Открийте всички рационални корени на богат термин онлайн. Уравнение в цялата математика. Рационален корен от богати членове. Схема на Хорнер. Чи е рационално число

Богат член под формата на променлива x се извиква по различен начин: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n е естествено число; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - дали са числа, наречени коефициенти на този полином. Вирази anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 се наричат ​​членове на полинома, а 0 се нарича произволен член. an - коефициент при xn, an-1 - коефициент при xn-1 и т.н. например богатият член 0x2 + 0x + 0 е нулев. От записа на полинома става ясно, че vin се събира от броя на членовете. Звучи като термина "богат член" (богат член). Понякога богат член се нарича полином. Този термин наподобява гръцките думи πολι - богат и νομχ - член.

Богат член под формата на една промяна x се означава: . f (x), g (x), h (x) и така нататък, например, като първото сочи по-богато термини по отношение на f (x), тогава можете да напишете: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Богатият член h (x) се нарича най-големият траверса от богатите членове f (x) и g (x), така че е възможно за добавяне на f (x), g (x) и кожен дилник. 2. Богат член f(x) с коефициенти от полето P на стъпка n се нарича редуцируем над полето P, като по този начин се установяват богати членове h(x), g(x) Î P[x] на стъпка по-малко n, така че f (x) = h( x)g(x).

Това е богатият член f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, тогава числото n се нарича етап на богатия термин f (x) (или изглежда: f (x) е n-тият етап) и напишете чл. f(x) = n. И тук an се нарича старши коефициент, а anxn е старшият член на този полином. Например, ако f (x) = 5 x 4 -2 x +3, тогава чл. f(x) = 4, старши коефициент - 5, старши член - 5 x4. Стъпката на полинома е най-голямото от числата на неговите коефициенти, водещите типове нула. Богатите членове на нулевата стъпка са цели числа, които са същите като нула. нулевият богат член на стъпката не може да бъде; rich term f(x) = a, където a е число, което не е равно на нула, максималната стъпка е 0; стъпка добре може да бъде някой друг полином, който е по-скъп за най-големия показател на стъпката на промяна x, коефициентът при следващия е нула.

Rivnist на богати членове. Два богати термина f(x) и g(x) се считат за равни, въпреки че техните коефициенти са равни при еднакви стъпки на промяната x и свободни членове (равни по отношение на коефициентите). f(x) = g(x). Например богатите условия f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 не са равни, първият от тях има коефициент при x3 по-равен до 1, а другият има нула ( С приетите интелигентности можем да запишем: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. В който случай: f (x) ≠ g (x) .x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

И оста на обогатения член f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 еднакво, дори ако a = 3 , но b = -2. Дайте обогатения член f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 е число c. Число f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 се нарича стойността на полинома f(x) при x = c. По този начин, за да се знае f (c), е необходимо да се обоснове x и да се извършат необходимите изчисления. Например, ако f(x) = 2x3+3x2-x+5, тогава f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Може да се вземе богат член с различни стойности на промяната x различни стойности. Числото се нарича корен на полинома f (x), така че f (c) =0.

Важно е да се обърне внимание на разликата между две твърдения: „богатият член f(x) е равен на нула (в противен случай богатият член f(x) е нула)“ и „стойността на полинома f(x) при x=z е равно на нула". Например, полиномът f (x) \u003d x 2 -1 не е равен на нула, vіn може да бъде ненулеви коефициенти, като стойността при x \u003d 1 е равна на нула. f(x) ≠ 0 и f(1) =0. Между разбиранията за еквивалентността на богатите термини и значението на богатия термин съществува същата тясна взаимовръзка. Ако са дадени два еднакви полинома f(x) и g(x), тогава те са равни коефициенти на равни и, следователно, f(c) = g(c) за числото на кожата c.

Операции върху полиноми Богатите членове могат да се добавят, виждат и умножават според обичайните правила за разширяване на дъгата и намаляване на подобни членове. С това в резултат отново влизам в богат член. Определените операции могат да имат мощност: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Нека ви дам два богати члена f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Беше ясно, че чл. f(x)=n и чл. g(x) = m. Ако умножите qi два полинома, ще получите богат член от формата f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 и bn≠ 0, тогава anbm≠ 0, също, чл. (f(x)g(x))=m+n. Звуците са силни и важни.

Стъпки за добавяне на два ненулеви богати члена към сумата от стъпките на множителите, чл. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Старшият член (коефициент) на създаването на два ненулеви богати члена, за да се добавят старшите членове (коефициентите) на множителите. Свободен член на създаването на два члена с богати членове е достоен за създаването на безплатни членове на съвместните умножители. Стъпките на богато артикулирани f (x), g (x) и f (x) ± g (x) са свързани с предстоящото spivvіdnoshennia: чл. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Суперпозицията на множество членове f(x) и g(x) се нарича. богат член, който се обозначава с f (g (x)), който също може да влезе в полинома f (x) вместо x, замества полинома g (x). Например, ако f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, тогава f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Може да се види, че f(g(x)) ≠g(f(x)), което е суперпозиция на множество термини f(x), g(x) и суперпозиция на множество термини g(x), f( x) различни. По този начин операцията на суперпозиция няма силата на изместване.

, Алгоритъм за подценяване и препълване За това дали f(x), g(x) е ясно q(x) (частно) и r(x) (излишък), така че f(x)=g(x)q(x )+ r(x) и стъпките r(x)

Речници на полином Речник на богат термин f(x) е богат термин g(x), такъв че f(x)=g(x)q(x). Най-голямото легло от две богато сегментирани Най-голямото легло от богато сегментирани f(x) и g(x) е такова двойно легло от d(x), което може да бъде разделено на всяко друго легло от тях.

Алгоритъмът на Евклид (алгоритъмът на последния подред) на най-големия общ дневник на богати термини f(x) и g(x) Тоди е най-големият дилник на f(x) и g(x).

Промяна на други Решение: Знаем НОД на тези богати членове, фиксиращи Евклидовия алгоритъм 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Отже, обогатен член (- x2 - 3 x - 2) Резултатът е под знамето на полинома на vídomy.

