Alt integral, sing integralinin gücüne benzer bir güce sahiptir. Ana olanlardan önemli ölçüde daha az:

1. Fonksiyonlar nelerdir?
bölgede entegrasyon
, o zaman onlara entegrasyon miktar ve farktır, üstelik

2. İşaret için sabit çarpan suçlanabilir balenli integral:

3. Yakscho
bölgeye entegre
ve bu alan örtüşmeyen iki alana bölünmüştür. і
, sonra

.

4. Yakscho
і
bölgede entegrasyon
, yakіy'de

, sonra

.

5. Bölgede neler var
işlev
tutarsızlıklardan memnun


de
і
eylemler sayılar, sonra

,

de - bölgenin alanı
.

Bu güçlerin ispatları, basit integral için ikinci teoremlerin ispatına benzer.

Dikdörtgen Kartezyen koordinatlarda dikey integralin hesaplanması

Altta yatan integrali hesaplamak gerekli olsun
, alan - Düzensizliklerle karakterize edilen dikdörtgen ,.

varsayalım ki
Kesintisiz aynı dikdörtgende ve nabuvayda yeni bilinmeyen değerde, cismin hacminin taban ile integrali olmasına rağmen , üstte canavarla saçaklı
, yanlardan - daireler
,
,
,
:

.

Diğer taraftan, şarkı integralinin yardımı için böyle bir rakam hesaplanabilir:

,

de
- bu cismi bir noktadan geçen bir düzlemle geçme alanı ve eksene dik
. Eğrisel bir yamuk ile çaprazlanmış analiz parçaları
, bir fonksiyon grafiğine sahip canavarla çevrili
, de sabit ve , sonra

.

Z tsikh triokh eşitlikleri vyplivaє, scho

.

Bundan böyle, taban integralinin hesaplanması, iki tek integralin hesaplanmasıydı; "iç integral" hesaplanırken (kemerlerle yazılmıştır) değişmez olmak.

Saygı duymak. Formülün geri kalanının ne zaman doğru olduğunu açıklayabilir misiniz?
, ayrıca bir bakışta, eğer işlev
belirtilen dikdörtgenin işaretini değiştirin.

Formül bölümünün hakları yinelenen integral olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir:

.

Benzer şekilde, gösterilebilir ki

.

Söylenenlerin üstünde, sızlanıyorsun

.

Kalan eşitlik, entegrasyon sonucunun entegrasyon sırasına girmesi gerektiği anlamına gelir.

En derin eğime bir göz atmak için standart alan anlayışını tanıtalım. Doğrudan eksene verilen standart (veya doğru) alana, düz olması, eksenin merkezine paralel olması, alan arasına artık dağılmaması, iki noktada daha düşük olması gereken bir alan denir. Aksi takdirde, bölgenin kendisini devirerek, її kordonunun düz bir esinti olduğu anlaşılıyor.

Bölgenin çevrili olması kabul edilebilir.

bir fonksiyon grafiğine sahip canavarla çevrili
, altta - fonksiyonun grafiği
. Hadi R ( ,) - bölgenin döşendiği minimum dikdörtgen
.

Bölgeye git
kesintisiz işlev atanır
. Yeni bir işlev tanıtalım:

,

balenli integralin güçlerine benzer

.

Daha sonra,

.

Oskіlki vіdrіzok
alanı kaplamak
daha sonra,
de


, ancak vіdrіzkom pozisyonunda yatın, o zaman
.

Sabit ile yazabiliriz:

.

İntegralin sağ tarafındaki birinci ve üçüncü integrallerin toplamı sıfıra eşittir, sonra

.

otze,

.

Standart eksen alanı üzerinde çalışan integrali hesaplamak için formülü kullanmak neden gereklidir?
tekrarlanan integrale bağlantı yoluyla:

.

Yakscho bölgesi
є standart y düz ekseni
tutarsızlıklar olarak ortaya çıkıyor ,

, benzer şekilde, biri bunu kanıtlayabilir

.

Saygı duymak. Bölge için
, standart y düz eksenler
і
, viconlar olacak

Bu formül için integrasyon sırası ve alt lineer integralin hesaplanma saatinde bir değişiklik vardır.

Saygı duymak.İntegrasyon alanı her iki koordinat ekseninde de standart (doğru) olmaktan çıkar çıkmaz, її standart alanların toplamından ayrılır ve integrali bu alanlardaki entegrasyonların toplamı olarak temsil eder.

popo. Çalışan integrali hesaplayın
Bölgeye göre
, çizgilerle çevrili:
,
,
.

Çözüm.

