Аксиоми на реалните числа. Проследяване на аксиомите на теорията на числата

Речевите номера, които се обозначават чрез (т.нар. R ruban), се въвежда операцията за добавяне (“+”), така че двойката елементи на кожата ( х,г) с безлични номера на речта, поставени в елемента vіdpovіdnіst х + г z tsієї w множител, заглавия сумо хі г .

Аксиоми на множествеността

Въвежда се операцията за умножение („·“), така че скин двойката елементи ( х,г) за безлични речеви числа поставете елемент (в противен случай съкратено, хг) s tsієї w множител, заглавия на творението хі г .

Zvyazok dodavannya че множествено число

Аксиоми по поръчка

По задачата на поръчката "" (по-малко от едно), след това за залог x, y vykonuêtsya иска да бъде един от умовете abo.

Zv'yazok за това сгъване

Zvyazok vídnoshennia ред, че множествено число

Аксиома за непрекъснатост

Коментар

Тази аксиома означава, че хі Y- два празни множителя на реални числа, така че има някакъв елемент от хне преобръщайте нито един елемент Y, тогава можете да вмъкнете номер на реч между тях. За рационални числатази аксиома не е победоносна; класически задник: разпознаваеми положителни рационални числа и видимо до безличност хонези числа, чийто квадрат е по-малък от 2, а другият - до Y. Тоди миж хі Yне може да вмъкне рационално число (не рационално число).

Това е ключовата аксиома, която осигурява сигурността и по този начин позволява математически анализ. За да илюстрирам важността му, позволете ми да посоча две основни заключения от него.

Наследство от аксиоми

Без междинна аксиома, дяконите са важни за силата на днешните числа, например,

единица нула,
единството на пролиферативните и вирулентните елементи.

Литература

Зорич В. А.Математически анализ. Том I. M.: Fazis, 1997, част 2.

див. също

Posilannya

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте също "Аксиоматика на реални числа" в други речници:

Речта, която е реално число, е математическа абстракция, която vinikla z изисква използването на геометрични и физически количества на необходимата светлина, както и извършване на такива операции като извличане на корен, изчисляване на логаритми, решения.

Речта, чи действителните числа е математическа абстракция, какво да служи, zokrema, проявлението на това сходство на стойността на физическите величини. Такова число може интуитивно да бъде представено като описващо позицията на точка на права линия.

Уикиречник има статията "аксиома" Аксиома (на гръцки ... Уикипедия

Аксиома, тъй като се използва в различни аксиоматични системи. Аксиоматика на реалните числа Аксиоматика на Хилберт на евклидовата геометрия Аксиоматика на теорията на Колмогоров за imovirnosti ... Wikipedia

Бройна система

Да предположим, че се е появила естествената серия за прехвърляне на обекти. Но ако искаме да работим с обекти, тогава имаме нужда от аритметични операции с числа. Тоест, ако искаме да сгънем ябълка или да разделим торта, трябва да преведем броя на числата.

Срамно уважение е, че след въвеждането на операции + і * в езика на естествените числа е необходимо да се добавят аксиоми, които означават силата на тези операции. Алетоди и безлични естествени числа теж разширяване.

Чудим се как се разширяват безличните естествени числа. Най-простата операция, тъй като беше необходима за една от първите - ce dodavannya. Ако искаме да назначим допълнителна операция, е необходимо да назначим връщане към нея - решение. Вярно е, както знаем, че в резултат на добавяне, например, 5 и 2, ние сме виновни за добавяне към реда от типа: какво трябва да се добави към 4, за да вземе 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vídnіmannya. Ale, yakscho dodavannya естествени числа дават отново естествено число, тогава разглеждането на естествените числа дава резултат, който не се вписва в N. Имаме нужда от повече числа. По аналогия на една разумна визия на по-голям бройпо-малък boulo въведе правилото за vidnіmannya z по-малко по-голямо - така се появи броят на отрицателните числа.

Допълвайки естествената серия с операции + і - mi, стигаме до безлични цели числа.

Z=N+операции(+-)

Система от рационални числа като mov аритметика

Сега нека да разгледаме това за сгъване diu - множествено число. В интерес на истината, това е добавка на багатараза. І допълнителен брой цели числа се попълва с цяло число.

Ale, обратна операция на множествено - tse podіl. Но далеч не винаги дава добър резултат. И отново сме изправени пред дилема - или да приемем, че резултатът не може да бъде "разбран", или да познаем числото на нов тип. Така че те обвиниха рационалните числа.

Нека вземем система от цели числа и я допълним с аксиоми, които определят операцията на умножението и дъното. Премахваме системата от рационални числа.

Q=Z+операции(*/)

Татко, езикът на рационалните числа ти позволява да работиш всички аритметични операциинад числата. Езикът на естествените числа не беше достатъчен.

Нека въведем аксиоматично системата от рационални числа.

Назначаване. Безличното Q се нарича безличност на рационални числа, като елементите - рационални числа, тъй като напредващият комплекс от умове, заглавия се нарича аксиоматика на рационалните числа:

Аксиоми на операцията на сгъване. За be-like-ordered залог x,yелементи Q deyaky елемент x+yÎQ, класира се в сумата хі при. Когато спечелите, мислете така:

1. (Isnuvannya нула) Изнуе елемент 0 (нула), така че за всеки хОQ

х+0=0+х=Х.

2. За всеки елемент х Q Q основен елемент - хО Q (обратно х) така че

х+ (-Х) = (-Х) + х = 0.

3. (Комутативност) За каквото и да е x,yО Q

4. (Асоциативност) За всяко x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Аксиоми на действието умножение.

За be-like-ordered залог x, yелементи на Q, присвоени на действителния елемент хуÎ Q, заглавия на творението хі г.Когато спечелите, мислете така:

5. (Isnuvannya единичен елемент) Iznuє елемент 1 Q такъв, че за каквото и да е хО Q

х . 1 = 1. х = х

6. За всеки елемент х Q Q, ( х≠ 0) основен елемент х-1 ≠0 така че

Х. x -1 = x -1. х = 1

7. (Асоциативност) За бъдещите неща x, y, zО Q

х . (при . z) = (x . y) . z

8. (Комутативност) За каквото и да е x, yО Q

Аксиома zv'azku сгъната и умножена.

9. (Разпределителен) За каквото и да е x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Аксиомите са в реда на нещата.

Бъдете като два елемента x, y, Q Q започва в края на реда ≤. Когато спечелите, мислете така:

10. (х≤при)L ( при≤х) ó x=y

11. (Х≤y)Л ( y≤ z) => х≤z

12. За бе-яках x, yО Q или x< у, либо у < x .

Настройка< называется строгим неравенством,

Съотношение = наречено равенство на Q елементи.

Аксиома zv'yazku dodavannya този ред.

13. За всякакви x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Аксиома zv'yazku mnozhennya този ред.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Аксиомата за вечността на Архимед.

15. Ако a > b > 0, имаме m N и n Q, така че m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Така системата от рационални числа е аритметиката на Зем.

Prote, на върха на практическите задачи за броене, филмът не е достатъчен.

Аксиоматичен метод в математиката.

Основно разбиране и разбиране на аксиоматичната теория на естествените редове. Назначаване на естествено число.

Събиране на естествени числа.

Увеличение на естествените числа.

Степен на множителя на естествените числа

Vіdnіmannya raspodіl естествени числа.

Аксиоматичен метод в математиката

С аксиоматично подсказване се допълва някакъв вид математическа теория изпейте правилата:

1. Deyakі разбират теорията vibirayutsya като майортя е приета без заповед.

2. Формулиран аксиоми, които се приемат от тези теории без доказателство, които имат силата да разберат основните.

3. Кожата разбира теорията, за да не си отмъсти в списъка с основните, се дава назначаване, за нов, се обяснява yogo zmist за помощта на основните и предната част на това разбиране.

4. Предложението за кожата на теорията, което не може да бъде пропуснато от списъка с аксиоми, може да бъде извадено наяве. Такива предложения се наричат теоремии ги приведете на базата на аксиоми и теореми, които трябва да бъдат преработени.

Системата от аксиоми може да бъде:

а) невнимателен:ние сме виновни за buti vpevnení, scho, roblyachi razní vysnovki z дадена система от аксиоми, не стигаме до superechnosti;

б) независими: никоя от аксиомите не е виновна за следване на други аксиоми на системата.

в) отново, дори в тази рамка винаги е възможно да се донесе чи на фирмата, която yogo е посочена.

Първото доказателство за аксиоматичната мотивация на теорията трябва да се вземе предвид от книгата на Евклид по геометрия в Його „Кочани“ (3-ти век от н.е.). Значителен принос за развитието на аксиоматичния метод, вдъхновяващ геометрията и алгебрата, е разработен от Н.И. Лобачевски и Е. Галоа. Например 19 ст. Италианският математик Пеано разби система от аксиоми за аритметика.

Основно разбиране и разбиране на аксиоматичната теория на естественото число. Назначаване на естествено число.

