Eksenlerin paralel transferi ile değişen atalet momentleri. Eksenlerin paralel hareketi ile kesme atalet momentlerinin değiştirilmesi

Kesmenin atalet momentlerinin değiştirilmesi paralel aktarım eksenler.

Statik momentlere ek olarak, üç tane daha gelişmiş integrale bakıyoruz:

Önceden, x ve y aracılığıyla, temel alan dF'nin mevcut koordinatları, yeterince alınan bir xOy koordinat sisteminde biliniyordu. İlk 2 integral denir eksenel atalet momentleri x ve y eksenlerinin seçimi açıktır. Üçüncü integral denir merkez atalet momenti fazla kesme peki x, y. Eksen momentleri her zaman pozitiftir, çünkü alan dF pozitif olarak kabul edilir. Merkezi atalet momenti, x, y eksenleri boyunca kesim boyunca genişleme şeklinde nadasa bağlı olarak hem pozitif hem de negatif olabilir.

Eksenlerin paralel transferi ile atalet momentinin dönüşüm formülünü göstereceğiz. (Div resmi). Önemli olarak, x 1 ve y 1 eksenleri için atalet momentlerini ve statik momentleri ayarlamamız gerekiyor. x2 ve y2 eksenlerinin momentlerini hesaplamak gerekir.

Burada değiştirme x 2 \u003d x 1 -a ve y 2 \u003d y 1 -b Bilinen

Eğri yaylar, belki.

Eksen x 1 ve y 1 merkezi ise, o zaman S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 ve otrimani virazi şöyle der:

Eksenler paralel olarak hareket ettirildiğinde (örneğin, eksenlerden biri merkezidir), eksenel atalet momentleri, eksenler arasındaki enine kesit alanını artıran bir miktarda değişir.

2. Eksenlerin genişliği boyunca alanın statik momentleri Özі Oy(bölüm 3, m 3):

4. Eksenlerin genişliği boyunca merkezi atalet momenti Özі ah(bölüm 4, m 4):

Oscilki, daha sonra

eksen jzі Jy o kutup J p atalet momentleri her zaman pozitiftir, integral işareti altındaki parçalar başka bir dünyanın koordinatlarıdır. Statik anlar Szі sy, ayrıca merkezi atalet momenti Jzy hem olumlu hem de olumsuz olabilir.

Rulolar için haddelenmiş çelik aralığında, modülün arkasındaki merkez momentlerin değerleri belirtilir. Rozrahunkalar, işaretin iyileştirilmesi için anlamlarını kazanmak için aşağıdakilere sahiptir.

Bobinin merkez noktasının işaretinin belirlenmesi için (Şekil 3.2), yalnızca çevrenin dörtte birine yayılmış kısımları için sayılan üç integralin toplamı gibi göründüğü dikkat çekicidir. koordinat sistemi. 1. ve 3. çeyreklerde yayılan parçalar için, integralin pozitif bir değerine sahip olacağımız açıktır, zydA pozitif olacak ve II ve IV çeyreklerde yayılan kısımlar için hesaplanan integraller negatif olacaktır (tvir zydA negatif olun). Otzhe, şek. 3.2 ve merkezi atalet momentinin değeri negatif olacaktır.

Rozmirkovuyuchi, yeniden kesme için benzer bir sıralama, böylece bir bütün simetri istiyorsanız (Şekil 3.2, b) bir visnovka yapabilirsiniz, yani eksenlerden biri (Oz veya Oy) kesime tamamen simetrik olduğundan, merkezi atalet momenti J zy sıfıra eşittir. Kesinlikle, su merkezinin 1 ve 2 çeyreğindeki triko, roztashovannyh kısımları için atalet momentleri sadece bir işaret ile çıkarılır. III. ve IV. mahallelerde de birkaç parçanın bulunduğu söylenebilir.

Statik anlar Önem merkezine atanır

Çok çeşitli eksenler için hesaplanabilir statik momentler Özі OyŞekilde gösterilen dikdörtgen. 3.3.

Pirinç. 3.3. Statik momentlerin hesaplanmasına kadar

Burada: ANCAK- Geçiş alanı, y Cі z C- Ağırlık merkezinin koordinatları. Dikdörtgenin ağırlık merkezi köşegenlerde değiştirilir.

Açıkçası, statik momentlerin hesaplandığı eksen şeklin ağırlık merkezinden geçerse, koordinatları sıfıra ulaşacaktır ( z C = 0, y C= 0), i, formül (3.6), statik momentlere benzer ve sıfıra eşittir. bu şekilde, çapraz geçişin ağırlık merkezi, böyle bir güce sahip olabilecek noktadır: eksen ne olursa olsun, içinden geçmek için statik moment,sıfır.

