Virishiti eşit termal iletkenliğe sahiptir. Termal iletkenliğin eşitlenmesi için Fur'є yöntemi. Bölgesel zavdan açıklaması

Sabit ve durağan olmayan ısı iletiminin özel görevlerinde sıcaklık alanının ve ısı akışının analizi için formüller matematiksel açıklamadan alınmıştır ( Matematiksel modeller) işlem. Modelin temeli, katılar için termodinamiğin birinci yasasından türetildiği için, ısıl iletkenliğin diferansiyel bir eşitlemesi haline gelmektir; bu, çalışmayan, yani termal iletkenlik Fur'є yasasıdır. Sanki süreci basitleştirmek için, daha sessiz ve daha düşük kabuller için fiziksel sürecin diferansiyel eşitlemesi gözlemlenmelidir. Buna göre, rütbenin itaati, kabul edilen ödeneklerin sınırları olan süreçlerin sınıfı tarafından belirlenir. Cilt görevi, farklı zihinler tarafından açık bir şekilde tanımlanır. Bu nedenle, termal iletkenlik sürecinin matematiksel açıklaması, termal iletkenliğin diferansiyel eşitlenmesini ve benzersizliğin anlaşılmasını içerir.

İlerleyen astarlama durumunda diferansiyel ısı iletkenliğinin visnov'larına bir göz atalım:

• a) vücut düzgün ve anizotropiktir;
• b) sıcaklığa göre biriktirilecek termal iletkenlik katsayısı;
• c) Görülen hacmin deformasyonu, sıcaklıktaki değişimden kaynaklanmaktadır, hacmin kendisiyle orantılı olarak bile küçüktür;
• d) Vücudun ortası, sıcaklığın iç çekirdeğinin dağılımına eşittir q v = f(x, y, z, m) = sabit;
• e) vücudun makropartiküllerini günlük olarak tek tek hareket ettirmek (konveksiyon).

Kabul edilen özelliklere sahip gövde, kaburgalarla paralel boru şeklinde temel bir hacme sahiptir. dx, dy, dz, ortogonal bir koordinat sisteminde farklı yönler (Şekil 14.1). Vücutlar için termodinamiğin birinci yasasına uygun, robotu yenmemek için iç enerjiyi değiştirin dU bir saat içinde görülen obsyaz'a yapılan konuşmalar dx gelen sıcaklık miktarını getirin

Pirinç. 14.1.

termal iletkenlik açısından dQx , iç dzherelami tarafından görülen o sıcaklık dQ2".

Termodinamikten, konuşmanın iç enerjisindeki değişimin zorunlu olduğu açıktır. dV bir saat içinde dx bir

de dG = p dv- konuşma kütlesi; p – ölçeklendirme; h - evcil hayvan kütle ısı kapasitesi (stislivyh rіdin için c = öz (izokorik ısı kapasitesi)).

İç dzherel tarafından görülen çok fazla enerji,

de qv - Dahili ısı odalarının hacmi, W/m 3 .

Isı iletkenliği hacminde olması gereken termal akış, koordinat eksenlerinin yönüne bağlı olarak üç depoya ayrılır: protilezhnі yüzleri sayesinde sıcaklık olacak

Sağlanan ve sağlanan ısı miktarı arasındaki fark, termal iletkenlik nedeniyle iç enerjideki değişime eşdeğerdir. dQ v Değeri, koordinat eksenleri boyunca depoların toplamı olarak düşünelim:

Todi y doğrudan eksen x maєmo

Oskilki -

bitişik dağlardaki termal akışların kalınlığı.

İşlev qx+dxє incelenen aralıkta kesintisiz dx ve bir Taylor serisinde düzenlenebilir:

Serinin ilk iki üyesi arasında ve ikame (14.6) arasında kabul edilebilir

Benzer bir sıralama ile şunları alıyoruz:

Değiştirmeden sonra (14.8) - (14.10) (14.4)'de olabilir

(14.2), (14.3) ve (14.11) ila (14.1)'i değiştirerek, iç boruların iyileştirilmesiyle ısı iletiminin ısı iletimine diferansiyel eşitlemesini alırız:

Vidpovidno ısıl iletkenlik yasasına karşı Four'e, ısı akış genişliğinin koordinat ekseni üzerindeki projeksiyonlar için yazılmıştır:

de Xx, Xy, Xz- Koordinat eksenleri yönünde termal iletkenlik katsayıları (vücut anizotropik).

Qi virazi (14.12) sunmak kabul edilebilir

Rivnyannya (14.13), bağımsız sıcaklık ve fiziksel güce sahip anizotropik cisimler için diferansiyel termal iletkenlik eşitlemesi olarak adlandırılır.

nasıl kabul edilir X= const ve vücut izotropiktir, termal iletkenliğe eşittir

Burada a = X/(CP), m2 / s, - sıcaklık iletkenlik katsayısı,

bu, ısıtma veya soğutma süreçlerinde sıcaklık değişikliklerinin esnekliğini karakterize eden konuşmanın fiziksel parametresidir. Tіla, büyük bir termal iletkenlik katsayısına sahip konuşmadan gelen vikonanlar, daha küçük eşit zihinler için daha fazla ısınır ve soğurlar.

Silindirik bir koordinat sisteminde, sabit fiziksel güçlere sahip izotropik bir cisim için diferansiyel ısı iletkenliği görülebilir.

de g, z, F - gözle görülür radyal, eksen ve apeks koordinatları.

Denklemler (14.13), (14.14) ve (14.15), en yüksek bakış açısıyla ısı iletimi sürecini tanımlar. Belirli görevler değişebilir belirsizliğin zihinleri, sonra. analiz edilen sürecin geçişinin özelliklerinin bir açıklaması.

