα γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του εγκάρσιου σημείου της ευθείας και αυτού του επιπέδου α, για τις οποίες υπάρχουν δύο τρόποι:

1. Οι εργασίες της κανονικής ευθυγράμμισης σας επιτρέπουν να πάρετε την ευθυγράμμιση δύο επιπέδων, τα οποία επικαλύπτονται, τα οποία αντιπροσωπεύουν την ευθεία γραμμή α:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Να γνωρίζετε τα σημεία της εγκάρσιας γραμμής της ευθείας 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 και τα επίπεδα 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Στο στον συγκεκριμένο τύποΗ μέθοδος του vikoristovuєmo Cramer, αλλά μπορείτε να κάνετε zasosuvat αν είναι ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Με αυτόν τον τρόπο, η προβολή ενός δεδομένου σημείου σε μια ευθεία γραμμή α είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (1, 2, 0)

1. Με βάση τα καθήκοντα των κανονικών ευθυγραμμίσεων, είναι εύκολο να γράψετε την παραμετρική ευθυγράμμιση της ευθείας στο χώρο:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Ας φανταστούμε στο επίπεδο του επιπέδου, το οποίο μπορεί να φανεί ως 3 x - 4 y + z + 5 = 0 αντί x , y і z їх έκφραση μέσω της παραμέτρου:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του εγκάρσιου σημείου της ευθείας a και του επιπέδου α πίσω από τις παραμετρικές ευθυγραμμίσεις της ευθείας a στο λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Έτσι, η προβολή ενός δεδομένου σημείου σε μια ευθεία γραμμή α έχει συντεταγμένες (1, 2, 0)

Πρόταση: (1 , 2 , 0)

Είναι σημαντικό ότι οι προβολές του σημείου M 1 (x 1 , y 1 , z 1) στις συντεταγμένες Ox , O y і O z θα είναι σημεία με συντεταγμένες (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) και (0 , 0 , z 1) ισχύει.

Πώς θυμηθήκατε τη συγγνώμη στο κείμενο, να είστε ευγενικοί, δείτε το και πατήστε Ctrl + Enter

βοηθήστε κάποιον άλλο ηλεκτρονική αριθμομηχανήμπορείτε να γνωρίζετε την προβολή ενός σημείου σε ευθεία γραμμή. Ελπίζουμε να αναφέρουμε μια λύση με εξηγήσεις. Για να υπολογίσετε την προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή, ορίστε την απόσταση (2- μοιάζει με ευθεία γραμμή στο επίπεδο, 3- μοιάζει με ευθεία γραμμή στο διάστημα), εισάγετε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού στοιχείο ευθυγράμμισης στο πλαίσιο και πατήστε το κουμπί "Verishity".

×

Προκαταβολή

Εκκαθάριση όλων των δωματίων;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες για την εισαγωγή δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (ισχύουν: 487, 5, -7623 λεπτό.), δέκατοι αριθμοί (π.χ. 67., 102,54 λεπτός.) ή κλάσματα. Το κλάσμα απαιτείται να πληκτρολογηθεί στη θέα των a / b, de a і b (b> 0) tsіlі ή δεκάδες αριθμοί. Εφαρμόστε 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 λεπτό.

Προβολή σημείου σε ευθεία - θεωρία, εφαρμόστε τη λύση αυτή

Ας δούμε την εργασία στις εκτάσεις δύο και τριών κόσμων.

1. Ας δοθεί ένας βαθμός στον χώρο των δύο κόσμων Μ 0 (Χ 0 , y 0) εγώ ευθεία μεγάλο:

Αλγόριθμος για την προβολή ενός σημείου σε ευθεία γραμμή μεγάλογια να πάρεις εκδίκηση ως εξής:

• προτροπή απευθείας μεγάλο 1 για να περάσετε από το σημείο Μ 0 i κάθετα στην ευθεία μεγάλο,
• γνωρίζουν το άνοιγμα των ευθειών γραμμών μεγάλοі μεγάλο 1 (σημείο Μ 1)

Ευθεία γραμμή για να περάσει από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Vіdkrієmo τόξα

(5)

Ας υποθέσουμε την τιμή Χі yστις 4):

de Χ 1 =mt"+Χ", y 1 =pt"+y".

