Alanın cebirsel açılımı. Sulamanın genişlemesini affedin. Cebir alanlarının depo genişletmesi

cebirsel alan uzantısı- — Bilgi koruma konusu EN uzatma alanı… Dovіdnik teknik çeviri

K alanına bir alt alan olarak verilen Alan E. Type extension Cebir uzantısı uzantısının uzantısı, böyle bir є cebirselinin tüm öğeleri, yani böyle bir є öğesinin böyle bir öğesi, zengin bir f (x) c teriminin köküdür ... Wikipedia

Normal ve ayrılabilir olan EÉ K alanının cebirsel uzantısı. Tsikh zihinleri için E, K'ye göre en fazla sayıda otomorfizmi analayacaktır (E benzersiz olduğundan, o zaman otomorfizmaların sayısı da önemli ve daha ileri bir genişleme derecesidir).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho intikam Av yak p_demigroup. A grubunun isimlerini genişletmek, Atem'i diğer zihinlerle bağlamak hakkında ses. İdeal R. nap_vgroup'un en gelişmiş teorisi (nap_vgroup, Av yak'ın intikamı ne ......) Matematiksel Ansiklopedi

n'inci evredeki zengin terimin akla eşit bir veya birden fazla şeklinde değişmesidir. A. in. bilinmeyen bir sesle. akla eşittir: Sayı yoktur, ses yoktur. katsayılar eşittir ve є danimi, hnaz. nevidomim ve є… Matematiksel Ansiklopedi

Alanlar k cebirsel. kapalı bir cebirsel alan olan k alanının uzantısı. Herhangi bir alan için böyle bir uzantı, izomorfizme kadar benzersiz bir şekilde atanır. A.h. alanlar gün numaralarıє alanı Karışık sayılar(Böl. …… Matematiksel Ansiklopedi

Bir kök E'ye sahip olabilen herhangi bir indirgenemez zengin f(x) bölü K terimi için EÉ K alanının normal olarak genişletilmiş cebirsel uzantısı, E'de lineer çarpanlara ayrıştırılabilir. Eşdeğer atanan: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Ayrılabilir öğelerden oluşan bir alanın cebirsel uzantısının ayrılabilir bir uzantısı, bu tür öğeler α olacak şekilde, birden fazla kökü olmayan minimum f(x) iptal edicisidir. Pokhіdna f (x) vishchevkazanim için buti olabilir ... ... Wikipedia

Alanı, E harika olacak şekilde genişletmek, K yak üzerinde vektör alanı. E vektör uzayının K üzerindeki genişlemesine genişleme derecesi denir ve belirtilir. Son genişlemelerin gücü ... ... Vikipedi'de

Alanlar, ilerleyen eşdeğer zihinlerden birini tatmin eden L alanı K'nin cebirsel bir uzantısıdır: 1) L alanının cebirsel alana gömülü olup olmadığı. є alanının, L alanının bir otomorfizmi ile kapatılması; 2) Belirli bir polinom ailesinin L düzenleme alanı s ... ... Matematiksel Ansiklopedi

Alanların cebirsel açılımı

giriş.

Pedagojik üniversiteler, cebir ve sayılar teorisinde birleşik bir kurs için bir program başlattı. Meta dersin başı, temel cebir sistemlerinin geliştirilmesi ve gelecekteki öğretmen için hedeflerin derinlemesine anlaşılması ve ana okul matematik dersinin görevi için gerekli olan cebir kültürünün geliştirilmesidir. okul seçmeli dersleri.

Bize göre, okul müfredatına en önemli giriş, çağdaş soyut cebirin unsurlarıdır.

Yirminci yüzyılda ortaya çıkan matematiğin cebirselleştirilmesi süreci kabul edilmemekte, daha ziyade okul matematik eğitiminde cebirin temellerini anlamaya çalışmak zorunda kalmaktadır.

Matematiksel derinlik ve olağanüstü geniş alan yoğunluğu küresi, temel hükümlerin basitliği ile birleştirilecektir - alanları anlamak için, genellikle çokluk teorisi evreninde ortaya çıkan çok sayıda önemli teorem formüle edilebilir ve gün ışığına çıkarılabilir. Bu nedenle, alan teorisi, okul çocuklarına modern matematiğe ilişkin bir içgörü göstermek için daha uygundur.

Ek olarak, alan teorisindeki unsurların gelişimi, zihinlerinin, niteliklerinin ve özelliklerinin zenginleştirilmiş farklı yönlerinin gelişiminde ve ayrıca bilim adamlarının gelişiminde kendini gösteren entelektüel gelişimlerine hız veren okul çocukları için aşinadır. , bilim ve matematik.

1. Alan cebirinin basit bir uzantısı.

1.1.Sadece alanı genişletin.

P[x], P alanı üzerinde x gibi bir polinom halkası olsun, burada P, F alanının alt alanlarıdır. F alanının a öğesinin, P alanı üzerinde cebirsel olarak adlandırıldığını tahmin edelim, çünkü a'nın köküdür. böyle bir pozitif adımlı P[x] polinomu.

Randevu. P olsun< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

a0F, P [x] - x i'deki polinomların halkası

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

yani P [a], a 0 + a 1 a + ... + a n a nde a 0 , a 1, ... an n 0P i n - doğal bir sayı olmak şeklinde tamamıyla kişisel değildir.

+P[a], +, -, ., 1 cebirinin P(a) alanının alt alanı olduğunu görmek kolaydır - alt alan; tüm halka P[a] sembolü ile gösterilir.

Teorem 1.1. P [x] - x bölü P ve P (a)'daki bir polinom halkası - P alanının basit bir uzantısı olsun. y - P [a] üzerinde P [x]'i genişletelim, böylece y (f) = f ( a) -th f іz P[x] olmak için. Todi:

(a) herhangi bir a z P y için (a) = a;

(c) y, P[a] halkası üzerindeki P[x] halkasının bir homomorfizmidir;

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) faktör çemberi P[x]/Ker y, P[a] halkasına izomorfiktir.

getiriyor. (a) ve (b) iddiası, y'nin atanmasından itibaren aracı olmadan gıcırdıyor. y'nin tanıtılması, P[x] halkasının ana işlemlerini kaydeder, bu nedenle herhangi bir f і g ç P[x] için

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Sertlik (d), y'den iz bırakmadan parlıyor.

Eğer y halkası, P[x] halkasının P[a] üzerine bir homomorfizmiyse, P[x]/Ker y faktör halkası, P[a] halkasına izomorfiktir.

Son 1.2. a, P alanı üzerinde aşkın bir eleman olsun. Polinom halkası P[x], P[a] halkasına eşbiçimliyse.

getiriyor. A over P Kery=(0)'ın aşkınlığına geri dönüp baktığımızda. Buna P[x]/(0) - P[a]. Ek olarak, sıfır idealin arkasındaki halka faktörü P[x], P[x] ile izomorfiktir. Ayrıca, P[x] - P[a].

1.2.Bir cebirsel elemanın minimum polinomu.

P [x], P alanı üzerinde bir polinom halkası olsun.

Randevu. a, P alanı üzerinde bir cebirsel eleman olsun. Bir a öğesinin P üzerinde minimal polinomu, kökü є a olan en küçük dereceli P [x] değerleme polinomudur. Minimal polinomun adımı, a öğesinin P üzerindeki adımı olarak adlandırılır.