Belirsizliği yıkayın. Isı iletimine fiziksel bakışlardan, süreci enjekte eden yetkililerin isimlerini verebiliriz: Konuşmanın fiziksel otoritesi; gövdeyi oluşturan biberiye; koçanı rozpodіlennya sıcaklığında; vücudun yüzeyindeki (ara) ısı değişimini yıkayın. Bu şekilde, zihin belirsizliği fiziksel, geometrik, pochatkov ve sınır (bölge) olarak alt bölümlere ayrılmıştır.

fiziksel zihinler konuşmanın fiziksel parametreleri belirlenir X, s, r ve rozpodіl vnutrishnіh dzherel.

geometrik zihinler cismin doğrusal genişlemesinin biçimi, sürecin ilerlediği şekilde belirlenir.

koçan beyinleri ospodіl sıcaklığı saatin başında tіli olarak görüntülenir t= /(x, y, z) t = 0'da. Pochatkovі durağan olmayan süreçlere bakmak için saatin anlamını düşünmenizi sağlar.

Isı alışverişinin doğasına bağlı olarak, bedenler (bölge) arasındaki sınırda zihinler chotiri rodi'ye bölünür.

Sınırlar birinci türe dikkat eder. Yüzeydeki sıcaklık dağılımını ayarlayın t n protyazh süreci

Orta derecede bir düşüşte, yüzey sıcaklığı sabit hale gelebilir (/n = const).

Birinci türün bordürleri, örneğin kontrplak yapıştırma, ahşap talaş ve ahşap lifli levhaların preslenmesi vb. işlemlerde temas ısıtması sırasında yıkanabilir.

Sınırlar başka bir türe dikkat eder.İşlemi gererek vücut yüzeyindeki ısı akısının kalınlığının değerini ayarlayın.

Serin bir havada yüzeydeki ısı akışı kalıcı hale gelebilir (

Üçüncü Türün Sınır Zihni yüzeydeki konvektif ısı alışverişine cevap verir. Tsikh zihinleri için, vücudun bilindiği ısının sıcaklığı ayarlanmalıdır, Gf = / (t), ısı transfer katsayısı os. Bir dalgalanma durumunda, ısı transfer katsayısı değişken bir değerdir, bu nedenle yogo değişim yasası a = / (t) ayarlanabilir. Muhtemelen okremy vipadok: / f = const; a = konst.

Dördüncü Türün Sınır Zihni zihnin ısı transferini karakterize eder farklı katsayılar Mevcut ideal temasta ısıl iletkenlik, eğer ısı ısıl iletkenliğe aktarılırsa ve yüzey temasının farklı tarafları boyunca ısıl akılar eşit:

Isı iletim süreçlerinin analitik bir tanımını (matematiksel model) oluşturmak için fiziksel ödeneklerin kabulü, eşitleme, bu ödeneklerin tanımlanması ve açıklığın anlaşılması. Belirli bir görevin geliştirilmesi için seçilen modelin seçiminin başarısı, varsayımların ne ölçüde kabul edildiğine ve zihnin açıklığının gerçek zihinler için yeterli olmasına bağlıdır.

Rivnyannya (14.14) ve (14.15), tek modlu sabit bir termal rejim için sadece analitik olarak yapılabilir. Çözümler aşağıda gözden geçirilmiştir. İki ve üç dünya durağan süreçler için yaklaşık sayısal yöntemler geliştirilmektedir.

Durağan olmayan termal rejimin zihinlerinde nehirlerin (14.13) - (14.15) iyileştirilmesi için, özel literatürde gözden geçirildiği bildirilen birkaç yöntem vardır. Vіdomi, analitik yöntemler, sayısal yöntemler ve nablizhenі olan tochnі.

Termal iletkenlik düzeyine ilişkin kararların sayısı esas olarak hat sonu maliyet yöntemiyle belirlenir. Vybіr ayrıca chi іnshoy yolu rozv'yazannya sorunun kafasında yatıyor. Sonuç olarak, analitik yöntemlerle kararlar, en iyi insanların kafasındaki mühendislik kafalarının sayısını tamamlamak için kullanılan formüllerle elde edilir. Sıcaklık alanını görüntülemenizi sağlayan sayısal yöntemler t=f(x, y, z, m) belirli bir görev için anı ve saati sabitlerken farklı noktalarda bir dizi ayrı sıcaklık değerine bakmak. Bu nedenle analitik yöntemlerin seçimi daha önemlidir, sınırdaki zihinlerin zengin ve esnek kafaları için protein bunu yapamaz.

Vyvchennya, fenomeni karakterize eden değerler arasında nadasın kurulmasından önce fiziksel bir fenomenin oluşturulup oluşturulmayacağı. Fiziksel süreçleri katlamak için, bazı başlangıç ​​değerleri için o saatin uzayında değişebilirler, bu değerler arasında nadas ayarlamak zordur. Matematiksel fiziğin muzaffer yöntemlerinin zamanlarında, bir saatle ve geniş bir genişlikten ayrılan bir kişide olduğu gibi, tek bir temel obsyag görülür. Tse, ters hacmin ve verilen aralığın sınırlarında, süreci karakterize eden değerlerdeki değişikliklerin, yani yanılgının üstesinden gelmesine izin verir.

