Пръстенови и векторни пространствени матрици. Линейно векторно пространство: назначение, власт. Векторно пространство между редовете

Лекция 6. Векторно пространство.

Основно хранене.

1. Векторно линейно пространство.

2. Основата е разширяването на пространството.

3. Ориентация в пространството.

4. Разгръщане на вектор зад основа.

5. Векторни координати.

1. Векторно линейно пространство.

Анонимност, която се състои от елементи от всякакво естество, в които са посочени линейни операции: добавяне на два елемента, че умножаването на елемент по число се наричат отворени пространства, И техните елементи - вектори th пространство и се присвояват като и, yak и векторни количества в геометрията: . Векторитакива абстрактни пространства, като правило, не могат да бъдат замислени с най-големите геометрични вектори. Елементите на абстрактните пространства могат да бъдат функции, система от числа, матрици и т.н., а в краен случай и променливи вектори. Ето защо е прието да се назовава векторни открити пространства .

векторно пространство, например, безброй брой нонарни вектори, които са посочени V1 , без копланарни вектори V2 , безличен вектор значителен (реално пространство) V3 .

За тази конкретна vipadka е възможно да се даде стъпало към векторната шир.

Назначаване 1.Анонимен вектор се нарича векторно пространство, Като линейна комбинация, независимо дали има някакви вектори в множител, това също е вектор на този множител. Самите вектори се наричат елементивекторно пространство.

Тя е по-важна както в теоретичната, така и в приложната перспектива и в по-абстрактното (абстрактното) разбиране на векторното пространство.

Назначаване 2.Безлич Релементи, в който за всеки два елемента и се задава сумата и за всеки елемент се извиква width="68". вектор(или линеен) отворено пространство, като елементи - вектори, като операцията за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, за да задоволи идващите умове ( аксиоми) :

1) добавянето е комутативно, така че gif width = "184" height = "25";

3) използвайте такъв елемент (нулев вектор), който за каквото и да е https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) за произволен брой вектори, такова число λ може да бъде равно;

6) за всякакви вектори и каквито и числа λ і µ справедливост https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ справедлив ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

От аксиомите, които означават векторното пространство, възкликнете най-простите доказателства :

1. Векторното пространство има повече от една нула – елементът е нулев вектор.

2. Векторното пространство има един вектор.

3. До елемента на кожата vykonuetsya хладнокръвие.

4. За произволен номер на ден λ i от нулевия вектор.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> се нарича вектор, който отговаря на равенството https://pandia.ru/ текст/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno и безлични на всички геометрични вектори в е линейно (векторно) пространство, така че за елементите, на които множителят е присвоен на добавяне и умножение с числото, което удовлетворява формулировката на аксиомите.

2. Основата е разширяването на пространството.

Истотните концепции за векторно пространство са разбиране на основата и размерите.

Назначаване.Колекцията от линейно независими вектори, взети от последователния ред базакакво пространство. вектор. Складова база за пространство, наз база .

В основата на безличните вектори, разположени на долната права линия, можете да използвате един колинеарен прав вектор.

База на самолетаНека назовем два неколинеарни вектора в тази равнина, взети в същия ред.

Ако базисните вектори са по двойки перпендикулярни (ортогонални), тогава основата се нарича ортогонален, и ако q вектора могат да бъдат двойни, равни на едно, тогава се извиква основата ортонормална .

Най-голямо числолинейно независими вектори се наричат ​​в пространството спокойствиетова пространство, т.е. разширяването на пространството се увеличава с броя на основните вектори в това пространство.

Otzhe, очевидно похвален на dagi:

1. Пространство на един свят V1 е права линия, а основата се формира от един колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Голямо пространство с тривиално пространство V3 , чиято основа се формира от три некомпланарнивектор_v.

Струва ми се, че броят на базисните вектори на права линия, на равнина, в реално пространство варира с това, което в геометрията обикновено се нарича число на права линия, равнина, пространство. Естествено е това да доведе до по-явни наказания.

Назначаване.Векторно пространство РНаречен н- мирно, като в новия свят вече няма нлинейно независими вектори и са присвоени Р н. Номер нНаречен спокойствиепространство.

