Вижте матрицата на тази йога на силата. Матрици. Преместване на матрици. Доминиране на операциите върху матрици. Вижте матрицата. Операции на сгъване и визуализация на матрици
Матрици. Преместване на матрици. Доминиране на операциите върху матрици. Вижте матрицата.
Матрициможе да бъде важна стойност в приложната математика, която е разрешена да бъде написана в проста форма на значителна част математически моделиобекти и процеси. Терминът "матрица" се появява през 1850 г. Преди това матриците са били познати в древен Китай, по-късно в арабските математици.
Матрица A=Amnред m * n се извиква праволинейна таблица с числа.
Матрични елементи aij,за които i=j се наричат диагонал i главен диагонал.
За квадратна матрица (m=n), диагоналът на главата се състои от елементи a 11 , a 22 ,..., a nn .
Ривнист матрици.
А=Бпросто редът на матриците Аі бобаче това a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Преместване на матрици.
1. Събиране на матрици - поелементна операция
2. Преглед на матрици - поелементна работа
3. Добавянето на матрица към число е операция елемент по елемент
4. Множество A*Bматрица по правило ред отгоре(броят на колоните в матрица A може да бъде равен на броя на редовете в матрица B)
Amk * Bkn = Cmnзащо елементът кожа h ijматрици Cmnдобавете сумата от елементите на i-тия ред на матрицата A и другите елементи на j-тата колона на матрицата B, tobto.
Нека да покажем операцията за умножение на матрици на примера
5. Връзки в краката
m>1 клетка дата. A е квадратна матрица (m=n) tobto. приложими за квадратни матрици
6. Транспониране на матрица A. Транспонираната матрица се обозначава с A T или A
Редове и колони бяха отбелязани от мисии
дупето
Сила на операциите върху матрици
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Види матрици
1. Правоъгълен: мі н- доста положителни числа
2. Квадрат: m=n
3. Матричен ред: m=1. Например (1 3 5 7) - за много практически задачи такава матрица се нарича вектор
4. Матрица Стовпец: n=1. Например
5. Диагонална матрица: m=nі a ij = 0, като i≠j. Например
6. Самостоятелна матрица: m=nі
7. Нулева матрица: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Трикотажна матрица: всички елементи под диагонала на заглавието се събират до 0.
9. Симетрична матрица: m=nі a ij = a ji(да стоят равни елементи на симетрични диагонали на главата), а също А"=А
Например,
10. Изкривена матрица: m=nі a ij =-a ji(Затова на симетричните главни диагонали има протиленови елементи). Също така, на диагонала на главата стоят нули (защото с i=jможе би a ii =-a ii)
разбрах А"=-А
11. Ермитова матрица: m=nі a ii =-ã ii (ã джи- сложни - получени до а джи, тогава. yakscho A=3+2i, след това сложно - получено Ã=3-2i)
Ръководител на линейната алгебра. Матрична концепция. Вижте матрицата. Операции с матрици. Разв'язання задачи за трансформация на матрици.
В случай на различни задачи по математика, майката често се извежда вдясно с таблици с числа, наречени матрици. За допълнителни матрици преразгледайте ръчно системата от линейни подравнявания, преразгледайте богатите операции с вектори, преразгледайте различните задачи на компютърната графика и други инженерни задачи.
Матрицата се нарича праволинейна таблица с числа, какво да отмъсти на цацата м ryadkіv ta deyaka kіlkіst П stoptsiv. Числа Tі Псе наричат матрични поръчки. По същото време T = П,матрицата се нарича квадрат, а числото m = n-я в ред.
Надал за запис на матрици ще бъде блокиран или от двойни гребени, или от кръгли арки:
Або 
За кратка матрична стойност често ще използвате една голяма латинска буква (например A) или символа || a ij ||, а понякога и с обяснения на рози: НО = || a ij || = (aij),де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).
Числа aij,които влизат в склада на дадена матрица, се наричат нейните елементи. На поста aijпърви индекс і означава номера на реда, а другият индекс й- Номер на станцията. В квадратна матрица
(1.1)
въведе концепцията за главата и страничните диагонали. Главният диагонал на матрицата (1.1) се нарича диагонал от 11 до 12 … Антова, което минава от горния ляв ъгъл на матрицата до долния десен ъгъл на матрицата. Страничният диагонал на същата матрица се нарича диагонал a n 1 a (n -1) 2… a 1 n ,отидете от левия долен кут към десния горен кут.
Основните операции върху матриците са мощностните.
Нека да преминем към дефиницията на основните операции върху матрици.
Събиране на матрици.Суми две матрици A = | a ij || ,де і B = | | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)един и същи ред Tі Пнаречена матрица C = || h ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n)тих ред Tі П,елементи h ijкоито са присвоени на формулата
, де (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)
За да се разбере сумата от две матрици, се прави запис Z \u003d A + U.Операцията на сгъване на сбор от матрици се нарича тяхното сгъване. Otzhe, за назначените:
+ 
= 
От обозначението на сумата на матриците или по-скоро от формулите (1.2) се подразбира, че операцията на сгъване на матрици може да има мощност, че операцията на сгъване на реални числа и самата нея:
1) смяна на властта: A + B = B + A,
2) с добра мощност: ( A + B) + C = A + (B + C).