Нека знаем резултата от подразделянето на числото. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Схемата на Хорнер за разделяне от прекалено богат член f(x) на ненулев богат член g(x) - ne означава разкриване на f(x) в изгледа f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) -богати членове i или r(x) = 0, или st. r(x)

Богатите сегменти, които стоят в лявата и дясната част на неговото съотношение, са равни, а също и равни їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Той е равен на тях, като е отворил лъковете отпред и е вкарал подобни крайници в дясната част на линията на хладнокръвие. Минус: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Виразимо техните иz otrimanih равенства: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Знаехме формулите, които могат да се използват за изчисляване на коефициентите на нечетен частен s (x) и излишък r. С това таксите се съставят в предната част на масата; тя се нарича схема на Хорнер.

Таблица 1. Коефициенти f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коефициентите s(x) са твърде много. В друг ред, близо до първата клетка, запишете числото c. Рещата на реда се попълва, като се отчитат един по един коефициентите на нелинейното частно s (x) и излишното r. При друг клиент запишете коефициента bn-1, който, както сме го инсталирали, е по-скъп.

Коефициентът за изправяне на защитната стена се изчислява съгласно следното правило: числото c се умножава по числото за изправяне на предната стена и числото се добавя към резултата, за изправяне над стената, за да се запомни . За да запомните, да речем, пет клитина, за да знаете коефициента й, е необходимо да умножите c по числото, което е в четвъртия клитин, и да добавите към резултата числото, което стои над петия клитин. Нека разделим, например, богатия член f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 на x-2 іz твърде много, схема на Horner. При попълване на първия ред числата на схемата не могат да бъдат забравени за нулевите коефициенти на полинома. И така, коефициентите f(x) са стойностите на числата 3, 0, - 5, 3, - 1. Друго нещо, което трябва да имате предвид е, че стъпката на непълна частна е с една по-малка от стъпката на богатият член f(x).

Освен това изглежда е подразделен според схемата на Хорнер: Таблица 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Важно е да се отбележи, че частното s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 и излишък r=33. С уважение, изчислихме стойността на полинома f (2) =33. Сега нека разделим много богатия член f(x) на x + 2 іz твърде много. Имам vipadku с = -2. по избор: Таблица 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В резултат на това f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Корен на полином Nehai с1, с2, …, сm - Различен корен на полином f(x). Тогава f(x) се дели на x-c1, тогава f(x) = (x-c1) s1(x). Нека платим за това хладнокръвие x=c2. Изваждаме f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, така че f(c2) =0, след това (c2-c1) s1(c2) =0. Но c2≠c1, тогава c2 -c1≠ 0, което означава, че s 1 (c 2) = 0. Освен това c2 е коренът на полинома s 1 (x). То показва, че s1(x) се дели на x-c2, така че s1(x) = (x-c2) s2(x). Представете си изваждане на вираза за s 1 (x) y равно на f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Май f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). След като поставихме останалата част от равенството x \u003d c3, за да фиксираме, че f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, приемаме, че c3 е коренът на полинома s 2 (x). И така, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x) и след това f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) и така нататък за корени които са изгубени, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) се отнема, това е доведени до по-ниска формула.

Тъй като c1, c2, ..., cm е различният корен на полинома f (x), тогава f (x) може да бъде дадено чрез разглеждане на f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Звучи като важна последица. Тъй като c1, c2, ..., cm е коренът на полинома f (x), тогава f (x) се дели на полинома (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Броят на различните корени на ненулевия полином f(x) не е по-голям от долната стъпка. Вярно, тъй като f(x) няма корен, е ясно, че теоремата е вярна, повече чл. f (x) ≥ 0. Нека f (x) сега има m корена c1, c2, ..., cm, освен това всички смради са различни. Точно както f (x) е разделено на (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Понякога чл. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + чл. (X-C2) + ... + чл. (x-cm) \u003d m, след това st. f(x)≥m и m е броят на корените на обогатения член, който може да бъде разгледан. И оста на нулевия богат термин е безкрайно богат на корени, дори ако има значение за каквото и да е х по-красиво 0. Зокрема, за да го причините и не наказвайте същата пееща стъпка. От добре доказани теореми, същото твърдение е очевидно.

Ако полиномът f(x) не е многочлен от стъпка, по-голямо, по-ниско n и може да бъде по-голямо, по-ниско n корени, тогава f(x) е нулев полином. Наистина, от ума на ума на фирмата е ясно, че f (x) е нулев полином или изкуство. f(x) ≤n. Ако приемем, че полиномът f(x) не е нула, тогава чл. f(x) ≤n и тогава f(x) не може да бъде повече, под n корена. Стигаме до точката на превъзходство. Следователно, f(x) е ненулев богат член. Нека f(x) и g(x) са ненулеви богати членове на стъпката, не по-голямо, по-ниско n. Ако q полиномите придобиват една и съща стойност за n + 1 стойности на промяната x, тогава f (x) = g (x).

За доказателство нека разгледаме богатия член h(x) = f(x) – g(x). Светна ми, че - или h (x) = 0, или st. h (x) ≤n, тогава h (x) не е богат член на стъпката, по-голямо от, по-ниско от n. Нека сега взема числото, така че f (c) = g (c). Тогава h(c) = f(c) - g(c) = 0, тогава h е коренът на полинома h(x). Също така, богатият член h(x) има n+1 корена и ако, както беше направено, h(x) = 0, тогава f(x) = g(x). Ако f(x) и g(x) имат еднакви стойности за всички стойности на променлива x, тогава

Множество корени на многочлена Тъй като числото є е корен на многочлена f (x), този полином, очевидно, се дели на x-s. Възможно е f(x) да се разшири до следващата стъпка бугато-член х-с, т.е. върху (x-c) k, k>1. Тази vipadka се нарича множествен корен. Нека формулираме по-ясно назначението. Числото се нарича корен на кратността k (k-кратен корен) на полинома f (x), така че полиномът се дели на (x-c) k, k>1 (k е естествено число), но не се дели на ( x-c) k + 1. Ако k=1, тогава се нарича прост корен, а ако k>1, се нарича кратен корен на полинома f (x).

Така че полиномът f(x) може да бъде представен като f(x)=(x-c)mg(x), m е естествено число, vin се дели на (x-c) m+1 и след това, ако g(x) се дели на x-c . Наистина, ако g(x) се дели на x-c, тогава g(x)=(x-c)s(x), тогава f(x)=(x-c) m+1 s(x), а също и f(x ) се подразделя на (x-c) m+1. Обратно, тъй като f(x) се дели на (x-c) m+1, тогава f(x)=(x-c) m+1 s(x). След това (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) и след краткото време за (x-c) m се взема g (x) = (x-c) s (x). Звучи като g(x) е подразделено на x-s.

