Дії πάνω από πίνακες και їх vyzniki. Οι κύριες πράξεις σε πίνακες (δίπλωμα, πολλαπλασιασμός, μεταφορά) έχουν την ίδια ισχύ. Λειτουργία πολλαπλασιασμού μήτρας
Πίνακες. Μετακίνηση πάνω σε πίνακες. Κυριαρχία πράξεων σε πίνακες. Δείτε τη μήτρα.
Πίνακεςμπορεί να είναι μια σημαντική αξία στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, η οποία επιτρέπεται να γράφεται σε απλή μορφή ενός σημαντικού μέρους μαθηματικά μοντέλααντικείμενα και διαδικασίες. Ο όρος "μήτρα" εμφανίστηκε το 1850. Προηγουμένως, οι πίνακες μαντεύονταν στην αρχαία Κίνα, αργότερα στους Άραβες μαθηματικούς.
Μήτρα Α=Αμνκαλείται η σειρά m * n ευθύγραμμος πίνακας αριθμών.
Στοιχεία μήτρας aij,για τα οποία i=j λέγονται διαγώνιο i κύρια διαγώνιο.
Για έναν τετράγωνο πίνακα (m=n), η διαγώνιος κεφαλής αποτελείται από στοιχεία a 11 , a 22 ,..., a nn .
Πίνακες Rivnist.
Α=Βμόνο η σειρά των πινάκων ΕΝΑі σιωστόσο αυτό a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Μετακίνηση πάνω σε πίνακες.
1. Πρόσθεση πινάκων - λειτουργία στοιχείο προς στοιχείο
2. Πίνακες προβολής - λειτουργία στοιχείο προς στοιχείο
3. Η προσθήκη ενός πίνακα σε έναν αριθμό είναι μια πράξη στοιχείο προς στοιχείο
4. Πολλαπλές Α*Βμήτρα κατά κανόνα σειρά από πάνω(ο αριθμός των στηλών στον πίνακα Α μπορεί να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα Β)
Amk * Bkn = Cmnγιατί το στοιχείο του δέρματος h ijμήτρες Cmnπροσθέστε το άθροισμα των στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα A και των άλλων στοιχείων της j-ης στήλης του πίνακα B, tobto.
Ας δείξουμε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού των πινάκων στο παράδειγμα
5. Δεσμοί στα πόδια
m>1 κελί ημερομηνία. Το A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας (m=n) tobto. σχετικές με τετράγωνους πίνακες
6. Μεταφορά πίνακα A. Ένας μεταφερόμενος πίνακας συμβολίζεται με A T ή A
Οι γραμμές και οι στήλες μνημονεύονταν από αποστολές
βαρέλι
Ισχύς πράξεων σε πίνακες
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Πίνακες Vidi
1. Ορθογώνιο: Μі n- αρκετά θετικά νούμερα
2. Τετράγωνο: m=n
3. Σειρά μήτρας: m=1. Για παράδειγμα, (1 3 5 7) - για πολλές πρακτικές εργασίες, ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται διάνυσμα
4. Matrix Stovpets: n=1. Για παράδειγμα
5. Διαγώνιος πίνακας: m=nі a ij = 0, σαν i≠j. Για παράδειγμα
6. Μόνος πίνακας: m=nі
7. Μηδενικός πίνακας: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Tricot matrix: όλα τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο της κεφαλής είναι ίσα με 0.
9. Συμμετρικός πίνακας: m=nі a ij = a ji(να στέκονται ίσα στοιχεία σε συμμετρικές διαγώνιες κεφαλής), και επίσης Α"=Α
Για παράδειγμα,
10. Πίνακας λοξής: m=nі a ij =-a ji(Γι' αυτό στις συμμετρικές κύριες διαγώνιους υπάρχουν στοιχεία πρωτιλίνης). Επίσης, στο κεφάλι διαγώνια βάση μηδενικά (γιατί με i=jμπορεί a ii =-a ii)
κατάλαβα Α"=-Α
11. Ερμιτιανός πίνακας: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- σύνθετο - έλαβε μέχρι ένα τζι, έπειτα. yakscho A=3+2i, στη συνέχεια σύνθετη - αποκτήθηκε Ã=3-2i)
Εντολή. Για διαδικτυακές λύσειςείναι απαραίτητο να ορίσετε τη μεταβλητή μήτρας. Σε ένα άλλο στάδιο, θα χρειαστεί να διευκρινιστεί το μέγεθος των πινάκων. Επιτρεπόμενες πράξεις: πολλαπλασιασμός (*), προσθήκη (+), προσθήκη (-), αντίστροφη μήτρα A^(-1), βήμα προς τα κάτω (A^2, B^3), μετατόπιση πίνακα (A^T).
