Sayının en önemli işlevini bulun. Bölgedeki birkaç değişikliğin en önemli ve en az önemli işlevleri. Birçok değişikliğin işlevleri

Randevu 1.11 İki değiştiricinin işlevinin ayarlanmasına izin verin z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - alanın iç noktası D .

Yakscho içinde D є öyle bir mahalle UM 0 benekler M 0 , hangi tüm noktalar için

sonra bir leke M 0 yerel maksimum nokta denir. ve anlamı z(M 0 ) - yerel maksimum.

Ve tüm noktalara gelince

sonra bir leke M 0 fonksiyonun yerel minimum noktası denir z(x,y) . ve anlamı z(M 0 ) - Yerel minimum.

Yerel maksimum ve yerel minimum, fonksiyonun yerel ekstremumu olarak adlandırılır. z(x,y) . Şek. 1.4 açıkladı geometrik zmist yerel maksimum: M 0 - maksimuma, yüzeyde ne olduğuna işaret edin z = z(x, y) net nokta C 0 başka bir nedenle daha iyi bilmek C (Maksimum yerelliğe sahip olan).

Saygılarımla, yüzeyde noktalar var (örneğin, saat ), daha fazlasını biliyorsanız C 0 , ale qi noktaları (örneğin, saat ) nokta ile є "adli" değil C 0 .

Zokrema, nokta saat küresel maksimum anlayışını doğrular:

Benzer şekilde, küresel minimum belirlenir:

Global maksimumlar ve minimumlar bilgisi paragraf 1.10'da tartışılacaktır.

Teorem 1.3 (gerekli ekstremum).

Fonksiyonun ayarlanmasına izin verin z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Yerel ekstremum noktası.

Neye sahipsin z" x і z" y , sonra

Geometrik doğrulama "belli ki" dir. Sıradaki ne C 0 üzerinde (Şekil 1.4) dotik olarak düz bir alan çizmek için, orada "doğal olarak" yatay olarak geçer, yani. kaputun altında 0° eksene ey ben eksene kuruluş birimi .

Aynısı özel akrabaların geometrik değişimi için de geçerlidir (Şekil 1.3):

getirmek için ne gerekliydi.

Randevu 1.12.

Sıradaki ne M 0 düşünün (1.41), o zaman fonksiyonun durağan noktası denir z (x, y) .

Teorem 1.4 (ekstremum için yeterli zihin).

Sormama izin ver z = z (x, y), (x, y) D , noktanın yakınında farklı bir düzende özel olaylar olabileceğinden M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Ve neden M 0 - Sabit nokta Hesaplayalım:

Herhangi bir yardımcı tarafından dikkate alınmayanlar tarafından Vicorist teoreminin ispatı (Taylor'un bir dizi değişkenin fonksiyonu formülü ve ikinci dereceden formlar teorisi).

popo 1.13.

Uç noktaya git:

1. Sistemi bozan durağan noktaları biliyoruz (1.41):

bu yüzden bazı durağan noktalar bulduk. 2.

Teorem 1.4'ten sonra, puanların minimumu vardır. Ve neden

noktasında Teorem 1.4'e göre

Maksimum. Ve neden

§10 Kapalı bir alandaki iki değişkenli fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Teorem 1.5 Kapalı bir bölgenin yakınına gidelim D fonksiyon ayarlandı z = z(x, y) , birinci dereceden özel geziler kesintisiz olabilir. kordon G bölgeler D є shmatkovo pürüzsüz (shmatkіv "dotik üzerinde pürüzsüz" eğrilerden veya düz çizgilerden katlanır). Bölgedeki Todi D işlev z(x,y) en büyüğüne ulaş M ve en az m değer.

Onaylamadan.

Bir sonraki azarlama planını yayabilirsiniz. M і m . 1. Sandalye olacağız, bölgenin kordonunun her yerini görebiliriz D ve kordonun tüm "kutovі" noktalarını biliyoruz. 2. Ortadaki durağan noktaları biliyoruz D . 3. Kordonlardan derinin sabit noktaları bilinmektedir. 4. Tüm sabit ve tepe noktalarında hesaplayın ve ardından en çok M ve en az m anlam.

Durum 1.14 Daha fazla bilgi M ve en az m fonksiyon değeri z = 4x2-2xy+y2-8x kapalı alana yakın D , sınırlandırılmış: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Alanı hareket ettirelim D (Şekil 1.5) dairede ohu .

Kutovі puanları: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

kordon G bölgeler D üç bölümden oluşur:

2. Bölgenin ortasındaki durağan noktaları biliyoruz D :

3. Kordonlarda sabit noktalar ben 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Altı değer sayılır:

Altı değeri atlayarak en çok ve en az olanı seçin.

