Gerçek sayıların aksiyomları. Sayılar teorisinin aksiyomlarının takibi

İle gösterilen konuşma numaraları (R ruban olarak adlandırılır), ekleme işlemi ("+") tanıtılır, böylece dış öğe çifti ( x,y) vіdpovіdnіst öğeye konulan kişisel olmayan konuşma numaralarıyla x + y z tsієї w çarpanı, başlıklar sumo xі y .

çoğulluk aksiyomları

Çarpma işlemi (“·”) tanıtılır, bu nedenle eleman çifti ( x,y) kişisel olmayan konuşma numaraları için bir öğe koyun (aksi takdirde kısaltılmış, xy) s tsієї w çarpanı, yaratılış başlıkları xі y .

Çoğul olan Zvyazok dodavannya

Sipariş edilecek aksiyomlar

"" emrinin görevinde (birden az), sonra bahis için x, y vykonuєtsya yukarıdaki akıllardan biri olmak istiyor.

Zv'yazok katlanması için

Zvyazok vіdnoshennia çoğul düzeni

süreklilik aksiyomu

yorum

Bu aksiyom şu anlama gelir Xі Y- herhangi bir elemanı olacak şekilde gerçek sayıların iki boş çarpanı X herhangi bir öğeyi devirmeyin Y, sonra aralarına bir konuşma numarası ekleyebilirsiniz. İçin rasyonel sayılar bu aksiyom muzaffer değildir; klasik popo: tanınabilir pozitif rasyonel sayılar ve gözle görülür şekilde kişiliksizliğe X karesi 2'den küçük olan sayılar ve diğeri - en fazla Y. Todi mizh Xі Y bir rasyonel sayı ekleyemez (rasyonel bir sayı değil).

Bu, güvenliği sağlayan ve böylece matematiksel analize izin veren anahtar aksiyomdur. Önemini göstermek için, bundan iki temel çıkarımı belirtmeme izin verin.

aksiyomların mirası

Ara aksiyom olmadan, diyakozlar bugünün sayılarının gücü için önemlidir, örneğin,

sıfırın birliği,
proliferatif ve virülans unsurlarının birliği.

Edebiyat

Zorich V.A. Matematiksel analiz. Cilt I.M.: Fazis, 1997, 2. kısım.

Böl. ayrıca

Posilannya

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerdeki "Gerçek sayıların aksiyomatikleri"ne de bakın:

Gerçek bir sayı olan konuşma, gerekli ışığın geometrik ve fiziksel niceliklerinin kullanılmasının yanı sıra kök çıkarma, logaritma hesaplama, çözüm gibi işlemlerin yapılmasını gerektiren matematiksel bir soyutlamadır.

Konuşma, ki gerçek sayılar matematiksel bir soyutlamadır, neye hizmet edilir, zokrema, fiziksel niceliklerin değerinin bu benzerliğinin tezahürü. Böyle bir sayı, düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın konumunu betimleyen olarak sezgisel olarak temsil edilebilir.

Vikisözlük'te "aksiyom" maddesi var Aksiyom (Yunanca ... Wikipedia

Çeşitli aksiyomatik sistemlerde kullanıldığı için bir aksiyom. Gerçek sayıların aksiyomatiği Hilbert'in Öklid geometrisinin aksiyomatiği Kolmogorov'un imovirnosti teorisinin aksiyomatik ... Wikipedia

Sayı sistemi

Nesnelerin aktarımı için doğal serinin ortaya çıktığını tahmin edelim. Ancak nesnelerle çalışmak istiyorsak sayılar üzerinde aritmetik işlemlere ihtiyacımız var. Tobto, bir elmayı katlamak veya bir pastayı bölmek istiyorsak sayıların sayısını çevirmemiz gerekiyor.

Doğal sayılar dilinde + і * işlemlerinin tanıtılmasından sonra, bu işlemlerin gücünü gösteren aksiyomların eklenmesinin gerekli olması utanç verici bir saygıdır. Aletodes ve kişisel olmayan doğal sayılar tezh genişleyen.

Kişisel olmayan doğal sayıların nasıl genişlediğine hayret ediyoruz. İlk - ce dodavannya'dan biri için gerekli olduğu için en basit işlem. Ek bir operasyon atamak istiyorsak, ona bir geri dönüş - bir karar vermemiz gerekiyor. Bildiğimiz gibi, örneğin 5 ve 2'yi eklemenin bir sonucu olarak, o zaman türün sırasına eklemekten suçluyuz: 11'i almak için 4'e eklenmesi gerekenler vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya doğal sayıları tekrar veriyor doğal sayı, sonra doğal sayılara bakmak N'ye uymayan bir sonuç verir. Daha fazla sayıya ihtiyacımız var. Mantıklı bir vizyonun benzetmesiyle daha büyük sayı daha az boulo, vidnіmannya z daha az kuralını getirdi - böylece negatif sayıların sayısı ortaya çıktı.

Doğal seriyi + і - mi işlemleriyle tamamlayarak, kişisel olmayan tam sayılara ulaşırız.

Z=N+işlemler(+-)

Rasyonel sayılar sistemi yak mov aritmetiği

Şimdi buna diu - çoğul katlamak için bakalım. Aslına bakarsanız, bu bir bagataraz ilavesidir. І ek tamsayı sayısı bir tam sayı ile doldurulur.

Ale, çoklu bir podіl için bir ters işlem. Ancak her zaman iyi bir sonuç vermekten uzaktır. Ve yine bir ikilemle karşı karşıyayız - ya da sonucun “anlaşılamadığını” kabul etmek ya da yeni bir türün sayısını tahmin etmek. Bu yüzden rasyonel sayıları suçladılar.

Bir tamsayı sistemi alalım ve onu çarpma ve alt işlemi belirleyen aksiyomlarla tamamlayalım. Rasyonel sayılar sistemini kaldırıyoruz.

Q=Z+işlemleri(*/)

Baba, rasyonel sayıların dili çalışmanıza izin verir tüm aritmetik işlemler sayıların üzerinde. Doğal sayıların dili yeterli değildi.

Rasyonel sayılar sistemini aksiyomatik olarak tanıtalım.

Randevu. Kişisel olmayan Q'ya, elementler gibi rasyonel sayıların kişiliksizliği denir - rasyonel sayılar, ilerleyen zihin kompleksi olarak, başlıklara rasyonel sayıların aksiyomatiği denir:

Katlama işleminin aksiyomları. Sipariş edilen gibi bahis için x,y elementler Q deyaky elemanı x+yÎQ, toplamda sıralar Xі de. Kazandığında şöyle düşün:

1. (Isnuvannya sıfır) İznuє elemanı 0 (sıfır) öyle ki herhangi bir X OQ

X+0=0+X=X.

2. Herhangi bir öğe için X Q Q ana eleman - XО Q (tersi X) öyle ki

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Değişim) Her neyse x,yО Q

4. (İlişkililik) Herhangi bir x, y, z için Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Çarpma işleminin aksiyomları.

Sipariş edilen gibi bahis için x, y gerçek öğeye atanan Q öğeleri huÎ Q, yaratılışın başlıkları Xі y. Kazandığında şöyle düşün:

5. (Isnuvannya tek eleman) İznuє eleman 1 Q öyle ki her ne olursa olsun XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Herhangi bir öğe için X QQ , ( X≠ 0) ana eleman X-1 ≠0 öyle ki

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (İlişkilendirme) Şeyler için x, y, zО Q

X . (en . z) = (x . y) . z

8. (Değişim) Her neyse x, yО Q

Aksiyom zv'azku katlanmış ve çarpılmıştır.

9. (Dağıtıcı) Her neyse x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Aksiyomlar sıralıdır.

İki element gibi ol x, y, Q Q satırın sonunda başlar ≤. Kazandığında şöyle düşün:

10. (X≤de)L ( de≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Yakah için x, yО Q veya x< у, либо у < x .

Ayar< называется строгим неравенством,

Oran = Q elemanlarının eşitliği denir.

Aksiyom zv'yazku dodavannya bu sipariş.

13. Herhangi bir x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z için

Aksiyom zv'yazku mnozhennya bu sipariş.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Arşimet'in ebediliği aksiyomu.

15. a > b > 0 olup olmadığı için m N ve n Q var, öyle ki m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Böylece rasyonel sayılar sistemi Zem'in aritmetiğidir.

Prote, pratik sayma görevlerinin üstüne film yetmez.

Matematikte aksiyomatik yöntem.

Doğal serilerin aksiyomatik teorisinin temel anlayışı ve anlaşılması. Bir doğal sayının atanması.

Doğal sayıların eklenmesi.

Doğal sayılarda bir artış.

Doğal sayıların çarpanının gücü

Vіdnіmannya raspodіl doğal sayılar.

Matematikte aksiyomatik yöntem

Aksiyomatik yönlendirme ile bir tür matematiksel teori desteklenir. kuralları söyle:

1. Deyakі, vibirayutsya gibi teoriyi anlıyor ana arama izni olmadan kabul edilir.

2. formüle edilmiş aksiyomlar Bu teoriler tarafından kanıtsız kabul edilen, başlıcalarını anlama gücüne sahip olan .

3. Cilt teoriyi anlar, ana olanlar listesinden intikam almamak için verilir. randevu, yenisi için yogo zmist'in başlıcaları ve bu anlayışın önünü açanların yardımı ile anlatılmıştır.

4. Teorinin aksiyomlar listesinin gözden kaçıramayacağı cilt önermesi gün ışığına çıkarılabilir. Bu tür önermelere denir teoremler ve bunları, yeniden işlenecek olan aksiyomlar ve teoremler temelinde getirin.

Aksiyomlar sistemi şunlar olabilir:

a) düşüncesiz: buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z verilen aksiyom sisteminden suçluyuz, superechnosti'ye gelmiyoruz;

b) bağımsız: aksiyomların hiçbiri sistemin diğer aksiyomlarını takip etmekten suçlu değildir.

içinde) Yeniden, bu çerçevede bile, yogo'nun listelendiği firmanın chi'sini getirmek her zaman mümkündür.

Teorinin aksiyomatik motivasyonunun ilk kanıtı, Öklid'in Yogo "Cobs"ta (3. yüzyıl e.) geometri kitabında dikkate alınacaktır. Geometri ve cebire ilham veren aksiyomatik yöntemin geliştirilmesine önemli bir katkı N.I. Lobachevsky ve E. Galois. Örneğin, 19 st. İtalyan matematikçi Peano, aritmetik için bir aksiyom sistemini bozdu.

Doğal sayının aksiyomatik teorisinin temel anlayışı ve anlaşılması. Bir doğal sayının atanması.

Deakіy çokluğundaki ana (önemli olmayan) anlayış olarak N Seç deklanşör ve vikoristovuyutsya teorik-çoklu anlayışta gezinme, mantık kurallarında gezinme.