Tsí властите не позволяват dbati за реда на преминаване на допълнителни матрици при сгъване на две или по-голям бройматрици.
Умножение на матрица по число. Допълнителна матрица A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) в речта числото l се нарича матрица Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)елементи, които са присвоени на формулата:
, де (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)
За разпознаване на създаването на матрицата за числото се прави запис Z \u003d l Aили Z \u003d A l.Операцията за добавяне на създаването на матрица към число се нарича умножение на числото на матрицата.
От формула (1.3) става ясно, че умножаването на матрица по число може да има същата мощност:
1) с добра мощност като числен множител: (l m) A = l (m A);
2) rozpodіlnoyu мощност shkodo сумарни матрици: l (A + B) = l A + l B;
3) rozpodіlnoyu мощност shkodo sumi номера: (l + m) A = l A + m A
уважение.На дребно две матрици НОі Присъщият ред Tі Пестествено наричаме такава матрица Утих ред Tі П, yak u sumі z матрица бдава матрица A. За да се определи разликата между две матрици, се използва естествен запис: W = A - чл.
Лесно е да се объркате в това, което е различно Удве матрици НОі Приможе би бути отримана за правилото C \u003d A + (-1) B.
ТВ матрицаили матрично умножение.
Dobootcom Matrix A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє поръчки, vіdpovіdno равни Tі н,върху матрицата B = | | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє поръчки, vіdpovіdno равни ні R,наречена матрица Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maє поръчки, vіdpovіdno равни Tі Релементи, които са присвоени на формулата:
де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
За знанието за създаването на матрицата НОвърху матрицата Призапис на победител C = A × B. Операция на сгъване на матрицата НОвърху матрицата Присе нарича умножение на матрици.
От формулираното vishche vznachennya viplivaє това матрица А не може да бъде умножена по матрица,необходимо е, schob брой колони на матрицата НОповече от броя на редовете в матрицата Изкуство.
Формула (1.4) е правилото за сгъване на елементите на матрицата C, което е създаването на матрицата НОвърху матрицата Изкуство.Това правило може да се формулира устно: елемент c i j, който стои на пресечната точка на i-тия ред и j-тата колона на матрицата C = AB, добавя сумата от двойните творения на същите елементи в i-тия ред на матрицата A и j-тата колона на матрица Б.
Като пример за задаване на зададеното правило, въвеждаме формулата за умножение на квадратни матрици от различен ред.
× = 
Формулите (1.4) излъчват такава сила за създаването на матрицата НОвърху матрицата В:
1) добра мощност: (AB) C = A (BC);
2) rozpodílna schodo sumi матрици на мощност:
(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AC + AC.
Хранене за пермутация (преместване) на силата към създаването на матрицата Авърху матрицата Призадайте повече смисъл за квадратни матрици А и Бсъщия ред.
Нека да донесем важни okremí vpadki матрици, за които е справедливо и пермутация на властта. Две матрици за създаване на тези, които правилно пермутация на властта, е обичайно да се нарича пътуване.
Средата на квадратните матрици може да се разглежда като клас диагонални матрици, в кожата на тези елементи зашиването на позицията на диагонала на главата е равно на нула. Диагонална матрица на кожата в ред Пможе да изглежда
D= 
(1.5)
де d1, d2,… ,дн-yakí zavgodno числа. Лесно се бачи, че числата са равни помежду си, т.е. d1=d2=… = d nтогава за произволна квадратна матрица НОпоръчка Пправосъдието е справедливо A D = D A.
Средата на диагоналните матрици (1.5) е съставена от елементи d1=d2=… = d n = = дОсобено важна роля играят две матрици. Първата от тези матрици излиза на d=1наречена идентична матрица н д.Друга матрица за въвеждане d=0наречена нулева матрица нред, той се обозначава със символа опо такъв начин,
E= 
О= 
По силата на горното A E = E Aі AO = PRO A.Освен това е лесно да се покаже това
A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A = 0. (1.6)
Първата от формулите (1.6) характеризира специалната роля на единичната матрица Д,подобно на вашата роля, сякаш играете числото 1, когато умножавате действителните числа. Каква е специалната роля на нулевата матрица О,тогава не само показва приятел на формулите (1.7), но и равенство, което е елементарно обърнато
A+0=0+A=A.
В заключение, уважително е, че разбирането за нулевата матрица може да бъде въведено за неквадратни матрици (нулата се нарича бе-якуматрица, всички елементи на която са равни на нула).
блокови матрици
Да кажем, че матрицата на Deak A = | a ij ||за помощта на хоризонтални и вертикални прави линии, тя се разбива на отделни праволинейни клетки, кожата с матрица с по-малки размери и се нарича блок на външната матрица. В такъв момент причината е способността да се гледа външната матрица. НОкато нова (т.нар. блокова) матрица НО = || A a b ||, елементите на които блокове са присвоени. Обозначенията на елементите се обозначават с голямата латинска буква, долен индекс, това, което смърди, взагали изглежда, матрици, а не числа і (като основен цифров елемент) се доставя от два индекса, първият от които показва номера на блоков ред, а другият - номера на блока.
Например, матрица
можете да изглеждате като блокова матрица
елементи като тези блокове:
Странно е, че основните операции с блокови матрици следват едни и същи правила, зад които се крият най-значимите числови матрици, блоковете играят ролята на елементи.