Teorem 1.5 Kapalı bir bölgenin yakınına gidelim D fonksiyon ayarlandı z = z(x, y) , birinci dereceden özel geziler kesintisiz olabilir. kordon G bölgeler D є shmatkovo pürüzsüz (shmatkіv "dotik üzerinde pürüzsüz" eğrilerden veya düz çizgilerden katlanır). Bölgedeki Todi D işlev z (x, y) en büyüğüne ulaş M ve en az m değer.

Onaylamadan.

Bir sonraki azarlama planını yayabilirsiniz. M і m .
1. Sandalye olacağız, bölgenin kordonunun her yerini görebiliriz D ve kordonun tüm "kutovі" noktalarını biliyoruz.
2. Ortadaki durağan noktaları biliyoruz D .
3. Kordonlardan derinin sabit noktaları bilinmektedir.
4. Tüm sabit ve tepe noktalarında hesaplayın ve ardından en çok M ve en az m anlam.

Durum 1.14 Daha fazla bilgi M ve en az m fonksiyon değeri z = 4x2-2xy+y2-8x kapalı alana yakın D , sınırlandırılmış: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Alanı hareket ettirelim D (Şekil 1.5) dairede ohu .

Kutovі puanları: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

kordon G bölgeler D üç bölümden oluşur:

2. Bölgenin ortasındaki durağan noktaları biliyoruz D :

3. Kordonlarda sabit noktalar l 1 , l 2 , l 3 :

4. Altı değer sayılır:

Uygulamak

örnek 1.

Bu fonksiyon değişen tüm değerlerde atanır x і y , koordinatların koçanı kıvırın, de znamennik sıfıra döner.

Zengin Üye x2+y2 kesintisiz usudi ve dolayısıyla i kesintisiz bir fonksiyonun kesintisiz karekökü.

Drib her yerde kesintisiz olacak, Crimea dot, de banner'dan sıfıra. Bakılan bu fonksiyon, tüm koordinat düzleminde kesintisizdir. ohu , koordinatların koçanı dahil.

popo 2.

Güvenlik için işlevi izleyin z=tg (x, y) . Değerlerin tanjantı ve herkes için kesintisiz son anlamlar argüman, suç değeri, eşleşmemiş büyüklük sayısına eşit π /2 , sonra. noktalar dahil, de

kutanöz sabit ile "k" Denklem (1.11) bir abartma anlamına gelir. Bu nedenle є fonksiyonu kesintisiz fonksiyon x ve y eğriler üzerinde bulunan noktalar dahil (1.11).

örnek 3.

Özel dış mekan fonksiyonlarını bilin u=z-xy , z > 0 .

popo 4.

İşlevin ne olduğunu göster

aynılıktan memnun:

– bu eşitlik tüm noktalar için geçerlidir M(x; y; z) krem noktası M 0 (a; b; c) .

İki bağımsız değişkenin z=f(x, y) fonksiyonuna bakalım ve özel değişkenlerin geometrik ikamesini kuralım. z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Kimin aklı eşittir z=f (x, y) є yüzeyin tesviyesi (Şekil 1.3). Düz tutuldu y = sabit . Pererizі'da yüzeysel yüzeyler z=f (x, y) video deyka hattı 1 boyutundan daha az değişen peretina, vzdovzh X і z .

Özel gezi z" x (її bir orta vyplyaє z olmadan geometrik kayma, bizim tarafımızdan bilinen bir değişkenin benzer bir fonksiyonunun geometrik anlamı) kuta'nın tanjantından sayısal olarak üstündür α hastalıklı, dingile uzatılarak ey , shodo L1 eğriye 1 , yüzeye yakın gitmek için scho z=f (x, y) düz y = sabit noktada M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Retinada ve yüzeyde z=f (x, y) düz X = sabit geniş çizgi peretina ben 2 , büyüklüğünden daha az değişen vzdovzh de і z . Todi özel eğlence z" y kutanın tanjantından sayısal olarak üstün β eksene uzatma ile nahilu kuruluş birimi , shodo L2 belirtilen satıra ben 2 noktalar halinde peretin M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Örnek 5.

Ne tür bir kutvoruє іz vіssyu ey çizgiye dotichna:

noktada M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo, özel bir ikamenin bir ikame için geometrik olarak değiştirilmesi X (hızlı de ):

Örnek 6.

Zgidno (1.31):

Örnek 7.