Kesintisiz olarak öğeyi takip eden bir öğe a, belirtmek a".

Görünüşe göre, “aracı olmadan takip” yaklaşan aksiyomlardan memnun:

aksiyomlar Peano:

aksiyom 1. yüzsüz N іsnuє elemanı, ortası olmayan saldırgan değil herhangi bir eleman için çarpan yoktur. Yoga diyelim yalnızlık simgeleyen 1 .

aksiyom 2. Cilt elemanı için a h N temel tek eleman a" için amansızca ilerleyen a .

aksiyom 3. Cilt elemanı için a h N aracı olmadan takip ettiği birden fazla unsur değil a .

Aksiyom 4.çarpan gibi ol M yüzü olmayan N spіvpadє z N , yakscho maє gücü: 1) 1 intikam almak M ; 2) neyden a intikam almak M , sonra, ben ne a" intikam almak M.

Randevu 1. Bezlich N , bir kepenk takılı olan elemanlar için "Hemen izleyin 1-4 aksiyomlarını karşılayan ", denir bezlіchchu doğal sayılar, ve yoga öğeleri - doğal sayılar.

Bu atanan kişinin çarpanın unsurlarının doğası hakkında söyleyecek hiçbir şeyi yoktur. N . Yani orada olabilirsin. Bir meçhul gibi Vibirayuchi N gün, 1-4 aksiyomlarını karşılayan “ara takip olmadan” belirli bir referansın verildiği belirli bir çarpandır, onu alıyoruz bu sistemin modeli aksiyomlar.

Peano'nun aksiyomlar sisteminin standart modeli, ardışıklığın tarihsel gelişim sürecinin kökü olan bir dizi sayıdır: 1,2,3,4,... Doğal diziler 1 sayısından başlar (aksiyom 1). ); derinin doğal sayısından hemen sonra bir doğal sayı gelir (aksiyom 2); bir dış doğal sayı, birden fazla doğal sayıyı takip etmez (aksiyom 3); 1'den başlayıp birbiri ardına ilerleyen doğal sayılara doğru ilerleyerek sayıların tüm çarpanlarını alıyoruz ( aksiyom 4).

Otzhe, ana sayı seçimi ile doğal sayıların aksiyomatik pobudov sistemini geliştirdik. vodnosiny "aracı olmadan takip" güç yogasının bazı tanımlarında bu aksiyom. Pobudov'un doğal sayıların ve işlemlerin güçlerine bir bakış aktarma teorisinden biraz daha ileride. Koku, atanmış ve teoremlerde, tobto'da rozkritі olabilir. “orta değerlendirme olmadan” girişinin günlük mantıksal yolu ve 1-4 aksiyomları tarafından tanıtıldı.

Bir doğal sayının belirlenmesinden sonra tanıttığımız gibi, anlaşılması gereken ilk şey, deklanşör "hemen ileri" , Doğal serinin güçlerine bakmak için genellikle bir saat boyunca vikoristovuyut yake.

Randevu 2. doğal sayı nedir b aracısız takip doğal sayı a, o sayı a aranan doğrudan ileri(aksi takdirde ön) b sayısı .

Vіdnoshennia "pereduє" maє yetkililerin yanında.

Teorem 1. Birliğin ileri bir doğal sayısı yoktur.

Teorem 2. Deri bir doğal sayıdır a, Vіdmіnne vіd 1, maє bir ileri numara b, ne olmuş b"= a.

Doğal sayılar teorisinin aksiyomatik mantığı ne ortaokulda ne de ortaokulda görülür. Prote hakimiyeti, Peano'nun aksiyomlarında olduğu gibi "aracı takip etmeden" vіdnosinі, є matematik koçanı dersinde çalışma konusu. Zaten birinci sınıfta, ilk ondaki sayılara bakmak bir saat, bir cilt numarası alabileceğiniz gibi açık. “Kaydı” ve “önce” kelimelerinin kimden anlaşıldığı. Dış görünüm, doğal sayı dizilerinin bükülmüş bükülmesinin bir devamı olarak yeni bir sayıdır. Tsiom'da yeniden düşünmeyi öğrenin, bir cilt numarasıyla scho, aynı ve birden fazla, doğal sayı serisinin tükenmez olduğunu.

Doğal sayıların eklenmesi

Doğal sayıların eklenmesini belirleyen aksiyomatik teoriyi harekete geçirme kuralları için, vekaleten yürütmek gerekir, "hemen takip edin", anlıyorum "doğal sayı"і "önceki numara".

Viperedimo vyznachennya, mirkuvannyami'yi ilerleterek katlandı. Herhangi bir doğal sayı nasıl a 1 ekle, sonra sayıyı al a", amansızca ilerliyor a, sonra. a+ 1= bir" Ve sonra, herhangi bir doğal sayıya 1 ekleme kuralını alıyoruz. Ale yak eklemek a doğal sayı b, 1'de kaldı mı? Önümüzdeki gerçeği hızlandırıyoruz: 2 + 3 = 5 olduğunu görürsek, toplam 2 + 4 = 6 olur, bu da 5 sayısını aracısız takip eder.Bu sırayla, 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". sıcakta belki gibi görün, .

Bu gerçek, aksiyomatik teoride doğal sayıların belirlenmesinin temelidir.

Randevu 3. Doğal sayılar ekleme güçlü olabilen bir cebirsel işlem çağrılır:

Sayı bir + b aranan sayıların toplamı aі b , ve sayıların kendileri aі b - dodanki.

OMSK DEVLET PEDAGOJİ ÜNİVERSİTESİ
OmDPU ŞUBESİ G. TARI yakınında
LBC, editoryal ve yayıncılığın kararları için çalışıyor
OmDPU'nun 22. 73. şubesi Tari metrosuna yakın
Bölüm 67

Pedagojik üniversitelerin öğrencileri için "Cebir ve Sayı Teorisi" disiplinini öğrettikleri için öneriler kabul edilmektedir. Bu disiplin çerçevesinde 6. yarıyılda "Sistemin Sayıları" bölümü geliştirilmiştir. Bu öneriler, doğal sayılar sistemleri (Peano'nun aksiyomlar sistemi), tamsayı sistemleri ve rasyonel sayılar için aksiyomatik mantık hakkında materyal içerir. Tsya aksiyomatik, okul matematik dersini anlamanın ana konularından biri olarak, böyle bir sayının ne olduğunu daha iyi anlamanızı sağlar. Materyalin en kısa sürede özümsenmesi için ilgili konuların tanıtılması önerilir. Örneğin, öneriler ve öneriler, açıklamalar, görevler.

Hakem: Doktora, prof. Dalinger V.A.

Arkadaşa imza attı - 22.10.98

Gazete kağıdı
Dolaşım 100 kopya.
Birbirleri için operasyonel yöntem
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tuhaçevski, 14
filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69

1. DOĞAL SAYILAR.

Doğal sayılar sisteminin aksiyomatik muhakemesi ile çarpan, mavi, fonksiyonlar ve diğer çoklu teorik anlayışların dikkate alınması önemlidir.

1.1 Peano'nun aksiyom sistemi ve en basit çıkarımlar.

Peano'nun aksiyomatik teorisindeki ortak anlayış, kişisel olmayan N'dir (doğal sayıların kişiliksizliği olarak adlandırılır), özellikle yeni ve ikili ilişkiden sıfır (0) sayısı, S ile gösterilen N'ye "takip eder" ( a) (veya bir ().
aksiyom:
1. ((a(N) a"(0 (Bu, herhangi bir sayıdan sonra gelmeyen doğal bir 0 sayısıdır.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (Deri doğal sayısı birden fazla sayıdan sonra gelir.)
4. (tümevarım aksiyomu) Bir çarpan olarak M(N ve M) iki zihni tatmin eder:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a)(M, sonra M=N).
İşlevsel terminolojide ze, S:N®N'nin etkin olmadığı anlamına gelir. Aksiyom 1'den S:N®N fermantasyonunun sür'aktif olmadığı açıktır. Aksiyom 4, "matematiksel tümevarım yöntemiyle" sıkı çalışmayı kanıtlamanın temelidir.
Aracı olmadan aksiyomlar için haykıran doğal sayıların gücünün önemli ölçüde eylemleri.
Güç 1. Cilt doğal bir sayıdır a(bir ve birden fazla sayıdan sonra 0.
getiriyor. Önemli ölçüde, M kişisel olmayan doğal sayılar aracılığıyla, scho, sıfır ve tüm doğal sayılar, herhangi bir sayı için aşağıdakilerin dış görünümü. M=N, birliğin aksiyom 3'ten açıkça görüldüğünü göstermek yeterlidir. Tümevarım 4'ün aksiyomunu ispatlayalım:
A) 0(M - istem çarpanı M ile;
B) hatta a(M, bunlar a"(M, daha fazla a" a'yı izler.
4 M=N aksiyomlarından ortalama.
Güç 2. a (b) ve ardından "(b") gibi.
Güç, "kabul edilemez olandan", vicorist aksiyom 3 yöntemiyle getirilir.
Güç 3. Bir "(b", ardından a (b.)" gibi
Kuvvet 4. ((a(N)a(a". (Ardından doğal sayı yoktur).)
getiriyor. Böyle bir Umov A) aksiyom sıralamasında M=(x(x(N, x(x))) olsun. 4 0(M - kazanır. x(M, o zaman x(x") ise), o zaman 2 x" ((x")" kuvvettedir ve tse, Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodik olarak 4 M=N aksiyomunu takip eder) anlamına gelir.
(- doğal sayıların kuvvetinin ikilisi. a sayısının kuvveti olduğu gerçeği (, ((a)) yazın).
Görev 1.1.1. Kişisel olmayan doğal sayıların atamasının 4. aksiyomunun, artan sertliğe daha yakın olduğunu söyleyeyim: her türlü otorite için (, ((0) i, o zaman gibi).
Görev 1.1.2. Tekli işlem (: a(=c, b(=c, c(=a)) bu şekilde A=(a,b,c) üç elemanlı çarpanda tanımlanır.)
Görev 1.1.3. A \u003d (a) - tek elemanlı çarpan, a (= a) Peano'nun çarpan A üzerindeki doğruluk aksiyomları ile Yaki (?)
Görev 1.1.4. N'nin bir çokluğunda, kim olursa olsun, önemli ölçüde tekli bir işlem önemlidir. İşlem açısından formüle edilen Peano aksiyomlarının ne kadar doğru olacağını açıklayın.
Görev 1.1.5. Hadi. (.) işlemini kullanarak A'nın kapalı olduğunu kanıtlayın. (.) işlemi ile A çarpanı üzerindeki Peano aksiyomlarının doğruluğunu tersine çevirin.
Görev 1.1.6. Hadi, . Bununla birlikte, A üzerinde önemli ölçüde tekli bir işlemdir. Peano'nun aksiyomları işlemin çarpanı A üzerinde nasıl doğrudur?