Визионерска концепция.
Нека разгледаме красива квадратна матрица, независимо в какъв ред П:
А= (1.7)
С такава матрица на кожата свързваме една цифрова характеристика, аз я наричам сигнификатор, видно число от матрицата.
Как ред нматрици (1.7) са равни на 1, тогава тази матрица е съставена от един елемент a i j е сигнификаторът от първи ред, който съответства на такава матрица, ние наричаме стойност на елемента.
тогава знакът от различен ред, който показва такава матрица, се нарича число, което е повече a 11 a 22 - a 12 a 21и се обозначава с един от символите:
Отче, за назначените
(1.9)
Формула (1.9) е правилото за сгъване на променливата в различен ред след елементите на подобна матрица. Словесната формулировка на това правило е следната: сигнификаторът от различен ред, втората матрица (1.8), по-скъпото добавяне на елементи на дребно, което трябва да стои на диагонала на главата на матрицата, и добавянето на елементи, които трябва да стои на второстепенния диагонал. Лидерите на другия и по-висок ред познават широко използване в часа на усъвършенстване на системите от линейни линии.
Нека да разгледаме как да намигнем операции с матрици в системата MathCad . Най-простите операции на матричната алгебра се изпълняват от MathCad като оператори. Написването на операторите зад кулисите е възможно най-близо до оригиналната математическа функция. Операторът на кожата се изразява със същия знак. Нека да разгледаме матричните и векторните операции на MathCad 2001. n x 1,Следователно всички операции са валидни за тях, както и за матрици, които не са особено наситени (например такива операции са ограничени само до квадратни матрици) n x n). Yakіs dіі допустимо само за вектори (например скаларен twir), и yakіs, независимо от същото писане, по различен начин върху вектори и матрици.
За диалоговия прозорец посочете броя на редовете и колоните на матрицата.
q При натискане на бутона OK се показва поле за въвеждане на елементи на матрицата. За да въведете матричен елемент, поставете курсора върху обозначението на позицията и въведете броя или броя пъти от клавиатурата.
За да направите vikonate като операция за допълнителна лента с инструменти, трябва:
q вижте матрицата и щракнете в панела върху бутона за работа,
q или щракнете върху бутона на панела и въведете името на матрицата в позицията на стойността.
Менюто "Символи" има три операции - транспониране, инверсия, осцилатор.
Tse означава например, че можете да изчислите индекса на матрицата, като напишете командата Символи/Матрици/Подпис.
Номерът на първия ред (i от първата колона) на матрицата на MathCAD се взема от промяната ORIGIN. За промоции сметката се води от нула. В математическата нотация често е обичайно да се запазва стойността на записа 1. В MathCAD броят на редовете и колоните на записа е 1, необходимо е да се зададе стойността на промяната ORIGIN:=1.
Функциите, присвоени на роботите от рутинните процедури на линейната алгебра, се избират в секцията „Вектори и матрици“ на диалоговия прозорец „Вмъкване на функция“ (вероятно се щраква върху бутона в панела „Стандарти“). Основните им функции ще бъдат описани по-долу.
Транспониране
|
MathCAD може да добавя матрици, така че можете да ги видите една по една. За тези оператори се рисуват символи <+> или <-> очевидно. Матриците се дължат на майката на същия мир, в противен случай ще видите напомняне за помилването. Елементът скин е сбор от две матрици и сбор от останалите елементи на матриците-добавки (зад на фиг. 3).
Сгъване на матрица, MathCAD поддържа операцията за добавяне на матрица със скаларна стойност, tobto. номер (челна фиг. 4). Елементът на кожата на получената матрица е равен на сумата от изходния матричен елемент и скаларната стойност.
За да въведете символа за умножение, е необходимо да натиснете клавиша със зирочката<*>или ускорете лентата с инструменти Матрица (Матрица),натискане на бутона Точково произведение (умножение)(Фиг. 1). Матричното умножение се обозначава с точката на съкращението, както е показано в приложението на Фигура 6. Символът за матрично умножение може да бъде избран по същия начин като i в скаларни изрази.
Друг пример, който може да бъде умножен по вектор по матрица-ред i, сега редове по вектор, е показан на фиг. 7. В друг ред кой пример показва как изглежда формулата, когато изберете оператора за умножение Няма място (заедно).Въпреки това, същият оператор за умножение се разделя на два вектора и по различен начин .
Подобна информация.
Матрици. Вижте матрицата. Операции с матрици и йога на властта.
Значима матрица от n-ти ред. N, Z, Q, R, C,
Матрица от порядъка m * n се нарича правоъгълна таблица от s числа, които могат да бъдат заменени с m-ред и n - колони.
Ривнист матрици:
Две матрици се наричат равни, тъй като броят на редовете и колоните на едната от тях е равен на броя на редовете и колоните на другата и другата. ел-ти цих матрици равни.
Забележка: El-ty, yakí може да има същите индекси, е vіdpovіdnimi.
Вижте матрицата:
Квадратна матрица: матрицата се нарича квадратна, защото броят на редовете е равен на броя на колоните.
Правоъгълна: матрицата се нарича правоъгълна, тъй като броят на редовете не е равен на броя на колоните.
Матрица на редове: Матрицата 1 * n (m = 1) може да изглежда като a11, a12, a13 и се нарича матрица на редове.