Vvayayuchi, scho eşittir

dolaylı olarak bir işlevi tanımlayın

bilmek z" x , z" y .

Bu nedenle (1.37) kanıta ihtiyacımız var.

Örnek 8.

Uç noktaya git:

1. Sistemi bozan durağan noktaları biliyoruz (1.41):

bu yüzden bazı durağan noktalar bulduk.
2.

Teorem 1.4'ten sonra, puanların minimumu vardır.

Ve neden

4. Altı değer sayılır:

Altı değeri atlayarak en çok ve en az olanı seçin.

Literatür listesi:

ü Belko İ. V., Kuzmich K.K. harika matematik ekonomistler için I dönem: Ekspres kurs. - M.: Yeni bilgi, 2002. - 140 s.

ü Gusak A.A. Matematiksel analiz ve diferansiyel hizalama. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 s.

ü Gusak A. A. Vishcha matematiği. Üniversite öğrencileri için 2 ciltlik başlık rehberi. - Mn., 1998. - 544 s. (1 cilt), 448 s. (2 ton).

ü Kremer N. Ş., Putko B.A., Trishin I. M., Fridman M. N. Ekonomistler için Matematik: Üniversiteler İçin Bir El Kitabı / Ed. Prof. N.Ş.Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 s.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E. BEN. ki. Vishcha matematiği. Zagalniy kursu: Pidruchnik / Zag. ed. S.A. Samal. - Mn.: Vish. okul, 2000. - 351 s.

Daha fazla ve daha az anlam

Kapalı bir alanda çevrelenen fonksiyon, en büyük ve en küçük değerine ya durağan noktalarda ya da sınır alanı üzerinde kalan noktalarda ulaşır.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için gereklidir:

1. Bu bölgenin ortasındaki durağan noktaları bulun ve onlar için fonksiyonun değerlerini hesaplayın.

2. Bölgeler arası işlevinin en (en az) değerini bilin.

3. İşlevin tüm negatif değerlerini eşitleyin: bu galeri için işlevin en büyük (daha az) ve en büyük (en küçük) değerleri olacaktır.

popo 2. Fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulun: y .

Çözüm.

nokta sabittir; .

2 . Kapalı alanın sınırı halkadır, de.

Bölgeler arasının işlevi, tek bir değişikliğin işlevi haline gelir: , de . En önemli ve en az önemli işlevleri biliyoruz.

x = 0 için; (0,-3) ve (0,3) kritik noktalardır.

Çelenk uçlarındaki fonksiyonun değerini hesaplayın

3 . Porivnyuyuchi kendini otrimuemo mizh,

A ve B noktalarında.

C ve D noktalarında.

örnek 3. Eşitsizliği verilen kapalı alandaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun:

Çözüm. є trikutnik alanı, і koordinatlarının eksenlerini x + y = 1 düz çizgisiyle çevreleyeceğiz.

1. Bölgenin ortasındaki durağan noktaları biliyoruz:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Durağan nokta bu alana ait olmadığı için içindeki z değeri hesaplanmaz.

2 Kordon üzerinde .Doslіdzhuєmo işlevi. Sınırın parçaları, üç farklı eşit tarafından tanımlanan üç dіlyanki'den oluşur, derinin doslіdzhuєmo işlevi okremo'yu ortadan kaldırır:

a) div 0A: y=0- 0A'ya eşittir, o zaman ; eşittirden, fonksiyonun 0'dan 1'e 0A arttığı açıktır. Ortalama .

b) 0B mesafesinde: x = 0 - 0B mesafesi, o zaman; -6y + 1 = 0; - Kritik nokta.

içinde) doğrudan x + y = 1: y = 1-x'e, sonra fonksiyonu alıyoruz

B(0,1) noktasında z fonksiyonunun değerini hesaplıyoruz.

3 .Perіvnyuyuchi numaraları otrimuemo, scho

Düz AB'ye.

B noktasında.

Kendini kontrol bilgisi için test edin.

bir . İşlev ekstremumu – ce

a) її pokhіdnі ilk sipariş

b) її eşittir

c) її programı

d) її maksimum ve minimum

2. Mümkün olduğu kadar çok fonksiyonun ekstremumuna ulaşılabilir:

a) sadece belirlenen alanın ortasında bulunan noktalarda, bu durumda birinci dereceden özel değerlerin sıfırdan büyük olması

b) sadece belirlenen alanın ortasında bulunan noktalarda, bu durumda birinci mertebenin özel değerleri sıfırdan küçüktür.

c) sadece belirlenen alanın ortasında bulunan noktalarda, bu durumda birinci mertebenin özel değerleri sıfıra eşit değildir.

d) sadece belirlenen alanın ortasında bulunan noktalarda, bu durumda birinci dereceden özel benzerlikler sıfıra eşittir.

