Подреждане на безлични естествени числа. Понятието естествено число и нула. Изразяване на "равно", "по-малко", "по-голямо" върху безлични естествени числа. Разбиране на храненето за математически анализ

Алтернатива на N естествената серия е безлично естествено число, което не променя естественото число a, така че N = (x | x N i x a).

Например, N ce безлични естествени числа, така че не променяйте 7, така че. N = (1,2,3,4,5,6,7).

Значително две най-важни мощности в естествената серия:
1) Be-yaky vіdrіzok N отмъщение самота. Tsya vlastivistvo viplivaê іz vyznachennya vídrízka естествена серия.
2) Ако числото x изчезне от противника N і x a, то числото x + 1 идва след тях и изчезва в N .

Bezlich A се нарича kítsevim, сякаш е равен на същия аналог на естествената серия N. Например, без лице И върховете на trikutnik, без лице смрадите са равни на N = (1,2,3), т.е. A~B~N.
Тъй като числото A е непразно и е равно на N, тогава естественото число a се нарича брой на елементите на множителя A и се записва n(A) = a. Например, ако A е множеството върхове на трико, тогава n(A) = 3.

Ако не беше празен, kіtsev bezlіch е равен на един и повече от един vídrízk от естествената серия, tobto. skin endian plural И може да се постави в уникално равно число a, така че безличното A да е взаимно недвусмислено в числото N.

Уреждането на взаимното и едно благородство е етиката на непоносимите на непоносимото мулти-ливо и в естествения ред за ядене на ракунка плуг А. Зкилка Зад поклоненията на същия брой. В един клас ще бъдат редуцирани всички едноелементни множители, в друг - двуелементни и т.н. Първото число може да се разглежда като крайната сила на класа от принцове с еднаква сила. В този ред, от теоретико-множествена гледна точка, естественото число е основната степен на класа терминални множители.

Числото 0 може също да бъде теоретично на множителя - трябва да бъде зададено на празен множител: n() = 0.

Освен това естественото число като характеристика на количеството може да се разглежда от две позиции:

1) като броя на елементите в набора А, спечелени за рахунка;
2) колко мощна е силата на класа на kítsevyh еднакво силни множества.

Установяването на връзки между крайните умножения и естествените числа ни позволява да дадем теоретично замъгляване на множителя на „по-малко“.

Ако a = n(A), b = n(B), тогава числото a е по-малко от числото b, дори само ако множителят A е равен на степенния подмножител на множителя, тогава. A ~ B, de B, B, B (фиг. 1) . Abo ако в естествената серия N є нека получим много сила vídrízka N, tobto. N N .

Числата а и b равни, yakscho смърди са равни на равни кратни: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Например 2 = 2, защото n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

Доминирането на термина „по-малко“ за естествени числа също е подобно на замъгляването на теорията на множителя: транзитивността и антисиметричността на този термин е свързана с него, което е транзитивно и антисиметрично на термина „се превръща в множител“.

Показано е, че мултитеоретичната интерпретация на „по-малкото“ за естествените числа, което е 2
Нека вземем множителя A, за да отмъстим за 2 елемента, и множителя B, за да отмъстим за 5 елемента, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Например, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). От множителя B можете да видите подкратното, равен множител A: например B = (c, d) і A ~ B.
Справедливост над Н
Tsyu nerіvnіst можете да погледнете малкото 2. Хайде 2 е броят на гънките, а 5 е броят на квадратите. Ако поставите кръговете върху квадратите, тогава е безопасно да се каже, че част от квадратите са останали недовършени.

Otzhe, броят на гънките е по-малък от броя на квадратите, tobto. 2
Множител-теоретичен усет за неравномерност 0

Подравняването на числата в курса по математика е разработено по различни начини - то се основава на всички подходи, които разгледахме, преди да тълкуваме фразата "по-малко".

Теореми за "най-голямото" и "най-малкото" число

Теорема 4 (за „най-малкото” число). Ако не беше празен, заобиколен от дъното на безлични числа, отмъсти за най-малкото число. (Тук, както в случая с естествените числа, думата "множество" се заменя с думата "множество" E

Привеждане. Нека O A Z i A е ресни отдолу, tobto. 36? Зва? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Хайде сега LA.

Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >О).

Нека направим безлични M от всички числа във формата a - b, de probígaє безлични A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Очевидно е, че безличното M не е празно, фрагментите A 74 0

Як е по-висок, M C N . По-късно, следвайки теоремата o r a l n o m h i s l e (54, гл. III), множителят M има най-малкото естествено число m. A и фрагменти от t най-малко в M, тогава Wah? A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Теорема 5 (за "най-голямото" цяло число). Бъдете нещо не празно, заобиколете звяра от безлични числа, за да отмъстите на най-голямото число.

Привеждане. Нека O 74 AC Z i A е заобиколен от звяра с числото b, така че. ? ZVa и A(a< Ь). Тогда -а >b за всички числа a? НО.

По-късно множителят M (z g \u003d -a, a? A) не е празен и е заобиколен от числото (-6) по-долу. Според предходната теорема множителят M има най-малко число, т.е. асо? ICC? М (з< с).

Tse означава какво Wah? Като< -а), откуда Уа? А(-с >а)

Z. Различни форми на метода на математическата индукция на цели числа. Теорема за podíl іz излишък

Теорема 1 (първата форма на метода на математическата индукция). Нека P(s) - единичен предикат, присвоявания на кратни на Z цели числа., 4 . По същия начин За deyaky ЧИСЛО и Z предложението P (o) і За достатъчно цяло число K > a z P (K) плъзна P (K -4- 1), тогава предложението P (g) е правилно За всички числа z > a (така че на множителя Z є истинската формула за изчисляване на предикатите е:

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

за всяко фиксирано цяло число a

Привеждане. Нека предложенията P (c) са верни за всичко, за да отидем за ума на теоремата, tobto.

1) P(a) - вярно;

2) KK SC към + също е вярно.

Някак неприемливо. Да приемем, че има такова число

b> a, sho RF) - здравей. Очевидно е, че a, oskílki R (a) е вярно. Задоволително безлични M = (z?> a, P (z) - hibno).