1.2. Peano'nun aksiyom sisteminin süperselektivitesi ve kategorikliği.

Aksiyomlar sistemine süper olmayan denir, çünkü її aksiyomlarında olduğu gibi T ve її teoremini enine getirmek imkansızdır (T. Süper verimli aksiyom sistemlerinin matematikte aynı değere sahip olamayacağı anlaşılmıştır, çünkü böyle bir Bu nedenle, aksiyomlar sisteminin mükemmellik eksikliği kesinlikle gereklidir.
Aksіomatic Teorisindeki Yakshcho, teoremi akıtmadı, aksinin sistemi ezilmediği anlamına gelmez; aksiyomlar sisteminin yorumlanmasının açıkça mükemmel olmayan bir teori S'de olduğu gerçeğine, o zaman aksiyomlar sisteminin kendisi süper eşit değildir.
Peano'nun aksiyomları sistemi için zengin farklı yorumlar yapılabilir. Özellikle çokluk teorisinin yorumlanması bakımından zengindir. Bu tür yorumlardan biri önemlidir. Doğal sayılarla (, ((), ((()))), (((())),... şöyle ve böyle M. Bu sırayla, ("=((), (()"=((()) vb.))) küçüktür: Peano'nun aksiyomlarının sisteminin katlar teorisi olmasına rağmen olduğunu gösterir. üstün değildir, ancak katlar teorisinin aksiyomlar sisteminin süper olmadığının kanıtı daha da önemlidir.
Üstün olmayan bir aksiyom sistemine bağımsız denir, çünkü bu sistemin cilt aksiyomu diğer aksiyomlara dayanarak bir teorem olarak kanıtlanamaz. aksiyomu gün ışığına çıkarmak için
(1, (2, ..., (n, ((1)))
aksiyomlar sisteminin mükemmel olmadığını kanıtlamak için yeterli
(1, (2, ..., (n,((2))
Doğru, yakby (sistem (1)'in diğer aksiyomlarından farklı olmak mümkündü, o zaman sistem (2) süper akıllıydı, bunun parçaları teorem (ve aksiyom ((.))) için doğru olurdu.
Ayrıca, aksiyomların (1) sistemin diğer aksiyomlarından bağımsızlığını getirmek için (2) aksiyom sisteminin yorumlanmasını teşvik etmek yeterlidir.
Aksiyomlar sisteminin bağımsızlığı büyük bir neobov'yazkovadır. Bazen, "önemli" teoremlerin ispatından kaçınmak için, bir dünya-üstü (depozito) aksiyom sistemi yaratacağız. Bununla birlikte, "zayv" aksiyomları, aksiyomların teorideki rolünü ve ayrıca teorinin farklı bölümleri arasındaki dahili mantıksal bağlantıları görmeyi kolaylaştırır. Ek olarak, pobudova nadas aksiyom sistemleri için yorumlar, bağımsız olanlar için daha düşük, önemli ölçüde katlanır; "zayvih" aksiyomlarının geçerliliğini yeniden gözden geçirmeniz gerekse bile. Nadas topraklarının beslenme nedenleri arasında çok eskilere ait aksiyomlar arasında ilk önem verilmiştir. Öklid'in aksiyomatiğindeki 5. postülatın "Düz çizgiye paralel A noktasından geçen birden fazla düz çizgi olmadığını" zamanınıza getirmeye çalışın (", є teoremle (diğer aksiyomlarda yatmak için) ve Lobachevsky'nin geometrisinin sonucuna getirildi).
Sanki belirli bir kuramın A önermesi getirilebiliyor ya da bildirilebiliyormuş gibi, üst simgesel olmayan bir sisteme tümdengelimli olarak yeni denir, o zaman ya A ya da (A, verilen kuramın bir teoremidir. Bir aksiyoma Tümdengelimli povnota denir - tezh obov'yazkova vimoga değil, örneğin, grup teorisi aksiyomları sistemi, bölge teorisi, sulama teorisi - doğru değil, kırıklar ve kіntsevі ve neskіnchennі grupları, kіltsya, alanlar, sonra bunlarda isteyemeyeceğiniz teoriler, önerme getiremezsiniz.: "Öğelerin intikamını almak için grup (kіltse, field)".
Zengin aksiyomatik teorilerde (kendileri, biçimselleştirilmemiş olanlarda) kişisel olmayan önermelerin tam olarak dikkate alınamayacağı ve böyle bir teorinin aksiyom sisteminin tümdengelimsel eksiksizliğini getirmenin imkansız olduğu belirtilmelidir. İkinci değişiklik genellikle kategorik olarak adlandırılır. Aksiyomlar sistemine kategorik denir, bu nedenle iki yorum izomorfik olsun, böylece çoklu koçanı nesneleri ve diğer yorumlar arasında karşılıklı olarak açık bir ayrım vardır. Kategoriklik - tezh neobov'yazkova zihin. Örneğin, grup teorisinin aksiyom sistemi kategorik değildir. Bunun nedeni, Kintsev grubunun izomorfik kabuksuz bir grup olamayacağıdır. Ancak sayısal bir sistem teorisinin aksiyomlaştırılmasıyla birlikte, obov'yazkova'nın kategorik doğası; Örneğin, doğal sayıları ifade eden aksiyomlar sisteminin kategorik doğası, izomorfizme kadar yalnızca bir doğal seri olduğu anlamına gelir.
Peano'nun aksiyom sisteminin kategorisini getirelim. (N1, s1, 01) ve (N2, s2, 02) Peano'nun aksiyom sisteminin iki yorumu olsun. Böyle bir biektivne (karşılıklı olarak açık) ifadeyi belirtmek gerekir f: N1®N2, bunun için düşünmeniz gerekir:
a) herhangi bir x N1 için f(s1(x)=s2(f(x)));
b) f(01) = 02
Tekli işlemler s1 ve s2 aynı vuruş tarafından rahatsız edilirse, umova a) yeniden yazın
a) f(x()=f(x)(.
N1(N2) çarpanında önemli ölçüde
1) 01f02;
2) nasıl xfy, x(fy(.
Değiştirelim, N1'den N2'ye fermantasyonun kullanımı nedir, o zaman dermal x s N1 için
(((y(N2)xfy(1)
Önemli ölçüde M1 kişisel olmayan öğeler x N1, bazı zihinler için (1) kazanır. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 ile 2) ve 1 nokta 1) kuvveti.
Bu nedenle, aksiyom 4'e göre, M1=N1 olması mümkündür ve tse i, N1 N2'nin f є fermentasyonunun tanıtılması anlamına gelir. tsimu z 1)'de f (01) = 02 olduğu açıktır. Umov 2) şöyle yazılır: f(x)=y, sonra f(x()=y(. Kulağa f(x()=f(x)( gibi geliyor. Ayrıca, f'nin yansıması için bir düşünün) )) ve b.
Önemli ölçüde M2 aracılığıyla, N2'nin kişisel olmayan sessiz öğeleri, herhangi birinin dış görünümü, f görüntülendiğinde N1'in yalnızca bir öğesi şeklinde.
Parçalar f(01)=02, ardından 02 є. Eğer öyleyse, x(N2 і x(01), o zaman güç 1 öğesi için 1 x, mevcut c z N1 öğesini takip eder, o zaman f(x)=f(c()=f(c)((02. Ortalama, 02 f) tek bir elemanın sırası 01, ardından 02 (M2.
Devam edin y(M2 і y=f(x), burada x, y öğesinin tek ön görüntüsüdür. Ardından, a) y(=f(x)(=f(x()), sonra y( є x öğesinin görüntüsü ) (. c, y(, sonra f(c)=y() öğesinin bir ön görüntüsü olsun. Skіlki y((02, sonra c(01 і c) ileri öğedir, ki bu d ile anlamlıdır.)) Sonra y( =f( c)=f(d()=f(d)(, aksiyom 3 y=f(d)) nedeniyle) M2 ® y
Tüm Yunan öncesi matematiğin çok az ampirik karakteri vardır. Teorinin tüm unsurları, pratik görevlerin geliştirilmesine yönelik ampirik yaklaşımlar yığınında boğuluyordu. Yunanlılar bu ampirik mantıksal analiz materyalini verdiler, farklı ampirik veriler arasındaki bağlantıyı bulmaya çalıştılar. Pisagor ve okul (MS 5. yy) tarafından tüm geometri duygusunun oynadığı büyük bir role sahip olanlar için. Aksiyomatik yöntemin fikirleri, Aristoteles'in (MS 4. yüzyıl) eserlerinde açıkça dile getirildi. Prote, bu fikirlerin pratik bir gelişimi Euclid tarafından yoga "Cobs" da (MS 3 yüzyıl) gerçekleştirildi.
Aksiyomatik teorilerin üç formu adlandırılabilir.
bir). Zmistovna aksiyomatik, sanki geçen yüzyılın ortasına kadar birmiş gibi.
2). Napіvformal aksiyomatik, geçen yüzyılın son çeyreğinde scho vinyl.
3). Resmi (aksi takdirde resmileştirilmiş), D. Hilbert resmileştirilmiş matematiğin temel ilkeleri hakkındaki ünlü programını yayınladıysa, doğum tarihi 1904 olarak alınabilecek aksiyomatiktir.
Yeni cilt formu önden bloke değildir, ancak bir gelişme ve netleştirme ile aynı şey, ön kısımda daha düşük olan yeni cilt formunun gelişimi için de geçerlidir.
Zmistovna aksiyomları, aksiyomları formüle etmeden önce sezgisel olarak açıkça anlaşılabilmeleri ile karakterize edilir. Yani, Öklid'in "Koçanı"nda, anlama noktası altında, bu anlayışlar altında sezgisel olarak apaçık olanlar. Aynı zamanda harika bir dil ve daha çok Aristoteles'e benzeyen harika bir sezgisel mantık var.
Biçimsel aksiyomatik kuramların da güçlü bir dili ve sezgisel mantığı vardır. Bununla birlikte, ilk anlayanlar aynı sezgisel duyuya güvenmezler, sadece aksiyomlarla karakterize edilirler. Tim'in kendisi katılığı hareket ettirir, şarkı söyleyen bir dünya ile sezgi parçaları katılığı fetheder. Ek olarak, uyku hali büyüyor, çünkü böyle bir teoriye getirilen cilt teoremi herhangi bir yorumda adil olacaktır. Açıkça resmi bir aksiyomatik teori şeklinde - Hilbert'in teorisi, "Geometriyi Hayal Et" (1899) kitabında yer aldı. nap_vformalnyh teorilerinin izmaritleri aynı zamanda cebir sırasında sunulan kіlets ve diğer teorilerin teorisidir.
Biçimselleştirilmiş teorinin özü, matematiksel mantık sırasında geliştirilen kelime sayısının hesaplanmasıdır. Vіdmіnu vіd zmіstovnoї ve napіvformalіі axiomatics'te, teorinin resmileştirilmesi, özellikle sembolik mova galip geldi. Teorinin alfabesi kendisine tahsis edilmiştir, böylece orijinal dildeki harflerle aynı rolü oynayan kişisel olmayan sembollerin bir ikilisidir. Bir kіntseva sembol dizisine viraz veya kelime denir. Virüsler arasında bir formül sınıfı vardır ve cilt virüsünün tanınmasını sağlayan kesin kriter formül ile belirtilir. Formüller, büyük dilin konuşmasıyla aynı rolü oynar. Deyakі, goloshuyutsya aksiyomlarını formüle eder. Ek olarak, mantıksal görme kuralları belirlenir; Böyle bir kural, formüllerin bütünlüğü sırasında, tüm formülün ortası olmadığı anlamına gelir. Teoremin kendisinin ispatı, formüllerin lantz'ının sonudur, formülün geri kalanı teoremin kendisidir ve cilt formülü ya bir aksiyomdur ya da teorem daha önce getirilmiştir, aksi takdirde ileri ortasından şarkı söyler. gözlem kurallarından birine göre mızrak formülleri. Bu sıralamada, delilin geçerliliğine dair delilin yanında durmamalıyız: aksi halde Danimarka diliє kanıt veya є, kesin kanıt yoktur. cim ile bağlantıda, aksiyomatik, hazırlamanın özellikle incelikli ilkelerine alışmak için resmileştirilir. matematiksel teoriler Eğer bariz sezgisel mantık, büyük hareketimizin yanlışlıkları ve belirsizliği yoluyla ana sıra olan aflara yol açabilirse.
Yani, deri virüsü hakkındaki teorinin resmileştirilmesinde olduğu gibi, bunun bir formül olduğu söylenebilir, o zaman resmileştirilmiş teorinin kişisel olmayan önermeleri dikkate alınabilir. Bununla bağlantılı olarak, ilke olarak, tümdengelimli aklın ispatı ve yüzeysel olmayanlığın ispatı hakkındaki argümanı, yoruma girmeden kırmak mümkündür. Bir dizi basit yolla, farkı görebilirsiniz. Örneğin, hesaplamanın yüzeysel olmaması yorum yapılmadan yapılmaktadır.
Biçimselleştirilmemiş teorilerde, kişisel olmayan önermeler açıkça tanımlanmamıştır, bu nedenle yüzeysel olmayanlığı kanıtlamanın nedeni, yoruma gitmeden aptalca konulmuştur. Tümdengelimli povnoti kanıtı hakkında aynı değer ve yiyecek. Bununla birlikte, biçimselleştirilmemiş bir teorinin böyle bir önermesi duyulduğundan, onu getirmek veya sormak imkansız olduğundan, o zaman teori, açıkça, tümdengelimsel olarak yanlıştır.
Aksiyomatik yöntem uzun zamandır sadece matematikte değil, fizikte de kurulmuştur. Önce doğrudan deneyin, Aristoteles bunu yapmaya çalıştı, ancak Newton'un robotlarını mekanikten dışlayarak fizikteki kendi aksiyomatik yöntemini de düzeltti.
Bilimlerin matematikleştirilmesinin çalkantılı süreciyle bağlantılı olarak, bir aksiyomlaştırma süreci de vardır. Aksiyomatik yöntemlerin hiçbiri biyolojinin çeşitli bölümlerinde, örneğin genetikte bulunmaz.
Aksiyomatik yöntemin olanakları sonsuz değildir.
Sezgiyi göz ardı etmeden teorileri resmileştirmeyi unutmamamız önemlidir. Teorinin kendisi, istenen anlamın herhangi bir yorumu olmadan resmileştirilir. Bunun suçu, resmileştirilmiş teori ile yorum arasındaki bağlantıda düşüktür. Ayrıca teorilerin biçimselleştirilmesinde olduğu gibi, aksiyomlar sisteminin üstünlüğü, bağımsızlığı ve bütünlüğü ile ilgili bir soru vardır. Tüm bu tür yiyeceklerin toplamı, biçimselleştirilmiş bir teorinin meta teorisi olarak adlandırılan başka bir teorinin özü haline gelir. Biçimselleştirilmiş teori temelinde, dil meta teorisi en önemli günlük dildir ve mantıksal yansıtma, doğal sezgisel mantığın kurallarıyla gerçekleştirilir. Bu şekilde yine biçimselleştirilmiş kuramdan alınan sezgi, meta kuramda yeniden ortaya çıkar.
Ancak aksiyomatik yöntemin temel zayıflığı tsoma'da değildir. Önceden, resmileştirilmiş bir aksiyomatik yöntemin temelini attığı için D. Hilbert'in programı hakkında zaten düşünülmüştü. Hilbert'in ana fikri, klasik matematiği biçimselleştirilmiş bir aksiyomatik teori haline getirmek, süper-olmazlık getirmektir. Ancak, programın ana noktalarında ütopik olduğu ortaya çıktı. 1931'de ünlü Avusturyalı matematikçi K. Gödel ünlü teoremlerini geliştirdi ve bu da Hilbert tarafından belirlenen ana görevlerin ihlal edildiğini açıkça ortaya koydu. Yomu, kendi kodlama yönteminin yardımının ötesine geçerek, formalize edilmiş aritmetik formüllerinin yardımını öğrenmek ve bu formüllerin aritmetiğin biçimselleştirilmesinde görünür olmadığı metateorisinin yardımını getirdi. Bu şekilde, resmileştirilmiş aritmetik, tümdengelimsel olarak hatalı görünüyordu. Gödel'in sonuçlarından, aksiyom sayısına ispatlanamayan bir formül dahil edilse bile, aynı doğru önermeyi ifade eden başka bir ispatlanamayan formül olduğu açıktı. Bütün bunlar, sadece tüm matematiğin değil, aynı zamanda aritmetik öğrenmenin - en basit kısmı, resmileştirmenin imkansız olduğu anlamına geliyordu. Zokrema, Gödel, "Formülleştirilmiş aritmetik aşılmazdır" önermelerini gösteren ve formülün de gösterilemeyeceğini gösteren bir formüle ilham verdi. Bu gerçek, biçimselleştirilmiş aritmetiğin kusurunun aritmetiğin kendisinin ortasına getirilemeyeceği anlamına gelir. Zrozumіlo, resmileştirilmiş aritmetiğin üstünlüğünü getirerek güçlü bir resmileştirilmiş teori ve її teşvik edebilir ve aynı zamanda yeni teorinin süper olmaması için daha da önemli bir şekilde suçlayabilirsiniz.
Gödel'in sonuçları, aksiyomatik yöntemin geçerliliğini göstermektedir. Ve daha da önemlisi, gerçeği bilmeyen birinin bilgi teorisinde karamsar visnovkіv için podstav, - hayır. Aritmetiğin formalizasyonuna getirilemeyen aritmetik doğrularının sabit olması, doğruların cehaletinin tezahürü anlamına gelmez ve insan düşüncesinin belirsizliği anlamına gelmez. Vin, yalnızca zihnimizin olanaklarının prosedürlere indirgenmeyeceği, daha resmi hale getirileceği ve insanların hala yeni kanıt ilkelerini test etmeleri ve bulmaları gerektiği anlamına gelir.