Стовпети на матрицата:………….
Диагонал: диагоналът на квадратната матрица, който преминава от горния ляв кут до долния десен кут, който се образува от елементите a11, a22 ... - се нарича диагонал на главата. (дефиниция: квадратна матрица с всички елементи, които се събират до нула, кремът е тих, който се разстила по диагонала на главата, се нарича диагонална матрица.
Сам: диагоналната матрица се нарича единична, тъй като всички елементи са поставени върху диагонала на главата и добавят 1.
Горен трико: A = | | aij | | се нарича горна трико матрица, така че aij=0. Помислете за i>j.
Долен трикон: aij=0. аз Нула: ce матрица El-ty като добра 0. Операции с матрици. 1. Транспониране. 2. Умножение на матрица с число. 3. Сгъваеми матрици. 4. Умножение на матрици. Основните sv-va podії над матрици. 1.A+B=B+A (комутативност) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоциативност) 3.a(A+B)=aA+aB (разпределение) 4.(a+b)A=aA+bA (разпределител) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.) 6.AB≠BA (ден на кого.) 7.A(BC)=(AB)C (доц.) Виробивските матрици са победоносни. 8.A(B+C)=AB+AC (разпределител) (B+C)A=BA+CA (дистрибутор) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Знакът на квадратната матрица е значението на тази йога на силата. Оформлението на vyznachnik в редове и редове. Начини за изчисляване на номинираните. Ако една матрица има ред m>1, тогава сигнификаторът на тази матрица е число. Алгебрични допълнения Aij el-ta aij матрица A се нарича второстепенна Mij, умножения по числото ТЕОРЕМА 1: Значима матрица А е добра сума от творенията на всички елементи на достатъчен ред (stovptsya) с техните алгебрични добавки. Основните правомощия на назначените. 1. Обозначението на матрицата не се променя в часа на транспониране. 2. При пренареждане на два реда (stovptsiv) означаващото променя знака, но абсолютната стойност на йогото не се променя. 3. Значима матрица, която може да има два еднакви реда (stowpts), равни на 0. 4. При умножаване на ред (stovptsya) на матрица с число я, означаващото се умножава по цялото число. 5. Ако един от редовете (stowpts) на матрицата се добави към 0, тогава индексът на реда на матрицата е равен на 0. 6. Въпреки че всички елементи на i-тия ред (stowptsya) на матрицата са представени чрез разглеждане на сумата от две допълнителни матрици, тогава същият знак може да бъде подаден при разглеждане на сумата от сумата на две матрици. 7. Назначеният не се променя, така че към елементите на една колона (ред) да се добави допълнителен елемент от друга колона (ред) пред множество. за същия номер. 8. Сумата от най-важните елементи на следващата колона (ред) на лидера в горната част на алгебрата от елементи на следващата колона (ред) е равна на 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Методи за изчисляване на главницата: 1. За дефиницията на chi от теорема 1. 2. Доведен до вид на трико. Значението на тази мощност на въртящата се матрица. Изчисляване на матрицата на оборота. Подравняване на матрицата. Обозначение: Квадратна матрица от ред n се нарича опорна точка към матрица И от същия ред i се присвоява За да може матрицата A да се основава на обратната матрица, е необходимо и достатъчно началото на матрицата A да е 0. Доминирането на основната матрица: 1. Единство: за матрицата A нейната обратима - единство. 2. матричен обозначител 3. Операцията за вземане на транспониране и вземане на матрицата на ротация. Подравняване на матрицата: Нека A и B са две квадратни матрици от един и същи ред. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Разбиране на линейността и независимостта на колоните на матрицата. Доминирането на линейната заблуда и линейната независимост на системата от партньори. Стовпци A1, A2 ... An се наричат линейно угар, тъй като не е тривиална линейна комбинация, която е по-близо до 0-та колона. Колоните A1, A2 ... An се наричат линейно независими, тъй като не са тривиална линейна комбинация, която е равна на 0-та колона. Линейната комбинация се нарича тривиална, защото всички коефициенти С(l) са равни на 0 и не са тривиални по различен начин. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. за да могат колоните да бъдат линейно угарени, е необходимо и достатъчно те да бъдат линейна комбинация от други колони. Донесете 1 от колоните с линейна комбинация от други колони. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" линейно угар, тогава всички колони са линейно угар. 4. Точно както системата от траверси е линейно независима, тогава дали самата подсистема е толкова линейно независима. (Всичко, което се казва за stovptsiv, е вярно и за редовете). Минори матрици. Основен минор. Ранг на матрицата. Методът е рамкиран от второстепенните при изчисляването на ранга на матрицата. Минорът на реда към матрица A е знакът на елемента на някакво сортиране на лентата към редовете и колоните на матрица A. Ако всички второстепенни до тити ред на матрицата A = 0, тогава дали има второстепенни до ред до +1 или дори 0. Основен минор. Рангът на матрица A е порядъкът на основния минор. Метод за рамкиране на второстепенни: - Избираме ненулев елемент от матрицата A (Ако няма такъв елемент, тогава рангът на A = 0) Рамкира се от минор от предния 1-ви ред от минор от 2-ри ред. (Ако този минор не е равен на 0, тогава рангът е >=2) Ако рангът на първия минор е 0, тогава вибрациите от минор от 1-ви ред са рамкирани от други минори от 2-ри ред. (Ако всички второстепенни от 2-ри ред = 0, тогава рангът на матрицата = 1). Ранг на матрицата. Методи за определяне на ранга на матрица. Рангът на матрица A е порядъкът на основния минор. Методи за изчисление: 1) Методът за граничещи минори: - Изберете ненулев елемент от матрицата A (ако няма такъв елемент, тогава ранг = 0) - Рамкирайте минора от 1-ви ред напред с минора от 2-ри ред.. gif" width="40" >r+1 Mr +1=0. 