Системи от линейни линии. Елементарна трансформация на векторни системи. Стъпка по стъпка система от векторни системи

Назначаване 5. Елементарни трансформациисистемите от линейни подравнявания се наричат ​​нейните напредващи трансформации:

1) пермутация на две равни места или не;

2) умножаване на двете части на едно и също равно число;

3) добавяне към двете части на една равни части от втората равна, умножена по числото к;

(в същото време реките стават постоянни).

Нула е равнонаречен равен на обидния ум:

Теорема 1. Бъдете като последната последователност от елементарни трансформации и трансформацията на неделята на нулевото изравняване, за да преведе една система от линейни равенства еднакво силна и друга система от линейни равенства.

Привеждане.С поглед върху авторитета на 4-ти абзац, за да доведете теоремата до кожата за трансформация на okremo.

1. В случай на пермутация на ранговете на системата, самите рангове не се променят, така че системата е еднакво силна за назначенията.

2. По силата на първата част от доказателството е достатъчно да се приведе твърдостта за първото равенство. Умножавайки системата (1) по числото , вземаме системата

(2)

Хайде  система (1) . Същите числа удовлетворяват равенствата на системата (1). Тъй като oskílki всички равни на системата (2) на първия zbígayutsya с равните на системата (1), тогава числата отговарят на всички равни. Частите от числото отговарят на първото равенство на системата (1), може да бъде първото числово равенство:

Умножаване на його по число К, Взимаме правилното числово равенство:

Че. инсталиране, какво  система (2).

Назад, yakscho решение на системата (2), то числата удовлетворяват мустаците на системата (2). Oskílki всички равни на системата (1) на първия zbígayutsya с равните на системата (2), тогава числата отговарят на всички равни. Частите от числото удовлетворяват първото равенство на системата (2), тогава числовото равенство (4) е валидно. След като разделим обидите на числото, премахваме численото равенство (3) и заключаваме, че  отделяне на системата (1).

Zvídsi за назначения 4 система (1) е равна на система (2).

3. По силата на първата част от доказателството е достатъчно да се внесе твърдост за първата и другата равна система. Dodamo към двете части на първото подравняване на системата К, вземете системата

(5)

Хайде системно решение (1) . Същите числа удовлетворяват равенствата на системата (1). Тъй като числата на всички равни от системата (5) на първата се комбинират с равните от системата (1), то числата удовлетворяват всички равни. Частите от числото отговарят на първата еквивалентност на системата (1)

Добавяне на член по член към първото равенство на приятел, умножено по числото Квземаме правилно числово равенство.

§7. Линейни системи

Равни системи. Елементарна трансформация на системата от линейни линии.

Хайде У- поле комплексни числа. Равен на ума

де
, се наричат ​​линейни равни нневидомими
. Комплект за поръчка
,
наречени решения равни (1), като .

система млинеен ривнян з нсистемата се нарича равна на ума:

- Коефициенти на системата от линейни подравнения, - Безплатни членове.

Правоъгълна маса

,

наречена матрицата на света
. Нека въведем обозначението: - аз-Ред на матрицата,
- к-Ty stovpets матрица. Матрица НОповече означават
или
.

Предстоящата трансформация на редовете в матрицата НОсе наричат ​​елементарни:
) изключване на нулевия ред; ) умножение на всички елементи от всеки ред по число
; ) добавка към всеки ред от всеки друг ред, умножено по
. Подобни трансформации на колоните на матрицата НОсе наричат ​​елементарни трансформации на матрицата НО.

Първият ненулев елемент (по-важното отдясно) на всеки ред от матрицата НОсе нарича проводящ елемент на този ред.

Назначаване. матрица
се казва стъпка, като че ли са осветени така:

1) нулевите редове на матрицата (като смрад) са по-ниски от ненулевите;

2) якщо
след това провеждайте елементи от ред на матрица

Бъдете като ненулева матрица И в случай на обикновени елементарни трансформации, тя може да бъде намалена до стъпаловидна матрица.

дупето. Индуцируема матрица
към стъпковата матрица:
~
~
.