3. Kapalı bir alanda kesintisiz olarak en yüksek ve en düşük değerlerine ulaşan bir fonksiyon:

a) sabit noktalarda

b) ya sabit noktalarda ya da bölgeler arası noktalarda

c) bölgeler arası uzanan noktalarda

d) tüm noktalarda

4. Durağan noktalar fonksiyonu için kaç tane değişkene nokta denir:

a) bazıları için

b) bazılarının sıfırdan büyük özel birinci mertebe farkları var

c) bazıları için birinci dereceden özel değişiklikler sıfıra eşittir.

d) Bazıları için birinci dereceden özel davranışlar sıfırdan küçüktür.

y = f (x) fonksiyonunu rüzgar kessin. Görünüşe göre, böyle bir işlev en üst noktasına ulaşır. bu işe alım. değer. Bu işlev, pencerenin iç noktasında veya pencere sınırında tobto alınabilir. = a veya = b'de. Belirli bir fonksiyonun kritik noktalarının ortasını izlemek için bir nokta gibi.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin değer kuralını şu şekilde alıyoruz:

1) (a, b) aralığında fonksiyonun kritik noktalarını belirleyin;

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) kintsyah vіdrіzka, tobto'nun işlevinin değerini hesaplayın. x=a ve x=b noktalarında;

4) Fonksiyonun hesaplanan değerlerinin ortalaması en çok ve en az olanı seçmektir.

Saygı duymak:

1. y = f (x) fonksiyonunun vdrіzku başına birden fazla kritik noktası varsa ve maksimum (minimum) noktasını є kazandıysa, bu noktada fonksiyon en büyük (en az) değeri kazanır.

2. y=f(x) fonksiyonunun kritik noktası olmadığından, fonksiyonun yenisi için monoton bir şekilde arttığı ve azaldığı anlamına gelir. Ayrıca, fonksiyon maksimum değerini (M) strokun bir ucuna ve en küçüğünü (m) diğer ucuna alır.

60. Karmaşık sayılar. Formül de Moivre.
karmaşık sayı isim viraz zihin z = x + iy, de x ve y - numaralar, ve ben - sözde. bariz yalnızlık. x=0 ise, 0+iy=iy sayısı sıralanır. numara ile gösterelim; y=0 olsa bile, x+i0=x sayısı mevcut x sayısına eşlenir, ancak bu, tüm işlevlerin kişisel olmayan R'si anlamına gelir. sayılar yavl. kişisel olmayan Z usikh'in çokluğu altında Karışık sayılar, sonra. . x sayısı isimleri ondalık kısım z, . Eşit parçalar ve eşit parçalar eşitse, iki karmaşık sayıya eşit (z1=z2) çift ve yalnızca bir kez denir: x1=x2, y1=y2. Zocrema, Z=x+iy karmaşık sayısı sıfıra eşittir ve x=y=0 ise. Karmaşık sayılar için "daha büyük" ve "daha az" kavramları tanıtılmamıştır. Yalnızca açık kısmın işareti ile kabul edilen iki karmaşık sayı z \u003d x + iy і, elde edilir.

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.

Karmaşık bir z = x + iy sayısının, x=Re z, y=Im z olacak şekilde Oxy düzleminin bir M(x,y) noktası ile temsil edilip edilemeyeceği. İlk olarak, koordinat düzleminin dış yüzey noktası M(x;y), z = x + iy karmaşık sayısının görüntüsü olarak kullanılabilir. Karmaşık sayıların görüntülendiği alana karmaşık alan denir, çünkü z = x + 0i = x gerçek sayılarını söylemesi gerekiyor. Üzerinde görünen karmaşık sayıların z = 0 + iy olduğu gerçeğine göre, tüm koordinatlara açık köşeler denir. Z=x+iy karmaşık sayısı, yardımcı yarıçap vektörü r=OM=(x,y) arkasına eklenebilir. Karmaşık z sayısını temsil eden r vektörünün uzunluğuna bu sayının modülü denir ve | z | veya r. Rozmir kuta mizh poklade. Doğrudan gerçek eksende, karmaşık bir sayıyı temsil eden r vektörüne, Arg z veya ile gösterilen karmaşık sayının argümanı denir. Karmaşık sayı bağımsız değişkeni Z = 0 atanmamış. Karmaşık bir sayının argümanı - değer oldukça önemlidir ve dodanku'ya kadar doğrulukla ölçülür, de arg z - argümanın ana değeri, o zaman boşluğa () yerleştirilir. - (Bazen bağımsız değişkenin baş değeri olarak, boşluğu içermesi gereken değeri (0; ) alın).

z sayısının z=x+iy şeklinde yazılmasına karmaşık sayının cebirsel formu denir.

