Брой полиноми от броя на коефициентите. Kíntsev полета, основани на kíltsy богато сегментирани. Богати сегменти в една zminnoy над полето

Пръстенът от богати членове върху полето (на базата на богатите членове над пръстена) може да има редица специфични мощности, близки до мощностите на пръстена от цели числа Z . Podіlnіst richom. Dobre vídomy за полиноми над полето R по начин, подобен на "kutom" само аритметика díí над коефициентите и затова е много богато наречено над всяко поле k. Vin дава възможност за два ненулеви богати термина p,sk [x] да индуцират такива богати термини q (не по-частни) и r (излишък), така че p = q * s + r, освен това или r = 0 , или deg (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Последица. Be-yaky іdeal е kіltї богато артикулиран над полето е osnovnym. Вярно, да кажем p - OND на всички полиноми, които са включени в идеала I. Todi, de За целта на идеала звездите са ясни, които тогава I = (p). Умножение. Доведете полето до deyka, p, q, s са богато членувани над k. Ако p=q*s, освен това, полиномите q и s могат да бъдат по-малки, по-ниски от p, тогава полиномът p се нарича задвижващ полином (над полето k). В другия случай p е нередуцируемо. Нередуцируем богат член в пръстена k[x] е аналог на простото число в пръстена Z . Разбираемо, ненулев полином p= може да бъде разширен на TV: p= *, където всички полиноми не са редуцирани върху k и могат да имат по-висок коефициент, равен на 1. Той може да бъде приведен до същия точен ред на множителите. Zrozumilo, сред кратните може да бъде същото; такива множители се наричат ​​кратни. Комбинирайки множество фактори, можете да напишете едно и също оформление по следния начин: p = 0. Приложете. един.. Струва си да се има предвид, че богатите термини на първата стъпка не са намалени над което и да е поле. Множител x е множествен, други - прости. 2. Богатият член не трябва да се поставя над полето Q от рационални числа. Вярно е, че ако ()=(x-a)*q, тогава обосновавайки невъзмутимостта на x=a, е необходимо:​, което е невъзможно за всеки рационално числоа. Индуцира се същият полином над полето R на речеви числа: , освен това другият множител има отрицателен дискриминант и не може да бъде разширен върху R . Зрештою, над поле С комплексни числа maєmo: , de = - кубичен корен от 1. В този случай е възможно да се разбере редуцируемостта на източника, така че полином да може да се види над такова поле. Силата на богатите членове, за да не бъдат индуцирани. 1. Тъй като това е p-нередуцируем богат член i d = OND (p, q) 1, тогава p | р. Вярно, p = d*s и deg(s)>0, за да се суперизчисли нередуцируемостта на p, и deg(s)=0, тогава d | QP | р. 2. Как p | i p не е индуцируем, но p | чи п | . Вярно, в противен случай gcd(p,) = gcd(p,) =1 и следователно основните теореми на теорията за фалшивостта, звезди: също, тогава gcd(p,)=1 i, също, deg(p)=0 .

3. Окръжност от полиноми върху областта на целостта.

Освен това ще разглеждаме само богати членове с коефициенти в размерността на количеството K (окръжност без нулево разширение се нарича област на количеството), т.е. от kíltsya K, за което добавянето на два елемента може да достигне нула, например един от множителите може да достигне нула. Це завжди ще псува увази, навит якшо няма да се обсъжда специално.

При добавяне на богато дефиниран етап n, този етап m е старшият член, както е във формула (2), по-важен (коефициентът при ). Тъй като в килците няма нули, тогава, otzhe, . От нашето mirkuvannya плаче така

Tsya формула е изяснена nerіvnostі (5) за vipadku, ако kíltsі K няма нули. Формула (6) също е валидна и дори ако един от богатите членове f(x), g(x) или иначе е равен на нула. Следователно, добавянето на два ненулеви богати члена е ненулев богат член, следната теорема е валидна за това:

Теорема 1

Дадохме алгебрична дефиниция на полином, за да не отмъщаваме за същите гатанки за функциите. Prote, с полинома на кожата върху площта на стойност K, човек може да свърже естествен ред с функция, която е присвоена на K и приема стойност в K.

Хайде - богат член на коефициентите на K. За каквото и да е, възможно е

de viraz в дясната част се разбира като резултат от операциите в края на K. Oberzhuvannya, при който елемент се нарича стойността на полинома f (x) в точката x0. (Думата "петно" се използва като аналогия с капка, ако x0 може да бъде представено като точка на динамичната ос.) По този начин на елемента на кожата x0 на K пръстена се присвоява елементът f (x0) на същия пръстен, а самата функция е присвоена на K със стойностите на K .

Ще бъде показано, че добавянето на това множество от богати термини се извършва от най-значимите операции, които се извършват върху функции, ако се добавят или, очевидно, стойностите на функциите се умножават в точката на кожата .

Нека разгледаме два полинома: , . Нека h(x) = f(x) + g(x) – тяхната сума. Да кажем, че h(x0)= =f(x0) + g(x0) за кожа. Подходящо за формулата (1) = , de , Какво и е необходимо да се донесе.

Хайде сега - допълнителни богати членове f(x) и g(x). Да кажем това за кожата. Ние умножаваме еквивалентност , . Използвайки силата на операциите в kіltsі K (зокрема, комутативност и асоциативно множество), ние приемаме: , de . Изравняването на получения резултат с формулата (2) позволява растеж на мустаци, което .

В този ред функцията, която е представена от сумата (точно допълваща) от два богати члена, е сумата (точно допълнителна) на функциите, които са представени от тези богати членове.

Изглежда сходството между полиномите и техните функции не е взаимно еднозначно. Протей, тъй като пръстенът K е неизчерпаем, тогава различните полиноми от пръстена K[x] винаги трябва да имат различни функции.

