Zengin bir terimin tüm rasyonel köklerini çevrimiçi olarak öğrenin. Tüm matematikte denklem Zengin terimlerin rasyonel kökü. Horner'ın planı. Chi є tse rasyonel sayı

x değişkeni biçimindeki zengin bir terim farklı bir şekilde çağrılır: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n bir doğal sayıdır; bir, bir-1, . . . , a 1, a 0 - sayı olup olmadıklarına bu polinomun katsayıları denir. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 polinomun üyeleri olarak adlandırılır ve 0 isteğe bağlı üye olarak adlandırılır. an - xn'de katsayı, an-1 - xn-1'de katsayı vb. örneğin, zengin 0x2 + 0x + 0 terimi boştur. Polinomun kaydından, vin'in üye sayısından toplandığı açıktır. Kulağa "zengin üye" (zengin üye) terimi gibi geliyor. Bazen zengin bir terime polinom denir. Bu terim Yunanca πολι - zengin ve νομχ - üye sözcüklerini andırır.

Bir değişiklik şeklinde zengin bir üye x gösterilir: . f (x), g (x), h (x) ve benzeri, örneğin, f (x) açısından daha zengin terimleri ilk işaret eden olarak yazabilirsiniz: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Zengin terim h (x), f (x) ve g (x) zengin terimlerinin en büyük uyuyanıdır, dolayısıyla f(x), g(x) ve deri dilnik eklemek için. 2. n adımının P alanından katsayıları olan zengin f(x) terimi, P alanı üzerinde indirgenebilir olarak adlandırılır, bu nedenle, daha az n adımının zengin terimleri olan h(x), g(x) Î P[x]'i oluşturur, öyle ki f (x) = h(x)g(x).

Bu, f(x) = anxn+an-1 xn-1+ zengin terimidir. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, o zaman n sayısına zengin f (x) teriminin aşaması denir (veya öyle görünüyor ki: f (x) n-inci aşamadır) ve Sanat yazın. f(x) = n. Ve burada an, kıdemli katsayı olarak adlandırılır ve anxn bu polinomun kıdemli üyesidir. Örneğin, f (x) = 5 x 4 -2 x +3 ise, Art. f(x) = 4, kıdemli katsayı - 5, kıdemli dönem - 5 x4. Polinom adımı, önde gelen sıfır türleri olan katsayılarının en büyüğüdür. Sıfır adımının zengin terimleri, sıfırla aynı olan tam sayılardır. adımın sıfır zengin terimi olamaz; zengin terim f(x) = a, burada a bir sayıdır, sıfıra eşit değildir, maksimum adım 0'dır; adım x değişim adımının en büyük göstergesine göre daha pahalı olan başka bir polinom olsun, bir sonrakindeki katsayı sıfırdır.

Zengin üyeli Rivnist. İki zengin terim f(x) ve g(x), x değişiminin aynı adımlarında ve serbest terimlerde (eşit їх відпровідні katsayıları) katsayıları eşit olmasına rağmen eşit kabul edilir. f(x) = g(x). Örneğin, zengin terimler f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 eşit değildir, bunlardan ilki x3'te daha eşit bir katsayıya sahiptir 1'e ve diğeri sıfıra sahiptir ( Kabul edilen zekalarla şunu yazabiliriz: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Bu durumda: f (x) ≠ g (x) x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

Ve zengin terimin ekseni f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3, a = 3 olsa bile eşit , ancak b = -2. Zengin terimi f(x) = anxn+an-1 xn-1+ verin. . . +a 1 x+a 0 bir c sayısıdır. Sayı f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0, x = c'deki polinom f(x)'in değeri olarak adlandırılır. Bu şekilde f(c)'yi bilmek için x'i kanıtlamak ve gerekli hesaplamaları yapmak gerekir. Örneğin, f(x) = 2x3+3x2-x+5 ise, o zaman f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Farklı x değişim değerlerine sahip zengin bir üye alınabilir farklı değerler. Sayıya f (x) polinomunun kökü denir, bu nedenle f (c) =0.

İki ifade arasındaki farka dikkat etmek önemlidir: "zengin f(x) terimi sıfıra eşittir (aksi takdirde zengin f(x) terimi sıfırdır)" ve "f(x) polinomunun değeri" x=z'de sıfıra eşittir". Örneğin, polinom f (x) \u003d x 2 -1 sıfıra eşit değildir, vіn, x \u003d 1'deki değer sıfıra eşit olduğu gibi sıfır olmayan katsayılar olabilir. f(x) ≠ 0 ve f(1) =0. Zengin terimlerin denkliği anlayışları ile zengin terimin anlamı arasında aynı yakın ilişki vardır. İki eşit polinom f(x) ve g(x) verilirse, o zaman їх eşit katsayılardır ve bu nedenle, c cilt numarası için f(c) = g(c) olur.

Polinomlar üzerinde işlemler Zengin terimler, yay genişletme ve benzer terimlerin indirgenmesi için olağan kurallara göre toplanabilir, görülebilir ve çarpılabilir. Bununla sonuç olarak yine zengin bir üye giriyorum. Belirlenmiş işlemlerin gücü olabilir: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Size iki zengin terim vereyim f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, ben g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Art. f(x)=n ve art. g(x) = m. qi iki polinomu çarparsanız, f(x) g(x)=anbmxm+n+ biçiminde zengin bir terim elde edersiniz. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 ve bn≠ 0, ardından anbm≠ 0, ayrıca art. (f(x)g(x))=m+n. Sesler yüksek ve önemlidir.

Çarpanların adımları toplamına sıfır olmayan iki zengin terim ekleme adımları, art. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Kıdemli üye (katsayı) katsayılarının katsayılarını eklemek için sıfır olmayan iki zengin terimin oluşturulması. Zengin üyelerden oluşan iki üyenin yaratılmasının özgür bir üyesi, ortak çarpanların özgür üyelerinin yaratılmasına layıktır. Zengin bir şekilde eklemlenmiş f(x), g(x) ve f(x) ±g(x) adımları, yaklaşmakta olan spivvіdnoshennia ile ilişkilidir: sanat. (f (x) ± g (x)) ≤ maks (st. f (x), standart g (x))).

Birden çok terimin f(x) ve g(x) üst üste binmesine denir. x yerine f(x) polinomuna da girebilen f(g(x)) ile gösterilen zengin terim, g(x) polinomunun yerine geçer. Örneğin, f(x)=x 2+2 x-1 - g(x) =2 x+3 ise, o zaman f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. f(g(x)) ≠g(f(x))'in birden çok f(x), g(x) teriminin bir üst üste binmesi ve g(x), f( birden çok terimin bir üst üste binmesi olduğu görülebilir. x) farklı. Bu şekilde, süperpozisyon işlemi yer değiştirme gücüne sahip değildir.

, Az tahmin ve taşma algoritması f(x), g(x) olup olmadığı açık q(x) (özel) ve r(x) (fazla), böylece f(x)=g(x)q(x) )+ r(x) ve r(x) adımları

Bir polinom sözlüğünün sözlükleri Zengin bir f(x) terimi, f(x)=g(x)q(x) olacak şekilde zengin bir g(x) terimidir. İki zengin parçalı yatağın en büyük yatağı Zengin parçalı f(x) ve g(x)'in en büyük yatağı, d(x)'in herhangi bir başka yatağına bölünebilen böyle bir çift kişilik yatağıdır.

Zengin terimler f(x) ve g(x) Todi'nin en büyük ortak günlüğünün Öklid algoritması (son alt satırın algoritması), f(x) ve g(x)'in en büyük dilnikidir.

Diğerlerini değiştir Çözüm: Öklid algoritmasını düzelterek bu zengin terimlerin GCD'sini biliyoruz 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, zengin terim (- x2 - 3 x - 2) Sonuç, vіdomy polinomunun bayrağı altındadır.

