Cebirsel ve aşkın sayılar. aşkın sayılar aşkın sayılar

yani a = 1 için bize geometrik ilerlemenin toplamının amacına hizmet etti. Gauss teoreminin ispatlandığını varsayarak, a = a 1'in eşit kök olduğu varsayılır (17),

Virase s f(x) ve yeniden gruplandırma terimleri göz önüne alındığında, aynılığı dikkate alıyoruz

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − bir n 1 ) + bir−1 (xn−1 − bir n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Şimdi (20) formülünü inceleyerek, deri elemanından x − a 1 çarpanını görebiliriz ve sonra yay için Yogo'yu suçlayabiliriz, ayrıca yaylarda kalan zengin üyenin ayakları bir olur. az. Yeni üyeleri yeniden gruplandırıyoruz, aynılığı ortadan kaldırıyoruz

f(x) = (x − a1 )g(x),

burada g(x), n - 1 adımının zengin bir terimidir:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(b ile bilinen katsayıların hesaplanması, burada biz aranacağız.) Aynı hesaplamayı g(x) polinomundan uzaklaştırmak gerekir. Gauss teoremine göre, a2 karekökü g(x) = 0'a eşittir, yani

g(x) = (x − a2 )h(x),

burada h(x), n - 2 adımının yeni bir polinomudur.

Aynılıktan (22) sadece a1, a2 karmaşık sayıları değil,

An, eşitliğin (17) kökünün ve eşit (17) başka kökü olmayanların özüdür. Doğru, yakbi sayısı y eşit (17)'nin köküydü, sonra s (22) bi'yi kaydırdı

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - bir) = 0.

Ale mi bachili (s. 115) yani karmaşık sayıların sıfıra eklenmesi bu ve daha az bu şekilde, çarpanlardan biri olarak sıfırdır. Ayrıca, y−ar çarpanlarından biri 0'a eşittir, bu nedenle y = ar, ayarlamak için gereklidir.

§ 6.

1. Amaç bu beslenme nedenidir. Herhangi bir x sayısına cebirsel sayı denir;

130 MATEMATİKSEL SAYI SİSTEMİ ch. II

de sayılar ai sayılar. Yani, örneğin, 2 sayısı cebirseldir, eşit olmaktan memnun olana

x2 − 2 = 0.

Aynı cebirsel sayı sıralamasında kök olup olmadığı, üçüncü, dördüncü, beşinci tüm katsayıları ile eşit olup olmadığı, dünya olup olmadığı ve bağımsız olarak ayrıca ifade edilip edilmeyeceği ifade edilebilir. radikaller tarafından. Cebirsel sayı kavramı, rasyonel sayı kavramının n = 1 okremy düşüşünü doğrulayacak şekilde doğal bir kavrayışıdır.

Her gerçek sayı cebirsel değildir. Tse vipliva z saldırgan, Kantor ile teoremler: rachunkiv cebirinin tüm sayılarının kişiliksizliği. bo bezlich usikh gün numaraları ayırt edilemez, o zaman obov'yazkovo cebirsel olmadığı için gerçek sayıları kullanmaktan kaynaklanmaktadır.

Kişisel olmayan cebirsel sayıları çözme yöntemlerinden birine işaret edelim. Görünüme eşit görünüm (1) hedef sayıya eşit

h = | bir | + | bir-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

stil uğruna, buna “yüksek” eşit diyoruz. Deriye kadar sabit değer n, yalnızca h yüksekliği ile (1) formuna eşit son sayıdır. Bu tür eşitliklerden cilt, n kökten fazla olabilir. Bunun için, yüksekliği h olan eşitler tarafından üretilen cebir sayılarının yalnızca son sayısını kullanmak mümkündür; baba, her şey cebirsel sayılar O zaman yükseklik 1'e eşit olarak doğdukları için - yükseklik 2 vb.

Kişisel olmayan cebirsel sayıların kimliğinin bu kanıtı, cebirsel olmadıkları için gerçek sayıların temelini oluşturur. Bu tür sayılara aşkın denir (Latin transcendere'den - üzerinden geçin, ters çevirin); Euler ona öyle bir isim verdi ki, "cebir yöntemlerinin sıkılığını altüst etmek" kokuyor.

Cantor'un aşkın sayıların temeline ilişkin kanıtı, yapıcı sayılardan önce yer almaz. Teorik olarak, tüm cebir sayılarının onlarca açılımından oluşan açık bir liste üzerinde gerçekleştirilen ek bir diyagonal prosedür için aşkın bir sayı oluşturmak mümkündür; Ancak böyle bir prosedür herhangi bir pratik önemden kurtuldu ve onlarca (veya başka herhangi bir) drib'de yazılabilecek bir sayıya yol açmayacaktı. Aşkın sayılarla ilgili sorunların çoğu, peevn, belirli sayıların (burada p ve e sayıları, bölüm 319-322 hakkında) aşkın olduğunu kanıtlamakla ilgilidir.

**2. Liouville teoremi ve aşkın sayıların inşası. Aşkın sayıların temelinin kanıtı Cantor'dan önce J. Liouville (1809-1862) tarafından verildi. Bu tür sayıların örneklerini fiilen oluşturmamızı sağlar. Lіouvil'in kanıtı, Cantor'un kanıtından daha düşük, daha önemlidir ve şaşırtıcı değil, bir popo inşa etmek için kırıklar, iltihaplı görünen, katlanmış, temeli getirmek için daha alçak. Liouville'in ispatı daha aşağıdadır, belki de ispatı yeterli temel matematik bilgisi ile anlamak isteyen eğitimli bir okuyucuya daha az benziyor.

Lіouville'i gösterdiği gibi, irrasyonel cebirsel sayılar, rasyonel sayılarla zaten büyük bir doğruluk derecesine sahip olamayacakları güce sahiptir, sadece yaklaşık oldukları kesirlerin pankartlarını almayın, süper harika.

z sayısının tamsayı katsayılı cebir denklemini sağladığını varsayalım.

ama alt basamağın böyle bir tesviyesinden memnun değilsiniz. Todi

Görünüşe göre x'in kendisi, n derecesinin cebirinin sayısıdır. Yani mesela,

z = 2 sayısı, cebir seviyesi 2'nin sayısıdır, böylece x2 − 2 = 0√ seviyesi 2. seviyeden tatmin olur, ancak birinci seviyenin seviyesi tatmin olmaz; z = 3 2 - adım 3, x3 - 2 = 0 ile tatmin olur, ancak (bölüm III'te gösterdiğimiz gibi) alt kademe ile tatmin olmaz. Adım n > 1'in cebirsel sayısı

rasyonel olamaz, çünkü rasyonel sayı z = p q

qx − p = 0 seviyesini karşılar adım 1. Cilt irrasyonel sayı z, bir dereceye kadar doğrulukla, ek bir rasyonel sayı ile tahmin edilebilir; rasyonel sayıların sırasını her zaman gösterebileceğiniz anlamına gelmez

p1, p2,. . .

