Zavdannya, ne anlıyorsun balenli integral.

Öğelerin işlevinin atanması kabul edilebilir ve miktarı yaz

integral olarak adlandırılır.

S: Bir fonksiyon ve bir seçim olarak sing integrali (o.i.) altında

Tanım:

Rakamlar üzerinde tümleşik (Rіman'a göre) olarak adlandırılır.

T. іsnuvannya: Aklınız için, sho.

O.i atanana kadar Vіdpovіdno. integralin formda depolanabilmesi önemlidir.

cl.17.1.1 ve 17.1.2'ye kadar Vіdpovіdno ve o. eğrisel yamuk alanı için formülleri yazıyoruz: , robotik kuvvetler

üzerinde:

Alt integral, integral toplamları anlama.

Balenli integralin temeli, verilen için interintegral toplamı açıktır, böylece sınır silindirik bir cismin hacmini verir. Ancak, tse mirkuvannya değil є suvorim. Daha yüksek sertleştirme kurslarında, teoremi subvertical integral temelinde getirmek ve çağırmak gerekir.

Teorem іsnuvannya. Çünkü a'yı ölçebildiğim kapalı bir alanda kesintisiz bir fonksiyon olsun, bir alt integral var, böylece zihin için küçük kızların sayısında sınırsız bir artış olan bir inter-integral toplam var, onlardan deri bir lekeye çekilir. Tsya sınırı, bölgeyi parçalama şeklinde değil, kısmen, nokta seçiminde değil.

Nadalі mi vzglyaditimemo, entegrasyon alanında kesinti olmaksızın işlevsizdir.

Temel teoreminden, örneğin bölgeyi, koordinat eksenlerine paralel düz kenarları olan küçük dikdörtgenlere bölebiliriz (Şekil 230). Ne zaman. Vibirayuchi potim ciltte küçük rektum yazabileceğimiz noktalara göre, subvertical integralin zgіdno z mezhepleri

Altta yatan integralin elde edilebileceğini kanıtlamak için, aklın toplamı arasında olduğu gibi, vicorist işaretinin adı da işaretidir.

Viraz, Kartezyen koordinatlarda bir karenin bir elemanı ve koordinat eksenlerine paralel kenarları olan bir dikdörtgenin ek bir karesi olarak adlandırılır.

Entegral çanta katlandığında, ara bölgeye bitişik olan baklaların dikdörtgen oluşturmaması önemlidir. Ancak bu tür bakirelerin kareler arası karelerle değiştirilmesinin affının sıfıra indirileceği söylenebilir.

Alt integrallerin gücü

Alt integralin gücü (o yogo visnovok), tek seferlik şarkı integralinin gücüne benzer.

1°. katkı. işlev nedir f(x, y) bölgeye entegre D ve alan olarak D yardım eğrisi için G sıfır alanı iki bağlantıya bölünmüştür ve bölgenin yüksek iç noktalarını boğmaz D 1 ta D 2 , sonra fonksiyon f(x, y) cilt bölgelerine entegre D 1 ta D 2, ayrıca

2°. Doğrusal güç . Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, a α і β - konuşma numaraları olsun, ardından işlev [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] ayrıca bölgeye entegre edilmiştir D, dahası

3°. Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, daha sonra bu işlevlerin ek işlevleri D.

4°. Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) bölgede saldırgan entegrasyon D ve galerimde her yerde f(x, y) ≤ g(x, y), sonra

5°. işlev nedir f(x, y) bölgeye entegre D, bu işlev | f(x, y)| bölgeye entegre D, dahası

(Tabii ki entegrasyon ile | f(x, y)| içinde D entegrasyon göstermiyor f(x, y) içinde D.)

6°. ortalama değer teoremi. Ne kadar aşağılayıcı bir işlev f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, işlev g(x, y) bu galeride her yerde görünmezdir (olumlu değildir), Mі m- fonksiyonun tam üst ve alt sınırları f(x, y) bölgede D, o zaman bir numara var μ bu siniri tatmin eder m ≤ μ ≤ M ve böylece formül geçerli

Bir fonksiyon olarak zokrema f(x, y) kesintisiz D, ve alan D zv'yazkova, o zaman bu galeride böyle bir nokta var ( ξ , η ), ne μ = f(ξ , η ) ve formül (11) benziyor

HAREKETLİ ENTEGRALLER

ders 1

Sürekli integraller.Alt akım integralinin amacı güçtür. Tekrarlanan entegrasyonlar Alt integrallerin tekrarlananlara bağlantıları. Entegrasyon arasında yerleştirme. Kartezyen koordinat sisteminin temel integrallerinin hesaplanması.

Alt integral, iki değişkenli farklı fonksiyonlarda sing integralinin anlaşılmasının derinleştirilmesidir. Bu şekilde, entegrasyonun tersi düz bir rakam olarak mevcut olacaktır.

Hadi D- Dejaka kapalı, çevrelenmiş bir alandır ve f(x,y) - yeterli bir işlev, bu galeri tarafından işaretlendi. Diyelim ki bölgeler arası D son eğri sayısından toplanır, akranlar tarafından verilen ödevler zihin y=f(x) veya x=g( y), de f(x) o g(y) kesintisiz fonksiyonlardır.