Sayının alt bölümünün sonucunu öğrenelim. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Horner'ın aşırı zengin bir terim olan f(x)'i sıfır olmayan zengin bir terim olan g(x) - ne'ye bölme şeması, f(x)=g(x) s(x)+ görünümünde f(x)'i ortaya çıkarmak anlamına gelir. r(x), de s(x) ) ) i r(x) -zengin terimler i veya r(x) = 0 veya st. r(x)

Spіvvіdnoshennia'nın sol ve sağ kısımlarında duran zengin segmentler, eşit ve aynı zamanda eşit їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Öndeki yayları açarak ve benzer uzuvları sükunet çizgisinin sağ tarafına aşılayarak onlara eşittir. Eksi: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, bir 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih eşitlikleri: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Tek bir özel s (x) ve fazla r'nin katsayılarını hesaplamak için kullanılabilecek formülleri biliyorduk. Bununla, suçlamalar masanın önünde düzenlenir; Horner şeması denir.

Tablo 1. Katsayılar f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 s(x) katsayıları çok fazla. Başka bir satırda, ilk hücrenin yanına c sayısını yazın. Satırın Reshta clitin'i, doğrusal olmayan özel s (x) ve fazla r'nin katsayıları tek tek sayılarak doldurulur. Başka bir istemcide, kurduğumuz gibi daha pahalı olan bn-1 katsayısını yazın.

Deri hücum duvarında durma katsayısı aşağıdaki kurala göre hesaplanır: c sayısı ön duvarda duracak sayı ile çarpılır ve sayı sonuca eklenir, duvarın üstünde durmak, hatırlanmak için . Diyelim ki beş klitin'i hatırlamak için, katsayısında duracağını bilmek için dördüncü klitin'deki sayı ile c'yi çarpıp sonuca beşinci klitin üzerindeki sayıyı eklemek gerekir. Örneğin, zengin f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 terimini Horner'ın şemasına çok fazla x-2 іz'ye bölelim. İlk satırı doldururken, polinomun sıfır katsayıları hakkında şemanın sayıları unutulamaz. Yani, f(x) katsayıları 3, 0, - 5, 3, - 1 sayılarının değerleridir. Akılda tutulması gereken başka bir şey de, tamamlanmamış bir özel adımın adımından bir eksik olmasıdır. zengin terim f(x).

Ayrıca Horner'ın şemasına göre alt bölümlere ayrılmış gibi görünüyor: Tablo 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Özel s(x) =3 x 3+6 x 2+7 olduğuna dikkat etmek önemlidir. x+17 ve fazlalık r=33. Saygılarımızla, f (2) =33 polinomunun değerini hesapladık. Şimdi çok zengin f(x) terimini çok fazla x + 2 іz'ye bölelim. = -2 olan bir vipadku'm var. isteğe bağlı: Tablo 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Sonuç olarak f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21.

Nehai с1, с2, …, сm polinomlarının kökü - f(x) polinomunun farklı kökü. O zaman f(x), x-c1 ile bölünebilir, sonra f(x) = (x-c1) s1(x). Bu eşitlik için ödeme yapalım x=c2. f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i'yi çıkarırız, yani f(c2) =0, sonra (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, sonra c2 -c1≠ 0, yani s 1 (c 2) = 0. Ayrıca c2, s 1 (x) polinomunun köküdür. s1(x)'in x-c2 ile bölünebildiğini gösterir, yani s1(x) = (x-c2) s2(x). s 1 (x) y eşittir f (x) = (x-c 1) s 1 (x) için virüsün çıkarılmasını hayal edin. f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x) olabilir. x \u003d c3 eşitliğinin geri kalanını koyduktan sonra, f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2'yi düzeltmek için c3'ün s 2 (x) polinomunun kökü olduğunu varsayıyoruz. Yani, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x) ve sonra f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) vb. kökler için kaybolan, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) alınır, bu daha düşük bir formüle getirildi.

c1, c2, ..., cm, polinomun f (x) farklı kökü olduğundan, f (x) f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ...'ye bakarak verilebilir. (x-cm) sm (x). Önemli bir sonuç gibi görünüyor. c1, c2, ..., cm, f (x) polinomunun kökü olduğundan, f (x) (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) polinomuna bölünür. Sıfır olmayan f(x) polinomunun farklı köklerinin sayısı alt adımdan büyük değildir. Doğru, f(x) kökü olmadığından, teoremin doğru olduğu açıktır, daha fazla Art. f (x) ≥ 0. Şimdi f (x)'in m kökü c1, c2, ..., cm olsun, üstelik tüm kokular farklı. Tıpkı f (x)'in (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) ile bölünmesi gibi. Bazen Sanat. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + sanat. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, sonra st. f(x)≥m ve m zengin terimin dikkate alınabilecek kök sayısıdır. Ve sıfır zengini terimin ekseni sonsuz zengin köklere sahip olsa bile, ne anlama geliyorsa x daha güzel 0. Zokrema, buna sebep olmak uğruna ve aynı şarkı adımını cezalandırmayın. Kanıtlanmış teoremlerden, aynı iddia açıktır.

Eğer f(x) polinomu adım, daha büyük, daha düşük n'nin bir multinomu değilse ve daha büyük, daha düşük n kökleri olabilirse, o zaman f(x) bir sıfır polinomudur. Gerçekten de firmanın zihninden f(x)'in bir sıfır polinomu ya da art olduğu açıktır. f(x) ≤n. f(x) polinomunun sıfır olmadığını varsayarsak, art. f(x) ≤n ve sonra f(x) n kökün altında daha fazla olamaz. Mükemmellik noktasına geliyoruz. Dolayısıyla f(x) sıfırdan farklı zengin bir terimdir. f(x) ve g(x) adımın sıfırdan farklı zengin terimleri olsun, daha büyük değil, daha düşük n olsun. q polinomları n + 1 x değişim değerleri için aynı değeri alırsa, o zaman f (x) = g (x).

Kanıt için, zengin h(x) = f(x) – g(x) terimine bakalım. Aklıma şu geldi - ya h (x) = 0 ya da st. h (x) ≤n, o zaman h (x), n'den büyük, n'den küçük adımın zengin bir terimi değildir. Şimdi sayıyı f (c) = g (c) olacak şekilde alayım. O zaman h(c) = f(c) - g(c) = 0, o zaman h, h(x) polinomunun köküdür. Ayrıca, zengin h(x) terimi n+1 köke sahiptir ve yapıldığı gibi h(x) = 0 ise, o zaman f(x) = g(x) olur. f(x) ve g(x), x değişkeninin tüm değerleri için aynı değerlere sahipse, o zaman

Çoklu terimin çoklu kökleri є sayısı çok terimli f (x)'in kökü olduğundan, bu polinom görünüşe göre x-s ile bölünebilir. f(x)'in bir sonraki adıma genişletilmesi mümkün olabilir bugato-üye x-s, yani (x-c) k, k>1 üzerinde. Bu vipadka'ya çoklu kök denir. Randevuyu daha net formüle edelim. Sayı, f (x) polinomunun k çokluğunun kökü (k-kat kökü) olarak adlandırılır, bu nedenle polinom (x-c) k, k>1 ile bölünebilir (k doğal bir sayıdır), ancak bölünemez ( x-c) k + 1. k=1 ise basit kök, k>1 ise f(x) polinomunun çoklu kökü olarak adlandırılır.

Böylece f(x) polinomu f(x)=(x-c)mg(x) olarak temsil edilebilir, m bir doğal sayıdır, vin (x-c) m+1 ile bölünebilir ve sonra g(x) ile bölünebilirse xc. Gerçekten de, eğer g(x) x-c ile bölünebiliyorsa, o zaman g(x)=(x-c)s(x), o zaman f(x)=(x-c) m+1 s(x) ve ayrıca f(x ) (x-c) m+1'e bölünür. Geriye, f(x) (x-c) m+1'e bölünebildiğinden, o zaman f(x)=(x-c) m+1 s(x) olur. Sonra (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) ve (x-c) m için kısa süreden sonra g (x) = (x-c) s (x) alınır. Kulağa g(x), x-s'ye bölünmüş gibi geliyor.

