Kişisel olmayan doğal sayıların sıralanması. Doğal sayı ve sıfır kavramı. Kişisel olmayan doğal sayılarda "eşit", "daha az", "daha büyük" ifadesi Matematiksel analiz için beslenmeyi anlama
N doğal serisine bir alternatif, a doğal sayısını değiştirmeyen kişisel olmayan bir doğal sayıdır, bu nedenle N = (x | x N i x a).
Örneğin, N ce kişisel olmayan doğal sayılar, bu yüzden 7'yi değiştirmeyin. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Doğal serideki en önemli iki güç:
1) Be-yaky vіdrіzok N intikam yalnızlığı. Tsya vlastivistvo vipliva, vyznachennya vіdrіzka doğal serisidir.
2) x sayısı N і x a rakibinden kaybolursa, x + 1 sayısı onlardan sonra gelir ve N içinde kaybolur.
Bezlich A, N doğal serisinin aynı karşılığına eşitmiş gibi kіtsevim olarak adlandırılır. Örneğin, meçhul Ve trikutnik'in üstleri, meçhul kokular eşittir N = (1,2,3), yani. A~B~N.
A sayısı boş olmadığından ve N'ye eşit olduğundan, a doğal sayısına A çarpanının eleman sayısı denir ve n(A) = a yazın. Örneğin, A, trikonun köşelerinin çokluğu ise, o zaman n(A) = 3.
Boş olmasaydı, kіtsev bezlіch, doğal serinin bir ve birden fazla vіdrіzk'ına eşittir, tobto. skin endian çoğul Ve benzersiz olarak eşit bir a sayısına yerleştirilebilir, böylece kişisel olmayan A, N sayısında karşılıklı olarak belirsizdir.
Karşılıklı ve tek asaletin yerleşmesi, dayanılmaz çoklu yaşamın dayanılmazlarının etiğidir ve doğal olarak yenilebilir bir rakhunka pulluk A. Zkilka Aynı sayıda ibadetin arkasında. Bir sınıfta, tüm tek elemanlı çarpanlar, diğerinde - iki elemanlı olanlar vb. İlk sayı, eşit güçteki prensler sınıfının nihai gücü olarak görülebilir. Bu sırayla, teorik-çoklu bakış açısından, bir doğal sayı, terminal çarpanları sınıfının ana gücüdür.
0 sayısı ayrıca çarpan-teorik olabilir - boş bir çarpana ayarlanmalıdır: n() = 0.
Ayrıca, niceliğin bir özelliği olarak bir doğal sayı iki konumdan görülebilir:
1) bir rahunka için kazanılan A kümesindeki eleman sayısı olarak;
2) kіtsevyh sınıfının gücü eşit derecede güçlü çoklukların gücü ne kadar güçlü.
Nihai çarpımlar ve doğal sayılar arasındaki bağlantıların kurulması, "daha az" bir çarpan-teorik bulanıklık vermemizi sağlar.
Eğer a = n(A), b = n(B) ise, o zaman sadece A çarpanı, çarpanın güç alt çarpanına eşit olsa bile, o zaman a sayısı b sayısından küçüktür. A ~ B, de B, B, B (Şekil 1) . Abo eğer doğal seride ise N є hadi çok güç kazanalım vіdrіzka N, tobto. N N .
Sayılar а і b eşittir, yakscho kokuları eşit katlara eşittir: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Örneğin, 2 = 2, çünkü n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Doğal sayılar için “daha az” teriminin baskınlığı da çarpan-teorik bulanıklaşmaya benzer: Bu terimin geçişliliği ve antisimetrisi, “çarpan olur” teriminin geçişli ve antisimetrik olmasıyla ilişkilidir.
2 olan doğal sayılar için “daha az”ın çoklu teorik yorumunun
2 elementin intikamını almak için A çarpanını ve 5 elementin intikamını almak için B çarpanını tobto alalım. n(A) = 2, n(B) = 5. Örneğin, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). B çarpanından alt katı, eşit çarpan A'yı görebilirsiniz: örneğin B = (c, d) і A ~ B.
N üzerinde adalet
Tsyu, küçük 2'ye bakamazsın. Hadi 2, kat sayısı ve 5 kare sayısı. Daireleri karelerin üzerine koyarsanız, karelerin bir kısmının yarım kaldığını söyleyebiliriz.
Otzhe, kat sayısı kare sayısından daha azdır, tobto. 2
Çarpan-teorik eşitsizlik duygusu 0
Matematik dersinde sayıların hizalanması farklı şekillerde geliştirilmiştir - "daha az" ifadesini yorumlamadan önce baktığımız tüm yaklaşımlara dayanmaktadır.
"En büyük" ve "en küçük" sayılarla ilgili teoremler
Teorem 4 ("en küçük" sayı hakkında). Boş değilse, kişisel olmayan sayılarla çevriliyse, en küçük sayının intikamını alın. (Burada, doğal sayılarda olduğu gibi, "çoklu" kelimesi "çoklu" kelimesi ile değiştirilmiştir.
getiriyor. O A Z i A alttan saçaklı olsun, tobto. 36? Zva? bir(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Hadi şimdi LA.
Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >Ö).
A - b, de probіgaє kişisel olmayan A, tobto biçimindeki tüm sayıların kişisel olmayan M'sini yapalım. M \u003d (s [c \u003d a - b, bir E A)
Kişisel olmayan M'nin boş olmadığı açıktır, kırıklar A 74 0
Yak daha yüksektir, M C N . Daha sonra, teoremi takip ederek (54, bölüm III), çarpan M en küçük doğal sayıya sahiptir. A ve en azından M'deki parçalar, sonra Wah? bir(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorem 5 ("en büyük" tam sayı hakkında). Boş olmayan bir şey olun, en büyük sayının intikamını almak için kişisel olmayan sayıların canavarını kuşatın.
getiriyor. O 74 AC Z i A, b numaralı canavarla çevrili olsun, yani. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b tüm sayılar için a? ANCAK.
Daha sonra, çarpan M (z g \u003d -a, a? A) boş değildir ve aşağıdaki sayı (-6) ile çevrilidir. Önceki teoreme göre, çarpan M en küçük sayıya sahiptir, yani. as? ICC? M (z< с).
Tse ne demek Wah? Olarak< -а), откуда Уа? А(-с >a)
Z. Tam sayıların matematiksel tümevarım yönteminin farklı biçimleri. Fazlalık hakkında teorem
Teorem 1 (matematiksel tümevarım yönteminin ilk şekli). P(s) olsun - tek yüklem, Z tam sayının katlarına atamalar., 4 . Aynı şekilde deyaky NUMBER ve Z için P (o) і önermesi Yeterli bir tamsayı için K > a z P (K) P'yi kaydırdı (K -4- 1), o zaman P (g) önermesi doğrudur Tüm sayılar için z > a (böylece Z є çarpanında yüklemleri hesaplamak için gerçek formül:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
herhangi bir sabit tamsayı için a
getiriyor. P (c) önermelerinin her şey için doğru olmasına izin verin, teoremin zihnine gitmek için tobto.
1) P(a) - doğru;
2) KK SC'den +'ya da doğrudur.
