Алгебрични и трансцендентни числа. трансцендентални числа трансцендентални числа

т.е. за a = 1 ни послужи за целта на сумата от геометричната прогресия. Ако приемем, че теоремата на Гаус е доказана, се приема, че a = a 1 е равен корен (17),

Като се има предвид виразата s f(x) и прегрупирането, ние вземаме предвид еднаквостта

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Сега, претърсвайки формулата (20), можем да видим множителя x − a 1 от скин члена и след това да обвиним Його за лъка, освен това краката на богатия член, който е останал в лъковете, стават едно по-малко. Прегрупирайки нови членове, премахваме еднаквостта

f(x) = (x − a1 )g(x),

където g(x) е богат член на стъпка n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Изчисляването на коефициентите, които са известни чрез b, сме тук, за да бъдем извикани.) Необходимо е да отдалечим същото изчисление от полинома g (x). Според теоремата на Гаус квадратният корен a2 е равен на g(x) = 0, така че

g(x) = (x − a2 )h(x),

където h(x) е нов полином от стъпка n − 2. Повтаряне на n − 1 пъти

От еднаквостта (22) не само тези, които са комплексни числа a1, a2,

An е същността на корена на равно (17) и тези, които нямат други корени на равно (17). Вярно, числото на якби y беше корен от равно на (17), тогава s (22) плъзна bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Ale mi bachili (стр. 115), че добавянето на комплексни числа към нула по този начин и по-малко по този начин, като един от множителите към нула. Също така, един от множителите y−ar е равен на 0, така че y = ar, което е необходимо да се зададе.

§ 6.

1. Целта е тази хранителна причина. Всяко число x се нарича алгебрично число;

130 МАТЕМАТИЧЕСКА БРОЙНА СИСТЕМА гл. II

de числа ai числа. Така, например, числото 2 е алгебрично, така че е доволно от равно

x2 − 2 = 0.

В същия ранг на алгебричното число, дали е корен на това дали е равно на цялото число на коефициентите на трето, четвърто, пето, дали е светът и дали може или не може да бъде изразено чрез радикалите. Концепцията за алгебрично число е естествено разбиране на концепцията за рационално число, по начин, който потвърждава okremy есента n = 1.

Не всяко реално число е алгебрично. Tse vipliva z напредване на теоремата на Кантор: безличността на всички числа от алгебрата rachunkiv. Бо безлич усих номера на днитее неразличимо, то обикновено се дължи на действителните числа, които не са алгебрични.

Нека посочим един от методите за разрешаване на безлични алгебрични числа. Кожа, равна на външния вид (1), равна на целевото число

h = | един | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

в името на стила, ние го наричаме „високо“ равно. До кожата фиксирана стойност n е само последното число, равно на формата (1) с височина h. Кожата от такива равни може да бъде повече от n корена. За това е възможно да се използва само последният брой числа от алгебрата, които се генерират от равни с височина h; баща, всичко алгебрични числаможете да roztashuvati при вида на последователността, превишавайки главата им, тъй като те се раждат с равни височини на височина 1, след това - височина 2 и така нататък.

Това доказателство за идентичността на безличните алгебрични числа установява основата на реалните числа, тъй като те не са алгебрични. Такива числа се наричат ​​трансцендентални (от лат. transcendere - преминавам, обръщам); Ойлер му даде такова име, че смърди „за да преобърне стегнатостта на методите на алгебрата“.

Доказателството на Кантор за основаването на трансценденталните числа не лежи пред конструктивните. Теоретично казано, би било възможно да се индуцира трансцендентно число за допълнителна диагонална процедура, която се извършва върху ясен списък от десетки разширения на всички числа на алгебрата; Но подобна процедура беше спестена от всякакво практическо значение и нямаше да доведе до число, което може да бъде написано в десетия (или който и да е друг) дриб. Повечето от проблемите, свързани с трансценденталните числа, са свързани с доказването, че конкретни числа (тук са числата p и e, около div. 319-322) са трансцендентални.

**2. Теорема на Лиувил и конструиране на трансцендентни числа. Доказателството за основата на трансцендентните числа е дадено преди Кантор от Ж. Лиувил (1809–1862). Това ви позволява действително да конструирате примери за такива числа. Доказателството на Líouvil е по-важно, по-ниско от доказателството на Cantor и не е изненадващо, парчета за изграждане на дупе, възпалено изглеждащо, сгънато, по-ниско, за да донесе основата. Водещо по-надолу е доказателството на Лиувил, може би изглежда по-малко като обучен читател, който иска да разбере доказателството с достатъчно познания по елементарна математика.

Както показа Лиувил, ирационалните алгебрични числа имат тази сила, че не могат да бъдат апроксимирани с рационални числа с вече голяма степен на точност, просто не приемайте банерите на дроби, които те апроксимират, превъзходно големи.

