Kayıplı integrali hesaplama prosedürü, çalışan integralin genel çalışmasına benzer. її açıklaması için, doğru önemsiz alanın anlaşılmasını sunuyoruz:

Randevu 9.1. Kapalı bir S yüzeyi ile çevrili önemsiz bölge V, düzenli olarak adlandırılır, çünkü:

1. düz olmak, eksene paralel Bölgenin iç noktasından çizilen Oz, S'yi iki noktada kesiyor;
2. tüm bölge V, düzenli bir iki dünya bölgesi D'de Oksi düzlemine yansıtılır;
3. V alanının, içinde bir düzlem tarafından görülebilen, koordinat düzlemlerinden olup olmadığına paralel olan bir parçasının 1) ve 2) gücüne sahip olup olmadığı.

Doğru V alanına bakalım, alt ve üst tarafı z=χ(x,y) ve z=ψ(x,y) yüzeyleriyle sınırlayacağım ve Oxu y düzlemine yansıtacağım, doğru alan D, orta x'i a'dan b'ye sınırlarda değişecek olan, y=φ1(x) ve y=φ2(x) eğrileri ile çevrili olacaktır (Şekil 1). f(x, y, z) V bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun.

Randevu 9.2. f(x, y, z) fonksiyonunun V bölgesi üzerindeki üç katlı integrali şu şekilde adlandırılır:

Trirazovy, zh vlastivostі ile bütünleşir, shcho ve dvorazovy. Pererakhuyemo їх onaylanmadan, pis koku parçaları yarda-bilge integralin düşüşüne benzer şekilde ortaya çıkar.

Kayıplı integralin hesaplanması.

Teorem 9.1. V düzgün bölgesinin f(x,y,z) fonksiyonunun üçlü integrali, aynı bölge üzerindeki üçlü integralle aynıdır:

. (9.3)

getiriyor.

Rozіb'ёmo alanı V düzlemleri, koordinat düzlemlerine paralel, n düzenli alanlarda. Todі z power 1 bağırıyor

f(x,y,z) fonksiyonunun tanım kümesindeki üç zamanlı integrali nerede?

Vikoristovuyuchi formülü (9.2), ileri parite bir bakışta yeniden yazılabilir:

F (x, y, z) fonksiyonunun sürekliliğini anlamak, eşitlik denkleminin sağ tarafında duran ve üçüncü integrale eşit olan integral toplamının sınırı olan açıktır. Ardından, sınıra geçerken şunu alıyoruz:

getirmek için ne gerekliydi.

Saygı duymak.

Alt akım integralinin düşmesine benzer bir şekilde, entegrasyon sırasını değiştirmenin üç zamanlı integralin değerini değiştirmediği getirilebilir.

popo V integralinin hesaplanması, (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ve (0, 0, 1) noktalarında köşeleri olan üçgen bir piramittir. Її köşeleri (0, 0), (1, 0) ve (0, 1) ile Oxy düzlemi є tricutnik üzerine projeksiyon. Alttan, alan z = 0 alanıyla ve üstten - x + y + z = 1 alanıyla sınırlanır. Üç katlı integrale geçelim:

Değişken integrasyonda yer almayan çarpanlar, çift katlı integralin işareti için suçlanabilir:

Önemsiz uzayda eğrisel koordinat sistemleri.

1. Silindirik koordinat sistemi.

Р(ρ,φ,z) noktasının silindirik koordinatları – Ohu düzlemindeki noktanın izdüşümü ve verilen z noktasının uygulayıcısının ρ, φ cepolar koordinatları (Şekil 2).

Silindirik koordinatlardan Kartezyen koordinatlara geçiş için formüller aşağıdaki gibi ayarlanabilir:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Küresel koordinat sistemi.

Küresel koordinatlar için, noktanın uzaydaki konumu doğrusal koordinat ρ - noktadan Kartezyen koordinat sisteminin koçana (veya küresel sistemin kutuplarına) olan mesafe, φ - pozitif arasındaki kutup kenarı ile gösterilir. pіvvіssyu Ox ve noktanın Oxy düzlemine izdüşümü ve θ - pozitif Oz ve çift OP arasındaki kutom (Şekil 3). Kiminle

Küresel koordinatlardan Kartezyen'e geçiş formülü verildiğinde:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian ve yogo geometrik zmist.

Metro integralindeki değişiklikleri değiştirmenin çılgın eğilimine bakalım. Ohu düz alanında D'deki Nehai, bir L çizgisi ile çevrili olarak verilmiştir. х і у є'nin yeni değişen u ve v'nin tek değerli ve kesintisiz olarak farklılaşan fonksiyonları olduğunu varsayın:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Ouv dikdörtgen koordinat sistemine, D bölgesinden P(x, y)'yi gösteren P(u, v) noktasına bakalım. Tüm bu noktalar Ouv düzleminin yakınında D bölgesini oluşturur, bir çizgiyle çevriliyim L?. Formüllerin (9.6), D ve D alanlarının noktaları arasında bire bir yazışma kurduğu söylenebilir. Hangi doğrular için u = const

Ouv düzlemindeki v = const, Ohu düzlemindeki çizgilere benzer olacaktır.

Ouv düzleminde, u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const düz çizgilerle sınırlanmış dikdörtgen bir ΔS ΔS görebiliriz. Ohu dairesinin yakınında Їy vіdpovidatimé eğrisel Maidanchik ΔS (Şek. 4). Maidanchiklerin analiz alanları ΔS ve ΔS olarak belirtilecektir. ciomu ΔS = Δu Δv için. ΔS alanını biliyoruz. Belirgin bir şekilde, eğrisel chotyrikutnik P1, P2, P3, P4 de köşeleri

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Küçük zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi diferansiyellerinin değiştirilmesi. Todi

Hangi chotirikutnik P1 P2 P3 P4 paralelkenar olarak alınabilir ve alan analitik geometri formülüne atanabilir:

(9.7)

Randevu 9.3. Varyant, φ(x, y) ve ψ(x, y) fonksiyonlarının fonksiyonel varyantı veya Jacobian'ı olarak adlandırılır.