Karmaşık sayılar üzerinde

Ek.İki karmaşık sayının toplamı z1=x1+iy1 ve z2=x2+iy2 eşit olan bir karmaşık sayıdır: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Karmaşık sayıların eklenmesi gücü değiştirebilir ve değiştirebilir: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vіdnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. Karmaşık sayılar z1 ve z2 arasındaki farka öyle bir karmaşık sayı z denir ki, z2'ye eklendiğinde z1 sayısını verir. z = z1-z2, yani z + z2 = z1. z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 gibi, z'yi bu atamadan çıkarmak kolaydır: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). çoğul. z1=x1+iy1 ve z2=x2+iy2 karmaşık sayılarının tümleyeni, z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2)'ye eşit olan bir karmaşık sayıdır. Zvіdsi, zokrema, ben vyplyaє: . Trigonometrik formun atama sayısı gibi: .

Karmaşık sayılar çarpıldığında, modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir. De Moivre formülü(ayrıca є n çarpanları ve aynı kokar): .

2020'nin sonunda NASA, Mars'a bir keşif seferi başlatıyor. Keşif gezisine kayıtlı tüm katılımcıların isimlerini taşıyan elektronik bir taşıyıcı ile uzay aracını Mars'a teslim edin.

Oylamaya katılanların kaydı. Kutsamalar için biletinizi Mars'a götürün.

Bu gönderiyi beğenin, sorununuzu çözmüş veya sadece size layık olmak, sosyal ağlarda arkadaşlarınızla gücünüzü paylaşın.

Bu kod seçeneklerinden birini kopyalayıp web sayfanızın koduna, etiketler arasına yapıştırmanız gerekir. і veya etiketten hemen sonra . MathJax'in ilk versiyonunun arkasında daha küçük ve daha az yapışkan bir taraf tercih ediliyor. Natomist başka bir seçenek, MathJax'in en son sürümünü otomatik olarak seçer ve yükseltir. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. Başka bir kod eklerseniz, taraflar daha fazla ilgilenir, böylece MathJax güncellemelerini sürekli takip etmek zorunda kalmazsınız.

MathJax'i Blogger veya WordPress'te en basit şekilde etkinleştirin: sitenin ödeme paneline bir widget ekleyin, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için hedefler ekleyin, ilk veya başka bir seçeneği yukarıda sunulan katılım koduna kopyalayın ve widget'ı şuna daha yakın bir şekilde yeniden boyutlandırın. şablonun en üstünde (konuşmadan önce yeni 'dile ihtiyacımız yok), MathJax betik betikleri eşzamansız olarak çağrılır). ben hepsinden. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML sözdizimini kontrol edin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

New Rock'tan önce Chergovy... hava soğuk, shibtsі'daki snizhinkiler... Her şey beni tekrar fraktallar ve Wolfram Alpha hakkında bilgi sahibi olanlar hakkında yazmaya sevk etti. Іz thogo drive є tsіkava stattya, iki boyutlu fraktal yapıların yakіy є kalçalarında. Hemen, dünya önemsiz fraktalların katlanmış izmaritlerini görebilir.

Bir fraktal, geometrik bir figür veya bir vücut (havada beliren, aynı zamanda kişisel olmayan, bu özel tipe, kişisel olmayan nokta), figürün kendisi gibi böyle bir şekli oluşturan ayrıntılar. Tobto tse kendine benzer yapı, ayrıntılara büyütülmüş gibi bakarak, genişlemeden olan formu taklit eder. Benzer şekilde, görsel olarak çarpıcı bir geometrik figürde (fraktal değil), daha küçük ayrıntılarla, sanki basit bir form yapılabilirmiş gibi, şekil daha düşüktür. Örneğin, elipsin büyük kısmını bitirdiğinizde düz bir ağaç gibi görünür. Fraktallarda durum böyle değil: herhangi bir iyileştirme için, aynı katlama formunu cilt iyileştirmelerinde olduğu gibi tekrar edeceğiz, tekrar tekrar.

Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Gizem adlı makalesinde bilim adına şunları yazmıştır: resmi biçim. Yani fraktalın bir parçası bütünün ölçüsüne kadar büyütülürse, bir bütün olarak veya tam olarak veya muhtemelen hafif bir deformasyonla görülecektir.