Да приемем, че числото z удовлетворява уравнението на алгебрата с цели коефициенти

но не сте доволни от такова изравняване на по-ниското ниво. Тоди

изглежда, че самото x е числото на алгебрата от степен n. така, например,

числото z = 2 е числото на ниво 2 на алгебрата, така че нивото x2 − 2 = 0√ е удовлетворено от ниво 2, но не и нивото на първото ниво не е удовлетворено; числото z = 3 2 - стъпка 3, която е удовлетворена от x3 - 2 = 0, но не е удовлетворена (както показваме в раздел III) с долната стъпка. Алгебрично число на стъпка n > 1

не може да бъде рационално, тъй като рационалното число z = p q

удовлетворява нивото qx − p = 0 стъпка 1. Кожа ирационално число z може да бъде, с известна степен на точност, апроксимирано чрез допълнително рационално число; не означава, че винаги можете да посочите последователността от рационални числа

p1, p2,. . .

q 1 q 2

не е заобиколен от растящи знамена, че Володя Тим-

какво какво

p r → z. qr

Теоремата на Лиувил е потресаваща: ако нямаше номер на алгебра z на стъпка n > 1, тя не би могла да бъде по-близо до допълнителна рационална

за да завършите великите знаменосци obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Ние избираме да докажем теоремата и по-рано ще бъде показано как могат да бъдат получени трансцендентални числа за допълнителна помощ. Нека да погледнем числото

z = a1 10-1! + a2 10-2! + а3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai означава определени числа от 1 до 9 (би било по-лесно всички ai да бъдат равни на 1), а символът n! . . н. Характерната сила на десетото разширение на такова число е, че тези, които са групи, които бързо израстват зад своята дожина, нули се изтеглят в новия с отделни цифри, които изглеждат като нула. Значително през zm, краят на десетия dіb, който се урежда, ако всички членове са взети в оформлението до am · 10−m! включително. Тоди махни нервността

Да приемем, че z е номерът на алгебрата на стъпка n. Todi, уважавайки нервността на Líouville (3) pq = zm = 22:00! , виновни сме майки

|z - zm | > 10(n+1)m!

при високи стойности на m. Сравнение на оставащите неравности с нервността (4) да

звезди следват (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 за голямо m. Alece греши за стойности на m по-големи от n (нека читателят се опита да даде подробно доказателство за това твърдение). Ние направихме супер острота. Освен това числото z е трансцендентално.

Остава да завършим теоремата на Лиувил. Да приемем, че z е номерът на алгебрата от степен n > 1, която удовлетворява уравнението (1), така че

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Справяне с обидни части на zm − z и коринг с алгебрична формула

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

приемаме:

Тъй като zm е правилното z, тогава, когато достигнете голямото m, рационално е числото zm да се вземе под внимание z по-малко с единица. Следователно, за дозиране на големи m, можете да спечелите такава груба оценка:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

освен това, за да бъде дясна ръка, числото M е постоянно, парчетата z не се променят по време на процеса на доказване. Vibero сега е страхотен паркет, шоб

дроб z m = p m стандарт q m по-високо, по-ниско М; също qm

така че също така беше възможно да се види множителят (x − zm ) от полинома f(x), i, също, z беше удовлетворен от нивото на долното долно n. Otzhe, f(zm) 6= 0. Цифрата в дясната част на равенството (9) По такъв начин, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) и (9) vyplyaє nerіvnіst

все още склад zmіst zaznachenї теорема.

С участък от няколко оставащи десетилетия възможността за приближаване на алгебрични числа чрез рационални се проправи далеч в далечината. Например норвежкият математик А. Тю (1863–1922) открива, че неравномерността на Лиувил (3) може да има показател n + 1, заменен с по-малък показател n 2 + 1.

Сийгъл показва, че можете да вземете дори по-малки (по-малки

с по-голям n) показател 2 n.

Трансценденталните числа винаги са били тема, тъй като те са приковавали уважението на математиците към себе си. Але, до последния час на средата на деня, като tsíkavі от мощни сили, нямаше много такива, трансценденталната природа на такова було беше инсталирана. (Поради трансцендентността на числото p, както се случва в раздел III, невъзможността за квадратура на залога с помощта на линийка и пергел.) В речта си на Парижкия международен математически конгрес 1900 r. Дейвид Хилбърт пее тридесет математически

проблеми, които позволяват проста формула, deyakі - navіt zovsіm елементарен и по-популярен, по някаква причина не само не беше vilіshena, но navіtі не беше дадено от сградата, но разрешено от математиците от tієї ера. Qi „Проблемите на Хилберт“ даде силен сигнал за събуждане на развитието на математиката през следващия период. Майже всички миризми бяха разрешени стъпка по стъпка, а в богатите случаи тяхното виришение се дължеше на ясно проявени успехи в смисъл на по-скандални и бързи методи. Един от проблемите, с които безнадеждният се осмели да се справи

доказателство, че броят

е трансцендентален (chi wanta b ирационален). В продължение на три десетилетия не беше възможно да се окаже натиск върху такъв pidhіd да се храни от страна на някой друг, което стимулира надеждата за успех. Зрештою, Зигел и независимо от тях младият руски математик А. Гелфонд откриха нови методи за доказване на трансцендентността на богатството

числа, което може да означава значението на математиката. Zokrema, Bulo вмъкна

трансцендентност като число на Хилберт 2 2 и th цяло число до голям клас числа от формата ab, където a е алгебрично число, правило е 0 и 1 и b е ирационално алгебрично число.

ДОПЪЛНЕНИЕ КЪМ РАЗДИЛУ II

Алгебра на кратните

1. Гореща теория. Концепцията за клас, съкупност, чи безлични обекти - една от най-фундаменталните в математиката. Безличното означава дяко сила ("атрибут") A, която е по вина на майката или не на майката на кожните анализи на обекта; тези обекти, както може да са сила А, установяват безличността на А. Така че, доколкото можем да видим числата, тази сила на А е, за да „прости“, тогава безличността на А е съставена от обичайното просто числа 2, 3, 5, 7, . . .