Като основно (незначително) разбиране в deakіy множество н избирам затвор , и navіt vikoristovuyutsya теоретично-множествено разбиране, и navіt правилата на логиката.

Елемент, който следва елемента без прекъсване а,означавам а".

Изглежда, „без посредник следват за“ са доволни от предстоящите аксиоми:

Аксиоми Пеано:

Аксиома 1. При безликото н isnuê елемент, без среда не е обидноняма множители за нито един елемент. Да наречем йога самотакоито символизират 1 .

Аксиома 2. За кожен елемент а ч н основен единичен елемент а" , неуморно напредвайки за а .

Аксиома 3. За кожен елемент а ч н isnuê не повече от един елемент, за който следва без посредник а .

Аксиома 4.Бъдете като мултипликатор М безличен н співпадє з н , yakscho maє мощност: 1) 1 отмъсти си М ; 2) от какво а отмъсти си М , следващо, какво аз а" отмъсти си М.

Назначаване 1. Безлич н , за чиито елементи е монтиран капак „Веднага следвайте“, който отговаря на аксиоми 1-4, се нарича безличчу естествени числаи йога елементи - естествени числа.

Този назначен човек няма какво да каже за естеството на елементите на мултипликатора н . Така че можете да бъдете там. Вибираючи като безличен н денят е специфичен множител, на който е дадена конкретна препратка „без междинно следване“, което удовлетворява аксиомите 1-4, ние го приемаме модел на тази система аксиоми.

Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано е поредица от числа, която е коренът на процеса на историческо развитие на последователността: 1,2,3,4,... Естествената поредица започва от числото 1 (аксиома 1 ); след естественото число на кожата веднага следва едно естествено число (аксиома 2); едно естествено число на кожата следва не повече от едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки към естествените числа, следващи едно след друго, вземаме всички множители на числата (аксиома 4).

Otzhe, ние разработихме аксиоматичната pobudov система от естествени числа с избора на основния vodnosiny "без посредник следване за"тази аксиома, в някои описания на йога на силата. Малко по-нататък теорията на Побудов за прехвърляне на поглед върху правомощията на естествените числа и операциите от тях. Вонята може да бъде разкрита при назначените и теореми, tobto. въведени от ежедневния логически път на въвеждането на „без средно разглеждане“ и аксиоми 1-4.

Първото нещо, което трябва да разберете, тъй като въвеждаме след обозначаването на естествено число, е затвор "веднага напред" , yake често vikoristovuyut за един час, за да погледнете правомощията на естествената серия.

Назначаване 2.Какво е естествено число b следват без посредникестествено число а, това число а Наречен директно напред(иначе отпред) номер b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє до властите.

Теорема 1. Единицата няма естествено число напред.

Теорема 2. Кожата е естествено число а, Vіdmіnne víd 1, maє един номер напред б,какво от това б"= а.

Аксиоматичната обосновка на теорията на естествените числа не се вижда нито в средното училище, нито в средното училище. Prote dominion vídnosiní "без посредничество след", както беше в аксиомите на Peano, е предмет на изучаване в курса на математиката. Още в първия клас е час, за да разгледате числата на първите десет, това е ясно, тъй като можете да получите номер на кожата. При които думите „плъзна“ и „преди“ се разбират. Кожата е ново число като продължение на усукания обрат на естествената поредица от числа. Научете се да преразглеждате в tsiom, scho с номер на кожата, това е същото и повече от едно, че естествената серия от числа е неизчерпаема.

Събиране на естествени числа

За правилата за подсказване на аксиоматичната теория, обозначаваща добавянето на естествени числа, е необходимо да се извърши, заместващо, "незабавно следване", разбирам "естествено число"і "предишен номер".

Viperedimo vyznachennya сгънат чрез напредване mirkuvannyami. Как да произволно естествено число адобавете 1, след това вземете числото а",неуморно напредва а, тогава. а+ 1= а"И след това вземаме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Ale yak добави към аестествено число б, vіdmіnne víd 1? Ние ускоряваме предстоящия факт: ако видим, че 2 + 3 = 5, тогава сборът е 2 + 4 = 6, което следва числото 5 без посредник.В този ред 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". В горещото изглежда като може би, .

Този факт е в основата на обозначаването на естествените числа в аксиоматичната теория.

Назначаване 3. Събиране на естествени числаизвиква се алгебрична операция, която може да бъде мощна:

Номер a + b Наречен сбор от числа аі b , и самите числа аі b - добавки.

ОМСК ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ
КЛИОН НА ОМДПУ в близост до Г. ТАРИ
LBC работи за решенията на редакцията и издателството
22-ри 73-ти клон на OmDPU близо до метро Тари
Ch67

Препоръките са признати за студенти от педагогически университети, тъй като те преподават дисциплината "Алгебра и теория на числата". В рамките на тази дисциплина в 6-ти семестър е разработено раздела "Числа на системата". Тези препоръки включват материал за аксиоматичната обосновка на системи от естествени числа (системата от аксиоми на Пеано), системи от цели числа и рационални числа. Аксиоматиката Tsya ви позволява да разберете по-добре какво е такова число, като едно от основните за разбиране на училищния курс по математика. За най-кратко усвояване на материала се препоръчва въвеждането на подходящи теми. Например препоръки и препоръки, твърдения, задачи.

Рецензент: д.ф.н., проф. Dalinger V.A.

Подписан на приятел - 22.10.98

Вестникарска хартия
Тираж 100 бр.
Оперативен метод един за друг
ОмДПУ, 644099, Омск, наб. Тухачевски, 14
филия, 644500, гр. Тара, ул. Шкилна, 69

1. ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА.

С аксиоматичното разсъждение на системата от естествени числа е важно да се вземе предвид разбирането на множителя, синьото, функциите и други мултитеоретични разбирания.

1.1 Системата от аксиоми и най-прости изводи на Пеано.

Общото разбиране в аксиоматичната теория на Пеано е безличното N (както се нарича безличността на естествените числа), особено числото нула (0) от новото и двоично отношение „следва“ към N, което се означава с S ( а) (или ().
АКСИОМА:
1. ((a(N) a"(0 (Това е естествено число 0, което не следва никое число.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (естественото число на кожата следва повече от едно число.)
4. (аксиома на индукцията) Като множител M(N и M удовлетворява два ума:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, тогава M=N).
Във функционалната терминология ze означава, че S:N®N е неактивен. От аксиома 1 става ясно, че S:N®N ферментацията не е сур'активна. Аксиома 4 е основа за доказване на упоритата работа "по метода на математическата индукция".
Значително действа силата на естествените числа, които без посредник викат за аксиоми.
Степен 1. Кожата е естествено число a(0, следващо едно и повече от едно число.
Привеждане. Показателно е, че чрез M безлични естествени числа, което означава нула и всички естествени числа, които следват всяко число. Достатъчно е да покажем, че M=N, единството е очевидно от аксиоми 3. Нека докажем аксиома на индукция 4:
A) 0(M - чрез бърз множител M;
B) дори a(M, тези a"(M, повече a" следва a.
Средно от аксиоми 4 M=N.
Степен 2. Като a (b, след това a "(b").
Властта се довежда по метода „от неприемливото“, заместваща аксиома 3. По същия начин такава власт се довежда 3, избирателна аксиома 2.
Сила 3. Като "(b), след това (b.)"
Степен 4. ((a(N)a(a". (Не следва естествено число).)
Привеждане. Нека M=(x(x(N, x(x))). ) в такъв ранг на Umov A) аксиома 4 0(M - печели. Ако x(M, тогава x(x"), тогава 2 x" ((x")", а tse означава, че печели и Umov B) x ( M ® x"(M. Alethodically следва аксиома 4 M=N."
Нека (- двойката на степента на естествените числа. Фактът, че числото a има мощност (, запишете ((a)).
Задача 1.1.1. Нека ви кажа, че аксиома 4 от обозначаването на безличните естествени числа е по-близо до обидната твърдост: за всякакъв вид авторитет (, като ((0) i, тогава).
Задача 1.1.2. Унарната операция (: a(=c, b(=c, c(=a)) се дефинира по този начин върху триелементния множител A=(a,b,c).)
Задача 1.1.3. Нека A \u003d (a) - едноелементен множител, a (= a) Яки с аксиомите на истината на Peano върху множителя A с операцията (?)
Задача 1.1.4. При кратност на N значително унарна операция е значима, без значение кой. Обяснете какво ще бъде вярно за аксиомите на Пеано, формулирани по отношение на операцията.
Задача 1.1.5. Хайде. Докажете, че A е затворено с помощта на операцията (. Обърнете истинността на аксиомите на Пеано за множителя A с операцията (.).
Задача 1.1.6. Хайде, . Значително върху A обаче е унарна операция. Как аксиомите на Пеано са верни за множителя A на операцията?

1.2. Несуперелективност и категоричност на системата от аксиоми на Пеано.

