Termal iletkenliğin eşdeğeri olarak kaydedilir. Termal iletkenlik eşittir. Termal iletkenliğin muayenesi
Sabit olmayan vipadku için Rivnyannya termal iletkenliği
durağan olmayan vücudun sıcaklığı olduğu gibi yatmak noktasının pozisyonunda olduğu gibi, saatte de öyle.
önemli ölçüde і = і(M, t) nokta sıcaklığı M bir yüzeyle çevrili homojen cisim S, şu anda t. Görünüşe göre sıcaklık miktarı dQ, sho poglaєtsya bir saat içinde dt, kıskançlığını ifade et
de dS- yüzey elemanı, k− iç termal iletkenlik katsayısı, − benzer fonksiyon і yüzeye düz bir normal ile düz bir çizgide S. Parçalar sıcaklıkta doğrudan bir düşüşle genişler, sonra dQ> 0, eğer > 0 ise, o zaman dQ < 0, если < 0.
R_vnostі (1) vyplivaє
Şimdi biliyoruz Q başka bir şekilde. görünür öğe dV yemin etmek V, bir yüzeyle çevrili S. sıcaklık miktarı dQ, eleman tarafından tutulur dV bir saat içinde dt, her bir elementin sıcaklık artışı ve elementin kendisinin kütlesi ile orantılı olarak, tobto.
konuşma degustin, orantı katsayısı, konuşmanın ısı kapasitesi başlıkları.
Rіvnostі (2) vyplivaє
bu şekilde,
de. Vrahovoyuchi, sho = , , otrimaemo
Ostrogradsky - Grin'in ek formülü için kıskançlığın doğru kısmını değiştirerek,
herhangi bir zorunluluk için V. Zvіdsi otrimuєmo diferansiyel parite
yake adı durağan olmayan uçuculuk için termal iletkenliğe eşit.
Yakshcho gövdesi ve makası, eksen boyunca doğrultma ey, o zaman termal iletkenlik eşit olabilir
Kosh'un yaklaşan ayaklanmalar için görevine bir göz atalım.
1. Bir çitsiz hızlı Vipadok.Ödemenin çözümünü bilin (3) ( t> 0, ), bu Pochatkov'un zihnini tatmin eder. Vykoristovuyuchi yöntemi Four'є, görüşte otrimaєmo kararı
- Poisson integrali.
2. Vipadok makası, bir yandan saçaklı. Pochatkov zihnini ve bölgesel zihni tatmin eden çözümler (3) formülle ifade edilir.
3. Vipadok makası, iki yandan saçaklı. Zavdannya Koshі polagaє, schob at X= 0 і X = benörneğin, aksi takdirde, iki bölgenin zihnini tatmin eden (3) eşit çözümü bilmek.
Bu noktada, özel olarak, çözüm arka arkaya koşturuyor.
kenar zihinler için
ve sıranın bakışında
marjinal beyinler için.
popoÇözümü bilin
koçanı ne tatmin eder
ve aşırı akıllara.
□ Görevleri çözme
bu şekilde,
Sabit bir havalandırma için termal iletkenliğin eşitlenmesi
Rozpodіl tіl_ adına ısı sabit vücut ısısının yanı sıra і nokta pozisyonunda yatmak M(X, de, z), ancak saatte uykuya dalmayın t, sonra.
і = і(M) = і(X, de, z).
Bu sargı için 0 ve sabit bir sargı için eşit termal iletkenlik Rivnyannia Laplace
yake genellikle görüşte yazar.
Schob sıcaklığı і tili açık bir şekilde aynı seviyeden başladı, yüzeydeki sıcaklığı bilmek gerekiyor S gövde. Bu sıralamada, eşit (1) bölge Müdürüşekilde formüle edilmiştir.
Fonksiyonu bilin і, scho vіdpovіdaє іvnyannu (1) vіdnі obyagu V ve onu cilt noktasında alıyorum M yüzey S değeri ayarla
Görev denir Dirikhli'nin yöneticilerine veya ilk bölge valileri hizalama için (1).
Her ne kadar vücudun yüzeyinde sıcaklık bilinmese de ve deriye yakın ısı akısı orantılı olan yüzeyde, daha sonra yüzeyde S bölgesel aklın yardımcısı (2) aklın annesi
Bölgesel aklı (3) tatmin eden çözümün (1) öneminin yöneticisine denir. Neiman'ın yöneticilerine veya diğer bölge valileri.
Düz şekiller için Laplace denklemi şu şekilde yazılır:
Böyle bir bakan Laplace'ın ve uzay için olabilir, і koordinatlarda yalan söyleme z, sonra. і(M) bir noktayı hareket ettirirken sabit bir değer alır M Düz bir çizgide paralel eksen Öz.
Değişim, eşitleme (4) kutupsal koordinatlara dönüştürülebilir
Laplace'ın eşitlerinden, harmonik fonksiyonun anlaşılmasını anlıyorlar. fonksiyon denir uyumlu bölgede D bu dolapta olduğu gibi, akrabalarıyla aynı anda farklı bir düzende, kapsayıcı ve Laplace'dan memnun.
popo Kesme uçlarında olduğu gibi, ısı yalıtımlı boncuklu yüzeye sahip ince bir kılıfta sıcaklığın durağan dağılımını bilin.