Todi bezlich M0, oskílki L? M и M са оградени отдолу с числото a. По-късно, след теоремата за na i m e n n m e l e l o m h i sl (теорема 4, 2), множителят M има най-малкото число c. Zvіdsi z\u003e a, sho, моето черно, дърпане s - 1\u003e a.

Да кажем, че Р(с-1) е вярно. Ако c-1 = a, тогава P (c-1) е вярно по силата на ума.

Нека c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, дърпайки зад себе си притежанието на s 1? M, което не може да бъде, но броят на s е най-малкият в M.

В този ред s - 1> a и P (c - 1) - вярно.

Помислете за предложението P((c- 1) + 1) от предложението P((c- 1) + 1) - това е вярно. R(s) - вярно. Tse superechit избора на числото c, oskílki? Теоремата е завършена.

С уважение, тази теорема е близко следствие от следствие 1 от аксиомите на Пеано.

Теорема 2 (друга форма на метода на математическата индукция на цели числа). Нека P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) на множество Z цели числа. Въпреки това предложението P (c) е валидно за десетично цяло число K и за адекватно цяло число s За коригиране на предложение P (c) За всички цели числа, които отговарят на нередностите на K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Преди.

p align="justify"> Доказателството на тази теорема е богато, така че повтарям доказателството на подобна теорема за естествени числа (теорема 1, 55, гл.III).

Теорема 3 (третата форма на метода на математическата индукция). Нека P(s) - един-единствен предикат, присвоявания на множителя Z cіlіs CHІСі. Ако P(c) е вярно За всички числа на десетичния множител M на нула естествени числа i За достатъчно цяло число a C е вярно P(a), тогава P(a - 1) е вярно, тогава предложението P(c) е вярно вярно за всички числа.

Доказателството е аналогично на доказателството на двойната теорема за естествените числа.

Proponuemo yogo като cicava прав.

Заслужава да се отбележи, че на практика третата форма на математическа индукция е по-изразена, все по-ниска и по-ниска. Обяснява се, че за нейното използване е необходимо да се знае безкрайният субмножител M на множителя на естествените числа, ще бъде ясно в теоремата. Познаването на такъв множител може да изглежда като трудни задачи.

Но предимството на третата форма пред останалите е във факта, че допълнителното предложение P (c) се привежда към всички цели числа.

По-долу насочваме приклада на третата форма застосуваня ". Ale, back to back, damo е едно по-уважително разбиране.

Назначаване. Абсолютната стойност на цяло число a е числото, присвоено според правилото

0, ако a O a, ако a > O

A yakscho a< 0.

Otzhe, като 0, тогава? Н.

Предлага се на читателя, че той има право да доведе такава сила до абсолютна величина:

Теорема (за преливането). За произволен брой числа a i b, de b 0, iсnuє i преди това, има само една двойка числа q U m, така че a r: bq + T L D.

Привеждане.

1. Основа на залога (q, t).

Нека a, b? Z i 0. Показано е, че има двойка числа q i

Доказателството се извършва чрез индукция в трета форма за величината a с фиксирано число b.

M = (mlm = n lbl, n? N).

Очевидно е, че M lt е израз f: N M, който се определя от правилото f (n) = nlbl за всяко n? N е биекция. Tse означава, че M N, това. М-неясно.

Да кажем, че от определено число a? M (і L-фиксиран) твърдението на теоремата за основата на двойката числа q і t е вярно.

Вярно, нека да е (- М. Тоди a pf! за истинско p?

Ако b> 0, тогава a \u003d n + O. Като се има предвид сега q \u003d n и m O, ние вземаме необходимата двойка числа q и m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo сега начална надбавка. Тогава да приемем, че от достатъчно цяло число s (и достатъчно фиксирано b 0) твърдението на теоремата е вярно. е двойка числа (q, m), така че

Може да се покаже, че е по-правилно i за числото (з 1). Z е равно на s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (един)

Евентуално падане.

1) t\u003e 0. Тоди 7 "- 1\u003e 0. В този момент, като поставим - t - 1, вземаме z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) очевидно харесва ум

0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1

Без практика е възможно 0< < Д.

В този ред твърдостта е вярна и за залог на числа

Първата част на теоремата е завършена.

P. Единичен залог q і т.н.

Да приемем, че за числата a i b 0 е възможно да се установят две двойки числа (q, m) i (q1, така че да задоволи умовете (*)

Да видим, че миризмите бягат. О хайде

i a bq1 L O< Д.

Zvіdsi vyplivaê, scho b(q1 -q) t-7 1

Нека сега приемем, че q ql, тогава q - q1 0, звезди lq - q1l 1. - q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

U r a f n i n nya:

1. Попълнете доказателствата на теореми 2 и 3 от 5 1.

2. Попълнете следствие 2 от теорема 3, 1.

3. Да съберем колко е сумата от NS Z, това, което се събира от дадените числа във формата< п + 1, 1 >(n? N), затворен начин на сгъване на това умножение.

4. Нека N означава същите тези безлични неща, на които имате право 3. Донесете това, което виждате ј: M радва умовете:

1) ј - биекция;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) и j(nm) = j(n) j(m) за произволни числа n, m, i (H, +,).

5. Завършете доказателството на теорема 1 от 2.

6. За да докажете, че за произволен брой числа a, b са валидни следните импликации:

7. Кажете на приятел тази трета от теоремата от Z.

8. Да се ​​докаже, че броят на Z цели числа не отмъщава на числата нула.

Литература

1. Бурбаки Н. Теория на кратните. М.: Свит, 1965.

2. Виноградив И. М. Основи на теорията на числата. М.: Наука, 1972. З. Демидов И. T. Дайте аритметика. М: Учпедгиз, 1963.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основи на теорията на групите.

М: Наука, 1972.

5. Кострикин А. И. Въведение в алгебрата. М: Наука, 1994.

b. Куликов Л. Я. Алгебра и теория на числата. М: Вища. училище, 1979г.

7. Курош А.Г. Курсът на най-напредналата алгебра. М: Наука, 1971.

8. Любецки В. А. Основни понятия на училищната математика. М: Просветничество, 1987.

9. Ляпин Е.С. че в. Точно от теорията на групите. М: Наука, 1967.

10. Малцев А. И. Алгебрични системи. М: Наука, 1970.