Επιτρεπόμενες πράξεις: πολλαπλασιασμός (*), προσθήκη (+), προσθήκη (-), αντίστροφη μήτρα A^(-1), βήμα προς τα κάτω (A^2, B^3), μετατόπιση πίνακα (A^T).
Για να δείτε τη λίστα των λειτουργιών, χρησιμοποιήστε την λυγαριά με κώμα (;). Για παράδειγμα, για το vikonannya τρεις λειτουργίες:
α) 3Α + 4Β
β) ΑΒ-ΒΑ
γ) (Α-Β) -1
πρέπει να το γράψετε ως εξής: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος αριθμητικός πίνακας, ο οποίος έχει m σειρές και n στήλες, επομένως ο πίνακας μπορεί να απεικονιστεί σχηματικά κοιτάζοντας ένα ορθογώνιο.
Μηδενικός πίνακας (μηδενικός πίνακας)ονομάστε τον πίνακα, όλα τα στοιχεία που ισούνται με μηδέν και ορίστε το 0.
Μόνος μήτραονομάζεται τετραγωνικός πίνακας
Δύο πίνακες Α και Β ίσοι yakscho δυσωδία ίδιου μεγέθους και їх vіdpovіdnі στοιχεία іvnі.
Μήτρα Virogenκαλείται ο πίνακας, ο οποίος ισούται με μηδέν (Δ = 0).
Σημαντικά βασικές πράξεις σε πίνακες.
Προσθήκη πινάκων
Ραντεβού. Το άθροισμα δύο πινάκων A = | | a i k | | i B=||b i k || το ίδιο μέγεθος ονομάζεται ο πίνακας C=||c i k || ησυχάζουν οι ίδιοι razmіrіv, στοιχεία όπως perebuvayut για τον τύπο c i k =a i k + b i k . Εμφανίζεται ως C=A+B.Παράδειγμα 6 . .
Η λειτουργία των πτυσσόμενων πινάκων επεκτείνεται με τον αριθμό των προσθηκών. Προφανώς, A+0=A .
Για άλλη μια φορά, σας ενθαρρύνουμε να διπλώσετε περισσότερους από έναν πίνακα του ίδιου μεγέθους. για πίνακες διαφορετικών επεκτάσεων, η λειτουργία της πρόσθεσης δεν εκχωρείται.
Πίνακας όρασης
Ραντεβού. Λιανική Β-Αένας πίνακας B και A ίδιου μεγέθους ονομάζεται πίνακας C έτσι ώστε A+C=B.Αναπαραγωγή πινάκων
Ραντεβού. Πρόσθετος πίνακας A=||a i k || ο αριθμός α ονομάζεται πίνακας C = | |Ραντεβού. Δώστε δύο πίνακες A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), επιπλέον, ο αριθμός των στηλών στο A είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στο B . Το doboot A έως B είναι ο πίνακας C=||c i k ||, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται πίσω από τον τύπο 
.
Εμφανίζεται ως C=A·B.
Σχηματικά, η λειτουργία πολλαπλασιασμού πινάκων μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: 
και ο κανόνας για τον υπολογισμό του στοιχείου δημιουργίας: 
Pidkremlimo ψιλοκόψτε μια φορά, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, αν ο αριθμός των βημάτων του πρώτου dorivnika Kilkosti είναι ο άλλος, κάτω από την εργασία του δημιουργικού, ο αριθμός των ρολού σε ρολό Μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού μέσω μιας ειδικής ηλεκτρονικής αριθμομηχανής.
Παράδειγμα 7. Δίνεται μια μήτρα 
і 
. Γνωρίστε τους πίνακες C = A B και D = B A.
Λύση.
Σεβόμαστε ότι χρησιμοποιείται το Α Β, αλλά ο αριθμός των στηλών Α είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών Β.
Με σεβασμό, το vipadku έχει A·B≠B·A , λοιπόν. μήτρες dobutok αντιμεταθετικά.
Γνωρίζουμε το Β Α (πολλαπλά πιθανά).
Παράδειγμα 8 . Δίνεται μια μήτρα 
. Γνωρίστε 3A 2 - 2A.
Λύση.
.
; 
.
.
Αυτό είναι ένα σημαντικό γεγονός.
Όπως αποδεικνύεται, η πρόσθεση δύο διπλών μηδενικών αριθμών δεν ισούται με μηδέν. Για τους πίνακες, η κατάσταση μπορεί να είναι ή να μην είναι παρόμοια, έτσι ώστε η παραγωγή μη μηδενικών πινάκων μπορεί να φαίνεται ίση με μηδενικούς πίνακες.