Математическа теорияумноженията произтичат от факта, че е възможно да се установят нови множители за допълнителни операции (подобно на факта, че нови числа се появяват от числа за допълнителна операция на сгъване на този множител). Vyvchennya операции върху умножения, за да се превърне в предмет на "множествена алгебра", тъй като може да бъде богато съгласувана с голяма числена алгебра, като иска да види защо и в нея. Фактът, че методите на алгебрата могат да бъдат разпределени до точката на включване на нечислови обекти, като безлични, илю-

поток от голямо сближаване на идеите на съвременната математика. В останалата част от часа беше ясно, че алгебрата на умноженията хвърля нова светлина върху богатата магия на математиката, например теорията за света и теорията за въображаемите неща; vona korisna също е pіd час на систематизация математика разбирамче z'yasuvanní техните логически zv'yazkіv.

Надал имам предвид deak на postiynu безлични обекти, естеството на такъв baiduzh и както можем да го наречем универсална безличност (или вселената на mirkuvannya), и

A, B, C, . . . Ако I е множеството на всички естествени числа, тогава A, да речем, може да означава липсата на всички двойки числа, B - липсата на всички несдвоени числа, C - липсата на всички прости числа и т.н. , тогава A може да бъде безпредметна точка в средата на този залог, B - безцелна точка в средата на друг залог и т.н. Мета, сякаш следва такова парче разширение, се кълне в запазването на тази позиция, че силата на кожата на А показва много елементи от I, които ще водят силата на силата. Във времена, тъй като A е универсално vykonuvan авторитет, дупето на което можете да служите (както можете да намерите за числата) авторитетът удовлетворява тривиалната еквивалентност x = x, тогава в случай на множител аз ще бъда самият аз, елементът на кожата може да има такива правомощия; от друга страна, като A є като вътрешна свръхмощна сила (на kshtalt x 6 \u003d x), тогава не е необходимо да отмъщавате на елементите, това е „празно“ и се обозначава със символ.

Изглежда, че множителят A е подмножителят на множителя B, накратко, „A влиза в B“ или „B отмъщава на A“, тъй като множителят A няма такъв елемент, който не е същият като множителя б.

A B или B A.

Например безличното A на всички цели числа, което се дели на 10, е кратното на безличното B на всички цели числа, което се дели на 5, така че числото на кожата, което се дели на 10, също се дели на 5. A B не включва B A. maє mіsce i te y іnshe, тогава

Tse означава, че елементът на кожата A е в същото време елементът B, и обратно, така че умножете A и B, за да замените същите елементи.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny богати на какво предполагам spіvіdnoshennia a 6 b mizh числа. Зокрема, явно проследено

издухване на силата на това spіvvіdnoshennia:

1) А А.

2) Ако AB и BA, тогава A = B.

3) Като A B и B C, след това A C.

Поради причини за spіvvіdnoshennia AB понякога се наричат ​​"по поръчка". Golovna Vidmіnniy Анализиран SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b мини в числата на Полега в едно, братовчедът на кравата на броя на числата a і b не е резерв, аналогично твърдение е погрешно. Например, че А е безлично, което е съставено от числата 1, 2, 3,

и B е множител, който се събира от числата 2, 3, 4,

тогава няма време за A B, или B A. Няма причини да се каже, че A, B, C, . . . множители I е „частично подредени“, същите като ефективните числа a, b, c, . . .

установете "напълно подреден" ред.

С уважение, между другото, че няма разлика между A и B, че ако няма множител на A, множител на I,

Сила 4) може да е донякъде парадоксална, но ако се замислите, тя логично е подчинена на точната смяна на определения знак. Вярно, spіvvіdnoshnya A беше счупен само

в на онази падка, като празна, много елементи изместиха елемента, който не отмъсти b A; но така, като празно безлично, не отмъщавайте на елементите, тогава не можете да бъдете, ако не беше А.

Сега сме важни две операции върху умноженията, които формално позволяват на богатите алгебрични авторитети да добавят тази множественост на числата, които искат за тяхното вътрешно zmіsto zovsіm vіdminnі víd tsikh аритметика diy. Нека A и B са два множителя. Под термините или "логическата сума" А и Б разбират безличното, което е съставено от тихи елементи, които се намират в А или

в B (включително и онези елементи, които могат да бъдат намерени в A и B). Този множител се означава с A + B. 1 Под „перетина“ или „логическо създаване“ А и Б се разбират безлични, които са съставени от тихи елементи, които могат да бъдат намерени в А и В. Този множител е обозначен с AB.2

Сред важните правомощия на алгебрата на операциите A + B и AB, офанзивата е преодоляна. Читателят може да обърне справедливостта в зависимост от целта на самите операции:

Повторната проверка на всички тези закони е най-простата логика вдясно. Например, правило 10) гласи, че елементите са безлични, че или А, или А, или безлично А; правило 12), което гласи, че безличните елементи, ако са в A и в същото време са или B, или C, са безлични елементи, ако са или в A и B, или в A и C, използвани при доказване на подобен вид правила, ръчно илюстрирани, сякаш можем да си представим безличните A, B, C, . . . при вида на такива фигури на площада, ние ще бъдем по-уважителни в това отношение, за да не пропуснем логическите възможности, ако става дума за наличието на основните елементи на две множества или, напротив, наличието на един набор от елементи, ако не се намери в другия.