Örneğin, chi'nin f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 zengin teriminin kökü olarak 2 sayısı olduğu açıktır ve eğer öyleyse, o zaman çokluğunu biliyoruz. İlk güç kaynağını doğrulamak için, f(x)'i x-2'ye bölen ilave Horner şemasını kontrol edebiliriz. olabilir: Tablo 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Bachimo gibi, f(x)'i x-2'ye bölerken fazlalık 0'dan fazladır, bu yüzden bölünmelidir x-2. Bu nedenle, polinomun 2 kökü. Ayrıca f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) ifadesini de çıkardık. Şimdi açıkça görülüyor ki, chi є f (x) on (x-2) 2. Tse, g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x polinomunun bölünebilirliği göz önüne alındığında, mi schoyno'nun nasıl getirdiğini 2 + 16 x-12, x-2'de.

Yine Horner'ın şemasıyla hızlanarak: Tablo 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Sonra f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Ayrıca f(x) (x-2)2'ye tam bölünür, şimdi f(x)'in (x-2)3'e de bölünebilir olduğunu söylemek gerekir. Bunun için h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6'nın x-2'ye bölünmesinin tersinir olduğu: Tablo 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, ayrıca, f(x) (x-2) 3'e bölünür, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Daha sonra benzer şekilde f(x)'in (x-2)4'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek mümkündür, böylece s(x)=x 2+x-3, x-2'ye bölünür: Tablo 7. 2 1 1 1 3 -3 3 s(x)'in x-2'ye bölünmesi durumunda fazlanın 3'e eşit olduğu, bu durumda s(x)'in x-2'ye bölünmediği bilinmektedir. Ayrıca f(x), (x-2) 4'te dahil değildir. Bu şekilde, f(x) (x-2)3'te dahil olur, ancak (x-2)4'te dahil olmaz. Ayrıca, 2 sayısı zengin 3 f(x) teriminin çokluğunun köküdür.

Masada daha az saymanın çokluğu için kökün yankısını seslendirin. Bu uygulama için tablo şöyle görünebilir: Tablo 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner çok terimli f (x) ile x-2, başka bir satırda g (x) polinomunun katsayılarını alıyoruz. O zaman bu diğer satırı yeni Horner sisteminin ilk satırına alalım ve g(x)'i x-2 ile çıkaralım ve böyle devam edelim. Bu şekilde kökün çokluğu otrimanih sıfır fazlalarının sayısına eşittir. Arka arkaya, kalan sıfır olmayan fazlalığın intikamını almak için, f (x)'in (x-2) 3'e bölündüğü kısmın katsayıları da vardır.

Şimdi, çokluğun kökünün yeniden doğrulanmasının vikoristovuyuchi schoyno proponovan şeması, görev geliyor gibi görünüyor. Herhangi bir a ve b için f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 zengin terimi - 2 sayısı 2'nin çokluğunun kökü olabilir mi? Yani - 2 kökünün çokluğu, 2'nin eklenmesinden kaynaklanmaktadır, o zaman, proponasyon şeması için onu x + 2'ye böldükten sonra, 0'ın fazlalığını almak için iki katına çıkarız ve üçüncüde - fazlalığı alırız. sıfıra eşittir. Mayıs: Tablo 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Bu sırada, ekspiratuar zengin terimin 2'sinin çokluğunun - 2 є kökü, o zaman ve ancak o zaman, eğer

Polinomun rasyonel kökü Kısa olmayan terim l/m (l, m sayının tam sayılarıdır) çoklu katsayılı zengin f(x) teriminin kökü ise, polinomun en yüksek katsayısı bölünebilirdir. m ile ve uzun dönem 1 ile bölünebilir. Doğru, örneğin f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 tam sayılardır, sonra f(l/m) = 0, sonra an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Denklik fiyatının kusurlu kısımlarını mn ile çarpın. anln+an-1 ln-1 m+ alın. . . +a 1 lmn-1+a 0 dakika=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) sesleri.

Bachimo, anln tam sayısı m ile bölünebilir. Ale l/m kısa olmayan bir damladır, bu nedenle l ve m sayıları karşılıklı olarak basittir, ancak aynı zamanda, tam sayıların geçerliliği teorisine göre, ln ve m sayıları da karşılıklı olarak basittir. Otzhe, anln m'ye bölünecek ve m ln'den karşılıklı olarak basittir, ayrıca an m'ye bölünecek. Zengin f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8 teriminin rasyonel kökünü biliyoruz. Teoreme göre, polinomun rasyonel kökü, kısa olmayan kesirler arasında l / m şeklinde bulunur, de l, a 0 \u003d 8 serbest teriminin dilnik'idir ve m, en yüksek katsayılı dilnik a'dır. 4 \u003d 6. Eğer öyleyse, o zaman l / m negatiftir, o zaman "-" işareti sayı kadranına gelir. Örneğin, - (1/3) = (-1)/3. Ayrıca, l'nin 8 sayısının çarpanı ve m'nin 6 sayısının pozitif çarpanı olduğunu söyleyebiliriz.

8 sayısının osilatörleri - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 ve 6 sayısının pozitif dilatörleri 1, 2, 3, 6 olacak, o zaman bakılan zengin terimin rasyonel kökü arasında sayılar ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Sanırım kısa kesirlerden fazlasını yazdık. Bu sırayla, yirmi numaramız olabilir - kökler için "adaylar". Geriye sadece derilerini yeniden gözden geçirmek ve sanki köklere sadıkmış gibi seçmek kalıyordu. Robotun işini kolaylaştıracak bir teorem geliyor. l/m, birden çok katsayılı f(x) çoklu teriminin kökü olduğu sürece, o zaman f(k), l-km≠0 olan zihin için herhangi bir k tamsayı için l-km'ye bölünür.

Teoremi kanıtlamak için f(x)'i x-k іz'ye çok fazla bölüyoruz. f(x)=(x-k)s(x)+f(k) çıkarırız. Oskіlki f(x), qlimi katsayılarına sahip zengin bir terimdir, o zaman böyle zengin bir terim s(x) ve f(k) bir tam sayıdır. s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0 olsun. O halde f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Bu eşitlik için 1 x=l/m ödeyelim. f(l/m)=0 ise, o zaman f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Kalan öz sermayenin sorunlu kısmını mn ile çarpın: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . mnf(k) sayısının l-km'ye bölündüğü açıktır. Ale oskіlki l m karşılıklı olarak basittir, o zaman mn і l-km de karşılıklı olarak basittir, ayrıca f (k) l-km'ye bölünür. Teorem tamamlandı.

Kıçımıza dönelim ve teoremi kanıtladıktan sonra, rasyonel kökün sesi hakkında daha da çınlıyor. Teoremi k=1 і k=-1 için atamak gerekir, yani kısa olmayan drіb l/m f(x) teriminin kökü olduğundan, sonra f(1)/(l-m), ve f(-1)/(l + m) . f(1)=-5 ve f(-1)=-15 zamanlarında olduğunu bilmek kolaydır. Saygılarımızla, bir bakışta onu kapattık ± 1. Bundan böyle, zengin terimimizin rasyonel kökü aşağıdaki orta sayıların sayısıdır ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. l/m=1/2'ye bakalım. Sonra l-m=-1 ve f(1)=-5 tam sayıya bölünür. Dalі, l+m=3 f(1) =-15 yani kendisi 3'e bölünür. Yani, drіb 1/2 kökteki "adayların" ortasında bırakılır.

Şimdi izin verin lm=-(1/2)=(-1)/2. Bu durumda, l-m=-3 і f(1) =-5, - 3'e bölünmez. Yani, drіb -1/2 bu zengin terimin kökü olamaz ve onu uzak bir görüşten kapatabiliriz. Çekimlerin skin uygulaması için tekrar gözden geçirmek gerekiyor, kökün 1/2, ± 2/3, 2, - 4 sayıları arasında bulunduğunu dikkate alıyoruz. Bu sıralamada aynı basit numarayı bitirmek için, dikkate alınan polinomun rasyonel köklerinin bölgesi anlamlı geliyordu. Peki, dışarıda kalan sayıları tekrar kontrol etmek için Horner şemasını kullanabiliriz: Tablo 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2, zengin f(x) ve f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) terimlerinin köküdür. ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). f(x) polinomunun diğer köklerinin g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 polinomunun köklerinden alındığı açıktı, daha sonra, kök zaten aynı polinomdan gerçekleştirilebilir. Biliyoruz: Tablo 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 g(x) x-2/3'e bölündüğünde fazlalığın daha fazla olduğunu çıkardık - 80/9 , sonra. 2/3, g(x) polinomunun kökü değildir, ayrıca i f(x). Ayrıca, - 2/3'ün g (x) ve g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4) polinomunun kökü olduğunu biliyoruz.