Системата от аксиоми се нарича ненадмината, тъй като с нейните аксиоми е невъзможно да се приведе теоремата T и нейната напречна (T. Беше разбрано, че супер ефективните системи от аксиоми не могат да имат същата стойност в математиката, тъй като в такава теория е възможно да се донесе всичко, което Следователно, липсата на превъзходство на системата от аксиоми е абсолютно съществена.
Yakshcho в Aksiomatic Theoret не е поток теорема t і ї ї ї ї ї ї не означава, че системата от aksi не е претоварена; до факта, че интерпретацията на системата от аксиоми в очевидно не-суперравна теория S, тогава самата система от аксиоми е несвърхравна.
За системата от аксиоми на Пеано може да се изградят богати различни интерпретации. Особено богата на интерпретация теорията за множествеността. Едно от тези тълкувания е многозначително. Чрез естествени числа можем да приемем кратни (, ((), ((())), (((())),..., ще различим нулата с числото (. (M), единственият елемент на такъв и такъв М. В този ред, ("=((), (()"=((()) и така нататък)). е малко: показва, че системата от аксиоми на Пеано е въпреки че теорията на кратните не е превъзходно, но доказателството за несуперситетността на системата от аксиоми на теорията на кратните е още по-важно.
Система от аксиоми, която не е превъзходна, се нарича независима, тъй като аксиомата на кожата на тази система не може да бъде доказана като теорема въз основа на други аксиоми. За да извадя наяве тази аксиома
(1, (2, ..., (n, ((1)))
достатъчно, за да докаже, че системата от аксиоми е ненадмината
(1, (2, ..., (n, (((2))
Вярно е, yakby (възможно е да се различава от другите аксиоми на система (1), тогава система (2) е супер-умна, фрагментите от нея биха били верни за теоремата (и аксиомата ((.)).
Освен това, за да се осигури независимост на аксиомите (от други аксиоми на системата (1), е достатъчно да се насърчи тълкуването на системата от аксиоми (2).
Независимостта на системата от аксиоми е голяма neobov'yazkova. Понякога, за да избегнем доказателството на "важни" теореми, ще създадем надсветова (депозитна) система от аксиоми. Аксиомите "zayv" обаче улесняват виждането на ролята на аксиомите в теорията, както и на вътрешните логически връзки между различните раздели на теорията. В допълнение, pobudova іnterpretatsіy за угарни системи от аксиоми е значително сгъната, по-ниска за независими; дори ако трябва да преразгледате валидността на "zayvih" аксиоми. От причините за изхранването на угарите, сред аксиомите от миналото, първо се отдава значение. Опитайте се да го донесете на времето си, че 5-ият постулат в аксиоматиката на Евклид "Не е повече от една права линия, която минава през точка А, успоредна на правата линия" (", е от теоремата (да лежи в другите аксиоми) и доведени до заключението на геометрията на Лобачевски).
Несуперскриптивна система се нарича дедуктивно нова, тъй като ако твърдението А на дадена теория може или да бъде приведено, или да бъде провъзгласено, тогава или А, или (А е теорема на дадената теория. аксиома се нарича Дедуктивна повнота - tezh не obov'yazkova vimoga, например, система от аксиоми на теорията на групите, теорията на територията, теорията на поливането - не е вярно, фрагментите се основават на и кинцеви и нескинченни групи, килци, полета, след това в тези теории, които не можете да задавате, не можете да донесете предложение.: "Група (kíltse, поле) за отмъщение на kіltse kіlkіst елементи".
Трябва да се отбележи, че в богатите аксиоматични теории (сами по себе си, в неформализираните) безличните твърдения не могат да бъдат взети точно предвид и е невъзможно да се донесе дедуктивната пълнота на системата от аксиоми на такава теория. Втората промяна често се нарича категорична. Системата от аксиоми се нарича категорична, така че две интерпретации да са изоморфни, така че да има такава взаимно недвусмислена разлика между множество кочани обекти и други интерпретации Категоричност - теж необов'язкова ум. Например системата от аксиоми на теорията на групите не е категорична. Причината е, че групата на Кинцев не може да бъде изоморфна неодрана група. Въпреки това, с аксиоматизирането на теорията на числовата система, категоричният характер на обов'язкова; Например категоричният характер на системата от аксиоми, която означава естествените числа, означава, че до изоморфизъм има само една естествена редица.
Нека представим категоричността на системата от аксиоми на Пеано. Нека (N1, s1, 01) и (N2, s2, 02) са две интерпретации на системата от аксиоми на Пеано. Необходимо е да се посочи такъв биективен (взаимно еднозначен) израз f: N1®N2, за който трябва да се мисли:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) за всеки x N1;
б) f(01) = 02
Ако унарните операции s1 и s2 са нарушени от един и същ удар, тогава umova a) пренапишете
а) f(x()=f(x)(.
Значително върху множителя N1(N2)
1) 01f02;
2) как xfy, x(fy(.
Нека променим каква е ползата от ферментация N1 към N2, след това за дермално x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Значително чрез M1 безлични елементи x N1, за някои умове (1) печелят. Тоди
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 по силата на 2) и степента на 1 точка 1).
Следователно, съгласно аксиома 4, е възможно M1=N1, а tse i означава, че въвеждането на f е ферментация на N1 N2. При tsimu z 1) е очевидно, че f (01) = 02. Umov 2) се записва така: f(x)=y, тогава f(x()=y(. Звучи като f(x()=f(x)(. Също така, за отражението на f, помислете )) и б.
Значително чрез M2, безлични тихи елементи от N2, скин на който и да е от тях под формата на един и само един елемент от N1, когато се показва f.
Парчета f(01)=02, след това 02 є. Ако е така x(N2 і x(01), тогава за степен 1 елемент 1 x следва текущия елемент c z N1 і тогава f(x)=f(c()=f(c)((02. Средно, 02 f) рангът на един елемент 01, след това 02 (M2.
Давай y(M2 і y=f(x), където x е единственият прообраз на елемента y. След това, по силата на a) y(=f(x)(=f(x()), тогава y( е образът на елемента x ) (. Нека c е предобраз на елемента y(, тогава f(c)=y(. Skilki y((02, тогава c(01 і c) е предният елемент, което има смисъл чрез d.)) Тогава y( =f( c)=f(d()=f(d)(, поради аксиома 3 y=f(d)). M2 ® y
Цялата предгръцка математика има малък емпиричен характер. Всички елементи на теорията се удавиха в масата от емпирични подходи за разработване на практически задачи. Гърците дадоха този емпиричен материал на логически анализ, опитаха се да намерят връзката между различни емпирични данни. За когото цялото усещане за геометрия има голяма роля, изиграна от Питагор и школата (5 век сл. Хр.). Идеите на аксиоматичния метод са ясно изразени в произведенията на Аристотел (4 век сл. Хр.). Проте, практическото развитие на тези идеи е извършено от Евклид в йога "Кочани" (3 век сл. Хр.).
Могат да бъдат посочени три форми на аксиоматични теории.
един). Змистовна аксиоматика, сякаш е била такава до средата на миналия век.
2). Napívformal аксиоматика, scho винил през последната четвърт на миналия век.
3). Формална (в противен случай формализирана) е аксиоматика, чиято дата на раждане може да се приеме като 1904 г., ако Д. Хилберт публикува известната си програма за основните принципи на формализираната математика.
Новата кожна форма не е блокирана отпред, но с развитие и избистряне, същото важи и за тежестта на кожната нова форма, по-ниска отпред.
Аксиоматиката Zmistovna се характеризира с факта, че може да бъде разбрана интуитивно ясно, преди да се формулират аксиоми. И така, в "Кочаните" на Евклид, под точката на разбиране, тези, които са интуитивно самоочевидни под тези разбирания. В същото време има страхотен език и страхотна интуитивна логика, която прилича повече на Аристотел.
Формалните аксиоматични теории също имат силен език и интуитивна логика. Първите разбиратели обаче не разчитат на същия интуитивен усет, те се характеризират само с аксиоми. Самият Тим движи строгост, парчета интуиция с пеещ свят побеждават строгостта. В допълнение, сънливостта нараства, до факта, че теоремата за кожата, въведена в такава теория, ще бъде справедлива при всяко тълкуване. Очевидно под формата на формална аксиоматична теория - теорията на Хилберт, включена в книгата "Представете си геометрията" (1899). Задниците на nap_vformalnyh теории също са теорията на килетите и други теории, представени в хода на алгебрата.
Основата на формализираната теория е изчисляването на броя на думите, което се развива в хода на математическата логика. На vіdmіnu vіd zmіstovnoї napіvformalії aksiomatiki, vіdmіnu vіd zmіstovnoї ї napіvformalії аксиоматика, в formalízirovanіy teorії vykoristovuєє osoblіchna symbolіchna mova. Азбуката на теорията е присвоена сама на себе си, така че е двойка от безлични символи, които играят същата роля като буквите в оригиналния език. Било то кинцева последователност от символи се нарича вираз или дума. Сред вирусите има клас формули и точният критерий, който позволява разпознаването на кожния вирус, е посочен от формулата. Формулите играят същата роля като речта на великия език. Deyakі формули goloshuyutsya аксиоми. Освен това се задават логически правила за виждане; Такова правило означава, че в хода на съвкупността от формули цялата формула е без среда. Доказателството на самата теорема е краят на набора от формули, останалата част от формулата е самата теорема, а формулата на кожата е или аксиома, или теоремата е изведена по-рано, в противен случай тя изпява от средата на напред формули на копието по едно от правилата за наблюдение. В този ранг не трябва да защитаваме доказателствата за валидността на доказателствата: иначе датски lanciugє доказателство, или є, няма убедителни доказателства. При връзката с cim, аксиоматиката е формализирана, за да свикне с особено фините принципи на прайминг математически теории, ако очевидната интуитивна логика може да доведе до помилвания, които са основният ранг чрез неточностите и двусмислието на нашето велико движение.
Така че, тъй като при формализирането на теорията за кожния вирус може да се каже, че това е формула, тогава безличните предложения на формализираната теория могат да бъдат взети под внимание. Във връзка с това принципно е възможно да се разбие аргументът за доказателството на дедуктивния разум, както и за доказателството на не-повърхностността, без да се навлиза в интерпретация. По редица най-прости начини можете да видите разликата. Например, липсата на повърхностност на изчислението се извършва без тълкуване.
В неформализираните теории безличните предложения не са ясно дефинирани; следователно причината за доказване на не-повърхностност, без да се стига до тълкуване, се поставя глупаво. Същите тези стойности и храна за доказателството за дедуктивни повноти. Въпреки това, тъй като беше чуто такова предложение за неформализирана теория, тъй като е невъзможно да се представи или да се зададе, тогава теорията очевидно е дедуктивно неточна.
Аксиоматичният метод отдавна е утвърден не само в математиката, но и във физиката. Първо, опитайте директно, Аристотел се е опитал да го направи, но той също така коригира собствения си аксиоматичен метод във физиката, изключвайки роботите на Нютон от механиката.
Във връзка с бурния процес на математизация на науките е и процесът на аксиоматизация. Нито един от аксиоматичните методи не се намира в различни раздели на биологията, например в генетиката.
Възможностите на аксиоматичния метод не са безкрайни.
Важно е да не забравяме формализирането на теориите, без да пренебрегваме интуицията. Самата теория е формализирана без никаква интерпретация на желания смисъл. Вината за това е малка във връзката между формализираната теория и интерпретацията. Освен това, както при формализирането на теориите, има въпрос за не-суперитета, независимостта и пълнотата на системата от аксиоми. Съвкупността от цялата такава храна се превръща в същността на друга теория, както се нарича метатеория на формализирана теория. Въз основа на формализираната теория езиковата метатеория е най-важният ежедневен език, а логическото огледало се извършва по правилата на естествената интуитивна логика. По този начин интуицията, която отново е взета от формализираната теория, се появява отново в метатеорията.
Но основната слабост на аксиоматичния метод не е в tsoma. Преди това вече се мислеше за програмата на Д. Хилберт, тъй като тя постави основата на формализиран аксиоматичен метод. Основната идея на Хилберт е да направи класическата математика като формализирана аксиоматична теория, да донесе не-суперспособност. Програмата обаче в основните си точки се оказа утопична. През 1931 г. известният австрийски математик К. Гьодел развива своите известни теореми, от които става ясно, че нарушаването на основните задачи, поставени от Хилберт, не е публикувано. Йому отиде отвъд помощта на своя метод за кодиране, за да научи за помощта на формулите на формализираната аритметика и да донесе помощта на метатеорията, че тези формули не са видими при формализирането на аритметиката. По този начин формализираната аритметика изглеждаше дедуктивно неточна. От резултатите на Гьодел става ясно, че дори ако една недоказуема формула е включена в броя на аксиомите, тогава има друга недоказуема формула, която изразява същото правилно твърдение. Всичко това означаваше, че не само цялата математика, но и да научите аритметика - най-простата част, е невъзможно да се формализира. Зокрема, Гьодел, вдъхновил формула, която потвърждава предложенията „Формализираната аритметика е ненадмината“ и показва, че формулата също не може да бъде показана. Този факт означава, че несъвършенството на формализираната аритметика не може да бъде доведено до средата на самата аритметика. Разбира се, можете да насърчите силна формализирана теория и нея чрез привеждане на не-превъзходството на формализираната аритметика и в същото време да обвинявате по-важно за не-превъзходството на новата теория.
Резултатите на Гьодел показват валидността на аксиоматичния метод. И, което е по-важно, podstav за песимистични visnovkіv в теорията на познанието на този, който не знае истината, - не. Фактът, че се установяват аритметични истини, които не могат да бъдат доведени до формализиране на аритметиката, не означава проява на непознаване на истините и не означава неяснота на човешката мисъл. Vin означава само, че възможностите на нашия ум няма да бъдат сведени до процедури, че те ще бъдат по-формализирани и че хората все още трябва да тестват и да намерят нови принципи на доказателство.