Rozib'ёmo bölgesi D iyi rütbe n Bölüm. alan i-ї delyanki, D sembolü ile anlamlıdır. ben. Cilt dilyantsi üzerinde, oldukça bir vibe bir nokta Pi, ve kartezyen sistem maє koordinatlarını ( x ben y ben). Sklademo integral toplamı fonksiyon için f(x,y) Bölgeye göre D, fonksiyonun hangi değeri tüm noktalarda biliniyor Pi, їх'nin çift parsel Ds alanıyla çarpılması i Ve tüm sonuçların alındığını varsayıyoruz:

Nazvemo çap(G) alanlar G bölgenin sınır noktaları arasındaki en büyük mesafe.

integral fonksiyonlar f(x,y) D alanında sınır olarak adlandırılır, integral toplamlar dizisi ne ölçüde (1.1) mola sayısında sınırsız bir artışla n (kime). Böyle yaz

Görünüşe göre, belirli bir fonksiyon ve belirli bir entegrasyon alanı için integral toplamının, alanı genişletme yolunda düşmek olduğunu belirtmekte fayda var. D noktayı seç Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse, vіdpovіdіkh іntegrаlny toplamlar arasında, atanan chinnikіv arasında yalan söylemenin mümkün olmadığı anlamına gelir. Sırayla(veya göründüğü gibi, genel fonksiyon f(x,y) D alanına entegre edilir), bool'un integral fonksiyonunun olması yeterlidir. kesintisiz görev galerisi entegrasyonunda.

hadi işlevi f(x,y) bölgeye entegre D. Bu tür işlevler için kümülatif toplamlar arasındaki parçalar, entegrasyon alanını bölme yöntemiyle biriktirilemez, dikey ve yatay çizgiler yardımıyla bölme yapılabilir. Bölgenin daha fazla iş adamı Todі D matime düz kesim görünümlü, böyle bir dorovnyu D alanı ben=D x ben D ben. Bu nedenle, alan diferansiyeli şu şekilde yazılabilir: ds=dxdy. otze, Kartezyen koordinat sisteminde integraller altında görünce yazabilirsin

Saygı duymak. integral fonksiyonu f gibi(x,y)º1, o zaman entegrasyon bölgesinin alanının alt integrali:

Önemli olan, altı çizili entegrasyonların tek başına entegre olabileceği gibi aynı güç olabilir. Yaptıkları işler önemlidir.

Alt integrallerin gücü.

1 0 .Doğrusal güç. İntegrallerin diğer toplamının fonksiyonlarının toplamının integrali:

ve integralin işareti için sabit çarpan suçlanabilir.:

2 0 .Katkı gücü. D integrasyon alanı iki parçaya bölündüğünden, subintegral, deri parçası üzerindeki entegrasyonların toplamından daha eksiksizdir.:

3 0 .Ortalama teoremi. işlev nedir f( x,y)D bölgesinde sürekli ise galeride böyle bir nokta var(x, h) , ne:

Daha fazla beslenme sonrası: alt integraller nasıl hesaplanır? Yogo yaklaşık olarak virahuvati olabilir, bu yöntemle bozulur etkili yöntemler daha sonra ek EOM ile sayısal olarak hesaplanan kümülatif toplamların katlanmış toplamları. Alt integrallerin analitik hesaplanmasıyla, bunlar iki tekli integrale indirgenir.

Çaydanlıklar için asma integraller

Bu ders, öğrencilerin başka bir ders çıkaracakları çok katlı integral konusunu tanıtır. Bunu hareket ettir üçlü integrallerle döşemeyi daha yüksek değil, daha düşük zalyakate edebilirsiniz diferansiyel eşittir bu vіdrazu için, yemeğe bir göz atalım: peki, nedir? Zvichayno, deakim tutarlı olacak ve dürüst olmak gerekirse, isimlendirme istatistikleriyle biraz iftira ettim - nasıl virishuvati podvіynі іntegrali öğrenmek için, acemi anne deyakі gerekli. İlk olarak, entegrasyonlarla uğraşırsanız, o zaman açıkçası, entegrasyon yapmanız gerekecektir. Mantık. Otzhe, uygulamaların geliştirilmesi için bilmeniz gerekenler önemsiz integraller bu saymak lineer integraller orta seviyede sıcak bi. İyi bir yenilik, güçlü güçler tarafından bunu basitçe yapmak için daha büyük vipadkiv'e entegre edilmiş olmalarıdır.

Kim zorlanır? sağdakini anladım İlk dönemlerde çok bira içen Tim. Ancak, normal öğrenciler bunalabilir - sitede boşlukları dolduracak veya anlaşılmaz bir şekilde tüm materyaller vardır. Sadece bir saatten fazla zaman harcıyorsun. Bunlara Possilannya, yakі vyvchiti kaydırdı veya tekrarladı, dodavatimutsya saat statti yaptı.

Giriş dersinde adım adım aşağıdaki temel anlar tartışılacaktır:

– Düşük akım integralini anlama

– Entegrasyon alanı. Entegrasyon bölgesini atlama sırası. Bypass sırası nasıl değiştirilir?

Bundan sonra, tüm Asya'yı İYİ anladığınız gibi, makaleye gidebilirsiniz. Azımsanan integral nasıl hesaplanır? Çözümü uygula. Ayrıca, daha geniş bir görev kutupsal koordinatlarda çalışan integralin hesaplanması hakkında bu tipik ek düz sınırlı bir şeklin ağırlık merkezinin önemi.

Küstah yiyeceklerle başlayalım - bu nedir?