2) Привеждане на матрицата в поетапен вид: този метод се основава на елементарни трансформации. При елементарни трансформации рангът на матрицата се променя. Следните трансформации се наричат елементарни трансформации: Пермутация на два реда (stovptsiv). Умножението на всички елементи на числото deyago stovptsya (редове) не е =0. Допълнение към всички елементи на следващия ред (ред) на елементите на следващия ред (ред), напред, умножено по същото число. Теоремата за основния минор. Че достатъчна интелигентност е необходима за равенството на нулата на сигнификатора. Базовият минор на матрицата A е минорът от най-големия пред-ти ред на доминиращия изглед 0. Основна малка теорема: Основните редове (stovpts) са линейно независими. Дали ред (stovpets) на матрицата A е линейна комбинация от основни редове (stovptsiv). Редове и колони, върху ретината на които стои основният минор, се наричат основно основни редове и колони. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Необходим и достатъчен разум да бъде равен на нула на сигнификатора: За тази цел водачът от n-ти ред = 0 е необходимо и достатъчно, така че редовете (стоуптовете) да са линейно угарени. Системи от линейни линии, тяхната класификация и форма на запис. Правилото на Крамър. Нека да разгледаме системата от 3-линейни линии от триото на nevidomimi: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}!} наречен арбитър на системата. Добавяме още трима лидери в следващия ранг: заместваме последователно D в последователност 1, 2 и 3 от стълбовете на стълба на свободните членове https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}!} Привеждане. По-късно нека да разгледаме системата от 3 равни от трио невидомими. Умножаваме първото подреждане на системата чрез добавяне на алгебрата A11 на елемента a11, второто подравняване по A21 и 3-тото по A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}!} Нека да разгледаме кожата на окови и дясната част на tsy равна. Съгласно теоремата за подреждането на арбитъра за елементите на 1-ва колона https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}!} По подобен начин може да се покаже, че i . Нареши не иска да помни това Otzhe, otrimuemo ревност:. баща,. По подобен начин са показани еквивалентността и звездите и втвърдяването на теоремата. Системи от линейни линии. Сумирането на Умов на линеен ривнян. Теоремата на Кронекер-Капели. Решението на системата от алгебрични уравнения се нарича такова множество от n числа C1,C2,C3……Cn, тъй като при обосноваване на y системата се намира в пространството x1,x2,x3…..xn Системата от линейни подравнявания на алгебрата се нарича съвместна система, сякаш не може да има едно решение. Сплит системата се нарича пеене, защото има само едно решение и то невидимо, защото има безлично решение. Измийте сумирането на системи от линейни алгебрични прави. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn ТЕОРЕМА: За да бъде системата от m линейни подравнявания с n неизменно кохерентна, е необходимо и достатъчно рангът на разширената матрица да се повиши до ранга на матрица A. Забележка: Тази теорема дава повече от критерий за основата на решение, но не посочва метода за търсене на решение. 10 хранения. Системи от линейни линии. Методът на основния минор е див начин за изследване на всички решения на линейни системи за подравняване. A=a21 a22…..a2n Основен второстепенен метод: Нека системата е спилна, че RgA=RgA'=r. Дайте основния минор от надписите в горния ляв ъгъл на матрицата A. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Ако рангът на основната матрица и на анализираната е r=n, то в този случай dj=bj і системата има само едно решение. Единни системи от линейни линии. Системата от линейни равенства на алгебрата се нарича хомогенна, тъй като всички нейни свободни членове са равни на нула. AX=0 – хомогенна система. AX \u003d B е хетерогенна система. Хомогенни системи за всяка спалня. X1 = x2 = .. = xn = 0 Теорема 1. Хомогенните системи могат да имат хетерогенни решения, ако рангът на матрицата на системата е по-малък от броя на нехомогенните. Теорема 2. Хомогенна система от n-линейни равенства с n-непълни решения има нулеви решения, ако знакът на матрица A е равен на нула. (detA=0) Силата на rozvyazkіv jednorodnyh системи. Независимо дали е линейна комбинация от решение на хомогенна система и решения на система. α1C1 +α2C2; α1 и α2 са реални числа. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, т.е. k (A C1) = 0; (AC2) = 0 Няма място за власт за разнородна система. Система за фундаментално решение. Теорема 3. Тъй като рангът на матричната система е равен на n-независим dorivnyu r, тази система може да има n-r линейно независими решения. Нека основният минор е в горния ляв ъгъл. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Системата от n-r линейно независими решения на хомогенна система от линейни равенства с n-независими рангове r се нарича фундаментална система от решения. Теорема 4. Дали решение на система от линейни подравнявания е линейна комбинация от решение на фундаментална система. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r Yakscho r 12 хранения. Zagalne rozvyazannya хетерогенна система. Сън (заг. неравномерно.) \u003d Coo + Mid (частно) AX = B (хетерогенна система); AX = 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, така че (ACoo) = 0 Сън = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch Метод на Гаус. Методът на последните винификации на непознатото (промяна) - при тези, които с помощта на елементарните трансформации равната система се довежда до равната система на стъпаловиден вид, от която, започвайки от останалите промени, познайте промените. Нека a ≠ 0 (ако не е така, тогава чрез пермутация на равенствата те познават кое). 1) включително промяна на x1 от другия, трети ... n-ти ранг, умножаване на първия ранг по второто число и добавяне на резултатите към 2-ри, 3-ти ... n-ти ранг, след което вземаме: Ние приемаме системата еднакво силна. 2) изключете промяната x2 3) изключване на x3 промяна и т.н. Продължаване на процеса на последващо изключване на заместванията x4; x5 ... xr-1 се приема за (r-1) култура. Броят на оставащите нули n-r в равното означава как изглежда лявата част от него: 0x1 +0x2+..