Относно остатъците (XTO). Теорема. Хайде - по двойки взаимно прости числата, = , ..., вземете едно и също 1, = , . Todi решението на системата ще изглежда: . Tsya теорема е основата на метода на ортогоналните бази за часа, който ще прехвърля от системата на излишните класове към позиционната бройна система. Нека основите на системата от излишни класове; = = - Задайте обхвата на системата. Изборът на системата се определя от...

4. Бинарен блус. Математиката като наука създава света на взаимно прости и сгъваеми обекти (реч, явления, процеси). Абстрахирайки се от реалността, математиката разглежда унарно, двоично и друго синьо. В храненето е необходимо да се обърне внимание на двоичния блус, техният авторитет особено обръща внимание на еквивалентната еквивалентност, зададена на един множител. Нека да разгледаме...

X*y. Поле се нарича такъв асоциативен комутативен пръстен с единица k, за който може да има някакъв ненулев елемент животно: . В такъв ранг, за назначаването на полето, дните от деня са нула. Пръстенът се нарича безкрайност с две операции на алгебрата R (+, *), които са: 0. Тези елементи на R пръстен се наричат ​​обратни, тъй като те могат да се въртят като операция на умножение, инфинитив R в даден случай...

Тих, който, след като е работил в електротехническата галерия, започва да мисли за възможността за създаване на технология за запазване на данни, която да осигури по-икономични прозорци на пространството. Един от тях беше Клод Елууд Шанън, основателят съвременна теорияинформация. От този момент нататък беше по-практично да се научат за алгоритмите за щамповане на Huffman и Shannon-Fano. И през 1977г. математиците Якоб Зив и Ейбрахам Лемпел...

Kіntsі полетата могат да бъдат извикани от куп богато разделени числа по същия начин, както ако полетата се извикат от куп цели числа. Нека имам пръстен с богати артикулации F[x]над полето Е.Точно така те бяха подканени да позвънят Z, vodnosin пръстен, можете да насърчите и vodnosin пръстен F[x].Вибелючи s F [x]доста богат член p(x),можете да назовете пръстен от vіdnosin, vicorist p(x)като модул за задачата за аритметика на целия кръг. Ние сме обсебени от гледката на по-малко от предполагаемите богати членове, парчетата на обмежението познават неподходящата незначителност на ума.

Назначаване 2.4.1.За доста индуциран богат член p(x)ненулева стъпка над полето Есе нарича безличност на всички полиноми над Е,чиито стъпки са избрани от стъпката на полинома p(x), sоперации на сгъване и умножаване на богати членове на модул p(x). Tse пръстен е прието да означава чрез F(x)/(p(x)).

Допълнителен елемент r(x) kіltsya F[x]можете да визуализирате елемента пръстен PF[x]/(p(x))за помощ r(x)-Р P(X).Два елемента a(x)і b(x)ч F[x],се преобразуват в един и същ елемент F[x]/(p(x)),се наричат ​​равни:

a(x) = b(x)(мод p(x)).

Тоди b(x)= О)+Q (x) p (x)за deyaky богат член Q(x).

Теорема 2.4.2.Анонимен F1х]/(р(х)) е килцем.

ПривежданеНадявам се, че читателят е прав.

Vibero в kіltsі богато артикулиран GF(2), например богат термин p(x)= х 3+1. Същият кръг от богати термини на модул p(x)един GF(2) [x] / (x 3 +един). Състои се от елементи

{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1).В този пръстен множественото число е победител, например в този ред:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,

de vikoristano намаление по правилото x 4 = x (x 3+ 1) + Х.

Теорема 2.4.3.Пръстенът от полиноми по модула на индуцирания богат член p(x) е същото поле и само ако богатият член p(x) е простНека предположим, че един прост богат термин е едновременно неиндуцируем и индуцируем. За да индуцираме полето да докаже нередуцируемостта на p(x), успяхме да разглеждаме полиномите по-рядко и по-късно резултатите биха били по-малко сериозни).

Привеждане.Дай ми богат хуй p(x)просто. За да донесете, какво е пръстенът, какво се гледа, правейки полето, достатъчно, за да покаже, че кожата на ненулев елемент може да бъде мултипликативно връщане. хайде с (Х)-някакъв ненулев елемент на пръстена. Todi deg s (Х)< град p(x). Oskílki богат член p(x)просто, тогава gcd = 1. Следвано от 2.3.7

NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)

за определени богати членове О)і b(x).Отже,

1 = Р p(x)[ 1] = Р p(x)=Р p(x){ Р p(x)

Лесно е да се бачи, scho без други богати членове с коефициенти в КПравя комутативен пръстен, който е означен к[х] и ранг пръстен от богато начленен над к . Символ хзапочнете да го наричате „змия“, терминологията на винила е ясна полиномиални функциипо-горе Рили над ° С. Въпреки това, zagalnomu има богато артикулирана полиномна функция - цялата реч; например над крайното поле $\backslash mathbb\; F\_p$от прост брой елементи в богати сегменти $х$і $x^p$задайте една и съща функция, но има различни богати термини (богатите термини се считат за равни или по-малко от еднакви, ако имат всички коефициенти). Otzhe, промяна хне може да влезе в режийното поле к; относно пръстена к[х] можете да мислите така: добавяме към множеството елементи на полето нов елемент хИ точно за това аксиомите на Китай бяха победоносни и хпревключване от полеви елементи.

Скаларите на елементите и броят на богатите членове могат да бъдат умножени по скалари от полето к, това всъщност е асоциативна алгебра над полето к. Как да изглежда к[х] як векторно пространство(така че забравете за умножението), може да има неизчерпаема база с елементи 1, х, х 2 и т.н.