Με σεβασμό, τα στοιχεία ενός πίνακα δεν μπορούν να είναι περισσότερα από έναν αριθμό. Ενημερώστε μας ότι περιγράφετε τα βιβλία, πώς να σταθείτε στην αστυνομία του βιβλίου σας. Αφήστε την αστυνομία να κρατήσει την τάξη και όλα τα βιβλία να σταθούν στους χώρους του τραγουδιού. Ο πίνακας, ως σωστή περιγραφή της βιβλιοθήκης σας (από την αστυνομία και τα βιβλία που ακολουθούν για την αστυνομία), θα είναι επίσης μια μήτρα. Ale, μια τέτοια μήτρα δεν θα είναι αριθμητική. Δεύτερο παράδειγμα. Αντί για αριθμούς στέκονται διαφορετικές συναρτήσεις, που τρώγονται μεταξύ τους από ένα είδος αγρανάπαυσης. Ο πίνακας του Otriman ονομάζεται επίσης μήτρα. Με άλλα λόγια, το Matrix, όπως ήταν, είναι ένα ορθογώνιο τραπέζι, διπλωμένο παρόμοιοςστοιχεία. Εδώ και παραπέρα μιλάμε για πίνακες, διπλωμένους από αριθμούς.
Αντικαταστήστε τους στρογγυλούς βραχίονες για τις μήτρες εγγραφής τοποθετώντας τετράγωνους βραχίονες ή ευθείες κάθετες γραμμές.
 |
(2.1*) |
Ραντεβού 2. Σαν Βιραζί(1) m = n, μετά μιλήστε για τετράγωνη μήτρα, αλλά yakscho , τότε περίπου ορθογώνιος.
Η τιμή αγρανάπαυσης των m και n χωρίζεται σε ειδικούς τύπους πινάκων:
Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό τετράγωνοπίνακες є її vyznachnikή καθοριστικός, Τι σχηματίζεται από τα στοιχεία της μήτρας και υποδεικνύεται
Είναι προφανές ότι D E = 1; .
Ραντεβού 3. Yakscho , μετά η μήτραΕΝΑ που ονομάζεται μη παρθένος ή όχι ιδιαίτερα.
Ραντεβού 4. Yakscho detA = 0, μετά η μήτραΕΝΑ που ονομάζεται ιογενής ή ειδικά.
Ραντεβού 5. Δύο πίνακεςΕΝΑ іσι που ονομάζεται ίσος γράφει αυτήΑ=Β σαν η δυσοσμία να είναι ίδια, οι διαφορές και τα βιώσιμα στοιχεία είναι ίσα,.
Για παράδειγμα, πίνακες και ίσες, γιατί η δυσοσμία είναι πιο κοντά στον κόσμο και το στοιχείο δέρματος μιας μήτρας είναι πιο κοντά στο παρόμοιο στοιχείο μιας άλλης μήτρας. Και ο άξονας του πίνακα i δεν μπορεί να ονομαστεί ίσος, αν και οι ορίζουσες και των δύο πινάκων είναι ίσοι, και οι πίνακες είναι ίδιοι, αλλά όχι όλα τα στοιχεία που βρίσκονται στα ίδια ίσα σημεία. Οι μήτρες είναι διαφορετικοί, έτσι ώστε να είναι δυνατός ένας διαφορετικός κόσμος. Ο πρώτος πίνακας είναι 2x3 και ο άλλος 3x2. Αν και ο αριθμός των στοιχείων είναι ίδιος - 6 και τα ίδια τα στοιχεία είναι τα ίδια 1, 2, 3, 4, 5, 6, η μπύρα βρωμάει σε διαφορετικά σημεία κοντά στη μήτρα του δέρματος. Και ο άξονας του πίνακα είναι το advance, zgіdno z vznachennyam 5.
Ραντεβού 6. Πώς να διορθώσετε τη σαρδελόρεγγα της μήτραςΕΝΑ και τέτοιος είναι ο αριθμός των σειρών του, τα ίδια στοιχεία που βρίσκονται στην περετίνα των ονομασιών των στηλών και των γραμμών για να δημιουργήσουν έναν τετράγωνο πίνακα n- η τάξη, πρόδρομος αυτού που ονομάζεται ανήλικοςκ- σειρά μήτραςΕΝΑ.
βαρέλι. Γράψτε τρία ελάσσονα με διαφορετική σειρά του πίνακα
Σε αυτό το θέμα, τέτοιες πράξεις θα εξεταστούν, όπως η προσθήκη αυτού του πίνακα εισόδου, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα, η μεταφορά ενός πίνακα. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya στην πλευρά ts_y, βγαλμένο από τα μπροστινά θέματα.
Διπλώνοντας την οπτική μήτρα.
Το άθροισμα των πινάκων $A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\ φορές n) =(c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1 , ιδ) $.