1.3.Запаметяване на естествени числа

Операциите на сгъване и умножение на естествени числа по системата на осите на Пеано не са постулирани, а вместо операции.
Назначаване. Добавянето на естествени числа се нарича двоична алгебрична операция + върху множителя N, която може да бъде мощна:
1s. ((a(N)a+0=a);
2в. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Обвиняващо хранене - какво е такава операция, но ако е, тогава какво е?
Теорема. Събирането на естествени числа е необходимо и само едно.
Привеждане. Двоичната операция на алгебрата върху множествеността N е ферментацията (:N(N®N. Необходимо е да се докаже, че има само една ферментация (:N(N®N със степени: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Значително върху множителя N, двоичен израз fx от умовете:
а) 0fxx;
б) как yfxz, y(fxz(.
Нека променим каква е ползата от N на N, тогава за кожата y z N
(((z(N) yfxz (1)
Показателно е, че чрез M, множителят на естествените числа y, за които ума (1) е победител. Така че помислете a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) и мощност 1 p. и означава, че fx е ферментацията на N към N. За коя ферментация помислете:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - през b).
Самият Тим донесе мотивите за фолда.
Ние носим единство. Нека + i (- е като две двоични операции на алгебрата върху множества N със степени 1c и 2c. Необходимо е да се донесе това
((x, y(N) x + y = x(y)
Достатъчно е фиксирано числото x i е значимо чрез S от безлични естествени числа y, за които невъзмутимост
x+y=x(y (2)
печеля. Skilki zgіdno 1с x+0=x и x(0=x, тогава
A) 0 (S
Сега нека y(S, така че равенството (2) да спечели. Така че x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, тогава) ) аксиоми 2 x+y(=x(y(, така че умът да спечели)
B) y(S ® y((S.)
И така, по аксиома 4 S=N, което завършва доказателството на теоремата.
Нека да доведем властите до dodavannya.
1. Числото 0 е неутралният елемент на събиране, така че a+0=0+a=a за естественото число на кожата a.
Привеждане. Спокойствие a+0=a крещи от ума 1s. Привеждаме равенството 0+a=a.
Значително чрез M безлични числа, които няма да спечелят. Очевидно 0+0=0 и 0(M. Нека a(M, тогава 0+a=a.) Тогава 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, как и е необходимо да се донесе.
Дай ни една лема.
Лема. a(+b=(a+b)(.
Привеждане. Нека M е безлично число от всички естествени числа b, за което равенството е a(+b=(a+b)(вярно за всяка стойност на a.):
A) 0(M, фрагменти a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Определено, тъй като b(M и 2c) е възможно)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
така b ((M. Средно, M = N, какво трябва да донеса).
2. Събирането на естествените числа е комутативно.
Привеждане. Нека M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Кажете ми, че M=N. Може би:
A) 0(M - цена 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Средно a((M, i от аксиома 4 M=N).
3. Събиране асоциативно.
Привеждане. Хайде
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Необходимо е да се приведе, че M=N. Така че (a+b)+0=a+b и a+(b+0)=a+b, тогава 0(M. Нека s(M, тогава (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Средно c((M i по аксиома 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Привеждане. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ако b(0), тогава ((a(N)a+b(a)).
Привеждане. Нека M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, тогава 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(в противен случай a( +b) (a)) означава a((M і M=N)).
6. Ако b(0, тогава ((a(N)a+b(0))
Привеждане. Ако a=0, тогава 0+b=b(0, ако a(0 і a=c(, тогава a+b=c(+b=(c+b))((0. И така, y е кое време a) + b (0.
7. (Законът за трихотомично сгъване). За всички естествени числа a и b е вярно само едно и само едно от трите подобия:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Привеждане. Фиксираме определено число a и то е значимо чрез M множителя на всички естествени числа b, за което можем да спечелим дори едно от числата 1), 2), 3). Необходимо е да се приведе, че M=N. Нека b = 0. Ако a=0, тогава 1), и ако a(0, само 3), тогава a=0+a. Отже, 0 (М.
Сега е приемливо, че b(M, така че обратното на a е едно от обратното на 1), 2), 3). Ако a=b, тогава b(=a(=a+1, тогава за b(отместването 2 се отчита).) Ако b=a+u, тогава b(=a+u(, тогава за b(отместването се брои) 2 ) Ако a=b+v, тогава са възможни две деклинации: v=1 и v(1. Ако v=1, тогава a=b+v=b", тогава за b" обратното съотношение 1 е и v(1, след това v=c", de c(0 и след това a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, така че за b " имаме обратно 3). По-късно донесохме това b (M ® b "(M, i, също M = N, така че за това дали a и b, човек иска да използва едно от съзвучията 1), 2), 3). те не могат да бъдат победени наведнъж. spіvvіdnoshennia 2) и 3), тогава малки b a = (a + u) + v = a + + (u + v), но е невъзможно чрез силата на 5 и 6. Силата на 7 е доведена до край.
Задача 1.3.1. Нека 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Кажете ми 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. УМНОЖЕНИЕ НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Назначаване 1. Умножението на естествени числа се нарича такава двоична операция (върху множителя N, за който се брои умът:
1u. ((x(N) x(0=0);
2 г. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Отново подкрепям храненето - защо е такава операция и как е, тогава какво е единственото?
Теорема. Операцията за умножение на естествени числа е само една.
Доказателството може да се извърши по същия начин, както при допълнително доказване. Необходимо е да се знае такъв израз (:N(N®N), като
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Фиксираме доста голямо число x. Възможно е също така за кожата x(N іsnuvannya vírazhennya fx: N®N s авторитет
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
тогава функцията ((x,y), която е равна на ((x,y)=fx(y) и удовлетворява умовете 1) и 2).
По-късно доказателството на теоремата достига до доказателството на основата на това единство за skin x на функцията fx(y) със степени 1") и 2"). Нека зададем броя на N стойностите съгласно следното правило:
а) числото нула е зададено на числото 0,
б) тъй като на числото y е дадено числото c, то числото y (числото c + x е равно).
Нека преосмислим, че при такава настройка числото на кожата y може да бъде едно изображение: и е важно, че е възможно да се преобразува N в N. Показателно е, че чрез M безличността на всички естествени числа y може да се формира едно изображение. Помислете а), че аксиома 1 е ясна, така че 0(M. Нека y(M. Помислете b) и аксиома 2 е ясна, че y((M. Така че, M=N, така че нашата причина е N) в N, е значително по отношение на fx, тогава fx(0)=0 по причина а) и fx(y()=fx(y)+x - по причина б).
По-късно причината за операцията за умножение беше потвърдена. Нека сега (i (- са две двоични операции върху множителя N със степени 1y и 2y. Остава да кажем, че ((x,y(N) x(y=x(y) Фиксираме доста число x и недей))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
Преминете през 1y x(0=0 и x(0=0, след това 0(S. Нека y(S), след това x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y()
i, след това, y((S. Така че, S=N, по-ниско i, доказателството на теоремата приключва).
Значително много дякони на властта.
1. Неутралният елемент обикновено е числото 1=0(, така че ((a(N) a(1=1(a=a))).