Eşitlik (9.7) ile sınıra geçerek geometrik Jacobian kaymasını alıyoruz:

bu nedenle Jacobian modülü, sonsuz küçük kareler S ve S'nin alanı arasındaki sınırdır.

Saygı duymak. Benzer bir sıralamayla, Jakobiyen anlayışı ve n-dünya uzayı için geometrik anlamı belirlenebilir: x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), sonra

(9.8)

Bununla, Jacobian modülü, x1, x2, ..., xn ve u1, u2, ..., un'un "obsyagiv" küçük alanları arasında bir sınır verir.

Çoklu İntegrallerdeki Değişiklikleri Değiştirme.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z popo podvіynogo іntegral.

D alanında sürekli bir z = f(x,y) fonksiyonu verilsin, D alanında z = F(u, v) fonksiyonunun aynı değeri, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

İntegral toplamına bakalım

Sağdaki deintegral toplam D bölgesi üzerinden alınır. Süpürme integralinde koordinatları dönüştürmek için formülü çıkardığımızda sınıra geçiyoruz.

İntegralleri deneyin. Vücudun hacminin hesaplanması.
Silindirik koordinatlarda deneme integrali

Dekanın ofisinde üç gün gökyüzü, Pіthagoras cüppelerinin pantolonunda yatıyordu,
Fikhtengolts'un elinde, beyaz ışığın yogisinin canlı olduğu bir cilt trimav var,
Bunun için üçüncü integrali bağladılar ve cesedi matrise sardılar,
Ve dua vekili, Bernoulli teoremini okuduktan sonra bir nahabnik gibidir.

Kaybolan entegrasyonlar artık korkmayacağınız şeylerdir =) Çünkü tüm metni okursanız, yanlış anlamanız her şey için daha iyidir. "üstün" integrallerin teorisi ve pratiği, birlikte bağımlı integraller. Ve orada, de podvіyny, yakınlarda ve kayıp:

Gerçekten, korkacak ne var? İntegral daha küçüktür, integral daha büyüktür.

Kayda bir göz atalım:

- üçlü integralin simgesi;
- Pidіntegralna üçlü değişim fonksiyonu;
- Dobutok diferansiyelleri.
- Entegrasyon alanı.

için özellikle dikkate değer galeri entegrasyonu. Yakscho içinde altı çizili integral kazanmak düz şekil, sonra burada - geniş gövde , yaka, biliyorsun üstte. Bu rütbede, içgüdüsel olarak tahmin ettiğiniz suç, kendinizi yönlendirmekten suçludur. ana yüzeyler ve en basit trivimir koltukları kazanmayı unutmayın.

Deyakyalılar utandı, bilge…. Ne yazık ki, makale “aptallar için faydalı integraller” olarak adlandırılamaz ve bir şeyi bilmek / hatırlamak gerekir. Ale, korkunç bir şey yok - en erişilebilir biçimdeki tüm yayın materyalleri en kısa sürede hakim olacak!

Kayıp integrali hesaplamak ne anlama geliyor ve ne aldı?

Kayıp integrali hesaplayın - tse anlamına gelir KILO'yu bilmek:

En basit şekilde, eğer üçüncü integral vücuda göre sayısal olarak daha gelişmiş. І deisno, vіdpovіdno için entegrasyon, tvir bir sonsuz küçük vücudun temel "ceglinka" hacmi. Ve üçüncü integral Birleşik tüm qi sonsuz küçük parçacıklar bölgeye göre, bundan sonra vücudun hacminin integral (toplam) değeri ortaya çıkar: .

Ek olarak, üçüncü integral önemlidir fiziksel programlar. Ale hakkında tse pіznіshe - dersin 2. bölümünde, özveri ek integral kayıplarının hesaplanması, bunun için değişkenin fonksiyonu bir sabit olarak sabittir ve küre içinde kesintisizdir. Bu yazıda, subjektif değerlendirmem 6-7 kat daha sık gözlemlendiği için yükümlülüğün anlamını detaylı olarak görebiliriz.

Kayıp integral nasıl çözülür?

Vіdpovіd, önceki paragraftan mantıksal olarak viplivає. atamak gerekli vücut baypas sırası gidiyorum integralleri tekrarlıyoruz. Bundan sonra, art arda üç tek integral ile çözün.

Yak bachite, tüm mutfak giderek daha fazla nagaduє temel integraller, Tієyu vіdminnіstyu itibaren, scho aynı zamanda bize bir dodatkova rozmіrnіst (kabaca görünüşte, yükseklik) verildi. Ben, tek başına, çoğunuz integrallerin kayıplarının nasıl ihlal ettiğini zaten tahmin etmişsinizdir.

Kaybettiklerimizi özetleyelim:

popo 1

Nazik olun, kağıda bir damga ile yeniden yazın:

І Bir sonraki öğün için tavsiyede bulunun. Chi tanıyorsun, qi'yi eşitleyecek yüzeyler nelerdir? Chi zrozumіly tsikh rivnyan'da gayri resmi misiniz? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, uzayda yak yüzey raztashovanі?

Kabaya shilyatsya olur olmaz “daha ​​fazla, nizh yani”, o zaman obov'yazkovo opratsyut dersi, aksi takdirde daha uzağa gidemezsiniz!

Çözüm: vicorist formülü

z'yasuwati'yi schob etmek için vücut baypas sırası gidiyorum integralleri tekrarlıyoruz ne olduğunu anlamak için (her şey ustaca basittir) gereklidir. Ve zengin vipadkalarda böyle bir gülün üzerine koltuklar koymak harika.