Ясно е, например, че chi е числото 2 като корен на богатия член f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, и ако е така, тогава ние знаем неговата множественост. За да проверим първото захранване, можем да проверим за допълнителната схема на Horner, която разделя f(x) на x-2. може да бъде: Таблица 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Подобно на Bachimo, излишъкът при разделянето на f(x) на x-2 е повече от 0, така че трябва да се раздели на х-2. Следователно, 2-коренът на полинома. Освен това отнехме, че f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Сега е очевидно, chi є f (x) на (x-2) 2. Tse да депозира, как mi schoyno донесе, с оглед на делимостта на полинома g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 върху x-2.

Отново ускоряване по схемата на Хорнер: Таблица 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Тогава f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Освен това f(x) се дели на (x-2) 2, сега е необходимо да се каже, че f(x) се дели на (x-2)3. За което е обратимо, че h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 е разделено на x-2: Таблица 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, също, f(x) се дели на (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

След това по подобен начин е възможно да се провери дали f(x) е разделено на (x-2)4, така че s(x)=x 2+x-3 е разделено на x-2: Таблица 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Известно е, че излишъкът, когато s(x) е подразделен на x-2, е равен на 3, тогава s(x) не е подразделен на x-2. Също така, f(x) не включва (x-2) 4. По този начин f(x) включва (x-2)3, но не включва (x-2)4. Също така, числото 2 е коренът на кратността на богатия член 3 f(x).

Озвучете реверберацията на корена за множеството броене по-малко на масата. За това приложение таблицата може да изглежда така: Таблица 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Хорнър извади многочлен f (x) по x-2, в друг ред отнемаме коефициентите на полинома g (x). Тогава нека вземем този друг ред в първия ред на новата система на Хорнър и извадим g (x) с x-2 и така нататък. По този начин кратността на корена е равна на броя на otrimanih нула излишъци. В един ред, за да отмъстим за оставащия ненулев излишък, има и коефициенти на частта, когато f (x) е подразделено на (x-2) 3.

Сега, vikoristovuyuchi schoyno proponovan схема за повторна проверка на корена за множеството, изглежда, че задачата идва. За всяко a и b, богатият член f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 може ли числото - 2 да бъде корен на кратността на 2? Така че кратността на корена - 2 се дължи на добавяне на 2, след което, като го разделим на x + 2 за предложената схема, ние трябва да удвоим, за да вземем излишъка от 0, а в третия - излишъка, който е равно на нула. Май: Таблица 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

В този ранг числото - 2 е корен от множествеността на 2 от експираторния богат срок, тогава и само тогава, ако

Рационалният корен на полинома Ако некраткият член l/m (l, m са целите числа на числото) е коренът на богатия член f(x) с множество коефициенти, тогава най-високият коефициент на полинома се дели на по m, а дългосрочният период се дели на 1. Вярно, като f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 са цели числа, тогава f(l/m) = 0, тогава an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Умножете нарушителните части от цената на еквивалентността по mn. Вземете anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) звучи.

Бачимо, цялото число anln се дели на m. Ale l/m е не-кратък дриб, така че числата l и m са взаимно прости, но също така, според теорията за валидността на целите числа, числата ln и m също са взаимно прости. Otzhe, anln да се дели на m и m е взаимно просто от ln, също така, an да се дели на m. Знаем рационалния корен на богатия член f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Съгласно теоремата рационалният корен на полинома се намира сред не-къси дроби във формата l / m, de l е дилникът на свободния член a 0 \u003d 8, а m е дилникът на най-високия коефициент a 4 \u003d 6. ако е така, тогава l / m е отрицателен, тогава знакът "-" идва до циферблата. Например, - (1/3) = (-1)/3. Също така можем да кажем, че l е факторът на числото 8, а m е положителният фактор на числото 6.

Осцилаторите на числото 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а положителните разширители на числото 6 ще бъдат 1, 2, 3, 6, тогава рационалният корен на изглеждащия богат член е сред числа ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Предполагам, че записахме повече от кратки дроби. В този ред може да имаме двадесет числа - "кандидати" за корени. Оставаше само да преосмислим кожата им и да изберем тези, сякаш верни на корените. Предстои теорема, която ще улесни робота. Докато l/m е коренът на множествения член f(x) с множество коефициенти, тогава f(k) се дели на l-km за всяко цяло число k за ум, че l-km≠0.

За да докажем теоремата, разделяме f(x) на x-k іz твърде много. Изваждаме f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskílki f(x) е богат член с коефициенти qlimi, тогава такъв богат член е s(x), а f(k) е цяло число. Нека s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тогава f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Нека платим за това хладнокръвие 1 x=l/m. Ако f(l/m)=0, тогава f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Умножете нарушителната част от оставащия капитал по mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Ясно е, че числото mnf (k) е разделено на l-km. Ale oskіlki l і m са взаимно прости, тогава mn і l-km също са взаимно прости, също, f (k) е разделено на l-km. Теоремата е завършена.

Нека се обърнем към нашия задник и след като доказахме теоремата, тя е още по-звучна за звука на рационалния корен. Необходимо е да се присвои теоремата за k=1 и k=-1, т.е. тъй като не-късият drіb l/m е коренът на члена f(x), тогава f(1)/(l-m), и f(-1)/(l + m) . Лесно е да се знае, че във времена f(1)=-5 и f(-1)=-15. С уважение, в същото време го изключихме с един поглед ± 1. Отсега нататък рационалният корен на нашия богат член е следният брой средни числа ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2 , ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Нека да разгледаме l/m=1/2. Тогава l-m=-1 и f(1)=-5 се делят на цялото число. Дали, l+m=3 і f(1) =-15, така че самото се дели на 3. Така че, drіb 1/2 остава в средата на "кандидатите" в корена.