q 1 q 2

Volodya Tim-

ne ne

p r → z. kare

Liouville teoremi şaşırtıcıdır: n > 1 adımının z cebir sayısı olmasaydı, ek bir rasyonele daha yakın olamazdı.

büyük afişçileri bitirmek için obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Teoremi kanıtlamayı seçiyoruz ve daha önce ek yardım için aşkın sayıların nasıl elde edilebileceği gösterilecek. sayıya bakalım

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + sabah · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000. . . ,

de ai, 1'den 9'a kadar belirli sayılar anlamına gelir (tüm ai'leri 1'e eşitlemek daha kolay olurdu) ve n sembolü! . . n. Böyle bir sayının onuncu dağılımının karakteristik gücü, grup olan, dohinalarının arkasında hızla büyüyen, sıfır gibi görünen okremi rakamlarıyla yenisinde sıfırlar çizilenlerdir. Önemli ölçüde zm aracılığıyla, tüm üyeler düzende am · 10−m'ye kadar alınırsa, kararlaştırılan onuncu drіb'in sonu! dahil. Todi gerginliği gider

z'nin n adımının cebir sayısı olduğunu varsayalım. Todi, Lіouville'in gerginliğine saygı göstererek (3) pq = zm = 22:00! , biz suçlu anneleriz

|z - zm | > 10(n+1)m!

yüksek m değerlerinde. Geri kalan düzensizliğin sinirlilik ile karşılaştırılması (4) evet

yıldızlar takip eder (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 büyük m için. Alece, n'den büyük m değerleri için yanlıştır (okuyucunun bu iddianın ayrıntılı bir kanıtını vermeye çalışmasına izin verin). Süper netlik yaptık. Ayrıca, z sayısı aşkındır.

Geriye Liouville teoremini bitirmek kalıyor. z'nin (1) denklemini sağlayan n > 1 dereceli cebir sayısı olduğunu varsayalım, böylece

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + bir (zm n - zn).

zm − z üzerinde aşağılayıcı parçalarla uğraşmak ve cebirsel bir formülle çekirdek almak

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u - v

kabul ediyoruz:

zm doğru z olduğundan, o zaman büyük m'ye ulaştığınızda, zm sayısının birer birer küçük olarak hesaba katılması rasyoneldir. Bu nedenle, büyük m dozunu almak için böyle kaba bir tahmin elde edebilirsiniz:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

üstelik, sağlak olmak için M sayısı sabittir, z kırıkları ispat işlemi sırasında değişmez. Vibero şimdi döşeme harika, salak

kesir z m = p m standart q m daha yüksek, daha düşük M; ayrıca metrekare

böylece çarpanı (x − zm ) f(x) polinomundan da görmek mümkün oldu, i, ayrıca, z alt alt n'nin seviyesinden memnundu. Otzhe, f(zm) 6= 0. Eşitliğin sağ tarafında Ale rakamı (9) Böyle bir şekilde, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) ve (9) vyplyaє nerіvnіst

hala depo zmіst zaznachenї teoremi.

Geriye kalan birkaç on yıllık zaman diliminde, cebirsel sayıları rasyonel sayılarla tahmin etme olasılığı çok uzaklara gitti. Örneğin, Norveçli matematikçi A. Sal (1863–1922), Liouville eşitsizliğinin (3) bir n + 1 üssünün daha küçük bir n 2 + 1 ile değiştirilebileceğini buldu.

Daha da küçük (daha küçük) alabileceğinizi gösteren Siegel

daha büyük n ile) gösterge 2 n.

Matematikçilerin saygısını kendilerine perçinledikleri için aşkın sayılar her zaman bir konu olmuştur. Ale, günün ortasının son saatine kadar, güçlü güçler tarafından tsіkavі gibi, çok fazla değildi, bu tür bulo'nun aşkın doğası kuruldu. (Bölüm III'te olduğu gibi, p sayısının aşkınlığı nedeniyle, bir cetvel ve bir pusula yardımıyla kazığı karelemenin imkansızlığı.) Paris Uluslararası Matematik Kongresi'ndeki konuşmasında 1900 r. David Hilbert otuz matematiksel ilahi söylüyor

basit formüllere izin veren problemler, deyakі - temel ve daha popüler zovsіt zovsіt, bir nedenden dolayı sadece vilіshena değil, aynı zamanda navіtі bina tarafından verilmedi, ancak bu çağın matematikçileri tarafından izin verildi. Qi "Hilbert'in sorunları", önümüzdeki dönemde matematiğin gelişimine güçlü bir uyanma çağrısı yaptı. Mayzhe'nin tüm kokularına adım adım izin verildi ve zengin vipadkalarda virishennia, daha çirkin ve glib yöntemleri anlamında açıkça tezahür eden başarılardan kaynaklanıyordu. Umutsuz olanın uğraşmaya cüret ettiği sorunlardan biri

sayının kanıtı

є aşkın (chi wanta b irrasyonel). Otuz yıl boyunca, başka birinin tarafından beslenmesi için böyle bir pide baskı yapmak mümkün olmadı, bu da başarı umudunu artırdı. Zreshtoyu, Zigel ve bağımsız olarak genç Rus matematikçi A. Gelfond, zenginliğin aşkınlığını kanıtlamak için yeni yöntemler keşfetti.

matematiğin anlamı anlamına gelebilecek sayılar. Zokrema, Bulo takılı

Hilbert sayısı 2 2 gibi aşkınlık ve ab biçimindeki büyük bir sayı sınıfına inci tamsayı, burada a cebirsel bir sayıdır, bir kural 0 ve 1'dir ve b irrasyonel bir cebirsel sayıdır.