Zihnin arkasında, vücut kilkom yüzeyleri ile çevrilidir. Neden şık başlasın? Bir sonraki siparişi diy olarak telaffuz ediyorum:

Koçanın üzerinde hayal edilebilir paralel ortogonal vücudun koordinat düzlemine izdüşümü. İlk dediğimde projeksiyonun adı ne lol =)

Tasarım büyük ölçekte gerçekleştirilecekse, o zaman Persh'de yüzeyler, tsієї eksenine paralel yakі. Sanırım ne tür yüzeyler böyle "ze" harflerinin intikamını alma. İncelenen yöneticide üç tane vardır:

- Rivnyannya, koordinat alanını, bütünden nasıl geçileceğini belirler;
- Rivnyannya, koordinat alanını, bütünden nasıl geçileceğini belirler;
- eşit görev düz "düz" düz eksene paralel.

Her şey için shvidshe, shukana projeksiyonu є geliyor trikutnik:

Muhtemelen, herkesin nereye gideceği konusunda artık bir anlayışı yoktu. Her şeyin monitör ekranından çıktığını ve transferinize yapıştığını gösterin ( tobto. çık dışarı, canavarın 3. dünya koltuğuna hayransın). Vücudun doslіdzhuvane genişlikleri, tenli olmayan üç yüzlü "koridorda" ve gölgeli tricutnik'teki naimovіn alanına projeksiyonunda bulunur.

Ne takıldığımıza özel saygı duyuyorum projeksiyon hakkında daha fazla bahane ve “neishvidshe”, “nayimovirnishe” uyarısı vipadkovy idi. Sağda, tüm yüzeyler henüz analiz edilmedi ve öyle olabilir, onlardan bile tricutnik'in bir bölümünü “keşfediyoruz”. Sorduğun bir astar poposu gibi küre yarıçapı birden küçük olan koordinatların koçanı üzerinde ortalanmış, örneğin bir küre – її düzlemde izdüşüm (sütun ) “Çıplak” gölgeli alanı tekrar etmeyeceğim ve vücudun projeksiyonuna triko değil denilecek (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Sahnenin diğer tarafından, z'yasovuєmo, chim vücut canavarla çevrili, alttan aşağı ve vikonuemo koltuğun genişliği. Zihne dönüyoruz ve sanki yüzey yokmuş gibi yüzeye hayret ediyoruz. Tesviye, koordinat düzleminin kendisini ayarlar ve tesviye - parabolik silindir, yeniden tatma üstünde düzleştirin ve bütünün içinden geçin. Bu sıralamada, vücudun izdüşümü diisno є trikutnik'tir.

Konuşmadan önce, burada ortaya çıktı dünyevi düşünün - yeni ampulde, düzlemleri, yüzey parçalarını, apsis eksenini dışarı çıkarmayı ve böylece vücut kapanmasını bile dahil etmek obov'yazkovo değildir. Bu, bu belirli anda projeksiyonu vaftiz edemeyeceğimiz anlamına gelir - tricutnik ancak eşitleme analizinden sonra “çizilir”.

Parabolik bir silindirin bir parçası doğru bir şekilde tasvir edilmiştir:

vikonannya koltuk z sonra vücudu atlayarak sorun yok!

Başın arkasında, çıkıntının geçtiği sıra önemlidir. (en iyi elin yardımıyla, iki dünya koltukları tarafından yönlendirilin).çok utangaç KESİNLİKLE ÖYLE, yak ben alt integraller! tahmin lazer işaretleyici düz bir alanın taranması. "Geleneksel" 1. bypass yöntemini seçin:

Dali, koltuğun trivimirine hayran kalarak büyüleyici çakmağın eline geçer ve kesinlikle yokuş aşağı hastayı aydınlatın. Yüzeyden vücuda girmek ve yüzeyden çıkmak için değişiklikler. Bu sırayla, vücudu atlama sırası:

Tekrarlanan entegrasyonlara geçelim:

1) Aşağıdakileri "Z" integralinden başlatın. Vikoristovuemo Newton-Leibniz formülü:

"igame" integralinin sonucunu hayal edin:

Ne oldu? Nitekim, çözüm bir alt integrale ve kendisi de bir formüle indirgenmiştir. silindirik kiriş hacmi! Daha iyi bilin:

2)

3. integrali çözmenin rasyonel tekniğine saygı gösterin.

Vidpovid:

Hesaplama yazılabilir ve “tek satırda”:


Ancak bu şekilde dikkatli olun - swidkost'ta kazanırsanız, zaman kaybıyla tehdit edersiniz ve önemli bir kıçınız varsa, af için daha fazla şansınız vardır.

Önemli beslenme ile ilgili not:

Zihnin başının vikonannia gerektirmemesi için neden bir koltukta çalışmak gerekiyor?

Chotirma'yı yollarla içebilirsiniz:

1) Aynı cismin izdüşümünü çizin. En iyi seçenek, iki nezih koltuğu vikona etmenin, ağıt yakmamanın, kırgın koltukları soymanın mümkün olmasıdır. Bizi ileriye tavsiye ederim.

2) Daha fazla vücut çizin. Uygun, eğer vücut sakarsa, bu bariz izdüşüm. Böylece, örneğin, seçilen popoya üç göğüslü bir koltuk sıkıştı. Ancak, işte eksi - 3D resme göre, projeksiyonu atlama sırasını belirlemek kullanışlı değil ve bu şekilde sadece iyi eğitim düzeyine sahip insanlar için mutluyum.

3) Daha fazla projeksiyon göster. Tezh fena değil, ama obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari hakkında, raznih storіn'dan nizh zamezhena bölgesi. Ne yazık ki, üçüncü seçenek genellikle kafa karıştırıcıdır - eğer çok geçse, diğer zorluklarla başa çıkmak için çok büyük. І takі mi çok razglyademom uygulayın.