Читателят без съмнение е загубил уважение към тези, чиито закони 6), 7), 8), 9) и 12) се наричат ​​еднакви с добре познатите комутативни, асоциативни и разпределителни закони на звуковата алгебра. Zvіdsi viplivaê, scho tse правила zvichaynoї алгебра, yakí z tsikh закони, ефективни в алгебрата на множествата. Навпаки, закони 10), 11) и 13) няма аналози на оригиналната алгебра и те придават на алгебрата много проста структура. Например биномната формула в алгебрата на умноженията може да се сведе до най-простото равенство

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

като закон 11). Закони 14), 15) и 17), за да говорим за тези, че степента на множественото I по отношение на числото преди операцията за добавяне на това число е подобна на степента на числата 0 и 1 по отношение на члена преди работа с числови числа и добавяне на това множествено число. Ale law 16) няма аналог в числовата алгебра.

Остава да се даде още една операция в алгебрата на множествата. Нека A е субмножителят на универсалния множител I. Така че под добавката A в I може да се разбере безличното на всички елементи на I, ако не и в A. За множителя въвеждаме стойността A0. Така че, ако I е безлично от всички естествени числа и A е безлично от всички прости числа, тогава A0 е безлично, което се събира от всички складови номера и числото 1. авторитет:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Повторна проверка на тези правомощия аз повторно nadaemo chitachev.

Закони 1)-26) са в основата на алгебрата на множествата. Вонята на чудотворната сила на "двойствеността" в обидното усещане:

Като в един от законите 1)–26) замени едно с едно

(за дермалния вход), тогава в резултат един от тези закони се появява отново. Например закон 6) се трансформира в закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) справедливо. пъпка. , "Двийна" їта теорема, която излиза от първата за допълнителни значения на пермутации на символи. Вярно, парченца доказателство

Цел. II АЛГЕБРА МНОЖИН 139

първата теорема се състои от последователна стагнация (на различни етапи от съгласуването, което трябва да се извърши) на законите 1–26), тогава стагнацията на крайните етапи на „двата“ закона в склада е доказателството за „ двойна” теорема. (Поради стремежа към такава „двойност” в геометрията на div. Раздел IV.)

2. Zastosuvannya математическа логика. Повторната проверка на законите на алгебрата на умноженията се основава на анализа на логическия смисъл на разделянето A B и операциите A + B, AB и A0. Сега можем да обърнем този процес и да разгледаме законите 1)–26) като основа за „алгебрата на логиката“. Казано по-точно: тази част от логиката, тъй като има много, или, всъщност, същите, мощностите на обектите, които се разглеждат, могат да бъдат сведени до формална алгебрична система, основана на законите 1) –26). Логическото "умно всезнание" означава безличния Аз; кожна сила А означава безлично А, което е съставено от тихи обекти I, както може да бъде сила. Правила за превод на най-логичната терминология на език

От гледна точка на алгебрата има силогизъм "Барбара", което означава "за всяко A є B и за всяко B є C, след това за всяко A є C", изглежда просто:

3) Ако AB и BC, тогава AC.

По същия начин „законът за съпротивлението“, който потвърждава, че „един обект не може едновременно да води и не може да води такава сила“, се записва от зрителя:

20) AA 0 = ,

а „законът на включената трета“, което ще рече, че „предметът е виновен за майката, но не майката за дякона на властта“, е записано:

19) A+A0=I.

По този начин тази част от логиката, както се вижда от гледна точка на символи, +, · и 0, може да се тълкува като формална система от алгебра, съгласно законите на 1)–26). Въз основа на логически анализ на математиката и математически анализна логиката се създава нова дисциплина - математическата логика, като никоя от тях не порицава процеса на бурно развитие.

От аксиоматична гледна точка, поради зачитането на този чудотворен факт, който се потвърждава от 1)-26), заедно с други теореми на алгебрата на множествата, може логично да се види от следващите три равенства:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Очевидно е, че алгебрата на умноженията може да бъде мотивирана като дедуктивна теория, на базата на евклидовата геометрия, на базата на тези три позиции, които се приемат като аксиоми. Както е аксиоматично прието, тогава операцията AB и предложението A B са дефинирани по отношение на A + B и A0:

Друг пример за математическа система, в която се използват всички формални закони на алгебрата на множителите, е дадена от система от осем числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: тук a + b означава ,

най-високото, най-ниското кратно на a і b, ab - най-високият dilnik a і b, a b - твърдост "b е разделена на a" и a0 - числото 30 a. су-

Основата на такива приложения е причинила развитието на скандални алгебрични системи, които отговарят на законите 27). Такива системи се наричат ​​"булеви алгебри" - в чест на Джордж Бул (1815-1864), английски математик и логик, чиято книга "Изследване на законите на мисълта" се появява през 1854 г.

