Алгебрично разширение на полето. Простете разширяването на поливането. Складово разширение на алгебрични полета

разширение на алгебричното поле- — Тема за защита на информация EN разширение поле … Dovídnik технически превод

Поле E, на което е дадено поле K като подполе. Тип разширение Разширение на алгебра разширение разширение, всички елементи на такъв е алгебричен над K, т.е. такъв елемент на такъв е е коренът на богат член f (x) c ... Wikipedia

Алгебрично разширение на полето EÉ K, което е нормално и разделимо. За tsikh умовете E ще създаде най-големия брой автоморфизми над K (тъй като E е уникален, тогава броят на автоморфизмите също е значителна и по-напреднала степен на разширяване).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho отмъщение Av yak p_demigroup. Звук за разширяване на имената на група А, обвързване с Atem с други умове. Най-напредналата теория за идеалния R. nap_vgroup (nap_vgroup, какво да отмъсти на Av yak ......) Математическа енциклопедия

Равен на ума на богатия термин на n-тия етап под формата на една или повече от промяната. А. в. с един непознат звук. равен на ума: Няма брой, звук. коефициентите са равни и е danimi, hnaz. невидим и є… Математическа енциклопедия

Алгебрични полета k. разширение на полето k, което е затворено алгебрично поле. Такова разширение за всяко поле е уникално присвоено до изоморфизма. А. ч. полета номера на днитее поле комплексни числа(Раздел. …… Математическа енциклопедия

Нормално разширеното алгебрично разширение на полето EÉ K за всеки несводим богат член f(x) върху K, който може да има един корен E, може да бъде разширено в E в линейни множители. Еквивалентно назначен: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Разделимо разширение на алгебрично разширение на поле, което е съставено от разделими елементи, така че такива елементи са α, е минималният анулатор f(x) върху K, за който няма множество корени. Pokhіdna f (x) може да бъде за vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Разширяването на полето, така че E, е страхотно над K yak векторно пространство. Разширяването на векторното пространство E върху K се нарича степен на разширение и се обозначава. Силата на последните разширения В ... ... Уикипедия

Полетата са алгебрично разширение на L поле K, което удовлетворява един от напредващите еквивалентни умове: 1) дали полето L е вградено в алгебрично поле. затваряне на полето є чрез автоморфизъм на полето L; 2) L поле на подреждане на дадено семейство от полиноми s ... ... Математическа енциклопедия

Алгебрично разширение на полета

въведение

Педагогическите университети стартираха програма за единен курс по алгебра и теория на числата. Главата на метакурса е развитието на основните системи на алгебрата и развитието на алгебричната култура, която е необходима на бъдещия учител за задълбочено разбиране на целите и задачите на основния училищен курс по математика, както и училищни избираеми курсове.

Според нас най-значимото въведение в училищната програма са елементите на съвременната абстрактна алгебра.

Процесът на алгебраизация на математиката, възникнал през ХХ век, не се приема, а по-скоро се налага да се опитват да разберат основите на алгебрата в училищното математическо образование.

Математическата дълбочина и превъзходно широката сфера на плътността на полетата ще бъдат комбинирани с простотата на основните положения - за да се разберат полетата, могат да бъдат формулирани и извадени наяве цял брой важни теореми, които често се появяват във вселената на теорията на множествеността. Следователно теорията на полето е по-подходяща, за да покаже на учениците поглед върху съвременната математика.

В допълнение, развитието на елементите в теорията на полето не е за ученици, то спомага за тяхното интелектуално израстване, което се проявява в развитието на онези по-богати страни на техните идеи, качества и характеристики, както и развитието на учените , наука и математика.

1. Просто разширение на алгебрата на полето.

1.1. Просто разширете полето.

Нека P[x] е пръстен от полиноми като x над полето P, където P са подполета на полето F. Нека предположим, че елементът a от полето F се нарича алгебричен над полето P, защото a е коренът на такъв полином с положителна стъпка P[x].

Назначаване. Нека П< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Нека a0F, P [x] - пръстен от полиноми в x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

така че P [a] е безличен от всички във формата a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - да е естествено число.

Лесно се вижда, че алгебрата +P[a], +, -, ., 1, е подполето на полето P(a) - подполето; целият пръстен се обозначава със символа P[a].

Теорема 1.1. Нека P [x] - пръстен от полиноми в x върху P и P (a) - просто разширение на полето P. Нека y - разшири P [x] върху P [a], така че y (f) = f ( а) за be -th f іz P[x]. Тоди:

(a) за всяко a z P y (a) = a;

(c) y е хомоморфизъм на пръстена P[x] върху пръстена P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) фактор-окръжност P[x]/Ker y, изоморфна на пръстена P[a].

Привеждане. Твърдението (а) и (б) писък без посредник от назначаването на у. Въвеждането на y спестява основните операции на пръстена P[x], така че за всяко f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Твърдостта (d) пламва без следа от y.

Ако пръстенът y е хомоморфизъм на пръстена P[x] върху P[a], тогава фактор пръстенът P[x]/Ker y е изоморфен на пръстена P[a].

Последно 1.2. Нека a е трансцендентален елемент над полето P. Ако полиномният пръстен P[x] е изоморфен на пръстена P[a].

Привеждане. Поглеждайки назад към трансцендентността на над P Kery=(0). Към това P[x]/(0) - P[a]. Освен това пръстенният фактор P[x] зад нулевия идеал е изоморфен на P[x]. Също така, P[x] - P[a].

1.2.Минимален полином на алгебричен елемент.

Нека P [x] е пръстен от полиноми над полето P.

Назначаване. Нека a е алгебричен елемент над полето P. Минималният полином на елемент a върху P е оценяващият полином на P [x] от най-малката степен, чийто корен е є a. Стъпката на минималния полином се нарича стъпка на елемента a върху P.