Εισαγάγετε έναν παρόμοιο προσδιορισμό για διαφορετικούς πίνακες:
Η διαφορά μεταξύ των πινάκων $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1,n )$.
Επεξήγηση πριν από την ανάρτηση $i=\overline(1,m)$: show\hook
Η καταχώρηση "$i=\overline(1,m)$" σημαίνει ότι η παράμετρος $i$ αλλάζει από 1 σε m. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός $i=\overline(1,5)$ αναφέρεται σε αυτούς που η παράμετρος $i$ παίρνει την τιμή 1, 2, 3, 4, 5.
Παρακαλούμε δώστε προσοχή στο γεγονός ότι οι πράξεις πρόσθεσης και άσκησης προορίζονται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους. Vzagali, προσθέτοντας και vіdnіmannya πίνακες - πράξεις, καθαρές διαισθητικά, πιο κακή βρώμα, στην πραγματικότητα, είναι λιγότερο άθροισμα ή πιο εμφανή στοιχεία.
Πισινός #1
Δίνονται τρεις πίνακες:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$
Chi μπορείς να ξέρεις τον πίνακα $A+F$; Γνωρίστε τους πίνακες $C$ και $D$, δηλαδή $C=A+B$ και $D=A-B$.
Πίνακας $A$ για σάρωση 2 σειρών και 3 στηλών (με άλλα λόγια, η επέκταση της μήτρας $A$ είναι $2\ φορές 3$) και πίνακας $F$ για σάρωση 2 σειρών και 2 σειρών. Οι επεκτάσεις των πινάκων $A$ και $F$ δεν ξεφεύγουν, οπότε μπορούμε να τις προσθέσουμε μαζί. η πράξη $A+F$ για αυτούς τους πίνακες δεν έχει εκχωρηθεί.
Αφήστε τους πίνακες $A$ και $B$ να επεκταθούν, έτσι. τα δεδομένα του πίνακα πρέπει να είναι ίσα με τον αριθμό των σειρών και stovptsiv, θα απαιτείται η λειτουργία της προσθήκης σε αυτά.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Γνωρίζουμε τον πίνακα $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(πίνακας) \δεξιά) $$
Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.
Ο πρόσθετος πίνακας $A_(m\times n)=(a_(ij))$ για τον αριθμό $\alpha$ είναι ο πίνακας $B_(m\times n)=(b_(ij))$, όπου $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1,n)$.
Φαινομενικά απλούστερο, πολλαπλασιάστε τη μήτρα με τον αριθμό - σημαίνει πολλαπλασιάστε το στοιχείο δέρματος της δεδομένης μήτρας με τον ακέραιο αριθμό.
Πισινό #2
Δίνεται ένας πίνακας: $ A = \ αριστερά (\ αρχή (πίνακας) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Γνωρίστε πίνακες $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( πίνακας) (cccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array)\right). $$
Ο συμβολισμός $-A$ είναι σύντομος συμβολισμός για $-1\cdot A$. Έτσι, για να γνωρίζετε $-A$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα $A$ επί (-1). Στην ουσία, σημαίνει ότι το πρόσημο όλων των στοιχείων στον πίνακα $A$ αλλάζει σε παράταση:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Dobutok δύο πίνακες.
Ο σκοπός αυτών των πράξεων είναι δυσκίνητος και, εκ πρώτης όψεως, παράλογος. Θα σας πω στο πίσω μέρος του κεφαλιού ένα πιο σοβαρό ραντεβού και, στη συνέχεια, θα αναφέρουμε τι σημαίνει και πώς να το αντιμετωπίσετε.
Το υποσύνολο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ στον πίνακα $B_(n\times k)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times k )=(c_( ij))$, για ένα στοιχείο δέρματος $c_(ij)$ στοιχεία ι-ουσειρές του πίνακα $A$ σε στοιχεία της j-ης στήλης του πίνακα $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Ο πολλαπλασιασμός των πινάκων του Pokrokov λαμβάνεται από τον πισινό. Ωστόσο, σημειώστε ότι δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες. Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ με τον πίνακα $B$, τότε είναι απαραίτητο να κάνουμε ανάκρουση, έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών στον πίνακα $A$ να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα $B$ ( Τέτοιοι πίνακες ονομάζονται συχνά παρακαλώ ζενιμι). Για παράδειγμα, ο πίνακας $A_(5\ φορές 4)$ (ο πίνακας έχει 5 σειρές και 4 σειρές), δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα $F_(9\ φορές 8)$ (9 σειρές και 8 σειρές), τον αριθμό των σειρών του πίνακα $A $ δεν είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα $ F $, αυτό είναι. $4\nq 9 $. Και ο πολλαπλασιασμός του πίνακα $A_(5\times 4)$ με τον πίνακα $B_(4\times 9)$ είναι δυνατός, αλλά ο αριθμός των στηλών στον πίνακα $A$ είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό γραμμών στον πίνακα $B$. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πινάκων $A_(5\ φορές 4)$ και $B_(4\ φορές 9)$ θα είναι ο πίνακας $C_(5\ φορές 9)$, ο οποίος θα καλύπτει 5 σειρές και 9 στήλες:
Πισινό #3
Δίνεται ένας πίνακας: $ A = \ αριστερά ( \ αρχή (πίνακας) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ τέλος (πίνακας) \δεξιά)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Γνωρίστε τον πίνακα $C = A\cdot B$.