Tsya alanı є standart yak schodo ekseni
, yani ben
.

Standart eksenin alanını dikkate alarak integrali hesaplıyoruz
.

.

Saygı duymak. Standart eksenin alanını dikkate alarak integral nasıl hesaplanır
, aynı sonucu alıyoruz:

.

popo. Çalışan integrali hesaplayın
Bölgeye göre
, çizgilerle çevrili:
,
,
.

Çözüm. Temsili olarak, entegrasyon bölgesi küçük olana verilir.

Tsya alanı є standart schodo ekseni
.

.

popo. Tekrarlanan entegrasyon için entegrasyon sırasını değiştirin:

Çözüm. Entegrasyon bölgesini hayal edelim.

Entegrasyon arası hatlardan, entegrasyon alanını çevreleyen hatları biliyoruz: ,
,
,
. Entegrasyon sırasını değiştirmek için şunları yapabiliriz: fonksiyonlar olarak ve geçiş noktasını biliyoruz:

,
,
.

Böylece, aralıklardan birinde, fonksiyon iki analitik virüs ile ifade edilir, daha sonra entegrasyon alanı iki alana bölünmelidir ve verginin tekrarlanan integrali iki entegrasyonun toplamıdır.

.

1.1 Dikey integralin belirlenmesi

1.2 Alt integralin baskınlığı

Alt integralin (o yogo visnovok) baskınlığı, tek seferlik şarkı integralinin baskınlığına benzer.

1°. Katkı oranı. f(x, y) işlevi D alanına entegre edilmişse ve D alanı ek G eğrisinin ötesindeyse, sıfır alanı iki bağlantıya bölünür ve D alanının ortak iç noktaları yoksa 1 ve D 2, daha sonra f(x, y) fonksiyonu D 1 ve D 2 alanlarından deriye entegre edilir, ayrıca

2°. Doğrusal güç. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D uzayında nasıl integrallenebilir? i? - konuşma numaraları olsun, ardından işlev [? f (x, y) + ? g (x, y)] ayrıca D alanına entegre edilmiştir, ayrıca

3°. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D bölgesinde integrallenebilir olduğundan, bu fonksiyonların ek fonksiyonları D'de integrallenebilirdir.

4°. f(x, y) ve g(x, y) fonksiyonları D alanına nasıl entegre edilebilir ve f(x, y) ile çaprazlanabilir? g(x, y), sonra

5°. f(x, y) işlevi D alanı tarafından entegre edildiğinden, th işlevi |f(x, y)| D bölgesine entegre, üstelik

(Açıkçası | f (x, y) | D'nin integrali f (x, y)'nin D'deki integralini göstermez.)

6°. Ortalama değer teoremi. Saldırgan fonksiyonlar f(x, y) ve g(x, y) D alanına entegre edilmiş olsa da, g(x, y) fonksiyonu bu dairenin her yerinde görünmezdir (pozitif değildir), M ve m tamdır D bölgesinde f( x, y) fonksiyonunun üst ve alt sınırları, o zaman m'nin eşitsizliğini sağlayan bir sayı var mı? ? ? M i formülün geçerli olması için

Sokrema, f(x, y) fonksiyonu sürekli D olduğundan ve D alanı bağlantılı olduğundan, bu alanda böyle bir nokta var (?, ?), Ne? = f(?, ?) ve formül şöyle görünür

7°. Önemli geometrik güç. yaşam alanı D

T gövdesi (Şekil 2.1) D alanının altındaki boşluğa, canavara - kesintisiz ve görünmez bir fonksiyonun grafiği) z \u003d f (x, y,) boşluğa atandığı gibi D, yanlardan - silindirik bir yüzey, D alanı arasında doğrudan bir є ve Oz eksenine paralel. Bu tip bir gövdeye silindirik gövde denir.

1.3 Düşey integralin geometrik yorumu

1.4 Dikdörtgenin düşey integralini anlama

R = ? dikdörtgenine her yerde yeterli bir f(x, y) fonksiyonu atansın. (böl. Şekil 1).

Biberiye segmenti a? x? b yardımcı noktanın ötesinde n kısmi parça a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Neden Ox і Oy eksenlerine paralel düz çizgiler yardımıyla bölme, R dikdörtgenini n · p kısmi dikdörtgenlere bölüyor R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). R dikdörtgeninin bölünmesinin gösteriminde T sembolü ile anlamlıdır. Bölmeyi "dikdörtgen" terimi altında, kenarları koordinat eksenlerine paralel olan dikdörtgeni ifade etmek için verdik.