Лесно е да се разбере, че за всеки елемент a, който е алгебричен върху P, има минимален полином.

Твърдение 1.3. Ако a е елемент от алгебра над поле P и g и j са минималният полином върху P, тогава g = j.

Привеждане. Стъпките на минималните полиноми g и j са пропуснати. Ако g ¹ j, тогава елементът a (стъпка n върху P) ще бъде коренът на полинома g - j, чиято стъпка е по-малка от стъпката на полинома j (по-малка от n), което е невъзможно. По-късно g = j.

Теорема 1.4. Нека a е елемент от алгебра от степен n върху полето P (aóP) и g е минималният полином върху P. Тогава:

(a) полиномът g не е индуциран в окръжността P [x];

(b) така че f (a) = 0, където f 0 P[x], g разделят f;

(c) фактор-окръжността P[x]/(g), изоморфна на окръжността P[a];

(d) P [x]/(g) е поле;

(e) пръстенът P [a] е съпоставен с полето P (a).

Привеждане. Да приемем, че полиномът g е индуциран в кръга P [x], тогава в P [x] могат да се установят такива полиноми j и h, че

g = jh, 1£deg j, deg h

Тогава g(a) = j(a)h(a) = 0. Тъй като P(a) е поле, тогава j(a) = Pro или h(a) = 0, което е невъзможно, парчета, зад ума , стъпва елемент a над P е повече p.

Да приемем, че f 0 P[x] и f(a) = 0. За ума g(a) = 0. Тогава f и g не могат да бъдат взаимно простени. Ако полиномът g е несъкратим, тогава g дели f.

Нека j е хомоморфизъм на пръстена P[x] върху пръстена P[a] (y(f)=f(a) за всяко f ⊂ P[x]), с оглед на теорема 2.1. 3(b) ядрото на хомоморфизма y е съставено от кратни на полинома g, така че. Ker y = (g). Също така пръстенният фактор P = P[x]/(g) е изоморфен на пръстена P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), тогава P[a] е областта на целостта. Тъй като P @ P [a], тогава коефициентът P също е областта на целостта. Трябва да покажем, че всеки ненулев елемент f от P може да бъде редуциран до P. Нека f е елемент от класа на сумата f. Oskílki f ¹ 0, след това f(a)¹0; Следователно полиномът g не може да бъде разделен на полинома f. Oskіlki полином g е нередуцируем, звездите са ясни, но полиномите f и g са взаимно прости. Също така, Р[x] установява такива полиноми u и v, че uf + vg=1. Стойността uf = 1 показва, че елементът f е зверски в пръстена P.

З (с) і (d) P [a] є поле и обем P(a)ÌP[a]. От другата страна, очевидно, P[a]ÌP(a). Освен това P[a] = P(a). Също така, пръстенът P[a] е съпоставен с полето P(a).

1.3. Простото разширение на Будов на алгебрата на полето.

Теорема 1.5. Нека a е алгебричен елемент от положителен клас n над полето P. Всеки елемент от полето P(a) може да бъде еднозначно представен чрез линейна комбинация от n елемента 1, a, ..., a n-1 с коефициенти Р.

Привеждане. Нека b-be-yakie елемент на полето P (a). По теорема 1.4 P(a) = P[a]; също така в P[x] полиномът f е такъв, че

Нека g е минималният полином за a върху P; по силата на теоремата, първата стъпка е по-важна.

(2) f = gh + r, de r = 0 или der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Показано е, че елементът е уникално представим в линейна комбинация от елементи 1, a, ..., a n-1 . Хайде

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké такова проявление. Нека да разгледаме полином j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i.)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Например, ако стъпка j е по-малка от n, невъзможно, опарвания поради (3) і (4) j(a) = 0 і стъпка j е най-малкият тип стъпка g. По-малко е възможно да се промени, ако j \u003d 0, тогава s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Също така, елемент b може да бъде уникално представен като линейна комбинация от елементи 1, a,…,a n-1.

1.4 Вариация под формата на алгебрична ирационалност в банера на дроб.

Задача за zvílnennya под формата на ирационалност на алгебрата в банера на дроб в стъпката. Нека a е елемент от алгебра от степен n>1 над полето P; f і h - полиноми от кръга на полиномите P[x] и h(a) ¹0. Необходимо е да се предостави елементът f(a)/h(a)0P(a) в случай на линейна комбинация от стъпки на елемента a, след това в случай на j(a),

Tse vdannya virishuєtsya така. Нека g е минималният полином за a върху P. Oskilki, съгласно теорема 1.4, полиномът не е индуциран върху P і h(a) ¹ 0, тогава g не дели h і, също така, полиномите h і g са взаимно просто. Следователно P[x] има такива полиноми u и v, че

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Също така, f(a)/h(a) = f(a)u(a), освен това, f,u 0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, ние zvílnilis víd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Звучи като ирационалност на знаменосеца

Богатите членове p(x) и g(x)=-x 2 +x+1 са взаимно прости. Следователно има толкова богати термини j и y, че

За vídshukannya j і y zastosuemo Евклидов алгоритъм към полиноми p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

по такъв начин,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki знаят

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

по такъв начин,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Отже

.

2. Сгъваемо разширение на полевата алгебра.

2.1. Кинцево разширяване на полето.

Нека P са подполетата на полето F. Тогава можем да разглеждаме F като векторно пространство върху P, така че можем да разглеждаме векторното пространство +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - операцията за умножаване на елементите на F по скалара l0P.

Назначаване. Разширяването на полето F се нарича крайно, като F, като векторно пространство над P, е възможно да завърши разширението. Tsya rozmirnіst означава чрез.

Твърдение 2.1. Ако a е алгебричен елемент от степен n върху P, тогава = n.

Това предложение явно проблясва през Теорема 1.5.

Назначаване. Разширение F на поле P се нарича алгебрично, тъй като скин елемент на F е алгебричен над P.