11. МенДелсон Еге. Въведение в математическата логика. М: Наука, 1971.

12. Нечаев В. И. Бройни системи. М: Просветничество, 1975.

13. Новиков П.С. Елементи на математическата логика. М. Наука, 1973.

14. Петрова В. Т. Лекции по алгебра и геометрия.: У 2 год.

CHL. М: Владос, 1999.

15. Sochasni засада училищен курс по математика Avt. кредит: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Каллтжнин Л.А., Столяр А.А. М: Просветничество, 1980.

16. Л. А. Кушнир, Елементи на алгебрата. М: Наука, 1980.

17. Стом Р.Р. Безличност, логика, аксиоматични теории. М.; Освита, 1968г.

18. Столяр А. А. Логическо въведение в математиката. Минск: VISCHII. училище, 1971г.

19. В. П. Филипов, Алгебра и теория на числата. Волгоград: ВГПІ, 1975.

20. Френкел А., Бар-Хилел И. Дайте теорията на множествата. М: Свит, 1966.

21. Фукс Л. Системи за нареждане на Частково. М.: Свит, 1965.

Първоначално видяно

Владимир Костянтинович Карташов

ВЪВЕДЕН КУРС ПО МАТЕМАТИКА

Главна помощ

Редакционна подготовка О. И. Молоканова Оригинално оформление, проектирано от О. П. Бощенко

„PR 020048 от 20.12.96г

Подписани помежду си на 28.08.99г. Формат 60х84/16. Друк офис. бум. тип. М 2. Уел. снимка л. 8.2. Уч.-глед. л. 8.3. Тираж 500 бр. Омагьосване 2

Видавничество "Змина"

Естествено число е цялото число, сякаш печели за rahunka от обекти. Vono viniklo z практически нужди на хората. Развитието на разбирането на естественото число може да се раздели на няколко етапа: 1. старите хора, за да преодолеят незначителността, са установили същественото: например стелките, пръстите на ръцете. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli но един час на разположение за проверка. 2. Безлич - посредници, например камъни, костенурки, пръчки. Концепцията за kіlkіst е по-сгъната. І числа, свързани с конкретни предмети. 3. Външен вид на число (обозначаване на число чрез видимите цифри). Раждането на математиката. Аритметиката като наука се заражда в земите на Древния произход - Китай, Индия, Египет, далечно развитиев Гърция. Терминът "естествено число" е използван за първи път от римските учения на Боеций. Rakhunok е необходимо да се определят много пари. Rozіb'єmo всички kіlkіsnі множители на класа на еквивалентност, например, в един клас на еквивалентност. да види безликите върхове на трикутниците, страните на квадрата, безликите букви на думата светлина. Ако продължите този процес, тогава чрез тези, които имат еквивалентност - всичко е еднакво силно. Kіntsevі умножени vyyavlyatsya за класове. Че. теоретично - множеството на kіlkіsnogo естествено число - е zagalna vlastіvіst клас kíncevih еднакво силни множествени числа. Класът кожа има свой собствен номер. Нулата е зададена на празен множител.

Числата A и B се наричат ​​равни, защото са равни по брой.

Такъв метод стагнира в класовете на кочана.

Техниката на работа върху задачи, които разкриват специфичните значения на аритметиката diy.

Значително място заемат аритметичните задачи в курса по математика. Mayzhe половин час преди един час от уроците по математика, за да бъдат въведени в изпълнението на задачата. Цялата велика духовна и просветна ролка, която вонята играе под часа на образованието на децата. Аритметичните задачи на Virishennya помагат да се разкрие основната математика на аритметичните действия, да се конкретизират и да се свържат с пеещата житейска ситуация. Zavdannya да поеме математика разбирам, Vіdnosin, закони. Когато задачата е изпълнена, децата развиват доста уважение, предпазливост, по-логична мисъл, Мова, кмитливист. Целта е да се развият такива процеси на когнитивна дейност като анализ, синтез, подравняване и усъвършенстване.

В процеса на решаване на аритметични задачи обучаемите се научават да планират и контролират своите дейности, отварят приемане, самоконтрол (повторна проверка на задачите, оценка на задачите след това), те се люлеят в своята арогантност, воля, развиват интерес до точката на решаване на задачи. Голяма е ролята на virishennya zavdan в подготовката на децата за живота, за бъдещето трудова дейност. При решаването на сюжетните задачи обучаемите започват да преминават между обекти и стойности към „езика на математиката“. В аритметичните задачи побеждава числовият материал, който вдъхновява успехите на страната в различните галерии на народната държава, култура и наука. Tse spryaê разширява хоризонтите на учениците, обогатени с нови знания за актуалното действие. Uminnyam vyrishuvati аритметика zavdannya uchnі opanovuyut с големи трудности.

Причините за помилващите задачи на децата ни плачат пред особеностите на тяхното съзнание. В процеса на navchannya rozvyazannyu задачите трябва да бъдат уникално опънати в горната част на задачата на първия ум, необходимо е да се вземе предвид подходът към rozvyazannya на задачите, да се ориентира към простата житейска ситуация, описанията на задачата , разглеждането на задачата, разглеждането на дадената визия. В процеса на работа върху всеки аритметичен проблем можете да видите следните етапи:

1. Работете върху диспечера на задачите.

2. Решаване на проблеми с Poshuk.

3. Разрешаване на проблеми.

4. Формулиране на становището.

5. Преразглеждане на решаването на проблема.

6. Далеч от робота над най-важните задачи.

Имам предвид уважението на следващия, който ще прикрепи роботите към zmist на фабриката, tobto. над разбирането на ситуацията в задачите, установяването на угари между даним и шуканим. Последователността на работа по завладяването на задачата;

а) анализ на невежи думи и виразиви;

б) четене на дадения от учителя текст и заучаване;

в) протокол за изпълнение на задачата;

г) повторение на хранителната задача.

Vyraznym четене на текста на главата на следващото изследване. Необходимо е да запомните, че децата особено трябва да четат промоционално четиво, те не могат да прочетат правилно задачата сами, не могат да подредят логически гласове и т.н.