RAZDILU II'YE EK

katların cebiri

1. Sıcak teori. Sınıf kavramı, sukupnostі, ki kişisel olmayan nesneler - matematikte en temel olanlardan biri. Kişisel olmayan, nesnenin cilt analizlerinin annesinin veya annesinin hatası olan bir deaco gücü (“nitelik”) A anlamına gelir; bu nesneler, sanki A gücü olabilir, A'nın gayri şahsiliğini kurarlar. Dolayısıyla, sayıları görebildiğimiz kadarıyla, A'nın kuvveti "affetmek" içindir, o zaman A'nın gayri şahsiliği olağan asaldan oluşur. sayılar 2, 3, 5, 7, . . .

matematik teorisi katlar, ek işlemler için yeni çarpanlar oluşturmanın mümkün olduğu gerçeğinden ortaya çıkar (benzer şekilde, o çarpanı ek katlama işlemi için sayılardan olduğu gibi, yeni sayılar ortaya çıkar). Vyvchennya işlemleri "çoklu cebir" konusu olmak için çarpılır, çünkü büyük bir sayısal cebir ile zengin bir şekilde tutarlı olabilir, nedenini ve içinde olduğunu görmek ister. Cebir yöntemlerinin, kişisel olmayan, illüzyon gibi sayısal olmayan nesneleri dahil etme noktasına kadar kademelendirilebilir olması.

modern matematiğin fikirlerinin büyük bir yakınsama akışı. Saatin geri kalanında, çarpma cebirinin matematiğin zengin büyüsüne, örneğin dünya teorisine ve hayali şeyler teorisine yeni bir ışık tuttuğu açıktı; vona korisna aynı zamanda bir saatlik sistematizasyondur matematik anlamak bu z'yasuvannі їх mantıksal zv'yazkіv.

Nadal, postiynu kişisel olmayan nesnelerin deakını, bu tür baiduzh'un doğasını ve buna evrensel kişiliksizlik (veya mirkuvannya evreni) diyebileceğimiz gibi, ve

A, B, C, . . . I, tüm doğal sayıların çoğulluğuysa, A, diyelim ki, tüm çift sayıların yokluğu, B - eşleşmemiş tüm sayıların yokluğu, C - tüm asal sayıların yokluğu vb. anlamına gelebilir. , o zaman A bu payın ortasında anlamsız bir nokta olabilir, B - başka bir payın ortasında anlamsız bir nokta vb. Meta, sanki böyle bir genişlemeyi takip ediyormuş gibi, bu pozisyonun kurtarılmasına alay ediyor, cilt otoritesi A, otorite gücüne yol açacak birçok unsur gösteriyor. Zaman zaman, A є evrensel olarak vykonuvan otoritesi olarak, poposu hizmet edebileceğiniz (sayılar hakkında bulabileceğiniz gibi) otorite, x = x önemsiz eşdeğerliğini karşılar, o zaman bir çarpan durumunda I'in kendisi olacağım, deri elemanı böyle bir yetkiye sahip olabilir; diğer taraftan, dahili olarak süper güçlü bir güç olarak A є olarak (kshtalt x 6 = x üzerinde), o zaman elementlerin intikamını almak mümkün değildir, “boştur” ve bir sembol ile gösterilir.

A çarpanı, B çarpanının alt çarpanıdır, kısacası, “A B'ye girer” veya “B, A'nın intikamını alır”, çünkü çarpan A, çarpanla aynı olmayan böyle bir öğeye sahip değildir. B.

A B veya B A.

Örneğin, 10'a bölünebilen tüm tam sayıların kişisel olmayan A'sı, 5'e bölünebilen tüm tam sayıların kişisel olmayan B'sinin alt katıdır, bu nedenle 10'a bölünebilen cilt numarası da bölünebilir. 5. A B, B A'yı içermez.

Tse, cilt elemanının A є aynı zamanda B elemanının geri geldiği anlamına gelir, bu nedenle aynı elemanları değiştirmek için A ve B'yi çarpın.

Spivvіdnoshennia AB mizhiny, spіvіdnoshennia a 6 b mizh sayılarını tahmin etmek açısından zengin. Zokrema, açıkça izlendi

bu spіvvіdnoshennia'nın gücünü üflemek:

1) A A.

2) AB ve BA ise, A = B.

3) A B ve B C gibi, sonra A C.

Spіvvіdnoshennia AB nedenleriyle bazen "sipariş vermek" olarak adlandırılır. Golovna Vidmіnniy Analiz Edildi SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA Birinde Polega sayısında 6 b mayın, a і b sayılarının inek kuzeni bir rezerv değil analog iddiası yanlış. Örneğin, 1, 2, 3 sayılarından oluşan A kişisel değildir.

ve B, 2, 3, 4 sayılarından toplanan bir çarpandır.

o zaman A B veya B A için zaman yoktur. A, B, C, olduğunu söylemek için hiçbir neden yoktur. . . çarpanlar I є “kısmen sıralı”, etkin sayılar a, b, c, ile aynıdır. . .

“tam sıralı” bir düzen oluşturun.

Saygılarımla, diğerlerinin yanı sıra, A ve B arasında hiçbir fark olmadığını, eğer A çarpanı olmasaydı, I çarpanı,

Güç 4) biraz paradoksal olabilir, ancak bunun hakkında düşünürseniz, atanan işaretin tam olarak değişmesine mantıksal olarak tabidir. Doğru, spіvvіdnoshnya A sadece kırıldı

içinde o vipadka'ya, sanki boşmuş gibi, birçok öğe, b A'nın intikamını almayan öğeyi yanlış yerleştirdi; ama bu yüzden, boş bir kişisel olmayan gibi, unsurlardan intikam almayın, o zaman A olmasaydı, olamazsınız.

Şimdi, zengin cebirsel yetkililerin, bu sayıların çokluğunu eklemelerine resmen izin veren, çarpımlar üzerinde önemli iki işlemiz, iç zmіsto zovsі zovsі tsikh aritmetik diy. A ve B iki çarpan olsun. "Mantıksal toplam" terimleri altında, A ve B, A veya B'de bulunan sessiz öğelerden oluşan kişisel olmayanı anlar.

içinde B (A ve B'de bulunabilecek öğeler dahil). Bu çarpan A + B ile gösterilir. 1 "Peretina" veya "mantıksal yaratım" altında, A ve B'de bulunabilen sessiz öğelerden oluşan A ve B kişisel olmayan olarak anlaşılır. Bu çarpan AB.2 ile gösterilir.

A + B ve AB operasyonlarının cebirinin önemli güçleri arasında, saldırı boğulmuş durumda. Okuyucu, işlemlerin amacına bağlı olarak adaleti tersine çevirebilir:

Tüm bu yasaların yeniden doğrulanması sağdaki en basit mantıktır. Örneğin, kural 10), öğelerin kişisel olmadığını, A veya A'nın veya kişisel olmayan A'nın olduğunu belirtir; Kural 12), eğer A'daysalar ve aynı zamanda B veya C'deyseler, A ve B'de veya A ve C'deyseler, kişisel olmayan öğelerdir, benzer bir tür kanıtlamada vykoristovuyutsya sanki kişisel olmayan A, B, C, 'yi hayal edebiliyormuşuz gibi elle çizilmiş kurallar. . . karede bu tür figürlerin görünümünde, iki kümenin ana elemanlarının varlığı veya tam tersine varlığı hakkında varsa, mantıksal olasılıkları kaçırmamak için bu açıdan daha saygılı olacağız. diğerinde bulunmayacaksa, bir eleman kümesinden.