Нека сега lm=-(1/2)=(-1)/2. В този случай l-m=-3 і f(1) =-5 не се дели на -3. Така че drіb -1/2 не може да бъде коренът на този богат член и можем да го изключим от далечен изглед. Необходимо е да се преразгледа кожата при писане на снимки, ние вземаме предвид, че коренът се намира сред числата 1/2, ± 2/3, 2, - 4. В този ранг, за да завършите същия прост трик, област на рационалните корени на разглеждания полином прозвуча смислено. Е, за повторна проверка на числата, които са пропуснати, можем да използваме схемата на Хорнер: Таблица 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Бачимо, scho 1/2 е коренът на богатия член f(x) и f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Беше ясно, че другите корени на полинома f(x) се вземат от корените на полинома g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, след което последва допълнителна проверка на "кандидатите" в коренът вече може да бъде изведен от същия полином. Знаем: Таблица 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Взехме, че излишъкът, когато g(x) беше подразделен на x-2/3, е повече - 80/9 , тогава. 2/3 не е корен на полинома g(x), също i f(x). Освен това знаем, че - 2/3 е коренът на полинома g (x) и g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Тогава f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Допълнителна проверка може да се извърши за полинома x 2+2 x-4, който е забележително по-прост, по-нисък за g (x) или по-голям за f (x). В резултат на това се взема предвид, че числата 2 i - 4 не се коренят. Освен това богатият член f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 има два рационални корена: 1/2 i - 2/3. Този метод дава възможност да се знае само рационален корен на богат член с голям брой коефициенти. Тим понякога е богат член на майката и ирационален корен. Така, например, когато гледаме задната част на богат член, има само два корена: - 1±√5 (тези корен на богат член е x2 + 2 x-4). полином може да се нарече нематериален рационален корен.

Когато тествате "кандидатите" в основата на обогатения член f(x) след по-нататъшно разработване на други теореми, трябва да извикате левия за кандидатите k=± 1. С други думи, ако l/m е "кандидат" при корена, тогава ще се замислите, че f( 1 ) и f(-1) на l-m и l+m са правилни. Но може да бъде например f(1) =0, т.е. 1 е коренът, тогава f(1) може да се разшири като число и повторната проверка има смисъл. В този случай разделете f(x) на x-1, така че вземете f(x)=(x-1)s(x) и проверете за полинома s(x). Ако забравите, че един корен от полинома f(x)-x 1=1 - вече знаехме. Ако "кандидатите" са обърнати в корена, които са изгубени след друга теорема за рационалния корен, след схемата на Хорнер е възможно например l / m да е коренът, тогава трябва да знаете неговата кратност. Ако е по-скъпо, да речем k, тогава f(x)=(x-l/m) ks(x) и може да се направи допълнителна проверка за s(x), което ще съкрати изчислението.

Решение. След промяна на промяната y=2 x, нека преминем към полином с коефициент, равен на единица за най-високата стъпка. За това рамо умножаваме вираза по 4. Ако се отнеме функцията на корена, тогава вонята се намира в средата на свободния член. Възможност за запис ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Изчисляваме последователно стойността на функцията g(y) в тези точки до нула. Tobto, y=-5 е корен, otzhe, е корен на външна функция. Провежда се под stovpchik (намотка) на богатия член на бинома

Повторната проверка на dilnikov, която е загубена, трябва да се извърши непълно, така че е по-лесно да се изложи квадратният трином Otzhe в множители на изваждане,

Vykoristannya формули за бързо умножение и бином на Нютон за разширяване на богат член на фактори Inodi стар видполином, който да предложи за метода на разпространение на йога върху мултипликатори. Например, след непоследователни трансформации, коефициентите на vishikovyvayutsya в ред от трико на Паскал за коефициентите на бинома на Нютон. дупето. Изложете члена на множителя.

Решение. Обръщаме го обратно към точката: Последователността на коефициентите в сумата в ръцете ясно показва какво представлява. От същото, Сега ще формулираме формулата за разликата на квадратите: Viraz другата дъга няма корени на действие, но за богатия член от първата дъга, ние отново формулираме формулата за разликата на квадратите

Формулите на Vieta изразяват коефициентите на полином чрез th корен. С тези формули можете ръчно да коригирате правилността на значението на корена на богатия термин, както и за сгъването на богатия термин за дадени корени. Формулата Като корен на полином, тогава коефициентите се проявяват чрез симетричните богати членове на корените и

С други думи, ak скъпа сума от всички възможни образувания от k корени. Като старши коефициент на полинома, тогава е необходимо всички коефициенти да се разделят на 0 преди формулата на Vieta. От останалата част от формулата Víêta е силна, тъй като ако коренът на богатия член е цяло число, тогава вонята е dilniks на його свободния член, който също е цяло число. Доказателството се основава на гледната точка на еквивалентността, като се премахва подреждането на богатия член според корените, vrakhovuchi, че a 0 = 1 Приравняването на коефициентите на същите нива на x е обсебен от формулата Vієta.

Развържете подравняването x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Развържете. Значително y \u003d x 3, въпреки че е равно на y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, в противен случай Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya е еквивалентен на брака на rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, т.е. X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Теорема за дестинация на Безу 1. Елемент се нарича корен на обогатен член, така че f(c)=0. Теорема на Безу. Излишъкът в подразделянето на полинома Pn(x) на бинома (x-a) увеличава стойността на полинома при x = a. Привеждане. По силата на алгоритъма, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de или r(x)=0, в противен случай. По-късно f(x)=(x-c)q(x)+r, по-късно f(c)=(c-c)q(c)+r=r и f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Последно 1: Излишъкът в подразделянето на полинома Pn (x) от бинома ax+b е по-ценен за полинома при x = -b/a, след това R = Pn (-b/a). Последно 2: Тъй като числото a е корен на полинома P (x), чийто полином се дели на (x-a) без излишък. Урок 3: Как полиномът P(x) може да бъде по двойки различни корени a 1 , a 2 , … , an, vin, разделен на tvir (x-a 1) … (x-an) без излишък. Урок 4: Богат член на стъпка n може да бъде три или повече повече от n различни корена. Урок 5: За всеки полином P(x) това число a е различно (P(x)-P(a)), делимо без излишък на бинома (x-a). Урок 6: Числото a е коренът на полинома P(x) със степен не по-ниска от първата и само ако P(x) се дели на (x-a) без излишък.

Подреждане на рационална дроб върху най-простата Нека покажем дали правилна рационална дроб може да се разпространи върху сбора от най-простите дроби. Нека му бъде даден правилният рационален аргумент (1).

Теорема 1. Нека x=а е коренът на банера на стила k, тогава , de f(a)≠ 0, тогава същата правилна дроб може да бъде дадена в сумата от две други правилни дроби в следващия ред: ( 2) , а F 1 (x) е богат термин, чиято стъпка е по-ниска от стъпката на стандарта

de richomember, стъпката на някакво по-ниско стъпало от стандарта. І подобно на предната формула може да се вземе: (5)

Както вече посочихме, една от най-важните задачи на теорията на богато дефинираните термини е задачата да се разберат техните корени. За изпълнението на тази задача можете да спечелите метода за избор, tobto. вземете реално число и го променете, които са корените на този полином.