Привеждане. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) По този начин равенството на a(1=a е завършено. N) (1(a=a). Така че 1 (0=0, тогава 0(M. Нека a(M, тогава 1(a=a)). Тогава 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. И така, от аксиомите 4 M=N, което беше необходимо да се изведе).
2. Тогава за набор от панаири, закон за право разпределение
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Привеждане. Нека M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , тогава 0(M. Така че c(M, тогава (a+b) c=ac+bc), тогава (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) И така, c((M и M=N).
3. Умножението на естествените числа е комутативно, тоест ((a,b(N) ab=ba).
Привеждане. Нека го направим правилно за b (N равно на 0 (b = b (0 = 0. Равно b (0 = 0)) е ясно 1y. Нека M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, след това 0(M. Така че b(M, след това 0(b=0, след това 0(b(=0(b+0=0)) i, също, b((M. И така, M= N, тогава равенството 0(b=b(0 доведено до всички b(N. Да продължим) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, тогава ab = ba. Тогава a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, тогава a ((S. Така S = N), което е необходимо да се донесе) .
4. Многократно разпределително сгъване. Tsya доминион viplivaê z доминион 3 и 4.
5. Множественото число е асоциативно, тоест ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Доказателството се извършва, подобно на th в склада, индукция на s.
6. Ако a(b=0, тогава a=0 и b=0, тогава N няма делители на нула.
Привеждане. Нека b(0 и b=c(. Ако ab=0, тогава ac(=ac+a=0, знаците следват степента на 6, т. 3, така че a=0).
Задача 1.4.1. Нека 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Кажете ми какво 2(4 =8, 3(3=9.
Нека n, a1, a2, ..., an са естествени числа. Сборът на числата a1, a2,...,an се нарича число, тъй като се означава чрез него от умовете; за всяко естествено число k
Подмножество на числата a1, a2,...,an е естествено число, тъй като се означава с i и се означава с ума: ; за всяко естествено число k
Как този номер се обозначава чрез an.
Задача 1.4.2. Донесете какво
а);
б);
в);
G);
д);
д);
и);
з);
і) .

1.5. РЕД НА СИСТЕМАТА НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Изявлението "следва" е антирефлексивно и антисиметрично, но не транзитивно и не следва този ред. Променяме значително реда, като разчитаме на събирането на естествени числа.
Назначаване 1. a
Дестинация 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі естествени числа, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4а
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9а
1.10а
Привеждане. Dominance 1.1 и 1.2 излъчват уникалността на операциите на сгъване и умножение. Yakscho a
2. ((a(N) a
Привеждане. Oskils a(=a+1, след това a
3. Най-малкият елемент N е 0, а най-малкият елемент N\(0) е числото 1.
Привеждане. Така че ((a(N) a=0+a, тогава 0(a, i, следователно 0 е най-малкият елемент от N.) Тогава, като x(N\(0), тогава x=y(, y( N ) , в противен случай x = y + 1. Отговорът е, че ((x (N \ (0)) 1 (x, така че 1 е най-малкият елемент в N \ (0)).
4. Предложение ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Привеждане. Очевидно за всяко естествено а съществува и естествено число n, което
a Такова число е, например, n = a (. Dahl, ако b (N \ (0), тогава за степен 3
1(b(2)
Z (1) и (2) на базата на степени 1.10 и 1.4 вземете aa.

1.6. РЕАЛНИЯТ РЕД НА СИСТЕМАТА ОТ ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Назначаване 1. Като непразен субмножител на кожата на подреден множител (M; Помислете отново, че новият ред е линеен. Нека a и b са два елемента от цял подреден множител (M; Lema) . 1) а
Привеждане.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Теорема 1. Естественият ред на множеството от естествени числа е по-висок ред.
Привеждане. Нека M е празно от безличните естествени числа и S е нематериалността на долните интери в N, така че S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). следващо, 0(S , Якби победи и други аксиоми на Умов 4 n(S(n((S, тогава малко b S=N)).
Теорема 2. Ако има непразна граница за звяра от безлични естествени числа, може да има най-големият елемент.
Привеждане. Нека M е непразна граница между звяра на безличните естествени числа, а S е безличността на горните кордони, така че S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Значително чрез x0, най-малкият елемент от y S. Ако m
Задача 1.6.1. Донесете какво
а);
б);
в).
Задача 1.6.2. Хайде (- слаба степен на естествени числа и k - повече от естествено число. Донесете какво
а) бъде като естествено число може да бъде степен (като само 0 може да бъде степен за каквото и да е n (0
б) дали е естествено число, по-голямо или равно на k, maє степен (, ако само k maє tsyu степен i за каквото и да е n (k (n) s пропуск, scho n maє степен (, следващо, scho число n + 1 също Volodya tsієyu мощност).
в) е естествено число, по-голямо или равно на k, може да има степен (както само k може да има степен и за каквото и да е n (n>k) е допустимо, че всички числа t, присвоени от умствено k (t

1.7. ПРИНЦИП НА ИНДУКЦИЯ.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost на системата от естествени числа, можете да донесете такава теорема, де-основата на един от методите за доказателство, заглавия по метода на математическата индукция.
Теорема (принцип на индукцията). Usі vyslovlyuvannya z последователни A1, A2, ..., An, ... е иstnymi, yakshcho vykonuyutsya ум:
1) A1 е вярно;
2) как да използвате Ak с k
Привеждане. Допустимо е да не приемете: помислете 1) и 2), за да спечелите, но ако теоремата не е вярна, тогава няма да допуснем е безлично M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). елемент, който е значим от гледна точка на n. мислено 1) A1 е вярно, а An е лошо, тогава 1(n, i, aka, 1)
За потвърждение по метода на индукцията могат да се видят два етапа. На първия етап, който се нарича основа на индукцията, манталитетът на ума се преобръща 1). От другата страна на сцената, наречена индукционен глин, умът се привежда в ума 2). Най-често се преминават випади, ако за да се докаже истинността на An, не е възможно да се използва победоносността на истинността на Ak при k
дупето. За привеждане на неравномерност Платима = Sk. Необходимо е да се приведе истинността на извеждането Ak=(Sk. Последователността на дедукцията, както е описано в теорема 1, може да дойде от предиката A(n), присвоен на множеството N или на тото подмножество Nk=(x( x(N, x(k)), където k е фиксирано естествено число.
Така че, ако k=1, тогава N1=N(0), а номерирането може да се извърши за допълнителни равенства A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Ако k(1, тогава последователността от срещания може да бъде взета от допълнителни четности A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno на такива стойности, теорема 1 може да бъде формулирана в различна форма.
Теорема 2. Предикатът A(m) също е верен за множителя Nk, така че знаете:
1) A(k) е вярно;
2) как да използвам A(m) за m
Задача 1.7.1. Нека ви кажа, че този вид равенство не взема решение в галерията от естествени числа:
а) x + y = 1;
б) 3x = 2;
в) x2 = 2;
г) 3х+2=4;
д) x2+y2=6;
е) 2x+1=2y.
Задача 1.7.2. Донесете, победоносен принцип на математическата индукция:
а) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б);
в);
G);
д);
д).