Düşük akım integralini anlama

Cahil kişinin alt değişken integrali şu şekilde yazılır:

Terimlere ve tanımlara bir göz atalım:
- Dikey integralin simgesi;
- Entegrasyon alanı (düz şekil);
- İki değişkenli integral fonksiyonu, genellikle basittir;
- Diferansiyel rozetleri.

Azımsanan integrali hesaplamak ne anlama gelir?

Altta yatan integrali hesaplayın - tse araçları KILO'yu bilmek. En basit sayı:

І vkray bazhano yogoyu doğru biliyor =)

Sonuç (sayı) negatif olabilir. Ve sıfır kolayca girilebilir. Belirli bir an için özel olarak zupinivsya, oskolki chimalo öğrencileri, "başka bir harika şey" ortaya çıkarsanız huzursuzdu.

"Muhteşem" kelimesini hatırlayan Bagato değer integrali- Tez numarası. Burada da böyle. Balenli integral çok önemli değil geometrik zmist, Ale bu konuda, her saat başı kullanırız.

Azımsanan integral nasıl hesaplanır?

Altta yatan integrali hesaplamak için, onu aşağıdakine çağırmak gerekir: integralleri tekrarlıyoruz. Zrobiti mümkün iki yol. Saldırgan yöntemin en büyük uzantısı:

Yardımcı gıda temini arasında entegrasyon kurulması gerekmektedir. Ayrıca, dış integralin beslenme işaretleri tek başınadır - tse sayılar, ve iç integralin beslenme işaretlerinin alt telleri fonksiyonlar odnієї zminnoї , "iks" şeklinde para yatırmak için scho.

Entegrasyon arasındaki yıldızları al? Koku, verilen alanın başının zihnine gelince, bir v_d tsgogo'da yatmaktır. Alan, örneğin bir düz figürlerin numaralı alanları veya vücut sargısının hacminin hesaplanması. Nezabar entegrasyonun sınırlarını nasıl doğru yerleştireceğinizi biliyorsunuz.

Bundan sonra mükerrer integrallere geçişe karar verilirken aracısız olarak şu hesaplama yapılır: Önce iç integral, sonra dış integral alınır. Birbiri ardına. Zvіdsi adı - yinelemeli integraller.

Kabaca, görev, iki şarkı integralinin hesaplanmasına kadar saymaktır. Her şey nasıl bu kadar tutarlı ve korkutucu değil ve “tekil” sing integraline nasıl girdiniz, iki integralden ayrılmak için neye ihtiyacınız var?!

Yinelenen integrallere geçmenin başka bir yolu daha basittir:

Ne değişti? Entegrasyon sırası değişti: şimdi "ix" için iç integral ve "iplayer" için dış integral alındı. Yıldızlarla işaretlenmiş entegrasyon arasında - farklı ol! Dış integralin yıldızları birer birer - tse sayılar, ve iç integralin altında yatan yıldızlar dönüş fonksiyonları, scho "igrok" şeklinde yalan söylemek.

Tekrarlanan entegrasyonlara geçiş yolunu hangi bi mi seçmedi, obov'yazkovo'nun artık sesinin kendisi viide:

Lütfen, gücün önemini hatırla, mümkün olduğu gibi vikoristovuvati, zokrema, çözümün yeniden doğrulanması için.

Alt integrali çözmek için algoritma:

Bilgileri sistematize ediyoruz: göreve hangi sırayla bakmalısınız?

1) Sandalyeyi viskonlamak gereklidir. Bir koltuk olmadan, görev kırılmamaktır. Daha doğrusu kazanamayacaksınız, ancak kontrollerde bir oyuna benzeyecek. Koltukta, alanı düz bir figür olarak tasvir edin. Çoğu zaman, şekil basittir ve çizgiler, paraboller, hiperboller vb. ile çevrilidir. Shvidku tekhnіku pobudovі koslene'nin derslerde ustalaşabileceği konusunda yetkin Temel fonksiyonların grafikleri ve temel güçleri, grafiklerin geometrik dönüşümü. Otzhe, ilk aşama koltuğun vikonatisidir.

2) Entegrasyonlar arasında kurulum yapın ve tekrarlanan entegrasyonlara gidin.

3) İç integrali alın

4) Mevcut integrali alın ve farkı (sayı) çıkarın.

Entegrasyon alanı. Entegrasyon bölgesini atlama sırası.
Bypass sırası nasıl değiştirilir?

Bu paragrafta, en önemli gıdayı görebiliriz - tekrarlanan entegrasyonlara nasıl gidileceğini ve entegrasyonlar arasında nasıl doğru bir şekilde yerleştirileceğini. Daha çok söylendiği gibi, bunu şöyle yapabilirsiniz:

Bunu severim:

Uygulamada, en zor görevlerin öğrenilmesi en büyük zorluklara yol açar ve öğrenciler genellikle entegrasyon sürecinde kaybolurlar. Belirli bir örneğe bakalım:

popo 1

Çözüm: Entegrasyon alanını koltukta görselleştirelim:

Zvichayna düz figür ve özel bir şey yok.

Şimdi senin için bir cilt bakım aleti göreceğim - bir kazma çubuğu, bir lazer işaretçi. Görev, gölgeli alanın cilt noktasını taramaktır:

Lazerin entegrasyon alanını geçmesini sağlayın kesinlikle yokuş aşağı, o zaman siparişini bitirmelisin daha düşük düz rakamlar. Bölgeye eşitler tarafından istendiği gibi tüm apsis üzerinden girin ve bir parabol (kırmızı ok) ile bölgeden çıkın. Tüm bölgeyi aydınlatmak için ihtiyacınız olan sağa keskin kızgın 0'dan 1'e (yeşil ok) bir vkazіvka vzdovzh çizin.