□ Tek yönlü bir düşüş olabilir. Fonksiyonu bilmek gerekiyor і, bölgesel zihinleri memnun eden şey. Zagalne Rivnyannia Atanan eşit bakabilirim. Vrakhovuyuchi kraiovі zihin, otrimaemo
Bu sırada, ısı yalıtımlı bichnoy yüzeyi ile ince bir saç kesiminin sıcaklığını doğrusal olarak alt bölümlere ayırdım. ■
Dirichli hisse için menajer
yarıçapa verilsin R kutup merkezli profesyonel kutupsal koordinat sistemi. Yogada beni neyin mutlu ettiğini düşündüğüm zaman, de - fonksiyon ayarlandı, ne zaman için kesintisiz. Laplace eşitse Shukana işlevi karşılanabilir
Vikoristovuyuchi yöntemi Four'є, alabilirsin
- Poisson integrali.
popo Yarıçaplı düzgün ince yuvarlak bir plaka üzerindeki sabit sıcaklık dağılımını bilin R, üst yarı normal sıcaklık için ve alt yarı - normal sıcaklık için kırpılır.
□ O zaman Yakscho, ama o zaman yakscho. Sıcaklık dağılımı integral ile ifade edilir
Pivkruz, tobto'nun tepesinde çürüme noktası olsun. ; sonra yönünü değiştir ve bu ara noktayı kaçırma. Buna bir ikame tanıtıyoruz, yıldızlar, . Todi otrimaєmo
Yani sağ kısım negatif, o zaman і sinirden tatmin olduğunda. Ne tür bir durum için bir çözüm gerekli
Nokta gibi, tobto alt pіvkruzі'da yırtılır. , daha sonra aralık bir noktayı silmek veya 0'ı silmemek için değiştirilir ve bu değerler için bir ikame , yıldızlar , , Todi ekleyebilirsiniz.
Provіvshi benzer dönüşüm, biliyoruz
Oskіlki sağ kısım şimdi olumlu, o zaman. ■
Termal iletkenliğin iyileştirilmesi için nihai farklılıklar yöntemi
Çözümü bilmek gerekli olsun
tatmin edici bir şekilde:
koçan beyni
o bölgesel beyinler
Otzhe, o zaman zihinleri (2), (3), (4) memnun edecekmiş gibi, çözümü (1) eşit bilmek gerekir. Düz çizgilerle çevrelenmiş bir dikdörtgendeki çözümü bilmek, , , ve ayrıca rastgele bir fonksiyonun değerini üç kenarlı , , , belirlemek gerekir .
Düz bir ızgara yapalım, düz yapacağım
- krok uzdovzh ekseni ey;
- krok uzdovzh ekseni görüş.
Notasyonu tanıtalım:
yazmak mümkün
benzer şekilde
Kurtarma formülleri (6), (7) ve girilen değere eşit (1) yazıyoruz.
Zvіdsi otrimaєmo Rosrakhun'un formülü
Z (8) hala üç değeri gösterdiği açıktır. kızgaranın -th topu: , , , sonra değeri belirleyebilirsiniz ( k+ 1). top.
Pochatkova umova (2), tüm anlamları düz bir çizgi üzerinde bilmenizi sağlar; bölgesel akıllar (3), (4) ta satırlarındaki değerleri bilmenizi sağlar. Formül (8)'in arkasında, ilerleyen topun tobto'nun tüm iç noktalarında değerlerin geçersiz kılındığı bilinmektedir. için k= 1. Sınır zihinlerindeki uç noktalarda shukan fonksiyonunun değeri (3), (4). Izgaranın bir topundan diğerine geçerken, ızgaranın tüm düğümlerinde yanlış kararın önemi önemlidir. ;
ISI İLETKENLİĞİNİN İYİLEŞTİRİLMESİ İÇİN ANALİTİK YÖNTEMLER
Analitik yolların hiçbiri, aynı ısı iletim sıralarının birçoğu tarafından bile yürütülmemiştir.
Örneğin A.V.Likov, tek dünya sorununun zihinlerinde termal iletkenliğin eşitlenmesini geliştirmek için çeşitli yöntemlere bakar: alt boyutlar yöntemi, dzherel yöntemi, operasyonel yöntem, uçtan-uca yöntemi. integral dönüşümleri sonlandırın.
Sesi yalnızca en büyük genişliği alan ilk yönteme verdik.
Virishenni rіvnyannya termal iletkenlik durumunda alt boyutlar yöntemi
Isı olmadan görülebilen tek boyutlu bir bitkinin zihninde termal iletkenliğin diferansiyel eşitlemesi
T/?f = bir? 2 t/?x 2 .(3.1)
Eşitleme değeri, iki alternatif x ve f'de gerçek fonksiyon t için sabit katsayılı tek biçimli diferansiyel eşitlemenin farkı olarak tanımlanır:
Yanlış yorumlamak kolay
t = C exp (bx + wf). (3.3)
Diyno:
- ?t/?x = bC exp (bx + wf); ?t/?f = ss exp (bx + wf);
- ? 2 t /? x 2 \u003d b 2 C exp (bx + wf);
- ? 2 t /? f 2 \u003d 2 C exp (bx + wf);? 2 t/(? x ? f) = bvs exp (b x + wf). (3.4)
Kalan yedi eşittir Spіlne kararı verildi
a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0. (3.5)
Kalan eşitlere katsayıların eşitleri denir.
Eşit (3.1)'e geçmek, yogayı eşitlemek (3.2),
b 1 \u003d c 1 \u003d d 1 \u003d f 1 \u003d 0; 1 = - bir; l 1 = 1. (3.6)
Okremy vypadku denkliği (3.1) için katsayıların (3.5) denkleştirilmesi şuna benzer
B 2 a + = 0(3.7)
c = b2a. (3.8)
Bu şekilde, özel çözüm (3.3) ve diferansiyel denklemin (3.1) ve denklemlerin (3.8) integrali görünecektir.
t \u003d C exp (b 2 aph + bx). (3.9)
C, b, a sayılarının değerlerinin kime ait olduğunu belirlemek mümkündür.