Η τάξη μεγέθους είναι σημαντική για την επέκταση του πίνακα $C$. Εάν ο πίνακας $A$ είναι $3\πλάς 4$ και το $B$ είναι $4\φορές 2$, τότε ο πίνακας $C$ είναι $3\ φορές 2$:
Στη συνέχεια, ως αποτέλεσμα της προσθήκης των πινάκων $A$ και $B$, παίρνουμε εναλλάξ τον πίνακα $C$, ο οποίος αποτελείται από τρεις σειρές και δύο στήλες: $ C = \ αριστερά ( \ αρχή (πίνακας) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(πίνακας) \δεξιά)$. Όσον αφορά την έννοια των στοιχείων, μπορείτε να δείτε το μπροστινό θέμα: "Μήτρες. Δείτε τη μήτρα. Βασικοί όροι", στο στάχυ, εξηγείται η έννοια των στοιχείων της μήτρας. Το meta μας είναι να γνωρίζουμε τις τιμές όλων των στοιχείων στον πίνακα $C$.
Ας δούμε το στοιχείο $c_(11)$. Για να πάρετε το στοιχείο $c_(11)$, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε το άθροισμα των δημιουργιών των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:
Για να γνωρίζετε το στοιχείο $c_(11)$, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ με τα δεύτερα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$. το πρώτο στοιχείο είναι το πρώτο, το άλλο είναι το άλλο, το τρίτο είναι το τρίτο, το τέταρτο είναι το τέταρτο. Αναμένεται η απόσυρση των αποτελεσμάτων:
$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$
Συνεχίζουμε τη λύση και γνωρίζουμε το $c_(12)$. Για το οποίο συμβαίνει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της άλλης σειράς του πίνακα $B$:
Παρόμοια με το μπροστινό μέρος, ίσως:
$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$
Βρίσκονται όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $C$. Ας προχωρήσουμε σε μια άλλη σειρά, η οποία ξεκινά το στοιχείο $c_(21)$. Για να το μάθετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία μιας άλλης γραμμής του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:
$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$
Το στοιχείο προώθησης $c_(22)$ είναι γνωστό πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία μιας άλλης σειράς του πίνακα $A$ με τα στοιχεία της δεύτερης σειράς μιας άλλης σειράς του πίνακα $B$:
$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$
Για να μάθετε $c_(31)$ πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:
$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$
Πρώτον, η τιμή του στοιχείου $c_(32)$ πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα άλλα στοιχεία μιας άλλης στήλης του πίνακα $B$:
$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$
Βρέθηκαν όλα τα στοιχεία του πίνακα $C$, δεν αρκεί να σημειώσουμε ότι $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( πίνακας) \δεξιά)$ . Abo, θα ξαναγράψω περισσότερα:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
Πριν από την ομιλία, συχνά δεν υπάρχει νόημα να αναφέρουμε τη σημασία του στοιχείου δέρματος στο αποτέλεσμα της μήτρας. Για πίνακες, ο αριθμός των οποίων είναι μικρός, μπορείτε να το βρείτε ως εξής:
$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(πίνακας) \δεξιά) =\αριστερά (\αρχή(πίνακας) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$
Λάβετε υπόψη ότι ο πολλαπλασιασμός των πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός. Tse σημαίνει ότι στην άγρια φύση vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Μόνο για ορισμένους τύπους πινάκων, πώς να ονομάσετε μεταβλητή(αλλιώς μετακίνηση), ίσο με $A cdot B = B cdot A $. Η ίδια η μη-ανταλλαγή του πολλαπλασιασμού, είναι απαραίτητο να δείξουμε πώς πολλαπλασιάζουμε πολλαπλασιάζοντας αυτό το chi και έναν άλλο πίνακα: στα δεξιά, το chi είναι κακό. Για παράδειγμα, η φράση "πολλαπλασιάστε το προσβλητικό μέρος της ισοτιμίας $3E-F=Y$ με τον πίνακα $A$ είναι δεξιόχειρας" σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να λάβετε την ακόλουθη ισοτιμία: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.