3. Една от спирките пред теорията за неподвижността. Алгебрата може да бъде много по-близо до теорията за неподвижността и ви позволява да я погледнете в нов свят. Нека да разгледаме най-простия пример: нека направим наш собствен експеримент от последния брой възможни nasledkiv, yakí всички мислят като "еднакво способни". Експериментът може да се състои например в това, че можем да изтеглим карта от ново тесте, което е добре разбъркано. Ако множителят на всички резултати от експеримента е значим чрез I и A означава, че е субмножител на I, тогава възможността резултатът от експеримента да изглежда да отговаря на субмножителя на A се означава като разширение

p(A) = брой елементи в A. брой елементи в I

Ако мислим за броя на елементите във всеки множител A като n(A), тогава останалата част от равенството може да бъде дадена, като се разгледа

Идеите за алгебрата на множествените числа се появяват, когато се изчисляват възможностите на същото, ако е възможно, знаейки недвижимостта на някои множествени числа, да се преброи немотивността на други. Например, знаейки динамиката на p(A), p(B) и p(AB), можем да изчислим динамиката на p(A + B):

Няма значение да го донесете. Mi maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

фрагменти от елементи, които могат да бъдат заети едновременно в A и B, тогава елементите на AB се вземат предвид при броенето на сумата n(A) + n(B) и следователно е необходимо да се вземе n(AB ) от сумата на n(A + B) буквата за деление е правилна. Нека оставим нарушителите обидени от част от еквивалентността на n(I), ще отнемем спонтанността (2).

Cіkavіsha формула да излезе, така че има около три множителя A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) от предходния параграф ни дава (A + B) C = AC + BC. Звуците крещят:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Замествайки в предходния ред стойността на p[(A + B)C] и стойността на p(A + B), взети от (2), стигаме до необходимата формула:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Подобно на дупе, можем да гледаме на офанзивен експеримент. Три числа 1, 2, 3 са написани в произволен ред. Какъв е смисълът на факта, че една от цифрите е прието да се основава на горното (в сенси номерирането) пространство? Нека A е безлична пермутация, за която числото 1 трябва да струва първото място, B - безлична пермутация, за която числото 2 трябва да струва друго място, C - безлична пермутация, за която числото 3 трябва да струва третото място . Трябва да изчислим p(A+B+C). осъзнах че

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

ефективно, сякаш фигурата стои на правилното място, тогава има две възможности за пренареждане на решението на две цифри от главното число 3 2 1 = 6 възможни пермутации на три цифри. Дали,

вярно Въведете правилна формула за p(A + B + C + D) и изчакайте до експеримента, който включва 4 цифри. Vidpovidna umovirnіst dorívnyuє 58 = 0,6250.

Може да изглежда обща формула за комбиниране на n умножения

комбинации за отмъщение едно, две, три, . . . , (n − 1) буква от числото A1 , A2 , . . .

ан. Тази формула може да бъде вмъкната след допълнителна математическа индукция - точно както формула (3) е въведена от формула (2).

От формулата (4) е възможно да се добавят ивици, така че да има n цифри 1, 2, 3, . . . n написано в произволен ред, тогава способността да се приеме една от цифрите да се опре на подходящо място е повече

освен това, преди оставащия член има знак + или −, извикващ тези, които са сдвоени и несдвоени. Zocrema, за n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

В VIII раздел бихме искали да знаем, че ако няма несъвместимост, вираз

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

прагне между 1 е, чието значение, с пет знака след Коми,

едно 0,36788. От формулата (5) е ясно, че pn = 1 − Sn, тогава звездата е ясна, че за n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Думата "трансцендентален" се свързва с трансцендентална медитация и различни видове езотерика. Но за да живеем йога правилно, е необходимо като минимум да преразгледаме йога от гледна точка на термина "трансцендентален", и като максимум - да отгатнем ролята на йога в роботите на Кант и други философи.

Tse е разбираемо да прилича на латинското transcendens - "преминавам", "пресичам", "преминавам отвъд". Като цяло вината означават тези, които са недостъпни за емпирично познание или основани на доказателства. Преосмислете термина viniklische философия на неоплатонизма - основателят директно Плотин, като направи vchennya за Единствения - вседобрия pershopochka, тъй като е невъзможно да се разпознаят мислите с помощта на ума, без помощта на чувствителен ум. „Един не съществува, а бащата Його” – обяснява философът.

Най-новият термин „трансцендентален“ е разработен във философията на Имануел Кант, който се използва за характеризиране, ясно необходимо за знанието и как да почувстваме, че телата ни са чувствителни, оставайки по принцип неузнаваеми, както на практика, така и на теория. Пролиферация на трансцендентност - : означава или невидимост, вътрешна връзка, независимо дали обектът е със самия обект, или разпознаването на обекта на специален сертификат. Например, нека приемем, че Всесветът на творенията, стоящ зад една велика идея, се е смятал за трансцендентен за нас - можем само да правим хипотези за новото. И все пак, както си го представях, това е вярно и последствията за нас са иманентни, влияят върху физическите закони и условия, които можем да консумираме. Следователно, в някои теологични концепции, Бог е трансцендентен и perebuvaet поза, създадена от него задници.

Действителните речи все още са достъпни за априорно знание: например пространство и време, идеи за Бог, добро и красота, логически категории. Tobto трансцендентални обекти - tse, образно изглеждащи, "зад линията, зададена" в нашия ум

Твърдението за трансценденталната природа в математиката: трансценденталното число е число, което не може да бъде изчислено с помощта на допълнителна алгебра или алгебрично (тоест не може да бъде корен на богат член с множество коефициенти, който не е същият като нула). Преди тях въведете, например, числата π і e.

Разбиране, близко до „трансцендентално“, и дори отвъд значенията – „трансцендентално“. На гърба това означаваше просто областта на абстрактните категории на rozum и до края на годината, след като повдигна Кант, като пиеше паста от vlasnu: беше невъзможно да се индуцира философската система само върху емпирични данни, но беше невъзможно е да се разпознаят старите на други хора, престъплението на емпириите, без да се познава виното. За да се обърнат, философите имаха възможност да признаят, че някои речи все още са достъпни за априорно знание: например пространство и време, идеи за Бог, добро и красота, логически категории. Че трансценденталните обекти - tse, образно изглеждащи, "преди да бъдат поставени зад ума" в нашите умове - с които информацията за тях е очевидна и не се извлича от нашите знания.