Otzhe, ne oldu:
"Іgrek" 0'dan ;
"ix" 0'dan 1'e değişir.

Görevler için, tutarsızlık olması durumunda yukarıdakilerin yazılacağı söylenir:

Tutarsızlık verilerini adlandırın entegrasyon galerisini atlayarak ya da sadece entegrasyon sırası

Baypas sırasını çözdükten sonra, düşük akım integralinden yinelenen integrallere gidebiliriz:

Görevin yarısı tamamlandı. Şimdi yinelenen integrallere farklı bir şekilde geçmek gerekiyor. Kimin için önemli işlevleri bilmelisiniz. Kim dersin başka bir paragrafına aşinadır? Hacim vücut sargısı bu daha kolay olacak. Alanı tanımlayan fonksiyonlara bakmak . Daha da basit, sonra "igreeks" aracılığıyla "iksi" demek anlamına gelen dönüş işlevlerine gidin. Tek işlev, de є ben "iks" ve "iplayer", є.

Yakscho, ayrıca:
tersine çevirme işlevi parabolün sağ tarafını ayarlar;
Ters çevirme işlevi, parabolün sol köşesini ayarlar.

Özeti, ekseni, örneğin parabolün solunu veya sağını imzalama işlevini suçlamak alışılmadık bir şey değil mi? Farkları özetlemek daha da basittir: örneğin (sağ iğneden) parabolik bir nokta alın ve koordinatları düz bir çizgide, örneğin aynı çizgide ayarlayın:

Doğru eşitlik alınır, bundan böyle fonksiyon parabolün sağ eline atanır, sola atanmaz.

Daha Fazlası tsyu yankı(siyah düşünceler) akşamı geçirmek bundan sonra dönüş fonksiyonlarına geçmiş gibisiniz. Bir saatliğine hiçbir şey ödünç almayacağım, ama sahilde af dileyeceğim!

Entegrasyon bölgesi başka bir şekilde atlanır:

Şimdi lazer işaretçiyi kırpabiliriz levoruch galeri entegrasyonunu görüntüleyin. Promin lazer geçiş alanı sağa keskin kızgın. saat bu özel tipe Bölgeye parabolik iğneden girin ve bölgeden eşittir (kırmızı ok) ile ayarlandığı gibi düz bir çizgiden çıkın. Tüm alanı bir lazerle taramak için bir vzdovzh ekseni gerçekleştirmek gerekir. kesinlikle yokuş aşağı 0'dan 1'e (yeşil ok) girin.

Bu şekilde:
"iks" 1'e kadar değişir;
"Іgrek" 0'dan 1'e değişir.

Düzensizlik olarak kaydetmek için yanındaki alanı atlama prosedürü:

Ardından tekrarlı entegrasyonlara geçiş aşağıdaki gibidir:

Vidpovidşöyle yazılabilir:

Bir kez daha tahmin edeceğim, kalan sonucun bölgelerin atlandığı sıraya bağlı olarak hesaplanamayacağını (bunun için uygunluk oluşturuldu). Ancak, nihai sonuçtan hala çok uzak, şimdi görevimiz artık entegrasyonu doğru şekilde yerleştirmek değil.

popo 2

Danimarka'nın entegrasyon bölgesi ile alt integrali. Tekrarlanan entegrasyonlara gidin ve entegrasyonlar arasında iki şekilde genişletin.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir. Sandalyeyi yetkin bir şekilde uyandırın dolambaçlı yoldan düz bir çizgi alın(yıldızlar ve lazer işaretçi ile nerede parlatılacağı). Bir ders gibi Zrazok ince tasarım.

Çoğu tipik görevler Troch'lar farklı bir formülle buruşuyor:

popo 3

Entegrasyon alanını uyarmak

Çözüm: Akıl için bölgeyi bypass etmenin ilk yolu verildi. Kararlar tekrar sandalyeden başlar. Burada bölge, karanlık bir oblyamіvkoy ile gümüş bir tepside değil, sizi özel zorluklar yaratmamaya teşvik etmek için. Elin arkasında "knіmaєmo" interentegrasyondan işlev görür: , . İşlev, keyfi olarak düz bir çizgi belirler, ancak işlev neyi ayarlar? Hadi її troch değişikliği yapalım:
- 2 yarıçapının koordinatlarının merkezinin yakınında. w işlevi üst çizgiyi ayarlar (unutmayın, eğer özetlerseniz, o zaman her zaman üst veya alt çizgide uzanan bir nokta ayarlayabilirsiniz).

Dış integral arasında merak ediyoruz: "ix" -2'den 0'a değişiyor.

Vikonaemo koltuklar:

Kesin olmak gerekirse, bölgeyi atlamanın ilk yolunu oklarla gösterdim, bu da sırayla zihnin yinelemeli integrallerini söyler: .

Şimdi, dönüş işlevlerine gideceğimiz bölgeyi atlama sırasını değiştirmek gerekiyor (yani “iksi” ile “іgreki” arasında):

Çok uzun zaman önce, fonksiyonu bahis seviyesine yeniden düzenledik, diyelim ki “iks”:
Sonuç olarak, iki önemli işlev gereklidir:
- Doğru pivkolo'yu imzalamak;
- Önemli leva pіvkolo.
Aynı şeyi biliyorum, sanki sumniv'i suçluyormuş gibi, bir risk noktası alın ve de sol ve sağ deyin.