Редът за конкретизиране на заданието за допълнителни предмети, шаблони и малки в практиката на роботи в училища с широк обхват е оформен в такава форма, че да запише заданието на задачата:

1. Формата на бележката е съкратена, когато в текста на задачата се записват цифрови данни и само няколко думи и думи, необходими за разбиране на логическия смисъл на задачата.

2. Кратка структурна форма на писане, ако кожата логическа част на задачата е написана от нов ред.

3. Схематична форма на записа.

4. Графична форма на писане.

Тъй като функцията за контрол при децата е отслабена, тогава повторното изследване на rozvyazannya zavdannya може да бъде осветено и това wihovne значение. В по-младите класове е необходимо:

1. Устно формулирайте задачите, като се движите по обектите.

2. Преосмислете реалността на ситуацията.

3. Преразгледайте адекватността на ума и храната на растението. Повторната проверка на решението на задачите по други начини нейното vyshennya е възможно от 4-ти клас.

За да се контролира правилността на разработването на задачата, е необходимо да се подберат и действат върху елементите на програмираното обучение. Този елемент е още по-банален, че отново ще взема предвид правилността на чи и помилването на собствените си действия. За извинение на решението на вината, има нови начини за череша.

Учителят в училището най-вероятно ще бъде пеен, че rozvyazannya avdannya е просветен от ученията. По-добре е той да извърши работата по фиксирането на изпълнението на тази задача. Работата по фиксирани задачи може да се извърши по различни начини.

1. Настройте университетска храна, за да спасите положението.

2. Proponuetsya rozpovіsti всички rozvyazannya zadoví z obґruntuvannyam vyboru dіy.

3. Сложете храна до okremih diy chi храна. За учениците е важен броят на вариантите на аналогични задачи и разбирането на предметната ситуация между тях. Tsіy metі і да служи отдалеч като робот над задачите на задачата, тъй като можете да видите колко важно е да се формира началото на задачата от този тип. За по-добро разбиране на предмета, задачата, угарите между данните и шуканите, съвършенството на задачата от ежедневните цифрови данни, написани не с цифри, а с думи. Бъдете внимателни, за да покажете, че най-добрите учители са широко побеждаващи като един от методите за преподаване на задачите за подреждане на задачи от самите учители.

Подреждането на задачата помага на децата да разберат по-добре жизнено-практическото значение на задачата, да разберат по-добре нейната структура и да се научат да разграничават задачата от различни видове, да разбират решението. Подреждането на задачите се извършва успоредно с решенията на подготвените задачи. Досвид, че предпазливостта ще покаже, че е по-лесно за uchnіv chastkovo сгъната задача. Плъзга се, за да се стимулира формирането на ученията на главите на различните сюжети. Tse spryaê razvitku їhnyoї vyavlyaet помилване, инициативи. По-неудобно е, ако за съхранение на ръководителя на училището те получат материала, който „получават“ за един час екскурзии, от доводници, вестници, списания и др. Учениците от старшите класове трябва да се научат как да пишат и пишат бизнес документи, свързани с тези и други rosrahunka. Например, напишете писмо за одобрение, попълнете формуляра за поръчка на стотинка. Всички по-високи назначения могат да бъдат широко използвани при честването на всякакви задачи.

Една проста аритметична задача се нарича задача, както ако трябва да се реши една аритметична задача. Прости на zavdannya да играе супер-основната роля на часа на преподаване на математика. Най-простите задачи ви позволяват да разширите основните знания и да конкретизирате аритметичните функции, да формулирате тези и други математически концепции. Прости реда на поръчката за сгъване на склада, по-късно, оформяйки vminnya virishuvati їx, учителят подготвя учениците за отваряне на поръчката за сгъване.

Въз основа на дермалното праймиране научете се да научите за нови видове най-прости задачи. Поетапното им въвеждане се обяснява с различните етапи на проблема с математическото разбиране, процеса на култивиране на тихи аритметични процеси, разкрива се специфичното решение на такава воня. Не по-малко уважение към учителя при избора на ръководителя на кой вид заслуги и конкретизация на тази чест. Nareshti, читател за конкретизиране на zmíst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistí mízh dannymi, че shukanimi за допълнителни форми на кратък запис.

Завършването на работата на най-добрите читатели показва, че подготовката за изпълнение на аритметични задачи трябва да започне от подобряването на развитието на практическите знания за учене, ориентирането им към необходимата ефективност. След като сте научили, е необходимо да ръководите в тази житейска ситуация, в която е възможно да се подобрите, да преразгледате аритметичните задачи, да работите за промяна. Нещо повече, тези ситуации не са следващото нещо, което се създава част по част, по-малко вероятно е те да се обърнат и да отнемат уважението на учениците. Учителят организира охрана за променящия се брой елементи в предметните множества вместо съдове. bud., sho priyaê razvitku yavlen uchnіv pro kílkіst to znajomstvo their iz sing terminologiêyu, yak zstrínetsya с словесната формулировка на задачата: стана, всичко беше загубено, те го взеха, увеличи се, промени се и т.н. Необходимо е да се организира такава игрива и практическа дейност на учениците, така че, като непрекъснати участници в тази дейност, както и posterigayuchi, самите ученици да могат да работят с visnovka на кремообразната капка на кожата; броят на елементите на множителя се е увеличил или броят на елементите на множителя се е променил и някаква операция, която вербално вираз показва увеличението или промяната. Този етап от подготовката на работата започва с начална работа върху числата от първата десетица и запознаване с аритметични действия, с решения и сгъваеми приложения на операции от предметни множествени числа.