Obrani böyle bir rütbe temel cilt dV o temel zaman aralığı dτ, bazıları için süreç, matematiksel bir görünümden, sonsuz küçük miktarlarda ve fiziksel bir görünümden - büyüklükte büyük olarak görülür, böylece sınırlarda ortada güçlü, tükenmez bir її almak mümkündür. her gün ayrı. Otriman'da böyle bir durgunluk, çok büyük bir farklılaşma sürecidir. Diferansiyel eşitlikleri entegre ederek, tüm entegrasyon alanı için değerler ile dikkate alınan tüm zaman periyodu arasındaki analitik nadas alınabilir.

Vyrіshennya zavdan için, pov'yazanih znakhodzhennyam sıcaklık alanı, termal iletkenliğin diferansiyel eşitlemesine ihtiyaç duyar.

Bu bahaneyi ele alalım:

vücut üniforması ve izotropik;

gönderinin fiziksel parametreleri;

görülen hacmin deformasyonu, sıcaklıktaki değişimden kaynaklanmaktadır, hacmin kendisiyle orantılı olarak bile küçüktür;

iç dzherela sıcaklığı tіlі, rіvnomіrno razpodіleni.

Termal iletkenliğin diferansiyel eşitlenmesinin geliştirilmesinin temeli, aşağıdaki gibi formüle edilen enerji korunumu yasasıdır:

sıcaklık miktarıdQ, temel obsyag'a girişlerdVsaat başı aramadτtermal iletkenliğe ek olarak, iç dzherel biçiminde olduğu gibi, temel bir obsyazide bulunabilen iç enerjide veya konuşma entalpisinde sağlıklı değişiklikler.

de dQ 1 - temel hacme verilen ısı miktarı dV saatte termal iletkenlik yolu dτ;

dQ 2 - ısı miktarı, saatte yak dτ temel obsyazі'da görüldü dV rahunok dahili dzherel için;

dQ- Temel obsyazda intikam alınan iç enerjinin (izohorny süreci) veya konuşma entalpisinin (izobarik süreç) değişimi dV bir saat içinde dτ.

Otrimannya eşitlemesi için, küpün kenarlarına bakmanın temel hacmine bakabiliriz. dx, ölmek, dz (Böl. şek. 1.2.). Küp, yüzleri paralel koordinat düzlemlerine paralel olacak şekilde yuvarlanır. Saatte temel hacmin eşiğine getirilen ısı miktarı dτ düz eksenler x, y, z önemli dQ x , dQ y , dQ z .

Aynı düz çizgilerde çoğalan yüzlerden akan sıcaklık miktarı önemli ölçüde dQ x + dx , dQ y + ölmek , dQ z + dz .

Eşiğe getirilen sıcaklık miktarı dxdy dosdoğru x bir saat içinde dτ, ekleyerek:

de q x- belirlenmiş yüze dik düz çizgi üzerinde ısı akısı yoğunluğunun izdüşümü. Vіdpovіdno ısıdan değil, protilezhnu eşiğinden geçen vіdveden:

Temel hacme getirilen ısı miktarı ile getirilen ısı miktarı arasındaki fark, є ısı:

İşlev qє incelenen aralıkta kesintisiz dx ve bir Taylor serisinde düzenlenebilir:

Arka arkaya iki ilk dodank ile çevriliyseniz, şöyle yazacaksınız:

Benzer şekilde, diğer iki koordinat ekseninin düz bir çizgisinde hacme getirilebilecek ısı miktarını bilebilirsiniz. y і z.

sıcaklık miktarı dQ, daha fazla görülebilen hacme termal iletkenliğin bir sonucu olarak artış:

Başka bir zeyilname önemlidir, çünkü aynı odadaki iç dzherellerin bir saatte ortadaki sıcaklık miktarını fark ettiler. q v ben buna yoga derim iç ısı deliklerinin sıkılığı[W / m3], ardından:

Akranlarımız için üçüncü deponun, sistemi değiştirmeye yönelik TD sürecinin doğası gereği nadasa bırakıldığı bilinmektedir.

Bir saatin altında izokorik sürece, temel yükümlülüğe getirilen tüm sıcaklığa, konuşmanın iç enerjisini değiştiren, bu zorunluluğa, tobto'ya bakacağım. dQ= dU.

Tek bir hacmin iç enerjisine nasıl bakılır? sen= f(t, v) , sonra şunu yazabilirsiniz:

, J/m3

, J/kg

de c v – birim kütle başına birim hacim başına izokorik ısı kapasitesi, [J/m 3 ];

ρ - Shchіlnist, [kg / m 3].

Virazi'yi götürün:

Çekilme viraz є izokorik ısı transferi işlemi için diferansiyel enerji denkleştirme.

Benzer şekilde, izobarik süreç için oran gösterilmiştir. Zorunluluğa getirilen tüm sıcaklık, yükümlülükte ortaya konan konuşmanın entalpisini değiştirmek için.

Otrimane spіvvіdnoshennia є izobarik süreç için diferansiyel enerji eşitlikleri.

Katı cisimlerde ısı transferi Four yasasına bağlıdır.
, ısı kapasitesi değeri kabul edilebilir
. Diyelim ki ısı akısı kalınlaşması vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümünün eğriler tarafından gösterildiğini varsayalım:

Virüsün geri kalanına diferansiyel ısı iletimi denir. Isı iletim sürecinin gerçekleştiği vücudun herhangi bir noktasındaki sıcaklıktaki zamansal ve geniş değişiklikler arasında bir bağlantı kuracaktır.

