Halka ve vektör uzay matrisleri. Doğrusal vektör uzayı: atama, yetki. Vektör çizgi alanı

Anlatım 6. Vektör uzayı.

Temel beslenme.

1. Vektör lineer uzayı.

2. Temel, uzayın genişlemesidir.

3. Uzaya yönlendirme.

4. Bir vektörün bir bazın arkasına yerleştirilmesi.

5. Vektör koordinatları.

1. Vektör lineer uzayı.

Herhangi bir nitelikteki öğelerden oluşan, doğrusal işlemlerin belirtildiği: iki öğenin eklenmesine, bir öğenin bir sayı ile çarpılmasına denir. açık alanlar, Ve їх öğeleri - vektörler uzay і olarak atanır, yak і geometride vektör miktarları: . vektörler bu tür soyut açılımlar, kural olarak, en büyük geometrik vektörlerle tasarlanamaz. Soyut uzayların elemanları fonksiyonlar, bir sayı sistemi, matrisler, vb. ve bir okreme durumunda değişken vektörler olabilir. Bu yüzden adlandırmak gelenekseldir vektör açık alanlar .

vektör alanı, örneğin, gösterilen sayısız sayıda nonary vektör V1 , eş düzlemli vektörler olmadan V2 , kişiliksiz vektör oldukça büyük (gerçek uzay) V3 .

Bu özel vipadka için, vektör genişliğine bir atlama taşı vermek mümkündür.

Randevu 1. Anonim vektör denir vektör alanı, Doğrusal bir kombinasyon olarak, bir çarpanda herhangi bir vektör olup olmadığı, aynı zamanda o çarpanın bir vektörüdür. Vektörlerin kendilerine denir elementler vektör alanı.

Hem teorik hem de uygulamalı perspektifte ve vektör uzayının daha soyut (soyut) anlayışında daha önemlidir.

Randevu 2. Bezlich R herhangi iki eleman ve toplamın atandığı ve herhangi bir eleman için width="68" olarak adlandırılan elemanlar vektör(veya doğrusal) boş alan, elemanlar gibi - vektörler, gelen zihinleri tatmin etmek için vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemi gibi ( aksiyomlar) :

1) toplama değişmelidir, bu nedenle gif genişliği = "184" yükseklik = "25";

3) böyle bir eleman (sıfır vektör) kullanın, ne olursa olsun https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) herhangi bir sayıda vektör için, böyle bir λ sayısı eşit olabilir;

6) vektörler ve sayılar ne olursa olsun için λ і µ adalet https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Vektör uzayını gösteren aksiyomlardan en basitini haykırın. kanıt :

1. Vektör uzayında birden fazla sıfır var - eleman bir sıfır vektörüdür.

2. Bir vektör uzayının tek bir vektörü vardır.

3. Cilt elemanına kadar vykonuetsya sükuneti.

4. Herhangi bir gün numarası için λ sıfır vektörünün i.

5..gif" genişlik="145" yükseklik="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> eşitliği sağlayan bir vektöre https://pandia.ru/ denir text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno ve є lineer (vektör) uzaydaki tüm geometrik vektörlerin kişisel olmayan, yani çarpanı, aksiyomların formülasyonunu karşılayan sayı ile toplama ve çarpmaya atanan elemanlar için.

2. Temel, uzayın genişlemesidir.

Vektör uzayının Іstotnimi kavramları є temelin anlaşılması ve ilk başta.

Randevu.Şarkı mertebesinden alınan lineer bağımsız vektörlerin toplanması temel ne boşluk. Vektör. Alan için depo temeli, denilen temel .

Dolnіy düz bir çizgiye yayılmış kişisel olmayan vektörlerin temeli, bir doğrusal düz vektör kullanabilirsiniz.

Uçak bazında Bu düzlemde aynı sırada alınan iki doğrusal olmayan vektörü adlandıralım.