P üzerinde cebirsel olan herhangi bir a elemanı için minimal bir polinom olduğunu bulmak kolaydır.

Önerme 1.3. a, bir P alanı üzerindeki bir cebirin elemanıysa ve g ve j, P üzerindeki minimal polinomsa, o zaman g = j.

getiriyor. Minimal polinomlar g ve j'nin adımları atlanmıştır. Eğer g ¹ j ise, o zaman a öğesi (adım n bölü P), adımı j polinomunun adımından (n'den küçük) daha küçük olan g - j polinomunun kökü olacaktır, ki bu imkansızdır. Daha sonra, g = j.

Teorem 1.4. a, P (aóP) alanı üzerinde n dereceden bir cebir elemanı olsun ve g, P üzerinde minimal polinom olsun. O halde:

(a) g polinomu P [x] dairesinde indüklenmez;

(b) yani f (a) = 0, burada f 0 P[x], g bölü f;

(c) P[x]/(g) faktör çemberi, P[a] çemberine izomorf;

(d) P [x]/(g) bir alandır;

(e) P [a] halkası, P (a) alanı ile eşleştirilir.

getiriyor. Polinom g'nin P [x] dairesinde indüklendiğini varsayalım, o zaman P [x]'te j ve h gibi polinomlar kurulabilir.

g = jh, 1£derece j, derece h

O zaman g(a) = j(a)h(a) = 0. P(a) bir alan olduğundan, o zaman j(a) = Pro veya h(a) = 0, ki bu imkansız, parçalar, aklın arkasında , adım elemanı a bölü P daha fazla p.

f 0 P[x] ve f(a) = 0 olduğunu varsayın. Akıl için g(a) = 0. O halde f ve g karşılıklı olarak affedilemez. g polinomu indirgenemez ise, g bölü f.

Teorem 2.1'e göre j, P[a] halkası üzerindeki P[x] halkasının bir homomorfizmi olsun (herhangi bir f ⊂ P[x] için y(f)=f(a)). 3(b) y homomorfizminin çekirdeği, g polinomunun katlarından oluşur, yani. Ker y = (g). Ayrıca, P = P[x]/(g) halka faktörü, P[a] halkasına izomorfiktir.

Oskilki P[a]ÌP(a), daha sonra P[a] geçerlilik alanıdır. P @ P [a] olduğundan, P bölümü aynı zamanda bütünlük alanıdır. P'den sıfır olmayan herhangi bir f öğesinin P'ye indirgenebileceğini göstermemiz gerekiyor. f, f toplam sınıfının bir öğesi olsun. Oskіlki f ¹ 0, sonra f(a)¹0; Bu nedenle, g polinomu f polinomuna bölünemez. Oskіlki g polinomu indirgenemez, yıldızlar açıktır, ancak f ve g polinomları karşılıklı olarak basittir. Ayrıca, Р[x], uf + vg=1 olacak şekilde u ve v polinomlarını kurar. uf = 1 değeri, f öğesinin P halkasında canavarca olduğunu gösterir.

З (с) і (d) P [a] є alanı ve hacmi P(a)ÌP[a]. Diğer tarafta, açıkçası, P[a]ÌP(a). Ayrıca, P[a] = P(a). Ayrıca, P[a] halkası P(a) alanı ile eşleştirilir.

1.3. Budov'un alan cebirinin basit uzantısı.

Teorem 1.5. a, P alanı üzerinde n pozitif sınıfının bir cebirsel elemanı olsun. P(a) alanının herhangi bir elemanı, n katsayılı 1, a, ..., a n-1'in doğrusal bir kombinasyonu ile benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

getiriyor. P(a) alanının b-yakie elemanı olsun. Teorem 1.4 ile, P(a) = P[a]; ayrıca, P[x]'de polinom f öyledir ki

a üzerinde P için minimal polinom g olsun; teorem sayesinde ilk adım daha ileri düzeydedir.

(2) f = gh + r, de r = 0 veya der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 bir n-1

Öğenin, 1, a, ..., a n-1 öğelerinin doğrusal bir kombinasyonunda benzersiz bir şekilde temsil edilebildiği gösterilmiştir. Hadi

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 bir n-1 (d ben 0 P)

Be-yaké böyle bir tezahür. j polinomuna bakalım

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d ben .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, eğer j adımı n'den küçükse, imkansız bir şekilde, (3) і (4) j(a) = 0 і nedeniyle haşlanır, j adımı en küçük g adımıdır. J \u003d 0 ise, s 0 \u003d d 0 ise değiştirmek daha az mümkündür. . . , Z n-1 = d p-1. Ayrıca, b öğesi, 1, a,…,a n-1 öğelerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

1.4 Kesir bayrağında cebirsel mantıksızlık şeklinde varyasyon.

Adımda bir kesir afişinde cebirin mantıksızlığı şeklinde zvіlnennya hakkında bir görev. a, P alanı üzerinde n>1 dereceli bir cebir elemanı olsun; f h - P[x] ve h(a) ¹0 polinomları çemberinden polinomlar. a öğesinin adımlarının doğrusal bir kombinasyonu durumunda f(a)/h(a)0P(a) öğesinin sağlanması gerekir, ardından j(a) durumunda,

Tse vdannya virishuєtsya yani. g üzerinde bir P için minimum polinom olsun. Oskilki, Teorem 1.4'e göre, polinom P і h(a) ¹ 0 üzerinde indüklenmez, o zaman g h і bölmez, ayrıca h і g polinomları karşılıklıdır basit. Bu nedenle, P[x] öyle u ve v polinomlarına sahiptir ki,

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Ayrıca f(a)/h(a) = f(a)u(a), ayrıca f,u 0P[x] ve f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, biz mantıksız f(a)/h(a) ile karşı karşıyayız.

Bannerman'da mantıksızlık gibi geliyor

Zengin terimler p(x) ve g(x)=-x 2 +x+1 karşılıklı olarak basittir. Bu nedenle, o kadar zengin j ve y terimleri vardır ki,

Vіdshukannya j y zastosuemo için Öklid algoritması için polinomlar p g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

bu şekilde,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki biliyor

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

bu şekilde,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

otze

.

2. Alan cebirinin katlanabilir uzantısı.

2.1. Alanın Kіntseve genişlemesi.

P, F alanının alt alanları olsun. O zaman F'ye P üzerinde bir vektör uzayı olarak bakabiliriz, böylece +F, +, (w l ½l 0P) vektör uzayına bakabiliriz,

de w l - F öğelerini skaler l0P ile çarpma işlemi.

Randevu. F alanının genişlemesine, F gibi terminal denir, P üzerinde bir vektör uzayı olarak, genişlemeyi sonlandırmak mümkündür. Tsya rozmirnіst aracılığıyla ifade edildi.

Önerme 2.1. a, derece n bölü P olan bir cebirsel elemansa, o zaman = n.

Bu önerme, Teorem 1.5'te bariz bir şekilde parlıyor.

Randevu. Bir P alanının F uzantısına cebirsel denir, çünkü F'nin bir kaplama elemanı P üzerinde cebirseldir.