1.8. ВИДЧИТАННЯ И ДЕЛЕНЯ ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА.

Обозначение 1. Разликата между естествените числа a и b е такова естествено число x, че b+x=a. Разликата на естествените числа a и b се означава чрез a-b, а действието на разликата на разликата се нарича разлика. Vіdnimannya не е операция на алгебрата. Tse vyplyvaê iz nastupnoї теорема.
Теорема 1. Дребно a-b е единствената разлика и само една, ако b(a. Ако има разлика, тогава само една).
Привеждане. Ако b(a, тогава за обозначението на препратката (ако е естествено число x, тогава b+x=a. Ale ce i означава, че x=a-b. че b + x = a. Alece означава, че b (a .
Ние носим единство търговия на дребно а-б. Нека a-b=x и a-b=y. Същото важи и за назначенията 1 b+x=a, b+y=a. Zvídsi b+x=b+y і, също, x=y.
Дестинация 2. Частта от две естествени числа a и b(0) се нарича естествено число c, така че a = bc.
Теорема 2. По-лична е от една.
Привеждане. Хайде = x това = y. Същото важи и за срещи 2 a=bx и a=by. Zvіdsi bx=by і, също, x=y.
Заслужава да се отбележи, че операциите, извършени по този повод, могат да се броят буквално по същия начин, както при училищните асистенти. Tse означава, че в параграфи 1-7, на базата на аксиомите на Пеано, е положена теоретичната основа на аритметиката на естествените числа, а впоследствие се установяват по-нататъшни разработки в гимназиалния курс по математика и в университетския курс „Алгебра и числа Теория".
Задача 1.8.1. Отдайте справедливост на подобни твърдения, като признаете, че всички разлики, посочени в техните формули, са ясни:
а) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
до) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Задача 1.8.2. Да се оправдаят предстоящите трудности, като се признае, че всичко е частно, че са посочени в дадената формула, това е ясно.
а); б); в); G); д); д); и); з); i); да се); л); m); н); относно); P); R).
Задача 1.8.3. За да докажем, че майките на две различни естествени решения не могат да бъдат толкова равни: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Задача 1.8.4. Развържете естествените числа, равни на:
а) x2+(x+1)2=(x+2)2; б) x + y = x (y; c); г) x2+2y2=12; д) x2-y2 = 3; д) x + y + z = x (y (z.
Задача 1.8.5. Да се докаже, че няма такова равно решение в сферата на естествените числа: а) x2-y2=14; b) x-y = xy; в); G); д) x2=2x+1; е) x2 = 2y2.
Задача 1.8.6. Разкриване на естествените числа на неравностите: а) ; б); в); г) x+y2 Задача 1.8.7. Кажете ми, че в сферата на естествените числа началото на изкривяването е справедливо: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9.КИЛКИСНИЯ СМЪРТ естествени числа.
Наистина, естествените числа трябва да бъдат поставени като главен ранг на rahunka на елементите и какво е необходимо, за да се установи тримесечен заместител на естествените числа теоретично от Peano.
Дестинация 1. Анонимен (x(x(N, 1(x(n)) се нарича за разлика от естествената серия) и се обозначава чрез (1; n ()).
Назначаване 2. Kіntsevoj множител се нарича дали е множител, равен на всеки брояч на естествената серия, а също и празен множител. Bezlich, като не е kіtsevim, се нарича неодран.
Теорема 1 до мокро(Tobto podmnozhini, vídmíny víd A).
Привеждане. Как A=(, теоремата е вярна, няма празни фрагменти от празни подкратни. Нека A((і A еднакво трудно (1,n((A((1,n()).)) Можем да докажем теорема чрез индукция върху n. Как n= 1, тогава A((1,1(, тогава използваме единичния субмножител на множителя A е празен множител). Беше ясно, че A(i, също, за n=1 , теоремата е вярна. Да приемем, че теоремата е вярна за n=m, тогава всички крайни множители, еднаква сила на вятъра (1,m(, не мислете за еднаква сила на вятъра). обратно)) (1, m+1(в A. Ако ((k) е известно от ak, k=1,2,...,m+1, тогава безличното A може да бъде записано като A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Нашата цел е да докажем, че A няма еднакво силни подкратни.
Нека да разгледаме множителите A1 = A (am + 1) и B1 = B (am + 1). Тъй като f(am+1)=am+1, тогава функцията f zdіysnyuvatime биоактивно показване на множителя A1, от множителя B1. В този ранг безличният A1 ще бъде равен на своя мощен субкратен B1. Ale oskílki A1((1,m(, не замествайте допустимото количество индукция).
Заключение 1. Липсата на естествени числа не е ограничена.
Привеждане. От аксиомите на Пеано е ясно, че S:N®N\(0), S(x)=x(обективно) е ферментирал.
Заключение 2. Ако множителят на kíntsev A не е празен, той е равен на един и само един двойник на естествения ред.
Привеждане. Нека A((1,m(і A((1,n(. Todі) (1,m(((1,n(, поради Теорема 1 е ясно), така че m=n.)).
Последните 2 ви позволяват да въведете обозначение.
Обозначение 3. Тъй като A((1,n(, тогава естественото число n се нарича броят на елементите в множителя A), а процесът на установяване на взаимно недвусмислено сходство между множителите A и (1,n (наречен число на елементи в множителя А. Броят на естествените елементи на кратното на празния въведете) числото нула.
За величието на значението на rahunka за практическия живот, говорете zayve.
С уважение, познавайки смятането на естествено число, би било възможно да се изчисли операцията за умножение чрез самото добавяне:
.
Засега не изпратихме по този начин, за да покажем, че самата аритметика не е необходима в смисъла на смятането: смисълът на смятането на естественото число е необходим само в добавки към аритметиката.

1.10. СИСТЕМАТА НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА КАТО ДИСКРЕТЕН ОБРАТЕН Е ПОРЯДЕН БАГАТО.

Показахме, че безличните естествени числа са съвместими с естествения ред и целия ред. Ако е така, ((a(N) a
1. за всяко число a(N іsnuє sudіdnє, идващо след него 2. за всяко число a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma пред вас) Целият ред на безличните (A;()) със степени 1 и 2 се нарича мемо дискретен цикъл Изглежда, че подреждането със степени 1 и 2 е характеристичната степен на системата от естествени числа.елемент i, също, аксиома 1 Пеано печели).
Така че това е като линеен ред, след което за всеки елемент a има един елемент, който го следва и не повече от един преден съдиден елемент.
1) a0(M, където a0 е най-малкият елемент от A;
2) a(M (a((M.))
Да кажем, че M=N. Допустимо не се приема, тогава A\M((. Показателно е, че чрез b, най-малкият елемент в A\M.
Доведохме и възможността за друго обозначение на системата от естествени числа.
Назначаване. Системата от естествени числа се нарича дали множеството е подредено като цяло, на което се броят умовете:
1. за всеки елемент има следващ напредващ елемент зад него;
2. за всеки елемент, най-малко видимият елемент, основният съдебен елемент.
Isnuyut іnshі pіdhodi дестинация на системата от естествени числа, на които ние не тук zupinaêmosya.