Özel benzerlerinde termal iletkenlikteki en büyük fark, aynı şekildedir, ancak yeni bir boyuttadır. ρ ,  , hє saat ve uzay için çalışır. Denklemin amacı, pratik ilgi yaratan çok sayıda ısı iletimi görevini tanımlamaktır. Sabit termofiziksel parametreleri alırsanız, eşitleme daha basit olacaktır:

Önemli ölçüde
sonra:

orantı katsayısı a[m 2 / s], termal iletkenlik katsayısı ve konuşmanın fiziksel parametresi olarak adlandırılır. Sıcaklık değişiminin hızını karakterize eden durağan olmayan termal işlemler için mükemmel. Isı iletkenlik katsayısının cisimlerin ısıyı iletme kapasitesini oluşturmasını karakterize etmesi gibi, sıcaklık iletkenlik katsayısı da ısı dünyasını ve cismin atalet gücünü karakterize eder. Örneğin, rіdini ve gazlar daha büyük bir termal atalete sahip olabilir ve bu nedenle küçük bir sıcaklık iletkenlik katsayısına sahip olabilir ve bununla birlikte metaller küçük bir termal atalete sahip olabilir.

Aynı zamanda bir iç ısı kaynağıdır ve sıcaklık alanı sabittir, Poisson'u eşit alırız:

Zreshtoy, sabit ısı iletkenliği ve dahili ısı borularının varlığı ile Laplace'a eşitiz:

Isı iletiminin belirsizliğini yıkayın.

Termal iletkenliğin Oskіlki diferansiyel eşitlemesi vahşi yasalar fizik, bütün bir fenomen sınıfını tanımlar. Yoga için bir sınır zihin veya zihin açıklığı oluşturmak gerekir.

Belirsizliğe dikkat edin:

geometrik zihin - vücudun şeklini karakterize etmek;

fiziksel zihin - ikamet ve beden ortamının fiziksel gücünü karakterize etmek;

pochatkovі (timchasovі) umovi - tili pochatkovy saatindeki sıcaklık artışını karakterize etmek, durağan olmayan süreçlerin oranını ayarlamak için;

sınır zihinleri - incelenen vücudun dovkills ile etkileşimini karakterize etmek.

Sınır zihinleri birçok şekilde belirlenebilir.

Sınırlar birinci türe dikkat eder. Cilt momenti saati için vücut yüzeyindeki sıcaklığı ayarlayın:

t c = f(x, y, z, τ )

de t c- Vücudun yüzeyindeki sıcaklık;

x, y, z- Vücut yüzeyinin koordinatları.

Serin bir havada, yüzeydeki sıcaklık kısa bir süre sabit kalırsa, ısı alışverişi işlemi kesintiye uğrarsa, sorulacak:

t c = const

Sınırlar başka bir türe dikkat eder. Vücut yüzeyindeki cilt noktası için ısı akısının değerleri herhangi bir zamanda geri yüklenir. Analitik olarak şöyle görünür:

q c = f(x, y, z, τ )

En basit durumda, vücut yüzeyindeki ısı akışının kalınlığı sabit hale gelir. Bu tür bir davranış, yüksek sıcaklıklı fırınlarda metal titreşimlerini ısıtırken gözlemlenebilir.

Sınırlar üçüncü türe önem verir. Gereksiz çekirdeğin sıcaklığının ayarlandığı t evlenmek vücudun yüzeyi ile ortası arasındaki ısı alışverişi kanunu. Isı transferi sürecini tanımlamak için Newton Richman kanunu kullanılır. Kanuna göre, vücudun tek bir yüzeyinin bir saatte görebileceği veya alabileceği ısı miktarı, vücut yüzeyinin ve o ortamın sıcaklık farkıyla orantılıdır:

de α ısı transfer katsayısı [W / (m 2 · Do)] olarak adlandırılan orantı katsayısı, ısı transferinin yoğunluğunu karakterize eder. Sayısal olarak, bir derecelik sıcaklık farkıyla, vücudun tek bir yüzeyinin bir saatte ürettiği ısı miktarı sayılır. Enerjinin korunumu yasasına göre, dovkіll'e verilen ısı miktarı, vücudun iç kısımlarından gelen ısı iletkenliğinden kaynaklanan ısı ilavesinden kaynaklanmaktadır:

Üçüncü türün sınır zihnine eşit kalın.

Katlanır teknik siparişler yapılıyor, eğer fikir değiştirmek mümkün değilse ve o zaman günün düzenini bozmak mümkün olacak. Böyle bir görevin ihlali durumunda, bölmeler arasındaki sınırın kenarları boyunca sıcaklıkların ve ısı akışlarının eşitliğine dikkat etmek gerekir. Mutluluğun zihninde şunları yazabilirsiniz:

Razvyazannya po'yazanoї görevleri, po'yazani zі znakhodzhennyam sıcaklığı, bölümler arasındaki sınırın yanında sulanır.

Cebir denkleminin Newton yöntemiyle türetilmesi

Rozvyazuvannya rivnyan'ın popüler yöntemiyle bitirin є noktasal yöntem, veya Newton'un yöntemi. Kimin aklı akılda eşittir f(x) = 0 Arkada, sıfır yaklaşımı seçilir (nokta x 0). Puanlarınız grafiğe yakın olacak y = f(x). Çizginin noktası tsієї dotichї z vissu abscissa є kökün yakınında ilerliyor (nokta x bir). Bu noktada tekrar dottychna olacağım, vb. puan dizisi x 0 , x 1 , x 2 ... kökün doğru değerine indirgenebilir. Farkındalık є.