6), 7), 8), 9) ve 12) yasalarına saygısını yitirmiş olan bir okuyucu, kuşkusuz, sonik cebirin iyi bilinen değişmeli, birleştirici ve dağıtıcı yasalarıyla aynı olarak adlandırılır. Zvіdsi viplivaє, scho tse kuralları zvichaynoї cebiri, yakі z tsikh yasaları, kümelerin cebirinde etkilidir. Navpaki, kanunlar 10), 11) ve 13) orijinal cebirin benzerleri yoktur ve cebire birçok basit yapı verirler. Örneğin, çarpmaların cebirindeki binom formülü en basit eşitliğe indirgenebilir.

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

yasa gereği 11). Kanunlar 14), 15) ve 17) bunlardan bahsedecek olursak, I çoğullarının sayı bakımından kuvveti o sayıyı ekleme işlemi öncesindeki terim bakımından 0 ve 1 sayılarının kuvvetine benzerdir. sayısal sayıların işlemi ve bu çoğulların eklenmesi. Ale kanunu 16) sayısal cebirde benzerine sahip değildir.

Kümeler cebirinde bir işlem daha verilecek. A evrensel çarpan I'in alt çarpanı olsun. Dolayısıyla, I'deki A katkısı altında, A'da değilse bile I'nin tüm öğelerinin gayri şahsiliği anlaşılabilir. Çarpan için A0 değerini sunuyoruz. Dolayısıyla, eğer I tüm doğal sayılarda kişisel değilse ve A tüm asal sayılarda kişisel değilse, o zaman tüm depo numaralarından ve 1 numaralı otoriteden toplanan A0 kişisel değildir:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Bu yetkilerin yeniden doğrulanması chitachev'i yeniden nadaemo.

Kurallar 1)-26) kümelerin cebirinin temelini oluşturur. Saldırgan duyumdaki "ikiliğin" mucizevi gücünün kokusu:

Yasalardan birinde olduğu gibi 1)–26) bire bir değiştirin

(dermal girdi için), sonuç olarak bu yasalardan biri yeniden ortaya çıkar. Örneğin, yasa 6) yasa 7'ye dönüşür), 12) - 13'te), 17) - 16'da) adil. tomurcuk. , Sembollerin permütasyonlarının ek anlamları için ilk çıkan "Dvіyna" їth teoremi. Doğru, kanıt parçaları

Hedef. II CEBİR MNOZHIN 139

İlk teorem, 1-26 numaralı yasaların ardışık durgunluğundan (yürütülecek uzlaşmanın farklı aşamalarında) oluşur, daha sonra depodaki “iki” yasanın son aşamalarındaki durgunluk, “ çift” teoremi. (Böl. Kısım IV'ün geometrisindeki böyle bir "çiftelik" dürtüsünden dolayı.)

2. Zastosuvannya matematiksel mantığı. Çarpmalar cebiri yasalarının yeniden doğrulanması, A B'yi ve A + B, AB ve A0 işlemlerini mantıksal olarak yorumlamanın analizine dayanıyordu. Şimdi bu süreci tersine çevirebilir ve 1)–26) yasalarını "mantık cebiri"nin temeli olarak kabul edebiliriz. Daha kesin olarak söylemek gerekirse: mantığın bu kısmı, bakılan nesnelerin güçleri veya aslında aynı olduğu için, yasalara dayanan resmi bir cebirsel sisteme indirgenebilir 1) –26). Mantıksal "akıllı her şeyi bilme" kişisel olmayan Ben'i ifade eder; dermal güç A, güç olabileceği gibi, sessiz nesnelerden I oluşan kişisel olmayan A'yı ifade eder. En mantıklı terminolojiyi dile çevirme kuralları

Cebir açısından, "her A є B için ve her B є C için, sonra her A є C için" anlamına gelen bir "Barbara" kıyas vardır, basit görünüyor:

3) AB ve BC ise, AC.

Benzer şekilde, “bir nesnenin aynı anda hem böyle bir güce önderlik edemeyeceğini hem de yönetemeyeceğini” doğrulayan “direnç yasası” izleyici tarafından kaydedilir:

20) AA 0 = ,

a “İçerilen üçüncünün yasası”, yani “nesne anneyi suçlamaktır, ancak iktidarın diyakozu için anneyi suçlamak değildir” diye yazılmıştır:

19) A+A0=I.

Bu şekilde, +, · ve 0 sembolleri açısından görüldüğü gibi mantığın bu kısmı, 1)–26 yasaları altında formel bir cebir sistemi olarak yorumlanabilir. Mantıksal bir matematik analizi temelinde ve matematiksel analiz mantığın yeni bir disiplini yaratıldı - matematiksel mantık, hiçbiri çalkantılı gelişim sürecini azarlamıyormuş gibi.

Aksiyomatik bakış açısından, 1)-26) ile doğrulanan bu mucizevi gerçeğe saygı nedeniyle, kümeler cebirinin diğer teoremleriyle birlikte, aşağıdaki üç eşitlikten mantıksal olarak görülebilir:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Çarpımlar cebirinin, aksiyom olarak kabul edilen bu üç konum temelinde, Öklid geometrisi temelinde tümdengelimli bir teori olarak motive edilebileceği açıktır. Aksiyomatik olarak kabul edildiği gibi, AB işlemi ve A B önermesi A + B ve A0 terimleriyle tanımlanır:

Çarpanların cebirinin tüm biçimsel yasalarının kullanıldığı başka bir matematiksel sistem örneği, sekiz sayı 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 ile verilmiştir: burada a + b şu anlama gelir: ,

a і b'nin en yüksek, en düşük katı, ab - en yüksek dіlnik a і b, a b - sertlik "b a ile bölünür" ve a0 - sayı 30 a. su-

Bu tür uygulamaların temeli, yasaları karşılayan aşırı cebirsel sistemlerin gelişmesine neden oldu 27). Bu tür sistemlere "Boole cebirleri" denir - 1854'te "Düşünce yasalarının araştırılması" adlı kitabı olan İngiliz matematikçi ve mantıkçı George Boole (1815-1864) onuruna.

3. Taşınmazlık teorisinin önündeki duraklardan biri. Cebir, taşınmazlık teorisine çok daha yakın olabilir ve ona yeni bir ışık altında bakmanıza izin verir. En basit örneğe bir göz atalım: en son olası nasledkiv sayısından kendi deneyimizi yapalım, yakі hepsi "eşit derecede yetenekli" gibi düşünüyor. Örneğin bir deney, iyi karıştırılmış yeni bir desteden bir kart çekebileceğimiz gerçeğine dayanabilir. Deneyin tüm sonuçlarının çarpanı I ile anlamlıysa ve A, bunun I'in bir alt çarpanı olduğu anlamına geliyorsa, o zaman deneyin sonucunun A'nın alt çarpanına kadar uzanıyor gibi görünme olasılığı bir uzantı olarak gösterilir.

p(A) = A'daki eleman sayısı. I'deki eleman sayısı

Herhangi bir A çarpanındaki eleman sayısını n(A) olarak düşünürsek, eşitliğin geri kalanı şuna bakarak verilebilir.