С това можете да пиете shvidko на корен или изобщо да не го знаете. Невъзможно е за aje да изврати всички числа, за тези, които са твърде богати.

Insha river, yakby успяхме да озвучим региона за шега, например, за да знаем какъв е коренът, да речем, в средата на тридесет посочени числа. И за тридесет номера можете да работите и върху реверберация. При връзката с мустаците казваме по-важно и виждаме такава твърдост.

Докато l/m (l,m - цели числа на числото) е коренът на множествения член f(x) с множество коефициенти, тогава по-големият коефициент на полинома се дели на m, а по-големият член се дели на 1.

Наистина, ако f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 са цели числа от число, тогава f (l /m) = 0, тогава an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Умножете нарушителните части от цената на еквивалентността по mn. Вземете anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Звуците крещят:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Бачимо, цялото число anln се дели на m. Ale l / m - не е кратък drіb, tobto. числата l и m са взаимно прости, също така, според теорията за делимостта на целите числа, числата ln и m също са взаимно прости. Otzhe, anln да се дели на m и m е взаимно просто от ln, също така, an да се дели на m.

Темата е повдигната, за да може областта да бъде смислено озвучена чрез търсене на рационален корен на богат термин с множество коефициенти. Ще го демонстрираме на конкретно приложение. Знаем рационалния корен на богатия член f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Съгласно теоремата, рационалният корен на полинома се намира в средата на не-късите дроби във формата l / m, de l е дилникът на дългосрочния a0 = 8, а m е дилникът на най-високия коефициент a4 = 6. ако е така, yakscho dríb l/m е отрицателен, тогава знакът "-" се отнася до числото. Например, - (1/3) = (-1)/3. Също така можем да кажем, че l е факторът на числото 8, а m е положителният фактор на числото 6.

Осцилаторите на числото 8 - це ±1, ±2, ±4, ±8, а положителните разширители на числото 6 ще бъдат 1, 2, 3, 6, тогава рационалният корен на разглеждания богат член е средният на числата ±1, ±1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Предполагам, че записахме повече от кратки дроби.

В този ред може да имаме двадесет числа - "кандидати" за корени. Оставаше само да преосмислим кожата им и да изберем тези, сякаш верни на корените. Но отново ще трябва да направя много преработки. И оста идва, теоремата ще улесни робота.

Докато l/m е коренът на множествения член f(x) с множество коефициенти, тогава f(k) се дели на l-km за каквото и цяло число k да е, например, l-km?0.

За да докажем теоремата, разделяме f(x) на x-k іz твърде много. Вземете f (х) = (х-к) с (х) +f (к).Тъй като f(x) е богат член с множество коефициенти, тогава такъв полином е s(x), а f(k) е цяло число. Нека s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тогава f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Нека платим за това хладнокръвие x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, възможно е

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Умножете обидната част от оставащата ревност по mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Ясно е, че числото mnf (k) е разделено на l-km. Ale oskіlki l і m са взаимно прости, тогава mn і l-km също са взаимно прости, също, f (k) е разделено на l-km. Теоремата е завършена.

Нека сега се обърнем към нашия задник и след като доказахме теоремата, тя звучи още по-силно, когато става въпрос за звука на рационалния корен. Необходимо е да се присвои теоремата за k=1 і k=-1, т.е. като не-къс drіb l/m е коренът на f(x), след това f(1)/(l-m) и f(-1)/(l+m). Лесно е да се знае, че f(1) =-5 и f(-1) =-15. С уважение, изключихме заразата с един поглед ±1.

Освен това рационалният корен на нашия богат член е следването на средните числа ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Нека да разгледаме l/m=1/2. Тогава l-m=-1 и f(1)=-5 се делят на цялото число. Дали, l+m=3 і f(1) =-15, така че самото се дели на 3. Така че, drіb 1/2 остава в средата на "кандидатите" в корена.

Нека сега lm = - (1/2) = (-1) / 2. В този случай l-m=-3 і f(1) =-5 не се дели на -3. Така че drіb - 1/2 не може да бъде коренът на този богат член и можем да го изключим от далечна гледна точка. Необходимо е да се преразгледа за дермални снимки с рецепта, като вземем предвид, че коренът се намира сред числата 1/2, ±2/3, 2, - 4.

В този ранг, за да завършат същия прост трик, те смислено озвучиха региона в търсене на рационален корен на анализирания полином. Е, за повторна проверка на числата използваме схемата на Horner:

Таблица 10

Те взеха, че излишъкът, когато g (x) беше подразделен на x-2/3, е равен на 80/9, така че 2/3 не е коренът на богатия член g (x), а означава, i f (x) .

Освен това е лесно да се знае, че - 2/3 е коренът на множествения член g(x) и g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогава f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Допълнителна проверка може да се извърши за полинома x2+2x-4, който очевидно е по-прост, по-нисък g(x) или по-голям f(x). В резултат на това се взема предвид, че числата 2 i - 4 не се коренят.

Освен това богатият член f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 има два рационални корена: 1/2 i - 2/3.

Познаването на повече описания на метода дава възможност да се знае рационалният корен на богатия член с много коефициенти. Тим понякога е богат член на майката и ирационален корен. Така, например, когато гледаме дупето на богат член, има само два корена: - 1±v5 (тези корен на богат член е x2 + 2x-4). И очевидно богатият член може да не е майка на рационален корен.

Сега дамата е щастлива.

Когато изпробвате "кандидатите" в основата на богатия член f(x), след допълнително разработване на повече теореми, звучете отляво за vipadkіv k=±1. С други думи, тъй като l/m е "кандидат" в корена, е обърнато дали f (1) и f (-1) могат да бъдат разделени на l-m и l+m очевидно. Но може да се окаже, че например f (1) = 0, тогава 1 е коренът и тогава f (1) може да бъде разделено на число и нашата повторна проверка има смисъл. І тук следващата стъпка е да разделим f (x) на x-1, така че. вземете f(x) = (x-1) s(x) и проверете за полинома s(x). Ако не забравяте, че един корен от богатия член f(x) – x1=1 – вече знаехме. Както в случая с обръщането на "кандидатите" в корена, който беше загубен след друга теорема за рационалния корен, след схемата на Хорнер е възможно например l / m да е коренът, тогава трябва да знаете неговата множественост. Ако е по-скъпо, да кажем k, тогава f(x) = (x-l/m) ks(x) и може да се направи допълнителна проверка за s(x), което ще съкрати изчислението.