Kabul edilemez türden. Diyelim ki böyle bir sayı var.
b> a, sho RF) - merhaba. A, oskіlki R (a) 'nın doğru olduğu açıktır. Tatmin edici derecede kişisel olmayan M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskіlki L? M ve M, aşağıda a sayısı ile sınırlandırılmıştır. Daha sonra, na i m e n m e le l o m h i sl (Teorem 4, 2) üzerindeki teoremden sonra, çarpan M en küçük c sayısına sahiptir. Zvіdsi z\u003e a, sho, siyahım, s - 1\u003e a çekerek.
Diyelim ki Р(с-1) doğru. Eğer c-1 = a ise, P (c-1) akıl sayesinde doğrudur.
c-1 > a olsun. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, arkasından s 1'e sahip olmak mı? M, ancak olamaz, s sayısı M'deki en küçüktür.
Bu sırayla, s - 1> a ve P (c - 1) - doğru.
P((c- 1) + 1) önermesinden P((c- 1) + 1) önermesini düşünün - bu doğru. R(ler) - doğru. Tse, c sayısının seçimini üstleniyor, oskіlki? Teorem tamamlandı.
Saygılarımızla, bu teorem, Corollary 1'in Peano aksiyomlarına yakın bir sonucudur.
Teorem 2 (tam sayıların matematiksel indüksiyon yönteminin başka bir şekli). Çok sayıda Z tamsayısında P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) olsun. Ancak, P (c) önermesi bir ondalık tamsayı için K ve yeterli bir s tamsayı için geçerlidir.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Önceki.
p align="justify"> Bu teoremin ispatı zengindir, bu yüzden benzer bir teoremin ispatını doğal sayılar için tekrar ediyorum (Teorem 1, 55, Bölüm III).
Teorem 3 (matematiksel tümevarım yönteminin üçüncü şekli). P(ler) olsun - tek bir yüklem, çarpan Z üzerindeki atamalar CHІСі'dır. P(c) doğruysa Sıfır doğal sayıların M ondalık çarpanının tüm sayıları için i Yeterli bir tamsayı için a C doğrudur P(a) o zaman P(a - 1) doğrudur, o zaman P(c) önermesi şudur: true Tüm sayılar için.
Kanıt, doğal sayılar için çift teoremin kanıtına benzer.
Proponuemo yogo bir ağustosböceği gibi.
Pratikte üçüncü matematiksel tümevarım biçiminin daha belirgin, daha düşük ve daha düşük olduğunu belirtmekte fayda var. її zastosuvannya için, doğal sayıların çarpanının sonsuz alt çarpanı M'yi bilmek gerektiği açıklanmıştır, teoremde net olacaktır. Böyle bir çarpanın bilgisi zor görevlere görünebilir.
Ale, üçüncü formun diğerlerinden önceki avantajı, P(c) ek önermesinin tüm tamsayılara getirilmesidir.
Aşağıda üçüncü form zastosuvanya'nın poposunu hedefliyoruz ". Ale, arka arkaya, damo bir daha saygılı anlayıştır.
Randevu. Bir a tamsayısının mutlak değeri, kurala göre atanan sayıdır.
0, eğer bir O a ise, eğer bir > O ise
bir yakscho bir< 0.
Otzhe, 0 gibi mi? N.
Okuyucuya, böyle bir gücü mutlak büyüklüğe getirme hakkına sahip olduğu önerilmektedir:
Teorem (taşma hakkında). Bundan önceki herhangi bir sayıda a i b, de b 0, iсnuє i için, a r: bq + T L D olacak şekilde yalnızca bir q U m sayı çifti vardır.
getiriyor.
1. Bahsin temeli (q, t).
a, b olsun? Z i 0. Bir çift sayı q i olduğu gösterilmiştir.
İspat, sabit bir b sayısı olan a niceliği için üçüncü biçimde tümevarım yoluyla gerçekleştirilir.
M = (mlm = n lbl, n? N).
M lt'nin herhangi bir n? için f (n) = nlbl kuralıyla belirlenen bir f: N M ifadesi olduğu açıktır. N bir bijeksiyondur. Tse, M N, yani anlamına gelir. Belli belirsiz.
Diyelim ki belirli bir sayıdan a? Sayı çiftinin temeli hakkında teoremin M (і L-sabit) iddiası doğrudur.
Doğru, bir (- M. Todi bir pf! gerçek bir p için olsun?
b > 0 ise, a \u003d n + O. Şimdi q \u003d n ve m O göz önüne alındığında, gerekli q ve m sayı çiftini alıyoruz.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo şimdi indüksiyon ödeneği. Yeterli bir s tamsayısından (ve yeterli bir sabit b 0) teoremin iddiasının doğru olduğunu varsayalım. bir sayı çiftidir (q, m) öyle ki
(ç 1) sayısı için i'nin daha doğru olduğu gösterilebilir. Z eşittir s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (bir)
Muhtemelen düşer.
1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Bu noktada, - t - 1 koyarak, z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) alıyoruz açıkçası zihin
0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1
Pratik yapmadan 0 olabilir< < Д.
Bu sırayla, sıkılık doğrudur ve bir sayı bahsi için
Teoremin ilk kısmı tamamlandı.
P. Tek bahis q і vb.
a i b 0 sayıları için iki çift sayı (q, m) i (q1, zihinleri tatmin etmek için) oluşturmanın mümkün olduğunu varsayalım (*)
Bakalım kokular kaçıyor. Ah, hadi ama
ben bir bq1 L O< Д.
Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1
Şimdi q ql, sonra q - q1 0, yıldızların lq - q1l 1 olduğunu varsayalım. - q11 D. (3)
Vodnocha nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
U r a f n ben n nya:
1. Teorem 2 ve 3 / 5'in ispatlarını tamamlayın.
2. Teorem 3, 1'den sonuç 2'yi tamamlayın.
3. Toplama, NS Z'nin toplamı nedir, formda verilen sayılardan ne kadar toplanır?< п + 1, 1 >(n? N), bu çarpımı katlamanın kapalı yolu.
4. N, hakkınız olan aynı kişisel olmayan şeyleri ifade etsin 3. Gördüğünüzü getirin ј: M zihinleri memnun eder:
1) ј - bієktsіya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) ve j(nm) = j(n) j(m) herhangi bir sayı için n, m , i (H, +,).
5. Teorem 1/2'nin ispatını tamamlayın.
6. Herhangi bir a, b sayısı için aşağıdaki çıkarımların geçerli olduğunu kanıtlamak için:
7. Bir arkadaşınıza Z'den teoremin üçüncü olduğunu söyleyin.
8. Z tamsayılarının sayısının sıfır sayılarının intikamını almadığını kanıtlamak.
Edebiyat
1. Bourbaki N. Katlar teorisi. M.: Svit, 1965.
2. Vinogradiv I. M. Sayı teorisinin temelleri. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. T. Aritmetik ver. M: Uçpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grup teorisinin temelleri.
M: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A.I. Cebire Giriş. M: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya Cebir ve sayılar teorisi. M: Vişça. okul, 1979.
7. Kurosh A.G. En gelişmiş cebirin kursu. M: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Okul matematiğinin temel kavramları. M: Prosvitnitstvo, 1987.
9. Lyapin ES. ki. Gruplar teorisinden. M: Nauka, 1967.
10. Maltsev A.I. Cebirsel sistemler. M: Nauka, 1970.
11. MenDelson Ege. Matematiksel mantığa giriş. M: Nauka, 1971.
12. Nechaev V.I. Sayısal sistemler. M: Prosvitnitstvo, 1975.
13. Novikov Notu Matematiksel mantığın unsurları. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Cebir ve Geometri Dersleri.: U 2 yıl.