Teorem 2.2. F alanının sonlu bir uzantısının P üzerinde cebirsel olup olmadığı.

getiriyor. F, P üzerinde n-düz olsun. n = 0 olduğundan teorem açıkça doğrudur. n>0 olduğunu varsayın. Eğer F'nin n+1 elemanları P üzerinde lineer olarak nadas ise. 1, a, ..., a n elemanlarının lineer olarak takip edilen bir sistemi olan Sokrema, o zaman P gibi 0 , 1, ..., c n elemanlarının hepsi eşit değildir sıfır , s 0 ×1+ 1 a +…+c n bir n = 0.

a öğesi ayrıca P üzerinde cebirseldir.

Alan cebirinin terminal uzantıları olmayan uzantılarının olması önemlidir.

2.2. Cebir alanının depo genişlemesi.

P alanının F uzantısına daraltılabilir denir.

F alanının büyüyen lanset alt alanı Li, öyle ki

P = L 0 - L 1 - ... L k = F k>1.

Teorem 2.3. F - alanın uzantısı L ​​і L - P alanının uç uzantısı olsun. Ardından F - alanının P i uzantısı

=@[L:P].

getiriyor. Hadi

(1) a 1 ,…,a m - L bölü P alanının temeli (bir vektör uzayı gibi) ve

(2) b 1 ..., b n - F alanı bölü L . F'den herhangi bir d elemanı, aşağıdaki temel üzerinden doğrusal olarak ifade edilebilir:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

1 k katsayısı, (1) temelinde doğrusal olarak ifade edilebilir:

(4) l k = p 1k a + ... + p mk bir m ​​(p ik 0P).

l k (3) katsayılarının puanını değiştirerek kabul edilebilir

d = p a b k .

Bu şekilde, F alanının kaplama elemanı B, de çarpanının elemanlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

B = (bir b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

B çarpanının nm'ye kadar eleman toplaması önemlidir.

F'nin P üzerinde bir taban olduğunu gösteriyoruz. B çarpanının elemanlar sisteminin lineer olarak bağımsız olduğunu göstermemiz gerekiyor. Hadi

(5) åc ik a ben b k = 0,

de c ik 0 P. Sistem (2), L üzerinde lineer bağımsız olduğundan, (5) eşitliği takip eder.

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

a 1 , ..., a m öğeleri P üzerinde doğrusal olarak bağımsız olduğundan, (6) eşitliği izler

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

(5)'teki katsayıların sıfıra eşit olduğunu göstermek için. Böylece, B elemanları sistemi lineer olarak bağımsızdır ve F bölü P'nin temelidir.

Otzhe, eklendi, scho = nm = ×. Ayrıca F є alanının son uzantıları, yanlış formül (I).

Randevu. P alanının F uzantısına, P alanının alt alanlarının büyüyen mızrağı olduğu için katlanabilir cebirsel denir.

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

öyle ki i = 1,..., k alanları için L i є hadi L i-1 alanının cebirini genişletelim. k sayısına dozhina mızrağı (1) denir.

Son 2.4. P alanının F cebirinin depo uzantıları, P alanının terminal uzantılarıdır.

Teorem 2.3'ün doğrulanmasında ispat, mızrağın (1) arkasında tümevarım yoluyla kolayca gerçekleştirilebilir.

Teorem 2.5. 1 ,..., ak F alanının elemanlarının P alanı üzerinde cebirsel olsun. Aynı alan P(a 1 ,..., ak), P alanının son uzantısıdır.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

O halde L 1 = P, L 0 alanının cebirinin basit bir uzantısıdır; L 2, L 1 alanının cebirinin basit bir uzantısıdır, çünkü

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) vb.

bu şekilde,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) için i = 1, ..., k, o zaman Lanziuk'un cilt terimi (2), Lanziuk'un ileri teriminin cebirinin basit bir uzantısıdır. Daha sonra, F alanı, P alanının cebirinin katlanabilir bir uzantısıdır. Yine, Sonuç 2.4'e göre, F alanı, P alanının bir terminal uzantısıdır.

Son 2.6. Alan cebirinin depo uzantısı є cebirsel alanın uzantısı.

2.3. Alan cebirinin depo genişletmesinin basitliği.

Teorem 2.7. Sayı alanı F, alan cebirinin P'nin katlanabilir bir uzantısı olsun. Sonra F є P alanının cebirinin uzantılarını basitleştireceğiz.

getiriyor. Ayrıca, P - L - F olsun, L = P (a), F = L (b) i, ayrıca F = P (a, b).

f ve g, a ve b sayıları ve derece f = m, derece g = n için geçerli olan, P üzerinde minimal polinomlar olsun. g polinomları Pі üzerine bindirilemez, bu nedenle, karmaşık çoklu köklerin E alanında olamaz. Hadi

a = a 1 ,..., a m - polinomun kökleri f C i

b = b 1 ,..., b n - g C polinomunun kökü.

Kіtsev bezlіch M'ye bakalım:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P sayısal bir çarpandır (bu nedenle, sınırlı değildir), o zaman P, çarpan M, c0P (M, cóM. Nehai) elemanlarındaki c sayısı, vidminne'dir.

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a ben + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Doğru, eşitlik zamanlarında a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (bir ben -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo c sayısı seçimini kullandı.

F 1 = P(g) ve F 1 - x'teki bir polinom halkası olsun. h = f(g - cx), F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1)'den bir polinom olsun. F 1 [x] halkasındaki h ve g polinomlarının en büyük ünsüzünün x-b olduğu gösterilebilir. Ölçekler g(b) = 0, sonra x-b, g E[x]'i böler. Günlük, nedeniyle (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Buna x-b polinomunu h E[x] bölün. Bu sırada x-b, E[x] halkasında bir h ve g traversidir.

G і h С olduğu, kök olmadığı, vіdmіnkh vіd b olduğu bildirildi. Diyelim ki b k , k0(2 ,..., n) onun vahşi köküdür. O zaman h(b k) = f(g - сb k) = 0. O zaman böyle bir indeks var i0(1 ,..., m) ). Bu nedenle, x-b'nin E[x]'teki g ve h'nin en büyük uyuyan olması mümkündür. Oskіlki x - b - normalleştirme polinomu, sonra yıldız açık, scho x - b є en büyük sıcak dilnik g ve h y kіltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] ve b 0 F 1 = P(g).

Ayrıca, a = g - cb 0 F 1 . bu şekilde,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Alan cebirsel sayılar.

Karmaşık sayılar alanının alt alanlarının sınıfı en önemlilerinden biridir - cebirsel sayılar alanı.

Randevu. Bir cebirsel sayı, rasyonel katsayıları olan pozitif dereceli bir polinomun kökü olan karmaşık sayı olarak adlandırılır.

Bir cebir sayısının, ister karmaşık bir sayı olsun, Q alanı üzerinde cebirsel olması önemlidir. Sokrema, ister rasyonel bir sayı olsun, cebirseldir.

Teorem 2.8. Tüm cebirsel sayıların kişisel olmayan A'sı, karmaşık sayıların E = +C, +, -, 1 halkasında kapalıdır. Cebir A = +А, +, -, , 1 bir alandır, E alanının bir alt alanıdır.

getiriyor. a ve b, A'nın elemanları olsun. Son 2.6 için, Q(a, b) alanı Q üzerinden cebirseldir. Bu nedenle, a + b, -a, ab, 1 sayıları cebirseldir, böylece A'nın katları yatar. . , kişisel olmayan A, E döngüsünün temel işlemlerine göre kapalıdır. Bu nedenle, cebir A, E döngüsünün bir alt döngüsüdür - bir döngüdür.