Formüller (3.6), ağırlık merkezinin koordinatlarını bilmeyi mümkün kılar z Cі y C yeniden kesmek katlanır form. Yakshcho peretin görüşte verilebilir n ağırlık merkezi alanında olan parçalar, daha sonra tüm kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması şu şekilde yazılabilir:

.

(3.7)

Eksenlerin paralel transferi ile değişen atalet momentleri

Eylemsizlik momentlerini göreyim jz, Jyі Jzy shodo eksenleri Oyz. Atalet momentini hesaplamak gerekir JZ, JYі JZY shodo eksenleri Ö 1 YZ, eksenlere paralel Oyz(şekil 3.4) a(yatay) ve b(dikey olarak)

Pirinç. 3.4. Eksenlerin paralel transferi ile değişen atalet momentleri

İlköğretim Maidanchik'in koordinatları dA kendinizi bu tür denkliklerle bağlayın: Z = z + a; Y = y + b.

Eylemsizlik momentlerini hesaplayalım JZ, JYі JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

ne nokta Ö eksenler Oyz nokta ile koşmak W- peresisin ağırlık merkezi (Şekil 3.5); statik anlar Szі sy sıfıra eşit olur ve formüller Y i der Z ben Sembollerin iyileştirilmesi ile almak gerekir. Atalet momenti ekseninde, koordinatların işaretleri uymaz (koordinatlar başka bir adıma taşınır) ve merkezi atalet momentindeki eksen, çizgideki koordinatların işareti (oluşturma) Z ben Y ben A ben olumsuz olabilir).

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi Oxy'yi tanıtıyoruz. Koordinatların düzlemine bakabiliriz, A düzleminden biraz fazla kesim (kapalı alan) var (Şekil 1).

Statik anlar

Koordinatlı C noktası (x C, y C)

aranan ağırlık merkezi.

Koordinat eksenleri kenarın ağırlık merkezinden geçerse, kenarın statik momentleri sıfıra ulaşacaktır:

Eksenel atalet momentleri x ve y eksenlerini çaprazlama, formun integralleri olarak adlandırılır:

Polar atalet momenti Koordinatların koçanının kesişimi, formun integrali olarak adlandırılır:

Merkezi atalet momenti bölüme zihnin integrali denir:

Ataletin baş eksenleri kesilir eksene karşılıklı olarak dik iki denir, burada I xy =0. Karşılıklı olarak dik eksenlere gelince є kesimin tüm simetrisi, o zaman I xy \u003d 0 i, ayrıca qi ekseni - smut. Kesimin ağırlık merkezinden geçen baş akslara denir. atalet merkezi eksenleri

2. Eksenlerin paralel transferi hakkında Steiner-Huygens teoremi

Steiner-Huygens teoremi (Steiner teoremi).
I kesitinin eksenel atalet momenti, oldukça kararlı bir eksen hakkındadır x, kütlenin merkezinden geçen görsel paralel eksen x * 'den I kesitinin eksenel atalet momentinin toplamından daha fazladır. enine kesit ve A kesitinin ek alanı, iki d ekseninin karesi başınadır.

X ve y eksenleri için I x і I y atalet momentlerini hesaba katarsak, o zaman kut α tarafından döndürülen ν ve u eksenleri için, eksenin atalet momentleri ve ağırlık merkezi kullanılarak hesaplanır. formüller:

Formülleri işaret ederek, açıktır ki,

Tobto. Karşılıklı dik eksenler döndürülürken eksenel atalet momentlerinin toplamı değişmez, yani. . Kesimin ağırlık merkezinden geçen baş akslara denir. baş merkez eksenleri pererazu. Eksenin simetrik kesitleri ve baş merkez eksenleri ile simetri için. Diğer eksenlerin enine kesitinin baş eksenlerinin konumu, dolaylı spіvvіdnoshennia tarafından belirlenir:

de? Baş eksenleri gibi atalet momenti eksenlerine denir. baş eylemsizlik momentleri:

başka bir ekin önündeki artı işareti, maksimum atalet momentine, eksi işareti - minimuma getirilir.

Çoğu zaman, pratik görevler söz konusu olduğunda, aynı düzlemde farklı yönlendirilmiş eksenler boyunca atalet momentlerini belirlemek gerekir. Tüm geçişin ataletindeki momentin değerini manuel olarak ayarlamanız gerekiyorsa (tüm depo parçalarının üzerinde), teknik literatürde, özel göstergelerde ve tablolarda bulunabilecek ve ayrıca formüllere bakabilecek başka eksenler de vardır. Bu nedenle, farklı eksenlerin bir ve aynı geçişinin atalet momentleri arasında nadas oluşturmak önemlidir.

Vahşi değişimde, eski koordinat sisteminden yeni koordinat sistemine geçiş, eski koordinat sisteminin birbirini izleyen iki dönüşümü olarak görülebilir:

1) yeni konumda koordinat eksenlerinin paralel ötelenmesi yolu

2) yeni bir koordinat koçanı їх shоdo çevirmenin bir yolu. Bu dönüşümlerden ilkine, yani koordinat eksenlerinin paralel aktarımına bakalım.