Матрица, сгъната със системни коефициенти линейни линии (2) се наричат ​​основна матрица на системата. Матрица
, Otriman, с допускането на свободните членове, се нарича разширената матрица на системата.

Подредбите на набора се наричат ​​решения на системата от линейни подравнявания (2), както и решенията на повърхностното линейно подравняване на системата.

Системата от линейни подравнявания се нарича кохерентна, защото може да бъде само едно решение и не е лудост, защото не може да бъде решена.

Системата от линейни подравнявания се нарича пеене, защото има само едно решение, което не е отбелязано, защото има повече от едно решение.

Предстоящата трансформация на системата от линейни подравнения се нарича елементарна:

) изключване от системата равно на ума;

) кратни на двете части, независимо дали е равно на
,
;

) добавяне към дали има друго равно, умножено по ,.

Две системи от линейни линии ннеизвестните се наричат ​​еднакво силни, защото вонята не е съгласувана, но много от техните решения са взети.

Теорема. Например, една система от линейни подравнявания е отнета от другите елементарни трансформации от типа ), ), ), тя е еднакво силна като визуална.

Ревизия на системата от линейни подравнения по метода на игнориране на неизвестното (по метода на Гаус).

Пуснете системата млинеен ривнян з н unwidomimi:

Като система (1) за отмъщение на ума

тогава системата не е кохерентна.

Да приемем, че системата (1) не е равна на формата (2). Нека системата (1) промени коефициента х 1 първо е равно
(ако не е така, тогава чрез пренареждане на равни места не е възможно да се стигне до какво, така че не всички коефициенти при х 1 е равно на нула). Застосуемо към системата от линейни линии (1) напредващи ланцети на елементарни трансформации:

, Dodamo на друго ниво;

Първо равно, умножено по
, Dodamo до трето ниво и така нататък;

Първо равно, умножено по
dodamo към останалата част от системата.

В резултат на това отнемаме системата от линейни подравнения (дадохме най-късия SLN за системата от линейни подравнявания), равна на силата на системата (1). Може да разберете, че в другата система е равно на числото аз, аз 2, не отмъщавайте на неизвестните х 2. Хайде ктака най-малко естествено число, какво не се знае х кИскам да си отмъстя в един равен брой аз, аз 2. Todi otrimana система rivnyan maê vyglyad:

Система (3) е равна на система (1). Застосуемо сега към подсистемата
системи за линейни подравнявания (3) микроскопия, които бяха посочени на SLN (1). И досега. В резултат на този процес идва до един от двата резултата.

1. Отнемаме SLU, което е равно на ума (2). И тук SLE (1) е непоследователен.

2. Елементарни трансформации, стазис до SLN (1), не водят до система, която отмъщава за външния вид (2). При tsomu vipadku SLP (1) чрез елементарни трансформации
посочете системата, равна на ума:

(4)

де, 1< к < л < . . .< с,

Системата от линейни подравнявания във формата (4) се нарича стъпаловидна. Тук можете да имате две падания.

а) r= нтогава системата (4) може да изглежда

(5)

Система (5) има само едно решение. Отново системата (1) може да бъде решена само.

Б) r< н. Чийто ум няма дом
в система (4) те се наричат ​​глави недоминиращи, иначе недоминиращи в тази система - свободни (шест номер едно н- r). Nadamo доста числови стойности не са необходими, дори SLU (4) matime изглежда по същия начин като системата (5). От него заглавията са недвусмислени. В този ранг системата може да бъде разрешена, така че е последователна. Oskílki vіlnim nevidomim даде доста числена стойност У, тогава системата (4) е недефинирана. Отново системата (1) е недефинирана. Viraziv в SLN (4) smut nevidomі чрез vílnі nevidomі, otrimaemo система, която се нарича най-дивите решения на системата (1).

дупето. Развържете системата от линейни подравнения по метода Ж Aussa

Пишем разширената матрица на системата от линейни подравнявания и след помощта на елементарни трансформации на редове я довеждаме до стъпаловидна матрица:

~

~
~
~

~ . Като пропуснем матрицата, можем да намерим система от линейни подравнявания:
Tsya система е равна на външната система. Като глава на непознатото
vіlnі nevіdomі. Между другото, главата на неизвестното е само през дивата неизвестност:

Отнехме пълното решение на SLN. Пусни ме

(5, 0, -5, 0, 1) е частно решение за SLP.