O halde f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Son derece basit, g (x) için daha düşük veya f (x) için daha büyük olan x 2+2 x-4 polinomu için daha fazla doğrulama yapılabilir. Sonuç olarak 2 i - 4 sayılarının köklü olmadığı dikkate alınır. Ayrıca zengin terim f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8'in iki rasyonel kökü vardır: 1/2 i - 2/3. Bu yöntem, çok sayıda katsayılı zengin bir terimin yalnızca rasyonel bir kökünü bilmeyi mümkün kılar. Tim bazen annenin zengin bir üyesi ve irrasyonel köktür. Yani örneğin zengin bir terimin ucuna bakıldığında sadece iki kök vardır: - 1±√5 (zengin bir terimin bu kökü x2 + 2 x-4'tür). bir polinom, maddi olmayan bir rasyonel kök olarak adlandırılabilir.

Diğer teoremlerin daha fazla detaylandırılmasından sonra zengin f(x) teriminin kökündeki "adayları" test ederken, adayları k=± 1 olarak adlandırmalısınız. Başka bir deyişle, eğer l/m bir "aday" ise kök, o zaman l-m ve l+m'deki f( 1 ) ve f(-1)'in doğru olduğunu düşünürsünüz. Ancak, örneğin, f(1) =0 olabilir, yani 1 köktür, o zaman f(1) bir sayı olarak genişletilebilir ve yeniden doğrulama anlamlı olur. Bu durumda, f(x)'i x-1'e bölün, bu nedenle f(x)=(x-1)s(x) alın ve s(x) polinomunu test edin. Eğer f(x)-x 1=1 polinomunun bir kökünü unutursanız - zaten biliyorduk. Rasyonel kökle ilgili başka bir teoremden sonra kaybedilen "adaylar" kökte tersine çevrilirse, Horner'ın şemasından sonra, örneğin l / m'nin kök olması mümkündür, o zaman çokluğunu bilmelisiniz. Daha pahalıysa, örneğin k, o zaman f(x)=(x-l/m) ks(x) ve s(x) için daha fazla yeniden doğrulama yapılabilir, bu da hesaplamayı kısaltacaktır.

Çözüm. y=2 x değişimini değiştirdikten sonra en yüksek adım için katsayısı 1 olan bir polinoma geçelim. Bu omuz için virazı 4 ile çarpıyoruz. Kökün işlevi elinden alınırsa, serbest üyenin ortasında pis koku bulunur. Yazılabilir ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Sıfıra kadar bu noktalarda g(y) fonksiyonunun değerini sırayla hesaplıyoruz. Tobto, y=-5 є root, otzhe, є harici fonksiyonun kökü. Binom üzerinde zengin terimin stovpchik (bobin) altında yürütülür

Kaybedilen dilnikov'un yeniden doğrulanması eksik yapılmalıdır, bu nedenle kare üç terimli Otzhe'yi çıkarma çarpanlarına yerleştirmek daha kolaydır,

Hızlı çarpmanın Vykoristannya formülleri ve zengin bir terimin faktörlere genişlemesi için Newton'un binomları Inodi eski görünümçarpanlara yoga yayma yöntemi hakkında önermek için polinom. Örneğin, tutarsız dönüşümlerden sonra, Newton'un binom katsayıları için Pascal'ın trikosundan art arda vishikovyvayutsya katsayıları. popo Çarpan terimini düzenleyin.

Çözüm. Konuya dönüyoruz: Kollardaki toplam katsayı dizisi, bunun ne olduğunu açıkça gösteriyor. Aynısından, Şimdi kareler farkı formülünü formüle edebiliriz: Viraz diğer yayın eylem köklerine sahip değildir, ancak ilk yaydaki zengin terim için bir kez daha kareler farkı formülünü formüle ederiz.

Vieta'nın formülleri, bir polinomun katsayılarını th kökünden ifade eder. Bu formüllerle, zengin terimin kökünün anlamının doğruluğunu ve ayrıca zengin terimin verilen kökler için katlanmasını manuel olarak düzeltebilirsiniz. Formül Bir polinomun kökü olarak, katsayılar köklerin simetrik zengin terimleriyle gösterilir ve

Başka bir deyişle, k kökünden olası tüm yaratımların çok değerli toplamı. Polinomun kıdemli katsayısı olarak, Vieta formülünden önce tüm katsayıları 0'a bölmek gerekir. Formülün geri kalanından Vієta güçlüdür, sanki zengin üyenin kökü tamsayıysa, koku da tamsayı olan yogo içermeyen üyenin dilnikleridir. Kanıt, zengin terimin köklere göre düzenlenmesini ortadan kaldıran eşdeğerlik görüşüne dayanmaktadır, vrakhovuchi, bir 0 = 1 Katsayıları aynı x seviyelerinde eşitlemenin Vієta formülüne takıntılı olduğu.

Hizalamayı çöz x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Çöz. Önemli ölçüde y \u003d x 3, y 2 - 5 y + 4 \u003d 0'a bakmaya eşit olmasına rağmen, aksi takdirde Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya, rіvnyan'ın evliliğine eşdeğerdir: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, yani X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Bezout Hedef Teoremi 1. Bir öğeye zengin bir terimin kökü denir, bu nedenle f(c)=0. Bezout teoremi. Pn(x) polinomunun binom (x-a) tarafından alt bölümündeki fazlalık, x = a'daki polinomun değerini arttırır. getiriyor. Algoritma sayesinde, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de veya r(x)=0, aksi takdirde. Daha sonra, f(x)=(x-c)q(x)+r, daha sonra, f(c)=(c-c)q(c)+r=r ve f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Son 1: Polinom Pn (x)'in ax+b binom tarafından alt bölümündeki fazlalık, x = -b/a'daki polinom için daha değerlidir, sonra R = Pn (-b/a). Son 2: a sayısı, polinomu (x-a) ile fazlalık olmadan bölünebilen P (x) polinomunun köküdür. Ders 3: P(x) polinomunun a 1 , a 2 , … , an, vin ile bölerek aşırılık olmadan ikili olarak farklı kökleri nasıl olabilir (x-a 1) … (x-an). Ders 4: n adımının zengin bir üyesi, n farklı kökten üç veya daha fazla olabilir. Ders 5: a sayısı farklı olan herhangi bir P(x) polinomu için (P(x)-P(a)) binom (x-a) ile fazlalık olmadan bölünebilir. Ders 6: a sayısı, birinci dereceden daha düşük olmayan ve sadece P(x)'in (x-a)'ya fazlalıksız olarak bölünmesi durumunda dereceli P(x) polinomunun köküdür.

Bir rasyonel kesrin en basit üzerinde düzenlenmesi Doğru bir rasyonel kesrin en basit kesirlerin toplamına yayılıp dağılamayacağını gösterelim. Doğru rasyonel argüman (1) verilsin.

Teorem 1. x=а є k stilinin bayrağının kökü olsun, sonra , de f(a)≠ 0 olsun, o zaman aynı doğru kesir, gelen sırayla diğer iki düzgün kesrin toplamında verilebilir: ( 2) , ve F 1 (x), adımı standart adımdan daha düşük olan zengin bir terimdir.

de richomember, standardın bir tür alt basamağının basamağı. І ileri formüle benzer şekilde alınabilir: (5)

Daha önce belirttiğimiz gibi, zengin bir şekilde tanımlanmış terimler teorisinin en önemli görevlerinden biri, onların köklerini anlama görevidir. Bu görevin başarılması için seçim yöntemini tobto kazanabilirsiniz. gerçek bir sayı alın ve bu polinomun kökleri olan değiştirin.