Eski eksenlerin (Şekil 18.5) thogo kesitinin atalet momentlerinin evin içinde olması kabul edilebilir.

Kendimize paralel eksenlerden oluşan yeni bir koordinat sistemi alalım. Önemli ölçüde a ve b, eski koordinat sistemindeki noktanın (yeni koordinat koçanı) koordinatlarıdır.

Eski koordinat sisteminin її y temel alanına bir göz atalım y i . Yeni sistem eşit kokuyor

Eksen etrafındaki eksenel atalet momentinin koordinatlarının değerini temsil edebiliriz.

Farklı bir şekilde - atalet momenti, geçişin F yol alanının ekseni boyunca geçişin statik momentidir.

otze,

Eğer z her şey kesimin ağırlık merkezinden geçerse, o zaman i statik momenti

(25.5) formülünden, atalet momentinin, ağırlık merkezinden geçmemesi için bir eksen gibi olması gerektiği, ağırlık merkezinden geçen eksen için atalet momentinden daha büyük olması gerektiği görülebilir. boyunduruk miktarı pozitiftir. Paralel eksenler için aynı atalet momentinden, eksenel atalet momenti en düşük değer kesimin ağırlık merkezinden nasıl geçilir.

Eksen etrafındaki eylemsizlik momenti [(24.5) formülüne benzer şekilde]

Bir okremy düşüşünde, her şey kesimin ağırlık merkezinden geçerse

(25.5) ve (27.5) formülleri, katlanma (depo) taşmalarının eksenel atalet momentlerini hesaplarken yaygın olarak kullanılmaktadır.

Şimdi eksenlerin genişliği için merkezi atalet momentinin değerini hayal edebiliriz.

Eksen merkezi ise, anın ekseni şöyle görünmelidir:

15.nadas arazisi eksenleri döndürürken atalet momentleri:

J x 1 \u003d J x cos 2a + J y sin 2a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2a + J x sin 2a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Kut a>0, yani eski koordinat sisteminden yenisine geçiş bir yıl sürer. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Atalet momentinin aşırı (maksimum ve minimum) değerlerine denir. baş eylemsizlik momentleri. Bu tür eksen atalet momentlerinin aşırı değerlere sahip olabileceği eksenlere eksenler denir. atalet baş eksenleri. Ana eylemsizlik eksenleri karşılıklı olarak diktir. Vіdtsentrovі eylemsizlik anları ana eksenleri = 0, o zaman. Ana atalet eksenleri, herhangi bir su merkezi atalet momentinin = 0 olduğu eksenlerdir. Eksenlerden biri olarak, hücumlar simetri ekseninden kaçıyor, tüm kokular smut. Ana eksenlerin konumunu belirleyen Kut: yani a 0 >0 Þ eksenler ters yönde döner. Tüm maksimum değerler daha küçük bir kut z tієї osі olarak ayarlanmalıdır, böylece atalet momenti daha önemli olabilir. Vaganın merkezinden geçen baş akslara denir. atalet merkezi eksenleri. Bu eksenler için eylemsizlik momentleri:

Jmax + Jmin = Jx + Jy. Merkezi atalet momenti, 0'a eşit baş atalet eksenlerine eşittir. Sonuç olarak, baş atalet momenti, döndürülmüş eksenlere geçiş formülü:

J x 1 \u003d J max cos 2a + J min sin 2a; J y 1 \u003d J max cos 2a + J min sin 2a; J x 1 y1 = (J maks - J dak) sin2a;

Kіntsevoi rezeksiyonda geometrik göstergelerin hesaplanması ve ana merkezi atalet momentlerinin belirlenmesi ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumu. eylemsizlik yarıçapı - ; J x = F x ben x 2 , J y = F x ben y 2 .

Eğer J x ta J y baş atalet momentleri ise, o zaman i x ta i y - atalet baş yarıçapı. Pivos'ta olduğu gibi ataletin baş yarıçapındaki istemlere elips denir. eylemsizlik elipsi. Atalet elipsinin yardımı için, herhangi bir x 1 ekseni için i x 1 eylemsizlik yarıçapını grafiksel olarak bilebilirsiniz. Bunun için x ekseni 1'e paralel olarak elipse bir nokta çizmeniz ve eksenin merkezinden noktaya olan mesafeyi azaltmanız gerekir. Eylemsizlik yarıçapını bilerek, x 1 ekseni boyunca kesimin eylemsizlik momentini hesaplamak mümkündür. Perepіzіv için, scho ikiden fazla simetri eksenine sahip olabilir (örneğin: colo, kare, halka ve іn) tüm merkezi eksenler boyunca eksen atalet momentleri birbirine eşittir, J xy \u003d 0, elіps іnertsiy yuvarlanır atalet hissesi.