Теорема 2.2. Дали крайно разширение на полето F е алгебрично върху P.

Привеждане. Нека F е n-гладко над P. Теоремата очевидно е вярна, тъй като n = 0. Да приемем, че n>0. Ако n+1 елемента от F са линейно оставени над P. Sokrema, линейно оставена система от елементи 1, a, ..., a n , тогава P такива елементи от 0 , 1, ..., c n не са всички равни на нула , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Елементът a също е алгебричен върху P.

Важно е, че има разширения на алгебрата на полето, които не са терминални разширения.

2.2. Складово разширяване на областта на алгебрата.

Разширението F на полето P се нарича сгъваемо, както е

нарастващо ланцетно подполе L i на поле F, така че

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Теорема 2.3. Нека F - крайно разширение на полето L і L - крайно разширение на полето P. Тогава F - крайно разширение на полето P i

=@[L:P].

Привеждане. Хайде

(1) a 1 ,…,a m - база на полето L върху P (като векторно пространство) и

(2) b 1 ..., b n - базис на полето F върху L . Всеки елемент d от F може да бъде линейно изразен чрез основата:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Коефициентът 1 k може да бъде линейно изразен чрез основата (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Заместването на резултата за коефициентите l k (3) е приемливо

d = p a a b k .

По този начин скин елементът на полето F може да бъде представен като линейна комбинация от елементи на множителя B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Важно е, че множителят B добавя до nm елементи.

Показваме, че F е базис върху P. Трябва да покажем, че системата от елементи на множителя B е линейно независима. Хайде

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Тъй като системата (2) е линейно независима върху L, тогава (5) следва равенството

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​​​= 0 (k = 1,..., n).

Тъй като елементите a 1 , ..., a m са линейно независими върху P, тогава (6) следва равенството

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

за да покаже, че коефициентите в (5) са равни на нула. Така системата от елементи B е линейно независима и е основа на F върху P.

Otzhe, вмъкнато, scho = nm = ×. Също F е последните разширения на полето P і maє misce формула (I).

Назначаване. Разширението F на полето P се нарича сгъваемо алгебрично, тъй като е нарастващото копие на подполетата на полето P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

така че за i = 1,..., k полета L i є нека просто разширим алгебрата на полето L i-1 . Числото k се нарича дожина копие (1).

Последно 2.4. Складовите разширения на алгебрата F на полето P са терминални разширения на полето P.

Доказателството може лесно да се проведе чрез индукция зад копието (1) върху обосновката на теорема 2.3.

Теорема 2.5. Нека a 1 ,..., ak е алгебричен над полето P от елементи на полето F . Същото поле P(a 1 ,..., ak) е последното разширение на полето P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Тогава L 1 = P е просто разширение на алгебрата на полето L 0 ; L 2 е просто разширение на алгебрата на полето L 1, тъй като

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) и т.н.

по такъв начин,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) за i = 1, ..., k, тогава скин членът на Lanziuk (2) е просто разширение на алгебрата на предния член на Lanziuk. По-късно полето F е сгъваемо разширение на алгебрата на полето P. Отново, съгласно следствие 2.4, полето F е крайно разширение на полето P .

Последно 2.6. Складово разширение на алгебрата на полето е разширение на алгебричното поле.

2.3. Простота на складово разширяване на полевата алгебра.

Теорема 2.7. Нека числовото поле F е сгъваемо разширение на алгебрата на полето P . Тогава F є ще опростим разширенията на алгебрата на полето P.

Привеждане. Нека P - L - F, освен това, L = P (a), F = L (b) i, също, F = P (a, b).

Нека f и g са минимални полиноми върху P, което е валидно за числата a и b и deg f = m, deg g = n. Полиномите f і g не могат да се наслагват върху P і, следователно не могат да бъдат в полето E на комплексни числа от множество корени. Хайде

a = a 1 ,..., a m - корени на полинома f C i

b = b 1 ,..., b n - корен на многочлена g C.

Нека да разгледаме kіtsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P е числов множител (i, следователно, не е ограничен), тогава P е числото c, vidminne в елементите на множителя M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Вярно, във времена на равенство a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo използва избора на числото c.

Нека F 1 = P(g) и F 1 - пръстен от полиноми по x. Нека h = f(g - cx) е полином от F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Може да се покаже, че x-b е най-голямата съгласна на полиномите h и g в пръстена F 1 [x]. Мащаби g(b) = 0, тогава x-b разделят g E[x]. Ежедневно, поради (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

На това x-b разделете полинома h E[x]. В този ред x-b е спящ h и g в пръстена E[x].

Съобщава се, че g і h С няма корени, vіdmіnkh vіd b. Нека просто кажем, че b k , k0(2 ,..., n) е неговия див корен. Тогава h(b k) = f(g - сb k) = 0. Тогава има такъв индекс i0(1 ,..., m) ). Следователно, възможно е x-b да е най-големият спящ от g и h в E[x]. Oskіlki x - b - нормализационен полином, тогава звездата е ясна, scho x - b е най-големият горещ dilnik g и h y kіltsi F 1 [x]. Том

(x-b) 0 F 1 [x] и b 0 F 1 = P(g).

Освен това, a = g - cb 0 F 1 . по такъв начин,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Поле алгебрични числа.

Класът от подполета на полето на комплексните числа е един от най-важните - полето на алгебричните числа.

Назначаване. Алгебрично число се нарича комплексно число, което е корен на полином от положителна степен с рационални коефициенти.

Важно е числото на една алгебра, било то комплексно число, да е алгебрично над полето Q. Sokrema, било то рационално число, да е алгебрично.

Теорема 2.8. Безличното A на всички алгебрични числа е затворено в пръстена E = +C, +, -, 1, от комплексни числа. Алгебрата A = +А, +, -, , 1 е поле, подполе на поле E.