Παράδειγμα 1. Να γνωρίζετε την προβολή ενός σημείου Μ 0 (1, 3) ευθεία

Tobto. Μ=4, Π=5. Από την ευθυγράμμιση της ευθείας (6) είναι ξεκάθαρο ότι θα περάσει από το σημείο Μ" (Χ", y")=(2, −3)(το οποίο είναι εύκολο να αλλάξει - αντικαθιστώντας την τιμή (6) παίρνει την ταυτότητα 0=0), τότε. Χ"=2, y"=-3. Ας υποθέσουμε την τιμή m, p, x 0 , y 0 ,x", y"στις 5"):

2. Αφήστε ένα σημείο να δοθεί στον τετριμμένο κόσμο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) εγώ ευθεία μεγάλο:

Η έννοια της προβολής ενός σημείου σε ευθεία γραμμή μεγάλογια να πάρεις εκδίκηση ως εξής:

• ενθαρρύνει το διαμέρισμα α , για να περάσει από το σημείο Μ 0 i κάθετα στην ευθεία μεγάλο,
• γνωρίζουν την περιοχή του αμφιβληστροειδούς α εγώ ευθύς μεγάλο(κηλίδα Μ 1)

Επιπεδότητα του αεροπλάνου να διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Vіdkrієmo τόξα

Ας υποθέσουμε την τιμή Χі yπερίπου 9):

Η προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή είναι εύκολο να γίνει και για τις τελευταίες λειτουργίες, η μηδενική εγγύτητα υπολογίζεται ως προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία με τελείες. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτόν τον αριθμό πτυχών της κοινής εργασίας.

Αφήστε το να πάει κατευθείαν

κηλιδώνω. Είναι σημαντικό ότι το διάνυσμα των ευθειών w μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο. Η ευθεία διέρχεται από το σημείο , όπου η παράμετρος t είναι ίση με μηδέν, και το διάνυσμα w μπορεί να είναι ευθύ. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την προβολή ενός σημείου σε ευθεία γραμμή. Υπάρχει μόνο μία λύση. Θα επάγουμε ένα διάνυσμα από ένα σημείο μιας ευθείας γραμμής σε ένα σημείο και ένα υπολογιστικά βαθμωτό άκαμπτο διάνυσμα και ένα διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής w. Στο σχ. 4.5.1 που δείχνει το άμεσο διάνυσμα των γραμμών w, δεδομένο σημείο. Αν διαιρέσουμε αυτή τη βαθμωτή επέκταση στο μήκος του διανύσματος w, αφαιρούμε το μήκος της προβολής του διανύσματος σε μια ευθεία γραμμή.

Ρύζι. 4.5.1. Προβολή σημείου σε ευθεία γραμμή

Εάν διαιρέσουμε τη βαθμωτή προέκταση με το τετράγωνο του μήκους του διανύσματος w, τότε αφαιρούμε το μήκος της προβολής του διανύσματος στην ευθεία γραμμή σε μονάδες του μήκους του διανύσματος w, οπότε παίρνουμε την παράμετρο t για η προβολή του σημείου στην ευθεία γραμμή.

Έτσι, η παράμετρος προβολής ενός σημείου σε ευθεία γραμμή και η ακτίνα-διάνυσμα της προβολής . υπολογίστε με τύπους

(4.5.3)

Εάν το μήκος του διανύσματος w είναι ίσο με 1, τότε (4.5.2) δεν είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από το σημείο στην προβολή στην καμπύλη στην άνω κλίση υπολογίζεται ως το μήκος του διανύσματος. Μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση από το σημείο έως την προβολή її σε ευθεία γραμμή, όχι υπολογίζοντας την προβολή του σημείου, αλλά επιταχύνοντας τον τύπο

Okremі πέφτει.

Η προβολή ενός σημείου σε αναλυτικές καμπύλες μπορεί επίσης να είναι γνωστή χωρίς τη γνώση αριθμητικών μεθόδων. Για παράδειγμα, για να γνωρίζουμε την προβολή του σημείου στην τελική τομή, είναι απαραίτητο να μεταφράσουμε το σημείο που προβάλλεται στο σύστημα συντεταγμένων της τελικής κοπής, να προβάλλουμε το σημείο στο επίπεδο της τελικής κοπής και να γνωρίζουμε το παράμετρος της δισδιάστατης προβολής του δεδομένου σημείου.

Zagalny vpadok.

Ας είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε όλες τις προβολές ενός σημείου σε μια καμπύλη γραμμή.

(4.5.5)

Ο στόχος είναι να εκδικηθεί μια άγνωστη τιμή - την παράμετρο t. Όπως ειπώθηκε ήδη, η ολοκλήρωση της εργασίας χωρίστηκε σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, δηλώνουμε μηδενική προσέγγιση των παραμέτρων στις προβολές του σημείου της καμπύλης και στο άλλο στάδιο, γνωρίζουμε τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων στην καμπύλη, οι οποίες εκχωρούν τις προβολές του δεδομένου σημείου στην καμπύλη προς την ευθεία z