Cilt üzerinde chastkovy dikdörtgeni Rkl, bir tam nokta (?k,?l) seçiyoruz. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 koyduktan sonra, R kl dikdörtgeninin alanının ?R kl'si ile önemlidir. Açıkçası, ?R kl = ?x k ?y l .

bir R dikdörtgeninin belirli bir T dağılımını ve bir T dağılımının kısmi dikdörtgenleri üzerinde belirli bir ara nokta seçimini (? k, l) veren f(x, y) fonksiyonunun integral toplamı olarak adlandırılır.

Köşegen, dikdörtgenin çapı olarak adlandırılır R kl . Bir sembol? Tüm yaygın rectocuts çaplarının önemli ölçüde en büyüğü R kl .

I sayısı, integral toplamlarının sınırı olarak adlandırılır (1)? > 0, nasıl herhangi bir pozitif sayı olabilir? öyle diyebilir misin tarih?, Ne zaman?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ben |< ?.

f(x, y) fonksiyonu R dikdörtgeni üzerinde tümleşik (Riemann'a göre) olarak adlandırılır, çünkü fonksiyonun I integral toplamları arasında sonlu bir sınır vardır? >0.

Belirtilen sınır I, R dikdörtgeni tarafından f(x, y) fonksiyonunun alt integrali olarak adlandırılır ve aşağıdaki sembollerden biri ile gösterilir:

Saygı duymak. Böylece, tıpkı tek seferlik bir integralde olduğu gibi, f(x, y) fonksiyonunun bir R dikdörtgeni üzerinde tümleşik olduğu ve bu dikdörtgen üzerinde çevrelendiği tespit edilmiştir.

Bu, f(x, y) fonksiyonlarının sınırından daha uzağa bakma fırsatı verir.

Alt integrallerin gücü.

Ortası olmayan alt-integrallerin gücünün bir kısmı, integral toplamların gücünü anlamanın anlamından parlıyor, ama kendisi:

1. İşlev nedir f(x, y) entegre D, sonra kf(x, y) tezh bu galusi'ye entegre edilmiştir, üstelik (24.4)

2. Bölgede neler var D entegrasyon fonksiyonları f(x, y)і g(x, y), ardından bu işlevler bu galeriye entegre edilmiştir f(x, y) ± g(x, y), bende

3. Bölgeye nasıl entegre olunur? D fonksiyonlar f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), sonra

(24.6)

Alt integrale daha fazla güç ekleyelim:

4. Yakscho bölgesi D iki bölgeye ayrılmış D 1 ta D 2 parlayan iç noktalar ve işlev olmadan f(x, y) Bölgede kesintisiz D, sonra

(24.7) getirmek . Bölgeye göre integral toplamı D bir bakışta görebilirsiniz:

bölgenin bölünmesi D arasında olacak şekilde gerçekleştirilir. D 1 ta D 2, savaşın bölümleri arasında inşa edilmiştir. Eşitliği elinden alırken sınıra ter dökmek (24.7).

5. Entegrasyon sırasında D fonksiyonlar f(x, y) bu işlev galusuma entegre edilmiştir | f(x, y) |, ve maє mistse nerіvnіst

(24.8)

getiriyor.

sinirlilik durumunda sınır kapısında yardım için yıldızlar (24.8)

6. de SD- bölgenin alanı D.İntegral toplamın yerine hangi iddianın alındığının kanıtı f(x, y)≡ 0.

7. Bölgede hala entegre D işlev f(x, y) Gerginliği tatmin eder

m ≤ f(x, y) ≤ M,

sonra (24.9)

getiriyor.

Kanıt, bariz eşitsizlikten bir sınır geçişi ile gerçekleştirilir.

Sonuçlar.

Sinirliliğin tüm bölümleri nasıl bastırılır (24,9) D, sözde ortalama değer teoremini alabilirsiniz:

Zokrema, zihnin kesintisiz işlevi için f içinde D bölgede böyle bir nokta var ( x 0, y 0), yakіy'de f(x 0, y 0) = μ , sonra

-

Ortalama değer teoreminin başka bir formülasyonu.

geometrik zmist alt integral.

vücudunu görelim V, kısmi bir yüzeyle çevrili, eşitler tarafından sorulan şey z = f(x, y), projeksiyon D uçak başına yüzey hu yüzeyler arasındaki noktaları çıkıntılarıyla birleştiren, dikey olanlardan kesilmiş, tabular silindirik bir yüzey.

z = f(x, y)

V

y benİncir. 2.