Привеждане. Нека a и b са елементи на A. За последния 2.6 полето Q(a, b) е алгебрично върху Q. Следователно числата a + b, -a, ab, 1 са алгебрични, така че кратните на A лежат , безличното A е затворено според главните операции на цикъла E. Следователно алгебрата A е подцикъл на цикъла E - е цикъл.

В допълнение, тъй като a е ненулев елемент в A, a -1 0 Q (a, b) и че a -1 лежи в A. Отново, алгебрата A е поле, подполета на полето E.

Назначаване. Полето A = +A, +, -, , 1 се нарича поле на алгебричните числа.

Покажете, че числото a = алгебрично.

Решение. Z a \u003d крещи a-.

Zvedomly обидни части от оставащата еквивалентност в третата стъпка:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Сега обидните части на ревността са пренесени на друго ниво:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

В този ранг е коренът на богат термин

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

от рационални коефициенти. Ce означава, че a е алгебрично число.

2.5. Алгебрично затваряне на полето от числа на алгебрата.

Теорема 2.9. Числовото поле на една алгебра е алгебрично затворено.

Привеждане. Нека A [x] е пръстен от полиноми в x над полето A от алгебрични числа. Хайде

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Да бъде някакъв полином с положителна стъпка A[x]. Трябва да докажем, че f може да се корени в A. Ако f0C[x] и полето E е алгебрично затворено, тогава f може да се корени в E, така че да има такова комплексно число s, че f (c) = 0. Нека L = Q (a 0 , ... и n) и L(c) е просто разширение на алгебрата на полето L извън помощта на c. Тогава Q - L - L (c) е терминално разширение на алгебрата на полето L. По теорема 2.2 L е терминално разширение на полето Q. По силата на теорема 2.3 L (c) е терминално разширение на полето Q. полето L (c) е разширение на алгебрата на полето Q i, следователно, c0A. Така, ако има някакъв полином в A[x] на положителна стъпка A, който може да има корен, тогава полето A е алгебрично затворено.

3. Разделими и неразделими наставки.

Хайде D - поле.

Разбира се, как може неразложим D[x] полином да бъде майка на множество корени?

За да бъде f(x) множество корени, богатите членове f(x) и fN(x) се дължат на общия двоен постоянен множител на майката, който вече може да се брои в D[x]. Въпреки че полиномът f(x) не се дели, тогава нито един богат полином от по-ниска степен f(x) не може да бъде майка на непоследователни глобални множители и следователно равенството f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Така че fN(x) = O, скин-коефициентът е виновен за нула:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Това, което е важно, е характерната нула на звездата, че a n \u003d 0 всички n ¹ 0. Освен това един непоследователен полином може да бъде майка на множество корени. По време на характеристиките p_evenness na n \u003d 0 е възможно да има n ¹ 0, но може да бъде и равно

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +...

Обратно: ако f(x) може да изглежда така, тогава fN(x)=0.

С тази vipadka можем да напишем:

Самият Тим ​​изнесе твърдението: В случай на характеристика нула, богатият член f (x) не се дели на D [x], той може да бъде само прост корен, в случай на характеристика p, полиномът f ( x) (което също е същото като константата) може да бъде кратно на корена, ако е възможно да се покаже като полином j víd x p.

Понякога е възможно j(x) да е полином по свой собствен начин x p . Тогава f(x) е полином като x p 2 . Нека f(x) е богат член като xpe

ale е полином от x pe +1. Разбираемо е, че полиномът y(y) е неразложим. Дали, y¢(y) ¹ 0, защото в противен случай y(y) ще изглежда като c(y p) i, тогава f(x) ще изглежда като c(x pe + 1), което ще замести пропуска. Otzhe, y (y) може да бъде само прост корен.

Нека разширим полинома y, за да разширим основното поле върху линейни множители: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Нека a i е коренът на полинома x pe - bi. Тогава x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Също така, a i є r e -кратен корен на полинома x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

Мустакът на корена на полинома f(x) може по този начин да има същата кратност на p e.

Стъпката m на полинома y се нарича стъпка на редукция на полинома f(x) (или корена a i); числото e се нарича експонента на полинома f (x) (или корена a i) върху полето D.

de m по-скъп брой различни корени на полинома f(x).

Ако q е коренът на полином, който не е разложим в пръстена D[x], който може да бъде само прости корени, тогава q се нарича разделим елемент върху D или елемент от първи вид върху D 1). С това неразделим богат термин, всички корени на който са разделими, се нарича разделим. В противен случай алгебричен елемент q и неразложим богат член f(x) се наричат ​​неразделими или елемент (като богат член) от различен вид. Сега едно разширение на алгебрата S, всички елементи на което са разделими върху D, се нарича отделимо върху D, а всяко друго разширение на алгебрата се нарича неразделимо.

Във времена на характеристика нула се казва, че кожата не е неразложим богат термин (и следователно разширението на кожата на алгебрата) е разделимо. Бихме искали да знаем, че повечето от най-важните и най-важни разширения на полета са разделими и че знаем качеството на класа полета, така че неразделимите разширения (така нареченото „завършено поле“) не са възможни. Z tsієї causa всички pov'yazane специално с неразделни разширения, въведени с различен шрифт.

Нека сега разгледаме разширението на алгебрата S = D (q). Ако стъпките n са равни на f(x) = 0, което означава по-голяма, по-напреднала стъпка (S: D), намаляването на стъпките m е равно на броя на изоморфизмите на полето S в напредващия смисъл: ние може само да разглежда тези изоморфизми [имейл защитен]", за всички елементи на подполето D са запълнени с ненасилствено i, тогава S се прехвърля в еквивалентното поле S" (изоморфизъм на полето S над полето D) и за всяко поле-образ S "да лежи заедно с поле S в средата на полето W. tsikh umovah maє mistse теорема:

При подходящ избор на полето W, разширението S=D(q) може да има точно m изоморфизма върху D и за всеки избор на полето W полето S не може да има повече от m такива изоморфизма.