Има още едно спорно разбиране - трансцендентността. В широк смисъл думата "воно" означава прехода към кордона между два различни региона, особено прехода от сферата на този свят към сферата на бъдещето, трансцендентното. За простота, нека вземем пример от научната фантастика: паралелен свят за страхотни хора- трансцендентално проявление. Но ако героят пиеше на паралелната си светлина, изглежда, че рангът се проявява чрез изграждането на йога сприймати, це трансцендентност. По-сгъваем пример за екзистенциална философия: Жан-Пол Сартр, след като е осъзнал, че човек е трансцендентен, парчетата няма да излязат отвъд границите на всяка възможна мокра истина: ние можем навколишний свитот различни страни, но във всеки случай не можем да се доближим до пълното разпознаване на себе си. Но, човек веднага може да се изгради до трансцендентност: той трансцендира независимо дали е река, придавайки й смисъл. Трансцендентността е важен елемент в религията: тя помага на хората да растат в материалната си природа и да достигнат нещо чуждо.

От философията понятието трансценденталност е мигрирало към психологията: швейцарският психолог Карл Юнг е разработил понятието „трансцендентална функция“ - същата функция, която върви заедно с тази неразбираемост. Zocrema, трансценденталната функция може да бъде преодоляна от психоаналитик - помогнете на пациента да анализира образите на невидимото (например сънуване) и да ги покаже веднага от собствените си психични процеси.

Як говори

Неправилно "Записах се за курс по трансцендентална медитация." Точно така – „трансцендентално“.

Точно така, „Когато отида в храма, гледам нещо трансцендентно“.

Правилно, "Изкуството на трансцендентността ни познава обекти от материалния свят, напомнящи за тях с най-голяма светлина."

Иля Щуров

Математикът Илия Шчуров за десетките дроби, трансцендентността и ирационалността на числото Пи.

Как „самотата“ помогна да се вдъхнови първото място и тази велика империя? Как взривихте умовете на хората? Каква роля изигра тя за появата на стотинки? Як "едно", обединено с нула, да управлява модерен свят? Историята на необвързаността е неразривно свързана с историята на европейската цивилизация. Тери Джоунс е вирусхая по хумористичен начин по-скъпо с метода на събиране на чудесната история на нашия най-прост номер. За помощта на компютърната графика в тази програма човек оживява в различни форми. От историята на самотата стана ясно, че звездите се появиха днес и подобно на грешките на нулата, врятуваха в светлината на необходимостта да победят римските цифри.

Жак Сезиано

Ние знаем малко за Диофант. Е, Вин е жив при Александрия. Никой от гръцките математици не го е разбрал до 4-ти век, защото това, ymovirno, е живо в средата на 3-ти век. Главата на робота на Диофант, „Аритметика“ (Ἀριθμητικά), беше взета на кочана от 13 „книги“ (βιβλία), за да бъде разделена. Днес може да имаме 10 от тях, а сами по себе си: 6 за гръцкия текст и 4 други за средния арабски превод и няколко за средата на гръцките книги: книги I-III на гръцки, IV-VII на арабски, VIII-X на гръцки. "Аритметиката" на Диофант е предсрочна, само близо 260. Теории, привидно верни, нищо; Няма повече общи инструкции в началото на книгата и повече лично уважение към други директори, ако е необходимо. „Аритметика“ вече прилича на алгебричен трактат. Диофант на кочана различни знаци, schob vyslovlyuvati nevidome че yogo стъпка, също deakі смятане; като всички алгебрични символи на средата, неговата символика прилича на математически думи. След това Диофант обяснява как да реши задачата с помощта на метода на алгебрата. Но задачата на Диофант не е алгебрична за първичния смисъл, така че всичко да се сведе до висотата на неопределеното равенство или системи от такива равенства.

Георги Шабат

Програма на курса: История. Първи оценки. Проблемът с консистенцията на кол с нейния диаметър. Neskíchennі редове, създайте, че иnshі vrazi за π. Zbіzhnist и я yakіst. Virazi, какво да отмъсти π. Последователности, които се събират бързо до π. Съвременни методиизчисляване на π, брой компютри. За ирационалността и трансцендентността на π и други числа. Предварителни знания не са необходими за курса.

Служители от Оксфордския университет казаха, че ранните въведения на числото 0 за обозначаване на броя дни подред (както в числото 101) трябва да включват текста на индийския ръкопис на Бакшали.

Васил Писпанен

Кой не е гравиран от деца в групата "назовете най-голямото число"? Милиони, трилиони и други "-те" могат да се видят в мислите вече гладко, но ние ще се опитаме да разберем "мастодонта" в математиката - числото на Греъм.

Виктор Клепцин

Правилното число може да се апроксимира точно чрез рационални. И ако любезно го направим, можем ли да се доближим един до друг - съгласувано ли е с йога сгъването? Например счупване десети записчисла х на k-та цифраслед това отнемаме близостта x≈a/10^k с извинение от порядъка на 1/10^k. Аз vzagali, след като фиксирам банера q във фракцията, която се приближава, определено можем да вземем подхода с извинение от порядъка 1/q. И какво можете да направите по-добре? Знаейки на всички, близостта π≈22/7 дава прошка от порядъка на 1/1000 - това е очевидно по-добро, по-ниско може да бъде коригирано. Защо? Бяхме пощадени, защо π е толкова близо до є? Оказва се, че за всяко ирационално число е безлични дроби p / q, което е по-близо до него, по-ниско 1 / q ^ 2. Tseverzhuє теоремата на Дирихле - и ми pochnemo разбира се из нейното troha нестандартно доказателство.