Yani bir noktadan geçmek için düz bir çizgi gibi x 0 , f(x 0) (ama tse i є dotichna), görüşte kaydedildi

ve nasıl yaklaşır x 1 dışa doğru hizalamanın kökü için, düz çizginin çizgisini apsisten geçmek için bir nokta alınır, yanına ts_y noktası konur y = 0:

Yıldızlar, önden hücum yaklaşımının tanınması için dikkatsizce çizgiyi takip ediyor:

Pirinç. Şekil 3, Newton'un yönteminin Excel kullanılarak uygulanmasını göstermektedir. Komіrku B3'te koçanı daha yakın tanıtılacak ( x 0 = -3) ve ardından tüm ara değerler hesaplamaya kadar hesaplanır x bir . Bir sonraki markör için B10 marjının değerini C3 marjına girin ve hesaplama işlemi C kolonunda tekrarlanır. Daha sonra C2:C10 marjlarını gördükten sonra sağ alt köşedeki markörü çekerek yapabilirsiniz. görülen alan, D:F sütunu üzerinde genişletin. F6'nın ortasındaki sonuç, alınan 0 değerine sahiptir, yani. comirci F3'teki değer, eşitin köküdür.

Bu sonuç, vikoristovuyuchi döngüsel hesaplama ile alınabilir. İlk sütunu doldurduktan ve ilk değeri çıkardıktan sonra Todi x 1 sonra H3 kutusuna = H10 formülünü girin. Hangi hesaplama işlemi ile döngüler olacak ve şarabın menüde görünmesi için Hizmet | parametreler mevduatta Hesaplama ensign yüklemek gerekli yinelemeler ve yinelemeli işlemin sınırlayıcı kısa terim sayısını ve görünür kaybı (varsayılan olarak ayarlanan 0.001 sayısı, zengin türler için açıkça yetersizdir) belirtin, böyle bir sürece ulaştıktan sonra sayma işlemi kısalır.

Bildiğiniz gibi, ısı transferi, difüzyon sürecinde kütle transferi gibi fiziksel süreçler yasaya tabidir.

de ben- Termal iletkenlik katsayısı (difüzyon) ve T- Sıcaklık (konsantrasyon), a - potik vіdpovidnoї değeri. Matematikten, akışın sapmasının sağlıklı olduğu açıktır. Q tsієї değerleri, tobto.

veya iki dünya görüşü için, sıcaklık bir düzlemde yükselirse, sıcaklık bir bakışta kaydedilebilir:

Bu hizalamanın bir varyasyonu analitik olarak yalnızca basit şekilli alanlar için mümkündür: bir dikdörtgen, bir renk, bir halka. Diğer durumlarda, hangi eşitliğin imkansız olduğunu çözmek daha doğrudur, tobto. katlanmış vipadlerde sıcaklık farkını (veya konuşma konsantrasyonunu) değiştirmek imkansızdır. Todі, vicoristovuvat priblizhenі yöntemlerine ve böyle rivnyan rozv'yazannya'ya getirilecek.

Bölgedeki yakın çözüm (4) katlanır form birkaç aşamadan oluşur: 1) ağı yönlendirmek; 2) bir perakende satış planının tanıtımı; 3) cebir eşitleme sisteminin geliştirilmesi. Excel paketi yardımıyla aşamalardan ve yogo uygulamasından cilde daha yakından bakalım.

Pobudova ağları. Bölgeye şekil l'de gösterildiği gibi bir şekil verin. 4. Böyle bir formla, örneğin alt bölüm değişiklikleri yöntemini kullanarak analitik çözümleri (4) doğru bir şekilde çözmek mümkün değildir. Bunun için ilerleyen birkaç noktada aynı seviyenin çözümünü görmek mümkündür. Yandaki karelerden katlanan ızgaraya eşit alana uygulayın h. Şimdi, kesintisiz shukati yerine, çözüm eşittir (4), alanın cilt noktasına atanır, çözüme daha yakındır, sadece ağın düğüm noktalarına atanır, uygulanan alan, tobto. meydanların köşelerinde.

Pobudov perakende planı. Perakende planına ilham vermek için, C ızgarasının (merkezi) daha büyük iç vuzolüne bakabiliriz (Şekil 5). Arkasında yargıç chotiri vuzli: B (üst), N (alt), L (levi) ve P (sağ). Tahmin edelim, şehirdeki üniversiteler arasında gidelim h. Todi, vikoristovuyuchi viraz (2) diğer benzerlerinin yakın kaydı için (4), yakın yazabilirsiniz:

Yıldızlar, merkez noktadaki sıcaklık değerlerini dikiş noktalarındaki değerlerle ilişkilendiren viraz ile kolayca parçalanır:

Viraz (5), merkez noktalardaki sıcaklık değerlerini bilerek, merkez noktadaki değerleri hesaplamamızı sağlar. Bazı durumlarda hat sonu farkları ile değiştirilen ve grid noktasındaki değerin en yakın ana noktalardaki değerden küçük olması nedeniyle böyle bir şemaya merkezi fark şeması denir. ve yöntemin kendisine satır sonu farkı yöntemi denir.

(5)'e benzer olarak neyin eşit olduğunu anlamak gerekir, bunu ağın SKIN noktası için alıyoruz, çünkü böyle bir sıra tek tek bağlı görünüyor. Böylece cebire eşit bir sisteme sahip olabiliriz, burada sayı ağdaki düğüm sayısına eşittir. Virishuvati böyle bir eşitleme sistemi farklı yöntemlerle yapılabilir.