Привеждане. Изоморфизмът на кожата върху D е отговорен за преобразуването на елемента q в неговите асоциации с елемента q" от W. Изберете W, така че f(x) да се разширява върху W в линейни множители; тогава изглежда, че елементът q може да има точно m срещания елементи q,qАко е така, тъй като bi, полето W не е избрано, елементът q не е матима в повече от m случая. Сега е достойно за уважение, че изоморфизмът на кожата D(q)@D(q") върху D е напълно зависим от дадената идентичност на q® q". Очевидно, ако q премине към q "и всички елементи от D останат на място, тогава елементът

3a k q k (як 0D)

виновен отидете на

и cym означава изоморфизъм.

Така че, тъй като q е разделим елемент, тогава m = n і, следователно броят на изоморфизмите над основното поле е по-равномерно разширен.

Ако е така, ако полето е фиксирано, което може да покрие всички полета, които се разглеждат, в които могат да бъдат разположени всички корени на изравняването на кожата f (x) = 0 (като например в полето на комплексни числа) , тогава в качеството на W можете да вземете полето i веднъж завинаги Към това добавете добавянето на „в средата на деки W“ във всички твърдения за изоморфизма. Така че започнете да поправяте теоретично числови полета. Бихме искали да ви напомним, че за абстрактни полета можете да използвате и полето W.

Цитираната теорема е следното твърдение:

Как да разширите S, за да излезете от D до следващите пристигания m

алгебрични елементи a 1 , ..., a m , освен това кожа зад a i , є корен

неразширим върху D(a 1, ..., a i-1) е равно на намаления етап n" i, тогава

разширението на S може да бъде точно ?n i ¢ изоморфизми над D i по същия начин

без разширения по-голям бройтакива изоморфизми на полето S.

Привеждане. За m = 1 теоремата е доразвита. Да приемем, че тя е валидна за разширението S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 е точно n i ¢ изоморфизми на полето S върху D.

Нека S 1 ®S 1 е един от Õ n i ¢ изоморфизмите. Твърди се, че в обратния ред на обърнатото поле W вино може да бъде продължено до изоморфизма S = S 1 (am) @ S = S (am) не повече от n_zh n m начини.

Елементът a m удовлетворява уравнението f 1 (x) = 0 върху S 1 с n¢ m различни корени. След допълнителния изоморфизъм S 1 ® S 1, богатият член f 1 (x) може да бъде преведен в друг богат термин f 1 (x). Ale todі f 1 (x) в широко разширен начин, но n m различни корени и не повече. Нека a m - един от тези корени. Разглеждайки избора на елемент a m, изоморфизмът S 1 @S 1 е три на изоморфизма S (a m) @ S (am) за a m ®a m по един и само един начин: ефективно продължението е дадено от формулата

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Примери за избор на елемент a m могат да бъдат дефинирани по n "m начина, като се използва n" m продължение на такъв вид за обратния изоморфизъм å 1 ®å 1

Oskílki имат своя собствена линия и този изоморфизъм може да бъде преобразуван

Х n" по начини,

тогава всичко е вярно (онова поле W, в което се намират всички корени на всички равни, които се гледат)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

изоморфизми на разширението на S върху полето D, което беше необходимо да се доведе.

Ако n i е реална (нередуцирана) стъпка на елемента a i върху D (a 1 ,...,a i-1), тогава още n i стъпки от разширението D (a 1 , ... , a i) на полето D(a 1 , .. ., a i-1);

otzhe, стъпки (S: D) повече

Как да свържем числото с броя на изоморфизмите

Броят на изоморфизмите на разширението S = D(a 1 , ... , a m) върху D (за всяко дадено разширение W) е допълнителна стъпка (S: D) дори само ако елементът на кожата a i е разделим върху поле D(a 1 , . . . , a i-1). Ако искате един елемент a i да бъде неделим върху отделно поле, тогава броят на изоморфизмите е по-малък от степента на разширение.

От гледна точка на теоремата веднага ще се появят няколко важни забележки. За нас теоремата гласи, че мощността на елемента на кожата a i е разделима върху предното поле, а мощността на самото разширение S не зависи от избора на елементи, които генерират a i. Тъй като допълнителен елемент от полето може да се приеме като първо поколение, елемент b изглежда разделим, тъй като всички a i са такива. баща:

Елементите a i , ... ,a n i се добавят последователно към полето D, елементът на кожата a i изглежда разделим над полето, ние премахваме съседните предни елементи a 1, a 2 ,...,a i-1 разширение

S = D(a 1 , ... ,a n)

разделим върху D.

Zokrema, suma, retail, tvir че частно отделните елементи са разделими.

Освен това, тъй като b е разделимо върху S, а полето S е разделимо върху D, тогава елементът b е разделим върху D. Това се обяснява с факта, че b удовлетворява крайния брой коефициенти a 1 , ... , a m з S i, отново, е разделим върху D (a 1, ..., a m). Tim самото отделимо разширение

D (a 1, ..., a m, b).

Нарешти, може ли да се даде същото място: броят на изоморфизмите на крайно разделимо разширение S над поле D до по-висока степен на разширение (S: D).

4. Неограничено разширяване на напояването.

Кожното поле излиза от своето просто подполе за помощта на последното чи на неизчерпаемото разширяване. В това разделение се виждат безброй разширения на полета, първо алгебрични, а след това и трансцендентални.

4.1. Алгебрично затворени полета

Сред разширяването на алгебрата на дадено поле важна роля играе особено максималното разширяване на алгебрата, за да не се допусне по-нататъшно разширяване на алгебрата. Причината за такива удължения ще бъде представена в този параграф.