В този ранг се научихме да знаем рационалния корен на богатия член с големи коефициенти. Изглежда, че ние самите сме се научили да знаем ирационалния корен на богатия член с рационални коефициенти. Всъщност, доколкото мога, например, богат член f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, след това, като добавих коефициентите към спящия банер и добавих йога от ръцете, вземаме f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно беше, че корените на полинома f(x) се образуват от корените на богатия член, които стоят на рамената, а в новия коефициент - числата. Да кажем, например, че sin100 е ирационално число. Ускоряване с домашната формула sin3?=3sin?-4sin3?. Звезди sin300 = 3sin100-4sin3100. Поглеждайки назад към онези, които sin300=0,5 и извършват неудобни трансформации, можем да приемем, че 8sin3100-6sin100+1=0. Освен това sin100 е коренът на члена f(x) = 8x3-6x+1. Точно както ние shukatimemo рационално корена на този богат член, тогава ние perekaêmosya, ние ги нямаме. Otzhe, коренът на sin100 е рационално число, tobto. sin100 е ирационално число.

Хайде

- богат член на стъпка n ≥ 1 в ефективната стойност на комплексната променлива z с ефективната стойност на комплексните коефициенти a i . Нека докажем следната теорема.

Теорема 1

Изравняване P n (z) = 0Може ли един корен.

Хайде да дойдем Лема.

Лема 1

Нека P n (z)- богат член на стъпка n, z 1 - коренът на реката:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z)може да се разкрие по един начин, като се разгледа:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
де П н- 1(z)- богат термин стъпка n - 1 .

Привеждане

За да го докажем, нека направим теорема (разделение на множествен член на множествен член чрез гънка и пън), възможно е за всеки два богати термина P n (z) i Q k (z), стъпки n и k, освен това n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
де П н-к (z)- богат член на стъпка n-k, U k- 1(z)- богат член на стъпката не е по-висок от k- 1 .

Нека сложим k = 1 , Qk (z) = z - z 1също
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - бързо. Представете си тук z = z 1 че врахуемо, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvídsi c = 0 . Тоди
P n,
какво е било необходимо да се донесе.

Разширяването на богатия термин в мултипликатори

Също така, въз основа на теорема 1, богатият член P n (z)Може ли един корен. Значително yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Същото на щанд lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Дали, като n > 1 , тогава полиномът P n- 1(z)така че мога ли да искам един корен, който е смислен като z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Тоди
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Продължавайки този процес, стигаме до извода, че имаме n числа z 1, z 2, ..., z nтакова, че
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Але П 0 (z)- това е постийна. Приравнявайки коефициентите при z n, известно е, че е по-скъпо a n. В резултат на това сме обсебени от формулата за разделяне на богат член на множители:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Числата z i є към корените на богатия термин P n (z).

В zagalny vpadku не всички z i, scho да въведете преди (1) , Ризни. Сред тях може да има еднакви стойности. Как да разширим богат термин в множители (1) можете да напишете на гледката:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Тук z i ≠ z j за i ≠ j. Yakscho n i = 1 , тогава корен z i наречен прости. Влезте в оформлението за умножители на мерника (z-z i ). Yakscho n i > 1 , тогава корен z i наречен кратен корен на кратността n i . Влезте в оформлението на множителите, когато разглеждате извличането на n i прости множители: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Богати условия с ефективни коефициенти

Лема 2

Тъй като това е комплексен корен на полином с ефективни коефициенти, тогава числото също е комплексно свързано с корена на полинома, .

Привеждане

Deisno, yakscho и полиномни коефициенти - díysnі числа, тогава.

В този ред комплексният корен е включен в оформлението на множителите по двойки с техните комплексни значения:
,
de, - Реални числа.
Същото оформление (2) богат термин с ефективни коефициенти за множители може да бъде подаден при виждане, при наличие само на ефективен бърз:
(3) ;
.

Методи за разделяне на богат термин на множители

С подобрението на казаното по-горе, за разлагането на полином на фактори е необходимо да се знаят всички корени на уравнението P n (z) = 0 и обозначете тяхната множественост. Множителите с комплексни корени трябва да бъдат групирани по комплексен начин. Същото оформление зависи от формулата (3) .

В този ранг в офанзивата се използва методът за разпределяне на богатия термин в множители:
1. Знаем корен z 1 изравняване P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho корен z 1 ефективен, тогава в оформлението добавяме множител (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), започвайки от точка (1) , Докато не знаем всички корени.
2.2. Като сложен корен, числото є се получава комплексно като корен на богат член. Тоди, преди да поставите, въведете множителя

,
де б 1 = - 2 х 1, ° С 1 = x 1 2 + y 1 2.
Според мен в оформлението добавяме множител (z 2 + b 1 z + c 1)разреждам богатия член P n (z) с (z 2 + b 1 z + c 1). В резултат на това вземаме богат член на стъпка n - 2 :
.
Нека повторим процеса за полинома P n- 2(z), започвайки от точка (1) , Докато не знаем всички корени.

Познаване на корена на богатия член

централа, с разширяването на полинома на множители, значението на його корена. За съжаление, не винаги можете да работите аналитично. Тук ще анализираме цацата на vipadkiv, ако можете аналитично да знаете корена на богатия термин.

Коренът на богатия член на първия етап

Богатият член на първата стъпка е интегрална функция. Има само един корен. Оформлението може да бъде само един множител, за да отмъсти за промяната на z:
.

Корен на богат член от друго ниво

За да разберете корена на богатия член на друго ниво, е необходимо да развържете равен квадрат:
П 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Като дискриминант тогава има два реални корена:
, .
Просто погледнете множителите:
.
Какъв е дискриминантът D = 0 , след това равен може един dvorazovy корен:
;
.
Като дискриминант D< 0 , тогава коренът е по-сложен,
.

Богато артикулирано стъпало по-високо за друго

Існую формули за значението на корените на богатите сегменти на 3-та и 4-та стъпка. Те рядко корят с тях, парчетата от вонята са обемисти. Няма формули за познаване на корените на богато артикулираната степен по-висока от 4-та. Невежо на място, в deyakih vipadkas, човек отива в разпространението на богатия термин в умножители.