Viraz (3.9)
t = C exp (b 2 af) exp (bx), (3.10)
de exp çarpanı (b 2 af), bir saatten fazla f ve exp çarpanı (bx) için bir fonksiyondur - sadece birkaç kez x:
exp (b 2 aph) = f (f); exp (bx) = q (x). (3.11)
Daha fazla saat boyunca, tüm noktalardaki sıcaklık sürekli olarak artar ve pratik görevlerde tartışılmayan daha önceden belirlenmiş olabilir. Bu nedenle, yalnızca b 2'nin negatif olduğu ve tamamen görünen bir değerle mümkün olan b değerlerini alın. Kabul edilebilir
b = ± iq, (3.12)
de q - daha fazla deisne numarası(önceden, q işareti termal potiğin fidanlığını gösteriyordu),
Saldıran bakışın ardından tsomu vpadka'da (3.10) eşittir:
t = C exp (-q 2 af) exp (± iqx). (3.13)
Önde gelen Euler formülüne doğru yuvarlanma
exp (± ix) = cos x ± ben günah x (3.14)
i, onunla coryst, yeniden eşitliyoruz (3.13). Karmaşık bir bakış açısıyla iki çözüm alıyoruz:
Nehrin sol ve sağ kısımlarını (3.15) toplayalım, sonra toplamın sol ve sağ kısımlarındaki bariz kısımları görelim ve aynı şekilde eşleştirelim. Sonra iki karar alıyoruz:
Notasyonu tanıtalım:
(Cı + C2) / 2 = D; (C 1 - C 2) / 2 = C (3.17)
Ardından, diferansiyel ısı iletkenliğini (3.1) karşılayan iki karar alırız:
t 1 \u003d D exp (-q 2 af) cos (qx); t 2 \u003d C exp (- q 2 af) günah (qx). (3.18)
Görünüşe göre, fonksiyon iki özel çözüme sahip olabileceğinden, bu özel çözümlerin toplamı dış diferansiyel denklem (3.1) ile karşılanacaktır, böylece bu denklemin çözümleri
t \u003d C exp (-q 2 af) sin (qx) + D exp (-q 2 af) cos (qx), (3.19)
ve bu kıskançlığı memnun eden nihai karar şu şekilde yazılabilir:
q m , qn , Ci , D i değerlerinin (3.20) eşit olup olmadığı (3.1) eşittir. Tsikh değeri seçiminin somutlaştırılması, derinin özel pratik görevinin koçanı ve sınır zihinlerine atanır, ayrıca, q m і q n değerleri sınır zihinlerine atanır ve C ben і D ben - koçandan .
Isı iletkenliğinin (3.20) eşitlenmesine ilişkin küresel kararın suçu, bu durumda, biri x'i biriktirmek ve diğeri - f, böyle bir durumun imkansız olduğu daha fazla bir çözüm var olan iki işlev vardır. , örneğin:
Rahatsız edici çözümler, değiştirilmesi kolay, koçan üzerinde їx'in çeşitlendirilmesi ve ardından 2 çarpı x ve sonucun diferansiyel eşitlemede (3.1) sunulmasıyla, ısıl iletkenliğin eşitlenmesiyle tatmin edilir.
İstasyonun yakınında sabit olmayan sıcaklık alanının özel poposu
Saplantılı çözümün ucuna bakalım.
Pochatkov verileri.
- 1. Arabanın beton duvarı verildiğinde 2X = 0.80 m.
- 2. Ortadaki gereksiz duvarın sıcaklığı i = 0°С'dir.
- 3. Başlangıç saatinde, zorunlu noktalarda duvar sıcaklığı F(x)=1°C'dir.
- 4. Duvarın ısı transfer katsayısı b = 12,6 W / (m 2 ° C); duvarın ısıl iletkenlik katsayısı l=0.7W/(m °C); duvar malzemesinin kalınlığı = 2000kg / m3; evcil hayvan ısı kapasitesi c=1.13 10 3 J/(kg °C); ısıl iletkenlik katsayısı a = 1.1 10 -3 m 2 / yıl; dış ısı transfer katsayısı b/l = h=18.01/m. Koçan saatinden 5 yıl sonra istasyondaki sıcaklığın belirlenmesi gerekir.
Çözüm. Derin çözüme (3.20) dönerek ve kulakta beliren koçan ve sıcaklığın başlangıcı duvarın eksenine simetrik olarak yükseldi, böylece sonik çözeltiye yakın bir dizi sinüs ve x = X gibi görünüyor
Sınır zihinlerinden atanan (ek açıklama yapılmadan) ve Tablo 3.1'de belirtilen değerler.
Tablo 3.1'deki değerlere bakıldığında formülün arkasında bir takım değerler olduğu biliniyor.
Tablo 3.1 Formül (3.24) öncesi girilecek fonksiyonların değerleri
|
|
|
|
|
o zaman D1 = 1.250; D2 = - 0.373; D3 = 0.188; D4 = - 0.109; D5 = 0.072.
Pochatkovy, bir saldırı beklentisiyle görülen duvardaki sıcaklığı yükseltti:
Koçan sonrası andan 5 yıl sonraki sıcaklık artışını ölçmek için 5 yıl sonraki saat için bir takım değerler hesaplamak gerekiyor. Tablo 3.2'de Qi rozrahunka vikonanі.
Tablo 3.2 Formül (3.23) öncesi girilecek fonksiyonların değerleri
|
A=(q ni X) 2 (af/X 2) |
|||||
Koçan anından 5 yıl sonra damar duvarlarındaki sıcaklık düşüşü için kalıntı virüs
Şekil 3.1, bir saat ve 5 yıl sonra koçan anında duvardaki sıcaklık artışını göstermektedir. Nihai çözümlerin sırası hemen gösterilir ve özel, ayrıca özel eğriler, son satırlara (3.25) ve (3.26) karşılık gelen Romen rakamlarıyla gösterilir.