CHL. M: Vlados, 1999.
15. Sochasni pusu okulu matematik kursu Avt. kredi: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.
16. L. A. Kushnir, Cebirin Elemanları. M: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Kişiliksizlik, mantık, aksiyomatik teoriler. M.; Osvita, 1968.
18. Stolyar A. A. Matematiğe mantıksal giriş. Minsk: VISCHII. okul, 1971.
19. V. P. Filippov, Cebir ve Sayı Teorisi. Volgograd: VGPІ, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel İ. Katlar teorisini verin. M: Svit, 1966.
21. Fuchs L. Chastkovo sipariş sistemleri. M.: Svit, 1965.
Başlangıçta görülen
Volodymyr Kostyantinovich Kartashov
MATEMATİK TANITIM DERSİ
Baş yardım
Editoryal hazırlık O.I. O. P. Boshchenko tarafından tasarlanan Molokanova Orijinal düzeni
20.12.96 tarihli PR 020048
28.08.99 tarihinde karşılıklı imzalanmıştır. 60x84/16 biçimlendirin. Druk ofisi. Boom. bir çeşit. M 2. Uel. resim. ben. 8.2. Uch.-görünüm. ben. 8.3. Dolaşım 500 kopya. büyü 2
Vidavnitstvo "Zmina"
Doğal bir sayı, sanki bir rahunka nesnesi için kazanıyormuş gibi tam sayıdır. Vono viniklo z insanların pratik ihtiyaçları. Doğal sayıyı anlamanın gelişimi birkaç aşamaya ayrılabilir: 1. Yaşlı insanlar, önemsizliğin üstesinden gelmek için temelleri oluşturdular: örneğin, tabanlık, ellerdeki parmaklar. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli ama inceleme için bir saat müsait. 2. Bezlich - aracılar, örneğin taşlar, kaplumbağalar, çubuklar. Kіlkіst kavramı daha katlanır. І belirli konulara bağlı sayılar. 3. Bir sayının görünümü (bir sayının görünen rakamlarla gösterilmesi). Matematiğin doğuşu. Bir bilim olarak aritmetik, Antik Köken'in topraklarında ortaya çıktı - Çin, Hindistan, Mısır, uzak gelişme Yunanistan'da. "Doğal sayı" terimi ilk olarak Boetius'un Roma öğretileri tarafından kullanılmıştır. Rakhunok çok para belirlemek için gereklidir. Rozіb'єmo'nun tümü, örneğin bir denklik sınıfında, denklik sınıfındaki çarpanları yok eder. trikutniklerin meçhul tepelerini, meydanın kenarlarını, ışık kelimesinin meçhul harflerini görmek için. Bu işleme devam ederseniz, eşdeğer olanlar aracılığıyla - her şey eşit derecede güçlüdür. Kіntsevі, sınıflar için vyyavlyatsya'yı çoğalttı. O. teorik olarak - kіlkіsnogo doğal sayısının çoğulluğu - є zagalna, sınıfın en iyisi, eşit derecede güçlü çoğullardır. Cilt sınıfının kendi numarası vardır. Sıfır, çarpanı boş olarak ayarlanmıştır.
A ve B sayıları eşit oldukları için eşit olarak adlandırılır.
Böyle bir yöntem, koçanı sınıflarında durgunlaşır.
Aritmetik diy'in belirli anlamlarını ortaya çıkaran görevler üzerinde çalışma tekniği.
Matematik dersinde aritmetik görevler önemli bir yer tutar. Mayzhe, görevin tamamlanması için bir saat matematik dersinden yarım saat önce tanıtılacak. Kokunun çocukların eğitim saatinin altında oynadığı tüm büyük manevi ve aydınlatıcı rulo. Virishennya aritmetik görevleri, aritmetik eylemlerin temel matematiğini ortaya çıkarmaya, onları somutlaştırmaya ve şarkı söyleme yaşam durumuyla ilişkilendirmeye yardımcı olur. Zavdannya devralacak matematik anlamak, Vіdnosin, yasalar. Görev yerine getirildiğinde, çocuklar oldukça saygı, dikkat, daha mantıklı düşünce, Mova, kmіtlivist. Amaç, analiz, sentez, hizalama ve iyileştirme gibi bilişsel aktivite süreçlerini geliştirmektir.
Aritmetik görevleri çözme sürecinde, öğrenciler etkinliklerini planlamayı ve kontrol etmeyi, kabulü açmayı, öz kontrolü (görevlerin yeniden doğrulanması, daha sonra görevlerin tahmin edilmesi) öğrenirler, kibirlerinde sallanırlar, istekli olurlar, noktaya kadar ilgi geliştirirler. görevleri çözmekten ibarettir. Çocukları hayata, geleceğe hazırlamada virishennya zavdan'ın rolü büyüktür. emek faaliyeti. Arsa görevlerini çözerken, öğrenciler nesneler ve değerler arasında “matematik diline” geçiş yapmaya başlar. Aritmetik görevlerde, halkın devletinin, kültürünün ve biliminin çeşitli galerilerinde ülkenin başarısına ilham veren sayısal malzeme muzafferdir. Tse spryaє, güncel eylem hakkında yeni bilgilerle zenginleştirilmiş öğrencilerin ufkunu genişletir. Uminnyam vyrishuvati aritmetik zavdannya uchnі opanovuyut büyük zorluklarla.
Çocukların affetme görevlerinin nedenleri, akıllarının özellikleri karşısında bize haykırıyor. Navchannya rozvyazannyu sürecinde, görevler ilk aklın görevinin en üstünde benzersiz bir şekilde gerilmelidir, görevlerin rozvyazannya yaklaşımını hesaba katmak, basit yaşam durumuna, görevin açıklamalarına yönlendirmek gerekir. , görevin dikkate alınması, verilen vizyonun dikkate alınması. Herhangi bir aritmetik problem üzerinde çalışma sürecinde aşağıdaki adımları görebilirsiniz:
1. Görev yöneticisi üzerinde çalışın.
2. Poshuk problem çözme.
3. Problem çözme.
4. Görüşün formüle edilmesi.
5. Problem çözmenin gözden geçirilmesi.
6. Üst görevler üzerinde robottan uzak durun.
Yani robotları fabrikanın zmist'ine, tobto'ya bağlayacak olanın saygısını kastediyorum. görevlerde durumun anlaşılması üzerine, danim ve shukanim arasında nadas kurulması. Görevin fethi ile ilgili çalışma sırası;
a) cahil kelimelerin ve virazivlerin analizi;
b) öğretmen tarafından verilen metni okumak ve öğrenmek;
c) görevle ilgili bir kayıt;
d) yemek görevinin tekrarı.
Vyraznym, bir sonraki çalışmanın başının metnini okuyor. Çocukların özellikle tanıtıcı bir okuma okuması gerektiğini, görevi kendi başlarına doğru okuyamadıklarını, mantıklı sesleri düzenleyemediklerini vb.
Geniş çaplı okullarda robot uygulamasında ek konular, şablonlar ve küçükler için ödevin somutlaştırma sırası, görevin ödevini yazacak şekilde oluşturulmuştur:
1. Notun şekli kısaltılır, görev metninde, görevin mantıksal anlamını anlamak için gerekli olan sayısal verileri ve yalnızca birkaç kelime ve kelimeyi yazın.