На първо място, в началото на изучаването на аритметичните задачи, учителят е виновен за ясното разкриване на себе си, като знания, е необходимо да се дадат тези умения на учениците. За да решите задачата, научете задълженията на аритметичната аритметика, слушайте и след това прочетете задачата, повторете задачата от храна, за кратка бележка, от паметта, вижте компонентите на склада в проблема, проверете задачата и обърнете коректността на разбивката. В 1-ви клас обучаемите започват да проверяват задачата за смъмряне на торбата и излишъка. Цитата на задачата се въвеждат преди началото на часа от началото на числата от първата десетица. В началото на rozvyazannya задачата беше да се промени сумата на същите dodankivs, на дъното на равна част от чи отиде за среброто, последвано от спираловидно разбиране на ежедневните аритметични процеси на умножение и дъното. Преди отварянето на реда на разликата между ученията е необходимо да се даде разбиране за реда на обектите в една съвкупност, две обективни съвкупности, размери, числа, определяне на s-сходството им в една и съща линия на равностойност и нервност. Айде да го сглобим, или сглобете, аритметичните задачи се наричат ​​задачи, като двама души не могат Повече ▼аритметични процеси. Психологическите изследвания на развитието на характеристиките на аритметичните складови задачи показват, че децата не разпознават прости задачи в контекста на нова складова задача. Подготовката на работата до завършване на складовите задачи се обвинява от системата на правата, приема и правилното поведение на учебните заведения до завършване на решенията на складовите задачи. Преди завършването на управителя на склада можете да отидете на същото място, ако промените решението си, че учените са усвоили подреждането на прости задачи с помощта на трикове, ако отидете при управителя на склада, вие сами можете да поставите заедно проста задача на пеещия ум. Когато rozv'yazannі складиране zavdan uchní povinnі или да danih поставят храна или храна, за да получите данни. Също така в подготвителния период, tobto. чрез разтягане на последната от първата съдба, тази на кочана на друга съдба, учене, следвайки ученията на задачата:

1. Измийте храната си, преди да е готова.

2. От храната съберете задачата, като вземете дневните числови данни.

Сгъване на прости и складови задачи, научаване стъпка по стъпка на учене от складови задачи е просто, дори и да сте ги изпълнили още по-правилно, имате право да сгъвате сгъваеми задачи. Tse приемат най-краткото овладяване на изгледите на прости задачи, усъвършенстват ги, за да ги разграничат от складовите задачи и помагат на обучаемите да анализират задачите. Когато vyrіshenní склад zavdan uchnіv шейна nauchit zagalnyh priyom_v работа z zavdannyam; vminnyu да анализира zmist задачи, виждайки в дадените данни, shukane (за да установи какво е необходимо, за да бъде разпознато в задачата), в зависимост от това кои данни не се използват за преглед на главата на храненето в задачата. На практика работата на училището е вярна на себе си чрез използване на работа с карти, задачи, в които е заложена последователността на работа по задачите. Когато поръчката е завършена, решението се записва с храненето или действието на кожата се записва и обяснява. Вариантността на посочения метод за подреждане на задачи от даден тип се осигурява чрез вариантно подреждане на задачи с различни типове, сюжети, решения, подготвени и сгънати от самите ученици, задачи от даден тип с видове задачи, които са били предварително решени, и така нататък.

1. Обяснете метода на броене за vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 трябва да се преброят със сто концентрация.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18

6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45

Usі priyomi и преброяване на usní и vykonuyutsya на базата на редиците на сгъване и vídnіmannya.

Както се оказва, безбройните естествени числа могат да бъдат поставени в ред за допълнителен израз "по-малко". Но трябва да се подчертаят правилата на аксиоматичната теория, така че целта да бъде не само определена, но и подобрена въз основа на вече възложените в тази теория за разбиране. Можете да направите повече, като направите плащането "по-малко" чрез добавянето.

Назначаване. Числото a е по-малко от числото b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

За тези умове да кажат същото, scho номер bПовече ▼ атя пише b > a.

Теорема 12.За всякакви естествени числа аі bможе да бъде един и само един от трите жизнеспособни: a = b, a > b, а < b.

Доказателството на тази теорема е пропуснато. Z ієї на теоремата е очевидно, какво е това

a ¹ b,те чи а< b, или a > bтобто. vídnoshennia "по-малко" може да бъде силата на pov'yazanostі.

Теорема 13.Якщо а< b і b< с. тогава а< с.

Привеждане. Тази теорема изразява силата на транзитивността, като предлага „по-малко“.

така як а< b і b< с. тогава, за целите на назоваването на "по-малко", има такива естествени числа предии какво b \u003d a + i c \u003d b + I.Але тоди h = (a + k)+ / і въз основа на асоциативността на сгъването се взема: h \u003d a + (до +/). Оскилки до + аз -тогава е естествено число а< с.

Теорема 14. Якщо а< b, това не е вярно b< а. Привеждане. Tsya теорема изразява мощност антисиметрия vodnosini "по-малко".

Нека започнем отначало, какво за всяко естествено число анедей-!>! ■ ) нейната оставка а< а.Нека не го приемаме, tobto. Какво а< а maє mistse. Тоди, за целите на синьото "по-малко" има такова естествено число с,Какво а+ ч= а,и да не замества Теорема 6.

Сега да кажем, че yakscho а< b, тогава това не е вярно b < а.Нека не го приемаме, tobto. какво yakscho а< b , тогава b< а печеля. Списък с равенства в теорема 12 а< а, което е невъзможно.

Така че, както казваме, „по-малко“ е антисиметрично и транзитивно и може да има сила по отношение на линейния ред, но безличността на естествените числа линейно подредени без лице.

От обозначението "по-малко", че йога на силата може да бъде въведена в къщата на силата на умножител на естествени числа.

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа a¹1.

Привеждане. Хайде а -да е естествено число. Тогава има две възможности: а = 1 та a ¹ 1. Якщо а = 1, то е естествено число б,за което следва a: a \u003d b " \u003d b +аз = 1+ б, tobto, за целта на vodnosini "по-малко", 1< а. Otzhe, било то естествено повече 1 чи повече от 1. Або, самотата е най-малкото естествено число.

Въвеждането на „по-малко” е свързано със сгъване и умножение на числата по силата на монотонността.

Теорема 16.

a \u003d b => a + c \u003d b + c, че a c \u003d b c;

а< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c и ac > bc.

Привеждане. 1) Справедливостта на тази твърдост е очевидна от единството на сгъване и умножение.

2) Якщо а< b, тогава е естествено число к,Какво а + k = b.
Тоди b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ да се)= (a + c) + k.Собствен капитал b+ c = (a + c) + доозначава, че a + c< b + с.

Така че това се разбира от само себе си а< b =>асо< bс.

3) Бъдете доведени по същия начин.

Теорема 17(Обратна теорема 16).

1) а+ c = b + cили ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с или асо< пр.н.еÞ а< Ь:

3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.