Şekil 3.1.
Pratik ihlaller durumunda, duvarın her noktasında sıcaklığın belirtilmesi gerekli değildir. Kendinizi yalnızca bir nokta için, örneğin duvarın ortasındaki bir nokta için bir sıcaklık yükseltici ile çevrelemek mümkündür. Ve burada formül (3.23) için robot sayısının hesaplanması önemli ölçüde hızlanacaktır.
Açık çalılıktaki sıcaklık genellikle 1 ° C değil, T s, daha sonra eşit (3.20) olsa da gelecekte göreceğim
Farklı sınır zihinleri için termal iletkenliğin eşitlenmesini çözme
Mevcut görevlerin sona ermesi için pratik öneme sahip olabileceğinden, diğer sınır zihinleri için termal iletkenlik seviyesini yükseltmenin son adımını yönlendirmeyelim. Aşağıda, bariz hazır çözümler göstererek onların zihinlerinin formüllerine karışmamız daha az olasıdır.
Pochatkov verileri. Mayıs Duvarı Tovshchina 2X. Tomurcuk anında, yüzeyde, sıcaklık T 0 ° C yüzeyindeki sıcaklık utrimuєєєєєєєєєє protyazhuyushogo razrahunkovy dönemidir.
t = f(x, f) bilmek gereklidir.
Rutubetsiz rezervuar, en büyük su kalınlığının (Тс = 4°С) sıcaklığından dolayı buzla kaplıydı. Su havzasının derinliği 5 m'dir (Х = 5 m). Razrahuvat donduktan 3 ay sonra havzadaki su sıcaklığı. Tahribatsız suyun sıcaklık iletkenliği a = 4,8 10 -4 m 2 / yıl. Tabanın termal akışı, daha sonra günde x = 0'da.
Genleşme süresi boyunca (f = 3 30 24 = 2160 yıl), yüzeydeki sıcaklık sabit bir değere düşürülür ve sıfıra eşittir, yani x = X T p = 0 ° C'de. Tüm genleşme tabloya indirgenir. 3 ve 4. Tablodaki sayılar, dip derinlikler için koçan anından 3 ay sonra ve daha sonra 1 m'den sonra sıcaklık değerlerini hesaplamanıza izin verir, ardından t 0 (alt) = 4 ° С; t 1 \u003d 4 ° С; t 2 \u003d 3.85 ° C; t 3 \u003d 3.30 ° C; t 4 \u003d 2.96 ° C; t 5 (pov) \u003d 0 ° C
Tablo 3.3
Tablo 3.4
Bir bachimo gibi, kesinlikle tahribatsız suda, olukların sıcaklığı, kömürün nüfuz etmesi daha da olasıdır. Doğal akıllarda, su yollarının yakınında, çarpık bir eğri altında, her zaman yerçekimi (akan) veya konvektif (rіznoschіlnі) veya nareshti, viklikanі nadhodzhennyam gruntovyh sularında sızıntılar vardır. Her şey farklı doğal özellikler pratik rozrahunkah ile kızak vrakhovuvati ve tsikh rozrahunkiv için öneriler K.I. Rossinsky'nin asistanlarında ve robotlarında bulunabilir.
Vücut bir tarafla çevrilidir (napіvploshchina). Tüm noktalarda f \u003d 0 saatinde, vücudun sıcaklığı soğuk T s'dir. f > 0 saatinin tüm anları için cismin yüzeyi Tp = 0°C sıcaklığa tabidir.
Vücuttaki ısı dağılımını ve vücuttaki ısı kaybını bilmek gerekir. Serbest yüzey saatin bir fonksiyonu olarak: t = f (x, f),
Çözüm. Vücudun herhangi bir noktasındaki sıcaklık, zamanın bir noktasındaki sıcaklıktır.
de є Gauss integrali. Bir fonksiyon olarak nadasın değeri Tablo 3.5'te gösterilmiştir.
Tablo 3.5
Pratik olarak, karar, görevin zihni için x ve f görevlerinin bulunduğu atamaya dayanmaktadır.
Vücut yüzeyinin bütünlüğü tarafından tüketilen ısı miktarı ortada, Dört yasasına bağlıdır. Koçandan rozrachunk'a kadar tüm rozrachunk dönemi için
Saatin başında, yüzeyden önemli bir derinliğe kadar toprağın sıcaklığı sabit 6°C idi. Aynı zamanda, toprak yüzeyindeki sıcaklık 0°C'ye düştü.
Toprağın sıcaklık iletkenlik katsayısı değeri a = 0.001 m 2 / yıl ile 48 yılda 0,5 m derinlikte toprağın sıcaklığını belirlemek ve ayrıca harcanan ısı miktarını tahmin etmek gerekir. bir saat içinde yüzey.
Formül (3.29)'a göre 0,5 m derinlikteki toprağın 48 yılda sıcaklığı t=6 0,87=5,2°C'dir.
Isı iletkenlik katsayısı l \u003d 0,35 W / (m ° C), giriş ısı kapasitesi c \u003d 0,83 10 3 J / (kg °) ile toprak yüzeyinde tek bir ünite tarafından harcanan toplam ısı miktarı C) ve kalınlık c \u003d 1500 kg / m3 (3.30) Q \u003d l,86 10 6 J / m2 formülü için önemlidir.
integral termal iletkenlik vücut ısısı
Şekil 3.2
Böyle bir soğuk akışın bir sonucu olarak, bir taraftan (dairenin yanında) saçaklı vücut yüzeyinin sıcaklığının sıfıra yakın olduğu bilinmektedir. Lütfen bunun uyumlaştırma olduğuna dikkat edin, böylece yüzey sıcaklığı kosinüs olarak değişir:
- colivannia'nın üç değerliliği (dönem), T 0 - yüzey sıcaklığı,
T 0 maks - її maksimum havalandırma.