Alanı atlama sırasını değiştirin:

Zgidno başka bir yoldan geçiyor, lazer promin girmek bölgeye levoruch aslan pivkolo aracılığıyla ben sağ elini kullanmak düz bir çizgi boyunca (kırmızı ok). aynı saatte lazer yerleştirme koordinatlar ekseninde gerçekleştirilecek yokuş yukarı 0'dan 2'ye (yeşil ok) girin.

Bu sırayla, alanı baypas etme sırası:

Zagal yazılabilir ipucu:

popo 4

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir. Popo artık katlanabilir değil, ancak bir avuç görevi farklı bir şekilde atlama prosedürüne saygı gösterin! Neden böyle bir vipadkah'da çalışıyorsun? Birincisi, sandalyelerin zorluklarını suçlayarak, sandalyenin kırıkları, kanama fonksiyonunun takvimini birdenbire bana ima ediyor. Bir sonraki siparişi tavsiye ederim: her şeyden önce, “birincil” işlevi alıyoruz (“iks” aracılığıyla “gravets” diyoruz). Size “aşırı” fonksiyon için bir program vereceğiz (krapkovo istiyorsanız her zaman kendinizi şımartabilirsiniz). Benzer şekilde, daha büyük, basit bir doğrusal fonksiyon kullanabiliriz: düz bir çizgiyi “kazabiliriz” ve yürütebiliriz.

Entegrasyonlar arası boşlukları analiz ediyoruz: orta bölgeye i üzerinden giriyoruz ve üzerinden çıkıyoruz. Her şeyi doğru yaptığınızda, -1'den 0'a kadar “Yunan” pürüzsüzlüğüne gidebilirsiniz. Sandalye üzerinde entegrasyon alanı belirlediğiniz için, özel zorluklardaki depoda gezinme sırasını değiştirin. Zrazok bir ders için çözüm tasarladı.

Benzer bir popo biraz daha sonra çözeceğim.

Navіt yakscho, her şeyi iyi anladın, kibar ol, acele etmeyin, çalışan integralin hesaplanmasına kadar dümdüz ilerleyin. Sapağın sırası zengin ve bazı kafaları elinize almak önemlidir, dahası, henüz her şeye bakmadım!

Ön chotyroh uçlarında, 1., 2., 3. ve 4. koordinat çeyreklerinde bütünleşme alanı bir bütün olarak görüldü. Neden böyle bekliyorsun? Hayır, açıkçası.

popo 5

Entegrasyon sırasını değiştir

Çözüm: Bu, fonksiyonun grafiğinin aslında kübik bir parabol olduğu bir sandalye gibidir, sadece “yan yatmaz”:

Yinelenen integralleri bildiren bölgeyi atlama sırası , oklarla işaretlenmiştir. Sandalyenin vikonnannysi sırasında, ana hatlarıyla bir figürün daha boyandığına saygı duyulmalıdır (koordinatlar ekseninde levoruch). Bu nedenle bölgenin entegrasyonuna saygı duymalıyız - bölge için yanlış rakamı affedebilirsiniz.

Döndürme işlevlerine geçelim:
- bir parabolün sağ başına ihtiyacımız var;

Bölgeyi atlama sırasını değiştirelim. Hatırlayacağınız gibi, alanı atlamanın başka bir yolu ile, alanı sağa doğru bir lazer anahtarı ile taramak gerekiyor. Ale burada posterіgaєtsya cіkava zengin:

Benzer durumlarda nasıl tamir edilir? Bu gibi durumlarda, entegrasyon alanını iki parçaya bölün ve cilt kısmı için tekrarlanan entegrasyonunuzu ekleyin:

1) “Yerçekimi” -1'den 0'a (yeşil ok) değişirse, lütfen bölgeye kübik bir parabolden girin ve düz bir çizgiden (kırmızı ok) çıkın. Bu nedenle, alanı baypas etme sırası aşağıdaki gibi olacaktır:

2) "Yerçekimi" 0'dan 1'e değişirse (kahverengi ok), hemen parabolik iğneden alana girin ve o çok düz çizgiden çıkın (kızıl ok). Ardından, alanı baypas etme sırası aşağıdaki gibi olacaktır:

Tekrarlanan integralleri tekrarladım:

Şarkı söyleme ve çoklu integrallerin belirli bir gücü vardır toplanabilirlik böylece belirli bir şekilde ve büyüyecek şekilde katlanabilirler:
- Ve eksen ve bölge etrafındaki yürüyüşümüz, iki integralin toplamına bakarak farklı bir şekilde.

Vidpovidşöyle yaz:

Atlatmanın hangi sırası en barizdir? Zvichayno, bir görevin zihninde verilen harf - iki kat daha az sayacaksınız!

popo 6

Entegrasyon sırasını değiştir

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir. Yenisinde, analizinin Ek 3'te incelendiği bildirilen bir pivkol var. Çözüm bir ders gibi hazırlanmıştı.

Ve bir kerede, obіtsyane zavdannya, eğer bir görev listesi bölgeyi atlamanın başka bir yoluysa:

popo 7

Entegrasyon sırasını değiştir

Çözüm: Uyandırma koltuğundan önce görevleri farklı bir şekilde atlama prosedürü varsa, “üstün” işlevlere gitmek gerekir. Kimin poposuna, dönüşüm için iki hasta vardır: i.
Doğrusal bir işlevle her şey basittir:

Fonksiyonun grafiği, kanoniklik iddiası olan bir paraboldür.