Cebir eşitleme sisteminin geliştirilmesi. Yineleme yöntemi. Sınır düğümlerindeki sıcaklık 20'ye ve ısı odasının sıcaklığı 100'e ayarlansın. h= 1. İç noktalarda sıcaklığı hesaplamak için Todi viraz (5)

Merkezin dermal nodülünün görünümünü Excel'in kemerine koyalım. Sınır noktalarına karşılık gelen merkezlerde 20 sayısını tanıtıyoruz (Şekil 6'da pis koku görülüyor) sirim rengi). Formül (6)'yı ortadaki bölgeye yazalım. Örneğin, F2 istemcisi şöyle görünür: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Bu formülü F2 odasına yazdıktan sonra, kopyalayıp dahili düğümlerle eşleşen diğer alanlara yapıştırabilirsiniz. Bu Excel ile sonuçların döngüye alınmasıyla hesaplama yapmanın imkansızlığını hatırlatalım:

"Skasuvati" ye basın ve pencereye gidin Hizmet|Parametreler|Koleksiyon, 0,00001 değerini kabul edilebilir bir hata olarak ve yinelemelerin sınır sayısı 10000 olarak belirterek, "Yinelemeler" bölümünde sancak ayarlamak için:

Böyle bir anlam, bize küçük bir kişisel yaralanma sağlamak ve yinelemeli sürecin belirtilen cezaya ulaşacağını garanti etmektir.

Bununla birlikte, bu değerler, yöntemin kendisinde küçük bir kaybı garanti etmez, yüzyılın sonuna kadar diğer benzerlerinin değiştirilmesi durumunda kalıntıların parçaları birikmeye devam eder. Daha az dağınıklık olduğu, daha az ağ olduğu açık, orası kesin. perakende planımızın olacağı meydanın büyüklüğü. Tse, Şek. 1'de gösterilen ızgara düğümlerindeki sıcaklığın tam değerinin olduğu anlamına gelir. 6, aslında, geçerli olmadığı görünebilir. Çözüm bilgisini tersine çevirmenin "snu" tek yöntemi: yogayı daha geniş ölçekte ve cephe doğrultusunda bilmek. Kararlar çok az düşünülse de, sıcaklık bilgisinin etkili olduğunun doğrulandığını bilmek mümkündür.

Krok udvіchі'yı değiştirelim. Milletvekili 1 eşit olur mu? Ülkemizdeki düğüm sayısı sürekli değişmektedir. Dikey olarak vekil 7 knot (6 kare vardı, sonra 7 knot) kampüs 13'te (12 kare, sonra 13 knot) ve yatay olarak vekil 9 kampüs 17'de. ekin iki kez değişti ve şimdi formül (6) yerine 1 2 doğru parçanın (1/2) 2 göndermesi gerekiyor. Çözüm bilgisini karşılaştıracağımız bir kontrol noktası olarak, Şekil l'de gösterilen maksimum sıcaklığa sahip noktayı alıyoruz. 6 renkli yaşar. Hesaplama sonucu şek. 9:

Sıcaklıktaki değişikliğin, kontrol noktasının sıcaklık değerinde bir ilk değişikliğe yol açtığı görülebilir: %4. Bulunan çözümün doğruluğunu artırmak için ızgaranın boyutunu değiştirin. İçin h= 199.9 kontrol noktasında çıkarılır ve h = 1/8 için değerin 200.6 olması daha olasıdır. Mahsulün değerine göre bilinen değerin nadas grafiğini indükleyebilirsiniz:

Küçük olandan, değişikliği kontrol noktasındaki sıcaklıktaki kesin değişime daha küçük bir ölçeğe getirecek olan önemsiz bir visnovka yapabilirsiniz ve bulunan çözümün doğruluğu dikkate alınacaktır.

Excel paketinin özelliği ile çalışmanız gereken bölgede ilk bakışta hayal edebileceğiniz sıcaklığın yüzeyini indükleyebilirsiniz.

Kesmede ısının genişlemesinin matematiksel modeli tarafından istendiğinde, aşağıdaki payı alabiliriz:

1) bir yarıktan homojen bir tel malzemeden yarıkların kesilmesi ρ ;

2) makasın yüzeyi ısıl olarak yalıtılmıştır, böylece ısı havadan daha fazla genleşebilir AH;

3) ince bir kesme - bu, kesmenin tüm noktalarındaki sıcaklığın aynı olduğu anlamına gelir.

V_drіzka'daki saç kesiminin bir kısmına bakalım [ x, x + ∆x] (böl. Şekil 6) ısı miktarını koruma yasası:

Zagalna öldürür havadaki ısı [ x, x + ∆x].

Sıcak bir miktardır, bu nedenle sıcaklığı yükseltebilmeniz için kesme odasını kontrol etmek gerekir. ∆U, aşağıdaki formüle göre hesaplanır: ∆Q=CρS∆x∆U, de W- malzemenin ısı kapasitesi (= ısı miktarı, bu nedenle sıcaklığını 1 ° artırmak için 1 kg konuşma yükseltmeniz gerekir), S- kesit alanı.

Bir saat içinde kesme sahasının Libya ucundan geçen ısı miktarı ∆t(Isı akışı) aşağıdaki formüle göre hesaplanır: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, de k- Malzemenin ısıl iletkenlik katsayısı (= 1 ° olan uzatma hatlarında bir sıcaklık farkı ile enine kesitin tek bir uzunluğunun ve tek bir alanının kesme yoluyla saniyede akan ısı miktarı ). Bu formülün eksi ile özel bir açıklaması vardır. Sağda, potun pozitif olarak kabul edilmesi, sanki bik zbіlshennya'yı yönlendirme hatası gibi X, Ve tse, kendi çizginde, noktada kızgın olduğun anlamına gelir X sıcaklık daha yüksek, daha düşük sağ elini kullanan, tobto U x< 0 . otzhe, şob Q1 harf pozitif, formülün eksi işareti var.