През 1980 г. Книгата на рекордите на Гинес повтори твърденията на Гарднър, като допълнително засили обществения интерес до тази цифра. Номерът на Греъм в името на броя пъти повече, по-нисък иначе добър в къщата страхотни числа, така че като googol, googolplex и navit more, по-ниско число на Skewes и число на Moser. Всъщност целият свят е твърде малък, за да може някой да вземе собствения си десети рекорд от числото на Греъм.

Дмитро Аносов

Лекции чете Аносов Дмитро Викторович, доктор на физико-математическите науки, професор, академик на Руската академия на науките. Лятно училище "Модерна математика", Дубна. 16-18 април 2002 г

Не е възможно да се реагира правилно на хранителната верига, фрагменти числова серияне maє горна граница. Така че до определено число е достатъчно да добавите още едно, за да вземете още повече число. Въпреки че самите числа не са ограничени, имената им не са толкова богати и богати, така че повечето от тях се задоволяват с имена, които се събират от по-малки числа. Разбрах, че в крайния набор от числа, които хората са натрупали за мощните си имена, те могат да бъдат най-много. Но как се нарича и защо е равно? Хайде, нека се опитаме да го разберем по някакъв начин и да разпознаем инфекцията, математиците са измислили страхотни числа.

Номерът се нарича алгебричен yakscho това е коренът на един деаки богат термин с много коефициенти

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(т.е. коренът на равно a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, де a n, n-1, ..., а 1, а 0--- числа, n 1, а 0).

Безлично алгебрично число по смисъл е буква .

Лесно е да се види дали едно рационално число е алгебрично. Вярно, - коренът на реката qx-p=0с много коефициенти a 1 =qі a 0 =-p. Отже, .

Не всички алгебрични числа обаче са рационални: например числото е коренът на равенството х 2 -2 = 0, отже, --- алгебричниномер.

Старият час беше оставен недокоснат, важен за храненето по математика: ? По-малко от 1844 г. съдбата на Лиувил за първи път навив пример за трансцендентално (tobto. неалгебрично) число.

На първия ден от месеца доказателството за неговата трансцендентност е още по-сгъваемо. Възможно е да се приведе теоремата на базата на трансцендентни числа по значително по-опростен начин, като се посочи еквивалентността и нееквивалентността на числените умножения.

И само по себе си можем да докажем, че безличните алгебрични числа са Рахунков. Обаче фрагментите на всички реални числа не са равни, можем да зададем основата на неалгебрични числа.

Нека взаимно недвусмислено разграничим и с дузина . Це е смислено, шо - Добре е чи рахунково. Але оскилки , тогава нескиченно, отже, рахунково.

Айде - деяке номер на алгебра. Нека да разгледаме всички богати термини с броя на коефициентите, чийто корен е є, и да изберем средата на богатите термини Пминималната стъпка (така че няма да бъде коренът на същия богат член с целите коефициенти на по-малката стъпка).

Например за рационално число такъв полином може да има стъпка 1, а числата - стъпка 2.

Нека разделим всички коефициенти на богат член Пна най-големия им спящ човек. Отнемаме полинома, чийто коефициент е взаимно прост наведнъж (най-големият им траверса е 1). Зрештою, като ст. коеф a n víd'êmniy, ние умножаваме всички коефициенти на полинома по -1 .

Изваждането на богатия член (т.е. богатия член с най-високите коефициенти, чийто корен е числото, което може да бъде най-малката възможна стъпка, е взаимно прост коефициентът и положителният старши коефициент) се нарича минимално богат срок на номера.

Може да се докаже, че такъв полином е уникално зададен: номерът на кожата на алгебра може да бъде точно един минимален полином.

Броят на реалните корени на полином е не повече от долната стъпка. Освен това можете да номерирате (например за растеж) корените на такъв богат термин.

Сега, независимо дали е числото на алгебрата, то ще бъде разпознато по неговия минимален богат член (т.е. по набора от неговите коефициенти) и числото, което е различно от другите корени на полинома: (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k).

По-късно, за дермалното алгебрично число, задаваме разграничението на крайния набор от цели числа, освен това то е уникално последвано от този набор (така че различни набори се дават на различни числа).

Всички прости числа са номерирани по ред на растеж (няма значение да се покаже, че са твърде богати). Премахваме непростимата последователност (pk): p1=2,p2=3, р3=5, p4=7, ... Сега набор от цели числа (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k)можете да поставите u vіdpovidnіst tvіr

(Това число е по-положително и рационално, но не бъдете естествени, дори средните числа а 0, а 1, ..., n-1, може да е отрицателна). С уважение, че числото не е краткотрайно, шардовете са прости множители, които трябва да се въведат преди поставянето на номерната книга и банер, разлика. Също така си струва да се има предвид, че две некратки дроби с положителни числа и строфи са равни, дори ако са равни числа, те са равни строфи.