Shukatimemo, tabanları Δ olan silindirlerin hacimlerinin toplamı arasındaki vücudun hacmi Si bölgeler D, ve yüksekliklere göre - vіdrіzki zavdovka f(Pi), noktalar Pi yalan Δ Si. Otrimaemo, scho ile sınıra geçiş

(24.11)

bu, yüzeydeki canavarla çevrili sözde silindirin integralinin etkisi altındadır. z = f(x, y), ve aşağıda - alan D.

Yoga bağlantısının ikinciye giden yolu ile alt çizgi integralinin hesaplanması.

perspektif alanı D, çizgilerle sınırlanmış x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) ve φ 2 ( X) ara vermeden [ bir, b]. Sonra düz ol, koordinat eksenine paralel de ve alanın iç noktasından geçmek D, bölgenin kordonunu iki noktadan geçmek: N 1 ta N 2 (Şek. 1). Bu alanı arayalım doğruüzerinde

de doğru aks O de. Benzer şekilde,

y=φ 2 (x) düz bir çizgide doğru olan bir alan var

N 2 eksen O X. Bölge, doğrudan doğru-

Her ikisi de eksenleri koordine eder, biz

D sadece doğru ara. Örneğin,

Doğru alan Şekil 1'de gösterilmiştir.

y=φ 1 (x) N 1

O bir bx

hadi işlevi f(x, y) Bölgede kesintisiz D. Viraz'a bak

, (24.12)

rütbe dvorazovim integrali fonksiyon türü f(x, y) Bölgeye göre D. İç integrali (kollarda duran) değiştirerek hesaplayalım. de, aksine X postiynim. Sonuç olarak görüyoruz kesintisiz fonksiyon görüş X:

Otrimanu işlevi için integrallenebilir X arasında aönceki b. Sonuç olarak, numarayı alıyoruz

Yarda-bilge integralin önemli gücünü getiriyoruz.

Teorem 1. Yakscho bölgesi D, düz ileri doğru de, iki bölgeye ayrılmış D 1 ta D 2 düz, paralel eksen profesyonel de abo ekseni O X, daha sonra bölge üzerindeki dvorazovy integrali D bölgelere göre aynı integrallerin daha fazla toplamı D 1 ta D 2:

getiriyor.

a) Düz ilerleyin x = c ara vermek Düzerinde D 1 ta D 2, dümdüz de. Todi

+

+

b) Düz ilerleyin y=h ara vermek D sağda düz ileri de bölgeler D 1 ta D 2 (Şek. 2). önemli ölçüde M 1 (a 1 , h) o M 2 (b 1 , h) düz çizginin çapraz çizgisinin noktaları y=h kordondan L bölgeler D.

y Bölge D 1 kesintisiz çizgilerle çevrili

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) eğri ANCAK 1 M 1 M 2 saat, yazdıklarımıza eşit

hM 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) bir ≤ x ≤ bir 1 ta

A 1 D 1 bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h de a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) düz x = bir, x = b.

Bölge D 2 çizgilerle çevrili y=φ 1 *(x),

bir= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Teoremi iç integrale ispatlayabiliriz.

entegrasyonu kırmak:

o bir 1 b 1 b

+

Entegraіv v vyglyadі sumi içinde başka bir otrimanih verelim:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) bir ≤ x ≤ bir 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Birinci ve üçüncüler integralleri alıp sıfıra eşitler. otze,

ben = , sonra .

Alt integralin ana gücü

Alt integralin (o yogo visnovok) baskınlığı, tek seferlik şarkı integralinin baskınlığına benzer.

1°. katkı. işlev nedir f(x, y) bölgeye entegre D ve alan olarak D yardım eğrisi için G sıfır alanı iki bağlantıya bölünmüştür ve bölgenin yüksek iç noktalarını boğmaz D 1 ta D 2 , sonra fonksiyon f(x, y) cilt bölgelerine entegre D 1 ta D 2, ayrıca

2°. Doğrusal güç. Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, a α і β - konuşma numaraları olsun, ardından işlev [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] ayrıca bölgeye entegre edilmiştir D, dahası

3°. Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, daha sonra bu işlevlerin ek işlevleri D.

4°. Hangi işlevler f(x, y) o g(x, y) bölgede saldırgan entegrasyon D ve galerimde her yerde f(x, y) ≤ g(x, y), sonra

5°. işlev nedir f(x, y) bölgeye entegre D, bu işlev | f(x, y)| bölgeye entegre D, dahası

(Tabii ki entegrasyon ile | f(x, y)| içinde D entegrasyon göstermiyor f(x, y) içinde D.)