2. Kısa yapısal bir yazı şekli, eğer görevin mantıksal kısmı yeni bir satırdan yazılırsa.
3. Kaydın şematik formu.
4. Yazının grafik biçimi.
Çocuklarda kontrol işlevi zayıfladığı için, rozvyazannya zavdannya'nın yeniden incelenmesi aydınlatılabilir ve anlamlı olabilir. Genç sınıflarda gereklidir:
1. Nesneler üzerinde dolaşarak görevleri sözlü olarak formüle edin.
2. Durumun gerçekliğini yeniden düşünün.
3. Bitkinin besini ve zihninin yeterliliğini yeniden gözden geçirin. 4. sınıftan görevlerin çözümünü başka yollarla yeniden kontrol etmek її vyshennya mümkündür.
Görevin gelişiminin doğruluğunu kontrol etmek için programlanmış eğitimin unsurlarını seçmek ve bunlara göre hareket etmek gerekir. Bu öğe daha da bayat bir zaman ki, chi'nin doğruluğunu ve kendi eylemlerimin affını bir kez daha hesaba katacağım. Şarap kararının affı için kirazın yeni yolları var.
Okuldaki öğretmene büyük olasılıkla rozvyazannya avdannya'nın öğretiler tarafından aydınlandığı söylenecek. Bu görevin tamamlanmasını düzeltme işini yapması onun için daha iyidir. Sabit görevlerin çalışması farklı şekillerde gerçekleştirilebilir.
1. Günü kurtarmak için bir üniversite yemeği hazırlayın.
2. Proponuetsya rozpovіsti tüm rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.
3. Okremih diy chi yemeklerine kadar yemek koyun. Öğrenciler için, benzer görevlerin varyanslarının sayısı önemlidir ve bunlar arasında konu durumunun anlaşılması önemlidir. Bu tür bir görevin başlangıcını oluşturmanın ne kadar önemli olduğunu görebileceğiniz gibi, görevin görevleri üzerinde bir robot olarak hizmet etmek için bir araya geldi. Konunun daha iyi anlaşılması için görev, veriler ve shukani arasındaki nadas, görevin mükemmelliği, sayılarla değil, kelimelerle yazılmış günlük sayısal verilerden. En iyi öğretmenlerin, öğretmenlerin kendileri tarafından görevleri düzenleme görevlerini öğretme yöntemlerinden biri olarak geniş çapta muzaffer olduklarını göstermeye dikkat edin.
Görevin sıralanması, çocukların görevin yaşam pratik önemini daha iyi anlamalarına, yapısını daha iyi anlamalarına ve farklı türlerin görevlerini ayırt etmeyi öğrenmelerine, kararı anlamalarına yardımcı olur. Görevlerin sıralaması, hazırlanan görevlerin kararlarına paralel olarak gerçekleştirilir. Dosvid, dikkatli olunması, uchnіv chastkovo katlanmış görev için daha kolay olduğunu gösterecektir. Çeşitli arsaların başlarının öğretilerinin oluşumunu teşvik etmek için kaydırıldı. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet merhamet, іnіtsiativi. Okul müdürünün depolanması için dovіdnikіv, gazeteler, dergiler vb. Son sınıfların öğrencileri, bunlarla ve diğer rosrahunkalarla ilgili iş belgelerinin nasıl yazılacağını ve yazılacağını öğrenmelidir. Örneğin, bir onay mektubu yazın, bir kuruş siparişi için formu doldurun. Tüm yüksek atamalar, her türlü görevin kutlanmasında yaygın olarak kullanılabilir.
Basit bir aritmetik göreve, sanki bir aritmetik görev çözülecekmiş gibi görev denir. Matematik öğretme saatinin süper-birincil rolünü oynaması için zavdannya'yı bağışlayın. En basit görevler, temel bilgileri genişletmenize ve aritmetik işlevleri somutlaştırmanıza, bunları ve diğer matematiksel kavramları formüle etmenize olanak tanır. Depo katlama düzeninin sırasını affedin, daha sonra vminnya virishuvati їx'i şekillendiren öğretmen, öğrencileri katlama düzeninin açılmasına hazırlar.
Dermal hazırlama temelinde, en basit görevlerin yeni türlerini öğrenmeyi öğrenin. Bunların adım adım tanıtımı, matematiksel anlama probleminin farklı aşamaları, sessiz aritmetik süreçleri geliştirme süreci ile açıklanır, bu tür kokuların özel çözümü ortaya çıkar. Hangi tür liyakat ve bu onurun somutlaştırılması liderini seçerken öğretmene saygı duymak daha az değil. Nareshti, okuyucu zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi, ek kısa kayıt biçimleri için shukanimi.
En iyi okuyucuların çalışmalarının tamamlanması, aritmetik görevlerin tamamlanması için hazırlığın, pratik öğrenme bilgisinin geliştirilmesinin geliştirilmesinden, gerekli verimlilikte yönlendirilmesinden başlaması gerektiğini göstermektedir. Öğrendikten sonra, iyileştirmenin, aritmetik görevleri gözden geçirmenin, değişmek için çalışmanın mümkün olduğu bu yaşam durumuna liderlik etmek gerekir. Üstelik bu durumlar parça parça oluşturulacak bir sonraki şey değil, tersine dönme ve öğrencilerin saygısını kazanma olasılıkları daha düşük. Öğretmen, kaplar yerine konu çokluğundaki değişen sayıdaki elementler için koruma düzenler. bud., sho priyaє razvitku yavlen, znajomstvo için profesyonel olarak, görevin sözlü formülasyonu ile termіnologiєyu, yak zstrіnetsya şarkı söylemek için: oldu, her şey kayboldu, aldılar, arttı, değişti, vb. Öğrencilerin böylesine eğlenceli ve pratik bir faaliyeti organize etmek gerekir, böylece bu aktiviteye ve posterigayuchi'ye kesintisiz katılımcılar olarak, öğrencilerin kendileri cildin kremsi damlasında visnovka'yı çalışabilirler; çarpanın eleman sayısı artmış veya çarpanın eleman sayısı değişmiştir ve bazı işlemler sözlü virazın arttığını veya değiştiğini göstermektedir. İşi hazırlamanın bu aşaması, ilk on sayıların koçanıyla ve aritmetik eylemlere aşinalık, özne çoğullarından işlemlerin çözümleri ve katlama uygulamaları ile başlar.