2. ЦИЛИ И РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

2.1. ЗНАЧЕНИЕ И СИЛА НА СИСТЕМАТА ОТ ЧИСЛАТА.
Изглежда, че в съзнанието на интуитивния ум няма брой цели числа и пръстенът е в състояние да сгъне този множител, освен това пръстенът е да отмъсти на естествените числа. Разбра се, че няма ругатни в kіltsі tsіlih числа, като това ще отмъсти на всички естествени числа. Ци на силата, изглежда, може да се постави като основа за строго обозначаване на система от числа. В параграфи 2.2 и 2.3 ще бъде посочена коректността на такова обозначение.
Назначаване 1. Системата от числа се нарича алгебрична система, за която умът е:
1. Алгебрична система е килце;
2. Анонимността на естествените числа трябва да се вземе предвид, освен това, като се добави, че умножението в kíltsі на submultiples се взема от добавките на тези умножения на естествени числа, tobto
3. (умова минималност). Z е минимумът за включване на множителя със степен 1 и 2. С други думи, за да отмъстим на естествените числа, тогава Z0=Z.
На среща 1 може да се придаде аксиоматичен характер. Първите концепции в тази аксиоматична теория ще бъдат:
1) Анонимен Z, чиито елементи се наричат цели числа.
2) Специално цяло число, тъй като се нарича нула и се обозначава с 0.
3) Тройни vídnosini + ta (.
Чрез N, както обикновено, безличните естествени числа се означават чрез сгъване (и умножения (. В интерес на истината, до обозначението 1, системата от цели числа се нарича такава система от алгебра (Z; +, (, N ), за които следните аксиоми са победоносни):
1. (Аксиоми на kіltsya.)
1.1.
Тази аксиома означава, че + є двоична операция на алгебрата върху множеството Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, така че числото 0 може да се добави като неутрален елемент).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), така че за цялото число на кожата има противоположното число a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Тази аксиома означава, че умножението е двоична операция на алгебрата върху множителя Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Аксиоми на връзката между Z и системата от естествени числа.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Аксиома за минималност.)
Ако Z0 е краят на пръстена Z и N(Z0, тогава Z0=Z.
Значително действа силата на системата от числа.
1. Броят на кожите може да бъде представен чрез разглеждане на разликата между две естествени числа. Появата е двусмислена, освен това z=a-b и z=c-d, de a, b, c, d (N, и двете и само ако a+d=b+c).
Привеждане. Показателно е, че през Z0 отсъствието на всички цели числа, кожата на което и да е от тях, изглежда като две естествени числа. Очевидно, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Да отидем x,y(Z0, след това x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Тогава x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Може да се види, че x-y, x(y(Z0 i, оттук нататък Z0 е подмножество на пръстена Z, за да отмъсти на безличния N.)).
2. Пръстенът от цели числа е комутативен пръстен с единица, като нулата на пръстена е естественото число 0, а единицата на пръстена е естественото число 1.
Привеждане. Нека x,y(Z. Валидно на степен 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Тогава x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))). Следователно, поради комутативността на умножението на естествени числа, отговаря, че xy=yx. Комутативността на умножението в пръстенът Z е доведен. 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b () 1 = a-b = x)))

2.2. ISNUVANNYA SYSTEM CYLIKH НОМЕР.

Системата от числа е приписана на 2.1 като минимум за включване на пръстена, който отмъщава на естествените числа. Vikaє pitanya - какво е същото килце? С други думи, системата от аксиоми s 2.1 е супер опростена. За да се донесе не-суперитета на системата от аксиоми, е необходимо да се индуцира тълкуване в една ясно неконтролируема теория. Такава теория се взема предвид от аритметиката на естествените числа.
Отново е необходимо да се обясни интерпретацията на системата от аксиоми 2.1. Да оставим безличното. За когото безличните са значително две двоични операции и двоична настройка. Ако добавянето на това умножение на двойки се свежда до добавяне на това умножение на естествени числа, тогава за естествените числа добавянето на това умножение на двойки е комутативно, асоциативно и умножението е разпределително подобно на събирането. Нека преразгледаме, например, комутативността на събирането на двойки: +===+.
Нека да разгледаме силата на vídnoshennia ~. Oskílki a + b = b + a, след това ~, след това настройка ~ рефлексивно. Ако ~, тогава a+b1=b+a1, тогава a1+b=b1+a, тогава ~. Otzhe, настройка ~ симетрично. Давай ~ аз ~. Равенствата a+b1=b+a1 и a1+b2=b1+a2 също са валидни. Събирайки числата на равенствата, отнемаме a + b2 = b + a2, след това ~. Otzhe, настройка ~ също преходно и, otzhe, е еквивалент. Класът на еквивалентност, който отмъщава за двойка, ще бъде определен чрез. В този ранг класът на еквивалентност може да бъде присвоен на вашата двойка и с нея
(1)
Анонимността на всички класове на еквивалентност е значителна чрез. Нашата задача е да покажем, че умножителят в случай на определена операция на сгъване и умножение ще бъде интерпретацията на системата от аксиоми от 2.1. Операциите върху безличните са значими по равенства:
(2)
(3)
Ако i е, тогава върху множителя N е валидно равенството a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), равенството (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), което по силата на (1) е приемливо, което. Tse означава, че еквивалентността (2) означава уникална операция на събиране на множител, така че като да не падне поради избора на двойки, което означава добавяне) и уникалност на умножението на класове. По този начин равенствата (2) и (3) се приписват на множествеността на двоичните операции на алгебрата.
Oskіlki класове за добавяне и умножение могат да бъдат изградени до сгъваеми и умножаващи двойки, тези операции са комутативни, асоциативните и умножителните класове са разпределително лесно сгъваеми. От равенствата се установява, че класът е неутрален елемент от начина на сгъване, а класът кожа е пролиферативният клас. И така, множителят е кръг, така че аксиомите от група 1 от 2.1 се броят.
Нека да разгледаме kіl'tsі podmnozhina. Ако a(b, тогава чрез (1) и ако a
При безличното двоичното е значимо (следва (; себе си, следва класа, следва класа, de x (є естествено число, идва след x. Клас, идва след естествено означаван чрез). класът следва класа i преди него е само един.
Нека погледнем изображението. Очевидно е, че целта на ферментацията е двуактивна и умът f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () С други думи, алгебра (;, () е интерпретация на системата от аксиоми на Пеано. Произлиза от изоморфни алгебри, така че можете с уважение да считате, че самото безлично N е подумножено. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, което означава, че добавянето на това умножение в kíltsi на submultiple N се добавя към добавките и умноженията на естествени числа.По този начин се инсталира добавянето на аксиомите от група 2.
Хайде Z0 - бъди като kіltse pіdkіltse, scho да отмъстиш на безличния N i. С уважение, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - килце, тогава разликата между тези класове може да се крие и с килцу Z0. З равенства -= (= fit, sho (Z0 і, aka, Z0=. Довежда се несуперитет на системата от аксиоми на т. 2.1).

2.3. ЕДИНСТВО НА СИСТЕМАТА ОТ ЧИСЛАТА.

Имам само една система от числа за интуитивния си ум. Tse означава, че системата от аксиоми, която означава числата на числата, може да бъде категорична, така че тълкуването на системата от аксиоми да бъде изоморфно. Категоричен и означава, че до изоморфизъм има само една система от числа. Perekonayemosya, scho tse true so.
Нека (Z1;+,(,N) и (Z2;(,(,N)) са две интерпретации на системата от аксиоми от параграф 2.1.) са пълни с непокорни и сметани за каквито и да е елементи x и y от пръстена Z1 справедливост
(1)
. (2)
С уважение, фрагментите N(Z1 и N(Z2, тогава
, a(b=a(b. (3)
Нека x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Задайте елемента x=a-b на елемента u=a(b, de) , звезди z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse означава, че нашата способност да падаме като представител на елемента x като разлика между две естествени числа и cim е показана във f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Разбирайки, че v(Z2 і v=c(d), тогава v=f(c-d).) изразът f е сюр'ективен.
Ако x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), тогава a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) сила (3) a+d=b+c, така че a-b=c-d Доведохме, че равенството на x=y е очевидно от равенството на f(x)=f(y), тогава изразът на f е неактивен.
Ако a(N, тогава a=a-0 и f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Така че, естествените числа са ненасилствени, когато f е преувеличено. Далеч, като x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, тогава x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Справедливостта на равенството (1) е доказана. Обратимо равенство (2). Везни f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), и от другата страна f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). И така, f(xy)=f(x) (f(y)) , което завършва доказателството за категоричността на системата от аксиоми n.) 2.1.

2.4. СТОЙНОСТ И СИЛА НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Анонимни Q рационални числа в даденото интуитивно rozumіnnі поле, за някои безлични Z цели числа е pіdkіltsem. Когато е очевидно, че Q0 е подполето на полето Q, за да отмъсти на числата, тогава Q0 = Q.
Назначаване 1. Система от рационални числа е такава система от алгебра (Q; +, (; Z), за която се използва умът:
1. алгебрична система (Q; +, () е поле;
2. пръстен Z цели числа е pіdkіltsem поле Q;
3. (минимум) ако подполето Q0 на полето Q отмъщава на подполето Z, тогава Q0=Q.
Накратко, системата от рационални числа е минимумът за включеното поле, за да отмъсти за броя на числата. Можете да дадете повече доклади за аксиоматичното определение на системата от рационални числа.
Теорема. Едно рационално число x може да бъде представено като частни две цели числа, така че
, de a, b (Z, b (0. (1)
Появата е двусмислена, освен това de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Привеждане. Значително по отношение на Q0 има безлични рационални числа, както се вижда в (1). За да завършим съгласуването, така че Q0 = Q. Хайде, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Тогава за мощността на полето е възможно: , а за c (0) Средното Q0 е затворено върху ненулево число, i, тогава, е подполе на полето Q. Така че, ако числото a е представимо в очите, тогава Z (Q0. Поради факта, че е минимално и очевидно , Q0 = Q. Доказателството на другата част от очевидната теорема.