Temel vektörler çift olarak dik (ortogonal) ise, o zaman tabana denir. dikey, ve eğer q vektörleri çift, bire eşit olabilirse, o zaman taban denir ortonormal .

En büyük sayı lineer bağımsız vektörlere uzayda denir Barış bu uzay, yani uzayın genişlemesi, bu uzaydaki temel vektörlerin sayısı ile artar.

Otzhe, açıkça dagi'ye övgüde bulundu:

1. Tek dünya alanı V1 düz bir çizgidir ve temelden oluşur bir doğrusal vektör https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Önemsiz genişlikle büyük genişlik V3 , temelini oluşturan üç eş düzlemli olmayan vektör_v.

Bana öyle geliyor ki, bir düz çizgi üzerinde, bir düzlemde, gerçek uzayda temel vektörlerin sayısı, geometride genellikle bir düz çizginin, bir düzlemin, bir uzayın sayısı olarak adlandırılana göre değişir. Bunun daha açık bir cezaya yol açması doğaldır.

Randevu. Vektör alanı R aranan n- barışçıl, yeni dünyada olduğu gibi artık yok n lineer bağımsız vektörler ve atanmış R n. Sayı n aranan Barış Uzay.

Açık alan podіlyayutsya rozmіrnostі kadar Vіdpovіdno kіntsevіі sınırsız. Randevuların ötesindeki sıfır genişliğin açıklığı sıfıra eşit kabul edilir.

Saygı 1. Dış görünüm alanında kaç tane tabana ihtiyaç olduğunu belirtebilirsiniz, ancak bu uzayın tüm tabanları aynı sayıda vektörden toplanır.

Not 2. saat n- barışçıl bir vektör uzayına, sıralı düzenin olup olmadığına temel denir. n lineer bağımsız vektörler.

3. Uzaya yönlendirme.

İçin Mekânı yönlendirmek için belli bir temel oluşturmak ve onu olumlu bir şekilde dile getirmek gerekir. .

Mekânın kişisel olmayan temellerinin iki sınıfa ayrıldığı, iki alt kata bölündüğü, örtüşmediği gösterilebilir.

a) bir alt kata (sınıfa) ait olan tüm bazlar fakat oryantasyon (aynı menü bazında);

b) yalan söyleyen herhangi iki baz hayat p_dmnozhin (sınıflar), mayut protilezhnu oryantasyon, ( farklı temel).

İki taban sınıfından biri pozitif, diğeri negatif ise, o zaman genişlik odaklı .

Genellikle, uzaya yönlendirilirken, bir temel denir yönetmek, ve інші - canlı .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> ad kural, Ancak üçüncü vektör korunduğunda, birinci vektörün en kısa dönüşü yıl karşıtı ok(Şek. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Pirinç. 1.8. Sağ temel (a) bu sol temel (b)

Olumlu bir temel ile sesinizi çıkarın

Sağ (livy) temeli, boşluğa ve “sağ” (“sol”) vida veya bükülmüş ek kuralı için atanabilir.

Cim ile kıyaslanarak sağ ve sol kavramı tanıtılır. üçüzler siparişten kaynaklanan ortak olmayan vektörler (Şekil 1.8).

Bu şekilde, vahşi bir trendde, planlanmamış vektörlerin iki sıralı üçlüsü uzayda aynı yönelime (aynı) sahip olabilir. V3 suçun kokusu doğruysa veya rahatsız edici ise, sola ve bunlardan biri sağ ve diğeri sol ise zıt yön (farklı).

Sığdırmaya ve alana sahip olmaya benzer V2 (Kareler).

4. Bir vektörün bir bazın arkasına yerleştirilmesi.

Basitlik adına, yansıtma bir trivimir vektör uzayı örneğinde görülebilir. R3 .

Hadi - dovіlny vektör tsgo alanı.