За да може полето W да бъде максималното разширение на алгебрата, е необходимо да се развие ума: скин-полиномът на окръжността W[x] може да се разложи на линейни множители. Tsya ум е достатъчен. Наистина, тъй като скин полином в W[x] се разлага на линейни множители, тогава всички прости полиноми в W[x] са линейни и скин елементите на всяко разширение на алгебрата W" на полето W изглеждат като корен на всяко линеен богат член x - a в W[x], т.е. работи с действителния елемент a на полето W.

За този damo е същата съдба:

Полето W се нарича затваряне на алгебрата, защото всеки полином в W [x] може да се разложи на линейни множители.

Също толкова важно е следното: полето W е алгебрично затворено, така че полиномът в W[x] може да бъде различен полином в W[x] с един корен, тоест с единичен линеен множител в W[x] .

Наистина, като такъв умен vikonan и доста вземания, полиномът f (x) се разлага на фактори, които не се разлагат, тогава цялата воня е виновна, но линейна.

„Основната теорема на алгебрата“ гласи, че полето от комплексни числа е алгебрично затворено. Приближаващата част на алгебрично затворено поле може да бъде полето на всички комплексни алгебрични числа, така че безличните комплексни числа, като да се задоволят с всякакъв вид равенство с рационални коефициенти. Комплексният корен е равен на коефициентите на алгебра е и наистина алгебричен не само върху полето на алгебричните числа, но и върху полето рационални числа, т.е. самите те са алгебрични числа.

Тук ще покажем как да индуцираме затворено алгебрично разширение на достатъчно дадено поле P и по чисто алгебричен начин. Щайниц да легне така

Основна теорема. За полето на кожата P, затворено алгебрично разширение на алгебрата W. Точно до еквивалентност, разширението е еднозначно определено: дали има две алгебрично затворени алгебрични разширения W, W "на полето P са еквивалентни.

Доказателството на тези теореми се дължи на излишъка на лема:

Лема 1. Нека W е разширение на алгебрата на полето P. Достатъчен умза да може W да бъде затваряне на алгебрата, е разширение в линейни фактори на всеки полином в P[x] в пръстена W[x].

Привеждане. Нека f(x) е допълнителен полином от W[x]. Ако vin не се разложи на линейни множители, тогава може да се вземе корен от a i, за да се стигне до горното суперполе W. Елементът a е алгебричен върху W, а W е разширение на алгебрата на полето P; коренът на следващ полином g(x) в P[x]

Лема 2. Ако полето P е холистично подредено, тогава пръстенът от полиноми P[x] може да бъде холистично подреден и до степента, в която това подредено поле P ще бъде тройно.

Привеждане. Променете значително реда между полиномите f(x) в P[x], както следва: нека f(x)

1) стъпка f(x) е по-малък тип стъпка g(x);

2) стъпка f(x) още стъпка g(x) и повече n, тогава.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n, g (x) = b 0 x n + ... + b n

i за следващия индекс k:

и i = b i за i

a k

Ако е така, за полинома 0 се дава вина: присвоява му се стъпка 0. Очевидно е, че такъв начин да се излезе в ред е, за смисъла на който P [x] е напълно подреден. Ще бъде показано, както следва: в непразното множествено число на обогатените сегменти има непразно подкратно на богати сегменти от най-малката степен; нямай толкова добро число. Във всяко подкратно има непразно подмножество от богати членове, коефициентът е 0, което е първото по смисъла на главния ред на средата на големите части на богати термини, които се разглеждат; при зададения подмножител има собствен ред подмножител на богати термини с първото a 1 и т. н. минимности, които са последователно победни, по избор); този полином е първият елемент на дадения множител.

Лема 3. Ако полето P е подредено като цяло, богатият член f(x) на етапа n і n символи a 1 ..., a n след това полето P (a 1 ,..., a n), в което f(x) ще бъде разширено върху линейни множители

Õ(x-a i), ще бъде единичен ранг и цяло

поръчка. Поле P в sensi tsiy е vídrízkom.

Привеждане. Добавяме последователно корена a 1 ..., a n, след което P = P 0 последователно печелят полетата Р 1 , ..., Р n . Да приемем, че R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - полето вече е индуцирано и че P е договор с R i-1; тогава R i ще бъде така.

Преди задача 2 пръстенът от полиноми Р i-1 [x] е подреден в едно цяло. Полиномът f се разлага при всяка килци на неразделни множители, средата на които е първото място x - a 1 ,..., x - a i-1 ; сред другите множествени числа, нека f i (x) е първият в смисъла на ясния ред. Заедно със символа a i, който обозначава корена на богатия член f i (x), ние означаваме полето P i = P i -1 като съвкупността от сумите

de h е стъпката на богатия член f i (x). Ако f i (x) е линеен, тогава, разбира се, зачитаме P i = P i -1; знакът a i не е необходим. Насърчете полето като цяло да бъде подредено за допълнителна офанзивна интелигентност: елементът на кожата на полето

може би богат член

И елементите на полето са подредени по същия начин, както подреждането на техните богати термини.

Очевидно същият Р i-1 е по отношение на Р i, а към този і P - по отношение на Р i.

Тим самите полета P 1 ,..., P n са мотивирани от цял ​​ред. Полето Р n може да се търси уникално по първото поле P(a 1 ,..., a n).

Лема 4

Привеждане. За всеки два елемента a, b комбинирайте две полета S a , S b , така че да замените a, b и от всяко едно пред другото. В дрезгавото поле елементите a + b и a × b се присвояват на елементите в полето на кожата, така че a и b могат да бъдат отмъстени, тъй като две такива полета са едно пред друго и подполе yogo. Например да донесе закона за асоциативността

ab g = a bg,

познаваме средните полета S a , Sb, S g тези, които покриват други две полета (най-големите); в кое поле има a, b и g i в новия закон за асоциативност vikonano. По същия начин се преразглеждат правилата за реща за изчисляване на елементите на асоциацията.