Задача за самостоятелно виждане

1. За да знаете глобалното решение и още едно решение на равна система чрез метода на изключване на неизвестното:

1)
2)

4)
6)

2. Знайте за различни стойностипараметър аглобално решение на системата от реки:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§осем. Векторни пространства

Концепция за векторно пространство. Най-простата власт.

Хайде V ≠ Ø, ( Е, +,∙) – поле. Елементите на полето се наричат ​​скалари.

Ферментация φ : Е× V –> Vсе нарича операция на умножаване елементи на умножаване Vна скалари от полето Е. Значително φ (λ,a) през λа twir елемент акъм скалар λ .

Назначаване.Безлич Vот дадена алгебрична операция чрез добавяне на елементи в множител Vче множество елементи Vна скалари от полето Есе нарича векторно пространство над полето F, което означава следните аксиоми:

дупето. Хайде Еполе, Е н = {(а 1 , а 2 , … , а н) | а аз Е (аз=)). Кожен елемент множество Е нНаречен н- прост аритметичен вектор. Нека представим операцията добавяне н-мирни вектори и умножение н-световен вектор за скаларно z поле Е. Хайде
. Да го направим = ( а 1 + b 1 , … , а н + b н), = (λ а 1, λ а 2 , … , λ а н). Безлич Е n където въвеждането на операции е векторно пространство и се нарича н-просто аритметично векторно пространство над полето Е.

Хайде V- векторно пространствонад полето Е, ,
. Има такива характеристики:

1)
;

3)
;

4)
;

Доказателство за издръжливост 3.

Z от ревност към закона на бързата група ( V,+) може би
.

Линеен угар, независимост на векторните системи.

Хайде V- Векторно пространство над полето Е,

. Вектор се нарича линейна комбинация от система от вектори
. Анонимност на всички линейни комбинации на векторната система се нарича линейна обвивка tsієyu система vektorіv и познаєєєєyu.

Назначаване.Системата от вектори се нарича линейна угар, тъй като се използват такива скалари
не всички са равни на нула, така че

Как еквивалентността (1) е побеждаваща или по-малко от това, ако λ 1 = λ 2 = … = =λ м=0, системата от вектори се нарича линейно независима.

дупето. Chi z'yasuvati chi е система от вектори = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) пространство R 3 линеен угар или независим.

Решение.Нека λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – системно решение. Otzhe, векторната система е линейно независима.

Доминирането на линейната заблуда и независимостта на векторната система.

1. Системата от вектори, която иска да отмъсти за един нулев вектор, е линейно угар.

2. Система от вектори за отмъщение за линейна угар подсистема, линейна угар.

3. Система от вектори, де
е линейно угар дори и само веднъж, ако искате един вектор на системата, един вектор, е линейна комбинация от вектори напред.

4. Като система от вектори е линейно независима, но система от вектори
линейно угар, след това векторът можете да разгледате линейна комбинация от вектори и до същия ранг.

Привеждане.Ако векторната система е линейно угар, тогава
не всички са равни на нула, така че

Във векторна еквивалентност (2) λ м+1 ≠ 0 λ м+1 \u003d 0, след това s (2) \u003d\u003e Виждаме, че системата от вектори е линейно угар, фрагменти λ 1 , λ 2 , … , λ мне всички са равни на нула. Дойдоха да си изтрият акъла. Z (1) => de
.

Нека векторът да бъде показан по същия начин, както го виждате: Todo с векторно равенство
чрез линейната независимост на векторната система можем да видим това
1 = β 1 , …, м = β м .

5. Дайте данни на две системи от вектори и
, м>к. Ако векторът на векторната система може да се комбинира като линейна комбинация от векторната система, тогава векторната система е линейно угар.

Базис, ранг на системата от вектори.

Векторна система Кинцева в космоса Vнад полето Е смислено чрез С.