Çoğul cebir fikirleri, mümkünse, bazı çoğulların hareketsizliğini bilerek, diğerlerinin hareketsizliğini saymak için aynı olasılıkları hesaplarken ortaya çıkar. Örneğin, p(A), p(B) ve p(AB) dinamiklerini bilerek, p(A + B) dinamiklerini hesaplayabiliriz:

Onu getirmek önemli değil. anneannem

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB),

A ve B'de aynı anda işgal edilebilecek element parçaları, daha sonra n(A) + n(B) toplamı sayılırken AB'nin elemanları dikkate alınır ve bu nedenle, n(AB) almak gerekir. ) n(A + B) toplamından bölme harfi doğrudur. n(I)'deki denkliğin bir kısmından suçluları gücendirelim, kendiliğindenliği (2) ortadan kaldıracağız.

Dışarı çıkmak için formül Cіkavіsha, yani yaklaşık üç çarpan A, B, C z I vardır.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Bir önceki paragraftaki yasa (12) bize (A + B) C = AC + BC'yi verir. Sesler çığlık atıyor:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

(2)'den alınan p[(A + B)C] değerini ve p(A + B) değerini önceki sırada değiştirerek, gerekli formüle ulaşırız:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Bir popo gibi, saldırgan bir deneye bakabiliriz. Üç sayı 1, 2, 3 herhangi bir sırayla yazılır. Rakamlardan birinin tepe (duyarlı numaralandırmada) uzayına dayalı olarak kabul edilmesinin anlamı nedir? A, 1 sayısının ilk sıraya mal olması gereken kişisel olmayan bir permütasyon olsun, B - 2 sayısının başka bir yere mal olması gereken kişisel olmayan bir permütasyon, C - 3 sayısının üçüncü sıraya mal olması gereken kişisel olmayan bir permütasyon . p(A+B+C) hesaplamamız gerekiyor. farkettim ki

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

etkili bir şekilde, rakam doğru yerde duruyormuş gibi, o zaman iki hanenin çözümünü ana sayıdan 3 2 1 = 6 olası üç haneli permütasyondan yeniden düzenlemek için iki olasılık vardır. dali,

Doğru. p(A + B + C + D) için geçerli bir formül girin ve 4 basamaklı deneye kadar bekleyin. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0.6250.

n çarpımı birleştirmek için ortak bir formül görünebilir

bir, iki, üç, intikam almak için kombinasyonlar. . . , (n − 1) A1 , A2 , sayısından harf. . .

bir. Bu formül, ek matematiksel tümevarımdan sonra eklenebilir - tıpkı formül (3)'ün formül (2)'den tanıtılması gibi.

Formül (4)'ten, n tane 1, 2, 3, olacak şekilde bir demet eklemek mümkündür. . . n herhangi bir sırayla yazılırsa, rakamlardan birinin uygun bir yere yaslanmasını kabul etme yeteneği daha fazladır.

ayrıca, kalan üyenin önünde, eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş olanları çağıran bir + veya - işareti vardır. Zokrema, n = 5 için

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0.6333. . .

VIII bölümünde, uyumsuzluk yoksa viraz olduğunu bilmek isteriz.

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! - . . . ±n!

1 e arasında, anlamı Komi'den sonra beş işaretle,

bir 0.36788. (5) formülünden pn = 1 − Sn olduğu açıktır, o zaman yıldız açıktır, n → ∞ için

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

"Aşkın" kelimesi, aşkın meditasyon ve çeşitli ezoterizm ile ilişkilidir. Ancak yogayı doğru yaşamak için asgari olarak yogayı "aşkın" teriminden diriltmek ve azami olarak Kant'ın robotlarında ve diğer filozoflarda yoganın rolünü tahmin etmek gerekir.

Latince transcendens'e benzemek anlaşılabilir - "geçmek", "geçmek", "ötesine gitmek". Genel olarak, şaraplar, ampirik bilgiye önemli ölçüde erişilemeyen veya kanıtlara dayalı olanlar anlamına gelir. Neoplatonizmin viniklische felsefesi terimini yeniden düşünün - doğrudan Plotin, Bir hakkında bir vchennya yaptı - tamamen iyi pershopochka, çünkü düşünceleri aklın yardımıyla, hassas bir zihnin yardımı olmadan tanımak imkansızdır. "Bir yok, ama Yogo baba" - filozofu açıklıyor.

En son “aşkın” terimi, Immanuel Kant'ın felsefesinde, de vin vikoristovuvsya'yı karakterize etmek için geliştirildi, bilgi için açıkça vazgeçilmezdir ve bedenlerimizin nasıl hassas olduğunu, pratikte ve teoride olduğu gibi prensipte tanınmaz bırakılmıştır. Aşkınlığın çoğalması - : ister nesnenin kendisi ile olduğu gibi görünmezlik, ister iç bağlantı, ister nesnenin üzerinde tanınması anlamına gelir. özel sertifika. Örneğin, harika bir fikrin ardındaki Yaratılışların Tüm Dünyasının bizim için aşkın olduğunu düşündüğünü varsayalım - yalnızca yeni bir şey hakkında hipotezler yapabiliriz. Yine de, benim anladığım kadarıyla, bu doğru ve bizim için sonuçları içkin, tüketebileceğimiz fiziksel yasaları ve koşulları etkiliyor. Bu nedenle, bazı teolojik kavramlarda, Tanrı aşkındır ve onun izmaritleri tarafından yaratılan perebuvaet duruş.

Aktüel konuşmalar hâlâ a priori bilgiyle erişilebilir durumdadır: örneğin, uzay ve zaman, Tanrı fikirleri, iyilik ve güzellik, mantıksal kategoriler. Tobto aşkın nesneler - zihnimizde mecazi olarak görünen "çizginin arkasında"

Matematikte aşkın doğa ile ilgili ifade: aşkın bir sayı, ek cebir kullanılarak veya cebirsel olarak hesaplanamayan bir sayıdır (yani, sıfır ile aynı olmayan çoklu katsayılı zengin bir terimin kökü olamaz). Girmeden önce, örneğin, π і e sayıları.