Ek olarak, a, A'da sıfır olmayan bir öğe olduğundan, a -1 0 Q (a, b) ve a -1, A'da bulunur. Yine, cebir A, E alanının alt alanları olan bir alandır.

Randevu. A = +A, +, -, , 1 alanına cebirsel sayılar alanı denir.

a sayısının cebirsel olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Z a \u003d çığlık a-.

Üçüncü adımda kalan denkliğin parçalarını acımasızca aşağılayarak:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Şimdi kıskançlığın rahatsız edici kısımları başka bir düzeye taşınıyor:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Bu sıralamada a є zengin bir terimin kökü

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

rasyonel katsayılardan Ce, a'nın cebirsel bir sayı olduğu anlamına gelir.

2.5. Cebir sayıları alanının cebirsel kapanması.

Teorem 2.9. Bir cebirin sayı alanı cebirsel olarak kapalıdır.

getiriyor. A [x], cebirsel sayıların A alanı üzerinde x'teki polinomların bir halkası olsun. Hadi

f = bir 0 + bir 1 x+... + bir n x n (a 0 ..., bir n 0 A)

Adım A[x] pozitif bir polinom olsun. f'nin A'da köklenebileceğini kanıtlamamız gerekiyor. Eğer f0C[x] ve E alanı cebirsel olarak kapalıysa, o zaman f, f (c) = 0 gibi karmaşık bir s sayısına sahip olacak şekilde E'de köklenebilir. L = Q (a 0 , ..., ve n) ve L(c), L alanı cebirinin c'nin yardımının ötesinde basit bir uzantısı olsun. O zaman Q - L - L (c), L alanının cebirinin bir terminal uzantısıdır. Teorem 2.2'ye göre, L, Q alanının bir terminal uzantısıdır. Teorem 2.3'e göre, L (c), aşağıdakilerin bir terminal uzantısıdır. Q alanı. L (c) alanı, Q i alanının cebirinin bir uzantısıdır, dolayısıyla c0A'dır. Böylece, pozitif adım A'nın A[x]'inde herhangi bir polinom varsa bir köke sahip olabilir, o zaman A alanı cebirsel olarak kapalıdır.

3. Ayrılabilir ve ayrılmaz uzantılar.

Hadi D - alanı.

Elbette, ayrıştırılamayan bir D[x] polinomu nasıl çoklu köklerin annesi olabilir?

f(x)'in çoklu kök olması için, zengin f(x) ve fN(x) terimleri, zaten D[x]'de hesaplanabilen annenin ortak çift sabit çarpanından kaynaklanmaktadır. Her ne kadar f(x) polinomu ayrıştırılamaz olsa da, o zaman düşük dereceli f(x)'in herhangi bir zengin terimi ile anlaşılmaz küresel çarpanların anası olamaz, ayrıca f "(x) = 0 eşitliği olabilir.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Yani fN(x) = O, deri katsayısı sıfırdan suçludur:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Önemli olan, yıldızın karakteristik sıfırıdır, ki a n \u003d 0 tümü n ¹ 0'dır. Ayrıca, tutarsız bir polinom birden fazla kökün annesi olabilir. p_evenness na n \u003d 0 özellikleri sırasında n ¹ 0 olması mümkündür, ancak aynı zamanda eşit olabilir

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Geri: f(x) böyle görünebilirse, o zaman fN(x)=0.

Bu vipadka ile şunları yazabiliriz:

Tim'in kendisi şu iddiayı getirdi: Karakteristik sıfır durumunda, zengin f (x) terimi D [x]'e bölünemez, yalnızca basit bir kök olabilir, karakteristik p durumunda, polinom f ( x) (sabitle de aynıdır), bir j ve x p polinomu olarak göstermek mümkünse, kökün bir katı olabilir.

Bazen j(x)'in kendi yolunda x p bir polinom olması mümkündür. O halde f(x), x p 2 gibi bir polinomdur. f(x) - xpe gibi zengin terim olsun

ale є polinom ve x pe +1 . Anlaşılır bir şekilde, y(y) polinomu ayrıştırılamaz. Dali, y¢(y) ¹ 0, çünkü aksi takdirde y(y) c(y p) i gibi görünür, o zaman f(x) c(x pe + 1) gibi görünür, bu da ihmalin yerini alır. Otzhe, y (y) sadece basit bir kök olabilir.

Lineer faktörler üzerindeki ana alanı genişletmek için y polinomunu genişletelim: m

y(y) = J(y-b ben).

f(x) = J(x pe -b ben)

x pe - bi polinomunun kökü a i olsun. Sonra x ben pe \u003d b ben,

x pe - bi = x pe - bir ben pe = (x-a ben) pe .

Ayrıca, x pe - b i polinomunun a i є r e -çoklu kökü

f(x) = J(x -a i) p e.

Bu şekilde, f(x) polinomunun kökünün bıyığı aynı p e çokluğuna sahip olabilir.

y polinomunun m adımına f(x) polinomunun (veya a i kökünün) indirgeme adımı denir; e sayısı, polinomun f (x) (veya a i) kökünün D alanı üzerindeki üssü olarak adlandırılır.

de m, f(x) polinomunun farklı köklerinin sayısı daha pahalıdır.

Eğer q, sadece basit kökler olabilen D[x] halkasında ayrıştırılamayan bir polinomun kökü ise, o zaman q'ya D üzerinde ayrılabilir bir eleman veya D 1) üzerinde birinci türden bir eleman denir. Bununla, tüm kökleri ayrılabilir olan ayrılmaz bir zengin terime ayrılabilir denir. Aksi takdirde, cebirsel eleman q ve ayrıştırılamaz zengin terim f(x) birbirinden ayrılamaz veya farklı türden bir eleman (zengin terim gibi) olarak adlandırılır. Şimdi, tüm elemanları D üzerinden ayrılabilir olan S cebirinin bir uzantısına D üzerinden ayrılabilir ve cebirin diğer herhangi bir uzantısına ayrılmaz olarak adlandırılır.

Karakteristik sıfır zamanlarında, derinin ayrıştırılamaz zengin bir terim olmadığı (ve dolayısıyla cebirin cilt uzantısının) ayrılabilir olduğu söylenir. Alanların en önemli ve en önemli uzantılarının çoğunun ayrılabilir olduğunu ve alanların sınıfının kalitesini bildiğimizi, böylece ayrılmaz uzantıların (“tamamlanmış alan” olarak adlandırılan) mümkün olmadığını bilmek isteriz. Z, özellikle farklı bir yazı tipinde yazılan ayrılmaz uzantılarla tüm pov'yazane'ye neden olur.