Vіdpovіdno до rozmіrnostі отворено пространство podіlyayutsya кинцевиі неограничен. Отвореността на нулевото пространство отвъд назначенията се счита за равна на нула.

уважение 1.В пространството на кожата можете да посочите колко бази са необходими, но всички бази на това пространство се събират от същия брой вектори.

Бележка 2.При н- за мирно векторно пространство, основата се нарича независимо дали подреденият ред е или не нлинейно независими вектори.

3. Ориентация в пространството.

За за да се ориентира пространството, е необходимо да се постави определена основа и да се изрази положително .

Може да се покаже, че безличните основи на пространството са разделени на два класа, че са разделени на две подмножества, че не се припокриват.

а) всички основи, които принадлежат към едно подкратно (клас), могат въпреки товаориентация (основа на едно и също меню);

б) произволни две основи, които лежат живот p_dmnozhin (класове), mayut протилежнуориентация, ( различнооснова).

Ако единият от двата класа бази е положителен, а другият е отрицателен, тогава изглежда, че разширението ориентирана .

Често при ориентиране към пространството се нарича една основа управлява, и други - ливими .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> име правило, Въпреки това, когато третият вектор е защитен, най-късият завой на първия вектор е анти-годишна стрелка(Фиг. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Дясна основа (a) тази лява основа (b)

Звънете с положителна основа

Дясната (livy) основа може да бъде присвоена на пространството, а за допълнителното правило на „десния“ („ляв“) винт или усукана.

По аналогия с cim се въвежда понятието дясно и ляво тризнацинекомунални вектори, които се дължат на подреждане (фиг. 1.8).

По този начин, в дива тенденция, две подредени тройки от непланирани вектори могат да имат една и съща ориентация (една и съща) в пространството V3 ако миризмата на обида е дясна, или ако е обидна, тя е лява, а противоположната ориентация (различна), ако единият от тях е дясно, а другият е ляв.

Подобни, за да се поберат и да имат пространство V2 (Квадрати).

4. Разгръщане на вектор зад основа.

За по-голяма простота огледалото може да се види на примера на тривимирно векторно пространство Р3 .

Хайде - dovílny вектор tsgo пространство.

ВЕКТОРНО ПРОСТРАНСТВО (линейно пространство), едно от основните разбирания на алгебрата, което улеснява разбирането на съвкупността от (свободни) вектори. Във векторното пространство векторите се разглеждат дали са обекти, дали могат да се събират и умножават по числа; ако е необходимо, така че основните правомощия на алгебричните операции да са същите като при векторите в елементарната геометрия. При точния определен брой те се заменят с елементи от полето K. Векторното пространство над полето K се нарича безлично V с операция за добавяне на елементи от V и операция за умножение на елементи от V по елементи от поле K , което може да доведе до идването на властта:

x + y \u003d y + x за това дали x, y z V, така че V да може да се сгъне в абелева група;

λ(x + y) = λ χ + λy за всяко λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх за произволни λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) за произволни λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x за всяко x от V, тук 1 означава единството на полето K.

Задниците на векторното пространство е: умножители L 1 L 2 і L 3 на всички вектори в елементарна геометрия, очевидно на права линия, равнини и в пространството с изключителните операции на сгъване на вектори и умножаване по число; координатно векторно пространство K n , елементите на което е всички редове (вектори) са n с елементи от полето K, а операциите се задават с формули

безлични F (M, K) на всички функции, присвоени на фиксиран множител M и приемат стойности в полето To, с най-значимите операции върху функции:

Елементите на векторното пространство e 1 ..., e n се наричат ​​линейно независими, поради равенството λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. В обратна посока елементите e 1 , e 2 , ·· ·> e n се наричат ​​линейно угар. Ако векторното пространство V има n + 1 елемента e 1 ,..., e n+1 линейно неопределени и n линейно независими елемента, тогава V се нарича n-светово векторно пространство, а n е измерението на векторното пространство V Точно като векторно пространство V за всякакви естествени n съществуващи n линейно независими вектора, тогава V се нарича безкрайно векторно пространство. Например, векторното пространство L 1, L 2, L 3 і K n по същия начин 1-, 2-, 3- и n-mírnі; ако M е безлично, тогава векторното пространство F(M, K) не е ограничено.