Her şeyden önce, aritmetik görevleri öğrenmenin başlangıcında, öğretmen kendini açıkça ortaya koymaktan suçludur, bilgi gibi, bu becerileri öğrencilere vermek gerekir. Görevi çözmek için aritmetik aritmetiğin görevlerini öğrenin, dinleyin ve ardından görevi okuyun, görevi gıdadan, kısa bir not için bellekten tekrarlayın, problemdeki depo bileşenlerini görün, görevi kontrol edin ve doğruluğunu tersine çevirin. çöküşün. 1. sınıfta öğrenciler çantayı ve fazlalığı azarlama görevini kontrol etmeye başlarlar. Görevin qi'si, ilk on sayının başladığı saatin başlangıcından önce girilir. Rozvyazannya'nın başlangıcında, görev aynı dodankivlerin toplamını değiştirmekti, altta chi'nin eşit kısmı gümüş için devam etti, ardından çarpma ve alt. Öğretiler arasındaki farkın sırasını açmadan önce, nesnelerin s-benzerliğini aynı çizgide ayarlayarak bir bütünlük, iki nesnel bütünlük, boyut, sayı içindeki nesnelerin sırasını anlamak gerekir. denklik ve sinirlilik. Hadi bir araya getirelim ya da bir araya getirelim, aritmetik görevlere görev denir, iki kişinin yapamayacağı gibi daha fazla aritmetik süreçler. Aritmetik depo görevlerinin özelliklerinin geliştirilmesine ilişkin psikolojik çalışmalar, çocukların yeni bir depo görevi bağlamında basit görevleri tanımadıklarını göstermektedir. Depo görevleri tamamlanıncaya kadar işin hazırlanması, depo görev kararlarının tamamlanmasına kadar eğitim kurumlarının haklar, kabuller ve uygun davranış sistemi tarafından suçlanmalıdır. Depo yöneticisinin tamamlanmasından önce, fikrinizi değiştirirseniz, bilim adamlarının hileler yardımıyla basit görevlerin düzenlenmesinde ustalaştığı aynı yere gidebilirsiniz, depo yöneticisine giderseniz, kendiniz koyabilirsiniz. birlikte şarkı söyleyen bir zihnin basit bir görevi. Rozv'yazannі depolama zavdan uchnі povinnі veya danih koymak için zapitanya veya pitanya veri almak. Ayrıca hazırlık döneminde tobto. ilk kaderin sonuncusunu gererek, diğer kaderin koçanına, öğrenme, görevin öğretilerini takip ederek:
1. Yemeğinizi hazır olmadan önce yıkayın.
2. Yiyeceklerden, günlük sayısal verileri toplayarak görevi ekleyin.
Basit katlama ve depo görevleri, depo görevlerinden öğrenmek için adım adım öğrenme basittir, bunları daha da doğru bir şekilde tamamlamış olsanız bile katlama görevlerini katlama hakkınız vardır. Basit görevlerin görünümlerinde en kısa sürede ustalaşmayı kabul edin, onları depo görevlerinden ayırt etmek için akıllı hale getirin ve öğrencilerin görevleri analiz etmesine yardımcı olun. Ne zaman vyrіshennі depo zavdan uchnіv kızak nauchit zagalnyh priyom_v iş z zavdannyam; vminnyu zmist görevlerini analiz etmek, verilen verileri görmek, shukane (görevde tanınmak için neyin gerekli olduğunu belirlemek), hangi verilerin görevdeki beslenme başkanının gözden geçirilmesi için kullanılmadığına bağlı olarak. Uygulamada, okulun çalışması, görevler üzerindeki çalışma sırasının belirlendiği görevler olan kartlarla çalışma kullanımıyla kendi içinde doğrudur. Sipariş tamamlandığında karar beslenme ile birlikte kayıt altına alınır veya cilt durumu kayıt altına alınır ve açıklanır. Belirli bir türdeki görevleri düzenlemek için belirtilen yöntemin çeşitliliği, öğrencilerin kendileri tarafından hazırlanan ve katlanan farklı türler, grafikler, çözümler, belirli bir türdeki görevler ve daha önce çözülmüş problem türleri ile görevlerin varyant düzenlenmesi ile sağlanır, ve benzeri.
1. Vipadkіv için sayma yöntemini açıklayın 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 yüz konsantrasyonla sayılmalıdır.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4d+2d=5d 4d=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4d + 2d \u003d 3d 6d \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8d \u003d 18
6) 48-3= 4d+8d-3d=4d 5d=45
Usі priyomi ve katlama ve vіdnіmannya saflarına göre usnі ve vykonuyutsya sayma.
Görüldüğü gibi, ek bir "daha az" ifadesi için sayısız doğal sayılar sıraya konabilir. Ancak aksiyomatik teorinin kuralları vurgulanmalıdır, böylece amaç sadece belirlenmekle kalmaz, aynı zamanda anlamak için bu teoride zaten atanmış olanlar temelinde iyileştirilir. Ekleme yoluyla ödemeyi "daha az" yaparak daha fazlasını yapabilirsiniz.
Randevu. a sayısı b sayısından küçüktür (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Tsikh zihinlerinin aynı şeyi söylemesi için, scho numarası b daha fazla a o yazar b > a.
Teorem 12. Herhangi bir doğal sayı için aі büç canlıdan biri ve yalnızca biri olabilir: a = b, a > b, a < b.
Bu teoremin ispatı atlanmıştır.. Teoremin Z'si açıktır, nedir
bir ¹ b, te chi a< b, veya bir > b tobto. vіdnoshennia "daha az" pov'yazanostі'nın gücü olabilir.
Teorem 13. Yakscho a< b і b< с. sonra a< с.
getiriyor. Bu teorem, “daha az” önermesiyle geçişliliğin gücünü ifade eder.
çok yak a< b і b< с. o zaman, "daha az" adlandırma amacıyla, böyle doğal sayılar vardır. önceki Ve ne b \u003d a + ben c \u003d b + I. ale todi h = (a + k)+ / і, katlamanın birleştiriciliği temelinde alınır: h \u003d bir + (ila +/). Oskilki + ben - bir doğal sayıdır, o zaman a< с.
Teorem 14. Yakscho a< b, bu doğru değil b< а. getiriyor. Tsya teoremi gücü ifade eder antisimetri vodnosini "daha az".
Herhangi bir doğal sayı için en baştan başlayalım a yapma-!>! ■ ) її istifa a< a. Kabul etmeyelim tobto. ne a< а maє sis. Todi, mavi "daha az" amacıyla, böyle bir doğal sayı var İle birlikte, ne a+ h= a, ve Teorem 6'nın yerini almamak için.
Şimdi diyelim ki yakscho a< b, o zaman bu doğru değil b < a. Kabul etmeyelim tobto. ne yakscho a< b , sonra b< а kazanç. Teorem 12'deki eşitliklerin bir listesi a< а, ki bu imkansız.
Yani, dediğimiz gibi, "daha az" antisimetrik ve geçişlidir ve doğrusal düzen ile ilgili olarak güce sahip olabilir, ancak doğal sayıların kişiliksizliği bir yüz olmadan doğrusal olarak sıralanmıştır.
"Daha az" atamasından, bu güç yogası, bir doğal sayıların çarpanının güç evinde tanıtılabilir.
Teorem 15. Tüm doğal sayılardan biri en küçük sayıdır, tobto. ben< а для любого натурального числа a¹1.
getiriyor. Hadi a - bir doğal sayı olsun. O zaman iki olasılık var: bir = 1 ta bir ¹ 1. Yakscho bir = 1, o zaman bir doğal sayıdır b, hangisi için takip eder a: a \u003d b " \u003d b + ben = 1+ b, tobto, vodnosini "daha az" amacıyla, 1< a. Otzhe, doğal olsun, 1'den fazla 1 chi fazla. Abo, yalnızlık en küçük doğal sayıdır.
“Daha az” kavramının tanıtılması, monotonluğun gücüyle sayıların katlanması ve çarpılmasıyla bağlantılıdır.
Teorem 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c bir c \u003d b c;
a< b =>bir + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c ve ac > bc.
getiriyor. 1) Bu katılığın adaleti, katlama ve çarpma birliğinden anlaşılmaktadır.
2) Yakşo a< b,
o zaman bu bir doğal sayıdır k, ne a
+ k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ ile)= (a + c) + k. Eşitlik b+ c = (a + c) + için anlamına gelir bir + c< b
+ İle birlikte.
Yani bunu söylemeye gerek yok a< b =>as< bс.