Назначаване.Бе-яка линейно независима подсистема на векторната система Ссе нарича основа на системата от вектори С yakscho be-yaky векторна система Сможете да разгледате линейната комбинация на векторната система.

дупето.Намерете основата на системата от вектори = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Системата от вектори, линейно независими, oskílki, vídpovіdno to Dominion 5 системата от вектори беше премахната от системата от вектори допълнителна помощ Основиелектромеханотроника: началендопълнителна помощ фондацияелектроинженерство"; ...

Преди елементарните трансформации се вижда:

1) Добавка към двете части на едната равни части на другата, умножена по едно и също число, което не е равно на нула.

2) Пермутация на равните на мисиите.

3).

ТЕОРЕМА НА КРОНЕКЕР - КАПЕЛИ

(Целостта на системата Umova)

(Леополд Кронекер (1823–1891) немски математик)

Теорема: Системата е разделена (може да иска едно решение) или по-малко, ако рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица.

Очевидно системата (1) може да бъде записана като:

x 1 + x 2 + … + x n

Привеждане.

1) Ако решението е взето, тогава колоната на свободните членове е линейна комбинация от колоните на матрицата A, която също се добавя към матрицата, т.е. преходът А®А* не променя ранга.

2) Yakshcho RgA = RgA * , това означава, че вонята може да бъде в същия основен минор. Stovpets vílnyh termіnі - линейна комбинация от stovptsіv базова незначителна, tі правилна нотация, заострена по-високо.

дупето.Изчислете съгласуваността на системата от линейни подравнения:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Системата е безумна.

дупето.Определете сумата на системата от линейни подравнения.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система за сън. Решение: x1 = 1; х2 = 1/2.

2.6 МЕТОД НА ГАУС

(Карл Фридрих Гаус (1777-1855) немски математик)

На базата на матричния метод и метода на Крамер, методът на Гаус може да се преобразува в системи от линейни подравнявания от голям брой подравнявания и неизвестни. Същността на метода се основава на последващо включване на недомашни пациенти.

Нека да разгледаме системата от линейни подравнявания:

Нека разделим обидните части на 1-вата равна на 11 ¹ 0, тогава:

1) умножете по 21, виждам от друго равно

2) умножете по 31 i виждам от третото равно

, де d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

дупето.Разкрийте системата от линейни линии по метода на Гаус.

, Звездите са приемливи: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

дупето.Проверете системата по метода на Гаус.

Нека разширим системната матрица.

В този ранг външната система може да се представи по следния начин:

, Звездите са приемливи: z = 3; y=2; х = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana за тази система по метода на Cramer и метода на матрицата.

За независима визия:

Предложение: (1, 2, 3, 4).

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ НА ВЕКТОРНАТА АЛГЕБРИКА

ОСНОВНО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЕ

Назначаване.векторнаречени прави линии (няколко точки са подредени). Преди vector_v_vіdnosti също нулавектор, кочанът на този вид zbígayutsya.

Назначаване.Довжина (модул)векторът се извиква между кочана и края на вектора.

Назначаване. Векторите се наричат колинеаренкато воня се разпространява върху една или успоредни линии. Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор.

Назначаване. Векторите се наричат компланаренкато истински апартамент, като паралелна смрад.

Колинеарните вектори винаги са копланарни, но не всички копланарни вектори са колинеарни.

Назначаване. Векторите се наричат равенкато че ли са колинеарни обаче са изправени и може да са едни и същи модули.

Be-yaki вектори и могат да доведат до сърдечния кочан, tobto. да индуцира вектори и vidpovidno равни данни и да направи горещ кочан. От обозначението на векторното равенство е очевидно, че дали един вектор може да бъде безличен вектор, равен на вас.

Назначаване.Линейни операциинад вектори се нарича събиране и умножение с число.

Sumoyu вектор_в е вектор -

Твир - , при което колинеарен .

Вектор на посоката iz вектор (), така че a > 0.

Векторът на противолежной директиви с вектора (?), така че a< 0.

СИЛА НА ВЕКТОРА IV

1) + = + - комутативност.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – асоциативност

6) (a + b) = a + b - дистрибутивност

7) a(+) = a + a

Назначаване.