Привеждане. Носим например какво асо< bс следващия а< b Нека не го приемаме, tobto. че теоремата не е победоносна. Todi can't buti, scho a = b.на факта, че дори тогава ревността би победила ac = bc(теорема 16); не мога да бъда аз а> б,и по двата начина ac > bc(Теорема!6). Следователно, що се отнася до теорема 12, а< b.

От теореми 16 и 17 може да се въведе правилото за член по член събиране и умножение на нередностите. Пропускаме го.

Теорема 18. За всякакви естествени числа аі b; също е естествено число n, което п а.

Привеждане. За кой да е анамери такова число П, Какво n > a.За кого е достатъчно да вземе n = a + 1. Умножаване на термин по термин неравномерност П> аі b> 1, приемливо pb > а.

От поглед към авторитетите може да се види синьото „по-малко“, за да изпее важните особености на множителя на естествените числа, които индуцираме без доказателство.

1. Ни за едно естествено число аняма такова естествено число П,Какво а< п < а + 1. Tsya сила се нарича в сила
дискретностбезлични естествени числа и числа аі а + 1 име съдебно.

2. Be-yak не е празен субмножител на естествени числа, за да си отмъсти
най-малко число.

3. Якщо М- Празно число от безлични естествени числа
и е същото число б,какво за всички числа x s Мняма да спечели
невъзмутимост х< б,след това в безликото Ме най-много.

Илюстриране на силата на 2 и 3 върху дупето. Хайде М- анонимни двуцифрени номера. така як Ме субмножител на естествени числа і за всички числа< 100, то в множестве Мнай-голямото число е 99. М, -Номер 10.

По този начин въвеждането на "по-малко" позволи да се разгледа (и да се въведе в редица vipadkiv) значението на силата на множител на естествени числа. Zokrema, тя е линейно подредена, дискретна, поне 1.

С настройката „по-малко“ („повече“) за естествени числа малките ученици са запознати с самото начало на обучение. И често, в реда на його мултипликаторно-теоретични интерпретации, дефиницията, дадена от нас в рамките на аксиоматичната теория, е имплицитно оправдана. Например, учениците могат да обяснят, че 9 > 7, парчета 9 - не 7 + 2. Често и имплицитно побеждаващата власт монотонност сгъване и умножаване. Например, децата обясняват, че „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

точно

1, Защо безличните естествени числа не могат да бъдат подредени след помощта на синьото „зад чертата“?

Формулирайте визия a > bи докажете, че той е едновременно транзитивен и антисиметричен.

3. Кажи ми какво е a, b, c- естествени числа, тогава:

а) а< b Þ ас < bс;

б) а+ ч< b + su> а< Ь.

4. Някои теореми за монотонността на събирането и умножението могат
vykoristovuvaty млади ученици, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, не vykonuyuchi изчисляване":

а) 27+8...27+18;

б) 27-8...27-18.

5. Подобно на силата на множителя на естествените числа, малките ученици имплицитно печелят, печелят същата задача:

А) Запишете числата, като по-голямо, по-ниско 65, по-малко, по-малко 75.

B) Назовете следващото число според датата преди числото 300 (800 609 999).

В) Назовете най-малкото и най-голямото трицифрено число.

Vidnimannya

При аксиоматична мотивацияИзвестно е, че теорията на естествените числа звучи като операция, която се връща към запаса.

Назначаване. Като се имат предвид естествените числа a и b, се нарича операцията, която радва ума: a - b = s само и само няколко, ако b + c = a.

Номер а - бнаречена разлика на числата a i б,номер а- промяна, и броят б-видяно.

Теорема 19.Вариация на естествените числа а- bіsnuє tоdі і по-малко от tоdі, ако b< а.

Привеждане. Нека дребно а- bІснує. Тоди, за обозначената търговия на дребно има такова естествено число с,Какво b + c = a,и це означава това b< а.

Якшчо b< а, тогава, за целите на именуване на "по-малко", това също е естествено число, което b + c = a.Тоди, за назначената търговия на дребно, c \u003d a - b,тобто. на дребно а - бІснує.

Теорема 20. Каква е разликата между естествените числа аі bСигурен съм, че има само един.

Привеждане. Приемливо е да има две различни стойностиразлика в числата аі b;: а - б= c₁і а - б= c₂, освен това c₁ ¹ c₂. Todi за определени търговци на дребно, може би: a = b + c₁,і a = b + c₂ : .Вижте какво следва b+ s ₁ \u003d b + c ₂ :и въз основа на теорема 17 е възможно да се побере c₁ = c₂.Те стигнаха до точката на пропускане, тогава това е грешно, но теоремата е вярна.

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі естествени числа, които имат предвид нейното isnuvannya, можете да следвате правилата за vídnimannya числа от sumi и sumi от числа.

Теорема 21. Хайде а. bі ч- естествени числа.

но yakscho a > c, след това (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

б) Якщо b > c. след това (a + b) - h - a + (b - c).

в) Якщо a > c и b > c.тогава можете да използвате дали-яку от тези формули.
Привеждане. В пъти а) разлика в числата аі ° Сіснує, оскелки a > c.Значително я през x: a - c \u003d x.звезди a = c + x. Якщо (а+ b) - c \u003d y.след това, за определената цена, а+ b = ч+ при. Ние представляваме в qiu спокойствие zamіst авираз h + x:(h + x) + b = c + y.Ние ускоряваме силата на асоциативността, за да добавим: c + (x + b) = c+ при. Нека променим това спокойствие въз основа на силата на монотонността, като добавим, че вземаме:

x + b = г.. Заменен в датския еквивалент x с viraz а - в,нека майка (а - G) + b = y.В този ранг бяхме доведени, scho yakscho a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b

По същия начин доказателството се провежда в случай b).

Резултатът от теоремата може да се формулира като правило, което е лесно за запомняне: за да се вземе числото от сумата, достатъчно е да се вземе числото от една складова сума и към резултата да се добавят още добавки.

Теорема 22.Хайде a, b i c -естествени числа. Якщо a > b+ c, тогава а- (b + c) = (a - b) - cили a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Доказателството на тази теория е подобно на доказателството на теорема 21.