4) Koltuksuz dolaşın. Her kişinin düşüncenin gövdesini sunması ve form/format hakkında yazılı olarak yorum yapması gerekmektedir. Chi zavdan, de vikonannya'ya kadar en sadesine gitmekte fayda var, hem koltuk önemli. Ancak yine de, kabataslak küçük olanlar kullanmak istiyorsanız daha iyi olur, “hedef” çözümünün parçaları reddedilebilir.

Bağımsız yardım için bedene gelin:

popo 2

Kayıp integralinin yardımı için, yüzeylerle çevrili cismin hacmini hesaplayın.

saat bu özel tipe entegrasyon alanı düzensizlikler tarafından daha önemli olarak verilir ve fiyat daha kısadır - herhangi bir düzensizlik olmadan koordinat düzlemleri ve eşitsizlik dahil olmak üzere 1. oktantı ayarlar - napіvspіr, koordinatların koçanının intikamı nasıl alınır (tersi)+ alanın kendisi. “Dikey” düzlem bir paraboloid parabol tarafından yayılır ve koltuk bazhanında karahindiba indüklenmesi gerekir. Ek referans noktasını, daha basit terimlerle, parabolün tepesini bilmek isteyenler için. (anlamı görebiliriz ve rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Anlamaya devam edelim:

popo 3

Kayıp integralinin yardımıyla, belirlenen yüzeylerle çevrili gövdenin hacmini hesaplayın. Vikonati koltuk.

Çözüm: "koltuğun viconati" formülü bize deak özgürlüğü verir, ale, her şey için daha iyidir, geniş bir koltuğun vikonansını aktarır. Ancak, projeksiyon da kapatılamaz, burada yapılması en kolay şey değil.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї önceki taktikler yüzeyler, uygulamanın eksenine paralel gibi. Bu tür yüzeylerin eşitlenmesinin intikamı, “Z” açıkça değiştirilerek alınmamalıdır:

- Rivnyannya, koordinat düzlemini bütünden geçecek şekilde ayarlar ( dairedeki yak "aynı isme" eşittir);
- eşit görev düz, "aynı çizgiden" geçmek için "düz" düz eksene paralel.

Şaka yapan gövde düz bir tabanla çevrilidir ve parabolik silindir canavar:

“İksovі” ve “igrokovі” entegrasyonunun olduğu vücudu atlamak için bir prosedür oluşturalım, sanırım, iki dünya koltuklarının arkasında şarkı söylemek daha iyi:

Bu şekilde:

1)

"iplayer" - "ix" arkasına entegre edildiğinde, sabit kabul edilir, o zaman integralin işareti için sabit suçlanmalıdır.

3)

Vidpovid:

Yani, biraz unutmadan, zdebіlshogo otmany küçük (ve navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym koltuklar, oskolki z harika ymovіrnіstyu vinikne illüzyon mecburiyeti, Derste yaku I rozpov_shche hakkında Hacim vücut sargısı. Bu yüzden, göze çarpan liderin vücudunu tahmin ederek, yenisinde 4'ten fazla “küp” olduğu için özellikle şanslıydım.

Bağımsız bir vizyon için saldırgan bir popo:

popo 4

Kayıp integralinin yardımıyla, belirlenen yüzeylerle çevrili gövdenin hacmini hesaplayın. Bu vücudun koltuğunun çalışması ve düzlemdeki izdüşümü.

Zrazok bir ders için bir görev olarak tasarlandı.

Trivimir sandalyesinin vikonnanny'sinin daha zor olması nadir değildir:

popo 5

Kayıplı integral yardımı için, onu çevreleyen yüzeyler tarafından verilen cismin hacmini bilmek.

Çözüm: buradaki projeksiyon beceriksiz, ancak baypas sırası üzerinde, 1. yöntemin nasıl seçileceğini düşünmeniz gerekiyor, o zaman rakamın kaçınılmaz olarak sumi hesaplamasını tehdit edecek 2 parçaya bölünmesi gerekecek ikiÜçlü integraller. Daha zengin bir bakış açısına sahip biri için başka bir yol var. Bu vücudun koltuktaki izdüşümünde görülebilir ve görselleştirilebilir:

Bu tür resimlerin doğruluğunu tekrar soracağım, onları doğrudan kendi el yazmalarımdan çeviriyorum.

Rakamı atlamak için daha uygun bir sipariş seçiyoruz:

Şimdi vücudun arkasında sağda. Aşağıdan, canavardan düz bir alanla çevrilidir - tüm ordinattan geçmek için düz bir alan. Ve her şey hiçbir şey olmazdı, ancak dairenin geri kalanı çok dik ve çevreyi dolaşmak o kadar kolay değil. Buradaki seçim kıskanılacak bir şey değil: ya mücevher robotu küçük bir ölçekte (çünkü onu inceltmek için inceydi) ya da koltuk yaklaşık 20 santimetre yüksekliğinde (bu ve sığabilecek olanlar).

Ale ve üçüncü, sakince Rus sorunu çözme yöntemi puanlamak =) ve yana bir daire, alta bir daire ve canavara bir daire.

"Dikey" interentegrasyon açıkça şöyledir:

Gövdenin hacmini hesaplayalım, projeksiyonun etrafından daha küçük bir genişletilmiş şekilde geçtiğimizi unutmadan:

1)

Vidpovid:

Hatırladığınız gibi, vücudun zavdannya'sında propon yapmak yüz dolar için pahalı değildir, genellikle aşağıda bir daire ile çevrilidir. Ama bu bir kural değil, bu yüzden hazır olmalısın - günü geçirebilirsin, de tilo roztashovani pid düz. Yani, örneğin, seçilen zamіst'taki daireye bakarsanız, vücut alt boşlukta simetrik olarak temsil edilecek ve aşağıdan bir daire ve canavara bir daire ile çevrelenecektir!