Sıcaklık alanını bir saat olarak belirlemek gerekir.
Sıcaklık dalgalanmasının genliği, yaklaşan yasaya göre x'ten değişir (Şekil 3.2):
Sorun No. 3'e alın. Kuru gıda toprağının yüzeyindeki sıcaklıktaki değişiklik, kosinüs uzunluğunda bir seyir ile karakterize edilir. Ortalama sıcaklıkta ortalama nehir sıcaklığı 6°C'dir ve maksimum hava girişi yaz ve kış ortasında 24°C'ye ulaşır.
Yüzeydeki sıcaklık 30 °C ise (zihinsel olarak 1/VII) şu anda 1 m derinlikteki toprağın sıcaklığının belirlenmesi gerekir.
Viraz kosinüs (3.31) bu özel tipe(yüzey sıcaklığı) T 0 max \u003d 24 0 C'de gelecekte göreceğim
T 0 \u003d 24 çünkü (2rf / 8760) + 6.
Toprağın yüzeyinde, eşit (3.32) gibi sıfır değil, ortalama 6 ° C sıcaklığa sahip olanlara sesleniyorum, saldırgan bir görüşün ardından rozrahunkov eşittir:
Toprak için sıcaklık iletkenlik katsayısı a = 0.001 m 2 / yıl alındıktan ve vazo üzerinde bulunduğundan, biberiye döneminin sonunda (koçan anından 8760 yıl sonra) sıcaklığın belirlenmesi gerektiğini biliyoruz.
Rosrakhunkovy viraz (3.34) saldırgan bir görüş uyarısında: t \u003d 24e -0.6 0.825 + 6 \u003d 16.9 ° С.
1 m'lik aynı derinlikte, virase (3.33)'e göre nehir sıcaklığı dalgalanmasının maksimum genliği şu şekilde olur:
T 1 max \u003d 24e -0,6 \u003d 13,2 ° C,
ve 1 m derinlikte maksimum sıcaklık
t 1 maks \u003d T x maks + 6 \u003d 13,2 + 6 \u003d 19,2 ° С.
Sonunda, bitkiye bakılabilmesi ve sudan ısı suyunun salınması ile bağlantılı olarak gıda yardımı ile yaklaşımların alınabilmesi ve ayrıca diğer koşullarda suyu tasarlamanın kimyasal yöntemi için önemlidir. .
Sabit ve durağan olmayan ısı iletiminin özel görevlerinde sıcaklık alanı ve ısı akışının analizi için formüller, sürecin matematiksel açıklamasına (matematiksel model) dayanır. Modelin temeli, katılar için termodinamiğin birinci yasasından türetildiği için, ısıl iletkenliğin diferansiyel bir eşitlemesi haline gelmektir; bu, çalışmayan, yani termal iletkenlik Für'є yasasıdır. Sanki süreci basitleştirmek için, daha sessiz ve daha düşük kabuller için fiziksel sürecin diferansiyel eşitlemesi gözlemlenmelidir. Buna göre, rütbenin itaati, kabul edilen ödeneklerin sınırları olan süreçlerin sınıfı tarafından belirlenir. Cilt görevi, farklı zihinler tarafından açık bir şekilde tanımlanır. Bu nedenle, termal iletkenlik sürecinin matematiksel açıklaması, termal iletkenliğin diferansiyel eşitlenmesini ve benzersizliğin anlaşılmasını içerir.
İlerleyen astarlama durumunda diferansiyel ısı iletkenliğinin visnov'larına bir göz atalım:
- a) vücut düzgün ve anizotropiktir;
- b) sıcaklığa göre biriktirilecek termal iletkenlik katsayısı;
- c) Görülen hacmin deformasyonu, sıcaklıktaki değişimden kaynaklanmaktadır, hacmin kendisiyle orantılı olarak bile küçüktür;
- d) Vücudun ortası, sıcaklığın iç çekirdeğinin dağılımına eşittir q v = f(x, y, z, m) = sabit;
- e) vücudun makropartiküllerini günlük olarak tek tek hareket ettirmek (konveksiyon).
Kabul edilen özelliklere sahip gövde, kaburgalarla paralel boru şeklinde temel bir hacme sahiptir. dx, dy, dz, ortogonal bir koordinat sisteminde farklı yönler (Şekil 14.1). Vücutlar için termodinamiğin birinci yasasına uygun, robotu yenmemek için iç enerjiyi değiştirin dU bir saat içinde görülen obsyaz'a yapılan konuşmalar dx gelen sıcaklık miktarını getirin
Pirinç. 14.1.
termal iletkenlik açısından dQx , iç dzherelami tarafından görülen o sıcaklık dQ2".
Termodinamikten, konuşmanın iç enerjisindeki değişimin zorunlu olduğu açıktır. dV bir saat içinde dx bir
de dG = p dv- konuşma kütlesi; p – ölçeklendirme; h - evcil hayvan kütle ısı kapasitesi (stislivyh rіdin için c = öz (izokorik ısı kapasitesi)).
İç dzherel tarafından görülen çok fazla enerji,
de qv - Dahili ısı odalarının hacmi, W/m 3 .