Virazimo "iplayer" ile "ix" arasında:

Parabolün iki pimini alıyoruz: i. Yaku onlardan vibrati mi? En basit şey, koltuğun viconate'sini görmek. Bir parabol hakkında analitik geometrinin malzemesini unuttuysanız, krapkovo'ya tek bir hakaret yapılabilir:

Bir kez daha, bu koltukta düz figürlerin serpilmesine ve bir figür seçmenin önemli olduğuna saygı duyuyorum! Şaka yapan rakamların seçiminde, diğer integrallerin entegrasyonu arasında size yardımcı olacaklar:
, bu noktada ters çevirme fonksiyonunun ne ayarladığını unutma tüm parabol.

Şekillerin sapmasını gösteren oklar, entegrasyonların entegrasyonunun sınırlarını tam olarak gösterir. .

Dosit shvidko zihninizde böyle bir analiz yapmayı öğreniyorsunuz ve bir entegrasyon alanına ihtiyaç olduğunu biliyorsunuz.

Rakam bulunursa, çözümün son kısmı daha da basittir, alanı atlama sırasını değiştiririz:

Geri dönüş işlevleri zaten biliniyor ve alanı atlamak için gerekli prosedür:

Öneri:

Bağımsız gelişme için bir paragrafın son örneği:

popo 8

Entegrasyon sırasını değiştir

Dıştan, çözüm, derse benzer olmasıdır.

Alt değişken integralini hesaplama sürecine bakarak ve onu geometrik karmaşıklıkla tanıyarak başlayalım.

Alt integral, düz bir rakamın (entegrasyon bölgeleri) alanından sayısal olarak üstündür. Alt integralin en basit şekli, eğer iki değişkenin fonksiyonu ise: .

Başın arkasına, rezil bakışa bakabiliriz. Aynı zamanda hareket ediyorsunuz, her şey gerçekten çok basit! Düz rakamların alanını hesaplayın, çizgilerle çevrili. Şarkı söylemek için bir vіdrіzku'nuz olması önemlidir. Şekillerin alanları sayısal olarak daha gelişmiştir:

Alanı koltukta tasvir ediyoruz:

Alanı atlamanın ilk yolunu seçin:

Bu şekilde:

І bir zamanlar önemli olan teknik numara: tekrarlanan integraller girilebilir. Önce iç integral, sonra dış integral. O çaydanlıklara Danimarka usulü şiddetle tavsiye ederim.

1) "Gravet" değişikliği için entegrasyonun gerçekleştirildiği iç integrali hesaplayın:

önemsiz integral işte Newton-Leibnitz'in en basit ve daha muzaffer banal formülü, aynı farkla: entegrasyonlar arasında sayılar değil, işlevler vardır.. Başın arkası "igrok" (orijinal işlev) üst sınırına, ardından alt sınıra yerleştirildi.

2) İlk noktadan çıkarılan sonuç, mevcut integrale eklenmelidir:

Tüm çözümün daha büyük bir kompakt kaydı şöyle görünür:

Osmanlı formülü - bu, "aşırı" şarkı integralinin yardımı için düz bir figürün alanını hesaplamak için tam olarak çalışan bir formül! derse hayret edin Sing integralinin yardımı için alanın hesaplanması, İşte cilt croci üzerinde!

Tobto, balenli integral yardımı için alan hesaplama görevi az insan umursarşarkı integralinin yardımı için! Aslında, aynı!

Açıkçası, herhangi bir zorluk için suçlamak değil! Küçük popolarınıza, kırıklarınıza bir göz atacağım, aslında, bu görevlerle bir kereden fazla birbirine yapışmış.

popo 9

Balenli integralin yardımı için, çizgilerle çevrili düz şeklin alanını hesaplayın,

Çözüm: Alanı koltukta tasvir ediyoruz:

Şeklin alanı, aşağıdaki formül için dikey integral yardımı ile hesaplanır:

Alanı atlamak için bir sonraki sırayı seçin:

Burada ve dahası, bölgenin nasıl sorgulanacağı üzerinde durmuyorum, ilk paragraftaki kırıklar bir aydınlanma raporundan daha fazla gündeme getirildi.

Bu şekilde:

Daha önce de belirttiğim gibi vatandaşlar için tekrarlanan integralleri daha hızlı hesaplamaları daha kolay, bunu da yönteme ekleyeceğim:

1) Satır arkası Newton-Leibniz formüllerinin iç integrali ile analiz edilir:

2) İlk croc'u çıkaran sonuç, mevcut integralin yerine geçer:

Nokta 2 - aslında, şarkı integralinin yardımıyla düz pozisyonun alanını yeniden parlatın.

Öneri:

Eksen çok kötü ve naїvne zavdannya.

Bağımsız kiraz için Cicavi poposu:

popo 10

Balenli integralin yardımı için, çizgilerle çevrili düz şeklin alanını hesaplayın,

Bir ders için nihai tasarım çözümüne bir bakış.

Prikladakh 9-10'da bölgeyi atlamanın ilk yolunu kazanmak, daha fazla okuma içmek, konuşmadan önce baypas sırasını değiştirebilir ve alanı başka bir şekilde hesaplayabilirsiniz. Affetmezseniz, doğal olarak, kendi önemli alanınızı göreceksiniz.