Ο πίνακας $A_(n\ φορές m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, για στοιχεία π.χ. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Φαινομενικά απλούστερο, για να ληφθεί ο μετατιθέμενος πίνακας $A^T$, είναι απαραίτητο ο εξωτερικός πίνακας $A$ να αντικαταστήσει τις στήλες με διπλές σειρές ακολουθώντας αυτή την αρχή: πρώτη γραμμή - γίνει η πρώτη γραμμή. buv μια άλλη σειρά - σταθείτε μια άλλη σειρά. να είναι η τρίτη σειρά - να γίνει το τρίτο βήμα και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε τον μεταφερόμενο πίνακα στον πίνακα $A_(3\times 5)$:
Σαφώς, καθώς ο πίνακας εξόδου είναι μικρός $3 \ φορές 5 $, ο μεταφερόμενος πίνακας είναι $5 \ φορές 3 $.
Πραγματικά χαρακτηριστικά πράξεων σε πίνακες.
Εδώ μεταφέρεται ότι οι $ άλφα $, $ βήτα $ είναι δεκαδικοί αριθμοί και οι $ A $, $ B $, $ C $ είναι πίνακες. Για τις πρώτες αρχές του chotirioh, έχοντας υποδείξει το όνομα, το reshta μπορεί να ονομαστεί κατ' αναλογία με το πρώτο chotirma.
Σε αυτό το άρθρο, μπορούμε να επιλέξουμε πώς να εκτελέσουμε τη λειτουργία της πρόσθεσης σε πίνακες ίδιας σειράς, τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό και τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού πινάκων με την ίδια σειρά, αξιωματικά, μπορούμε να βάλουμε την ισχύ του πράξεων και επίσης συζητήστε την προτεραιότητα των πράξεων σε πίνακες. Παράλληλα με τη θεωρία, καθοδηγούμε τις λύσεις αναφοράς εφαρμογών, στις οποίες εκτελούνται πράξεις σε πίνακες.
Είναι ιδιαίτερα σεβαστό ότι όλα όσα ειπώθηκαν παρακάτω μεταφέρονται σε πίνακες, από στοιχεία όπως є dіysnі (ή μιγαδικοί) αριθμοί.
Πλοήγηση στο πλάι.
Η λειτουργία αναδίπλωσης δύο πινάκων.
Καθορισμένη λειτουργία αναδίπλωσης δύο μητρών.
Η λειτουργία της πρόσθεσης ανατέθηκε ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΜΙΤΡΕΣ ΤΗΣ ΜΙΑΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑΣ. Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να γνωρίζουμε το άθροισμα των πινάκων διαφορετικών διαστάσεων και είναι αδύνατο να μιλήσουμε για την αναδίπλωση της μήτρας της παραλλαγής διαστάσεων. Έτσι δεν μπορείτε να μιλήσετε για το άθροισμα του πίνακα και του αριθμού ή για το άθροισμα του πίνακα και οποιουδήποτε άλλου στοιχείου.
Ραντεβού.
Άθροισμα δύο πινάκων i - ο πίνακας, τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων Α και Β, tobto.
Έτσι, το αποτέλεσμα της λειτουργίας αναδίπλωσης δύο πινάκων είναι ένας πίνακας ίδιας τάξης.
Η ισχύς της λειτουργίας των πτυσσόμενων πινάκων.
Τι είδους δύναμη μπορεί η λειτουργία των πτυσσόμενων πινάκων; Στην αλυσίδα, είναι εύκολο να λάβετε απαντήσεις, ανάλογα με το άθροισμα δύο πινάκων μιας δεδομένης τάξης και με το να μαντέψετε τη δύναμη της πράξης αναδίπλωσης πραγματικών (αβο μιγαδικών) αριθμών.
- Για πίνακες A, B και C της ίδιας τάξης, η δύναμη της συσχέτισης είναι χαρακτηριστική της προσθήκης A + (B + C) = (A + B) + C.
- Για πίνακες πρώτης τάξης, υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο μετά την πρόσθεση, το οποίο είναι ένας μηδενικός πίνακας. Άρα η δύναμη του Α+Ο=Α είναι δίκαιη.
- Για έναν μη μηδενικό πίνακα A μιας δεδομένης τάξης, ο πίνακας (-A) με το άθροισμά του είναι μηδενικός πίνακας: A + (-A) = O .
- Για τους πίνακες A i αυτής της σειράς, η ισχύς της ανταλλαξιμότητας της αναδίπλωσης A + B = B + A είναι αληθής.
Αργότερα, οι απρόσωποι πίνακες μιας δεδομένης τάξης δημιουργούν μια προσθετική ομάδα Abel (ομάδα Abelian όπως η λειτουργία αναδιπλούμενης άλγεβρας).