Теорема 22 може да се формулира като визуално правило, за да се разгледа сумата от числа от числото, достатъчно е да се разгледа сумата от числата последователно, едно по едно.

При кочанматематиците vyznachennya vídnіmannya yak dіі, zvorotnogo dodavannya, при вида, звука, не дават, но те постоянно се ползват, pochinayuchi z vykonannya dіy над едноцифрени числа. Научете се да разбирате добре какво имате да кажете за гънките и да спечелите взаимовръзките при изчисляване. Вижте например от числото 40 числото 16, научете се да отбелязвате така: „Вижте числото 16 от 40 - което означава да знаете такова число, когато го сгъвате с числото 16, въведете 40; това число ще бъде 24, така че 24 + 16 = 40. Средно. 40 - 16 = 24".

Правила за тълкуване на числа от сума и сума от числа в кочана по математика є теоретична основаИзчислете други доходи. Например, стойността на виразата (40 + 16) - 10 може да бъде известна не само чрез преброяване на сбора в лъковете, но след това чрез преброяване на числото 10 от него, но и в такъв ранг;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

точно

1. Чи е правилно, какъв е естественият брой на кожата, за да излезете от непрекъснато напредваща самота?

2. Защо логическата структура на теорема 19 е специална? Можете ли да я формулирате, победоносно, думите „необходимо, че достатъчно“?

3. Донесете какво:

но yakscho b > c,тогава (a + b) - c \u003d a + (b - c);

б) якщо a > b + c, тогава а - (б+ в) = (a – b) – p.

4. Чи може, без да брои, да речем, значението на такива вируси dorivnyuvatimut:

а) (50 + 16) - 14; г) 50+ (16 -14 ),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; д) 50 - 16-14.

5. Yakí power vіdnіmannya е теоретична основа за напредъка на прииомивното смятане, което се извежда в курса на математиката:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 \u003d 16-6 - P;

в) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишете възможните методи за изчисляване на стойността чрез поглед. а - б- чи ги илюстрирайте върху конкретни задници.

7. Кажи ми какво b< а и да бъде всяко естествено c virna спокойствие (a - b) c \u003d ac - bc.

Вказивка. Доказателството се основава на аксиома 4.

8. Изчислете стойността на виразу, без да броите буквите. Vidpovidi обвивка.

а) 7865 × 6 - 7865 × 5 б) 957 × 11 - 957; в) 12×36 - 7×36.

Подил

Според аксиоматичната теория на естествените числа, розподилът звучи като операция, превърната в умножение.

Назначаване. Подразделянето на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява ума: a: b \u003d s todi и само todi,преди ако б× h = а.

Номер а:бНаречен частенчисла аі б,номер а dilimim, число b- дилник.

Както изглежда, не е необходимо да се разграничават естествените числа от безличните естествени числа и няма такива очевидни признаци на частна основа, както е необходимо за търговията на дребно. Є tilki необходим умосновата на частното.

Теорема 23.За да създадете частно две естествени числа аі bнеобходимо b< а.

Привеждане. Пазете частни естествени числа аі bЗнам това. е такова естествено число c, че bc = a. Oskílki за всяко естествено число 1 е валидно nerіvnіst 1 £ с,след това, умножаване на нарушителната част по естествено число b, взета b£ пр.н.е.ейл пр.н.е. \u003d a,отже, b£ а.

Теорема 24.Колко частни са естествените числа аі b isnuє, има само един.

Доказателството на теоремата е подобно на доказателството на теоремата за единството на разликата на естествените числа.

Vykhodyachi z vyznachennya части от естествени числа, които имат предвид yogo іsnuvannya, можете да закръглите правилото според sumi (продажба на дребно, създаване) на числото.

Теорема 25.Какви са числата аі bразделяне на число с,тогава тази сума a + bсподеляйте с и по-частно а+ bна брой с,една сума частни ана чі bна ч, тогава. (a + b):c = a: c + b:с.

Привеждане. Oskіlki номер ада бъдат разделени на с,тогава това е естествено число x = а;з, шо a = cx.Подобно на съществуващото естествено число y = b:с,Какво

b= су.Але тоди a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse означава какво a + bразделено на c, освен това е по-частно, което се отнема при разпространението на суми а+ bкъм числото c, което е по-скъпо x + y,тобто. брадва + b: c.

Резултатът от теоремата може да се формулира с помощта на правилото за подразделяне на сумата на числото: за да се раздели сумата на числото, достатъчно е да се раздели сумата на броя на добавките на кожата и да се извадят резултатите.

Теорема 26.Като естествените числа аі bразделяне на число чі a > bслед това на дребно а - бсе разделя на c, освен това е частен, печели се, когато разликата се раздели на числото c, по-личен, печели се, когато разликата се разделя ана чі bкъм c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.

Доказателството на тази теорема се извършва подобно на доказателството на предишната теорема.

Тази теорема може да се формулира като правило за подразделение на разликата върху числото: заОсвен това, за да разделите разликата на число, е достатъчно да разделите на цялото число, което се променя и се вижда от първото частно виждане на приятел.

Теорема 27.Какво е естествено число асе дели на естествено число c, то за всяко естествено число bтвир абсподеляне на стр. В случай на поверителност, какво се отнема, когато разпространявате творчество абкъм числото z , една добутка на редник ана с,аз номер b: (a × b): c - (a: c) × b.

Привеждане. така як ада бъдат разделени на с,тогава има естествено число x, което като= x, звезди a = cx.След като умножих обидните части на ревността по б,взета ab = (cx) b. Oskílki множествено число асоциативно, тогава (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b.Теоремата може да се формулира като правило за подразделяне на число на число: разделете числото на число, разделете числото на един от множителите и извадете резултата, умножете другия множител.

За разбиращия се математик, подилът е назначен като операция на обръщане, за дивия вид, той не издава звук, но те постоянно се ползват, като се започне от първите уроци по познаване на подила. Научете се да обвинявате добрата причина, че той е дал причините за умноженията и победоносните взаимовръзки по време на изчисленията. Например, той раздели 48 на 16, учащите казват това: „Да разделим 48 на 16 означава да знаем такова число, когато умножим по 16, ще направим 48; това число ще бъде 3, фрагменти 16 × 3 = 48. Също така, 48: 16 = 3.