VEKTÖR UZAY (lineer uzay), cebirin temel anlayışlarından biridir ve (serbest) vektörlerin toplamını anlamayı kolaylaştırır. Vektör uzayında vektörlerin nesne olup olmadığı, sayılarla toplanıp çarpılabiliyorsa; gerekirse, cebirsel işlemlerin ana güçleri, temel geometrideki vektörlerle aynı olacak şekilde. Belirlenen tam sayıda, bunlar K alanının elemanları ile değiştirilir. K alanı üzerindeki vektör uzayına, V'den eleman ekleme işlemi ve V'den elemanları K alanındaki elemanlarla çarpma işlemi ile kişisel olmayan V denir. iktidarın gelmesine yol açabilecek olan:

x + y \u003d y + x için x, y z V olsun, böylece V bir Abelian grubuna katlanabilir;

Herhangi bir λ z K і x, y z V için λ(x + y) = λ χ + λy;

(λ + μ)х = λх + μх herhangi bir λ için, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) herhangi bir λ için, μ z K i x z V;

V'den herhangi bir x için 1x \u003d x, burada 1, K alanının birliği anlamına gelir.

Vektör uzayının uç noktaları є: temel geometrideki tüm vektörlerin L 3 çarpanları, görünüşe göre düz bir çizgi üzerinde, vektörleri katlama ve bir sayı ile çarpma gibi olağanüstü işlemlerle uzayda düzlemler; koordinat vektör uzayı Kn , öğeleri є tüm satırları (vektörler) K alanındaki öğelerle n olan ve işlemler formüllerle verilir

sabit bir çarpan M'ye atanan tüm işlevlerin kişisel olmayan F(M, K) ve işlevler üzerindeki en önemli işlemlerle Kime alanında değerler alır:

e 1 ..., e n vektör uzayının elemanları, λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K eşitliğinden dolayı lineer bağımsız olarak adlandırılır. Ters yönde, elemanlar e 1 , e 2 , ·· ·> e n lineer olarak nadas olarak adlandırılır. V vektör uzayı n + 1 elemana sahip e 1 ,..., e n+1 lineer olarak belirsiz ve n lineer bağımsız elemana sahipse, V'ye n-dünya vektör uzayı denir ve n, V vektör uzayının boyutudur. Herhangi bir doğal n lineer bağımsız vektör için bir vektör uzayı V gibi, o zaman V'ye sonsuz vektör uzayı denir. Örneğin, vektör uzayı L 1 , L 2 , L 3 aynı şekilde 1-, 2-, 3- ve n-mіrnі; M kişisel değilse, o zaman F(M, K) vektör uzayı sınırlı değildir.

K alanı üzerindeki V ve U vektör uzayına izomorfik denir, böylece φ : V -> U karşılıklı olarak benzersizdir, böylece x, y z V için φ(x+y) = φ(x) + φ(y) olur ve φ (λx) = λ φ(x) herhangi bir λ z K i x z V için. İzomorfik vektör uzayları cebirsel olarak ayırt edilemez. Sonlu vektör uzaylarının izomorfizme kadar sınıflandırılması onların çeşitliliğine verilir: Do alanı üzerinde n-boyutlu bir vektör uzayı olup olmadığı, Do n koordinat vektör uzayına göre izomorfiktir. Hilbert, Lineer Cebir'in aynı genişliğine hayret edin.

R - alanı olsun. Elemanlar a, b, ... н R isim vereceğiz skaler.

Randevu 1. sınıf V yeterli nitelikteki nesnelere (elemanlara) , , , ... denir Р alanı üzerinde vektör uzayı, ve V sınıfının elemanlarına denir. vektörler V kapalı olmasına rağmen, “+” işlemi P'den skalerlerle çarpma işlemidir (yani, herhangi bir нV + н için) V; "aÎ R aÎV) ve vykonuyutsya çok dikkat edin:

A 1: Cebir - Değişmeli grup;

A 2: a, bÎР olup olmadığı, ÎV olup olmadığı için, a(b)=(ab)-ilgili birleşme yasası;

A 3: ne olursa olsun a, bÎP, ne olursa olsun ÎV için, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: herhangi bir a z P için, herhangi bir s V için, a(+)=a+a(artan dağılım yasaları) kazanırız;

A 5: V'nin muzaffer olup olmadığı 1 = , de 1 - P alanının birliği - bütünlüğün gücü.