Значение на целия корен

Изглежда, че това е богат термин за някои коефициенти - броя на числата, броя на корените, които могат да бъдат известни чрез сортиране на всички възможни стойности.

Лема 3

Дай ми богат хуй
,
коефициенти a i от които - числото на числото, което може да бъде корен от z 1 . Същият корен като dilnik на номер a 0 .

Привеждане

Нека пренапишем равно P n (z1) = 0на гледката:
.
тоди - циле,
Mz 1 = - a0.
Разделено на z 1 :
.
Oskílki M - qile, след това i - qile. Какво трябваше да донесе.

Следователно, тъй като коефициентите на полином - числата на числата, можете да опитате да знаете числата на корена. За които е необходимо да знаете всички дилници на безплатен член 0 і, изравняващо заместване P n (z) = 0, perverti, chi е смрад до корените на това равно.
Забележка. Тъй като коефициентите на полином са рационални числа, тогава умножаването е равно на P n (z) = 0на високия стандарт на числата a i вземаме изравняването за полином с цели коефициенти.

Значението на рационалния корен

Тъй като коефициентите на полином - числата на числото и броя на корените не са, тогава за a n ≠ 1 , можете да опитате да знаете рационалния корен. За кого е необходимо да се създаде заместител
z = y/a n
и умножете равно по a n n- 1 . В резултат на това вземаме предвид равенството за богатия член под формата на промяна и с броя на коефициентите. Dali shukaimo коренът на богатия член на средния член на свободния член. Тъй като знаехме такъв корен y i, тогава преминавайки към промяната x, ще приемем рационален корен
z i = y i / a n.

Цветни формули

Въвеждаме формули, с помощта на които е възможно полиномът да се разложи на множители.

Имайте по-див нрав, за да изложите богат член
P n (z) = z n - a 0,
де а 0 - това е по-сложно, необходимо е да знаете всички його корени, за да можете да разгадаете равни:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya е лесно да се сбърка, сякаш за да докаже a 0 чрез модул r i аргумент?
.
Оскилки а 0 не променяйте, за да добавите към аргумента 2 пи, тогава си представете a 0 на гледката:
,
de k – qile. Тоди
;
.
Присвояване на стойности k k = 0, 1, 2, ... n-1, Вземаме n корена на полинома. Оформлението на Todi yogo за множители може да изглежда:
.

Биквадратен многоъгълен термин

Нека да разгледаме биквадратичния член:
.
Биквадратен богат член може да бъде разделен на множители без корен.

Кога, може би:

,
де.

Бикубични и богати сегменти, които могат да бъдат намалени до квадрат

Нека да разгледаме богатия член:
.
Yogo root означава равно:
.
Ще бъде ръководен до квадратно подравняванезаместване t = z n :
а 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, ние знаем корена на yogo, t 1 , T 2 . Ако знаем подредбата на гледката:
.
Дали по метода, нека го разгледаме, разширим го в множители z n - t 1 i z n - t 2 . Висновката има група умножители, които отмъщават на корена по сложен начин.

Ротационни стебла

Богатият член се нарича връщане yakscho yogo коефициентите са симетрични:

Задницата на съхраняемия bagato-член:
.

Тъй като стъпките на обратния полином n не са сдвоени, такъв полином може да има корен z = -1 . Разделянето на такъв богат термин на z + 1 , вземаме връщащия обогатен член на стъпката

В случай на rozv'yazannі rivnyan и nerіvnjanі често vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє полином razvіdnіє на полиноми, stupіnіy і и dіvnіє три или повече. Можем да разгледаме тези статистики, как да го направим по-просто.

Като завжд, зверски за помощ към теорията.

Теорема на Безу stverzhuê, scho излишък при разделянето на полином в бином dorivnyuє.

Но за нас е важна не самата теорема, а следствие от него:

Тъй като числото е корен на полином, тогава полиномът може да бъде разделен без твърде много бином.

Пред нас стои задачата да знаем как да знаем един корен на богат термин, след което разделяме богатия член на, de - корен на богат термин. В резултат на това вземаме богат член, стъпалото на един е с един по-малък, долното е реброто на външния. И след това за консумация можете да повторите процеса.

Tse zavdannya се разделя на две: как да знаете корена на богат член и как да разделите богат член на бином.

Нека докладваме по тези точки.

1. Как да позная корена на богат член.

Гърбът на ръката е почитан, чи е числото 1 и -1 от корените на богатия член.

Ето някои факти, които да ни помогнат:

Тъй като сумата от всички коефициенти на полинома е равна на нула, числото е коренът на полинома.

Например полиномът на сумата от коефициентите е равен на нула: . Лесно е да се тълкува погрешно какъв е коренът на богат член.

Тъй като сумата от коефициентите на полинома при сдвоени стъпки е същата като сумата от коефициентите при несдвоени стъпки, числото е коренът на полинома. Vilniy член vvazhaetsya коефициент на двойно ниво, oskolki, и - човек номер.

Например, в полинома на сумата от коефициенти при сдвоени стъпки : , и сумата от коефициенти при несдвоени стъпки : . Лесно е да се тълкува погрешно какъв е коренът на богат член.

Ако nі 1, nі -1 е към корените на полинома, тогава разстоянието се срива.

За индуцирания богат член на стъпката (към богатия член, в който старшият коефициент е коефициентът при - водещия) е валидна следната формула:

De е коренът на богат член.

Има повече формули на Víєta, че има и други коефициенти на полинома, но ние можем да говорим за това сами.

Z tsієї формула Vієta viplivaє, scho като корен на богат член на цялото число, след това вонята на дилниците на його свободния член, който също е цяло число.

Vihodyachi z tsogo, трябва да разположим променливия член на богатия член на кратни и последователно, от най-малкия към най-големия, обратно, кой от множествените числа е коренът на богатия член.

Вижте го, например, богат член

Безплатни дневници на членове: ; ; ;

Сумата от всички коефициенти на полином е по-скъпа, тогава числото 1 е престанало да бъде корен на полином.

Сумата от коефициентите за двойните стъпки:

Сума от коефициенти за несдвоени стъпки:

Освен това числото -1 също е корен на полином.

Обратимо е, че chi е числото 2 като корен на богат член: също така числото 2 е корен на богат термин. По-късно, следвайки теоремата на Bezout, богат член може да бъде разделен без излишък на бином.

2. Как да извадим богат член в бином.