Anlamak, "aşkın"a yakın ve hatta anlamların ötesinde - "aşkın". Arkada, sadece soyut rozum kategorilerinin alanı anlamına geliyordu ve yıl sonuna kadar Kant'ı yetiştirmiş, vlasnu'dan makarna içmişti: felsefi sistemi yalnızca ampirik verilere dayandırmak imkansızdı, ama öyleydi. Şarabı bilmeden başkalarının eskilerini, ampirik suçları tanımak imkansızdır. Geri dönmek için, filozoflar bazı konuşmaların hala a priori bilgiyle erişilebilir olduğunu kabul etme şansına sahip oldular: örneğin, uzay ve zaman, Tanrı fikirleri, iyilik ve güzellik, mantıksal kategoriler. Bu aşkın nesneler - mecazi olarak görünüşte, zihnimizde "beynin arkasına yerleştirilmeden önce" - onlarla ilgili bilgilerin apaçık olduğu ve bilgimizden ortaya çıkmadığı.

Tartışmalı bir anlayış daha var - aşkınlık. Geniş anlamda “vono” kelimesi, iki farklı bölge arasındaki kordona geçiş, özellikle bu dünyanın küresinden geleceğin küresine, aşkın olana geçiş anlamına gelir. Basit olması için bilimkurgudan bir örnek alalım: Paralel bir dünya. Harika insanlar- aşkın tezahürü. Ancak kahraman paralel ışığında içtiyse, rütbenin yoga spriymati inşası, tse aşkınlık tarafından tezahür ettiği görülüyor. Ancak varoluşçu felsefenin çarpıcı bir örneği: Jean-Paul Sartre, bir kişinin aşkın olduğunu anladıktan sonra, parçalar herhangi bir olası ıslak gerçeğin sınırlarının ötesine geçmeyecektir: navkolishniy svit farklı yönlerden, ama her durumda kendimizi tam olarak tanımaya yaklaşamayız. Ale, bir kişi bir anda aşkınlık kurabilir: bir nehir olup olmadığını aşar, ona bir anlam verir. Aşkınlık dinde önemli bir unsurdur: İnsanların maddi doğalarında büyümelerine ve yabancı bir şeye ulaşmalarına yardımcı olur.

Aşkınlık kavramı felsefeden psikolojiye geçmiştir: İsviçreli psikolog Carl Jung "aşkın işlev" kavramını geliştirmiştir - bu anlaşılmazlıkla birlikte giden aynı işlev. Zocrema, aşkın işlev bir psikanalist tarafından üstesinden gelinebilir - hastanın görünmeyen (örneğin rüya görme) görüntülerini analiz etmesine ve bunları bir kerede kendi psişik süreçlerinden göstermesine yardımcı olur.

Yak konuşma

Yanlış "Aşkın meditasyon kursuna kaydoldum." Bu doğru - "aşkın".

Bu doğru, "Tapınağa gittiğimde aşkın bir şey izliyorum."

Doğru olarak, “Aşkınlık sanatı bize nesneleri en büyük ışıkla anımsatan maddi dünyadaki nesneleri tanır.”

İlya Şchurov

Matematikçi Illya Shchurov, Pi sayısının onlarca kesri, aşkınlığı ve mantıksızlığı hakkında.

“Yalnızlık” ilk etapta ve o büyük imparatorluğa ilham vermeye nasıl yardımcı oldu? İnsanların aklını nasıl uçurdun? Kuruşların ortaya çıkmasında nasıl bir rol oynadı? Yak "bir" sıfırla birleşti, hükmetmek için modern dünya? Tekliğin tarihi, Avrupa uygarlığının tarihi ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Terry Jones, en basit sayımızın muhteşem geçmişini bir araya getirme yöntemiyle mizahi bir şekilde daha pahalıya virüs hayasıdır. Bu programda bilgisayar grafikleri yardımı ile farklı şekillerde canlanıyor. Yalnızlığın tarihinden, yıldızlar bugün ortaya çıktı ve sıfırın hataları gibi, vryatuvav, Roma rakamlarını kazanma ihtiyacının ışığında.

Jacques Cesiano

Diophantus hakkında çok az şey biliyoruz. Vin, Oleksandriya'da yaşıyor. Yunan matematikçilerinin hiçbiri bunu 4. yüzyıla kadar çözemedi, çünkü ymovirno, 3. yüzyılın ortalarında yaşıyor. Diophantus'un robotunun başı "Aritmetik" (Ἀριθμητικά), bölünecek 13 "kitabın" (βιβλία) koçanı üzerine alındı. Bugün bunlardan 10 tanesine sahip olabiliriz ve kendi içinde: 6 tanesi Yunanca metinde ve 4 tanesi de orta Arapça çeviride, birkaç tanesi Yunanca kitapların ortasında: kitaplar I-III, Yunanca, IV-VII, Arapça, VIII -X Yunanca . Diophantus'un "Aritmetiği" programın ilerisinde, sadece 260'a yakın. Teoriler, görünüşte doğru, hiçbir şey; Kitabın başında daha fazla genel talimat yoktur ve gerekirse diğer yönetmenlere daha fazla özel saygı gösterilir. "Aritmetik" zaten cebirsel bir inceleme gibi görünüyor. koçanı üzerinde Diophantus farklı işaretler, schob vyslovlyuvati nevidome bu yogo adımı, ayrıca hesabı deakі; ortadaki tüm cebirsel semboller gibi, sembolizmi de matematiksel kelimelere benzer. Ardından Diophantus, cebir yöntemini kullanarak problemin nasıl çözüleceğini açıklar. Ancak Diophantus'un görevi birincil anlamda cebirsel değildir, böylece her şey tanımsız bir eşitin yüksekliğine veya bu tür eşitlerin sistemlerine indirgenebilir.

George Şabat

Kurs programı: Tarih. İlk dereceler. її çapında bir hissenin tutarlılığı sorunu. Neskіchennі satırları, π için vrazi'yi yaratın. Zbіzhnist ve її yakіst. Virazi, intikam almak için ne π. π'ye kadar hızla yakınsayan diziler. Modern yöntemlerπ hesaplaması, bilgisayar sayısı. π ve diğer sayıların mantıksızlığı ve aşkınlığı hakkında. İleri bilgi kurs için gerekli değildir.

Oxford Üniversitesi'nden yetkililer, art arda gün sayısını belirtmek için (101 sayısında olduğu gibi) 0 sayısının erken tanıtımlarında, Bakhshali'nin Hint el yazmasının metnini dikkate alması gerektiğini söyledi.

Vasil Pispanen

"En büyük sayıyı adlandırın" grubundaki çocuklar tarafından kim kazınmaz? Milyoni, trilyoni ve diğer "-onlar" zaten sorunsuz bir şekilde düşüncelerde görülebilir, ancak matematikteki "mastodon"u - Graham'ın sayısını - çözmeye çalışacağız.