P alanının elemanlarına skaler, V çarpanının elemanlarına vektörler denir.

Saygı duymak. Bir vektörü bir skaler ile çarpmak, çarpan V üzerinde ikili bir işlem değildir, ancak ölçekleme PV®V'dir.

Vektör uzaylarına bir göz atalım.

örnek 1. Sıfır (sıfır-dünya) vektör genişliği - geniş V 0 =() - bir sıfır vektörden oluşur.

Her ne olursa olsun için aОР a=. Vektör uzayının aksiyomlarının geçerliliğini yeniden düşünelim.

Saygılarımla, R alanı üzerindeki sıfır boyutlu uzay. Böylece alan üzerindeki sıfır boyutlu uzay rasyonel sayılar ben alanın üstünde gün numaraları vvazhayutsya raznimi, tek bir sıfır vektörden toplama.

popo 2. P alanının kendisi, P alanı üzerinde bir vektör uzayıdır. V=P olsun. Vektör uzayının aksiyomlarının geçerliliğini yeniden düşünelim. P bir alan olduğundan, P bir katkı grubudur ve A1 kazanır. R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2'deki zdіysnennostі'ya baktığımızda. A 3 ve A 4 aksiyomları, R'nin dağıtıcı olması ve serbestçe çarpılması nedeniyle kazanır. R alanındaki parçalar tek bir elementtir 1, üniterliğin gücü A 5 . Bu sırada, P alanı, P alanı üzerinde bir vektör uzayıdır.

örnek 3. Aritmetik n-boyutlu vektör uzayı.

R - alanı olsun. Oldukça kişisel olmayan V = P n = ((a 1, a 2, …, bir n) ½ a i P, i = 1, ..., n). V çarpanı üzerinde, vektörleri toplama ve bir vektörü bir skaler ile çarpma işlemini aşağıdaki kurallara göre tanıtalım:

"= (a 1 , a 2 , … , bir n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , bir n + milyar) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elemanlar ve çarpmalar V denir n-dünya vektörleri. İki boyutlu bileşenleri (koordinatları) eşit olduğundan, iki n-dünya vektörüne eşit denir. V'nin P alanı üzerinde bir vektör uzayı olduğu gösterilebilir. Bir vektörü içine katlama ve bir vektörü bir skaler ile çarpma işlemi bilindiğinden, V bu işlemlerin kapalı bir seçimidir. V'den elemanların eklenmesi, P alanının elemanlarının eklenmesine indirgendiğinden ve P bir katkılı Abelian grubudur, o zaman і V bir katkılı Abelian grubudur. Ayrıca, = , de 0, Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n) alanının sıfırıdır. Bu sıralamada A1 kazanır. V öğesinin P öğesiyle çarpımının ölçekleri, P alanının öğelerinin çarpımına indirgenir, o zaman:

A 2, çarpanın P üzerindeki ilişkiselliği nedeniyle kazanır;

A3 ve A4, P üzerinde nasıl katlanmanın dağılım çarpımı ile birleştirilir;

Ve 5 kazanır, çünkü 1 P, R ile çarpılabilen nötr bir elementtir.

Randevu 2.(1) ve (2) formülleri ile tanımlanan işlemlere sahip kişisel olmayan V = Pn'ye, Р alanı üzerinde aritmetik n-boyutlu vektör uzayı denir.

Aksiyonun unsurlarının oluşturduğu diziye bir göz atalım. basit alan GF(q) (a^, a......bir p). Böyle bir dizi denir ben-tarafından

tutarlılık sahanın üzerinde GF)