1.3 Doğal sayıların saklanması

Peano eksenleri sistemi tarafından doğal sayıların katlanması ve çarpılması işlemleri varsayılmamıştır, bunun yerine işlemlerdir.
Randevu. Doğal sayıların eklenmesine, çarpan N üzerinde güçlü olabilen ikili cebirsel işlem + denir:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b))).
Beslenmeyi suçlamak - böyle bir operasyon nedir, ama öyleyse, o zaman nedir?
Teorem. Doğal sayıların eklenmesi gereklidir ve sadece bir tanedir.
getiriyor. Cebirin N çokluğu üzerindeki ikili işlemi fermentasyondur (:N(N®N. Sadece bir fermentasyon olduğunu getirmek gerekir (:N(N®N, güçler: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Önemli ölçüde, çarpan N üzerinde, zihinler tarafından ikili ifade fx:
a) 0fxx;
b) nasıl yfxz, y(fxz(.
Değiştirelim, N'den N'ye kullanımı nedir, o zaman y z N derisi için
(((z(N) yfxz (1)
Anlamlı bir şekilde, M aracılığıyla, akılların (1) galip geldiği doğal sayıların y çarpanı. Öyleyse a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) ve güç 1 p'yi düşünün ve fx'in N'den N'ye fermantasyon olduğu anlamına gelir. Hangi fermantasyon için şunu düşünün:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - b'den).
Tim'in kendisi katlama gerekçesini getirdi.
Birlik getiriyoruz. + i (- N kümeleri üzerinde 1c ve 2c kuvvetlerine sahip iki ikili cebir işlemi gibi olsun.
((x, y(N) x + y = x(y)
Yeterince sabittir x i sayısı, kişisel olmayan y doğal sayıların S aracılığıyla anlamlıdır;
x+y=x(y (2)
kazanç. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, o zaman
A) 0(S
Şimdi y(S, böylece eşitlik (2) kazanır.) Yani x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, o zaman))) ) aksiyomlar 2 x+y(=x(y(, böylece zihin kazanır)
B) y(S ® y((S.)
Böylece, teoremin ispatını tamamlayan 4 S=N aksiyomu ile.
Yetkilileri dodavannya'ya getirelim.
1. 0 sayısı toplamanın nötr elemanıdır, dolayısıyla a derisinin doğal sayısı için a+0=0+a=a.
getiriyor. Denge a+0=a zihinden çığlıklar 1s. 0+a=a eşitliğini getiriyoruz.
Önemli ölçüde, kazanmayan M kişisel olmayan numaralar aracılığıyla. Açıkça, 0+0=0 ve 0(M. Let a(M, sonra 0+a=a.) Sonra 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M)) ) Otzhe, M=N, nasıl ve getirmek için gereklidir.
Bize bir lema ver.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
getiriyor. M, tüm b doğal sayılarının kişisel olmayan bir sayısı olsun, bunun için eşitlik a(+b=(a+b)(a'nın herhangi bir değeri için doğrudur):
A) 0(M, kırıklar a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Kesinlikle, çünkü b(M ve 2c) mümkün)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
yani b ((M. Ortalama, M = N, ne getirmem gerekiyor).
2. Doğal sayıların toplanması değişmelidir.
getiriyor. M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a)))) Bana M=N olduğunu söyle. Belki:
A) 0(M - maliyet 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.))).
Ortalama a((M, i aksiyomundan M=N).
3. İlişkisel olarak ekleme.
getiriyor. Hadi
M=(c(c(N((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
M=N'yi getirmek gerekir. Yani (a+b)+0=a+b ve a+(b+0)=a+b, sonra 0(M. Let s(M, sonra (a+b)+c=a+(b+c)) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Ortalama c((4 aksiyomu ile M i M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
getiriyor. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Eğer b(0) ise, o zaman ((a(N)a+b(a))).
getiriyor. M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, sonra 0(M)) olsun) 2 p.1 (a+b)((a(aksi takdirde a( +b)) (a)) a((M і M=N)) anlamına gelir.
6. Eğer b(0,) ise ((a(N)a+b(0))
getiriyor. a=0 ise, o zaman 0+b=b(0, eğer a(0 і a=c( ise, o zaman a+b=c(+b=(c+b))(0. Yani, y be- hangi zaman a) + b (0.
7. (Trikotomi katlama yasası). Herhangi bir a ve b doğal sayısı için, üç benzerlikten yalnızca biri ve yalnızca biri doğrudur:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
getiriyor. Belirli bir a sayısını sabitleriz ve bu, 1), 2), 3) sayılarından birini bile kazanabileceğimiz tüm doğal sayıların b çarpanı M ile anlamlıdır. M=N'yi getirmek gerekir. b = 0 olsun. a=0 ise 1) ve a(0, sadece 3) ise a=0+a. Otzhe, 0(M.
Şimdi b(M) kabul edilebilir, böylece a'nın tersi 1), 2), 3)'ün tersidir. a=b ise, o zaman b(=a(=a+1, o zaman b için(kaydırma 2 sayılır).) sayılır) 2) a=b+v ise, o zaman iki sapma mümkündür: v=1 ve v(1. Eğer v=1 ise, a=b+v=b", o zaman b" için ters oran 1 ve v(1 , sonra v=c", de c(0 ve sonra a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, yani b için) Daha sonra b'yi getirdik (M ® b "(M, i, ayrıca M = N, yani a ve b olsun, kişi ünsüzlerden birini kullanmak istiyor 1), 2), 3). bir kerede mağlup edilemezler, spіvvіdnoshennia 2) ve 3), sonra küçük b a = (a + u) + v = a + + (u + v), ancak 5 ve 6'nın gücü ile imkansızdır. 7'nin gücü sona erdi.
Görev 1.3.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))) olsun) söyle 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. ÇARPAN DOĞAL SAYILAR.