Şimdi S = D (q) cebirinin uzantısına bakalım. Eğer n adımları f(x) = 0 ise, bu daha büyük, daha gelişmiş bir adımı (S:D) ifade ediyorsa, m adımlarının indirgenmesi, ilerleyen anlamda S alanının izomorfizmlerinin sayısına eşittir: biz sadece bu izomorfizmlere bakabilir [e-posta korumalı]", D alt alanının herhangi bir öğesi için şiddet içermeyen i ile doldurulur, daha sonra S, eşdeğer alana S aktarılır" (S alanının D alanı üzerindeki izomorfizmi) ve herhangi bir alan görüntüsü S için birlikte uzanmak S alanı ile W. tsikh umovah maє mistse teoreminin ortasında:

Uygun bir W alanı seçimi ile, S=D(q) uzantısı, D üzerinde tam olarak m izomorfizme sahip olabilir ve W alanının herhangi bir seçimi için, S alanı bu tür m'den fazla izomorfizme sahip olamaz.

getiriyor. D üzerindeki kaplama izomorfizmi, q öğesinin W'den q" öğesiyle olan ilişkilerine çevrilmesinden sorumludur. elemanlar q,q Eğer öyleyse, bi olarak, W alanı seçilmedi, q öğesi m'den fazla durumda matima değildir. D(q)@D(q") üzeri D deri izomorfizminin, q® q" nin verilen kimliğine tamamen bağımlı olması artık dikkate değerdir. Açıkçası, eğer q q'ya giderse ve D'den gelen tüm elemanlar yerinde bırakılırsa, o zaman eleman

3a k q k (yak 0D)

suçlu gitmek

ve cym izomorfizm anlamına gelir.

Sokrema, q ayrılabilir bir element olduğundan, o zaman m = nі, dolayısıyla ana alan üzerindeki izomorfizmlerin sayısı daha eşit bir şekilde uzatılır.

Eğer öyleyse, alan sabitse, bakılan tüm alanları kapsayabilir, cilt eşitlemesinin tüm kökleri f (x) = 0 olabilir (örneğin, karmaşık sayılar alanında olduğu gibi) , sonra W sıfatıyla i alanını bir kez ve herkes için alabilirsin Buna, izomorfizmle ilgili tüm ifadelere “deaky W'nin ortasında” eklemesini ekleyin. Bu yüzden teorik olarak sayısal alanları onarmaya başlayın. Soyut alanlar için W alanını da kullanabileceğinizi hatırlatmak isteriz.

Atıf yapılan teorem aşağıdaki ifadedir:

D'den sonraki varışlara m çıkmak için S nasıl genişletilir

cebirsel elemanlar a 1 , ..., a m , ayrıca a i , є kökün arkasındaki cilt

D(a 1 , ..., a i-1) üzerinden genişletilemez, indirgenmiş n" i aşamasına eşittir, o zaman

S'nin açılımı tam olarak ?n i ¢ izomorfizmaları D i üzerinde aynı şekilde olabilir

uzantı yok daha büyük sayı S alanının bu tür izomorfizmleri.

getiriyor. m = 1 için teorem daha da geliştirilmiştir. її'nin S 1 = D(a 1 , ..., a m-1) uzantısı için geçerli olduğunu varsayın:

W 1 є tam olarak n i ¢ S bölü D alanının izomorfizmaları.

S 1 ®S 1, Õ n i ¢ izomorfizmlerinden biri olsun. Ters çevrilmiş alanın ters sırasına göre W şarabının izomorfizme S = S 1 (am) @ S = S (am) n_zh n m yoldan daha fazla devam ettirilemeyeceği tartışılmaktadır.

a m elemanı, n¢ m farklı köklerle f 1 (x) = 0 bölü S 1 denklemini sağlar. Ek izomorfizm S 1 ® S 1'den sonra, zengin terim f 1 (x) başka bir zengin terim f 1 (x)'e çevrilebilir. Ale, geniş bir şekilde genişletilmiş bir şekilde 1 (x) todі, ancak n m farklı kökler ve daha fazlası değil. Bir m - bu köklerden biri olsun. a m öğesinin seçimine bakıldığında, S 1 @S 1 izomorfizmi, a m ®a m için tek ve tek bir şekilde S (a m) @ S (am) izomorfizminin üçüdür: etkili bir şekilde, devam formülle verilir.

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

a m öğesinin seçiminin örnekleri, ters izomorfizm å 1 ®å 1 için böyle bir türün n" m devamı kullanılarak, n "m yolla tanımlanabilir

Oskіlki'nin kendi çizgisi var ve bu izomorfizm dönüştürülebilir

Х n" ben yolları,

o zaman her şey doğrudur (tüm eşittirlerin tüm köklerinin bakıldığı W alanı)

Õ n" ben ×n" m = Õ n" i

S'nin D alanı üzerindeki uzantısının izomorfizmlerini getirmek gerekiyordu.

Eğer n i, a i bölü D (a 1 ,...,a i-1) öğesinin gerçek (indirgenmemiş) adımıysa, alanın D (a 1 , ... , a i) uzantısının n i daha fazla adımı D(a 1, .. ., bir i-1);

otzhe, adımlar (S: D) daha fazla

Sayı, izomorfizm sayısıyla nasıl eşleştirilir?

S = D(a 1 , ... , a m) bölü D (verilen herhangi bir W uzantısı için) uzantısının eşbiçimliliği sayısı, yalnızca dış yüzey elemanı a i alan D(a 1 , ... , bir i-1). Bir a i öğesinin ayrı bir alan üzerinde ayrılmaz olmasını istiyorsanız, izomorfizmlerin sayısı genişleme derecesinden daha azdır.

Teorem açısından birkaç önemli açıklama hemen ortaya çıkacaktır. Bizim için teorem, a i kaplama elemanının gücünün ön alan üzerinden ayrılabilir olduğunu ve S uzantısının kendisinin gücünün a i oluşturan elemanların seçiminden bağımsız olduğunu belirtir. Alanın ek bir öğesi ilk nesil olarak alınabileceğinden, tüm a i'leri olduğu gibi b öğesi de ayrılabilir görünmektedir. Baba:

a i , ... ,an i öğeleri sırayla D alanına eklenir, dış yüzey öğesi a i alan üzerinde ayrılabilir görünür, bitişik ön öğeleri a 1, a 2 ,...,a i-1 genişletmesini alır

S = D(a 1 , ... ,bir n)

D üzerinden ayrılabilir.

Zokrema, suma, perakende, tvir, özel olarak ayrılabilen unsurlardır.

Ayrıca, b S üzerinden ayrılabilir ve S alanı D üzerinden ayrılabilir olduğundan, b öğesi D üzerinden ayrılabilir. Bu, b'nin a 1 , ... , a m ç katsayılarının son sayısını sağlamasıyla açıklanır. Si, yine D üzerinden ayrılabilir (a 1, ..., a m). Tim'in kendisi ayrılabilir uzantı

D (a 1, ..., bir m, b).

Nareshti, aynı yer olabilir: bir D alanı üzerindeki terminal ayrılabilir uzantı S'nin izomorfizmlerinin sayısı bir uzatma adımıdır (S: D).

4. Sınırsız sulama genişlemesi.

Deri alanı, tükenmez genişlemenin son chi'sinin yardımı için basit alt alanından ortaya çıkar. Bu bölmede, önce cebirsel, sonra transandantal olmak üzere sayısız alanların açılımları görülür.

4.1. Cebirsel olarak kapalı alanlar

Belirli bir alanın cebirinin genişlemesi arasında, özellikle cebirin daha fazla genişlemesine izin vermemek için cebirin maksimum genişlemesi ile önemli bir rol oynar. Bu tür uzatmaların gerekçesi bu paragrafa getirilecektir.