1.1 Dikey integralin belirlenmesi

1.2 Alt integralin baskınlığı

Alt integralin gücü (o yogo visnovok), tek seferlik şarkı integralinin gücüne benzer.

1°. Katkı oranı. f(x, y) fonksiyonu D alanına entegre edilmişse ve D alanı ek eğri Г'nin ötesindeyse, sıfır alanı iki bağlantıya bölünmüşse ve D1 ve D2 alanının ortak iç noktalarına sahip olamazsa, o zaman f(x, y) fonksiyonu D 1 ve D 2 alanlarından cilde entegre edilmiştir, ayrıca

2°. Doğrusal güç. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D uzayında nasıl integrallenebilir? i? - konuşma numaraları olsun, ardından işlev [? f (x, y) + ? g (x, y)] ayrıca D alanına entegre edilmiştir, ayrıca

3°. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D bölgesinde integrallenebilir olduğundan, bu fonksiyonların ek fonksiyonları D'de integrallenebilirdir.

4°. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D alanına nasıl entegre edilebilir ve f(x, y) ile çaprazlanabilir? g(x, y), sonra

5°. f(x, y) işlevi D alanı tarafından entegre edildiğinden, th işlevi |f(x, y)| D bölgesine entegre, üstelik

(Açıkçası | f (x, y) | D'nin integrali f (x, y)'nin D'deki integralini göstermez.)

6°. Ortalama değer teoremi. Saldırgan fonksiyonlar f(x, y) ve g(x, y) D alanına entegre edilmiş olsa da, g(x, y) fonksiyonu bu bölgenin her yerinde görünmezdir (pozitif değildir), M ve m tamdır D bölgesinde f( x, y) fonksiyonunun üst ve alt sınırları, o zaman m'nin eşitsizliğini sağlayan bir sayı var mı? ? ? M i formülün geçerli olması için

Sokrema, f(x, y) fonksiyonu sürekli D olduğundan ve D alanı bağlantılı olduğundan, bu alanda böyle bir nokta var (?, ?), Ne? = f(?, ?) ve formül şöyle görünür

7°. Önemli geometrik güç. yaşam alanı D

T gövdesi (Şekil 2.1) D alanının altındaki boşluğa, canavara - kesintisiz ve görünmez bir fonksiyonun grafiği) z \u003d f (x, y,) boşluğa atandığı gibi D, yanlardan - silindirik bir yüzey, D alanı arasında doğrudan bir є ve Oz eksenine paralel. Bu tip bir gövdeye silindirik gövde denir.

1.3 Düşey integralin geometrik yorumu

1.4 Dikdörtgenin düşey integralini anlama

R = ? dikdörtgenine her yerde yeterli bir f(x, y) fonksiyonu atansın. (böl. Şekil 1).

Biberiye segmenti a? x? b yardımcı noktanın ötesinde n kısmi parça a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Düz çizgilerin yardımı için Tsomu razbittya, paralel eksenler Ox і Oy, R dikdörtgenini n · p kısmi dikdörtgenlerine böler R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). R dikdörtgeninin bölümü ile gösterilen, T sembolü ile önemlidir. Kenarları koordinat eksenlerine paralel olan dikdörtgeni anlamak için ona "dikdörtgen" terimi altında bir bölme verdik.

Cilt üzerinde chastkovy dikdörtgeni Rkl, bir tam nokta (?k,?l) seçiyoruz. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 koyduktan sonra, R kl dikdörtgeninin alanının ?R kl'si ile önemlidir. Açıkçası, ?R kl = ?x k ?y l .

bir R dikdörtgeninin belirli bir T dağılımını ve bir T dağılımının kısmi dikdörtgenleri üzerinde belirli bir ara nokta seçimini (? k, l) veren f(x, y) fonksiyonunun integral toplamı olarak adlandırılır.

Köşegen, dikdörtgenin çapı olarak adlandırılır R kl . Bir sembol? Tüm yaygın rectocuts çaplarının önemli ölçüde en büyüğü R kl .

I sayısı, integral toplamlarının sınırı olarak adlandırılır (1)? > 0, nasıl herhangi bir pozitif sayı olabilir? öyle diyebilir misin tarih?, Ne zaman?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ben |< ?.

f(x, y) fonksiyonu R dikdörtgeni üzerinde tümleşik (Riemann'a göre) olarak adlandırılır, çünkü fonksiyonun I integral toplamları arasında son bir sınır vardır? >0.

Belirtilen sınır I, R dikdörtgeni tarafından f(x, y) fonksiyonunun alt integrali olarak adlandırılır ve aşağıdaki sembollerden biri ile gösterilir:

Saygı duymak. Böylece, tıpkı bir defalık bir integralde olduğu gibi, f(x, y) fonksiyonunun R dikdörtgeni üzerinde integrali olduğu ve bu dikdörtgen üzerinde çevrelendiği tespit edilmiştir.

Bu, f(x, y) fonksiyonlarının sınırından daha uzağa bakma fırsatı verir.

Alt integral, sing integralinin gücüne benzer bir güce sahiptir. Ana olanlardan önemli ölçüde daha az:

1. Fonksiyonlar nelerdir?
bölgede entegrasyon
, o zaman onlara entegrasyon miktar ve farktır, üstelik

2. Hareketli integralin işareti için sabit bir çarpan suçlanabilir:

3. Yakscho
bölgeye entegre
ve bu alan örtüşmeyen iki alana bölünmüştür. і
, sonra

.