Randevu 1. Doğal sayıların çarpılmasına böyle bir ikili işlem denir (zihnin sayıldığı çarpan N üzerinde:
1u. ((x(N) x(0=0);
2 yıl. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Beslenmeyi tekrar haklı çıkarıyorum - neden böyle bir operasyon ve nasıl oluyor, o zaman tek şey nedir?
Teorem. Doğal sayıları çarpma işlemi tektir.
Kanıt, ek kanıtla aynı şekilde gerçekleştirilebilir. Böyle bir ifadeyi (:N(N®N) bilmek gereklidir.
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Bir x sayısını sabitliyoruz. Cilt x için de mümkündür(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s yetkisi
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
sonra ((x,y)=fx(y)'ye eşit olan ve zihin 1 ve 2'yi karşılayan ((x,y) işlevi.
Daha sonra, teoremin ispatı, 1") ve 2") kuvvetleriyle fx(y) fonksiyonunun ten x için bu birliğin temelinin ispatına gider. Aşağıdaki kurala göre N değerlerinin sayısını belirleyelim:
a) sıfır sayısı 0 sayısına ayarlanır,
b) y sayısına c sayısı verildiğinden, y sayısı (c + x sayısı eşittir).
Böyle bir ayarda y dış görünüş numarasının tek bir görüntü olabileceğini yeniden düşünelim: ve N'yi N'ye dönüştürmenin mümkün olması önemlidir. Önemli bir şekilde, M yoluyla tüm doğal sayıların y kişiselliği, tek bir görüntü oluşturulabilir. a) 1 numaralı aksiyomun açık olduğunu düşünün, yani 0(M. y(M. B düşünün) ve aksiyom 2 açık olsun, bu y((M. Yani, M=N, yani nedenimiz N) N 'de , fx açısından anlamlıdır, sonra fx(0)=0 a) nedeniyle ve fx(y()=fx(y)+x - b) nedeniyle.
Daha sonra çarpma işleminin gerekçesi doğrulandı. Şimdi (i) (- N çarpanı üzerinde 1y ve 2y güçleriyle iki ikili işlem olsun. yapma))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
1y x(0=0 і x(0=0, sonra 0(S. y(S) olsun), sonra x(y=x(y)) arasında atlayın
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(y)
i, sonra, y((S. Yani, S=N, i'yi küçültün, teoremin ispatı biter).
Önemli ölçüde güç diyakozları.
1. Nötr eleman genellikle 1=0(, yani ((a(N) a(1=1(a=a))) sayısıdır.
getiriyor. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Bu şekilde a(1=a)'nın eşitliği tamamlanmış olur. N) (1(a=a).Öyleyse 1 (0=0, sonra 0(M. Let a(M, sonra 1(a=a))) Sonra 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a() (M. Yani, getirmek için gerekli olan 4 M=N aksiyomundan).
2. Bir dizi fuar için, bir hak dağıtım yasası, o zaman
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
getiriyor. M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))) olsun. , sonra 0(M. Öyleyse c(M, sonra (a+b) c=ac+bc), sonra (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Yani, c((M і M=N).
3. Doğal sayıların çarpımı değişmelidir, yani ((a,b(N) ab=ba).
getiriyor. Bunu b için doğru yapalım (N eşittir 0 (b = b (0 = 0. Eşit b (0 = 0) net 1y'dir. M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, sonra 0(M. Öyleyse b(M, sonra 0(b=0, sonra 0(b(=0(b+0=0)) i, ayrıca, b((M. Yani, M= N, sonra eşitlik 0(b=b(0) tüm b(N'ye getirildi. Daha ileri gidelim) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, sonra ab = ba. Sonra a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, ardından a ((S. Yani S = N) getirmek için gereklidir) .
4. Çoklu dağıtıcı katlama. Tsya hakimiyeti viplivaє z hakimiyeti 3 ve 4.
5. Çoğul çağrışımlıdır, yani ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc))).
İspat, depoda olduğu gibi, s'de tümevarım yapılır.
6. a(b=0, a=0 ve b=0 ise, N'nin sıfır böleni yoktur.
getiriyor. b(0 і b=c(. ab=0 ise, ac(=ac+a=0, işaretler 6 öğe 3'ün gücünü takip eder, yani a=0).
Görev 1.4.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))) söyle bana 2(4) =8, 3(3=9.
n, a1, a2, ..., an doğal sayılar olsun. a1, a2,...,an sayılarının toplamı, zihinlerde gösterildiği gibi sayı olarak adlandırılır; herhangi bir doğal sayı için k
a1, a2,...,an sayılarının bir alt kümesi, i ile gösterildiği ve zihinlerle gösterildiği için doğal bir sayıdır: ; herhangi bir doğal sayı için k
Bu sayının bir ile nasıl belirtildiği.
Görev 1.4.2. ne getir
a);
b);
içinde);
G);
e);
e);
ve);
h);
і) .

1.5. DOĞAL SAYILAR SİSTEMİNİN SİPARİŞİ.

"İzler" ifadesi antirefleksif ve antisimetriktir, ancak geçişli değildir ve bu sırayı takip etmez. Doğal sayıların eklenmesine dayanarak sırayı önemli ölçüde değiştiriyoruz.
Randevu 1. a
Hedef 2. a(b (((x(N) b=a+x))).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі doğal sayılar, povyazanih nоnostі nоnostі nіdnosinami.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
getirmek. Hakimiyet 1.1 ve 1.2, katlama ve çarpma işlemlerinin benzersizliğinden sızar. Yakscho bir
2. ((a(N) bir
getiriyor. Oskils a(=a+1, sonra bir
3. En küçük N öğesi 0'dır ve en küçük N\(0) öğesi 1 sayısıdır.
getiriyor. Yani ((a(N) a=0+a, sonra 0(a, i, dolayısıyla, 0, N'nin en küçük elemanıdır.) Sonra, x(N\(0) gibi), sonra x=y(, y( N ) , aksi halde x = y + 1. Cevap şudur ((x (N \ (0)) 1 (x, yani 1, N \ (0)'deki en küçük elemandır).
4. Öneri ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a))).
getiriyor. Açıktır ki, herhangi bir doğal a için, aynı zamanda bir doğal sayı n vardır.
a Böyle bir sayı є, örneğin, n = a (. Dahl, eğer b (N \ (0), o zaman güç 3 için)
1(b(2)
Z (1) ve (2) güçleri 1.10 ve 1.4 bazında aa alır.

1.6. DOĞAL SAYILAR SİSTEMİNİN GERÇEK DÜZENİ.

Randevu 1. Sıralı bir çarpanın cilt boş olmayan alt çarpanı olarak (M; Yeni sıranın lineer olduğunu tekrar düşünün. a ve b tam sıralı çarpandan iki eleman olsun (M; Lema) . 1 A
getirmek.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0))))
teorem 1. Doğal sayılar kümesindeki doğal sıra bir üst sıradır.
getiriyor. M kişisel olmayan doğal sayılardan yoksun olsun ve S, N'deki alt interslerin önemsizliği olsun, bu nedenle S = (x (x (N (((m (M))) x (m))). sonraki, 0(S) Yakby galip geldi ve diğer Umov aksiyomları 4 n(S(n((S, sonra küçük b S=N))).
Teorem 2. Kişisel olmayan doğal sayılar canavarı için boş olmayan bir sınır varsa, en büyük unsur olabilir.
getiriyor. M kişisel olmayan doğal sayıların canavarı arasında boş olmayan bir sınır olsun ve S üst kordonların kişiliksizliği olsun, bu nedenle S=(x(x(N((m(M)) m(x))).) Önemli ölçüde x0, y S'nin en küçük elemanıdır. Eğer m
Görev 1.6.1. ne getir
a);
b);
içinde).
Görev 1.6.2. Hadi (- doğal sayıların deak gücü ve k - bir doğal sayıdan daha fazlası.
a) doğal bir sayının kuvveti olabilir (örneğin, n (0
b) k'den büyük veya ona eşit bir doğal sayı olup olmadığı, maє power (, eğer sadece k maє tsyu power i ise ne olursa olsun n (k (n) ihmali, scho n maє power (, sonraki, scho numarası n + 1 ayrıca Volodya tsієyu gücü). ;
c) k'den büyük veya ona eşit bir doğal sayı olup olmadığı, kuvveti olabilir (çünkü sadece k'nin kuvveti olabilir ve n (n>k) ne olursa olsun bir ödenek ise, tüm t sayıları zihinsel k (t) tarafından atanır.

1.7. İNDÜKSİYON İLKESİ.