Πρόσθεση πινάκων – επίλυση εφαρμογών.
Ας ρίξουμε μια ματιά στο παράδειγμα ενός διπλωμένου πίνακα.
βαρέλι.
Να βρείτε το άθροισμα των πινάκων i 
.
Λύση.
Οι τάξεις των πινάκων Α και Β αυξάνονται και αυξάνονται κατά 4 επί 2, οπότε μπορούμε να εκτελέσουμε την πράξη προσθήκης πίνακα i ως αποτέλεσμα, να πάρουμε τον πίνακα της τάξης 4 επί 2. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε τη λειτουργία αναδίπλωσης δύο πινάκων, προσθέτοντας περισσότερο στοιχείο προς στοιχείο: 
βαρέλι.
Να βρείτε το άθροισμα δύο πινάκων 
і 
τα στοιχεία είναι μιγαδικοί αριθμοί.
Λύση.
Oskіlki τάξεις των πινάκων είναι ίσες, μπορούμε να vikonat dodavannya. 
βαρέλι.
Vikoite dodavannya τρεις πίνακες 
.
Λύση.
Στοιβάζουμε τη μήτρα A z B, στη συνέχεια θα αφαιρέσουμε τη μήτρα, dodamo Z: 
Αφαιρέστε τον μηδενικό πίνακα.
Η πράξη του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό.
Καθορισμένη πράξη πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό.
Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό εκχωρείται ΓΙΑ ΜΗΤΡΗ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΤΑΞΗΣ.
Ραντεβού.
Πρόσθεση πίνακα και δεκαδικού (ή μιγαδικού) αριθμού- ολόκληρος ο πίνακας, τα στοιχεία του οποίου φαίνεται να πολλαπλασιάζονται με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα εξόδου με τον αριθμό , δηλαδή .
Με αυτή τη σειρά, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό є είναι ένας πίνακας της ίδιας τάξης.
Η ισχύς της πράξης πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό.
Από την ισχύ της λειτουργίας του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό, είναι πιθανό ο πολλαπλασιασμός ενός μηδενικού πίνακα με έναν αριθμό μηδέν να δίνει έναν μηδενικό πίνακα και η προσθήκη ενός επιπλέον αριθμού και ενός μηδενικού πίνακα είναι μηδενικός πίνακας.
Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό - εφαρμόστε αυτόν τον στίχο.
Ας ρίξουμε μια ματιά στη λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό στα άκρα.
βαρέλι.
Βρείτε επιπλέον αριθμό 2 και μήτρα 
.
Λύση.
Για να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το στοιχείο με τον ακέραιο αριθμό: 
βαρέλι.
Βρείτε τον πολλαπλασιασμό του πίνακα με τον αριθμό.
Λύση.
Πολλαπλασιάζουμε το στοιχείο δέρματος του δεδομένου πίνακα με τον ακέραιο αριθμό: 
Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων.
Αφιερωμένη λειτουργία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων.
Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων Α και Β ισχύει μόνο για την πτώση, εάν ο αριθμός των στηλών στον πίνακα Α είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών στον πίνακα Β.
Ραντεβού.
Επανεκκινήστε τον πίνακα A με τη σειρά του πίνακα Με τη σειρά- ένας τέτοιος πίνακας 3ης τάξης, το στοιχείο δέρματος είναι το πιο πολύτιμο άθροισμα των στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα στα παρόμοια στοιχεία της j-ης στήλης του πίνακα B, τότε, 
Έτσι, το αποτέλεσμα της λειτουργίας πολλαπλασιασμού ενός πίνακα κατά σειρά με έναν πίνακα είναι ένας πίνακας κατά σειρά.
Αναπαραγωγή μήτρας με μήτρα - λύση εφαρμογών.
Ας ρίξουμε μια ματιά στον πολλαπλασιασμό των πινάκων στα άκρα και μετά θα προχωρήσουμε στην αντιστροφή των δυνάμεων της πράξης πολλαπλασιασμού των πινάκων.
βαρέλι.
Βρείτε όλα τα στοιχεία του πίνακα C, πώς να προχωρήσετε στον πολλαπλασιασμό των πινάκων 
і 
.
Λύση.
Η σειρά του πίνακα A αυξάνεται κατά p = 3 κατά n = 2, η σειρά του πίνακα αυξάνεται κατά n = 2 κατά q = 4 και η σειρά του πίνακα θα είναι p = 3 κατά q = 4 . Επιτάχυνση με τη φόρμουλα
Με συνέπεια, παίρνουμε την τιμή του i στο 1 έως το 3 (κλίμακες p=3) για το δέρμα j στο 1 έως το 4 (κλίμακες q=4) και n=2 στην περίπτωσή μας, τότε 
Έτσι, όλα τα στοιχεία του πίνακα Z και του πίνακα υπολογίζονται, όταν πολλαπλασιάζονται δύο δεδομένοι πίνακες, μπορεί να φαίνονται 
.