2.5. ОСНОВА НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Системата от рационални числа е определена като минимално поле за отмъщение на броя на числата. Zvichayno vinikaê pitanya - chi іsnuê такова поле, че chi є nesuperechlivuyu система от аксиоми, scho vyznaê рационални числа. За да се потвърди не-суперитетът, е необходимо да се предизвика интерпретация на системата от аксиоми. При когото е възможно спираловидно да основата на системата от цели числа. Нека отделим малко време, за да интерпретираме Z(Z\(0) като неизменно число. Две двоични операции на алгебрата са значими за множителя
, (1)
(2)
този двоичен файл
(3)
Dotsіlnіst sama такова обозначение на операциите и vídnosinі ~ vyplyaê z, че в іy іyіnpretatsії, както ще бъда, няколко думи са по-лични.
Лесно е да се заблуди, че операциите (1) и (2) са комутативни, асоциативни и се умножават разпределително. Всички сили на властта се почитат въз основа на по-висшите сили на добавяне на това умножение на числа. Pereverimo, например, асоциативността на множество двойки: .
По същия начин се преразглежда, че разликата е ~ е еквивалентна и следователно безличният Z(Z \ (0)) е разделен на класове на еквивалентност. по двойки i по силата на ума (3) вземаме:
. (4)
Нашата задача е да обозначим операцията за сгъване на този множител в множител, така че да е поле. Броят на операциите е значителен по равенства:
, (5)
(6)
Така че, тогава ab1=ba1 и след това cd1=dc1, след това умножавайки стойностите на равенството, вземаме (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) и tse означава, че Tse ще ни промени от тази, която е равен (6) ) ефективно означава недвусмислена операция върху безличен клас, като например да лежи в избора на представители на класа кожа. По подобен начин се преразглежда уникалността на операцията (5).
Тъй като добавянето и умножаването на класове може да се сведе до сгъване и умножаване на двойки, тогава операциите (5) и (6) са комутативни, асоциативни и разпределителни и могат да бъдат добавяни.
От равенствата е посочено, че класът е неутрален елемент, когато е допълнен, а за класа на кожата се използва елементът protella yoma. По подобен начин е очевидно, че класът е неутрален елемент от множеството и за класа на кожата е коригиращият клас. Също така, е областта на операции (5) и (6); първи Умов при определената точка 2.4 печели.
Нека да разгледаме безличната дистанция. Очевидно, . Безличността се затваря, като се види това множествено число и по-късно от pidkil на полето. Правилно,. Нека да разгледаме визията, . Сюр'ективността на това проявление е очевидна. Ако f(x)=f(y), тогава x(1=y(1 или x=y. Значение f и инжективно. В допълнение, изоморфно kіltsya, възможно е да се разбере, че Z kіlce е subkіlcem на полето, така че умът е бит 2 при назначената клауза 2.4. полета i,Хайде. Бо, а, тогава. Ale oskіlki - полето, след това частни tsikh елементи tezh лежат на полето. Самият Тим го повдигна, какво е тогава, tobto. Основата на системата от рационални числа е завършена.

2.6. ЕДИНСТВО НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Ако има само една система от рационални числа в съвременния интуитивен смисъл, тогава аксиоматичната теория на рационалните числа, както се появява тук, може да бъде категорична. Категоричен и означава, че до изоморфизъм има само една система от рационални числа. Нека покажем, че е истина.
Нека (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z)) - са като две системи от рационални числа.
(1)
(2)
за всякакви елементи x и y от полето Q1.
Частните елементи a и b в поле Q1 ще бъдат означени с, а в поле Q2 - с a:b. Тъй като Z е pіdkіltse kozhny s polіv Q1 и Q2, тогава за произволен брой числа a и b еквивалентност
, . (3)
Хайде де, . На дадения елемент x присвояваме елемента y=a:b от полето Q2. Въпреки че равенството е вярно в полето Q1, de, теоремата от т. 2.4 в пръстена Z равенството ab1=ba1 е победоносно, в противен случай, поради (3) равенството, и аналогично за същата теорема, равенството a:b =a1:b1 е валидно в поле Q2. Tse означава, че като присвоим на елемента от полето Q1 елемента y=a:b от полето Q2, ще го изведем, .
Всеки елемент от полето Q2 може да бъде представен като a:b, de, otzhe, є ранга на елемента от полето Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'êktivnym.
Да, тогава в полето Q1 и същото. По този начин ферментацията е bієktivnym и всички tsіlі числа стават непокорни. Необходимо е да се придаде справедливост на равенствата (1) и (2). Да кажем a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Тогава i, знаци поради (3) f(x+y)=f(x)(f(y). По същия начин и звезди.
Изоморфизмът на интерпретациите на (Q1; +, (; Z) и (Q2; (, (; Z)) напредва.

ВІДПОВИДИ, ВКАЗИВКИ, РИШЕННЯ.

1.1.1. Решение. Аксиома 4 на Нехай Умов е вярна (такава мощност на естествените числа, че ((0) i. Да го направим. Така че M удовлетворява мощностите на аксиома 4, парчета ((0) (0(M i. Otzhe), M=N, така че бъдете естествени) ).числото е мощно (. Назад. Приемливо е, че за това дали има или не мощност (от това ((0) i, следващо. Нека M е субмножител на N, че 0(M i. ) Ще бъде показано, че M = N. Нека въведем мощност (, с уважение. Todi ((0), oskílki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Присъда: Вярно твърдение на 1-ва и 4-та аксиома на Пеано. Потвърждение на втората аксиома на Хибне.
1.1.3. Присъда: вярно твърдение на 2,3,4 аксиоми на Пеано. Потвърждение на 1-вата аксиома на Хибне.
1.1.4. Верни твърдения 1, 2, 3 Аксиоми на Пеано. Изявление на 4-тата аксиома на Хибне. Vkazіvka: да донесе, scho доволен от възможностите на аксиома 4, формулирана по отношение на операцията, ale.
1.1.5. Vkazіvka: за да докажете истинността на аксиома 4, погледнете субмножителя M z A, тъй като той удовлетворява умовете: a) 1 ((M, b) и безличен.
1.1.6. Вярно твърдение на аксиомите 1,2,3 на Пеано. Изявление на 4-тата аксиома на Пеано Хибне.
1.6.1. a) Решение: Моля, уведомете ме, ако е 1 сутринта. Обратно. хайде аз
1.6.2. а) Решение: Приемливо. Чрез M ние сме значително безлични от всички числа, за да не бъдем мощни (. По предположение, M((. По силата на теорема 1, M има най-малкия елемент n(0). Дали числото x
1.8.1. е) Отбележете т. д) и т. в): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, също (a-b)-(c-b)=a-c.
з) Спечелете властта.
л) Отбележете стр. б).
л) Отбележете т. б) и т. з).
1.8.2. в) Maєmo, otzhe,. баща,.
г) Маемо. баща,.
и).
1.8.3. a) Като (i (различно решение е равно на ax2+bx=c), тогава a(2+b(=a(2+b(.)) . Точно ((. Въпреки това (2=a(+b>a(, също, (>a.))).
c) Nehai (i (- различни корени на равно i (>(. Todí 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) По-късно, a((+()=2), но (+(>2), по-късно, a((+()>2), което е невъзможно).
1.8.4. а) х = 3; б) x = y = 2 в) x=y(y+2), y е естествено число; г) x = y = 2; д) x = 2, y = 1; е) Точно до пермутации x=1, y=2, z=3. Решение: Например, да кажем x(y(z. Тогава xyz=x+y+z(3z, така че xy(3.) Така че xy=1, тогава x=y=1 и z=2+z, така) Невъзможно: ако xy = 2, тогава x = 1, y = 2. В този случай 2z = 3 + z, тогава z = 3. Ако xy = 3, тогава x = 1, y = 3. Тогава 3z = 4+z , така че z=2, за да се насложи надбавката y(z.
1.8.5. b) Ако x=a, y=b е разделяне, тогава ab+b=a, тогава. a>ab, което е невъзможно. d) Ако x=a, y=b е разделяне, тогава b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - достатъчно естествени числа и y(1. b) x - достатъчно естествено число, y=1. в) x е сравнително естествено число y=1. г) Няма решение. д) x1 = 1; х2=2; х3=3. е) х>5.
1.8.7. а) Ако a = b, тогава 2ab = a2 + b2. Хайде, например, а

ЛИТЕРАТУРА

1. Редков M.I. Бройни системи. /Методически препоръки към курса "Бройни системи". Част 1. - Омск: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ершова T.I. Бройни системи. / Методическа разработказа практически опит. - Свердловск: SDPI, 1981. - 68s.