Doğal sayılar sisteminin Vikoristovuyuchi povryadkovannost'u, ispat yöntemlerinin temellerinden biri olan böyle bir teoremi, matematiksel tümevarım yöntemiyle başlıklar getirebilirsiniz.
Teorem (tümevarım ilkesi). Usі vyslovlyuvannya z sıralı A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya zihin:
1) A1 doğrudur;
2) Ak ile k nasıl kullanılır
getiriyor. Kabul etmemek kabul edilebilir: düşünmek 1) ve 2) kazanmak için, ancak teorem doğru değilse, o zaman є kişisel olmayan M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)) 'ye izin vermeyeceğiz. zihinsel olarak n açısından anlamlı olan öğe 1) A1 doğrudur ve An kötüdür, o zaman 1(n, i, aka, 1)
Tümevarım yöntemiyle doğrulama için iki aşama görülebilir. Tümevarımın temeli olarak adlandırılan ilk aşamada, zihnin zihniyeti bozulur 1). İndüksiyon çömleği denilen sahnenin diğer tarafından akıl akla getirilir 2). Çoğu zaman, vipadler geçilir, eğer An'ın gerçeğini kanıtlamak için, k'de Ak'ın gerçeğinin zaferini kullanmak mümkün değildir.
popo Eşitsizlik getirmek için Ödenecek = Sk. Ak=(Sk) türevinin doğruluğunu getirmek gereklidir. Teorem 1'de açıklandığı gibi tümdengelim dizisi, N kümesine atanan A(n) yükleminden veya Nk=(x() inci alt kümesine atanabilir. x(N, x(k)) burada k sabit bir doğal sayıdır.
Sokrema, eğer k=1 ise, o zaman N1=N(0) ve numaralandırma ek eşitlikler için yapılabilir A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Eğer k(1,) ise, o zaman oluşumların sırası, A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), ek düzgünlüklerinden alınabilir. .Vidpovidno gibi değerlere, Teorem 1 farklı bir biçimde formüle edilebilir.
Teorem 2. A(m) yüklemi Nk çarpanı için de doğrudur, yani bilirsiniz:
1) A(k) doğrudur;
2) m için A(m) nasıl kullanılır
Görev 1.7.1. Bu tür bir eşitliğin doğal sayılar galerisinde bir karar vermediğini söyleyeyim:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Görev 1.7.2. Matematiksel tümevarımın muzaffer ilkesini getirin:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
içinde);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA DOĞAL NUMARALAR.

Tanımlama 1. a ve b doğal sayıları arasındaki fark öyle bir x doğal sayısıdır ki b+x=a. a ve b doğal sayılarının farkı a-b ile gösterilir ve farkın farkının işlemine fark denir. Vіdnimannya bir cebir işlemi değildir. Tse vyplyvaє iz nastupnoї teoremi.
Teorem 1. Perakende a-b, b(a) ise tek farktır ve yalnızca birdir. Fark varsa, o zaman yalnızca birdir.
getiriyor. Eğer b(a ise, o zaman referansın gösterimi için (eğer bir doğal sayı x ise, o zaman b+x=a. Ale ce i, x=a-b demektir. b + x = a demektir. Alece, b (a) demektir. .
birlik getiriyoruz perakende. a-b=x ve a-b=y olsun. Aynısı 1 b+x=a, b+y=a atamaları için de geçerlidir. Zvіdsi b+x=b+y, ayrıca, x=y.
Hedef 2. a ve b(0) doğal sayılarının kesrine, a = bc olacak şekilde c doğal sayısı denir.
Teorem 2. Birden fazla özeldir.
getiriyor. Hadi = x yani = y. Aynısı 2 a=bx ve a=by randevuları için de geçerlidir. Zvіdsi bx=b, ayrıca, x=y.
Bu vesileyle gerçekleştirilen işlemlerin, okul asistanlarının durumunda olduğu gibi, kelimenin tam anlamıyla aynı şekilde sayılabileceğini belirtmekte fayda var. Tse, 1-7. paragraflarda, Peano'nun aksiyomlarına dayanarak, doğal sayıların aritmetiğinin teorik temelinin atıldığı ve daha sonra matematikte lise dersinde ve üniversitenin "Cebir ve Sayı" dersinde daha fazla gelişmenin kurulduğu anlamına gelir. Teori".
Görev 1.8.1. Formüllerinde belirtilen tüm farklılıkların açık olduğunu kabul ederek, bu tür iddiaların hakkını verin:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
için) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Görev 1.8.2. Önümüzdeki zorlukların adaletini getirmek için, her şeyin özel olduğunu kabul ederek, verilen formülde ifade edildiği açıktır.
a); b); içinde); G); e); e); ve); h); i); ile); ben); m); n); hakkında); P); R).
Görev 1.8.3. İki farklı doğal çözümün annelerinin bu kadar eşit olamayacağını ispatlamak için: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Görev 1.8.4. Doğal sayıların eşitliğini çöz:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Görev 1.8.5. Doğal sayılar alanında böyle bir eşit çözüm olmadığını kanıtlamak için: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; içinde); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Görev 1.8.6. Eşitsizliğin doğal sayılarının çözülmesi: a) ; b); içinde); d) x+y2 Görev 1.8.7. Doğal sayılar aleminde, sving başlangıcının adil olduğunu söyleyin: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2) +c2 1.9.KILKISNIY ÖLÜM doğal sayılar.
Gerçekten de, doğal sayılar, elementlerin rahunka'sının baş sırası olarak yerleştirilmelidir ve hangisinin teorik olarak Peano tarafından doğal sayılar hesabında yer alması gerekir.
Hedef 1. Anonim (x(x(N, 1(x(n)) doğal serinin tersine olarak adlandırılır) ve (1; n ()) ile gösterilir.
Randevu 2. Bir kіntsevoj çarpanı, doğal serinin herhangi bir sayacına eşit bir çarpan ve ayrıca boş bir çarpan olup olmadığı olarak adlandırılır. Bezlich, є kіtsevim değil, derisiz olarak adlandırılır.
Teorem 1 ıslak(Tobto podmnozhini, A'ya yakın).
getiriyor. Nasıl A=(, teorem doğrudur, boş alt katların boş parçaları yoktur. n üzerinde tümevarım ile teorem Yakscho n=1 , sonra A((1,1(, o zaman A çarpanının tek alt çarpanını kullanırız) A(i, ayrıca, n=1 için) , teorem doğrudur.Teoremin n=m için doğru olduğunu varsayalım, o zaman tüm uçbirim çarpanları, eşit kuvvetler (1,m(, eşit kuvvetler düşünmeyin).ters)) (1,m+1(in A) Eğer ((k) ak, k=1,2,...,m+1 ile biliniyorsa, kişisel olmayan A, A=(a1, a2, ...)) , am, am+ şeklinde yazılabilir. 1) Amacımız, A'nın eşit derecede güçlü alt katlarına sahip olmadığını kanıtlamaktır.
A1 = A (am + 1) ve B1 = B (am + 1) çarpanlarına bakalım. f(am+1)=am+1 olduğundan, f zdіysnyuvatime işlevi biyoaktif olarak A1 çarpanını B1 çarpanı ile gösterir. Bu sıralamada, kişisel olmayan A1, güçlü alt katı B1'e eşit olacaktır. Ale oskіlki A1((1,m(, indüksiyon ödeneğinin yerine geçmez).
Sonuç 1. Doğal sayıların yokluğu sınırlı değildir.
getiriyor. Peano'nun aksiyomlarından, S:N®N\(0), S(x)=x(nesnel olarak) ifadesinin fermente edildiği açıktır.
Sonuç 2. Kіntsev çarpanı A boş değilse, doğal serinin bir ve yalnızca bir karşılığına eşittir.
getiriyor. A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, Teorem 1'den dolayı açıktır), yani m=n.)) olsun).
Son 2, bir atama girmenizi sağlar.
Tanımlama 3. A((1,n(, o zaman doğal sayı n, çarpan A'daki eleman sayısı olarak adlandırılır) ve A ve (1,n çarpanları (sayı olarak adlandırılır) arasında karşılıklı olarak açık bir benzerlik kurma süreci olarak adlandırılır. Çarpandaki elemanların sayısı A. Doğal eleman sayısının katını boş giriniz) sayı sıfırdır.
Pratik bir yaşam için rahunka'nın öneminin büyüklüğü hakkında zayve konuşun.
Saygılarımla, bir doğal sayının hesabını bilerek, çarpma işlemini toplamanın kendisi yoluyla hesaplamak mümkün olacaktır:
.
Şimdilik bu şekilde, aritmetiğin kendisinin kalkülüs anlamında gerekli olmadığını göstermek için göndermedik: doğal sayının kalkülüs anlamı sadece aritmetiğe yapılan eklemelerde gereklidir.

1.10. AYRI TERS OLARAK DOĞAL SAYILAR SİSTEMİ DÜZENLİ BAGATO'DUR.

Kişisel olmayan doğal sayıların doğal düzen ve tüm sıralama ile uyumlu olduğunu gösterdik. Eğer öyleyse, ((a(N) a
1. herhangi bir sayı için a(N іsnuє ondan sonra gelir) 2. herhangi bir sayı için a(N \ (0) іsnuє yoma önünüzde) 1 ve 2 güçleri olan kişisel olmayan (A;()) sırasının tamamı 1 ve 2 kuvvetleriyle sıralamanın doğal sayılar sisteminin karakteristik gücü olduğu görülmektedir. i öğesi, ayrıca, aksiyom 1 Peano kazanır).
Yani lineer bir sıralama gibi, o zaman herhangi bir a elemanı için onu takip eden tek bir eleman var ve birden fazla ileriye doğru ani eleman yok.
1) a0(M, burada a0, A'nın en küçük elemanıdır;
2) a(M (a((M.))
Diyelim ki M=N. Kabul edilebilir kabul edilmez, o zaman A\M((. Önemli ölçüde, b ile A\M'deki en küçük eleman.
Ayrıca doğal sayılar sisteminin başka bir atama olasılığını da getirdik.
Randevu. Doğal sayılar sistemine, bir çokluğun bir bütün olarak sıralanıp sıralanmadığı, zihinlerin sayıldığı denir:
1. herhangi bir öğe için, arkasında bir sonraki ilerleyen öğe vardır;
2. herhangi bir unsur için, en az görünen unsur, ana yargı unsuru.
Іsnuyut, burada zupinaєmosya yapmadığımız doğal sayılar sisteminin hedefidir.