Bununla kökünde shvidko içebilir veya hiç bilemezsiniz. Aje'nin çok zengin olanlar için tüm sayıları çarpıtması imkansızdır.

Insha nehri, yakby bölgeyi şaka için seslendirmeyi başardık, örneğin, kökün ne olduğunu bilmek için, diyelim ki, otuz belirtilen sayının ortasında. Ve otuz numara için bir yankı üzerinde de çalışabilirsiniz. Bıyıkla olan bağlantıda daha da önemlisi diyoruz ve böyle bir sıkılık görüyoruz.

l/m (l,m - sayının tamsayıları) birden çok katsayılı f(x) çoklu teriminin kökü olduğu sürece, polinomun yüksek katsayısı m ile bölünebilir ve daha büyük terim ile bölünebilir 1.

Gerçekten de, eğer f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 bir sayının tam sayılarıysa, f (l /m) = 0, sonra bir (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Denklik fiyatının kusurlu kısımlarını mn ile çarpın. anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 alın.

Sesler çığlık atıyor:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, anln tam sayısı m ile bölünebilir. Ale l / m - kısa bir drіb değil, tobto. l ve m sayıları karşılıklı olarak basittir, ayrıca tamsayıların bölünebilirliği teorisine göre, ln ve m sayıları da karşılıklı olarak basittir. Otzhe, anln m'ye bölünecek ve m ln'den karşılıklı olarak basittir, ayrıca an m'ye bölünecek.

Konu, çoklu katsayılı zengin bir terimin rasyonel kökü aranarak alanın anlamlı bir şekilde seslendirilmesini sağlamak için gündeme getirilmiştir. Bunu belirli bir uygulama üzerinde göstereceğiz. Zengin f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8 teriminin rasyonel kökünü biliyoruz. Teoreme göre, polinomun rasyonel kökü, l / m şeklinde kısa olmayan kesirlerin ortasında bulunur, de l, a0 = 8 uzun terimin dilnikidir ve m, en yüksek katsayılı dilniktir. a4 = 6. Eğer öyleyse, yakscho drіb l/m negatifse, o zaman rakama "-" işareti vodnosimeme. Örneğin, - (1/3) = (-1)/3. Ayrıca, l'nin 8 sayısının çarpanı ve m'nin 6 sayısının pozitif çarpanı olduğunu söyleyebiliriz.

8 sayısının osilatörleri - ce ±1, ±2, ±4, ±8 ve 6 sayısının pozitif dilatörleri 1, 2, 3, 6 olacak, o zaman incelenen zengin terimin rasyonel kökü ortadır. ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3 sayılarından oluşur. Sanırım kısa kesirlerden fazlasını yazdık.

Bu sırayla, yirmi numaramız olabilir - kökler için "adaylar". Geriye sadece derilerini yeniden gözden geçirmek ve sanki köklere sadıkmış gibi seçmek kalıyordu. Ama yine de, çok fazla yeniden çalışma yapmam gerekecek. Ve eksen geliyor, teorem robotun işini kolaylaştıracak.

l/m, çoklu katsayılı f(x) çoklu teriminin kökü olduğu sürece, f(k), k tamsayısı ne olursa olsun, örneğin l-km?0 için l-km'ye bölünür.

Teoremi kanıtlamak için f(x)'i x-k іz'ye çok fazla bölüyoruz. f al (x) = (x-k) s (x) +f (k). f(x) birden çok katsayılı zengin bir terim olduğundan, böyle bir polinom s(x)'dir ve f(k) bir tam sayıdır. s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0 olsun. Sonra f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Bu eşitlik için ödeme yapalım x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, mümkün

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Kalan kıskançlığın rahatsız edici kısmını mn ile çarpın:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

mnf(k) sayısının l-km'ye bölündüğü açıktır. Ale oskіlki l m karşılıklı olarak basittir, o zaman mn і l-km de karşılıklı olarak basittir, ayrıca f (k) l-km'ye bölünür. Teorem tamamlandı.

Şimdi kıçımıza dönelim ve teoremi kanıtladıktan sonra, rasyonel kökün sesi söz konusu olduğunda daha da yüksek geliyor. Teoremi k=1 і k=-1 için atamak gerekir, yani. kısa olmayan bir drіb olarak l/m, f(x), ardından f(1)/(l-m) ve f(-1)/(l+m)'nin köküdür. f(1) =-5 ve f(-1) =-15 olduğunu bilmek kolaydır. Saygılarımızla, bulaşmayı bir bakışta kapattık ±1.

Ayrıca, zengin terimimizin rasyonel kökü, ortadaki ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

l/m=1/2'ye bakalım. Sonra l-m=-1 ve f(1)=-5 tam sayıya bölünür. Dalі, l+m=3 f(1) =-15 yani kendisi 3'e bölünür. Yani, drіb 1/2 kökteki "adayların" ortasında bırakılır.

Şimdi izin verin lm = - (1/2) = (-1) / 2. Bu durumda, l-m=-3 і f(1) =-5, - 3'e bölünmez. Yani, drіb - 1/2 bu zengin terimin kökü olamaz ve onu uzak bir görüşten kapatabiliriz. Dermal reçeteli çekimler için tekrar gözden geçirmek gerekiyor, kökün 1/2, ±2/3, 2, - 4 sayıları arasında bulunduğunu dikkate alıyoruz.

Bu sıralamada, aynı basit numarayı tamamlamak için, analiz edilen polinomun rasyonel bir kökünü aramak için bölgeyi anlamlı bir şekilde seslendirdiler. Rakamları yeniden kontrol etmek için Horner'ın şemasını kullanıyoruz:

Tablo 10

g (x) x-2/3'e bölündüğünde fazlalığın 80/9'a eşit olduğunu, yani 2/3'ün zengin g (x) teriminin kökü olmadığını, ancak i f (x) anlamına geldiğini çıkardılar. .

Ayrıca, - 2/3'ün g(x) ve g(x) = (3x+2) (x2+2x-4) çoklu terimlerinin kökü olduğunu bilmek kolaydır. O halde f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Açıkça daha basit olan x2+2x-4 polinomu için daha fazla doğrulama yapılabilir, düşük g(x) veya daha büyük f(x). Sonuç olarak 2 i - 4 sayılarının köklü olmadığı dikkate alınır.

Ayrıca zengin f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 teriminin iki rasyonel kökü vardır: 1/2 i - 2/3.

Tahmin etmek, yöntemin daha fazla açıklaması, zengin terimin rasyonel kökünü birçok katsayı ile bilme imkanı verir. Tim bazen annenin zengin bir üyesi ve irrasyonel köktür. Yani örneğin zengin bir üyenin poposuna bakıldığında sadece iki kök vardır: - 1±v5 (zengin bir üyenin bu kökleri x2 + 2x-4'tür). Ve görünüşe göre, zengin bir üye rasyonel bir kökün annesi olmayabilir.

Şimdi kadın mutlu.

Zengin f(x) teriminin kökündeki "adayları" denerken, daha fazla teoremi daha da detaylandırdıktan sonra, vipadkіv k=±1 için sola ses verin. Başka bir deyişle, l/m kökte bir "aday" olduğundan, f (1) ve f (-1)'in açıkça l-m ve l+m'ye bölünüp bölünemeyeceği tersine çevrilir. Ancak, örneğin, f (1) = 0, o zaman 1 kök olabilir ve o zaman f (1) bir sayıya bölünebilir ve yeniden doğrulamamız anlamlı olabilir. І burada bir sonraki adım f (x)'i x-1'e bölmektir, yani. f(x) = (x-1) s(x) alın ve s(x) polinomunu test edin. Zengin f(x) – x1=1 – teriminin bir kökünü unutmazsanız, zaten biliyorduk. Rasyonel kökle ilgili başka bir teoremden sonra kaybolan kökteki "adayları" tersine çevirme durumunda olduğu gibi, Horner'ın şemasından sonra, örneğin, l / m'nin kök olması mümkündür, o zaman çokluğunu bilmelisiniz. Daha pahalıysa, diyelim ki, k, o zaman f(x) = (x-l/m) ks(x) ve s(x) için daha fazla yeniden doğrulama yapılabilir, bu da hesaplamayı kısaltacaktır.