+0xn Ако някое от числата vr+1, vr+2… не иска да е равно на нула, то равенството е суперравно и системата (1) не е кохерентна. В този ред, за be-like кохерентна система, vr+1 … vm е равно на нула. Останалите n-r са равни в системата (1; r-1) е с еднаквост и не могат да бъдат взети за спазване. Има две възможности: а) броят на равните на системата (1; r-1) е равен на броя на неизвестните, така че r = n (системата изглежда сложна в този случай). б) r Преходът от системата (1) към равна система (1; r-1) се нарича директно преминаване към метода на Гаус. Относно промяната на промяната от системата (1; r-1) - повратна точка към метода на Гаус. Преобразуването на Gaus се извършва ръчно, като се изграждат не с равни, а с разширена матрица на техните коефициенти. 13 хранения. Подобни матрици. Нека разгледаме само квадратни матрици от ред n/ Матрица A се нарича подобна матрица (A~B), тъй като има такава неособена матрица S, че A=S-1BS. Мощност на такива матрици. 1) Матрица А е подобна на себе си. (A~A) Както S=E, така и EAE=E-1AE=A 2) Ако A ~ B, тогава B ~ A Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) Ако A~B и един час B~C, тогава A~C Като се има предвид, че A=S1-1BS1 и B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1 4) Десигнаторите на подобни матрици са равни. Дадено е, че A ~ B, се изисква да се донесе това detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (скоро) = detB. 5) Ранговете на подобни матрици се променят. Власни вектори и власни стойности на матрици. Числото λ се нарича дадена стойност на матрицата A, тъй като то е ненулев вектор X (матрична колона), така че AX = λ X, векторът X се нарича даден вектор на матрицата A, а комбинацията от всички стойности се нарича спектър на матрицата A. Силата на мощните вектори. 1) При умножаване на вектора на степента, числото се изважда от вектора на мощността от същите стойности на мощността. AX = λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) = \u003d λ (α X) 2) Мокрите вектори с по двойки различни мокри стойности са линейно независими λ1, λ2,.. λk. Нека системата е съставена от един вектор, нека я направим индуктивна: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - умножете по A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0 Умножете по λn+1 и вижте C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Изисква се schob С1 = С2 = ... = Сn = 0 Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Характерно равни. A-λE се нарича характеристична матрица за матрица A. За да бъде ненулев вектор X свободен вектор на матрицата A, е необходимо свободната стойност да съответства, така че ненулев вектор X да е решение на хомогенна система от линейно-алгебрични уравнения (A - λE)X = 0 Нетривиално решение на системата може да бъде, ако det (A - XE) = 0 - то е характеристично равно. Твърдост! Характеристиките на такива матрици са различни. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Характерен богат член. det(A – λЕ) - функция на параметър λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Този полином се нарича характерен полином на матрицата A. последно: 1) Тъй като матриците A~B, тогава сумата от техните диагонални елементи се увеличава. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Има много мощни стойности на подобни матрици. Якщо характеристично изравняванематрици zbіgayutsya, тогава вонята neobov'yazkovo podіbnі. За матрица А За матрица Б https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 За да бъде диагонализирана матрицата A до порядъка на n, е необходимо да се използват линейно независимите вълнови вектори на матрицата A. Последица. Въпреки че всички стойности на матрицата A са различни, тя е диагонализирана. Алгоритъм за познаване на векторите на мощността и стойностите на мощността. 1) сгъваема характеристика равна 2) знаем корена rívnyan 3) добавяме система за изравняване на присвояването на вашия вектор. λi (A-λi E)X = 0 4) знаем фундаменталната система за решение x1,x2..xn-r, de r - ранг на характеристичната матрица. r = Rg(A - λi E) 5) векторът на мощността, стойностите на мощността λi се записват в изгледа: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0 6) проверете дали матрицата може да бъде намалена до диагонален вид. 7) знаем Ag Ag=S-1AS S= 15 хранения. Основата на права линия, квадрат, интервал. http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Модулът на вектора е равен на нула, дори ако векторът е нула. 4. Орт вектор. Ортът на този вектор се нарича вектор, който обаче е насочен с този вектор и може да има модул, който е най-често срещаната единица. Rivnі вектори mayut rіvnі orti. 5. Разрязване между два вектора. По-малката част от зоната е заобиколена от две разклонения, които идват от една и съща точка и са изправени от същите вектори. Векторно съхранение. Умножение на вектор по число. 1) Добавяне на два вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Умножение на вектор със скалар. Новият вектор, който може да се нарече под-вектор на този скалар, е: а) = събиране на модула на векторно умножение с абсолютната стойност на скалара. б) директно едновременно с умножен вектор, сякаш скаларът е положителен, i като обратното, сякаш скаларът е отрицателен. λ a(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Сила на линейните операции върху вектори. 1. Закон за комуникативността. 2. Законът за асоциативността. 3. Добавяне на нула. a(вектор)+ō= a(вектор) 4.Съхранение с постелки. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6; 7. Закон за дистрибутивност. Viraz вектор чрез yogo модул i ort. Максималният брой линейно независими вектори се нарича базис. Основата на правата е произволен вектор. Основата на равнината са два некалендарни вектора. Основата на пространството е система от три некомпланарни вектора. Коефициентът на векторното оформление по действителния базис се нарича компонентите или координатите на вектора в дадения базис. Vikonati поради сгъване и умножаване по скалар, след което в резултат на това има няколко такива взети diy: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат линейна угар, защото има нетривиална линейна комбинация, което е добре?. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат независими от линията, тъй като няма нетривиална комбинация от линии. Доминиране на линейни угар и независими вектори: 1) системата от вектори за заместване на нулевия вектор е линейно угар. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ще бъде линейно угар, необходимо е векторът да бъде линейна комбинация от други вектори. 3) като част от вектора в системата a1(вектор), a2(вектор) ... ak(вектор) е линейно-депозитен, тогава всички вектори са линейно-депозитен. 4) като всички вектори. https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Линейни операции в координати. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Сила на скаларното създаване: 1. Комутативност 3. (a;b)=0, дори и само веднъж, ако векторите са ортогонални или ако са от вектори, те са повече или по-малко 0. 4. Дистрибутивност (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Виразирайте скаларното създаване a и b чрез техните координати https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Когато vykonanní измиване (), h, l = 1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и се извиква третият вектор, който е доволен от идващите равни: 3. - права Силата на векторното творчество: 4. Вектор vitvirкоординатни ортове Ортонормална основа. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Често се използват 3 символа за определяне на ортонормалната основа https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Тогава Yakscho е ортонормална основа https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- подравняване по права линия успоредна осОХ 2) - подравняване на правата линия, успоредна на оста на OS 2. Взаимно разширяване на 2 прави. Теорема 1 A) Todi е необходимо, че има достатъчно внимание, ако вонята е оцветена с един поглед: Б) Това е необходимо и достатъчно за ума на това, което е пряко успоредно на ума: Б) Каквото е необходимо достатъчно умственотози, който е директно ядосан в един ум: 3. Преминете от точката към правата линия. Теорема. Преместете се от точка към права линия, като използвате декартова координатна система: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Изрежете между две прави линии. Измийте перпендикулярност. Нека 2 директни присвоявания на декартова координатна система с големи нива. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Yakscho, тогава правите линии са перпендикулярни. 24 хранения. Районът в близост до пространството. Векторна и равнинна комплонарност на Умов. Vídstan víd точка към равнината. Умов успоредност и перпендикулярност на две равнини. 1. Комплонарност на Умов на вектор и равнина. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Без'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Без'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Кът между 2 пл. Измийте перпендикулярност. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Yakshcho, тогава равнините са перпендикулярни. 25 хранения. Права линия в пространството. По различен начин вижте подравняването на правите линии в откритото пространство. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Вектор на директно подреждане в пространството. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Канонично равенствоправ. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Без'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!} С уважение, елементите на една матрица не могат да бъдат повече от число. Уведомете ни, че описвате книгите, как да стоите на книжната си полиция. Нека полицията следи за реда и всички книги да стоят на пеещите места. Таблицата, като подходящо описание на вашата библиотека (от полицията и следващите книги за полицията), също ще бъде матрица. Но такава матрица няма да бъде числова. Втори пример. Вместо номера стоят различни функции, изядени помежду си от един вид угар. Таблицата на Отриман се нарича още матрица. С други думи, Матрицата, така да се каже, е правоъгълна маса, сгъната подобенелементи. Тук и по-нататък става дума за матрици, сгънати от числа. Заменете кръглите рамена за записващи матрици, като поставите квадратни рамена или прави вертикални линии. Назначаване 2. Като Вирази(1) m = n, тогава говорете за квадратна матрица, но yakscho , след това около правоъгълен. Остатъчната стойност на m и n е разделена на специални типове матрици: Най-важната характеристика квадратматрици е я vyznachnikили детерминант, Какво се формира от елементите на матрицата и е посочено Очевидно е, че D E = 1; . Назначаване 3. Якщо , след това матрицатаА Наречен недевствена или не особено. Назначаване 4. Якщо detA = 0, след това матрицатаА Наречен вирогенен или особено. Назначаване 5. Две матрициА іб Наречен равен тя пишеА=Б сякаш вонята може да е една и съща, разликите и жизнеспособните им елементи са равни,. Например матрици и равни, защото вонята е по-близо до света и елементът на кожата на една матрица е по-близо до подобен елемент на друга матрица. И оста на матрицата i не може да се нарече равна, въпреки че детерминантите на двете матрици са равни и матриците са еднакви, но не всички елементи, които стоят в едни и същи равни точки. Матриците са различни, така че е възможен различен свят. Първата матрица е 2x3, а другата 3x2. Въпреки че броят на елементите е един и същ - 6 и самите елементи са еднакви 1, 2, 3, 4, 5, 6, ейлът мирише да стои на различни места в близост до матрицата на кожата. И оста на матрицата е предварително, zgídno z vznachennyam 5. Назначаване 6. Как да оправя цацата на матрицатаА и такъв е броят на неговите редове, същите елементи, които стоят на перетината на обозначенията на колоните и редовете, за да установят квадратна матрицан- ти орден, предшественик на това Наречен незначителенк- матричен редА. дупето. Напишете три второстепенни в различен ред на матрицата Назначаване.Матрица rozmíru m'n, de m-брой редове, n-брой колони, се извиква таблицата с числа, подреждайки ги в същия ред. Числата Qi се наричат матрични елементи. Площта на кожния елемент е недвусмислено идентифицирана от номера на реда и шпатулата, върху ретината на която се намират вени. На матричните елементи се присвоява ij, където i е номерът на реда, а j е номерът на реда. Основни подразделения над матрици.