2. TSİLİ VE RASYONEL SAYILAR.

2.1. SAYILAR SİSTEMİNİN ÖNEMİ VE GÜCÜ.
Sezgisel bir zihnin zihninde tamsayıların sayısı yok gibi görünüyor ve halka o çarpanı katlayabiliyor, ayrıca halka doğal sayıların intikamını almak için. Tüm doğal sayıların intikamını alacakmış gibi, tsіlih sayılarda küfür olmadığı anlaşıldı. Görünüşe göre, gücün qi'si, bir sayı sisteminin katı bir tanımının temeli olarak atılabilir. Paragraf 2.2 ve 2.3'te, böyle bir atamanın doğruluğu getirilecektir.
Randevu 1. Sayı sistemine, aklın olduğu cebirsel sistem denir:
1. Cebirsel sistem є kіltse;
2. Doğal sayıların anonimliği dikkate alınmalıdır, ayrıca, alt kattaki kіltsі'daki bu çarpmanın eklenmesi, doğal sayıların çarpanının eklenmesinden alınır, tobto
3. (umova minimalliği). Z, 1 ve 2 kuvveti olan çarpanın dahil edilmesi için minimumdur. Başka bir deyişle, doğal sayıların intikamını almak için Z0=Z.
Randevu 1'e aksiyomatik bir karakter verilebilir. Bu aksiyomatik teorideki ilk kavramlar şunlar olacaktır:
1) Öğeleri tam sayı olarak adlandırılan anonim Z.
2) Sıfır olarak adlandırılan ve 0 ile gösterilen özel bir tam sayı.
3) Üçlü vіdnosini + ta (.
N ile, her zamanki gibi, kişisel olmayan doğal sayılar, katlama (ve çarpma (. Aslında, 1'e kadar, tam sayılar sistemine böyle bir cebir sistemi denir) ile gösterilir (Z; +, (, N). ), aşağıdaki aksiyomların muzaffer olduğu):
1. (Kіltsya'nın aksiyomları.)
1.1.
Bu aksiyom, + є'nin Z kümesinde cebirin ikili işlemi olduğu anlamına gelir.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c))).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, yani 0 sayısı nötr eleman olarak eklenebilir).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), yani cilt tamsayısının tersi a() vardır).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d))).
Bu aksiyom, çarpmanın, Z çarpanı üzerinde cebirin ikili bir işlemi olduğu anlamına gelir.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))))
2. (Z ile doğal sayılar sistemi arasındaki bağlantının aksiyomları.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Minilite aksiyomu.)
Z0, Z ve N(Z0,) halkasının sonuysa, Z0=Z.
Sayı sisteminin önemli ölçüde güç eylemleri.
1. Kaplama sayısı, iki doğal sayı arasındaki farka bakılarak temsil edilebilir. Ayrıca görünüm belirsizdir, ayrıca z=a-b ve z=c-d, de a, b, c, d (N, her ikisi de ve yalnızca a+d=b+c ise).
getiriyor. Anlamlı bir şekilde, Z0 aracılığıyla, tüm tam sayıların yokluğu, herhangi birinin kabuğu, iki doğal sayı gibi görünür. Açıkça, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0)).
Hadi x,y(Z0, sonra x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. O zaman x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c) gidelim )=(a(d)-(b(c))), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). x-y, x(y(Z0 i, bundan böyle, Z0'ın kişisel olmayan N'nin intikamını almak için Z halkasının bir alt kümesi olduğu görülebilir))).
2. Tam sayıların halkası, birliğe sahip değişmeli bir halkadır ve halkanın sıfırı doğal sayı 0'dır ve halkanın birliği doğal sayı 1'dir.
getiriyor. x,y(Z. 1 kuvveti için geçerlidir x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Sonra x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c))), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))) Bu nedenle, doğal sayıların çarpımının değişebilirliği nedeniyle, xy=yx'e uyar. Z halkası getirildi. 2 vyplyvayut, 0 ve 1 aracılığıyla, sıfır ve bir doğal sayıların bilindiği rahatsız edici bariz düzgünlüklerden: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0= (a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b) (1 = a (1-b) (1 =)) a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SİSTEM SİLİKH NUMARASI.

Sayı sistemi, doğal sayıların intikamını alan halkanın dahil edilmesi için minimum olarak 2.1'e atanır. Vikaє pitanya - aynı kіltse nedir? Başka bir deyişle, s 2.1 aksiyomları sistemi çok basittir. Aksiyomlar sisteminin üstünlüğünü getirmek için, açıkça denetlenemez bir teoride bir yoruma neden olmak gerekir. Böyle bir teori, doğal sayıların aritmetiği tarafından dikkate alınır.
Yine, 2.1 aksiyom sisteminin yorumunu açıklamak gerekir. Kişisel olmayan için ayrılalım. Kim için kişisel olmayan, önemli ölçüde iki ikili işlem ve bir ikili ayardır. Çiftlerin bu çarpımının toplamı, doğal sayıların bu çarpımının toplanmasına indirgenirse, o zaman doğal sayılar için, bu çiftlerin çarpımının toplamı değişmeli, birleştiricidir ve çarpma, toplamaya dağılımsal olarak benzerdir. Örneğin, çift eklemenin değişebilirliğini yeniden ele alalım: +===+.
Vіdnoshennia'nın gücüne bir göz atalım ~. Oskіlki a + b = b + a, sonra ~, ardından refleks olarak ~ ayarlayın. ~ ise, o zaman a+b1=b+a1, o zaman a1+b=b1+a, o zaman ~. Otzhe, simetrik olarak ayarlanıyor. Devam edin ~ ben ~. a+b1=b+a1 ve a1+b2=b1+a2 eşitlikleri de geçerlidir. Eşitlik sayılarını toplayarak a + b2 = b + a2'yi, ardından ~'yi alırız. Otzhe, ayar ~ ayrıca geçişli olarak і, otzhe, є eşdeğeri. Bir çiftin intikamını alacak denklik sınıfı belirlenecek. Bu sıralamada denklik sınıfı kendi çiftiniz olarak atanabilir ve onunla birlikte
(1)
Tüm denklik sınıflarının anonimliği sayesinde önemlidir. Görevimiz, belirli bir katlama ve çarpma işlemi durumunda çarpanın 2.1'den itibaren aksiyomlar sisteminin yorumu olacağını göstermektir. Yüzsüz operasyonlar eşitlikler açısından önemlidir:
(2)
(3)
Eğer i ise, N çarpanında a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,))) eşitliği geçerlidir, eşitlik (a+c)+(b(+d() geçerlidir) )=(b ) +d)+(a(+c(), (1) sayesinde kabul edilebilirdir, ki bu Tse, denkliğin (2) bir çarpan üzerinde toplama işleminin benzersiz bir işlemini ifade ettiği anlamına gelir, yani çiftlerin seçiminde yalan söylememek, yani zeyilnameler) ve sınıfların çarpımının benzersizliği Bu şekilde, cebirin ikili işlemlerinin çokluğuna eşitlik (2) ve (3) atanır.
Oskіlki toplama ve çarpma sınıfları, çiftleri katlamak ve çarpmak için oluşturulabilir, bu işlemler değişmeli, ilişkisel ve çarpma sınıfları dağıtımlı olarak kolay katlanır. Eşitliklerden, sınıfın katlanma şeklinin nötr bir öğesi olduğu ve deri sınıfının çoğalan bir sınıf olduğu ortaya konmuştur. Böylece, çarpan bir dairedir, bu nedenle grup 1'in 2.1'deki aksiyomları sayılır.
En son podmnozhina'ya bir göz atalım. a(b) ise, o zaman (1) aracılığıyla ve eğer a
Kişisel olmayanda, ikili önemlidir ((; kendisini takip eder, sınıfı takip eder, sınıfı takip eder, de x (є doğal sayı, x'ten sonra gelir. Sınıf, doğal olarak gösterilenden sonra gelir). sınıf onu takip eder, i sınıfı hala tektir.
Görüntüye bakalım. Fermantasyonun amacının biaktif olduğu ve zihnin f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)) olduğu açıktır. ;, () Yani cebir (;, () Peano'nun aksiyom sisteminin bir yorumudur.İzomorfik cebirlerden türetilmiştir, bu nedenle kişisel olmayan N'nin kendisinin alt çarpıldığını saygıyla düşünebilirsiniz. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, bu, bunun eklenmesi anlamına gelir. Doğal sayıların toplama ve çarpmalarına N alt katı üzerindeki kіltsi'deki çarpma eklenir, böylece grup 2'nin aksiyomlarının eklenmesi kurulur.
Hadi Z0 - kişisel olmayan Ni'nin intikamını almak için bir kіltse pіdkіltse, scho gibi olun. Saygılarımla, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - bir kіlce, o zaman bu sınıflar arasındaki fark bir kіltsu Z0 ile de olabilir. З eşitlikler -= (= uygun, sho (Z0 і, aka, Z0=. Madde 2.1'deki aksiyomlar sisteminin üstünlüğü getirilmez).

2.3. SAYILAR SİSTEMİNİN BİRLİĞİ.

Sezgisel zihnim için tek bir sayı sistemim var. Tse, sayıların sayılarını belirten aksiyomlar sisteminin kategorik olabileceği anlamına gelir, bu nedenle aksiyomlar sisteminin yorumu izomorfik olabilir. Kategorik ve izomorfizme kadar yalnızca bir sayı sistemi olduğu anlamına gelir. Perekonayemosya, çok doğru.
(Z1;+,(,N) ve (Z2;(,(,N))) madde 2.1.)'deki aksiyomlar sisteminin iki yorumu olsun. adalet
(1)
. (2)
Saygılarımızla, N(Z1 ve N(Z2) parçaları, sonra
, a(b=a(b. (3))
x(Z1 і x=a-b, de a,b(N) olsun. x=a-b öğesini u=a(b, de) , stars z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse, iki doğal sayı ve cim arasındaki fark olarak x öğesinin bir temsilcisi olarak düşme kapasitemizin f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b) ile gösterildiği anlamına gelir. v(Z2 і v=c(d), sonra v=f(c-d).) olduğunu anlamak, f ifadesi örtüktür.
Eğer x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), o zaman a (b = c (d). ) kuvvet (3) a+d=b+c, yani a-b=c-d getirdik ki x=y eşitliği f(x)=f(y)'nin eşitliğinden belli oluyor, o zaman ifadesi f etkin değil.
Eğer a(N, o zaman a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Yani, f abartıldığında doğal sayılar şiddet içermez. , y=c-d , de a, b, c, d (N, sonra x + y = (a + c) - ben f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y))) Eşitliğin adaleti (1) kanıtlanmıştır. Tersinir eşitlik (2). Ölçekler f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c)))) ve diğer tarafta f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c)))) Yani, f(xy)=f(x) (f(y)) , n aksiyomları sisteminin kategorikliğinin ispatını tamamlar.) 2.1.