3) Aynı şekilde getirilmek.
Teorem 17(Ters Teorem 16).
1) a+ c = b + c veya ac ~ bc-Þ a = b
2) bir + c< Ь + с veya as< M.ÖÞ a< Ь:
3) a + c > b+ w o ac > bcÞ bir > b.
getiriyor. Örneğin, ne getiriyoruz as< bс sonraki a< b Kabul etmeyelim tobto. teoremin muzaffer olmadığıdır. Todi yapamam, scho bir = b. o zaman bile kıskançlığın galip geleceği gerçeğine ac = bc(Teorem 16); ben olamam a> b,öyle ya da böyle ac > bc(Teorem!6). Bu nedenle, Teorem 12'ye göre, a< b.
Teorem 16 ve 17'den terim terim toplama ve düzensizliklerin çarpımı kuralı getirilebilir. atlıyoruz.
Teorem 18. Herhangi bir doğal sayı için aі b; aynı zamanda bir doğal sayı n'dir, ki p bir.
getiriyor. kim için a böyle bir sayı bul P, ne n > bir. Kimin alması yeterli n = bir + 1. Terimi terim eşitsizliği ile çarpma P> aі b> 1, kabul edilebilir pb > a.
Otoritelere bakıldığında, doğal sayıların çarpanının önemli tekilliklerini söylemek için mavinin "daha az" olduğunu görebiliriz, ki bunu kanıtsız olarak elde ederiz.
1. Bir doğal sayı için Ні a böyle bir doğal sayı yok P, ne a< п < а +
1. Tsya gücü denir iktidarda
ayrıklık kişisel olmayan doğal sayılar ve sayılar aі bir + 1 isim adli.
2.
Be-yak intikam almak için doğal sayıların alt çarpanı boş değil
en az sayı.
3. Yakscho M- Kişisel olmayan doğal sayıların boş sayısı
ve aynı sayı b, tüm sayılar için ne x s M kazanamayacak
itidal x< b, sonra yüzsüz Mє çoğu.
Popo üzerinde 2 ve 3'ün gücünü gösteren. Hadi M- anonim iki basamaklı sayılar. çok yak Mє tüm sayılar için doğal sayıların alt çarpanı< 100, то в множестве Mє en büyük sayı 99'dur. M, - 10 numara.
Bu şekilde, "daha az"ın getirilmesi, bir doğal sayılar çarpanının kuvvetlerinin sayısının önemine bakmayı (ve bir dizi vipadkiv getirmeyi) sağladı. Zokrema, lineer olarak düzenlenmiş, ayrık, en az 1.
Doğal sayılar için "daha az" ("daha fazla") ayarıyla, küçük okul çocukları öğrenmenin en başlangıcına aşinadır. Ve çoğu zaman, yogo çarpanı-teorik yorumların sırasına göre, aksiyomatik teori çerçevesinde tarafımızdan verilen tanım zımnen doğrulanır. Örneğin, öğrenciler 9 > 7'nin, 9'un 7 + 2'yi değil, 9'u açıkladığını açıklayabilir. Sık sık ve dolaylı olarak muzaffer güç monotonluğu katlama ve çarpma. Örneğin, çocuklar “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Sağ
1, Neden “orta sırasız” mavinin yardımıyla kişisel olmayan doğal sayılar sıralanamıyor?
Bir vizyon formüle edin bir > b ve hem geçişli hem de antisimetrik olduğunu kanıtlayın.
3. Bana ne olduğunu söyle a, b, c- doğal sayılar, sonra:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ h< b + su> a< Ь.
4. Toplama ve çarpmanın monotonluğuyla ilgili bazı teoremler,
vykoristovuvaty genç okul çocukları, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, vykonuyuchi hesaplamayın":
a) 27+8...27+18;
b) 27-8...27-18.
5. Doğal sayıların çarpanının gücü gibi, genç okul çocukları dolaylı olarak aynı görevi kazanır:
A) Daha büyük, daha düşük 65, daha küçük, daha düşük 75 gibi sayıları yazın.
B) Bir sonraki numarayı 300'den (800,609999) önceki tarihe göre adlandırın.
C) Üç basamaklı en küçük ve en büyük sayıyı yazınız.
Vidnimannya
saat aksiyomatik motivasyon Doğal sayılar teorisinin kulağa hisse senedine dönen bir işlem gibi geldiği bilinmektedir.
Randevu. a ve b doğal sayıları göz önüne alındığında, zihni memnun eden işlem denir: a - b = s sadece ve b + c = a ise sadece birkaçı.
Sayı a - b sayıların farkına i denir b, sayı a- değişiklik ve sayı b- görülen.
Teorem 19. Doğal sayıların çeşitlenmesi a- b tоdі'den daha azdır, eğer b< а.
getiriyor. Bırak perakende a- bІсnuє. Todi, belirlenen perakende için böyle bir doğal sayı var. İle birlikte, ne b + c = bir, ve tse şu anlama gelir b< а.
Yakşço b< а, o zaman, "daha az" olarak adlandırmak amacıyla, aynı zamanda bir doğal sayıdır. b + c = a. Todi, atanan perakende satış için, c \u003d a - b, tobto. perakende a - bІсnuє.
Teorem 20. Doğal sayılar arasındaki fark nedir aі b Eminim, sadece bir tane var.
getiriyor. iki tane olması kabul edilebilir farklı değerler sayıların farkı aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, dahası c₁ ¹ c₂. Belirlenmiş perakendeciler için Todi, belki: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Aşağıdakilere bakın b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : ve Teorem 17'ye dayanarak sığdırmak mümkündür c₁ = c₂. Atlama noktasına geldiler, o zaman bu yanlış, ama teorem doğru.
Vyhodyachi z vznachennya, її іsnuvannya'yı önemseyen doğal sayıları raznits, sumi ve sumi sayılarından vіdomі vіdnіmannya sayılarının kuralını takip edebilirsiniz.
Teorem 21. Hadi a. bі h- doğal sayılar.
ama yakscho a > c, sonra (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Yakscho b > c. sonra (a + b) - h - bir + (b - c).
c) Yakscho a > c ve b > c. o zaman bu formüllerden yaku-yaku vikoristovuvati yapabilirsiniz.
getiriyor. zamanlarda a) sayılardaki fark aі c aynen, oskelki bir > c.Önemli ölçüde її aracılığıyla x: a - c \u003d x. yıldızlar bir = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d y. sonra, belirlenen fiyat için, a+ b = h+ de. Biz qiu eşitlik zamіst temsil ediyoruz a virüs h + x:(h + x) + b = c + y.Şunları eklemek için ilişkilendirmenin gücünü hızlandırıyoruz: c + (x + b) = c+ de. Bu dinginliği monotonluğun gücünden yola çıkarak değiştirelim, şunu ekleyelim:
x + b = y.. Danimarka eşdeğerinde x viraz ile değiştirildi AC, hadi anne (a - G) + b = y. Bu rütbede getirildik, scho yakscho a > c, sonra (a + b) - c = (a - c) + b
Benzer şekilde, ispat b) durumunda yapılır.
Teoremin sonucu, hatırlanması kolay bir kural olarak formüle edilebilir: Toplamdan sayıyı almak için, bir depo toplamından sayıyı almak ve daha fazla ek ekleme sonucuna yeterlidir.