6°. ortalama değer teoremi. Ne kadar aşağılayıcı bir işlev f(x, y) o g(x, y) alanda entegrasyon D, işlev g(x, y) bu galeride her yerde görünmezdir (olumlu değildir), Mі m- fonksiyonun tam üst ve alt sınırları f(x, y) bölgede D, o zaman bir numara var μ bu siniri tatmin eder m ≤ μ ≤ M ve böylece formül geçerli

HAREKETLİ ENTEGRALLER

ders 1

Sürekli integraller.Alt akım integralinin amacı güçtür. Tekrarlanan entegrasyonlar Alt integrallerin tekrarlananlara bağlantıları. Entegrasyon arasında yerleştirme. Kartezyen koordinat sisteminin temel integrallerinin hesaplanması.

Alt integral, iki değişkenli farklı fonksiyonlardaki integralin anlaşılmasının derinleştirilmesidir. Bu şekilde, entegrasyonun tersi düz bir rakam olarak mevcut olacaktır.

Hadi D- Dejaka kapalı, çevrelenmiş bir alandır ve f(x,y) - yeterli bir işlev, bu galeri tarafından işaretlendi. Diyelim ki bölgeler arası D zihnin eşitleri tarafından verilen son eğri sayısından toplanır. y=f(x) veya x=g( y), de f(x) o g(y) kesintisiz fonksiyonlardır.

Rozib'ёmo bölgesi D iyi rütbe n Bölüm. alan i-ї delyanki, D sembolü ile anlamlıdır. ben. Cilt dilyantsi üzerinde, oldukça bir vibe bir nokta Pi, Ve oradan Kartezyen koordinat sisteminin herhangi bir sabitlenmesinde çıkalım ( x ben y ben). Sklademo integral toplamı fonksiyon için f(x,y) Bölgeye göre D, fonksiyonun hangi değeri tüm noktalarda biliniyor Pi, їх'nin çift parsel Ds alanıyla çarpılması i Ve tüm sonuçların alındığını varsayıyoruz:

Nazvemo çap(G) alanlar G bölgenin sınır noktaları arasındaki en büyük mesafe.

integral fonksiyonlar f(x,y) D alanında sınır olarak adlandırılır, integral toplamlar dizisi ne ölçüde (1.1) mola sayısında sınırsız bir artışla n (kime). Böyle yaz

Canım, scho, vzagali görünüyor, integral toplamı fonksiyonları ayarla ve verilen entegrasyon alanı D noktayı seç Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse, vіdpovіdіkh іntegrаlny toplamlar arasında, atanan chinnikіv arasında yalan söylemenin mümkün olmadığı anlamına gelir. Sırayla(veya göründüğü gibi, genel fonksiyon f(x,y) D alanına entegre edilir), bool'un integral fonksiyonunun olması yeterlidir. kesintisiz görev galerisi entegrasyonunda.

hadi işlevi f(x,y) bölgeye entegre D. Bu tür işlevler için kümülatif toplamlar arasındaki parçalar, entegrasyon alanını bölme yöntemiyle biriktirilemez, dikey ve yatay çizgiler yardımıyla bölme yapılabilir. Bölgenin daha fazla iş adamı Todі D matime düz kesim görünümlü, böyle bir dorovnuє D alanı ben=D x ben D ben. Bu nedenle, alan diferansiyeli şu şekilde yazılabilir: ds=dxdy. otze, Kartezyen koordinat sisteminde integraller altında görünce yazabilirsin

Saygı duymak. integral fonksiyonu f gibi(x,y)º1, o zaman entegrasyon bölgesinin alanının alt integrali:

Önemli olan, altı çizili entegrasyonların tek başına entegre olabileceği gibi aynı güç olabilir. Yaptıkları işler önemlidir.

Alt integrallerin gücü.

1 0 .Doğrusal güç. İntegrallerin diğer toplamının fonksiyonlarının toplamının integrali:

ve integralin işareti için sabit çarpan suçlanabilir.:

2 0 .Katkı gücü. D integrasyon alanı iki parçaya bölündüğünden, subintegral, deri parçası üzerindeki entegrasyonların toplamından daha eksiksizdir.:

3 0 .Ortalama teoremi. işlev nedir f( x,y)D bölgesinde sürekli ise galeride böyle bir nokta var(x, h) , ne:

Daha fazla beslenme sonrası: alt integraller nasıl hesaplanır? Yogo yaklaşık olarak virahuvati olabilir, bu yöntemle bozulur etkili yöntemler daha sonra ek EOM ile sayısal olarak hesaplanan kümülatif toplamların katlanmış toplamları. Alt integrallerin analitik hesaplanmasıyla, bunlar iki tekli integrale indirgenir.