2.4. RASYONEL SAYILAR SİSTEMİNİN DEĞERİ VE GÜCÜ.

Bazı kişisel olmayan Z tamsayı sayıları için verilen sezgisel rozumіnnі alanındaki anonim Q rasyonel sayılar є pіdkіltsem. Eğer öyleyse, Q0'ın sayıların intikamını almak için Q alanının bir alt alanı olduğu açıktır, o zaman Q0 = Q.
Randevu 1. Bir rasyonel sayılar sistemi, zihnin kullanıldığı böyle bir cebir sistemidir (Q; +, (; Z):
1. cebirsel sistem (Q; +, () є alanı;
2. Z tamsayı sayıları є pіdkіltsem alanı Q;
3. (minimum) Q alanının Q0 alt alanı, Z alt alanının intikamını alıyorsa, o zaman Q0=Q.
Kısacası, rasyonel sayılar sistemi, dahil edilen alanın sayı sayısının intikamını alması için minimumdur. Rasyonel sayılar sisteminin aksiyomatik tanımı hakkında daha fazla rapor verebilirsiniz.
Teorem. Bir cilt rasyonel sayısı x, özel iki tamsayı olarak temsil edilebilir, bu nedenle
, de a, b (Z, b (0. (1))
Görünüm belirsizdir, ayrıca de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
getiriyor. Önemli ölçüde Q0 açısından (1)'de görüldüğü gibi kişisel olmayan rasyonel sayılar vardır. Uzlaşmayı bitirmek için, yani Q0 = Q. Hadi, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Sonra, alanın gücü için, ve c için) (0) Ortalama Q0, sıfır olmayan bir sayı üzerinde kapalıdır, o zaman, Q alanının є alt alanı. Yani a sayısı görünürde temsil edilebilirse, o zaman Z (Q0. Asgari ve açık olması nedeniyle , Q0 = Q. Açık teoremin diğer kısmının ispatı.

2.5. RASYONEL SAYILAR SİSTEMİNİN TEMELİ.

Rasyonel sayılar sistemi, sayıların intikamını almak için minimum alan olarak belirlenmiştir. Zvichayno vinikaє pitanya - chi öyle bir alandır ki, ki є є nesuperechlivuyu aksiyomlar sistemi, scho vyznaє rasyonel sayılar. Üstünlük olmadığını doğrulamak için, aksiyomlar sisteminin bir yorumunu başlatmak gerekir. Tam sayılar sisteminin temelini sarmal yapmak mümkün. Z(Z\(0)'yı değişmez bir sayı olarak yorumlamak için bir dakikanızı ayıralım. Cebirin iki ikili işlemi çarpanda önemlidir.
, (1)
(2)
o ikili
(3)
Noktalar sama böyle bir operasyon ataması ve vіdnosinі ~ vyplyaє z, ki, ben olacağım gibi, birkaç kelime daha özel.
(1) ve (2) işlemlerinin değişmeli, birleştirici ve dağıtımlı olarak çoğaldığını düşünmek kolaydır. Gücün tüm güçleri, sayıların çarpımını toplamanın daha yüksek güçleri temelinde saygı görür. Pereverimo, örneğin, çoklu çiftlerin çağrışımsallığı: .
Benzer şekilde, farkın ~ є eşdeğeri olduğu yeniden düşünülür ve bu nedenle kişisel olmayan Z(Z \ (0)) eşdeğerlik sınıflarına ayrılır.
. (4)
Görevimiz, bu çarpanı bir alan olacak şekilde çarpana katlama işlemini belirlemektir. İşlem sayısı eşitlikler açısından önemlidir:
, (5)
(6)
Yani, sonra ab1=ba1 ve sonra cd1=dc1 sonra eşitlik değerlerini çarparak, (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) alırız ve tse, Tse'nin bizi olandan değiştireceği anlamına gelir. eşit (6) ), cilt sınıfının temsilcilerinin seçiminde yalan söylemek gibi, kişisel olmayan bir sınıf üzerinde açık bir işlemi etkin bir şekilde ifade eder. Aynı şekilde işlemin (5) tekliği de revize edilmiştir.
Sınıfları toplama ve çarpma çiftleri bölme ve çarpma işlemlerine indirgenebildiğinden, (5) ve (6) işlemleri değişmeli, birleştirici ve dağıtıcıdır ve toplanabilir.
Eşitliklerden, sınıfın takviye edildiğinde nötr bir element olduğu ve deri sınıfı için protella yoma elementinin kullanıldığı belirtilmiştir. Benzer şekilde, sınıfın çoğulluğun nötr bir öğesi olduğu ve cilt sınıfı için düzeltici sınıf olduğu açıktır. Ayrıca, є operasyon alanı (5) ve (6); atanan noktada ilk Umov 2.4 kazanır.
Kişisel olmayan mesafeye bakalım. Açıkça, . Çoğulluğu görerek ve daha sonra sahanın pidkilleri ile kişiliksizlik kapatılır. Doğru, . Vizyona bir göz atalım, . Bu tezahürün yüzeyselliği açıktır. f(x)=f(y) ise, x(1=y(1 veya x=y. Anlamı f ve dolaylı olarak. Ayrıca izomorfik kіltsya), Z kіlce'nin alanın subkіlcem olduğunu anlamak mümkündür, böylece akıl, atanan madde 2.4'te 2 dövülür. alanlar ben, hadi. O zaman. Ale oskіlki - alan, daha sonra özel tsikh unsurları sahada tezh yatıyor. Tim'in kendisi onu getirdi, o zaman nedir, tobto. Rasyonel sayılar sisteminin temeli tamamlandı.

2.6. RASYONEL SAYILAR SİSTEMİNİN BİRLİĞİ.

Modern sezgisel anlamda yalnızca bir rasyonel sayılar sistemi varsa, o zaman burada göründüğü gibi aksiyomatik rasyonel sayılar teorisi kategorik olabilir. Kategorik ve izomorfizme kadar sadece bir rasyonel sayı sistemi olduğu anlamına gelir. Bunun doğru olduğunu gösterelim.
(Q1;+, (; Z) ve (Q2; (, (; Z)) - iki rasyonel sayı sistemi gibi olsun.
(1)
(2)
Q1 alanındaki herhangi bir x ve y elemanı için.
Q1 alanındaki özel a ve b öğeleri, Q2 alanında - a:b ile gösterilir. Z є pіdkіltse kozhny s Q1 ila Q2 arasında olduğundan, o zaman herhangi bir sayıda sayı için bir denklik
, . (3)
Hadi ve de, . Q2 alanından verilen x öğesine y=a:b öğesini atadık. Eğer Q1 alanında eşitlik doğruysa, o zaman Z halkasındaki 2.4 öğesinin teoremi ab1=ba1 eşitliğini kazanır, aksi halde (3), eşitlik ve benzer şekilde aynı teorem için eşitlik a: b=a1:b1, Q2 alanında geçerlidir. Tse, Q1 alanının elemanına Q2 alanından y=a:b elemanını atayarak, onu göstereceğimiz anlamına gelir, .
Q2 alanındaki herhangi bir öğe, a:b, de, otzhe, є Q1 alanındaki öğenin rankı olarak temsil edilebilir. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Evet, o zaman Q1 alanında ve aynı. Bu şekilde, fermantasyon f є bієktivnym ve tüm tsіlі sayıları asılsız hale gelir. (1) ve (2) eşitliklerine adaleti getirmek gerekir. a,b,c,d(Z, b(0, d(0)) diyelim.Sonra i, (3) nedeniyle işaretler f(x+y)=f(x)(f(y) Benzer şekilde ve yıldızlar.
İlerleyen (Q1; +, (; Z) ve (Q2; (, (; Z)) yorumlarının izomorfizmi.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Çözüm. Nehai Umov'un aksiyomu 4 doğrudur (doğal sayıların öyle bir gücü ki ((0) i. Hadi yapalım. Öyleyse M, aksiyom 4'ün güçlerini karşılar, shards ((0) (0(M i. Otzhe), M=N, yani doğal olun) ).sayı güçlüdür (. Geri. Güç olup olmadığı için (bundan ((0) i, sonraki. M, N'nin bir alt çarpanı olsun, 0(M i). ) M = N olduğu gösterilecektir. Gücü tanıtalım (, saygılarımla. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Karar: Peano'nun 1. ve 4. aksiyomlarının gerçek iddiası. Hibne'nin 2. aksiyomunun doğrulanması.
1.1.3. Karar: Peano'nun 2,3,4 aksiyomunun doğru ifadesi. Hibne'nin 1. aksiyomunun doğrulanması.
1.1.4. Gerçek iddialar 1, 2, 3 Peano'nun aksiyomları. Hibne'nin 4. aksiyomlarının ifadesi. Vkazіvka: getirmek, scho, operasyon açısından formüle edilmiş aksiyom 4'ün olasılıklarından memnun, ale.
1.1.5. Vkazіvka: aksiyom 4'ün doğruluğunu kanıtlamak için, zihinleri tatmin ettiği için alt çarpan M z A'ya bir göz atın: a) 1 ((M, b) ve kişisel olmayan.
1.1.6. Peano'nun 1,2,3 aksiyomlarının gerçek iddiası. Peano Hibne'nin 4. aksiyomlarının ifadesi.
1.6.1. a) Karar: Lütfen saat 1 ise bana bildirin. Geri. hadi ama
1.6.2. a) Karar: Kabul edilebilir. M ile, güçlü olmamak için tüm sayılardan önemli ölçüde kişisel değiliz (. Varsayımla, M((. Teorem 1 sayesinde, M en küçük eleman n(0)'a sahiptir). x sayısının olup olmadığı
1.8.1. f) s.e) ve s.c'yi işaretleyin: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, ayrıca (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Güç kazanın.
l) s. b)'yi işaretleyin.
l) s.b) ve s.h)'yi işaretleyin.
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Baba, .
d) Memo. Baba, .
ve).
1.8.3. a) (i (farklı çözüm eşittir ax2+bx=c), o zaman a(2+b(=a(2+b(.))) gibi. Tam olarak ((. Ancak (2=a(+b>a(, ayrıca, (>a.))).
c) Nehai (- i'nin farklı kökleri (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-()))( ( (+( ) Daha sonra, a((+()=2), ancak (+(>2)), daha sonra, a((+()>2), ki bu imkansızdır).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y bir doğal sayıdır; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Tam olarak x=1, y=2, z=3 permütasyonlarına kadar. Çözüm: Örneğin, x(y(z. Sonra xyz=x+y+z(3z, yani xy(3.)) Diyelim ki xy=1, sonra x=y=1 і z=2+z, yani) İmkansız : xy = 2 ise x = 1, y = 2. Bu durumda 2z = 3 + z, o zaman z = 3. Eğer xy = 3 ise x = 1, y = 3. O zaman 3z = 4+z , yani z=2, ödeneği y(z.
1.8.5. b) x=a ise, y=b bir bölme ise, o zaman ab+b=a, o zaman. a>ab, ki bu imkansızdır. d) x=a ise, y=b bir bölme ise, o zaman b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - yeterli doğal sayı ve y(1. b) x - yeterli doğal sayı, y=1. c) x oldukça doğal bir sayıdır y=1. d) Çözüm yoktur. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) a = b ise, 2ab = a2 + b2. Hadi, örneğin, bir

EDEBİYAT

1. Redkov M.I. Sayısal sistemler. /"Sayı sistemleri" dersine metodolojik öneriler. Bölüm 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Sayısal sistemler. / Metodik geliştirme pratik almak için. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68'ler.