Teorem 22. Hadi a, b ben c - doğal sayılar. Yakscho bir > b+ c, o zaman a- (b + c) = (a - b) - c veya a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Bu teorinin ispatı Teorem 21'in ispatına benzer.
Teorem 22 görsel bir kural olarak formüle edilebilir, sayıdan sayıların toplamını dikkate almak için ardışık cilt eklemelerinin sayısını tek tek ele almak yeterlidir.
saat koçanı matematikçiler vyznachennya vіdnіmannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, görüşte, ses, vermeyin, ancak sürekli olarak koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya tek basamaklı sayılar üzerinde. Kıvrımlar hakkında ne söyleyeceğinizi iyi bir şekilde anlamayı öğrenin ve hesaplarken karşılıklı ilişkileri kazanın. Örneğin, 40 numaradan 16 numaraya bakın, şöyle işaretlemeyi öğrenin: “40'tan 16 numaraya bakın - bu, böyle bir sayıyı bilmek anlamına gelir, 16 numara ile katlarken 40 girin; bu sayı 24 olacak, yani 24 + 16 = 40. Ortalama. 40 - 16 = 24".
Matematik dersinde toplamdan ve sayılardan toplamdan sayıları yorumlama kuralları є teorik temel Diğer gelirleri hesaplayın. Örneğin, virase (40 + 16) - 10'un değeri, sadece yaylardaki toplamı sayarak değil, ondan 10 sayısını sayarak, aynı zamanda böyle bir rütbede bilinebilir;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
Sağ
1. Chi doğru, kesintisiz ilerleyen yalnızlıktan çıkacak doğal cilt sayısı kaçtır?
2. Teorem 19'un mantıksal yapısı neden özeldir? “Gerekli o kadar yeterli” sözlerini muzaffer bir şekilde formüle edebilir misiniz?
3. Ne getirin:
ama yakscho b > c, sonra (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) yakscho a > b + c, sonra bir - (b+ c) = (a – b) – s.
4. Chi, saymadan, bu tür virazіv dorovnyuvatimut'un anlamını söyleyebilir:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Yakі gücü vіdnіmannya є priyomіv hesabı, scho vychayutsya'yı matematik koçanı kursunda ilerletmenin teorik temeli:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Değeri görerek hesaplamak için olası yöntemleri tanımlayın. a - b- h ve onları belirli izmaritlerde gösterin.
7. Söyle bana ne b< а ve herhangi bir doğal soğukkanlılık olsun (a - b) c \u003d ac - bc.
Vkazivka. Kanıt, aksiyom 4'e dayanmaktadır.
8. Harfleri saymadan virazunun değerini hesaplayın. Vidpovidi sarma.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.
podyum
Doğal sayıların aksiyomatik teorisi altında, rozpodil bir işlem gibi geliyor, çarpmaya dönüştü.
Randevu. Doğal sayıların a ve b alt bölümü, zihni tatmin eden bir işlemdir: a: b \u003d s todi ve sadece todi,önceki eğer b× h = bir.
Sayı a:b aranan özel sayılar aі b, sayı a dilim, sayı b- dilnik.
Göründüğü gibi, doğal sayıları kişisel olmayan doğal sayılar üzerinde ayırt etmek gerekli değildir ve perakende için gerekli olduğu için özel bir temelin bu kadar açık belirtileri yoktur. Є tilki gerekli akılözelin temeli.
Teorem 23.Özel olarak iki doğal sayı oluşturmak için aі b gerekli b< а.
getiriyor. Özel doğal sayıları koru aі b Bunu biliyorum. öyle bir doğal sayı c ki bc = a. Herhangi bir doğal sayı için Oskіlki 1 £ karşısında geçerlidir İle birlikte, sonra, kusurlu kısmı bir doğal sayı ile çarparak b, alınmış b£ M.Ö. bira bc \u003d bir, otzhe, b£ a.
Teorem 24.özel doğal sayılar nasıldır aі bіsnuє, sadece bir tane var.
Teoremin ispatı, doğal sayıların farkının birliği hakkındaki teoremin ispatına benzer.
Vyhodyachi z vyznachennya yogo іsnuvannya'ya dikkat eden doğal sayıların parçaları, sayı üzerinde subіlu sumi (perakende, oluşturma) kurallarını değiştirebilirsiniz.
Teorem 25. sayılar nelerdir aі b sayıya göre bölmek İle birlikte, o zaman bu miktar bir + b ile paylaşın ve daha özel olarak a+ b sayı başına İle birlikte, bir miktar özel olanlar aüzerinde hі büzerinde h, sonra. (a + b):c = a: c + b:İle birlikte.
getiriyor. Oskіlki numarası a Ayrılmak İle birlikte, o zaman bu bir doğal sayıdır x = a; h, şşş a = cx. Mevcut doğal sayıya benzer y = b:İle birlikte, ne
b= su. ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). ne demek bir + b c'ye bölünür, ayrıca daha özeldir, sumi yayılırken alınır a+ b daha pahalı olan c sayısına x + y, tobto. balta + b: c.
Teoremin sonucu, toplamı sayıya bölme kuralı kullanılarak formüle edilebilir: toplamı sayıya bölmek için toplamı, deri ekleme sayısına bölmek ve sonuçları çıkarmak yeterlidir.
Teorem 26. doğal sayılar gibi aі b sayıya göre bölmek hі bir > b sonra perakende a - b c ile bölünebilir, ayrıca özeldir, fark c sayısına bölündüğünde kazanılır, daha özel, fark bölündüğünde kazanılır aüzerinde hі b c'ye, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Bu teoremin ispatı, önceki teoremin ispatına benzer şekilde yapılır.
Bu teorem, sayı üzerindeki farkın alt bölümleri için bir kural olarak formüle edilebilir: için Ayrıca farkı sayıya bölmek için, bir arkadaşın ilk özel görüşünden itibaren değişen ve görülen tam sayıya bölmek yeterlidir.
Teorem 27. doğal sayı nedir a bir doğal sayı c ile bölünebilir, sonra herhangi bir doğal sayı için b tvir ab p'de paylaş Herhangi bir mahremiyet durumunda, yaratıcılığı yaydığınızda ne alınır? ab z sayısına , özel bir dobutka aüzerinde İle birlikte, ben numara b: (a × b): c - (a: c) × b.
getiriyor. çok yak a Ayrılmak İle birlikte, o zaman bir doğal sayı x var ki AC= x, yıldızlar a = cx. Kıskançlığın rahatsız edici kısımlarını çoğaltarak b, alınmış ab = (cx) b. Oskіlki çoğul çağrışımsal olarak, o zaman (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teorem, bir sayıyı bir sayıya bölmek için bir kural olarak formüle edilebilir: sayıyı bir sayıya bölün, sayıyı çarpanlardan birine bölün ve sonucu çıkarın, diğer çarpanı çarpın.
Koçan meraklısı bir matematikçi için, podil operasyonel bir çarpma olarak atanır, vahşi olan için, kulağa hoş gelmez, verilmez, ancak podilin ilk bilgi derslerinden başlayarak sürekli olarak koristuyutsya'dırlar. Hesaplamalar sırasında çarpmaların nedenlerini ve karşılıklı ilişkilere karşı kazandığı zaferi iyi anlamayı suçlamayı öğrenin. Örneğin 48'i 16'ya böldü, öğrenenler şöyle diyor: “48'i 16'ya bölmek demek böyle bir sayıyı bilmek demektir, 16 ile çarparken 48 yapacağız; bu sayı 3, parçalar 16 × 3 = 48 olacaktır. Ayrıca, 48: 16 = 3.