точно

1. Донесете какво:

а) само част от естествените числа а бако е, значи има само един;

б) като числа а бабонирайте се за чі a > bтогава (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Какво може да потвърди, че всички данни са верни:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 = 850:10:17.

Какво е правилото за влошаване на тези vipadkіv? Формулирайте йога и я донесете.

3. Yakí power podílu е теоретична основа за
vikonanna следващите дни, проповядва на ученици класове кочан:

Как можете, без да зависи от дъното, да кажете, че значенията на такива думи ще бъдат еднакви:

а) (40 + 8): 2; в) 48:3; д) (20 + 28): 2;

б) (30 + 16): 3; г) (21 +27): 3; е) 48:2;

Чи верни ивности:

а) 48:6:2 = 48: (6:2); б) 96:4:2 = 96: (4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на вируса
ум:

а) (а+ b):c;б) а:b: С; в) ( a × b): с .

Предложени методи и илюстрация върху конкретни задници.

5. Разберете значението на израза по рационален начин; собствен
dí обвивка:

а) (7 × 63): 7; в) (15 × 18):(5× 6);

б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Закръглете следващите стъпки и дъното на двойно число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.

7. Не се бийте под дивана, намерете най-рационалното
по частен начин; изберете начин за грундиране:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; д) 455:65.

Лекция 34

1. Анонимен номер на непознати номера. Силата на множество tsilih nevid'emnyh числа.

2. Разбиране на естествената редица от числа и елементи на крайния множител. Редни и килкисни естествени числа.

До суверенитета на специалността

1. Линейно (векторно) пространство над полето. Приложи. Под космоса най-простата власт. Линейни и независими вектори.

2. Основа и мир векторно пространство. Матрицата на координатите на системата от вектори. Преход от една основа към друга. Изоморфизъм на векторното пространство.

3. Алгебрично затваряне на полето от комплексни числа.

4. Пръстен от цели числа. Подреждане на цели числа. Теореми за "най-голямото" и "най-малкото" число.

5. Група, приложете група. Най-простите силови групи. Подгрупи. Хомоморфизъм и изоморфизъм на групите.

6. Основната сила на фалшивите номера. Простете за числата. Безкрайност на безличните прости числа. Каноничното оформление на стоковия номер е тази уникалност.

7. Теоремата на Кронекер-Капели (критерий за целостта на системата линейни реки).

8. Основни характеристики на пътищата. Повна, която се предизвиква от системата v_drahuvan modulo. Kіltse kіltse v_drahuvan за модула. Теорема на Ойлер и Ферма.

9. Добавката на теорията на поривнян към vysnovka е знак за фалшивост. Zvernennya zvichaynogo фракция до десета и назначаването на последния його период.

10. Успех на явен корен на полином с ефективни коефициенти. Случи се в областта на реалните числа с богати термини.

11. Линейно подравняване с една промяна (критерий за rozvyaznosti, начини на rozvyazannya).

12. Равни системи от линейни трасета. Методът на последващо изключване е неизвестен.

13. Килце. Нанесете кил. Най-простата мощност на килетите. Пидкилце. Хомоморфизми и изоморфизми на пръстена. Поле. Пример за напояване. Най-простата власт. Минималност на полето на рационалните числа.

14. Естествени числа (основи на аксиоматичната теория на естествените числа). Теореми за "най-голямото" и "най-малкото" естествено число.

15. Богати сегменти над терена. Теорема за podíl іz излишък. Най-големият съвместен дилник на двама богати членове, силата на този начин на познание.

16. Бинарен блус. Предложение за еквивалентност. Класове на еквивалентност, факторен множител.

17. Математическа индукция за естествени и цели числа.

18. Доминирането на взаимно простите числа. Най-малко значимото кратно на числата, силата на този начин на познание.

19. Поле от комплексни числа, числови полета. Геометричен вид тригонометрична формакомплексно число.

20. Теоремата за podíl іz излишък за цели числа. Най-голямата колекция от числа от числа, силата на този начин на познание.

21. Линейни оператори на векторно пространство. Ядро и изображение на линеен оператор. Алгебра на линейните оператори във векторното пространство. Стойности на мощността и вектори на мощност на линеен оператор.

22. Атинската трансформация на апартамента, тяхното господство е начинът на zavdannya. Група от атински трансформации на равнината и нейните подгрупи.

23. Многокутници. площад Многокутник. Теоремата за разума и единството.

24. Еквивалентност и равномерност на bagatokutnikiv.

25. Геометрия на Лобачевски. Несуперитет на системата от аксиоми на геометрията на Лобачевски.

26. Концепцията за паралелизъм в геометрията на Лобачевски. Взаимно разширяване на правия район Лобачевски.

27. Формули ruhіv. Класификация на руините на района. Добавки към задачи за развързване.

28. Взаимно разширение на две равнини, прави равнини, две прави равнини в близост до шир (в аналитично изложение).

29. Проективна трансформация. Теоремата за разума и единството. Формули на проективни трансформации.

30. Скалар, а не вектор създайте змишаневектори, техните допълнения към разработването на задачи.

31. Системата на Weyl от аксиоми на тривиметричното евклидово пространство и нейната zmistovna несуперност.

32. Рухи на областта и йога на силата. Група руини плосък. Теорема за основата и единството на движението.

33. Проективната равнина на този нейен модел. Проективна трансформация, власт. Група промени в дизайна.

34. Реформиране на подобие на апартамента, тяхното господство. Група от трансформации, подобни на равнината и нейните подгрупи.

35. Гладки повърхности. Първата квадратна форма на повърхността е zastosuvannya.

36. Паралелно проектиране на тази йога на силата. Изображения на плоски и просторни фигури в паралелна проекция.

37. Гладки линии. Кривината на пространствената крива е същата.

38. Елипси, хипербола и парабола като крайна парабола. Канонично равенство.

39. Насочваща сила на елипсата, хиперболата и параболата. Полярно подравняване.

40. Под въздействието на някои точки на правата линия, силата на това изчисление. Хармонично разделени парни точки. Повний четирикутник и йога на силата. Допълнение към задачи за развязване на постройки.

41. Теореми на Паскал и Брианшон. Полюси и поляри.

Добра храна математически анализ