Aynı sonucu görmek için geçiş yapmak kolaydır:

(Etrafta dolaşmanın gerekli olduğunu unutmayın kesinlikle yokuş aşağı!)

Ek olarak, daireye "aşık" sağda değil önde görünebilir, en basit popo: daireden daha fazla saklanmış bir çuval - yogik yükümlülüğün hesaplanmasıyla öne bakmanıza gerek yoktur.

Tüm bu görüşleri görebiliyoruz, ancak şimdilik bağımsız bir vizyonun görevi benzer:

popo 6

Kayıplı integralin yardımı için, yüzeylerle çevrili gövde hakkında bilgi sahibi olmak

Kısaca çözüm, dersi örneklendirmektir.

Daha az popüler olmayan malzemelerle başka bir paragrafa geçelim:

Silindirik koordinatlarda deneme integrali

Silindirik koordinatlar - ce, aslında, kutupsal koordinatlar boşlukta.
Silindirik bir koordinat sisteminde, uzaydaki bir noktanın konumu, noktanın kutupsal koordinatlarıyla belirlenir - noktanın düzleme izdüşümü ve noktanın kendisinin aplikesi.

Trivimer Kartezyen sisteminden silindirik koordinat sistemine geçiş aşağıdaki formüllerle gerçekleştirilir:

Dönüşümlerimizin yüz ellisi şöyle görünüyor:

Görünüşe göre, bu makalede kolayca görülen basit bir şekilde:

Golovne, "er" ek çarpanını unutma ve doğru şekilde düzenle entegrasyon arasındaki polarite projeksiyonu atlarken:

popo 7

Çözüm: aynı düzenden dotrimuєmosya diy: önümüze eşit bakıyoruz, bazı günlerde “Z” değişiyor Burada sadece bir tane var. projeksiyon silindirik yüzeyє "aynı isimde" alanında renk .

kareler shukane gövdesini alttan ve canavarı çevreleyin (silindirden “yoga asın”) ve renk olarak tasarlanmıştır:

Siyah bir trivimir koltukta. Asıl zorluk, yüzey alanında, sanki silindir “eğimli” kaputun altında bükülmüş gibi, daha sonra gitmek elips. Bu yeniden yazmayı analitik olarak açıklığa kavuşturalım: bunun için işlevsel görünümün düzlemini yeniden yazıyoruz. ve sorduğumuz noktalarda fonksiyonun değerini (“yükseklik”) hesaplıyoruz, sanki ara projeksiyonda yatıyormuş gibi:

Koltuktaki noktaları biliyor gibisin ve dikkatlice (ve benim gibi değil =)) zadnuєmo їх hattı:

Vücudun düzleme izdüşümü, silindirik bir koordinat sistemine geçişin hızı için argümanın uzunluğu ve uzunluğudur:

Yüzeyin silindirik koordinatlarda hizalamasını biliyoruz:

Şimdi vücudu atlamak için prosedürü izleyin.

Şimdi projeksiyondan başın arkasına bir bakalım. Bypass sırası nasıl belirlenir? Tam da böyle kutupsal koordinatlarda alt integrallerin hesaplanması. Burada şarap temeldir:

"Dikey" interentegrasyon da açıktır - vücuda düzlemden girer ve düzlemden çıkar:

Tekrarlanan entegrasyonlara geçelim:

Hangi çarpan için "er" hemen "kendi" integraline konur.

Vinik yak zavzhd'nin dalları kırmak daha kolaydır:

1)

Saldırgan integralin sonucunu alıyoruz:

Ve burada fi'nin bir sabit olarak önemli olduğu unutulmamalıdır. Ale tse şarkı saatine kadar:

Vidpovid:

Bağımsız bir vizyon için benzer görev:

popo 8

Yüzeylerle çevrili cismin hacmini kayıp integralinin yardımıyla hesaplayın. Bu vücudun Vikonati koltuğu ve meydandaki çıkıntısı.

Bir ders gibi Zrazok ince tasarım.

Elbette aynı kelimenin problemlerinin zihinlerinde silindirik bir koordinat sistemine geçişten bahsedilmediği gibi, kişinin Kartezyen koordinatlarda önemli integrallerle mücadele ettiği bilinmeyecektir. ... Ya da belki olmayacak - üçüncü, sakince Rus problem çözme yolu olsa bile.

Hepsi sadece başla! …iyi anlamda: =)

popo 9

Kayıplı integralin yardımı için, yüzeylerle çevrili gövde hakkında bilgi sahibi olmak

Mütevazı ve zevkle.

Çözüm: tüm sonlu yüzeyі eliptik paraboloid. Makalenin materyallerine saygıyla aşina olan okuyucular Uzayın ana yüzeyleri, zaten vücuda bakıyormuş gibi sunuldu, ancak pratikte katlanmış vipad'ler genellikle kapana kısıldı, bu yüzden analitik dünya hakkında bir rapor yapacağım.

Yüzeylerin renklendirildiği arkadaki çizgileri biliyoruz. Aşağıdaki sistemi kuruyor ve kuruyoruz:

1. eşitlikten birbirimizi şu terimlerle görebiliriz:

Sonuç olarak, iki kök alınır:

Sistemin eşit olup olmadığının anlamını bildiğinizi hayal edin:
yıldızlar çığlık atıyor
Otzhe, kök vіdpovіdaє tek nokta - koordinatların koçanı. Doğal olarak - üstlerin üst kısımları bile yukarı çıkıyor.

Şimdi başka bir kök düşünelim - sistemin eşit olup olmadığı için aynı:

Sonucun geometrik değişimi nedir? "Yükseklerde" (uçak yakınında) paraboloid ve koni birlikte renklendirilir Kola- noktada ortalanmış tek yarıçap.