Benzer şekilde, kesme alanının sağ ucundan geçen ısı akışı aşağıdaki formüle göre hesaplanır: Q 2 \u003d -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

Kesmede iç ısı olmadığını bırakmak ve ısı korunumu yasasını hızlandırmak için şunları alırız:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Yakshcho, daha önce aydınlatılmış S∆x∆t düzeltiyorum ∆хі ∆t sıfıra, sonra matimemo:

Zvіdsi vіdnyannya teploprovіdnosti maє vyglyad

U t \u003d bir 2 U xx,

de - Sıcaklık iletkenlik katsayısı.

O sırada, saç kesiminin ortasındaysa, kesintisiz, sıcaktır. q(x,t), termal iletkenliğin heterojen eşitlenmesi

U t = a 2 U xx + f(x,t),
de .

Pochatkovі zihin ve sınırda zihin.

Termal iletkenliğin eşitlenmesi için sadece bir pochatkova umova U | t=0 = φ(x)(veya başka bir girişte U(x,0) = φ(x)) ve fiziksel olarak, koçanın kesme sıcaklığının altında yükseldiği anlamına gelir. φ(x). Pochatkov Umov'un dairesinde veya açık alanlarında bile ısı iletimi için, böyle bir görünüm sadece işlev görür φ bayat, vіdpovіdno, iki veya üç zminnyh.

Termal iletkenliğin eşitlenmesi sırasında zihnin sınırları, ince bir ekolayzır gibi aynı görünebilir, ancak fiziksel fark zaten farklıdır. yıkamak ilk aile (5) sıcaklığın kesmenin uçlarında ayarlandığı anlamına gelir. Saatle değişmezse, o zaman g 1 (t) ≡ T 1і g 2 (t) ≡ T 2, de 1і T2- Kalmak. Günler sıfır sıcaklıkta bir saat boyunca sıcak tutulursa, T 1 \u003d T2 \u003d 0 bu akıl aynı olacak. Sınır Zihin farklı tür (6) kesmenin termal akışını belirleyin. Zokrema, yakcho g 1 (t) = g 2 (t) = 0, o zaman aynı olduğunuzdan emin olun. Fiziksel olarak, koku, kіntsі aracılığıyla dış çekirdekten hiçbir ısı değişiminin gözlemlenmediği anlamına gelir (bunlara kіntsіv'nin ısı yalıtımının zihinleri denir). Zreshtoy, sınırda zihin üçüncü tür (7) Newton yasasına göre, gereksiz çekirdekten kesme uçlarından ısı alışverişi gözlemlenip gözlemlenmediğini bilmek güzel (termal iletkenlik gösterildiğinde, ısı yalıtımlı yüzeyin dikkate alındığını tahmin ediyoruz). Doğrusu, bazen zihnin ısı iletkenliğine eşit (7), üç şey yazılır:

Ortamla ısı alışverişinin fiziksel yasası (Newton yasası), tek bir yüzeyden tek bir saatte ısı akışının vücut sıcaklıklarındaki farkla orantılı olduğu gerçeğinde yatmaktadır. dovkilla. Bu sıralamada, sol kіntsya için saç kesimi dorovnuє Burada h1 > 0- Gerekli ortam ile ısı değişim katsayısı, g 1 (t)- Sol uçta navkolishny orta sıcaklığı. Eşit ısıl iletkenlik dikkate alındığında, formüllerdeki ifadelerin eksi işareti bunun nedenidir. Öte yandan, malzemenin ısı iletimi yoluyla, aynı uçtan ısı akışı daha pahalıdır.

Benzer şekilde, makasın sağ ucunda aklınızı kaçırın (14), daha az hızlıdır λ2 farklı olabilirsiniz, kırıklar, birbirine bakıyormuş gibi görünen, ortadakiler, levi ve doğru kinetleri bırakacak, farklı olacaklar.

Sınır zihinleri (14), birinci ve farklı türden zihinlerle daha çılgınca karşılaştırılır. Bırakırsak, bu dalgalanma yoluyla ortadan ısı alışverişi olmaz (böylece ısı değişim katsayısı sıfıra eşit olur), o zaman farklı türden bir zihin görürüz. Başka bir durumda, örneğin ısı değişim katsayısının h1, zaten harika.

Umov'u (14) ile yeniden yazıyoruz x = 0 görüşte ve doğrudan. Sonuç olarak, ilk türden akla matimemo:

Sınır zihinleri, daha fazla sayıda değiştirici için benzer şekilde formüle edilir. Düz bir plakada ısının genleşmesi ile ilgili bir görev için Umov, kenarlardaki sıcaklığın sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Öyle gider, düşünür ve çağrılar daha benzerdir, ancak ilk durumda düz plaka ve kenarların ısıl olarak yalıtılmış olduğu anlamına gelir ve diğerinde bu, görevin vücuttaki ısının genişlemesine bakmak olduğu anlamına gelir. ve yüzeyi ısıl olarak yalıtılmıştır.

Termal iletkenliğin eşitlenmesi için ilk kob-sınır probleminin çözümü.

Termal iletkenliğin eşitlenmesi için pochatkovo-bölgesel zavdannya'dan önce aynı anda bir göz atalım:

Çözümü bilin

U t = U xx , 0 0,

sınırdaki zihinleri ne tatmin eder

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

o koçanı zihni

Virishimo tse zavdannya yöntemi Dört'є.

Krok 1. Shukatimemo kararı rivnyannia (15) bakışta U(x,t) = X(x)T(t).