Доказателството на основната теорема е разделено на части: подполе W и доказателство за единство.

Полета на Побудов W. Лема 1 доказва, че за привидно алгебрично затворено разширение W на полето P е достатъчно да се индуцира такова разширение на алгебрата на полето P, така че полиномът в P[x] да може да бъде разширен върху тези разширения в линейни умножители.

1. Полето P f е ob'ednannyam поле P і всички полета S g за g

2. Полето P f е подредено по такъв начин, че P и всички полета S g с g

3. Полето S f идва от R f към дадените корени на богатия член f след допълнителните символи a 1 ,..., a n е валиден до lemi 3.

Необходимо е да се отбележи, че по този начин цялата подредба на полетата Р f , S f може да бъде изрично присвоена от цялото подреждащо поле, както и всички предни Р g , S g вече са присвоени по-често.

Yakshcho vikonano 3, след това nasampered P f - vídrízok S f . Z ogo i vimogi 2 виждаме, че полето P i поле на кожата S g (g

Р - vídrіzok S h на h

S g - двойно S h при g

Звучи като P i полета S h (h b, як може да бъде запазен в Pf. Същият ред е един и същ във всички полета P abo S g yak yak yak a, така че ib, към това всички ts поле е v_drízkami едно от едно. Otzhe, настройката по поръчка е назначена. Тези, които са напълно подредени безлични, очевидно, така че кожата не е празна безлична x в Р f, за да отмъсти за поне един елемент от работата на deyakogo поле S g, и това е първият елемент от x x Ç Работа x Ç S ж. Този елемент е един час е i първият елемент x.

Поглеждайки в ума ви 3, полиномът f(x) отново се разлага на линейни множители в полето S f . Освен това, след помощта на трансфинитна индукция, се показва, че S f е алгебричен върху P. Действително се приема, че всички полета S g (g

Сега съхраняваме групата W на всички полета Sf; zgídno z lemoy 4 спечели поле. Цялото поле е алгебрично над P и всички богати членове f се разширяват върху него (малките скин-полиноми f вече са разширени върху S f). Освен това полето W е алгебрично затворено (лема 1).

Единството на полето W. Нека W и W" са две полета, които са алгебрични и затворени алгебрични разширения на полето P. Нека приведем еквивалентността на тези полета. също се разглежда от един от тези аргументи) субкратно ¢ в W " и някакъв изоморфизъм

P(Â) @ P(¢).

Останалата част от май ще се задоволи с предстоящото повтарящо се шпиониране.

1. Изоморфизмът P(Â) @ P(¢) се дължи на изчерпването на скин елемента на полето P върху полето.

2. Изоморфизмът P(Â) @ P(¢) с ÁÌ Â може да бъде продължение на изоморфизма P(Â) @ P(Á").

3. Ако Â е оставащият елемент a, така че Â = ÁÈ(a), и ако a е коренът на обогатения член f(x), който не може да бъде разложен в P (Á), тогава елементът a" е да вина за първия корен на рода P(Á) @ P(I"), полином f¢(x) в добре подредено поле W".

Необходимо е да се покаже, че изоморфизмът P(Â) @ P(¢) е ефективно присвоен по същия начин, въпреки че вината вече са присвоявания за всички предни ръбове на ÁÌ Â. Тук е необходимо да се разграничат две точки.

Първа капка. Безличен  не може да има останалата част от елемента. Същият кожен елемент трябва да лежи върху пеещата предна част Á; към това  є към комбинираните поливки на Á, към това P(Â) - към кумулативните полета P(Á) за ÁÌ Â. Ако елементите на кожата от изоморфизмите P(Á) @P(Á") произлизат от предишните, тогава на елемента на кожата a с всички тези изоморфизми се дава само един елемент a". Следователно има една и повече от една флексия P(Â) → P(¢), която продължава всички предни изоморфизми P(Á) → P(Á"), а самата флексия a®a". Очевидно е, че това е изоморфизъм и комбинация от 1 и 2.

Още една капка. Анонимен maê оставащ елемент a; също,  = ÁÈ(a). И накрая, елементът a", свързан с елемента a, е уникално присвоен. Тъй като a" върху полето P(I") (в смисъла на анализирания изоморфизъм) удовлетворява "същото", непоследователно равно на i a върху P(I), тогава изоморфизмът P(I) → P(I") (в случая, ако I е празен, тогава същият изоморфизъм P®P) отива нагоре към изоморфизма P(I, a) ®P(I", a¢ ), когато a преминава през a". Дермалният изоморфизъм беше недвусмислено идентифициран чрез внушението на кожата, така че рационалната кожна функция j(a) с коефициентите на общия език преминава към функцията j "(a") с еквивалентните коефициенти на Á". ) ® P(¢) очевидно съвпада с 1 и 2.

Така заместването на изоморфизма P(Â)→P(¢) е завършено. Значително чрез W" обобщението на всички полета P(В¢); тогава има изоморфизъм P(W)®W" или W®W", който добавя елемент от полето P към пространството на кожата. Тъй като полето W е алгебрично затворено, така че може Buti і W ", и на това W" е съпоставено с изискваното поле W¢.

Значението на алгебрично затворено разширение на дадено поле е същото в това, че до точката на еквивалентност е възможно да се преодолеят възможните разширения на алгебричното поле. По-точно:

Ако W е алгебрично затворено разширение на алгебрата на полето P и S е доста алгебрично разширение на полето P, тогава в средата на W има общо разширение на S 0 , което е еквивалентно на разширение на S.

Привеждане. Можем да разширим S до определено затворено алгебрично разширение W". То ще бъде алгебрично и върху P, и следователно еквивалентно на разширение W. При всеки изоморфизъм, за да преведем W" в W, като вземем ненарушимия елемент на кожата на P, полето S преминава в деак, еквивалентен на подполе йома S 0W.