Paraboloidin "kupası" koninin "hunisi"ni içerdiğinde, yatıştırmak son yüzey noktalı bir çizgi ile geçilmelidir (asmanın arkasında, bu açıdan görüldüğü gibi, bizim uzak bir görüşümüzdür):

Vücudun düzlemdeki izdüşümü renk bu gerçeğin açıklığıyla tasvir etmeye cesaret edemediğim yarıçap 1 koordinatlarının koçanındaki merkezle (protesto mektubu yorum robimo!). Konuşmadan önce, öndeki iki sandalyede, projeksiyonlar dövülebilirdi, fena değil.

Silindirik koordinatlara geçerken, eşitsizliği en basit şekilde yazmak ve günlük problemlerin projeksiyonunu atlamak için standart formüller kullanılabilir:

Silindirik koordinat sisteminin yüzey hizalamasını biliyoruz:

Sorun, koninin üst kısmına baktığından, görülebilir:

Alttan yokuş yukarı "Scanuemo gövdesi". Yeniden önce girmek için ışığı değiştirin eliptik paraboloid ve uç yüzeyden çıkın. Bu sırayla, gövdeyi atlamanın "dikey" sırası:

İkinci sağ teknik:

Vidpovid:

Vücudun onu yüzeylerle çevrelememesi, ancak herhangi bir düzensizlik olmaması istenirse, bu nadir değildir:

popo 10

geometrik zmist Geniş düzensizlikler, aynı kanıtlayıcı makaleden açıkladığım bildirildi. Mekanın ana yüzeyleri.

Tse zavdannya parametreyi ister ve saklar, ancak vücudun önemli bir görünümüne ilham veren tam koltuğa izin verir. Bir vikonati pobudova gibi düşünün. Kısacası çözüm kanıtlamaktır - bir ders gibi.

...peki, ne, bu bir çaça mı? Dersi bitirmeyi düşünüyorum ama sonra daha ne istiyorsun sanırım =)

popo 11

Kayıplı integralin yardımı için verilen cismin hacmini hesaplayın:
, De - Daha pozitif sayı.

Çözüm: eşitsizlik sütunu merkez koordinatların koçanı üzerinde olacak şekilde yarıçapa ve eşitsizliği ayarlayın - Yarıçapın tüm simetrisine sahip dairesel bir silindirin "içselliği". Bu sırayla, gövde, fısıldar gibi, yanda dairesel bir silindir ve üstte ve altta yüzeye simetrik küresel segmentlerle çevrilidir.

Dünyanın temel birimini alarak, koltuğu alıyoruz:

Daha doğrusu, yoga küçük bir bebek olarak adlandırılmalı, eksen boyunca orantı parçaları daha iyi olmayacak. Prote, adalet adına, akıl için, hiçbir şeyi yükseltmeye gerek yoktu ve böyle bir örnekleme oldukça yeterli görünüyordu.

Saygı göstermek için, burada obov'yazkovo z'yasovuvati yüksekliği değil, “şapkanın” arkasından sarkan böyle bir silindirde - sadece elinize bir pusula alın ve koordinatların koçanı üzerindeki merkezi olan sütunu işaretleyin. 2 cm'lik bir yarıçap, daha sonra çapraz çubuğun silindirli noktaları kendiliğinden görünecektir.

1. Silindirik koordinatlar, xy düzlemindeki ve önemli Kartezyen uygulayıcı z'den alınan bir dizi kutupsal koordinatlardır (Şekil 3).

M(x, y, z) xyz uzayında yeterli bir nokta olsun, P, M noktasının xy düzlemine izdüşümü olsun. M noktası benzersiz bir şekilde üçlü bir sayı ile atanır - P noktasının kutupsal koordinatları, z - M noktasının uygulamasıdır. Bunları Kartezyen olarak adlandıran formüller görünebilir.

Jacobian fermantasyonu (8)

popo 2.

integrali hesapla

de T - yüzeylerle çevrili alan

Çözüm. Formülleri (9) kullanarak integrali küresel koordinatlara geçiyoruz. Aynı entegrasyon alanı düzensizlikler ile ayarlanabilir

Ve bu demek ki

popo 3 Saçaklı vücudun hacmini bilin:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - O (000) noktasında bir merkezi olan R \u003d v8 yarıçaplı bir küre,

Koninin üst kısmı z2 = x2 + y2, Oz'un tüm simetrisi ve O noktasındaki tepe (Şekil 2.20).

Koninin küresinin çapraz çubuğunun çizgisini biliyoruz:

І zihin z için kırıkları? 0, o zaman

z=2 düzlemine yakın olan R=2 çemberi.

Bu doğru (2.28)

canavar tarafından sınırlanan de alan

(bir kürenin parçası),

(Bir koninin parçası);

U alanı, Ohu alanı alanı D - yarıçap 2'ye yansıtılır.

Ayrıca, integralde silindirik koordinatlara aşamalı olarak geçmek için, muzaffer formüller (2.36):

Değişiklikler arasında, r, merkezi O noktasında olan R=2 sütununun dışındaki D v mesafesine göre aynı şekilde anlamlıdır: 0?c?2p, 0?r?2. Bu şekilde, silindirik koordinatlardaki U bölgesi, ilerleyen düzensizlikler ile işaretlenir:

buna saygı duyuyoruz

Depositfiles'den Zavantage

Potansiyel integral.

Yiyecekleri kontrol et.

Tutarlı integral, gücün yogası.

Üçüncü integraldeki değişikliklerin değiştirilmesi. Silindirik koordinatlarda kayıplı integralin hesaplanması.