Сега нека го погледнем със зърно сол:

(a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) =

Oskílki различни числа на алгебрата имат различни набори от цели числа и различни набори --- различнорационални числа, тогава ние, в този ред, установихме взаимно недвусмислена валидност между множество и с дузина . Следователно безличните алгебрични числа са значими.

Части от безлични реални числа са неразличими, ние донесохме основата на неалгебричните числа.

Теоремата за разсъжденията обаче не показва как да се определи какво цяло числоалгебричен. А храненето понякога е важно за математиката.

трансцендентно число

число (dіysne abo yavne), което не се задоволява с никакво изравняване на алгебрата (Div. Algebraic equation) с много коефициенти. В този ранг T. h. се приписват на алгебрични числа. Іsnuvannya T. H. първо създава J. Liouville (1844). Правилната точка за Лиувил беше тата теорема, която гласи, че всеки ред на приближение на рационална дроб с даден стандарт до ирационалното алгебрично число не може да бъде достатъчно висок. Най-алгебричното число аудовлетворява нередуцираното равенство на алгебрата нс много коефициенти, след това за всяко рационално число само за депозиране α ). Следователно за дадено ирационално число α е възможно да се покажат безлични рационални приближения, които не отговарят на индукцията на неравномерност за всяко чі н(някои и тихи за всички близки), тогава α є Т. ч. Дупето на такъв номер е да:

R. Kantor (1874), като спомена, че безличността на всички алгебрични числа е различима (така че всички алгебрични числа могат да бъдат преномерирани; div. Теория на множествеността), тогава безличността на всички реални числа е неизменна. Прозвуча, че безличното Т. ч. е недиференцирано, а далече, че Т. з.

Най-важната задача на теорията на T. h. - tse z'yasuvannya, че чи е T. h. стойността на аналитичните функции, които могат да имат тези други аритметични аритметични правомощия с алгебрични стойности на аргумента. Задачата кое семейство стои пред най-важната задача на съвременната математика. У 1873 Ш.

През 1882 г. немският математик Ф. Линдеман взема по-значим резултат: тъй като α е числото на алгебрата, тогава дα - T. h. Резултатът на Липдеман беше значително влошен от немския математик К. Сигел (1930 г.), който доказва, например, трансцендентността на стойността на широк клас цилиндрични функции със стойностите на аргумента на алгебрата. През 1900 г., на математическия конгрес в Париж, Д. Хилберт, сред 23 неприкосновени проблеми на математиката, посочвайки офанзивата: чи е трансцендентно число α β , де α і β - алгебрични числа, освен това β - ирационално число, i, zokrema, chi е трансцендентно число e π α β bula за първи път в частна форма е поставена от L. Ойлер, 1744). Външната версия на проблема (в солиден смисъл) беше повече или по-малко взета под внимание през 1934 г. от А. О. Гелфонд. От твърдението на Гелфонд, zokrema, става ясно, че всички десетки логаритми на естествени числа (тоест „таблични логаритми“) са Т. ч. Методи на теорията Т. з.

Лит.:Гелфонд А. О., Трансцендентни и алгебрични числа, М., 1952 г.

Голяма радиянска енциклопедия. – М: Радиянска енциклопедия. 1969-1978 .

Чудете се на такова "трансцендентно число" в други речници:

Число, което не се задоволява с никакво равенство в алгебрата с произволен брой коефициенти. Трансцендентални числа є: число? 3.14159...; десетият логаритъм от всяко цяло число, което не е представено с единица с нули; число e = 2,71828 ... ta в ... Страхотен Енциклопедичен речник

- (лат. transcendere преминавам, обръщам) tse recheve abo комплексно число, което не е алгебрично, с други думи, число, което не може да бъде корен на богат член с много коефициенти. Zmist 1 Power 2 ... ... Wikipedia

Число, което не се задоволява с никакво равенство в алгебрата с произволен брой коефициенти. Трансцендентни числа є число π = 3.14159...; десетият логаритъм от всяко цяло число, което не е представено с единица с нули; число e = 2,71828... ta in. Енциклопедичен речник

Число, което не отговаря на същата алгебра. ur nіu с коефициенти qіlimi. Т. година. є: число ПІ = 3.14159...; десетият логаритъм от всяко цяло число, което не е представено с единица с нули; число e = 2,71828... ta in. Естествени науки. Енциклопедичен речник

Числото, което не е корен на същия богат член със същите коефициенти. Обхватът на такива числа е нулата на реални, комплексни и радиални числа. Inuvannya, която очевидно е подтикнала действието на T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Математическа енциклопедия

Равно, като не е алгебрично. Обадете се на ценовото подравняване, което може да бъде показано, логаритмични, тригонометрични, обратими тригонометрични функции, например: Suvorishe на обозначението като: Трансцендентално подравняване на целта ... Wikipedia

Числото, приблизително 2,718, често се използва в математиката и природните науки. Например, когато радиоактивната реч се повреди, след края на часа t, в края на периода на речта, се губи част, която е по-скъпа e kt, de k число, ... Енциклопедия на Collier

E е математическа константа, основа на естествения логаритъм, ирационално и трансцендентно число. С други думи, числото e се нарича число на Ойлер (не бъркайте с така наречените числа на Ойлер от първи род) или число на Напиер. Означава се с малката латинска буква "е".

E е математическа константа, основа на естествения логаритъм, ирационално и трансцендентно число. С други думи, числото e се нарича число на Ойлер (не бъркайте с така наречените числа на Ойлер от първи род) или число на Напиер. Означава се с малката латинска буква "е".