Isı iletkenliği hacminde olması gereken termal akış, koordinat eksenlerinin yönüne bağlı olarak üç depoya ayrılır: 
protilezhnі yüzleri sayesinde sıcaklık olacak
Sağlanan ve sağlanan ısı miktarı arasındaki fark, termal iletkenlik nedeniyle iç enerjideki değişime eşdeğerdir. dQ v Değeri, koordinat eksenleri boyunca depoların toplamı olarak düşünelim:
Todi y doğrudan eksen x maєmo
Oskilki -
bitişik dağlardaki termal akışların kalınlığı.
İşlev qx+dxє incelenen aralıkta kesintisiz dx ve bir Taylor serisinde düzenlenebilir:
Serinin ilk iki üyesi arasında ve ikame (14.6) arasında kabul edilebilir
Benzer bir sıralama ile şunları alıyoruz:
Değiştirmeden sonra (14.8) - (14.10) (14.4)'de olabilir
(14.2), (14.3) ve (14.11) ila (14.1)'i değiştirerek, iç boruların iyileştirilmesiyle ısı iletiminin ısı iletimine diferansiyel eşitlemesini alırız:
Vidpovidno ısıl iletkenlik yasasına karşı Four'e, ısı akış genişliğinin koordinat ekseni üzerindeki projeksiyonlar için yazılmıştır:
de Xx, Xy, Xz- Koordinat eksenleri yönünde termal iletkenlik katsayıları (vücut anizotropik).
Qi virazi (14.12) sunmak kabul edilebilir
Rivnyannya (14.13), bağımsız sıcaklık ve fiziksel güce sahip anizotropik cisimler için diferansiyel termal iletkenlik eşitlemesi olarak adlandırılır.
nasıl kabul edilir X= const ve vücut izotropiktir, termal iletkenliğe eşittir
Burada a = X/(SR), m2 / s, - sıcaklık iletkenlik katsayısı,
bu, ısıtma veya soğutma süreçlerinde sıcaklık değişikliklerinin esnekliğini karakterize eden konuşmanın fiziksel parametresidir. Tіla, büyük bir termal iletkenlik katsayısına sahip konuşmadan gelen vikonanlar, daha küçük eşit zihinler için daha fazla ısınır ve soğurlar.
Silindirik bir koordinat sisteminde, sabit fiziksel güçlere sahip izotropik bir cisim için diferansiyel ısı iletkenliği görülebilir.
de g, z, F - gözle görülür radyal, eksen ve apeks koordinatları.
Denklemler (14.13), (14.14) ve (14.15), ısı iletimi sürecini en yüksek bakış açısıyla tanımlar. Belirli görevler değişebilir belirsizliğin zihinleri, sonra. analiz edilen sürecin geçişinin özelliklerinin bir açıklaması.
Belirsizliği yıkayın. Isı iletimine fiziksel bakışlardan, süreci enjekte eden yetkililerin isimlerini verebiliriz: Konuşmanın fiziksel otoritesi; vücudun şeklini oluşturan biberiye; koçanı rozpodіlennya sıcaklığında; vücudun yüzeyindeki (ara) ısı değişimini yıkayın. Bu şekilde, zihin belirsizliği fiziksel, geometrik, pochatkov ve sınır (bölge) olarak alt bölümlere ayrılmıştır.
fiziksel zihinler konuşmanın fiziksel parametreleri belirlenir X, s, r ve rozpodіl vnutrishnіh dzherel.
geometrik zihinler cismin doğrusal genişlemesinin biçimi, sürecin ilerlediği şekilde belirlenir.
koçan beyinleri ospodіl sıcaklığı saatin başında tіli olarak görüntülenir t= /(x, y, z) t = 0'da. Pochatkovі durağan olmayan süreçlere bakmak için saatin anlamını düşünmenizi sağlar.
Isı alışverişinin doğasına bağlı olarak, bedenler (bölge) arasındaki sınırda zihinler chotiri rodi'ye bölünür.
Sınırlar birinci türe dikkat eder. Yüzeydeki sıcaklık dağılımını ayarlayın t n protyazh süreci
Orta derecede bir düşüşte, yüzey sıcaklığı sabit hale gelebilir (/n = const).
Birinci türün bordürleri, örneğin kontrplak yapıştırma, ahşap talaş ve ahşap lifli levhaların preslenmesi vb. işlemlerde temas ısıtması sırasında yıkanabilir.
Sınırlar başka bir türe dikkat eder.İşlemi gererek vücut yüzeyindeki ısı akısının kalınlığının değerini ayarlayın.
Serin bir havada yüzeydeki ısı akışı kalıcı hale gelebilir (
Üçüncü Türün Sınır Zihni yüzeydeki konvektif ısı alışverişine cevap verir. Tsikh zihinleri için, vücudun bilindiği ısının sıcaklığı ayarlanmalıdır, Gf = / (t), ısı transfer katsayısı os. Bir dalgalanma durumunda, ısı transfer katsayısı değişken bir değerdir, bu nedenle yogo değişim yasası a = / (t) ayarlanabilir. Muhtemelen okremy vipadok: / f = const; a = konst.
Dördüncü Türün Sınır Zihni zihnin ısı transferini karakterize eder farklı katsayılar mevcut ideal temasta termal iletkenlik, eğer ısı termal iletkenliğe aktarılırsa ve yüzey temasının farklı tarafları boyunca termal akılar eşit:
Fiziksel kabulleri, denkleştirmeleri benimseyin, bu kabullerle idare edin ve analitik bir tanım oluşturmak için açıklığı anlayın ( matematiksel model) ısı iletim süreçleri. Belirli bir görevin geliştirilmesi için seçilen modelin seçiminin başarısı, varsayımların ne kadar kabul edildiğine ve zihnin açıklığının gerçek zihinler için yeterli olmasına bağlı olarak bayattır.