βαρέλι.
Ψηφιοποίηση του πολλαπλασιαστή πίνακα 
.
Λύση.
Οι τάξεις των εξωτερικών πινάκων μας επιτρέπουν να πραγματοποιήσουμε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού. Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να πάρουμε έναν πίνακα τάξης 2 επί 3. 
βαρέλι.
Δίνεται μια μήτρα 
. Βρείτε επιπλέον πίνακες Α και Β, καθώς και πίνακες Β και Α.
Λύση.
Εάν η σειρά του πίνακα είναι 3 επί 1 και ο πίνακας είναι 1 επί 3, τότε το A⋅B είναι της τάξης του 3 επί 3 και ο επιπλέον πίνακας Β και Α είναι της τάξης του 1 επί 1. 
Yak bachite, . Αυτή είναι μια από τις δυνάμεις της λειτουργίας των πολλαπλασιαστικών πινάκων.
Η ισχύς της πράξης πολλαπλασιασμού πινάκων.
Εάν οι πίνακες A, B και C είναι της ίδιας σειράς, τότε ισχύουν τα ακόλουθα δύναμη της πράξης πολλαπλασιασμού πινάκων.
Η ακόλουθη είναι η τιμή που, για διαφορετικές τάξεις, η προσθήκη μηδενικού πίνακα στον πίνακα Α δίνει έναν μηδενικό πίνακα. Το Dobutok A δίνει επίσης μηδενικό πίνακα, έτσι ώστε οι τάξεις μεγέθους να επιτρέπουν τη λειτουργία πολλαπλασιασμού πινάκων.
Οι πίνακες μεσαίου τετραγώνου ονομάζονται έτσι πίνακες μετάθεσης, Η πράξη πολλαπλασιασμού είναι ανταλλάξιμη, άρα . Το κάτω μέρος των πινάκων μετάθεσης είναι ένα ζεύγος απλών πινάκων, είτε πρόκειται για άλλο πίνακα της ίδιας σειράς, επομένως είναι δίκαιο.
Προτεραιότητα πράξεων σε πίνακες.
Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό και του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν πίνακα έχουν ίση προτεραιότητα. Εκείνη ακριβώς την ώρα της λειτουργίας, η προτεραιότητα είναι μεγαλύτερη, η χαμηλότερη λειτουργία είναι το δίπλωμα δύο πινάκων. Με αυτή τη σειρά, ο πολλαπλασιασμός του πίνακα μετράται με τον αριθμό αυτού του πολλαπλασιασμού των πινάκων και στη συνέχεια πραγματοποιείται η πρόσθεση των πινάκων. Ωστόσο, η σειρά των πράξεων σε πίνακες μπορεί να εκχωρηθεί ρητά για ένα πρόσθετο τόξο.
Επίσης, η προτεραιότητα των πράξεων σε πίνακες είναι παρόμοια με την προτεραιότητα που αποδίδεται στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών.
βαρέλι.
Δίνεται μια μήτρα 
. Μάθετε από τους δεδομένους πίνακες που έχουν εκχωρηθεί στο dії 
.
Λύση.
Ξεκινάμε πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα Α με τον πίνακα Β:
Τώρα πολλαπλασιάζουμε έναν απλό πίνακα άλλης τάξης Ε επί δύο: 
Προσθέτουμε δύο αφαιρούμενους πίνακες:
Η λειτουργία πολλαπλασιασμού του αφαιρεθέντος πίνακα με τον πίνακα Α έχει χαθεί:
Σημειώστε ότι οι πράξεις που εξετάζουν πίνακες της ίδιας τάξης Α και Β δεν είναι απαραίτητες. Η διαφορά μεταξύ δύο πινάκων είναι ουσιαστικά το άθροισμα του πίνακα Α και των πινάκων, πολλαπλασιασμένο μπροστά με το μείον ένα: 
.
Η λειτουργία της κατασκευής μιας τετραγωνικής μήτρας στον φυσικό κόσμο δεν είναι αυτάρκης από μόνη της, αλλά θραύσματα διαδοχικών πολλαπλασιασμών πινάκων.
Ας φέρουμε μια τσάντα.
Τρεις πράξεις εκχωρούνται σε απρόσωπους πίνακες: προσθήκη πινάκων ίδιας τάξης, πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό και πολλαπλασιασμός πινάκων ίδιας τάξης. Η λειτουργία της πρόσθεσης σε απρόσωπους πίνακες μιας δεδομένης τάξης δημιουργεί μια ομάδα Abel.
Ενθουσιασμός...