1) Основапространството се нарича сякаш 3 некомпланарни вектора, взети в същия ред.

2) Основавърху плоскостта се наричат ​​2 неколинеарни вектора, взети в същия ред.

3)Основана права линия се нарича ненулев вектор.

Две системи от линейни подравнявания в един набор x 1 ..., x n

Те се наричат ​​еквивалентни, защото се избягват техните безлични решения (следователно се избягват умноженията и K n). Tse означава, sho: или воня наведнъж е празни подмножества (така че обидните системи (I) и (II) са неуредени), или воня наведнъж не е празна, i (така че кожен разтвор на система I е разтвор на система II и кожен разтвор на система II е решения на система I ).

Наличност 3.2.1.

Метод на Гаус

Планът за алгоритъма, предложен от Гаус, е доста прост:

1. прилагайте към системата от линейни подравнявания последователно, за да не променяте безличното решение (по този начин вземаме безлично решение на визуалната система) и отидете до еквивалентната система, която може да бъде "просто изглеждаща" (това е името на формата на стъпката);
2. за "простия ум" на системата (със стъпкова матрица) опишете безлично решение, което се използва за безлично решение на зрителната система.

Показателно е, че близкият метод "фан-чен" се е използвал още в древната китайска математика.

Елементарна трансформация на системи от линейни подравнявания (ред от матрици)

Обозначение 3.4.1 (елементарна трансформация от 1-ви тип). Когато i-тото подравняване на системата се добави към k-тото подравняване, умножено по числото (подписано: (i)"=(i)+c(k); тогава само едно i-то подравняване (i) е заменен с ново подравняване (i) "=(i)+c(k)). Може да изглежда нов i-e equal (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb kили накратко

Тоест в новия i-ти квартал a ij " = a ij + ca kj, b i " = bi + cb k.

Обозначение 3.4.2 (елементарно преобразуване тип 2). За i -е и k -е равните се променят от ранговете, другите равни не се променят (знаци: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Уважение 3.4.3. За по-голяма яснота, за конкретни изчисления, можете да добавите елементарни трансформации от 3-ти тип: i-тото изчисление се умножава по ненулево число , (i)" = c (i) .

Твърдение 3.4.4. Точно както типът система, който предадох на система II за помощта на крайния брой елементарни трансформации от 1-ви и 2-ри тип, тогава под формата на система II можете да се обърнете към система I, както и към елементарни трансформации от 1-ви и 2-ри тип.

Привеждане.

Уважение 3.4.5. Твърдостта е вярна и се включва към елементарните трансформации на елементарната трансформация от 3-ти тип. Якщо i (i)"=c(i) , тогава ta (i)=c -1 (i)" .

Теорема 3.4.6.След последното спиране на последния брой елементарни трансформации от 1-ви или 2-ри тип, системата от линейни подравнявания, еквивалентна на кочана, се стига до системата от линейни подравнявания.

Привеждане. Важно е да се разгледа преходът от система I към система II за добавяне на едно елементарно преобразуване и за привеждане на решението за включване към богатството (шардовете чрез донесеното предложение на система II могат да бъдат превърнати в система I и към това , включване, да се внесе хладнокръвие).

Назначаване 1.Системата от линейни подравнения mind (1) , de , поле, се нарича система от m линейни линии от n nevidomimi над полето, - Коефициенти за недомични, , , - безплатни членове на системата (1).

Назначаване 2.Поръчан н-ка (), де, наречен до върха на системата от линейни линии(1), дори при подмяна на промяната върху кожата, системата (1) се променя към правилното цифрово подравняване.

Назначаване 3. сънлив yakscho напразно може да искате да вземете едно решение. В противен случай се извиква системата (1). луд.

Назначаване 4.Системата от линейни подравнения (1) се нарича пеенеможе да има само едно решение. В противен случай се извиква системата (1). неназначен.

Система от линейни линии

(є решение) (няма решение)

сънен луд

(едно решение) (не едно решение)

pevna е неизвестен

Назначаване 5.Системата от линейни линии над полето РНаречен хомогенен yakscho всички нейни vílní термини, равни на нула. В противен случай системата се нарича разнородни.