Bu sıralamada zengin terimin rasyonel kökünü büyük katsayılarla bilmeyi öğrendik. Görünüşe göre zengin terimin irrasyonel kökünü rasyonel katsayılarla bilmeyi kendimiz öğrendik. Aslında, yapabildiğim kadarıyla, örneğin, zengin bir terim f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, sonra, katsayıları uyku başlığına ekledikten ve yoga ekleyerek kollardan f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) alıyoruz. Polinom f(x)'in köklerinin, kollarda duran zengin terimin köklerinden ve yeni katsayı - sayılardan oluştuğu açıktı. Örneğin, sin100'ün irrasyonel bir sayı olduğunu varsayalım. Ev formülü sin3?=3sin?-4sin3? ile hızlanma. Yıldızlar sin300 = 3sin100-4sin3100. sin300=0.5 olan ve garip dönüşümler yapanlara baktığımızda, 8sin3100-6sin100+1=0 olduğunu varsayabiliriz. Ayrıca sin100, f(x) = 8x3-6x+1 teriminin köküdür. Nasıl ki rasyonel olarak o zengin üyenin kökü shukatimemo ise, biz de perekaєmosyayız, onlara sahip değiliz. Otzhe, sin100'ün kökü bir rasyonel sayıdır, tobto. sin100 irrasyonel bir sayıdır.

Hadi

- adım n'nin zengin terimi ≥ 1 karmaşık katsayıların etkin değeri ile karmaşık değişken z'nin etkin değerinde a i . Aşağıdaki teoremi ispatlayalım.

Teorem 1

Tesviye P n (z) = 0 Bir kök isteyebilir miyim?

Gelelim Lema.

Önlem 1

Pn olsun (z)- adım n, z'nin zengin terimi 1 - nehrin kökü:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) bakarak bir şekilde ortaya çıkarılabilir:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de Pn- 1(z)- zengin terim adımı n - 1 .

getirmek

Bunu kanıtlamak için, bir teorem yapalım (böl. Bir çoklu terimin bir katlama ve bir kütükle bölünmesi), herhangi iki zengin terim için mümkündür P n (z) ben Qk (z), n ve k adımları, ayrıca n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de Pnk (z)- adım n-k'nin zengin terimi, U k- 1(z)- adımın zengin terimi k'den büyük değil- 1 .

k = koyalım 1 , Qk (z) = z - z 1 ayrıca
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - hızlı. Burada hayal edin z = z 1 o vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
pn ,
getirmek için ne gerekliydi.

Zengin terimin çarpanlara genişletilmesi

Ayrıca, Teorem 1 temelinde, zengin P n terimi (z) Bir kök isteyebilir miyim? Önemli ölçüde yogo yak z 1 , Pn (z1) = 0. Stand lemy 1'de aynı:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, n gibi > 1 , daha sonra polinom P n- 1(z) yani z gibi anlamlı bir kök isteyebilir miyim 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Bu işleme devam ederek, elimizde n sayı z olduğu sonucuna varıyoruz. 1, z 2, ..., znöyle ki
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
bira p 0 (z)- tse postiyna. Katsayıları z n'de eşitleyerek, a n'nin daha pahalı olduğu bilinmektedir. Sonuç olarak, zengin bir terimi çarpanlara bölme formülüne kafayı takmış durumdayız:
(1) P n (z) = bir n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Sayılar z i є zengin P n teriminin köklerine (z).

Zagalny vpadku'da hepsi z i değil, daha önce girmek için scho (1) , Riznі. Bunlar arasında aynı değerler olabilir. Zengin bir terim çarpanlara nasıl genişletilir (1) görüşte yazabilirsiniz:
(2) P n (z) = bir n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Burada z ben ≠ z j için i ≠ j. Yakscho n ben = 1 , sonra kök ben affetmek denir. Vіn, görünüşte çarpanlar için düzene girin (z-z ben ). Yakscho n ben > 1 , sonra kök ben çokluğun çoklu kökü denir ben . N i asal çarpanlarının çıkarılmasına bakarken çarpanların düzenine girin: (z-z ben )(z-z ben ) ... (z-z ben ) = (z-z ben ) n ben.

Etkili katsayılara sahip zengin terimler

Önem 2

Etkili katsayıları olan bir polinomun karmaşık kökü olduğundan, sayı aynı zamanda polinomun köküyle de karmaşık bir şekilde ilişkilidir.

getirmek

Deisno, yakscho ve polinom katsayıları - sayılar, sonra.

Bu sırayla, karmaşık kök, karmaşık anlamları ile çiftler halinde çarpanlardaki düzene dahil edilir:
,
de, - Gerçek sayılar.
Aynı düzen (2) Çarpanlar için etkili katsayılara sahip zengin bir terim, yalnızca etkili oruç varlığında, görünüşte dosyalanabilir:
(3) ;
.

Zengin bir terimi çarpanlara ayırma yöntemleri

Yukarıda söylenenlerin iyileştirilmesiyle, bir polinomun çarpanlara ayrılması için, P n (z) = denkleminin tüm köklerini bilmek gerekir. 0 ve onların çokluğunu belirtin. Karmaşık kökleri olan çarpanların karmaşık bir şekilde gruplandırılması gerekir. Aynı düzen formüle bağlıdır (3) .

Bu sıralamada, saldırıda zengin terimi çarpanlara yayma yöntemi kullanılır:
1. z kökünü biliyoruz 1 eşitleme P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho kök z 1 etkiliyse, düzende bir çarpan ekliyoruz (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), noktadan başlayarak (1) , Biz tüm kökleri bilene kadar.
2.2. Karmaşık bir kök olarak є sayısı, zengin bir terimin kökü olarak karmaşık bir şekilde elde edilir. Todі, düzenlemeden önce çarpanı girin

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Aklımda, düzende bir çarpan ekliyoruz (z 2 + b 1 z + c 1) zengin terimi P n (z) ile seyreltiyorum (z 2 + b 1 z + c 1). Sonuç olarak, zengin bir adım n - alıyoruz - 2 :
.
İşlemi P n- polinomu için tekrarlayalım. 2(z), noktadan başlayarak (1) , Biz tüm kökleri bilene kadar.

Zengin üyenin kökü bilgisi

Merkez ofis, polinomun faktörlere genişlemesiyle, yogo kökünün önemi. Ne yazık ki, her zaman analitik çalışamazsınız. Zengin terimin kökenini analitik olarak bilebiliyorsanız, burada vipadkiv çaçasını analiz edeceğiz.

İlk aşamanın zengin üyesinin kökü

İlk adımın zengin üyesi bir integral fonksiyondur. Sadece bir kök var. Düzen, z değişikliğinin intikamını almak için yalnızca bir çarpan olabilir:
.

Başka bir seviyedeki zengin bir üyenin kökü

Başka bir düzeyin zengin teriminin kökünü bilmek için kareyi eşit olarak çözmek gerekir:
P 2(z) = bir 2 z 2 + bir 1 z + bir 0 = 0.
Bir diskriminant olarak iki gerçek kök vardır:
, .
Sadece çarpanlara bakın:
.
Diskriminant nedir D = 0 , o zaman bir dvorazovy kökü eşit olabilir:
;
.
ayrımcı D olarak< 0 , o zaman kök daha karmaşıktır,
.

Bir diğeri için zengin bir şekilde mafsallı bir adım daha yüksek

3. ve 4. adımların zengin bölümlerinin köklerinin anlamı için Іsnuyu formülleri. Nadiren onlarla birlikte olurlar, pis kokunun parçaları hacimlidir. 4. dereceden daha yüksek, zengin bir şekilde eklemlenmiş derecenin köklerinin bilgisi için hiçbir formül yoktur. Bilgisizce, deyakih vipadkas'ta, zengin terimi çarpanlara yaymaya başlar.