Векторното пространство V и U над полето K се нарича изоморфно, така че φ : V -> U е взаимно уникално, така че φ(x+y) = φ(x) + φ(y) за x, y z V и φ (λx) = λ φ(x) за всяко λ z K i x z V. Изоморфните векторни пространства са алгебрично неразличими. Класификацията на крайните векторни пространства до изоморфизъм се дава на тяхното разнообразие: дали има n-мерно векторно пространство над полето Do е изоморфно на координатното векторно пространство Do n . Чудете се на същото пространство на Хилберт, Линейна алгебра.

Нека R - поле. Елементи a, b, ... н Рще назовем скалари.

Назначаване 1.клас Vобекти (елементи) , , , ... с достатъчно естество се наричат векторно пространство над полето Р, а елементите от клас V се наричат векторивъпреки че V е затворено, но операцията “+” е операцията на умножение по скалари от P (т.е. за всеки нV + н V; "aÎ R aÎV), и vykonuyutsya така ум:

A 1: Алгебра - абелева група;

A 2: за дали a, bÎР, за това дали ÎV, a(b)=(ab)-съответен асоциативен закон;

A 3: за каквото и да е a, bÎP, за каквото и да е ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: за всяко a z P, за всяко s V, ние печелим a(+)=a+a(повишени закони на разпределение);

A 5: дали V е победител или не 1 = , de 1 - единството на полето P - силата на унитарността.

Елементите на полето P се наричат ​​скалари, а елементите на множителя V се наричат ​​вектори.

уважение.Умножаването на вектор по скалар не е двоична операция върху множителя V, но мащабирането е PV®V.

Нека да разгледаме векторните пространства.

пример 1.Нулево (нулев свят) векторно пространство - пространство V 0 =() - което е съставено от един нулев вектор.

За каквото и да е aОР a=. Нека преразгледаме валидността на аксиомите на векторното пространство.

С уважение, нулевомерното пространство над полето R. По този начин нулевомерното пространство над полето рационални числааз над полето номера на дните vvazhayutsya raznimi, hoch добавете от един нулев вектор.

дупе 2.Самото поле P е векторно пространство над полето P. Нека V=P. Нека преразгледаме валидността на аксиомите на векторното пространство. Тъй като P е поле, тогава P е адитивна група и A1 печели. Поглеждайки назад към zdіysnennostі в R asociativnostі mnozhennja vykonuêtsya A 2 . Аксиоми A 3 и A 4 печелят поради факта, че R е разпределително и се умножава свободно. Шардовете в полето R са единичен елемент 1, силата на унитарност A 5 . В този ред полето P е векторно пространство над полето P.

пример 3.Аритметично n-мерно векторно пространство.

Нека R - поле. Значително безлично V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Нека въведем върху множителя V операцията за добавяне на вектори и умножаване на вектор по скаларен съгласно следните правила:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1, aa 2, …, aa n) (2)

Елементи и умножения V се наричат n-святови вектори. Два n-светови вектора се наричат ​​равни, тъй като техните двумерни компоненти (координати) са равни. Може да се покаже, че V е векторно пространство над полето P. Тъй като операцията за сгъване на вектор в и умножаване на вектор по скала е известна, V е затворен избор на тези операции. Тъй като добавянето на елементи от V се свежда до добавяне на елементи от полето P, а P е адитивна абелева група, тогава і V е адитивна абелева група. Освен това = , de 0 е нулата на полето Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). В този ранг A1 печели. Мащабите на умножението на елемента V по елемента P се свеждат до умножаването на елементите на полето P, след което:

A 2 печели поради асоциативността на множителя на P;

A 3 и A 4 са конкатенирани чрез разпределителното умножение на това как сгъването върху P;

И 5 печели, защото 1 P е неутрален елемент, който може да се умножи по R.

Назначаване 2.Безличното V = P n с операции, определени от формули (1) и (2), се нарича аритметично n-мерно векторно пространство над полето Р.

Нека да разгледаме последователността, която се образува от елементите на действието просто поле GF(q) (a^, a......a p).Такава последователност се нарича л-по

последователностнад полето GF)