Küresel koordinatlarda kayıplı integralin hesaplanması.

hadi işlevi sen= f(x,y,z) kapalı alana atanır V Uzay R 3. Rozib'ёmo bölgesi V iyi rütbe n temel kapalı alanlar V 1 , … ,V n, okul V 1 , …,  V n açıkça. Önemli ölçüde d- bölgelerin çaplarının en büyüğü V 1 , … ,V n. Cilt bölgesinde V k iyi bir nokta seç P k (x k ,y k ,z k) ve depolama integral toplamı fonksiyonlar f(x, y,z)

S =

Randevu.deneme integrali fonksiyon türü f(x, y,z) Bölgeye göre Vİntegral toplam denir
yakscho vin isnuє.

bu şekilde,

(1)

Saygı duymak. integral toplamı S bölgeyi parçalama yolunda mevduat V noktayı seç P k (k=1, …, n). Ancak bir sınır varsa o bölgeyi parçalamanın önüne geçmeyecektir. V noktayı seç P k. Alt değişkenin atamasını ve artan integralleri karşılaştırırsanız, aynı benzetmeyi onlarda kullanmak kolaydır.

Kayıplı integral için yeterli muhakeme. Fonksiyon olarak deneme integrali (13) kullanılır f(x, y,z) kenarlıdır V ben kesintisiz V, topaklı-pürüzsüz yüzeylerin son sayısının tepesinin arkasında, çürüyen V.

Çömlek integralinin güç eylemleri.

1) Yakscho W- Sayısal sabit, o zaman

3) Bölgeye göre katkı oranı. Yakscho bölgesi V bölgelere ayrılmış V 1 і V 2, o zaman

4) Uygun vücut V dorovnyuє

(2 )

Kartezyen koordinatlarda kayıplı integralin hesaplanması.

Hadi D vücut projeksiyonu V dairede xOy, yüzey z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) vücudu sarar V bu canavarın altında açık. ne demek

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Böyle bir beden denir z- Silindirik. Deneme integrali (1) z-silindirik gövde V integralin menteşeli türünden toplanan tekrarlanan integrale geçişle hesaplanır:

(3 )

Omurganın bu tekrarlanan integralinde, değişimin iç sing integrali hesaplanır. z, hangi x, y vvazhayutsya yakın. hadi sayalım alt integral bölgeye göre seçilen işlevin görünümü D.

Yakscho V x- silindirik veya y- silindirik gövde, ardından formüle göre düzeltin

İlk formül için D  vücut projeksiyonu V koordinat düzlemine yOz, ve diğerinde - uçakta xOz

uygulamak. 1) Vücut toplamını hesaplayın V yüzeylerle çevrili z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Çözüm. Formül (2)'nin arkasındaki kayıp integralinin yardımı için sayalım.

Formül (3)'ten sonra tekrarlanan integrale geçelim.

Hadi D- renk x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Formül (3) aşağıdaki Todi alınır

Bu integrali hesaplamak için kutupsal koordinatlara geçiyoruz. ne zaman tsimu kolo D yüzsüze dönüşmek

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V yüzeylerle çevrili z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Hesapla

kareler z=y , z=-y vücudu aşağıdan ve canavara sarmak, düz x= 0 , x= 2 gövdeyi arkadan ve önden çevreleyin ve düz y= 1 sağ el V-z- silindirik gövde, yoga projeksiyonu D dairede merhabaє dikdörtgen OABC. hadi onu yere koy φ 1 (x , y ) = -y

Dikdörtgen koordinatlar biçiminde dikey integralin yeniden işlenmesi kutupsal koordinatlara
, dik açılı koordinatlarla bağlantılı
,
, formülü takip et

Entegrasyon alanı nedir
iki borsa ile çevrili
,
(
), kutuplardan çıkan, bu ikisi çarpık
і
, daha sonra alttaki integral formül kullanılarak hesaplanır

.

popo 1.3. Bu çizgilerle çevrili şeklin alanını hesaplayın:
,
,
,
.

Çözüm. Bölgenin alanını hesaplamak için
formül ile hızlandırılmış:
.

hayal edilebilir alan (Şekil 1.5). Eğrileri kimin için dönüştürüyoruz: , , , . Kutupsal koordinatlara geçelim: , . . Kutupsal koordinat sisteminde, alan eşit olarak tanımlanmalıdır:

.

1.2. potansiyel integraller

Üçüncü integrallerin ana güçleri, alt integrallerin güçlerine benzer.

Kartezyen koordinatlarda üçüncü integral aşağıdaki gibi yazılmalıdır:

.

Yakscho
, daha sonra bölge üzerindeki üçüncü integral vücudun sayısal olarak daha büyük hacmi :

.

Kayıplı integralin hesaplanması

Entegrasyon alanı olsun aşağıdan ve canavara kadar açık ve net, kesintisiz yüzeylerle çevrilidir.
,
ayrıca, alanın projeksiyonu koordinat düzlemine
є düz alan
(Şekil 1.6).

Sabit değerlerle aynı geçerli uygulamalar alan noktası sınırlarda değişiklik Todi otrimuemo: . Dahası, bir projeksiyon düzensizlikleri belirtmek , , de - açık kesintisiz fonksiyonlarüzerinde , sonra

.

popo 1.4. Hesaplamak
, de - düz, dairelerle çevrili:

	, , , ( , , ). Çözüm. Entegrasyon alanı piramittir (Şekil 1.7). Alan projeksiyonu є trikutnik , düz çizgilerle , , (Şek. 1.8). saat aplike nokta Gerginliği tatmin etmek Buna .
	tricoutnik için interentegrasyon düzenleme , alınmış

Silindirik koordinatlarda deneme integrali

Kartezyen koordinatlara geçerken
silindirik koordinatlara
(Şekil 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, dahası

	, ,, üçüncü integral şuna dönüştürülür: popo 1.5. Yüzeylerle çevrili vücudun hacmini hesaplayın: , , . Çözüm. Vücudun hacmi, ne hakkında şaka yapmalı dorovnyuє .
	Entegrasyon alanları, düz bir tabanla çevrili bir silindirin parçasıdır. , ama canavar düz (Şekil 1.10). Alan projeksiyonu є kolo koordinatların koçanı üzerinde ortalanmış ve tek bir yarıçap ile. Silindirik koordinatlara geçelim. , , . saat aplike nokta , gerginliği giderir veya silindirik koordinatlarda:

Bölge
, bir eğri ile çevrili
, görmek için sabırsızlanıyoruz, aksi halde
tsimu polar kut'da
. Sonuçlar olabilir

.