Нека разгледаме системата от линейни линии (1). Същата хомогенна система в ума се нарича хомогенна система, свързаниот системата (1). Хомогенен SLN за първи път, oskolki може да се реши.

За кожен SLN могат да се въведат две матрици с един поглед - основната е разширена.

Назначаване 6. Основната матрица на системата от линейни подравнения(1) матрицата се нарича, тя е съставена от коефициенти без обиден тип: .

Назначаване 7. Разширена матрица на системата от линейни подравнения(1) матрицата се нарича, пресечена от матрицата чрез път, прилежащ към нея набор от свободни членове: .

Назначаване 8.Елементарни трансформации на системата от линейни трасетасе наричат, както следва: 1) умножаване на двете части на една и съща равна система със скалар; 2) добавяне към двете части на едно ниво на системата на втори части на друго ниво, умножени по елемент; 3) допълване или доказване равно на ума.

Назначаване 9.Две системи от линейни линии над полето Ркак се нарича промяната еднакво силни, като се избягват техните безлични решения.

Теорема 1 . Точно както една система от линейни равенства е била отнета от друга с помощта на елементарни трансформации, такива системи са еднакво силни.

Ръчно елементарните трансформации не се довеждат до система от линейни подравнявания, а до разширена матрица.

Назначаване 10.Нека дадем матрица с елементи от полето R. Елементарни трансформацииматриците се наричат ​​така:

1) умножение на всички елементи от всеки ред на матрицата с aО Р # ;

2) умножаване на всички елементи от произволен ред от матрицата по aО Р # и добавяне на останалите елементи от следващия ред;

3) пермутация на местата по два реда на матрицата;

4) добавяне или освобождаване на нулевия ред.

8. SLU решение:м метод на последващо изключване на неизвестни (метод на Гаус).

Нека да разгледаме един от основните методи за отделяне на системи от линейни подравнения, който се нарича по метода на последващо включване на неизвестни, какво друго, Метод на Гаус. Разгледайте системата (1) млинеен ривнян з нневидомими над полето R:(1) .

Системата (1) иска един от коефициентите, ако не е добър 0 . Inakshe (1) - системата на равни от () nevіdomimi - tse superechit умове. Запомняме равенствата по месеци, за да не е добър коефициентът при първото изравняване 0 . В този ранг, можете да vvazhati, шо. Умножете нарушителните части на първата равна и добавете към втората част на другата, третата, ..., м th равен. Вземаме системния ум: , де с- най-малкото число, така че искам един от коефициентите, ако не е здравословен 0 . Запомняме равенствата по месеци, за да има коефициент на другия ред при промяна на себестойността 0 , тогава. можем да познаем какво. Да умножим обидните части на другото равно и да добавим към равните части на третото, ..., м th равен. Продължавайки този процес, ние вземаме предвид системата:

Системата от линейни равенства, както, съгласно теорема 1, е равна на системата (1) . Системата се нарича стъпаловидна система от линейни подравнения. Има две възможности: 1) Искането на един от елементите не е добро 0 . Хайде например. Същото е и със системата от линейни подравнявания, подобно е на ума, че е невъзможно. Tse означава, че системата няма решение и следователно системата (1) не може да има решение (в моменти (1) е непоследователна система).

2) Хайде, ...,. Todi за помощта на елементарна трансформация Z) отнемаме системата - системата rлинеен ривнян з ннеизвестен. При всяка промяна, за коефициентите се извикват промяна на главата(tse), тяхното общо r. Други ( н-р) промяна на имената Безплатно.

Има две възможности: 1) Якшчо r=n, след това - системата на триколен вид. За този, от последното равно, знаем изменение, от последното - изменение, от първото равно - изменение. Освен това има само едно решение за системата от линейни подравнения, както и за системата от линейни подравнения (1) (понякога системата (1) е присвоена).

2) Хайде r . И тук основните промени преминават през мерзостите и печелят решаващото решение на системата от линейни линии (1). Nadayuyuschie zmіnnym dovílní znachenya, nabuvayut различни частни решения на системата от линейни линии (1) (в този случай системата (1) не се вижда).