4. Yakscho
і
bölgede entegrasyon
, yakіy'de

, sonra

.

5. Bölgede neler var
işlev
tutarsızlıklardan memnun


de
і
eylemler numaralar, sonra

,

de - bölgenin alanı
.

Bu güçlerin ispatları, basit integral için ikinci teoremlerin ispatına benzer.

Dikdörtgen Kartezyen koordinatlarda dikey integralin hesaplanması

Altta yatan integrali hesaplamak gerekli olsun
, alan - Düzensizliklerle karakterize edilen dikdörtgen ,.

varsayalım ki
aynı dikdörtgen içinde kesintisizdir ve cismin hacminin taban ile integrali olmasına rağmen yeni bilinmeyen değerde şişer. , üstte canavarla saçaklı
, yanlardan - daireler
,
,
,
:

.

Diğer taraftan, şarkı integralinin yardımı için böyle bir rakam hesaplanabilir:

,

de
- bu cismi bir noktadan geçen bir düzlemle geçme alanı ve eksene dik
. Eğrisel bir yamuk ile çaprazlanmış analiz parçaları
, bir fonksiyon grafiğine sahip canavarla çevrili
, de sabit ve , sonra

.

Z tsikh triokh eşitlikleri vyplivaє, scho

.

Bundan böyle, taban integralinin hesaplanması, iki tek integralin hesaplanmasıydı; "iç integral" hesaplanırken (kemerlerle yazılmıştır) değişmez olmak.

Saygı duymak. Formülün geri kalanının ne zaman doğru olduğunu açıklayabilir misiniz?
, ayrıca bir bakışta, eğer işlev
belirtilen dikdörtgenin işaretini değiştirin.

Formül bölümünün hakları yinelenen integral olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir:

.

Benzer şekilde, gösterilebilir ki

.

Söylenenlerin üstünde, sızlanıyorsun

.

Kalan eşitlik, entegrasyon sonucunun entegrasyon sırasına girmesi gerektiği anlamına gelir.

En derin eğime bir göz atmak için standart alan anlayışını tanıtalım. Doğrudan eksene verilen standart (veya doğru) alana, düz olması, eksenin merkezine paralel olması, alan arasına artık dağılmaması, iki noktada daha düşük olması gereken bir alan denir. Aksi takdirde, bölgenin kendisini devirerek, її kordonunun düz bir esinti olduğu anlaşılıyor.

Bölgenin çevrili olması kabul edilebilir.

bir fonksiyon grafiğine sahip canavarla çevrili
, altta - fonksiyonun grafiği
. Hadi R ( ,) - bölgenin döşendiği minimum dikdörtgen
.

Bölgeye git
kesintisiz işlev atanır
. Yeni bir işlev tanıtalım:

,

balenli integralin güçlerine benzer

.

Daha sonra,

.

Oskіlki vіdrіzok
alanı kaplamak
daha sonra,
de


, ancak vіdrіzkom pozisyonunda yatın, o zaman
.

Sabit ile yazabiliriz:

.

İntegralin sağ tarafındaki birinci ve üçüncü integrallerin toplamı sıfıra eşittir, sonra

.

otze,

.

Standart eksen alanı üzerinde çalışan integrali hesaplamak için formülü kullanmak neden gereklidir?
tekrarlanan integrale bağlantı yoluyla:

.

Yakscho bölgesi
є standart y düz ekseni
tutarsızlıklar olarak ortaya çıkıyor ,

, benzer şekilde, biri bunu kanıtlayabilir

.

Saygı duymak. Bölge için
, standart y düz eksenler
і
, viconlar olacak

Bu formül için integrasyon sırası ve alt lineer integralin hesaplanma saatinde bir değişiklik vardır.

Saygı duymak.İntegrasyon alanı her iki koordinat ekseninde de standart (doğru) olmaktan çıkar çıkmaz, її standart alanların toplamında bölünür ve integrali bu alanlardaki entegrasyonların toplamı olarak temsil eder.

popo. Çalışan integrali hesaplayın
Bölgeye göre
, çizgilerle çevrili:
,
,
.

Çözüm.

Tsya alanı є standart yak schodo ekseni
, yani ben
.

Standart eksenin alanını dikkate alarak integrali hesaplıyoruz
.

.

Saygı duymak. Standart eksenin alanını dikkate alarak integral nasıl hesaplanır
, aynı sonucu alıyoruz:

.

popo. Çalışan integrali hesaplayın
Bölgeye göre
, çizgilerle çevrili:
,
,
.

Çözüm. Temsili olarak, entegrasyon bölgesi küçük olana verilir.

Tsya alanı є standart schodo ekseni
.

.

popo. Tekrarlanan entegrasyon için entegrasyon sırasını değiştirin:

Çözüm. Entegrasyon bölgesini hayal edelim.

Entegrasyon arası hatlardan, entegrasyon alanını çevreleyen hatları biliyoruz: ,
,
,
. Entegrasyon sırasını değiştirmek için şunları yapabiliriz: fonksiyonlar olarak ve geçiş noktasını biliyoruz:

,
,
.

Böylece, aralıklardan birinde, fonksiyon iki analitik virüs ile ifade edilir, daha sonra entegrasyon alanı iki alana bölünmelidir ve verginin tekrarlanan integrali iki entegrasyonun toplamıdır.

.