Sağ
1. Ne getirin:
a) doğal sayıların sadece bir kısmı bir b eğer öyleyse, o zaman sadece bir tane vardır;
b) sayılar gibi bir b abone olmak hі bir > b sonra (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Tüm verilerin doğru olduğu teyit edilebilir:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850: 170 = 850: 10:17.
Bu vipadkіv'i ağırlaştırmanın kuralı nedir? Yogayı formüle edin ve getirin.
3. Yakі güç podіlu є için teorik temel
vikonanna gelen gunler, okul çocuklarına vaaz verdi koçanı sınıfları:
Dibe güvenmeden, bu tür kelimelerin anlamlarının aynı olacağını nasıl söyleyebilirsiniz:
a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;
Chi vіrnі іvnostі:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Virüsün değerini hesaplamanın olası yollarını tanımlayın
zihin:
a) (a+ M.Ö; b) a:b: İle birlikte; içinde) ( a × b): s .
Önerilen yöntemler ve belirli izmaritleri örnekleyin.
5. İfadenin anlamını rasyonel bir şekilde öğrenin; sahip olmak
sarın:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Sonraki adımları ve alt kısmı bir çift sayıya yuvarlayın:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Kanepenin altında kendinizi dövmeyin, en mantıklısını bulun
özel bir şekilde; hazırlamak için bir yol seçin:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Ders 34
1. Anonim sayıda bilinmeyen numaralar. Çok sayıda tsilih nevid'emnyh sayısının gücü.
2. Son çarpanın doğal sayı serilerini ve öğelerini anlama. Sıralı ve doğal sayılardır.
Uzmanlık egemenliğine kadar
1. Alan üzerinde lineer (vektör) uzay. uygulamak. Uzayın altında, en basit güç. Doğrusal ve bağımsız vektörler.
2. Temel ve barış vektör alanı. Vektörler sisteminin koordinat matrisi. Bir temelden diğerine geçiş. Vektör uzayının izomorfizmi.
3. Karmaşık sayılar alanının cebirsel kapanışı.
4. Bir tam sayı halkası. Tam sayıların sıralanması. "En büyük" ve "en küçük" sayılarla ilgili teoremler.
5. Grup, grup uygula. En basit güç grupları. Alt gruplar. Grupların homomorfizmi ve izomorfizmi.
6. Sahte sayıların ana gücü. Rakamları bağışlayın. Kişisel olmayan asal sayıların sonsuzluğu. Stok numarasının kanonik düzeni bu benzersizliktir.
7. Kronecker-Capelli teoremi (sistemin bütünlüğü için kriter doğrusal nehirler).
8. Yolların ana özellikleri. v_drahuvan modulo sistemi tarafından indüklenen Povna. Modül için kіltse v_drahuvan. Euler teoremi ve Fermat.
9. Porіvnyan'ın vysnovka'ya teorisinin eki, bir yanlışlık işaretidir. Zvernennya zvichaynogo onuncu kesir ve son yogo döneminin atanması.
10. Etkin katsayılı bir polinomun açık kökünün başarısı. Zengin terimlerle gerçek sayılar alanı üzerinde gerçekleşti.
11. Bir değişiklikle doğrusal hizalama (rozvyaznosti kriteri, rozvyazannya yolları).
12. Doğrusal hizalamaların eşit sistemleri. Sonraki dışlama yöntemi bilinmemektedir.
13. Kiltse. Bir omurga uygulayın. Kіletlerin en basit gücü. Pidkiltse. Halkanın homomorfizmaları ve izomorfizmaları. Alan. Sulama örneği. En basit güç. Rasyonel sayılar alanının minimalliği.
14. Doğal sayılar (doğal sayılarla ilgili aksiyomatik kuramın temelleri). "En büyük" ve "en küçük" doğal sayılarla ilgili teoremler.
15. Alan üzerinde zengin kesimler. Fazlalık hakkında teorem. İki zengin üyenin en büyük işbirlikçi dilnik, bu şekilde bilmenin gücü.
16. İkili maviler. Denklik önerisi. Denklik sınıfları, faktör çarpanı.
17. Doğal ve tam sayılar için matematiksel tümevarım.
18. Karşılıklı asal sayıların baskınlığı. Sayıların en az anlamlı katı, bu şekilde bilmenin gücü.
19. Karmaşık sayıların alanı, sayısal alanlar. geometrik görünüm trigonometrik form karmaşık sayı.
20. Tam sayılar için podіl fazlalığı ile ilgili teorem. Sayıların en büyük koleksiyonu, bu şekilde bilmenin gücü.
21. Vektör uzayının lineer operatörleri. Doğrusal bir operatörün çekirdeği ve görüntüsü. Vektör uzayında lineer operatörlerin cebiri. Doğrusal bir operatörün güç değerleri ve güç vektörleri.
22. Dairenin Atina dönüşümü, onların egemenliği zavdannya yoludur. Düzlem ve її alt gruplarının bir grup Atinalı dönüşümleri.
23. Bagatokutniki. Bagatokutnik meydanı. Akıl ve birlik teoremi.
24. Bagatokutnikiv'in eşdeğerliği ve düzgünlüğü.
25. Lobachevsky'nin Geometrisi. Lobachevsky'nin geometri aksiyomları sisteminin üstünlüğü.
26. Lobachevsky'nin geometrisinde paralellik kavramı. Düz Lobachevsky bölgesinin karşılıklı genişlemesi.
27. Formüller ruhіv. Alan kalıntılarının sınıflandırılması. Dodatki'den rozvyazannya'ya görevler.
28. Açık alana yakın iki daire, düz daire, iki düz dairenin karşılıklı genişlemesi (analitik bir sunumda).
29. Projektif dönüşüm. Akıl ve birlik teoremi. Projektif dönüşümlerin formülleri.
30. Skaler, vektör değil zmіshane oluştur vektörler, görevlerin geliştirilmesine їх eklemeler.
31. Weyl'in trivimetrik Öklid uzayı aksiyomları sistemi ve її zmistovna süper olmama.
32. Bölgenin Ruhi ve güç yogası. Düz kalıntılar grubu. Hareketin temeli ve birliği teoremi.
33. Bu її modelinin projektif düzlemi. Projektif dönüşüm, güç. Tasarım değişiklikleri grubu.
34. Daireye benzerlik reformu, onların egemenliği. Düzlem ve її alt gruplarına benzer bir grup dönüşüm.
35. Pürüzsüz yüzeyler. Yüzeyin ilk ikinci dereceden formu zastosuvannya'dır.
36. Güç yogasını paralel olarak yansıtmak. Paralel projeksiyonda düz ve geniş figürlerin görüntüleri.
37. Düzgün çizgiler. Uzay eğrisinin eğriliği aynıdır.
38. Sonlu bir parabol olarak elips, hiperbol ve parabol. Kanonik eşitlik.
39. Elips, hiperbol ve parabolün yönlendirme gücü. Kutup hizalaması.
40. Doğrunun bazı noktalarının etkisi altında, o hesaplamanın gücü. Uyumlu bölünmüş buhar noktaları. Povniy chotirikutnik ve güç yogası. Pobudova'daki rozvyazannya görevlerine bir ek.
41. Pascal ve Brianchon teoremleri. Kutuplar ve kutuplar.
İyi yemek matematiksel analiz
Heves...