W alanının cebirin maksimum uzantısı olması için, zihni ilerletmek gerekir: W[x] çemberinin dış polinomu lineer çarpanlara ayrıştırılabilir. Tsya zihin yeterlidir. Gerçekten de, W[x]'deki bir ten polinomu lineer çarpanlara ayrıştırıldığından, o zaman W[x] 'deki tüm basit polinomlar lineerdir ve W alanının W" cebirinin herhangi bir uzantısının cidar elemanları, herhangi birinin kökü gibi görünür. lineer zengin terim x - a'da W[x] , yani W alanının gerçek öğesi a ile çalışır.

O damo için aynı kader:

W alanına cebirin kapanması denir, çünkü W [x] içindeki herhangi bir polinom lineer faktörlere ayrıştırılabilir.

Aynı derecede önemli olan şudur: W alanı cebirsel olarak kapalıdır, böylece W[x]'deki polinom W[x]'de tek köklü, yani W[x]'de tek bir lineer çarpanlı ayrı bir polinom olabilir. .

Gerçekten de, bu kadar akıllı bir vikonan ve oldukça fazla alım olarak, polinom f (x) ayrıştırılmamış faktörlere ayrıştırılır, o zaman tüm pis koku suçlanır, ancak doğrusaldır.

"Cebir Temel Teoremi", karmaşık sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu belirtir. Cebirsel olarak kapalı bir alanın yaklaşan bir poposu, tüm karmaşık cebirsel sayıların alanı olabilir, böylece kişisel olmayan karmaşık sayılar, rasyonel katsayılarla herhangi bir eşitlikten memnun olmak gibi. Karmaşık kök, cebir є katsayılarına eşittir ve gerçekten cebirsel sayılar alanı üzerinde değil, aynı zamanda alan üzerinde de cebirseldir. rasyonel sayılar, yani kendileri cebirsel sayılardır.

Burada, yeterince verilen bir P alanının tamamen cebirsel bir şekilde kapalı bir cebirsel uzantısının nasıl indükleneceğini göstereceğiz. Steinitz böyle uzanmak için

Ana teorem. P cilt alanı için, cebir W'nin kapalı bir cebirsel uzantısı. Tam olarak eşdeğerliğe kadar, uzantı benzersiz bir şekilde tanımlanır: P alanının cebirsel olarak kapalı iki cebirsel uzantısı W, W "eşdeğerdir.

Bu teoremlerin ispatı, lem fazlalığından kaynaklanmaktadır:

Lemma 1. W, P alan cebirinin bir uzantısı olsun. yeterli akıl W'nin cebirin bir kapanışı olması için, є W[x] halkasındaki P[x]'teki herhangi bir polinomun lineer faktörlerine genişleme.

getiriyor. f(x), W[x]'ten ek bir polinom olsun. Eğer vin lineer çarpanlara ayrıştırılmazsa, o zaman üst üst alan W'ye gelmek için a i 'nin kökü alınabilir. a öğesi W üzerinde cebirseldir ve W, P alanının cebirinin bir uzantısıdır; P[x] cinsinden sonraki polinom g(x)

Önerme 2. Eğer P alanı bütünsel olarak sıralanmışsa, o zaman P[x] polinomlarının halkası bütünsel olarak sıralanabilir ve bu sıralı P alanı üçlü olacağı ölçüde bütünsel olarak sıralanabilir.

getiriyor. P[x]'teki f(x) polinomları arasındaki sırayı aşağıdaki gibi önemli ölçüde değiştirin: let f(x)

1) f(x) adımı, g(x) adımının daha küçük bir türüdür;

2) adım f(x) daha fazla adım g(x) ve daha fazla n, o zaman.

f(x) = a 0 x n + ...+ bir n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i sonraki dizin k için:

ve ben = b ben için ben

bir k

Eğer öyleyse, 0 polinomu için suçlama verilir: ona bir adım 0 atanır. P [x]'in tamamen sıralı olduğu anlamda, sıraya girmenin böyle bir yolunun olduğu açıktır. Aşağıdaki gibi gösterilecektir: ciltte boş olmayan çoğul zengin segmentlerde, en küçük derecede zengin segmentlerin boş olmayan bir alt-çoklu vardır; bu kadar iyi bir sayı olmasın.Her altkatta, zengin terimlerin boş olmayan bir alt katı vardır, katsayı 0'dır, bu da büyük bölümlerin ortasındaki ana mertebe anlamında birincidir. bakılan zengin terimler; atanan є alt çarpanında, ilk a 1 ile zengin terimlerin kendi satır alt çarpanına sahip olmak vb. minimnosti, seçimde ardışık olarak muzaffer olan); bu polinom, verilen çarpanın ilk elemanıdır.

Önerme 3. Eğer P alanı bir bütün olarak sıralanırsa, n aşamasının zengin terimi f(x) a 1 ..., a n, sonra P alanını (a 1 ,..., a n) simgeler. hangi f(x) doğrusal çarpanlarda genişletilecek

Õ(x-a i), tek sıra ve bir bütün olacak

emir. Sensi tsiy'deki P Alanı є vіdrіzkom.

getiriyor. Kök a 1 ..., n art arda ekliyoruz, ardından P = P 0 art arda Р 1 , ..., Р n alanlarını kazanıyor. Diyelim ki R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - alan zaten indüklendi ve P, R i-1 ile bir sözleşmedir; o zaman R ben öyle olacağım.

2. problemden önce, polinomlar Р i-1 [x] halkası bir bütün olarak sıralanmıştır. Polinom f, her kіltsi'de, ortası ilk sırada x - a 1 ,..., x - a i-1 olan ayrılmaz faktörlere ayrıştırılır; diğer çoğullar arasında açık düzen anlamında ilki f i(x) olsun. Zengin f i (x) teriminin kökünü belirten a i sembolü ile birlikte, toplamların toplamı olarak P i = P i -1 alanını belirtiriz.

de h zengin terim f i(x)'in adımıdır. Eğer f i (x) lineer ise, o zaman, elbette, P i = P i -1; a i karakteri gerekli değildir. Ek saldırı istihbaratı için sahayı bir bütün olarak teşvik edin: sahanın dış unsuru

belki zengin bir üye

Ve alanın öğeleri, zengin terimlerinin sıralanmasıyla aynı şekilde sıralanır.

Açıkçası, aynı Р i-1, Р i ile ilgili ve buna і P - Р i ile ilgili olarak.

Tim alanları P 1 ,..., P n kendileri bir bütün sıralama ile motive edilir. Р n alanı, ilk P(a 1 ,..., a n) alanı tarafından benzersiz bir şekilde aranabilir.

Lemma4

getiriyor. Herhangi iki a, b öğesi için, a, b ve herhangi birinin yerini alacak şekilde iki Sa , S b alanını birleştirin. Kısık alanda, a + b ve a × b öğeleri, cilt alanındaki öğelere atanır, böylece a ve b'nin intikamı alınabilir, çünkü bu tür iki alan diğerinin ve yogo alt alanının bir ilerisindedir. Örneğin, birlik yasasını getirmek için

ab g = bir bg,

orta alanları S a , Sb, S g diğer iki alanı (en büyüğü) kapsayanları biliyoruz; yeni birlik vikonano yasasında a, b ve gi hangi alanda var? Aynı şekilde birlikteliğin unsurlarının hesaplanmasına ilişkin reshta kuralları da revize edilmiştir.