Viktor Kleptsin

Doğru sayı, rasyonel sayılarla tam olarak tahmin edilebilir. Ve eğer nazikçe yaparsak, birbirimize yaklaşabilir miyiz - yoga katlama ile uyumlu mu? Örneğin, kırılma onuncu giriş sayılar x açık k'inci basamak bundan sonra, x≈a/10^k yakınlığını 1/10^k mertebesinde bir af ile alıyoruz. I vzagali, yaklaşan kesirde q bayrağını sabitledikten sonra, kesinlikle 1/q düzeyinde bir af ile yaklaşımı alabiliriz. Ve neyi daha iyi yapabilirsin? Herkesin bildiği gibi, π≈22/7 yakınlığı 1/1000 mertebesinde bir af sağlar - bu açıkça daha iyi, daha düşük düzeltilebilir. Neden? Niye? Kurtulduk, π neden є'ye bu kadar yakın? Herhangi bir irrasyonel sayı є için, kendisine daha yakın olan p / q kişisel olmayan kesirler için 1 / q ^ 2'den daha düşük görünüyor. Tseverzhuє Dirichlet'in teoremi - ve mi pochnemo kursu standart olmayan bir kanıttır.

1980'de Guinness Rekorlar Kitabı, Gardner'ın iddialarını tekrarladı ve bu sayıya kadar halkın ilgisini daha da artırdı. Graham'ın sayısı adına kat sayısı daha fazla, daha düşük aksi takdirde evde iyi büyük sayılar, yani, googol, googolplex ve navit daha fazlası gibi, daha düşük Skewes numarası ve Moser numarası. Gerçekte, tüm dünya birinin Graham'ın kendi onuncu kaydını alması için çok küçük.

Dmitro Anosov

Dersler, Rusya Bilimler Akademisi Akademisyeni, Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru Anosov Dmitro Viktorovich'i okudu. Yaz Okulu "Modern Matematik", Dubna. 16-18 Nisan 2002

Besin zincirine doğru cevap vermek mümkün değil, kırıklar sayı serisiüst sınırı aşmayın. Yani, belirli bir sayıya kadar, sayıyı daha da fazla almak için bir tane daha eklemek yeterlidir. Sayıların kendileri sınırlı olmamakla birlikte, adları o kadar zengin ve zengin değildir, bu nedenle çoğu, daha küçük sayılardan toplanan isimlerle tatmin olur. İnsanların güçlü isimleri için yığdığı son sayılar kümesinde en fazla olabileceklerini fark ettim. Ama nasıl denir ve neden eşittir? Hadi, bir şekilde anlamaya çalışalım ve enfeksiyonu tanıyalım, matematikçiler bazı harika sayılar buldular.

numara aranır cebirsel yakscho, çok sayıda katsayıya sahip, deaky zengin bir terimin köküdür.

bir n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(yani eşit kökü bir n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de bir, bir n-1, ..., 1, 0--- sayılar, 1, 0).

Kişisel olmayan bir cebirsel sayı, anlamlı bir şekilde bir harftir. .

Bir rasyonel sayının cebirsel olup olmadığını görmek kolaydır. Doğru, - nehrin kökü qx-p=0 birçok katsayılı 1 = qі 0 =-p. otze, .

Ancak, tüm cebirsel sayılar rasyonel değildir: örneğin, sayı eşitliğin köküdür. x 2 -2 = 0, otzhe, --- cebirsel sayı.

Eski saate dokunulmadan kaldı, matematik beslenmesi için önemli: ? 1844'ten daha az, Lіouville'in kaderi ilk önce aşkın (tobto. cebirsel olmayan) bir sayı örneğinde bulunur.

Ayın ilk gününde, aşkınlığının kanıtı daha da katlanabilir. Sayısal çarpmaların denkliğine ve denk olmamasına dikkat çekerek, transandantal sayılar temelinde teoremi çok daha basit bir şekilde getirmek mümkündür.

Ve kendisi, kişisel olmayan cebirsel sayıların Rakhunkov olduğunu getirebiliriz. Ancak, tüm gerçek sayıların parçaları eşit değildir, cebirsel olmayan sayıların tabanını ayarlayabiliriz.

Karşılıklı olarak açık bir şekilde ayırt edelim ve bir düzine ile . Tse anlamlı, sho - İyi ki rakhunkovo. bira oskilki , sonra neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Hadi - cebir sayısını azalt. Kökü є olan katsayı sayısı ile tüm zengin terimlere bakalım ve zengin terimlerin ortasını seçelim. P minimum adım (böylece daha küçük adımın tüm katsayılarıyla aynı zengin terimin kökü olmayacak).

Örneğin, rasyonel bir sayı için, böyle bir polinom adım 1'e ve sayılara - adım 2'ye sahip olabilir.

Zengin bir üyenin tüm katsayılarını bölelim P en büyük uyuyanlarına. Katsayısı aynı anda karşılıklı olarak basit olan polinomu alıyoruz (en büyük uyuyanları 1'dir). Zreshtoyu, kıdemli katsayı olarak bir vіd'єmniy, polinomun tüm katsayılarını ile çarpıyoruz -1 .

Zengin terimin (yani, kökü sayı olan, mümkün olan en küçük adım, karşılıklı olarak basit katsayı ve pozitif kıdemli katsayı olabilen büyük katsayılı zengin terim) çıkarılmasına, en düşük zengin terim denir. sayı.

Böyle bir polinomun benzersiz bir şekilde atandığı kanıtlanabilir: bir cebirin dış yüzey sayısı tam olarak bir minimal polinom olabilir.

Bir polinomun gerçek köklerinin sayısı alt basamaktan büyük değildir. Ayrıca, böyle zengin bir terimin köklerini (örneğin büyüme için) numaralandırabilirsiniz.

Şimdi, cebir sayısı olsun, minimal zengin terimiyle (yani katsayıları kümesiyle) ve polinomun diğer köklerinden farklı olan sayıyla tanınacaktır: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Daha sonra, dış cebirsel sayı için, son tam sayılar kümesinin ayrımını belirledik, üstelik bunu benzersiz bir şekilde bu küme takip ediyor (böylece farklı sayılara farklı kümeler veriliyor).

Tüm asal sayılar büyüme sırasına göre numaralandırılır (çok zengin olduklarını göstermenin bir önemi yoktur). Affedilmez diziyi ortadan kaldırıyoruz (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Şimdi bir tamsayı kümesi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) TV'nin içine koyabilirsin

(Bu sayı daha pozitif ve rasyoneldir, ancak sayıların ortası bile doğal değildir. 0, 1, ..., bir n-1, olumsuz olabilir). Saygılarımızla, sayı kısa ömürlü değildir, kırıklar basit çarpanlardır, sayı defteri ve afişin düzenlenmesinden önce girilir, fark. Pozitif sayılar ve kıtalar içeren kısa olmayan iki kesrin, sayılar eşit olsalar bile, bu їх eşit kıtalardır.