Özel gezileri biliyoruz:

Fiyatların eşit olana kadar daha düşük olduğunu düşünelim ve değişiklikleri bölelim:

Ana lemmaya göre alınır

yıldızlar çığlık atıyor

Şimdi tsikh zvichaynyh diferansiyel rivnyan'dan cilt virishiti yapabilirsiniz. Muzaffer sınır akıllarına sahip olanlar için canavarca bir saygıdır (16), çılgınca bir karar veremezsiniz b), ancak sınır akıllarını memnun eden özel kararlar:

Krok 2 Sturm-Liouville'in görevini çözün

Tüm siparişler Sturm-Liouville'in siparişlerinden alınmıştır, gelin bir göz atalım dersler 3. Bu bitkinin anlam gücünün ve işlevlerinin gücünün sadece neye dayandığını tahmin edelim. λ>0.

Vlasnі değeri rіvnі

Güç fonksiyonları eşittir (Div. rozvyazannya görevleri)

Krok 3 Eşit a)'nın doğru anlamını hayal edelim ve yogayı deşifre edelim:

4. Nehrin (15) çözünürlüğünü yazalım:

Doğrusallık ve tek biçimlilik sayesinde eşitleme (15) doğrusal bir kombinasyondur.

aynı zamanda bu eşitin tepesi olacak ve fonksiyon U(x,t) sınırdaki zihinleri tatmin eder (16).

Krok 5.önemli ölçüde katsayı Bir 19 unda)

Post işlevinin olduğu gerçeğine geliyoruz φ(x) rozkladayetsya, Sturm-Liouville'in başkanı olarak işlevlerinden dolayı Four'є serisinde yer aldı. Steklov'un teoremine göre, sınırlayıcı zihinleri tatmin eden ve kesintisiz olarak farklı bir sıra izleyebilen fonksiyonlar için böyle bir düzenleme mümkündür. Formüller için Four'e perebuvayut katsayıları

Benzer bilgiler.

Kaplamasız bir çekirdekte eldiven şeklindeki bir çekirdeğin farkı ile termal iletkenliğin diferansiyel eşitlenmesinin çözümüne temel çözüm denir.

Mitteve noktalı dzherelo

Derisiz bir gövde için, bir tür mittve noktası dzherelo'nun koordinatlarının koçanı üzerinde, termal iletkenliğin diferansiyel eşitleme dağılımı aşağıdaki gibidir:

de T - nokta h sıcaklığı x,y,z koordinatları; Q - koçan üzerinde t = 0 anında görülen ısı miktarı; t, ısı verildikten sonraki saattir; R - görebildiğiniz noktaya (yarıçap - vektör) koordinatların koçanı, de djerelo'ya gidin. Derisiz bir tarzda noktalı bir dzherel eldiveni ile termal iletkenliğin eşitlenmesinin temel çözümlerine hizalama (4).

Herhangi bir anınız var mı? 0 dzherel'in sıcaklığı (R = 0) sıfırdan görülebilir ve zaman zaman t -3/2 yasasına göre vücudun diğer noktalarının sıcaklığını aşarak değişir. Aynı zamanda, Dzherel'den çok uzakta, sıcaklık kanuna göre düşürülür. normal rozpodіlu exp(-R 2/4at). İzotermal yüzeyler - merkezi dzhereli'de olan küreler ve belirli bir saatte sıcaklık alanı bir yarıçaptan küçüktür. Saatin başında (t = 0) sıcaklık atanmaz (T = ?), Bu, sonsuz küçük bir hacimde saatin başlangıcının dengelendiği, bölgeli dzherel şemasıyla bağlantılıdır. son ısı miktarı Q ile.

Kabuksuz bir gövde (4) için çözüm temelinde, derisiz bir gövde şeması için sıcaklık alanını hesaplamak mümkündür, çünkü bu, masif viroblardaki termal süreçleri tanımlamak için kullanılır. Nap_vnesk_chennomu'da olmasına izin verin, saçaklı yüzey S - S, noktalı dzherelo D'yi andırıyor (Şekil 4). Büyük kütleler için, ortadaki ısı akıları, yüzeyden ısı transfer akışından önemli ölçüde daha büyüktür. Bu nedenle, yazılı cismin yüzeyi adyabatik bir sınıra girilebilir, bunun için (böl. s. 1.4)

Kaplamasız alana z > 0 kaplamasız alana ekleme, alan z ekleme< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

Bu şemanın arkasında, modellenmiş ve izotermal bir sınır (1. türden sınır Umov) T S \u003d 0, ancak diğer yönde T \u003d T D - T F var.

Sıcaklık alanının (6) grafik görüntüsü, sıcaklığı değiştirecek olan yüzeyin uzaysal konumunun net bir şekilde anlaşılması anlamına gelir. Kartezyen koordinat sisteminde (x, y, z), katlanmış cismin dzherel noktası boyutundaki kontrol kesimleri xy, xz ve yz düzlemleridir (Şekil 5, a). İnceltilmiş bir gövde için izotermal yüzeyler kürelerle doldurulur (sıcaklık yarıçap yönündedir - vektör R). xy düzlemi izotermlerinde, yüzey düzlemini kesmiş gibi

z = sabit; Mitteva noktası dzherel'in farklı bir an ve saatte sıcaklık alanı, Şek. (6) (bölüm P 1.1). Küçük ölçekte sıcaklık, T = 1000K değerleri ile grafiksel olarak işaretlenmiştir.

Duruşun herhangi bir noktasındaki sıcaklık artar ve ardından değişir (Şekil 1.3). Bu noktada maksimum sıcaklık değerine ulaşma anı zihinden bilinir.

Viraz'ın (6) saate göre farklılaşması, maksimum sıcaklık ise saatin atanması için formül alıyoruz.

Bir nokta dzherel farkıyla inceltilmiş bir cismin maksimum sıcaklık noktası R3 ile değişir.