Ana teoremin ispatı bölümlere ayrılmıştır: W alt alanı ve birliğin ispatı.

Pobudov alanları W. Lemma 1, P alanının görünüşte cebirsel olarak kapalı bir uzantısı W için, P alanının cebirinin böyle bir uzantısını indüklemenin yeterli olduğunu kanıtlıyor, böylece P[x]'deki polinom bu uzantılar üzerinde genişletilebilir. lineer çarpanlara dönüştürülür.

1. P f є ob'ednannyam alanı P alanı, g için tüm S g alanları

2. P f alanı, P ve tüm S g alanları g ile olacak şekilde sıralanmıştır.

3. S f alanı R f'den, ek a 1 ,..., a n sembollerinden sonra zengin f teriminin verilen köklerine gelir ve lemi 3'e kadar geçerlidir.

Bu şekilde, Р f , Sf alanlarının tüm sıralamasının, tüm sipariş alanı tarafından açıkça atanabileceğini ve ayrıca tüm ileri olanlar Р g , S g zaten daha sık atandığını belirtmek gerekir.

Yakshcho vikonano 3, daha sonra nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 alanının P i cilt alanı S g (g

Р - vіdrіzok S h at h

S g - g'de çift S h

P i alanları gibi geliyor S h (h b, yak Pf'ye kaydedilebilir. Aynı düzen tüm alanlarda bir ve aynıdır P abo S g yak yak yak a, yani ib, bunun için tüm ts alanı є v_drіzkami birinden biri. Otzhe, düzen kurmak için atanır. Tamamen kişisel olmayan olarak sıralananlar, açıkçası, deri boş olmadığı için kişisel olmayan x Р f'de deyakogo alanının çalışmasının en az bir öğesinin intikamını almak için S g ve bu, x x Ç İş x Ç S'nin ilk öğesidir. g. Bu eleman bir saattir є i ilk eleman x.

Aklınıza 3 baktığımızda, polinom f(x) yine S f alanında lineer faktörlere ayrıştırılır. Ayrıca, transfinit tümevarımın yardımıyla, S f'nin P üzerinde cebirsel olduğu gösterilmiştir. Gerçekten de, tüm alanların S g (g) olduğu varsayılır.

Şimdi tüm Sf alanlarının W havuzunu saklıyoruz; zgіdno z lemoy 4 є alanını kazandı. Tüm alan cebirsel olarak P üzerindedir ve tüm zengin terimler f onun üzerinde genişletilir (küçük tenli polinomlar f zaten S f üzerinde genişletilir). Ayrıca, W alanı cebirsel olarak kapalıdır (Lema 1).

W alanının birliği. W ve W", P alanının cebirsel ve kapalı cebirsel uzantıları olan iki alan olsun. Bu alanların eşdeğerliğini de getirelim. Bu argümanlardan biri tarafından da kabul edilir) submultiple ¢ W " ve bazı izomorfizm

P(Â) @ P(¢).

Mayıs ayının geri kalanı, yaklaşan yinelenen kıvılcımlardan memnun olacak.

1. P(Â) @ P(¢) izomorfizmi, sahadaki P alanının deri elemanının tükenmesinden kaynaklanmaktadır.

2. ÁÌ Â ile P(Â) @ P(¢) izomorfizmi, P(Â) @ P(Á") izomorfizminin bir uzantısı olabilir.

3. Eğer Â, kalan a öğesiyse, yani  = ÁÈ(a) ise ve a, P (Á)'de ayrıştırılamayan zengin f(x) teriminin kökü ise, o zaman a" öğesi P(Á) @ P(I") cinsinin ilk kökü için, iyi düzenlenmiş bir W" alanında bir f¢(x) polinomu için suçlama.

P(Â) @ P(¢) izomorfizminin, şaraplar ÁÌ Â'nın tüm ön kenarları için zaten atamalar olmasına rağmen, aynı şekilde etkin bir şekilde atandığını göstermek gerekir. Burada iki noktayı ayırt etmek gerekiyor.

İlk damla. Kişisel olmayan  öğenin geri kalanına sahip olamaz. Aynı deri eleman, şarkı söyleyen ön kama Á üzerinde durmalıdır; buna  є Á'nin birleşik sulamalarına, buna P(Â) - ÁÌ Â için kümülatif P(Á) alanlarına. P(Á) @P(Á") izomorfizmlerinden gelen kaplama elemanları öncekilerden devam ederse, tüm bu izomorfizmlerle birlikte kaplama elemanı a'ya yalnızca bir eleman a" verilir. Bu nedenle, bir ve birden fazla P(Â) → P(¢) bükülmesi vardır; bu, tüm ileri izomorfizmler P(Á) → P(Á") ve bükülmenin kendisi a®a" ile devam eder. Bir izomorfizm ve 1 ve 2'nin bir kombinasyonu olduğu açıktır.

Bir damla daha. Anonim maє kalan eleman a; ayrıca,  = ÁÈ(a). Son olarak, a öğesiyle ilişkili a" öğesi benzersiz olarak atanır. a" P(I") alanı üzerinde (analiz edilen eşbiçimlilik anlamında) i a bölü P(I)'ye tutarsız bir şekilde eşit olan "aynı"yı sağladığından, o zaman P(I) → P(I") izomorfizmi (eğer I boşsa, o zaman aynı P®P izomorfizmi) P(I, a) ®P(I", a¢ izomorfizmasına gider ), bir a" geçtiğinde. Dermal izomorfizm, derinin önerisiyle açık bir şekilde tanımlandı, bu nedenle genel dilin katsayıları ile rasyonel kutanöz fonksiyon j(a) Á'nin eşdeğer katsayıları ile j "(a") fonksiyonuna geçer. ) ® P(¢) açıkça 1 ve 2 ile eşleşir.

Bu şekilde, P(Â)→P(¢) izomorfizminin ikamesi tamamlanır. Önemli bir şekilde W" yoluyla tüm P(¢) alanlarının genelleştirilmesi; o zaman cilt alanında P alanının bir öğesini içermeyen bir P(W)®W" veya W®W" izomorfizmi vardır. W alanı cebirsel olarak kapalı olduğundan, bu nedenle W " ve buna W", gerekli W¢ alanıyla eşleştirilir.

Belirli bir alanın cebirsel olarak kapalı bir uzantısının anlamı, eşdeğerliğe kadar cebirsel alanın olası uzantılarının üstesinden gelmek mümkün olduğu için aynıdır. Daha kesin:

W, P alanının cebirinin cebirsel olarak kapalı bir uzantısıysa ve S, P alanının oldukça cebirsel bir uzantısıysa, o zaman W'nin ortasında S'nin bir uzantısına eşdeğer olan S 0'ın genel bir uzantısı vardır.

getiriyor. S'yi belirli bir kapalı cebirsel uzantıya W" uzatabiliriz. Cebirsel ve P'nin üzerinde ve dolayısıyla bir W uzantısına eşdeğer olacaktır. S alanı, yoma alt alanı S 0W'ye eşdeğer bir deak'e geçer.