Şimdi bir tuz tanesi ile bakalım:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki farklı cebir sayıları, farklı tam sayı kümeleri ve farklı kümeler belirledi --- farklı rasyonel sayılar, o zaman biz, bu sırayla, bir çokluk arasında karşılıklı olarak kesin bir geçerlilik kurduk. ve bir düzine ile . Bu nedenle, kişisel olmayan cebirsel sayılar önemlidir.

Kişisiz reel sayıların parçaları ayırt edilemez, cebirsel olmayan sayıların tabanını getirdik.

Ancak, muhakeme teoremi neyin nasıl belirleneceğini göstermez. bütün sayı cebirsel. Ve beslenme bazen matematik için önemlidir.

aşkın sayı

birçok katsayılı herhangi bir cebir eşitlemesinden (Böl. Cebirsel eşitleme) memnun olmayan bir sayı (dіysne abo yavne). Bu sıralamada T. h. cebirsel sayılara atanır. Іsnuvannya T.H. ilk olarak J. Liouville'i (1844) kurmuştur. Liouville için doğru nokta, belirli bir standarda sahip rasyonel bir kesrin herhangi bir yaklaşıklık sırasının irrasyonel cebirsel sayıya yeterince yüksek olamayacağını belirten teoremdi. En cebirsel sayı a cebirin indirgenmemiş eşitini karşılar n birçok katsayı ile, daha sonra herhangi bir rasyonel sayının yalnızca yatırılması için α ). Bu nedenle, belirli bir irrasyonel sayı için, herhangi bir irrasyonel sayı için eşitsizliğin indüksiyonunu karşılamayan kişisel olmayan rasyonel yaklaşımları göstermek mümkündür. hі n(herkes için biraz ve sessiz), sonra α є T. h. Böyle bir sayının poposu evet:

R. Kantor (1874), tüm cebirsel sayıların kişiliksizliğinin ayırt edilebilir olduğunu (böylece tüm cebirsel sayıların yeniden numaralandırılabileceğini; div. Çokluk teorisi), o zaman tüm gerçek sayıların kişiliksizliğinin değişmez olduğunu belirtti. Kişisel olmayan T. h.

T. h. teorisinin en önemli görevi, argümanın cebirsel değerleri ile diğer aritmetik aritmetik güçlere sahip olabilecek analitik fonksiyonların değerini açıklama amacıdır. Hangi ailenin görevi, modern matematiğin en önemli görevinin önünde yatmaktadır. U 1873 Ş.

1882'de Alman matematikçi F. Lindemann daha önemli bir sonuç aldı: α cebir sayısı olduğundan, eα - T. h Lipdeman'ın sonucu, örneğin geniş bir silindirik fonksiyon sınıfının değerinin cebir argümanının değerleriyle aşıldığını kanıtlayan Alman matematikçi K. Siegel (1930) tarafından önemli ölçüde ağırlaştırıldı. 1900'de Paris'teki Matematik Kongresi'nde, D. Hilbert, matematiğin dokunulmaz 23 problemi arasında saldırganlığa işaret etti: chi є aşkın sayı α β , de α і β - cebirsel sayılar, üstelik β - irrasyonel sayı, i, zokrema, chi є aşkın sayı e π α β bula ilk olarak özel formda L. Euler, 1744). Sorunun dış versiyonu (sağlam anlamda) 1934'te A. O. Gelfond tarafından aşağı yukarı dikkate alındı. Gelfond, zokrema'nın ifadesinden, doğal sayıların onlarca logaritmasının (yani, “tablo logaritmalar”) hepsinin T. h. Teori yöntemleri T. h.

Aydınlatılmış.: Gelfond A. O., Transandantal ve cebirsel sayılar, M., 1952.

Büyük Radianska Ansiklopedisi. - M: Radianska Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde böyle bir "Aşkın sayıya" hayret edin:

Herhangi bir sayıda katsayılı cebirin herhangi bir eşitinden memnun olmayan bir sayı. Transandantal sayılar є: sayı? 3.14159...; sıfırlarla temsil edilmeyen herhangi bir tam sayının onuncu logaritması; sayı e = 2.71828 ... ta içinde ... Harika ansiklopedik sözlük

- (Latin transcendere git, dön) tse recheve abo karmaşık sayı yani cebirsel olmayan, çok katsayılı zengin bir terimin kökü olamayacak bir sayı. Zmist 1 Güç 2 ... ... Vikipedi

Herhangi bir sayıda katsayılı cebirin herhangi bir eşitinden memnun olmayan bir sayı. Aşkın sayılar є sayı π = 3.14159...; sıfırlarla temsil edilmeyen herhangi bir tam sayının onuncu logaritması; sayı e = 2.71828... ta in. ansiklopedik sözlük

Aynı cebiri karşılamayan bir sayı. qіlimi katsayıları ile nіu. yıl. є: sayı І = 3.14159...; sıfırlarla temsil edilmeyen herhangi bir tam sayının onuncu logaritması; sayı e = 2.71828... ta in. Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Aynı katsayılara sahip aynı zengin terimin kökü olmayan sayı. Bu tür sayıların kapsamı, gerçek, karmaşık ve radyal sayıların sıfırıdır. Açıkça T. h. obguruntuvav J. Liouville'in eylemini tetikleyen Іnuvannya ... Matematiksel Ansiklopedi

Eşittir, є cebirsel değildir. Fiyatı eşit olarak adlandırın, gösterilebilir, logaritmik, trigonometrik, tersinir trigonometrik fonksiyonlar, örneğin: Atama şu şekilde: Transandantal eşit değer ... Wikipedia

Yaklaşık 2.718 olan sayı, matematik ve doğa bilimlerinde sıklıkla kullanılır. Örneğin t saatinin bitiminden sonra radyoaktif konuşma bozulduğunda, konuşma süresinin sonunda daha pahalı olan e kt, de k sayısı, ... Collier Ansiklopedisi

E matematiksel bir sabit, doğal logaritmanın temeli, irrasyonel ve aşkın bir sayıdır. Başka bir deyişle, e sayısına Euler numarası (birinci türden sözde Euler sayılarıyla karıştırmayın) veya Napier numarası denir. Küçük Latince "e" harfi ile gösterilir.

E matematiksel bir sabit, doğal logaritmanın temeli, irrasyonel ve aşkın bir sayıdır. Başka bir deyişle, e sayısına Euler numarası (birinci türden sözde Euler sayılarıyla karıştırmayın) veya Napier numarası denir. Küçük Latince "e" harfi ile gösterilir.