2. Alan teorisinin unsurları

Eğrisel ve yüzey integrallerinin nasıl hesaplanacağını önceden tahmin edelim.

Eğrilere atanan fonksiyonların koordinatları üzerinden eğrisel integralin hesaplanması , formdaki ilk integralin hesaplanmasına indirgenebilir

ne kadar eğri parametrik olarak verilen
eğrinin koçanını gösteren , a
- Її bitiş noktaları.

Bir fonksiyon olarak yüzey integralinin hesaplanması
, çift taraflı yüzeyde işaretlenmiş , eksik tahmin edilen integralin hesaplanmasına kadar ekleyin, örneğin, zihin

,

yüzey gibi , eşitlere atanmış
, uçağa benzersiz bir şekilde yansıtıldı
bölgeye
. Burada - tek bir normal vektör arasında kesin yüzeye ve tüm
:

.

Yüzeyin baş tarafının zihinleri tarafından tüketilir formül (2.3) işaretinin seçimi ile belirlenir.

Randevu 2.1. Vektör alanı
noktanın vektör fonksiyonu denir
її atanan alandan bir kerede:

Vektör alanı
skaler bir değer ile karakterize edilir - uyuşmazlık:

Randevu 2.2. akış Vektör alanı
yüzeyden yüzey integrali olarak adlandırılır:

,

de - yüzeyin seçilen tarafına tek bir normal vektör , a
- skaler doboot vector_v і .

Randevu 2.3. dolaşım Vektör alanı

üzerinde kapalı eğri eğrisel integral denir

,

de
.

Ostrogradsky-Gauss formülü vektör alanı akışı arasında bir bağlantı kurun kapalı bir yüzeyden ve alanın farklılığı:

de - Üstte, kapalı bir döngü ile çevrili , a - Yüzeye tek normal vektör. Doğrudan normal, konturun doğrudan baypas edilmesinden faydalar olabilir .

popo 2.1. Yüzey integralini hesaplayın

,

de - Koninin Zovnishnya kısmı
(
), uçak tarafından görülen
(Şekil 2.1).

Çözüm.üstte bölgede benzersiz bir şekilde tasarlanmış
daireler
, ve integral formül (2.2)'den sonra hesaplanır.

Yüzeye tek normal vektör (2.3) formülünden biliyoruz: . Burada normal için artı işareti seçilir, kırıklar kesilir havada bu normal - aptal ben, otzhe, olumsuz olabilir. Vrakhovuyuchi şo , yüzeyin üzerinde kabul edilebilir

Bölge
є kolo
. Bu nedenle, kalan integralde kutupsal koordinatlara geçiyoruz, bunun için
,
:

popo 2.2. Bir vektör alanının diverjansını ve kıvrılmasını bulun
.

Çözüm.(2.4) formülü için

Vektör alanının rotoru formül (2.5) ile bilinir.

popo 2.3. Vektör alanının değerini bilin
alanın bir kısmı boyunca :
, roztashovanu ilk oktantі'da
).

	Çözüm. Formülün kuvveti (2.6) . Bölgenin bir bölümünü temsil ediyoruz : , raztashovanu ilk oktant. Rüzgar siperlerinde verilen alanın hizası görünebilir (Şekil 2.3). Düzlemin normal vektörü şunları koordine edebilir: , tek normal vektör
	. . , , yıldızlar , otzhe,

de
- alan projeksiyonu üzerinde
(Şekil 2.4).

Örnek 2.4. Kapalı bir yüzeyden geçen bir vektör alanının akısını hesaplayın , bir daire tarafından yerleşmiş
koninin o kısmı
(
) (Şekil 2.2).

Çözüm. Ostrogradsky-Gauss formülü ile hızlandırılmış (2.8)

.

Vektör alanının diverjansını biliyoruz formül (2.4):

de
- obsyag koni, yakim іtegruvannya'yı yönetti. Koninin hacmini hesaplamak için ev formülü ile hızlandırın
(- koninin tabanının yarıçapı, - Yogo yüksekliği). Aklımız için alabiliriz
. artık

.

popo 2.5. Vektör alanının dolaşımını hesaplayın
kontur boyunca , üstte peratin kaplı
і
(
). Stokes formülünü kullanarak sonucu doğrulayın.

Çözüm. Peretina zaznachenih yüzey є colo
,
(Şekil 2.1). Titreşimi doğrudan atlayarak, etrafını saran salakları seslendirerek, alan kötülükle kaldı. Konturun parametrik hizalamasını yazalım :

yıldızlar

ayrıca, parametre değiştirmek önceki
. (2.1) ve (2.10) denklemlerinden formül (2.7) arkasında alıyoruz

.

Şimdi Stokes formülünü (2.9) ifade edelim. Yak yüzeyi , kontur üzerinde gerilmiş , alanın bir kısmını alabilirsin
. doğrudan normal
tsієї surfy zgodzhuєtsya z doğrudan devre bypass için . Uygulama 2.2'deki hesaplamaların inci vektör alanının rotoru:
. Yani shukana dolaşımı

de
- bölgenin alanı
.
- yarıçapa yakın
, yıldızlar