Rivnyannya (14.14) ve (14.15), tek modlu sabit bir termal rejim için sadece analitik olarak yapılabilir. Çözümler aşağıda gözden geçirilmiştir. İki ve üç dünya durağan süreçler için yaklaşık sayısal yöntemler geliştirilmektedir.
Durağan olmayan termal rejimin zihinlerinde nehirlerin (14.13) - (14.15) iyileştirilmesi için, özel literatürde gözden geçirildiği bildirilen birkaç yöntem vardır. Vіdomi, analitik yöntemler, sayısal yöntemler ve nablizhenі olan tochnі.
Termal iletkenlik düzeyine ilişkin kararların sayısı esas olarak hat sonu maliyet yöntemiyle belirlenir. Vybіr ayrıca chi іnshoy yolu rozv'yazannya sorunun kafasında yatıyor. Sonuç olarak, analitik yöntemlerle kararlar, en iyi insanların kafasındaki mühendislik kafalarının sayısını tamamlamak için kullanılan formüllerle elde edilir. Sıcaklık alanını görüntülemenizi sağlayan sayısal yöntemler t=f(x, y, z, m) belirli bir görev için anı ve saati sabitlerken farklı noktalarda bir dizi ayrı sıcaklık değerine bakmak. Bu nedenle analitik yöntemlerin seçimi daha önemlidir, sınırda kafaların zengin ve esnek kafaları için çırak bunu yapamaz.
koçan kafalı
o sınırdaki zihinler
Razvyazannya tsgogo zavdannya shukatimemo güç fonksiyonları sisteminin arkasındaki Dörtlü sıraya bakarken (94)
tobto. düzen formunda
tsioma ile vvazhuchi t parametre.
fonksiyonlar olsun f(x, t) є Kesintisiz ve topaklı olabilir - 1. sıranın kesintisiz kaybı X ve herkes için t>0
fonksiyonların artık kabul edilebilir f(x,
t)
і 
sinüslerin arkasına bir dizi Fur'є şeklinde yerleştirilebilir
, (117)
(118)
, (119)
. (120)
(113) eşitlemek (113) ve geliştirmek (117) mümkündür, biz onu alıyoruz
.
Tsya kıskançlığı ancak kazanırsa
, (121)
abo, yakscho 
, o zaman hedef (121) görüşte yazılabilir
. (122)
Koristuyuchisya koçanı zihni (114), urahuvannyam (116), (117) ile (119) alınır, ki
. (123)
Bu sıralamada, shukano'nun işlevini bilmek uğruna 
İlkel homojen olmayan birinci mertebeden diferansiyel denklem için Cauchy (122), (123) görevine geliyoruz. Euler formülünü kullanarak daha radikal bir çözüm yazılabilir (122)
,
a z urakhuvannyam (123) Kosh problemini çözüyor
.
Ayrıca virazların (116) fonksiyonunun değerini temsil edersek, sonuç dış problemin çözümünü alacaktır.
(124)
işlevler f(x,
t)
і 
formüller (118) ve (120) tarafından atanır.
popo 14. Parabolik tipte heterojen hizalamanın çözümünü bilir
koçanı zihni için
(14.2)
ve sınırda beyinler
. (14.3)
▲ Bu fonksiyonu seçelim , sınırdaki zihinleri memnun etmek için (14.3). Hadi, örneğin, = xt 2. Todi
Yine, işlev olarak atanır
memnun
(14.5)
benzer sınır zihinleri
bu sıfır koçanı zihnine
. (14.7)
Zastosovuyuchi Four'un tek tip hizalamanın başarılmasına ilişkin yöntemi
zihinler için (14.6), (14.7), ödenecek
.
Sturm-Liouville'in saldırgan görevine geliyoruz:
,
.
Virishuyuchi tse zavdannya, vlasnі anlamını biliyoruz
ve diğer önemli işlevler
. (14.8)
Problem çözme (14.5)-(14.7)
, (14.9)
(14.10)
değiştirme 
(14.9)'dan (14.5)'e
. (14.11)
Bilinen işlevler için T n (t) işlevi genişlet (1- X) Fur'є serisinde (0,1) aralığında fonksiyonlar sisteminden (14.8) sonra:
. (14.12)
,
ben z (14.11) ve (14.12) eşittir
, (14.13)
birinci dereceden büyük homojen olmayan doğrusal diferansiyel eşitlikler olarak. Euler formülü için bilinen bir derin çözüm daha var.
ama akıl ilmiyle (14.10), Kosh'un görevinin çözümünü biliyoruz.
. (14.14)
(14.4), (14.9) ve (14.14)'den çıkış görevinin (14.1) - (14.3) çözümünü biliyoruz.
Bağımsız çalışma için görev
Rozvyazati pochatkovo-kraiovі zavdannya
3.4. Termal iletkenliğin eşitlenmesi için Zavdannya Koshi
ileriyi görebiliriz zavdanya Koshі için termal iletkenliğin homojen eşitlenmesi.
tatmin edici bir şekilde
Değiştirebileceklerimizden başlayalım x
і tüzerinde 
ve fonksiyonu tanıtalım 
. Aynı işlevler 
eşitlerle tatmin olacak
de 
- Green'in işlevi, formülle tanımlandığı gibi
, (127)
ve yetki gücü
; (130)
. (131)
İlk eşit ile çarpma G* , ve diğeri і ve sonra sonuçları alkışladık, denkliği kaldırdık
. (132)
Eşitlik bölümlerinin (132) entegrasyonundan sonra 
sınırda -∞ ila +∞ i açık 
0 ile arasında t, alınmış
Bırak gitsin, işlevi nedir 
bu її pokhіdna 
değişim 
, o zaman kuvvetlerden (131) sağ kısmın (133) integrali sıfıra eşittir. Ah, yazabilirsin
Sakin bir şekilde değiştirme 
, a 
üzerinde 
,
.