Богатият член може да бъде разделен на бином с пън.

Ние разделяме богатия термин на бином със стомпчик:

Вторият начин за подразделяне на полином на бином е схемата на Хорнер.

Гледайте видеото, за да разберете как да разделя богат термин на двоичен термин със стъпка i за допълнителната схема на Horner.

Ще уважавам, че когато rozpodіlí stovpchik като стъпки, невидими за vyhіdny полином vídsutnya, нейните mіstsі пишат 0 - като и, като от сгънатата таблица за схемата на Horner.

Следователно, тъй като трябва да разделим богатия член на двоичен член и като резултат вземаме богатия член, тогава можем да знаем коефициентите зад схемата на Horner:

Можем също да використ Схема на Хорнерза да се обърне, ако числото е дадено като корен на богатия член: ако числото е корен на богатия член, тогава излишъкът в подполето на богатия член е равен на нула, така че в останалата колона на другия ред от схемата на Horner вземаме 0.

Използвайки схемата на Хорнър, ние „удряме два заека с един камък“: един час проверяваме дали числото е корен на богат член и разделяме богатия член на бином.

дупето. Virishiti Rivnyannia:

1. Запишете дилниците на свободния член и шукатимете корена на богатия член на средния дилник на свободния член.

Диалози на числото 24:

2. Обратимо, чи е корен номер 1 на богат термин.

Сумата от коефициентите на полинома също, числото 1 е коренът на полинома.

3. Разделете външния богат термин на двоичен термин, като използвате схемата на Horner.

А) Запишете първия ред от таблицата с коефициенти на изходния полином.

Oskіlki член, scho отмъщение vіdsutnya, на тази маса маса, която може да има коефициент, когато пишем 0. Пишем зъл корен на знанието: номер 1.

Б) Запазете първия ред от таблицата.

В останалата част от колоната, сякаш беше ясно, извадихме нула, светът раздели последния богат член на бином без излишък. Коефициентите на полинома, които резултатът има под изображението в син цвят в друг ред на таблицата:

Лесно е да се разбере погрешно, че числата 1 и -1 не са корените на богат термин

В) Продължаваме таблицата. Обратимо, чи е числото 2 като корен на богат термин:

Така че стъпката на полинома, която се появява в резултата на подчлена, е с една по-малка от стъпката на изходния богат член, също така броят на коефициентите и броят на колоните са с една по-малки.

В останалата част от колоната отнехме -40 - число, което не се добавя към нула, следователно богатият член се разделя на двоичен член от излишъка и числото 2 не е коренът на богатия член.

C) Обратимо, чи е числото -2 като корен на богат член. Така че, както преди, тестът не беше далеч, така че нямаше измама с коефициенти, аз съм в ред, че потвърждавам моя тест:

Чудодейно! Нулата беше отнета от излишъка, след това богатият член беше разделен на бином без излишък, а числото -2 е коренът на богатия член. Коефициентите на полинома, който в резултат разделя полинома на бином в таблицата на изображението в зелен цвят.

В резултат на това извадихме квадратния тричлен , чийто корен е лесно да се разбере зад теоремата на Виет:

Otzhe, коренът на външното съживяване:

{}

Внушение: ( }

Yakscho богат член

Привеждане

Нека имаме коефициентите на полинома е с цели числа и нека числото a е коренът на th богатия член. На този, в който звукът свети във всеки момент, коефициентът се разделя на a.

уважение. Тази теорема всъщност ви позволява да знаете корените на най-богатите членове в този случай, ако коефициентите на тези богати членове са числа, а коренът е рационално число. Теоремата може да бъде преформулирана по следния начин: точно както знаем, че коефициентите на полином са числата на числото и коренът на його е рационален, тогава рационалният корен може да бъде само като de p като dilnik на число (свободен термин), а числото q е разширител на число (старши coy) .

Теоремата за целия корен,какво да си отмъстиш

Точно както числото α е коренът на богат член с множество коефициенти, тогава α е дилникът на йогическия свободен термин.

Привеждане. Хайде:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

обогатен термин с коефициенти qlimi и число qile α - корен його.

Тогава стойността на корена се изравнява P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny множител α за лъковете, премахване на еквивалентността:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , звезди

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Части от числото a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, тогава дъгите трябва да са цялото число, след това a n да бъде разделено на α, тъй като i може да бъде завършено.

Теоремата е изведена, но може да се формулира по следния начин: броят на корените на полинома с броя на коефициентите е разширителят на първия свободен член.
По теоремата за основите, алгоритъмът за търсене на интегралния корен на богат член с целия брой коефициенти:

2. Теорема на Додаткова за стойността на корена

Ако има редица α-корени на богатия член P(x) с цели коефициенти, тогава α-1-делител на числото P(1), α+1-делител на числото P(-1)

Привеждане. 3 еднаквост

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

можете да видите, че от броя на числата b і c числото bⁿ-cⁿ се дели на b∙c. Ейл за всеки богат член на дребно

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

и, също така, за полином P с zіlimi коефициенти и zіlih числа b і c разликата P(b)-P(c) се подразделя на b-c.

Нека си припомним: за b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), което означава, че P (1) е разделено на α-1. По същия начин има и друга гледна точка.

Схема на Хорнер

Теорема:Нека краткосрочен drіb p / q е корен равен a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 с множество коефициенти, едно и също число р е dilnik на старшия коефициент a0 и числото Р є dilnik безплатен член an.

уважение 1. Бъдете коренът на връзката с броя на коефициентите и dilnik на його свободния член.

уважение 2.Тъй като старшият коефициент е равен на броя на коефициентите на пътя 1, всички рационални корени, както е известна вонята - числото.

Коренът на богатия член.Коренът на богат член f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , какво от това f (c)=0 .

Бележка 3.Якщо x = c корен на богат член , тогава богатият член може да бъде записан като: f(x)=(x−c)q(x) , де частен изглед под богатия член f(x) в моном х-в

Можете да подразделите богат член на моном, като използвате схемата на Horner:

Якщо f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , тогава, когато rozpodіlі f (х) на ж (х) частно q(x) може да изглежда q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , де b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1.излишък r знаят формулата r=c b n − 1 +a n

Решение:Коефициентът на старши ниво е равен на 1; 2; 3; четири; 6; 12. Използвайки схемата на Хорнер, знаем, че броят на корените е равен:

Има един корен по избор за схемата на Horner. тогава можете да го направите така x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3