Матрицата може да бъде сгъната в един ред и в една колона. Не забравяйте, че матрицата може да бъде сгъната от един елемент. Назначаване.
Ако броят на колоните на матрицата е равен на броя на редовете (m=n), тогава матрицата се нарича квадрат. Назначаване.
Якщо =
, тогава се извиква матрицата симетричен.
дупето.- симетрична матрица Назначаване.
Квадратната матрица се нарича диагоналматрица. Назначаване.
Диагонална матрица, която има по-малко от един на диагонала на главата: = д, Наречен единична матрица. Назначаване.
Матрицата, която има по-малко от нула елементи под диагонала на главата, се нарича горна трико матрица.Ако матрицата над диагонала на главата има по-малко от нула елементи, тогава тя се извиква долна трико матрица. Назначаване.
Двете матрици се наричат равенкато вонята на един роуминг и vykonuєtsya спокойствие: · Допълнителна информацияматриците се изграждат до следващите операции върху техните елементи. Върховният авторитет на тези операции са тези, които смърдят запазени само за матрици с еднакъв размер. В този ред е възможно да се посочи операцията по сгъване на тази визуална матрица: Назначаване.чанта (на дребно)матрица е матрица, чиито елементи са сумата (на дребно) на елементите на изходните матрици. Z \u003d A + B \u003d B + A. Операция множествено число (поділу)матрицата, независимо дали е разширена с определено число, се редуцира до кратно (разделено) на скин елемента на матрицата на цялото число. a (A + B) \u003d aA ± aB А(a±b) = aА ± bА дупето.Дадена е матрица A = ; B = знам 2A + B. 2A = , 2A + B = . · Назначаване:ТворомМатрицата се нарича матрица, чиито елементи могат да бъдат изчислени по следните формули: От индуцираното обозначение може да се види, че операцията за умножаване на матрици се присвоява само на матрици, броят на колоните на първия е равен на броя на редовете на другия. дупето. · Назначаване.
Матрица B се нарича транспониранматрица A и преход от A към B транспониранеНапример, елементите на реда на кожата на матрица A са записани в същия ред в колоните на матрица B. A =; B = A T =; С други думи, = . реверсивна матрица.
Назначаване.
Това са квадратни матрици X и A от същия ред, които радват ума: de E е единична матрица от същия ред като матрицата A, тогава матрицата X се нарича обратимина матрица A i се присвоява A-1. Скин квадратна матрица с ос, която не е равна на нула, може да има обратна матрица и повече от една. реверсивна матрица Може да бъдете подканени за такава схема: Е, тогава се извиква матрицата недевствена, и по друг начин - вироген. Обратната матрица може да бъде индуцирана само за необработени матрици. Мощни матрици.
1) (A -1) -1 = A; 2) (AB) -1 = B -1 A -1 3) (AT) -1 = (AT -1) T . Ранг на матрицатаНаречен намиране на редпод формата на нули в минори на матрицата. За матрица от ред m´n се извиква второстепенен, ред r база yakscho vin не е равно на нула, но всички малки са в ред r+1и е равно на нула, в противен случай е необходимо да се докаже това. r zbígaêtsya с по-малкото от числата m или n. Наричат се още колоните и редовете на матрицата, върху които стои базисният минор основен. Матрицата може да има малък брой различни основни второстепенни, които могат да имат същия ред. По-важните авторитети на елементарните трансформации на матрицата са тези, които не променят ранга на матрицата. Назначаване.
Матриците, получени след елементарно преобразуване, се наричат еквивалентен. След това посочете какво равенматрици и еквивалентенматрици - разбирайте абсолютно различни. Теорема.
Най-голямо числолинейно независимите редове в матрицата са равни на броя на линейно независимите редове. защото елементарна трансформацияАко не промените ранга на матрицата, можете просто да опростите процеса на присвояване на ранга на матрицата. дупето.Намерете ранга на матрицата.
(2.1*)
ентусиазъм...