Bütün kökün önemi

Bazı katsayılar için zengin bir terim gibi görünüyor - tüm olası değerlere göre sıralanarak bilinebilen sayıların sayısı, kök sayısı.

Önem 3

Bana zengin bir çük ver
,
a i katsayıları - z'nin kökü olabilecek sayının sayısı 1 . a numaralı dilnik ile aynı kök 0 .

getirmek

Eşit P n'yi yeniden yazalım (z1) = 0 görüşte:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
z'ye bölünür 1 :
.
Oskіlki M - qile, sonra ben - qile. Ne getirmek için aldı.

Bu nedenle, bir polinomun katsayıları - sayıların sayıları olarak, kökün sayılarını bilmeye çalışabilirsiniz. Kimler için ücretsiz bir üyenin tüm dilniklerini bilmek gerekir 0 і, dengeleme ikamesi P n (z) = 0, perverti, chi є bu eşitin köklerine kokuyor.
Not. Bir polinomun katsayıları rasyonel sayılar olduğundan, eşit P n ile çarpma (z) = 0 a i sayılarının yüksek standardında, tamsayı katsayılı polinom için eşitlemeyi alıyoruz.

Rasyonel kökün anlamı

Bir polinomun katsayıları - sayının sayıları ve kök sayısı olmadığından, o zaman bir n ≠ için 1 , rasyonel kökü bilmeye çalışabilirsiniz. Kimin için bir ikame oluşturmak gerekli
z = y/a n
ve eşit bir n n- ile çarpın 1 . Sonuç olarak zengin terimin eşitliğini değişim şeklinde ve katsayı sayısı ile dikkate alıyoruz. Dali shukaimo, özgür üyenin orta üyesinin zengin üyesinin köküdür. Böyle bir y i kökü bildiğimiz için, x değişimine geçerek rasyonel bir kök alacağız.
z ben = y ben / bir n.

renkli formüller

Polinomu faktörlere genişletmenin mümkün olduğu formüller sunuyoruz.

Zengin bir üyeyi ortaya çıkarmak için daha vahşi bir öfkeye sahip olun
P n (z) = z n - bir 0,
Uyuşturucu ile Mücadele Dairesi 0 - daha karmaşıktır, tüm yogo köklerini bilmek gerekir, böylece eşit şekilde çözebilirsiniz:
zn = bir 0 .
Tsіvnyannya, bir kanıtlamak için sanki yanılmak kolaydır. 0 modül aracılığıyla r i argüman?
.
Oskilki bir 0 argümana eklemek için değiştirmeyin 2 pi, sonra bir hayal edin 0 görüşte:
,
de k – qile. Todi
;
.
Değer atama k k = 0, 1, 2, ... n-1, Polinomun n tane kökünü alıyoruz. Çarpanlar için Todi yogo düzeni şöyle görünebilir:
.

bisquare bagatonik terim

Biquadratic terimine bir göz atalım:
.
Biquadrate açısından zengin bir terim, kök olmadan çarpanlara bölünebilir.

Ne zaman, belki:

,
de.

Bir kareye indirgenebilen bikübik ve zengin segmentler

Zengin üyeye bakalım:
.
Yogo kökü eşit anlamına gelir:
.
kadar yönlendirilecek kare hizalama ikame t = z n :
a 2 n t 2 + bir n t + bir 0 = 0.
Virishivshi tse eve, yogo kökünü biliyoruz, t 1 , t 2 . Görünürdeki düzenlemeyi biliyorsak:
.
Dali yöntemiyle, hadi bakalım, çarpanlara genişletelim z n - t 1 ben z n - t 2 . Visnovka, kökün intikamını karmaşık bir şekilde alan bir grup çarpana sahiptir.

Döner saplar

Zengin üye denir dönüş yakscho yogo katsayıları simetriktir:

Depolanabilir bagato üyesinin poposu:
.

Ters polinom n'nin adımları eşleştirilmemiş olduğundan, böyle bir polinomun kökü z = olabilir. -1 . Böyle zengin bir terimi z'ye bölmek + 1 , adımın zengin terimini alıyoruz

Rozv'yazannі rivnyan durumunda, ben nerіvnjanі nerіvnjanі genellikle vykaє nіkaє nebhіdnіdnіdnіd polinom polinomlar üzerinde razvіdnіє nebhіdnіdnіdnіdnіn, üç veya daha fazla stupіnіn stupіnіn іn іstіn. Bu istatistiklere bakabiliriz, nasıl daha basit hale getirebiliriz.

Bir zavzhd gibi, teoriye yardım için canavarca.

Bezout teoremi stverzhuє, bir polinomu binom dorivnyuє'ye bölmede scho fazlası.

Ama bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan sonuç:

Sayı bir polinomun kökü olduğundan, polinom çok fazla binom olmadan bölünebilir.

Önümüzde, zengin bir terimin bir kökünü nasıl bileceğimizi bilme görevi vardır, sonra zengin terimi, zengin bir terimin köküne böleriz. Sonuç olarak, zengin bir üye alıyoruz, birinin ayağı bir daha küçük, dıştaki kaburga daha düşük. Ve sonra tüketim için işlemi tekrarlayabilirsiniz.

Tse zavdannya ikiye ayrıldı: Zengin bir terimin kökü nasıl öğrenilir ve zengin bir terim iki terimliye nasıl bölünür.

Bu noktalar hakkında rapor verelim.

1. Zengin bir üyenin kökü nasıl öğrenilir.

Elin arkası saygı görür, chi zengin üyenin köklerinin 1 ve -1 sayısıdır.

İşte bize yardımcı olacak bazı gerçekler:

Polinomun tüm katsayılarının toplamı sıfıra eşit olduğundan, sayı polinomun köküdür.

Örneğin, katsayıların toplamının polinomu sıfıra eşittir: . Zengin bir üyenin kökeninin ne olduğunu yanlış yorumlamak kolaydır.

Eşleştirilmiş adımlarda polinomun katsayılarının toplamı eşlenmemiş adımlarda katsayıların toplamı ile aynı olduğundan, sayı polinomun köküdür. Vilniy üyesi vvazhaetsya katsayısı, çift düzeyde, oskolki ve - adam sayısı.

Örneğin, eşleştirilmiş adımlardaki katsayıların toplamının polinomunda : ve eşleştirilmemiş adımlardaki katsayıların toplamı : . Zengin bir üyenin kökeninin ne olduğunu yanlış yorumlamak kolaydır.

Polinomun köklerine nі 1, nі -1 є ise, mesafe çöker.

Adımın indüklenmiş zengin terimi için (üst katsayının en önde gelen katsayı olduğu zengin terime göre), aşağıdaki formül geçerlidir:

De - zengin üyenin kökü.

Vієta'nın daha fazla formülü var, polinomun başka katsayıları var, ancak bunun hakkında kendimiz konuşabiliriz.

Z tsієї formülü Vієta viplivaє, scho tam sayının zengin bir üyesinin kökü olarak, o zaman aynı zamanda bir tam sayı olan yogo free üyesinin dilniklerinin kokusu.

Vihodyachi z tsogo, zengin terimin değişken terimini katlara ayırmamız ve sırayla, en küçükten en büyüğe, çoğullardan hangisinin zengin terimin kökü olduğunu tersine çevirmemiz gerekir.

Şuna bak mesela zengin üye

Ücretsiz üye günlükleri: ; ; ;

Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı daha pahalıdır, o zaman 1 sayısı bir polinomun kökü olmaktan çıkar.

İkiz adımlar için katsayıların toplamı:

Eşlenmemiş adımlar için katsayıların toplamı:

Ayrıca -1 sayısı aynı zamanda bir polinomun köküdür.

Zengin bir terimin kökü olarak chi'nin 2 sayısı olması tersine çevrilebilir: ayrıca 2 sayısı zengin bir terimin köküdür. Daha sonra, Bezout'un teoremini takiben, zengin bir terim, fazlalık olmadan bir binom'a bölünebilir.