4.2. Aşkın genişlemeyi bağışlayın.

Dış yüzey, D[x] polinomları halkasının özel D(x) alanına görünüşte eşdeğer olan D alanının aşkın bir uzantısıdır. Bu mi vivchimo tse özel alanına

W alanının elemanları rasyonel fonksiyonlardır

Teorem. n aşamasının aşkın elemanı h, D üzerinde aşkındır, çünkü D(x) alanı, n aşamasının D(h) alanının cebirinin bir uzantısıdır.

getiriyor. h = f(x)/g(x) gönderimi kısa ömürlü değildir. Aynı öğe x memnun

g(x)×h - f(x)=0

D(h) katsayıları ile. Katsayı sayıları sıfıra eşit olamaz. Gerçekten de, eğer tüm kokular sıfıra eşitse ve aynı dünyada ak harfi bi x polinomunun sıfır olmayan bir katsayısı g (x) ve b k - polinomun sıfır olmayan bir katsayısı f (x), o zaman annenin eşit olması yeterli olmaz

yıldızlar h = b k / ak = const, ki bu bir batıl inançtır. Yine, x öğesi D(h) üzerinde cebirseldir.

Eğer h elemanı D üzeri cebirsel ise, o zaman x yine de D bölü iki cebirseldir, ancak bu böyle değildir. Yine, h öğesi D üzerinde aşkındır.

x öğesi, n adımının zengin teriminin köküdür.

D(h)(z) halkasında. Bu polinom D(h)[z]'de ayrıştırılamaz, kırıklar da vin bouv bi kіlci D'de ayrıştırılabilir, і, vin kırıkları h'de doğrusaldır, maw bi'nin katlarından biri mümkün değildir h veya daha az z yatırmak için. Ancak böyle bir çarpan olamaz, çünkü g(z) ve f(z) karşılıklı olarak basittir.

Ayrıca, x öğesi, n cebirinin D(h) alanı üzerindeki bir adımıdır. Yıldızlar katıdır, yani (D(x) : D(h)) = n

Bir ortalama için, zengin bir üyenin olması önemlidir.

sadece z'nin yakınında (D[z]'nin yakınında uzanmak için) bulunan katlar yoktur. Tse katılaşması geçersiz kılınır, h değeri f (x) / g (x) ile değiştirilirse ve g (x) afişi ile çarpılırsa, biz kendimiz bir polinomuz.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D çarpan yok, sadece vіd z'ye düşüyor.

Yukarıda getirilen teoremlerden üç açıklama var.

1. Fonksiyon adımı h - f(х)/g(х) sadece D(h) ve D(x) alanlarına yerleştirilmelidir, x'i oluşturan başka bir elemanın seçiminde değil.

2. Rivnist D(h) = D(x) aynı değerden küçüktür, eğer h 1'den küçükse, bu bir doğrusal doğrusal fonksiyondur. Tse şu anlama gelir: alanın ana öğesi, x öğesinin suçu, x gibi kesirli-doğrusal bir işlev ve yalnızca böyle bir işlev olabilir.

3. D alanının bir öğesini tuval üzerinde bırakan D(x) alanının herhangi bir otomorfizmi, x öğesini alanın herhangi bir öğesine çevirmekle suçludur. Geriye dönersek, x bir üst öğeye x = (ax + b) / (cx + d) ve cilt işlevi j (x) - y işlevi j (x) olarak çevrilirse, tüm D öğeleri bırakıldığında bir otomorfizm ortaya çıkar. hedef üzerinde. otze,

D alanı üzerindeki D(x) alanının tüm otomorfizmleri, doğrusal doğrusal ikamelerdir.

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Bazı geometrik başarılar için önemli

Lurot teoremi. DÌSID(x)'in basit aşkın uzantılar olduğu dış görünüm-ara alan S: S = D(q).

getiriyor. x öğesi S üzerinde cebirsel olmaktan suçludur, çünkü eğer h - eğer S'nin herhangi bir öğesi D alanına ait değilse, o zaman gösterildiği gibi, x öğesi D (h) üzerinde cebirseldir ve hatta S üzerinde daha da cebirseldir. S [z] kıdemli katsayı 1 ve kök x ile zengin terim görünebilir

f 0 (z) \u003d z n + bir 1 z n -1 + ... + bir n. (bir)

Z'yasuєmo Budov'un zengin üyesi.

Elemanlar a i є rasyonel fonksiyonlar x. їх uyuyan bir afiş ile çarpma yardımı için, onu birçok rasyonel işlevle kullanabilir ve ayrıca 1 yerine x іz gibi zengin bir terim alabilirsiniz:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Polinomun adımları m cinsinden ve z cinsinden - n cinsinden önemlidir.

a i \u003d b i / b 0 z (1) katsayıları x'te bağımsız olamaz, böylece x aksi takdirde D üzerinde cebirsel bir eleman olarak görünür; yani onlardan biri, söyle,

q = bir ben = b ben (x) / b 0 (x),

aslında x'e karşı ifade vermekten suçludur; Kısa bir bakışla yogayı yazalım:

g(x) ve h(x) polinomlarının adımları m'yi geçmez.

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(bu aynı sıfır değildir) eğer kök z = x ise, vin S[z] halkasında f 0 (z) ile bölünebilir. Eğer zmist 1 ile x zengin terimler açısından üçüncü rasyonelden x zengin terimler cinsinden tsilih'e gitmek istiyorsanız, bölünebilirliğinizi kaydetmelisiniz, biz de onu alalım.

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Bu eşitliğin sol tarafında x boyunca adımlar vardır, ancak t hareket etmez.Sağdaki Ale zaten f stupіn t'nin zengin bir üyesidir; otzhe, sol kısmın adımları tam olarak eski ve q(x, z) x'te yer almıyor. Ancak, sol kısmı bölmek için bir z çarpanından daha azını yatırmak mümkün değildir (böl. daha fazla); buna göre q(x, z) bir sabittir:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

q sabitinin mevcudiyeti bir rol oynamadığından, Budov polinomu f(x, z) tam olarak açıklanmıştır. x'deki f(x, z) polinomunun adımları daha ileridir (simetrinin simetrisi ile) ve z'deki adımlar daha ileridir, yani m = n. adım sayısı m x.

Kendimizi Tim, bir taraftaki kırıklar eşit ayarlandı

(D(x):D(q)) = m,

ve geri kalanı için - kıskançlık

D(q)'nun intikamını almak için bu parçalar,

Visnovok.

Robotlar şöyle görünüyordu, P sayısal alanının genişlemesine bakın:

Alan cebirinin basit bir uzantısı.

Cebir alanının depo genişlemesi.

Ayrılabilir ve ayrılmaz uzantılar.

Sulamanın sınırsız genişlemesi.

İşi analiz ederek, deaky visnovki oluşturabilirsiniz.

Z, genişlemenin ilk iki bölümüne baktı, örneğin:

cebirin basit açılımı;

genişleme sonu;

cebirin depo genişlemesi.

Daha sonra, zbіgayutsya і, zokrema uzantılarını görürseniz, P alanının basit cebirsel uzantıları tarafından çizilir.

Referans listesi

1. L.Ya. Kulikiv. Cebir ve sayılar teorisi. - M.: Vishch. Okul, 1979.-528-538'ler.

2. B.L. Van der Waerden. Cebir.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Shmigirov, S.V. İgnatoviç. Zengin terimler teorisi. -Mosir 2002.

Bu çalışmanın hazırlanması için siteden materyaller topladık