4.2. Простете за трансцендентното разширение.

Кожата е просто трансцендентално разширение на полето D, очевидно еквивалентно на полето на частния D(x) на пръстена от полиноми D[x]. To mi vivchimo tse private field

Елементите на полето W са рационални функции

Теорема. Трансцендентният елемент h на стъпка n е трансцендентен над D и полето D(x) е разширение на алгебрата на полето D(h) на стъпка n.

Привеждане. Подчинението h = f(x)/g(x) не е краткотрайно. Същият елемент x е удовлетворен

g(x)×h - f(x)=0

с коефициенти D(h). Числата на коефициентите не могат да бъдат равни на нула. Наистина, ако всички смради бяха равни на нула и ak буква bi в същия свят x е ненулев коефициент на полинома g (x), а b k - ненулев коефициент на полинома f (x), тогава то не би било достатъчно майката да бъде равна

звезди h = b k / ak = const, което е суеверие. Отново, елементът x е алгебричен върху D(h).

Ако елементът h е макар и алгебричен над D, то x е макар и двуалгебричен над D, което обаче не е така. Отново, елементът h е трансцендентален над D.

Елементът x е коренът на богатия член на стъпка n

в пръстена D(h)(z). Този полином е неразложим в D(h)[z], фрагментите също са vin bouv bi могат да бъдат разложени n в kílci D, і, фрагментите на vin са линейни в h, едно от кратните на maw bi не е възможно за депозиране на h или по-малко z. Но такъв множител не може да бъде, защото g(z) и f(z) са взаимно прости.

Освен това елементът x е стъпка от алгебрата n над полето D(h). Звездите са твърди, така че (D(x) : D(h)) = n

За по-лошия е важно, че богатият член

няма кратни, които могат да лежат само близо до z (да лежат близо до D[z]). Това втвърдяване се отменя, ако h се замени с неговите стойности f (x) / g (x) и се умножи по банера g (x), ние самите сме полином.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kíltsya D няма множители, падат само в víd z.

От приведените по-горе теореми има три забележки.

1. Функционалната стъпка h - f(х)/g(х) трябва да се депозира само в полетата D(h) и D(x), а не при избора на друг елемент, който генерира x.

2. Rivnist D(h) = D(x) е по-малко от същото, ако h е по-малко от 1, тогава това е линейна функция. Tse означава: родителският елемент на полето, краят на елемента x, може да бъде дробно-линейна функция като x и само такава функция.

3. Всеки автоморфизъм на полето D(x), който оставя елемент от полето D върху платното, е виновен за транслацията на елемента x във всеки елемент от полето. Обратно, ако x се транслира в родителски елемент x = (ax + b) / (cx + d) и skin функция j (x) - y функция j (x), тогава се получава автоморфизъм, когато всички елементи D са оставени на целта. Отже,

Всички автоморфизми на полето D(x) върху полето D са линейни замествания

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Важен за някои геометрични постижения

Теорема на Луро. Междинното поле на кожата S, за което DÌSID(x) е просто трансцендентално разширение: S = D(q).

Привеждане. Елементът x е виновен, че е алгебричен над S, защото ако h - ако някой елемент от S не принадлежи на полето D, тогава, както беше показано, елементът x е алгебричен над D (h) и още повече алгебричен над S , S [z] богат член със старши коефициент 1 и корен x може да изглежда

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (един)

Z'yasuêmo Budov богат член.

Елементи a i е рационални функции x. За помощ при умножаване по спящ банер на тях, можете да го използвате с много рационални функции и освен това да вземете богат термин като x іz вместо 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Стъпките на полинома са значими по m, а по z - по n.

Коефициентите a i \u003d b i / b 0 z (1) не могат да бъдат независими в x, така че x иначе би изглеждал като алгебричен елемент върху D; така че един от тях, да речем,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

всъщност е виновен за отлагане от x; Нека запишем йога накратко:

Стъпките на полиномите g(x) и h(x) не надвишават m. Полином

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(което не е същата нула) ако корен z = x, тогава vin се дели на f 0 (z) в пръстена S[z]. Ако искате да преминете от thir rational от гледна точка на x богати термини към tsilih в x богати термини с zmist 1, тогава трябва да запазите своята делимост и ние ще я вземем

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Лявата част на това спокойствие има стъпки по x, но не се движи t. Ale отдясно вече е богат член на f stupín t; otzhe, стъпките на лявата част са точно точно стари и q(x, z) не лежат в x. Невъзможно е обаче да депозирате по-малко от z множител, за да разделите лявата част (div. more); към това q(x, z) е константа:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Тъй като наличието на константата q не играе роля, полиномът на Будов f(x, z) е описан напълно. Стъпките на полинома f(x, z) в x са по-напреднали (със симетрията на симетрията), а стъпките в z са по-напреднали, така че m = n. m, по-късно, i функция q се дължи на майката от стъпки m x.

Самите Тим, парчетата от едната страна са равни

(D(x):D(q)) = m,

а за останалите - ревност

тези парчета за отмъщение за D(q),

Висновок.

Роботите изглеждаха така, вижте разширението на числовото поле P:

Просто разширение на полевата алгебра.

Складово разширяване на областта на алгебрата.

Разделими и неразделими разширения.

Неограничено разширяване на поливането.

Анализирайки работата, можете да създадете deaky visnovki.

Z разгледа първите две части на разширението, като например:

просто разширяване на алгебрата;

крайно разширение;

складово разширяване на алгебрата.

След това, ако видите разширенията zbígayutsya і, zokrema, се изчертават от прости алгебрични разширения на полето P.

Списък с референции

1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория на числата. - М.: Вищ. училище, 1979.-528-538с.

2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.- М., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Шмигирьов, С.В. Игнатович. Теория на богатите термини. - Мосир 2002.

За подготовката на тази работа събрахме материали от сайта