2. Zengin bir terim bir binomdan nasıl çıkarılır.

Zengin terim, güdük içeren bir binom olarak bölünebilir.

Zengin terimi bir stompchik ile bir iki terimliye böleriz:

Bir polinomu iki terimliye bölmenin ikinci yolu Horner şemasıdır.

anlamak için videoyu izleyin ek Horner şeması için bir adım i ile zengin bir terimin ikili bir terime nasıl bölüneceği.

Rozpodіlі stovpchik gibi, vyhіdny polinom vіdsutnya'ya aşina olmayan adımlar gibi olduğunda, Horner'ın şeması için katlanmış tablodan olduğu gibi 0 - yazması gerektiğine saygı duyacağım.

Bu nedenle, zengin terimi ikili bir terime bölmemiz gerektiğinden ve sonuç olarak zengin terimi aldığımızdan, Horner şemasının arkasındaki katsayıları bilebiliriz:

Biz de vicorist olabiliriz Horner'ın planı tersine çevirmek için, sayı zengin terimin kökü olarak verilirse: sayı zengin terimin köküyse, o zaman zengin terimin alt alanındaki fazlalık sıfıra eşittir, yani kalan sütunda Horner şemasının diğer satırında 0 alıyoruz.

Vikoristovuyuchi Horner'ın şemasına göre, "bir taşla iki kuş vuruyoruz": bir saat, sayının zengin bir terimin kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve zengin terimi bir binom'a bölüyoruz.

popo Virishiti Rivnyannia:

1. Serbest üyenin dilniklerini, serbest üyenin orta dilniklerinin zengin üyesinin kökünü shukatimemo yazın.

24 numaralı diyaloglar:

2. Tersine çevrilebilir bir şekilde chi, zengin bir terimin 1 numaralı köküdür.

Polinomun katsayılarının toplamı da 1 sayısı polinomun köküdür.

3. Horner şemasını kullanarak dışa doğru zengin terimi ikili bir terime bölün.

A) Çıkış polinomunun katsayı tablosunun ilk satırını yazın.

Oskіlki üyesi, scho intikam vіdsutnya, o tablo masasında, 0 yazdığımızda bir katsayıya sahip olabilecek. Bilginin kötü kökünü yazıyoruz: 1 numara.

B) Tablonun ilk satırını kaydedin.

Sütunun geri kalanında, sanki açıkmış gibi, sıfırı çıkardık, dünya son zengin terimi fazlalıksız bir iki terimliye böldü. Tablonun başka bir satırında mavi renkli görüntünün altında bulunan polinomun katsayıları:

1 ve -1 sayılarının zengin bir terimin kökleri olmadığını yanlış anlamak kolaydır.

C) Masaya devam ediyoruz. Geri dönüşümlü olarak chi, zengin bir terimin kökü olarak 2 sayısıdır:

Bu nedenle, alt terimin sonucunda görünen polinomun adımı, çıktı zengin terimin adımından bir eksik, ayrıca katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksik.

Sütunun geri kalanında, -40'ı aldık - sıfıra eklenmeyen bir sayı, bu nedenle zengin terim, fazladan ikili bir terime bölünür ve 2 sayısı zengin terimin kökü değildir.

C) Tersinir olarak chi, zengin bir terimin kökü olarak -2 sayısıdır. Yani, daha önce olduğu gibi, test çok uzakta değildi, böylece katsayılarla dolandırıcılık olmadı, arka arkaya, testimi onaylıyorum:

Mucizevi! Fazladan sıfır alındı, sonra zengin terim fazlalıksız bir iki terimliye bölündü ve -2 sayısı zengin terimin kökü oldu. Polinomun katsayıları, sonuçta polinomu yeşil renkli görüntü tablosunda bir binom olarak alt bölümlere ayırır.

Sonuç olarak, kare üç terimliyi çıkardık. , Viet teoreminin arkasında kökenini bilmek kolay:

Otzhe, dışa dönük canlanmanın kökü:

{}

Öneri: ( }

Yakscho zengin üye

getirmek

Tamsayılı polinomun katsayılarını alalım ve inci zengin terimin kökü olan a sayısına sahip olalım. Sesin her an parladığı katsayı, a'ya bölünür.

Saygı duymak. Bu teorem, bu durumda, bu zengin terimlerin katsayıları sayıysa ve kökü ise, bu durumda en zengin terimlerin köklerini bilmenizi sağlar. rasyonel sayı. Teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: Bir polinomun katsayılarının sayının sayıları olduğunu ve yogonun kökünün rasyonel olduğunu bildiğimiz gibi, rasyonel kök de ancak bir sayının dilnik hali olarak de p gibi olabilir. (serbest bir terim) ve q sayısı bir sayının genişleticisidir (kıdemli bir utangaç).

Tüm kökle ilgili teorem, kendinden ne intikam alırsın

Eğer α tam sayısı, katsayı sayısı ile zengin terimin kökü ise, o zaman α, yogik serbest terimin dilnikidir.

getiriyor. Hadi:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

qlimi katsayıları ve qile sayısı α - yogo kökü ile zengin terim.

Daha sonra kökün değeri eşitlenir P(α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Yaylar için Vinosyachi zagalny çarpanı α, denkliği alın:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , yıldızlar

bir n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі sayısının parçaları, o zaman yaylar tam sayı olmalı, daha sonra tamamlanmış olabileceğim gibi bir n α'ya bölünmelidir.

Teorem gündeme getirildi, ancak şu şekilde formüle edilebilir: katsayı sayısı ile polinomun kök sayısı, ilk serbest terimin genişleticisidir.
Temeller teoremi üzerinde, tüm katsayılarla zengin bir terimin integral kökünü aramak için algoritma:

2. Kök değeri hakkında Dodatkova teoremi

Tamsayı katsayılı zengin P(x) teriminin bir dizi α-kökleri varsa, o zaman P(1) sayısının α-1-bölen, P(-1) sayısının α+1-bölen

getiriyor. 3 aynılık

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

b і c sayılarının sayısından bⁿ-cⁿ sayısının b∙c ile bölünebildiğini görebilirsiniz. Herhangi bir zengin üye P perakende için Ale

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

Ayrıca, zіlimi katsayıları olan bir polinom P için zіlih sayılardır, fark P(b)-P(c) b-c'ye bölünür.

Hatırlayalım: b = α için, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), yani P (1), α-1'e bölünür. Benzer şekilde, başka bir görüş var.

Horner'ın planı

Teorem: Kısa süreli bir drіb p / q є köküne eşit olsun a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 çoklu katsayılı, aynı sayı q є kıdemli katsayının a0 dilnik ve sayı R єdilnik ücretsiz üye bir.

saygı 1. Yogo özgür üyenin katsayıları ve dilnik sayısı ile ilişkinin kökü olun.

saygı 2.Kıdemli katsayı, yol 1'in katsayılarının sayısına eşit olduğundan, koku olarak bilindiği gibi tüm rasyonel kökler - sayı.

Zengin üyenin kökü. Zengin bir üyenin kökü f(x)= bir 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , ne olmuş f (c)=0 .

Not 3. Yakscho x = c zengin bir üyenin kökü , o zaman zengin terim şu şekilde yazılabilir: f(x)=(x−c)q(x) , de zengin üyenin altındaki özel görünüm f(x) bir monomial içine xc

Horner'ın şemasını kullanarak zengin bir terimi tek terimli bir terime bölebilirsiniz:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , o zaman rozpodіlі ne zaman f (x) üzerinde g (x) özel olarak q(x) bakabilir q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = bir 0 ,

b k = c b k − 1 + bir k , k=1, 2, ,n−1. fazlalık r formülü bil r=c b n − 1 +a n

Çözüm:Üst düzeyde katsayı 1'e eşittir; 2; 3; dört; 6; 12. Vikoristovuyuchi Horner'ın şeması, kök sayısının eşit olduğunu biliyoruz:

Horner'ın planı için tek bir kök seçeneği vardır. o zaman şöyle yapabilirsin x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3