Zvіdsi, vikoristovuyuchi formülü (127), artık alındı
. (135)
Formül (135) denir Poisson formülü bu, homojen olmayan bir mısır başı ile ısı iletiminin tek tip bir eşitlemesi için Cauchy probleminin (125), (126) türetilmesini ifade eder.
Çözüm termal iletkenliğin heterojen eşitlenmesi için zavdannya Koshi
tatmin edici bir şekilde heterojen koçanı zihni
є toplam karar:
de є termal iletkenliğin homojen bir şekilde eşitlenmesi için zavdannya Koshі'nın kararlarına . heterojen koçan zihnini tatmin eden , ve homojen koçan zihnini memnun eden є kararlar. Bu şekilde Cauchy probleminin (136), (137) çözümü formül ile tanımlanır.
popo 15. Çözümü bilin
(15.1)
kesmenin saldırgan sıcaklık artışı için:
▲ Kırpma tükenmez, bu nedenle çözüm yazılabilir, dolaylı formül (135)
.
çok yak 
aralıkta 
iyi sıcaklık 
, ve sıcaklık aralıkta sıfıra ulaştığında, çözüm görünecek
. (15.3)
(15.3) dikkate alındığında 
, alınmış
.
Oskilki
є іmovіrnosti integrand, daha sonra vihіdnoї probleminin (13.1), (13.2) kalan çözümü formülle ifade edilebilir.
.▲
Kaplanmamış bir çekirdekte bir eldiven kaynaşmış çekirdeğin farkı ile termal iletkenliğin diferansiyel eşitlenmesinin çözümüne temel çözüm denir.
Mitteve noktalı dzherelo
Derisiz bir gövde için, bir tür mittve noktası dzherelo'nun koordinatlarının koçanı üzerinde, termal iletkenliğin diferansiyel eşitleme dağılımı aşağıdaki gibidir:
de T - nokta h sıcaklığı x,y,z koordinatları; Q - koçan üzerinde t = 0 anında görülen ısı miktarı; t, ısı verildikten sonraki saattir; R - görebildiğiniz noktaya (yarıçap - vektör) koordinatların koçanı, de djerelo'ya gidin. Derisiz bir tarzda noktalı bir dzherel eldiveni ile termal iletkenliğin eşitlenmesinin temel çözümlerine hizalama (4).
Herhangi bir anınız var mı? 0 dzherel'in sıcaklığı (R = 0) sıfırdan görülebilir ve zamanla t -3/2 yasasına göre değişir, vücudun alt noktalarının sıcaklığı ile taşar. Aynı zamanda, Dzherel'den çok uzakta, sıcaklık kanuna göre düşürülür. normal rozpodіlu exp(-R 2/4at). İzotermal yüzeyler - merkezi dzhereli'de olan küreler ve belirli bir saatteki sıcaklık alanı bir yarıçaptan küçüktür. Saatin başında (t = 0) sıcaklık atanmaz (T = ?), Bu, sonsuz küçük bir hacimde saatin başlangıcının dengelendiği, bölgeli dzherel şemasıyla bağlantılıdır. son ısı miktarı Q ile.
Kabuksuz bir gövde (4) için çözüm temelinde, derisiz bir gövde şeması için sıcaklık alanını hesaplamak mümkündür, çünkü bu, masif viroblardaki termal süreçleri tanımlamak için kullanılır. Nap_vnesk_chennomu'da olmasına izin verin, saçaklı yüzey S - S, noktalı dzherelo D'yi andırıyor (Şekil 4). Büyük kütleler için, ortadaki ısı akıları, yüzeyden ısı transfer akışından önemli ölçüde daha büyüktür. Bu nedenle, yazılı cismin yüzeyi adyabatik bir sınıra girilebilir, bunun için (böl. s. 1.4)
Kaplamasız alana z > 0 kaplamasız alana ekleme, alan z ekleme< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела
Bu şemanın arkasında, modellenmiş ve izotermal bir sınır (1. türden sınır Umov) T S \u003d 0, ancak diğer yönde T \u003d T D - T F var.
Sıcaklık alanının (6) grafik görüntüsü, sıcaklığı değiştirecek olan yüzeyin uzaysal konumunun net bir şekilde anlaşılması anlamına gelir. Kartezyen koordinat sisteminde (x, y, z), dzherel noktasının boyutuyla çarpık cismin kontrol kesimleri xy, xz ve yz düzlemleridir (Şekil 5, a). İnceltilmiş bir gövde için, izotermal yüzeyler kürelerle doldurulur (sıcaklık yarıçap yönündedir - vektör R). xy düzlemi izotermlerinde, yüzey düzlemini kesmiş gibi
z = sabit; Mitteva noktası dzherel'in farklı bir an ve saatte sıcaklık alanı, Şek. (6) (bölüm P 1.1). Küçük ölçekte sıcaklık, T = 1000K değerleri ile grafiksel olarak işaretlenir.
Duruşun herhangi bir noktasındaki sıcaklık artar ve ardından değişir (Şekil 1.3). Bu noktada maksimum sıcaklık değerine ulaşma anı zihinden bilinir.
Viraz'ın (6) saate göre farklılaşması, maksimum sıcaklık ise saatin atanması için formül alıyoruz.
Bir nokta dzherel farkıyla inceltilmiş bir cismin maksimum sıcaklık noktası R3 ile değişir.
Heves...