Rivnyannya zv'yazuvannya flats. Isang sinag ng mga flat, isang sinag ng mga flat. Isang grupo ng mga flat - isang tanda

Ang basang sinag ng mga eroplano ay tinatawag na pluralidad ng lahat ng mga eroplano na dumadaan sa isang tuwid na linya.

Ang isang nakakubling sinag ng mga eroplano ay tinatawag na mga impersonal na eroplano na parallel sa bawat isa.

Teorama 1. Para dito, mayroong tatlong flat, na itinakda ng mga galvanized na pagkakapantay-pantay

kung paano gamitin ang pandaigdigang sistema ng coordinate ng Cartesian, na kabilang sa isang sinag, libre at hindi malinaw, kinakailangan at sapat, kaya ang ranggo ng matrix

dorivnyuvav alinman sa dalawa o nag-iisa.

Patunay ng pangangailangan. Hayaang nakalagay ang tatlong flat (1) sa isang bundle. Kailangang magdala ng kung ano

Ito ay katanggap-tanggap na magkaroon ng likod, upang ang tatlong ibinigay sa ibabaw ay nasa iyong bundle. Kung gayon ang sistema (1) ay maaaring maging isang impersonal na solusyon (dahil para sa layunin ng bundle ng buhok: tatlong eroplano ang nakahiga sa bundle, upang ang baho ay dumaan sa isang tuwid na linya); Kung ito ay magiging pareho at kung ito ay, kung gayon ang sistema (1) ay maaaring magkaroon ng isang solong solusyon, o hindi maunawaan, dahil ito ay magiging isang pinuno, pagdaragdag ng mga coefficient na may nevіdomih, vіdmіnniy vіd zero o darіvnyuє zero.

Kung ang tatlong ibinigay na mga lugar ay namamalagi sa isang walang buhok na bundle, pagkatapos ay ang ranggo ng matrix

puntos 1, na nangangahulugang ang ranggo ng matrix M dorіvnyuє alinman sa dalawa o isa.

Katibayan ng kasapatan. Ibinigay: Kinakailangang dalhin na ang tatlong ibinigay na mga lugar ay nakahiga sa isang sinag.

Yakscho, pagkatapos ay ika. Halika na. Kung ang sistema (1) ay nahati, maaari itong maging isang impersonal na solusyon, at sa gitna ng mga flat na ito ay nababalutan sila (dahil ang yakbi ay hindi umapaw, kung gayon ang baho ay magiging magkapareho at ang ranggo ng matrix ay magiging pantay. hanggang 1), pagkatapos ay nakahiga ang tatlong binigay na flat sa mabalahibong bungkos.

Yakscho; lahat ng eroplano ay collinear (dalawa sa mga ito ay hindi palaging parallel, at ang pangatlo ay maaaring tumakbo mula sa isa sa mga parallel na eroplano).

Yakscho, pagkatapos at lahat ng mga lugar ay zbіgayutsya.

Teorama 2. Hayaang magtakda ang central Cartesian coordinate system ng dalawang magkaibang eroplano at itaas na eroplano: ; .

Para sa ikatlong eroplano, ibinibigay din ito sa mga ligaw na katumbas

kung mayroong tatlong coordinate system na nakahiga sa beam, na itinalaga ng mga eroplano i, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang kaliwang bahagi ng eroplano ay isang linear na kumbinasyon ng mga kaliwang bahagi ng mga eroplano i.

Patunay ng pangangailangan. Ito ay ibinigay: ang eroplano ay namamalagi sa isang bungkos ng mga eroplano, na nangangahulugan na ang mga eroplano. Kinakailangang dalhin na ang mga numero ay dapat maunawaan at upang ang pagkakapareho ay ipagdiwang, ay totoo para sa lahat ng mga halaga X, sa, z:

Totoo, na parang may tatlong eroplano, at nakahiga sa isang sinag, pagkatapos ay de

Ang unang dalawang row ng matrix ay linearly independent (shards ng area at difference), ang shards ng ikatlong row ay linear combination ng unang dalawa, tobto. patunayan ang bilang at tulad na

Pagpaparami ng insulto sa unang bahagi ng selos sa X, nakakasakit ng mga bahagi ng isa pa sa sa, nakakainsulto bahagi ng pangatlo sa z at pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino otrimani rivnostі і rivnіst, otrimаєmo ozhnіst, scho dinala.

Katibayan ng kasapatan. Hayaan ang pagkakapareho

patas para sa lahat ng halaga X, saі z. Ito ay kinakailangan upang dalhin sa liwanag na ang lugar ay namamalagi sa sinag, na ito ay signified sa pamamagitan ng lugar na iyon.

Mula sa kung saan ang pagkakakilanlan ay umaawit ng spіvvіdnoshennia,

kaya ang ikatlong hilera ng matris M Ito ay isang linear na kumbinasyon ng unang dalawa, at iyon. Ch.t.d.

Ang katumbas ng de at hindi katumbas ng zero sa parehong oras, ay tinatawag na katumbas ng isang sinag ng mga eroplano, na kung saan ay nakikilala sa pamamagitan ng dalawang magkaibang mga eroplano at katumbas ng mga nasa itaas na Cartesian coordinate system tulad ng sumusunod:

Bilang ito ay dinala sa liwanag, maging katumbas ng eroplano ng sinag, na kung saan ay nakikilala sa pamamagitan ng iba't ibang mga eroplano at maaaring i-record ng viewer.

Bumalik, yakscho katumbas, kung saan ang isa ay nais ang isa sa mga numero i ay hindi katumbas ng zero, ito ay katumbas ng unang hakbang, ito ay katumbas ng eroplano, na kung saan ay namamalagi sa beam, na kung saan ay minarkahan ng mga eroplano i. Kanan, ang ikatlong hilera ng matrix M, Napunan ng mga coefficient na pantay at maaaring magmukhang

tobto. є linear na kumbinasyon ng dalawa pang iba, tom.

Kung ang mga eroplano ay binago ko, at hindi ko maabot ang zero nang sabay-sabay, kung gayon ang lahat ng mga coefficient sa X, sa, z sa mga katumbas ay hindi nila maaaring maabot ang zero, kaya na parang maliit sila ay mayroong espasyo para sa pag-spiving

pagkatapos ay ang mga flat at b ay colinear sa superach pripuschen.

Ngunit kung ang mga eroplano ay parallel, pagkatapos ay gamitin ang mga numerong i, ang gitna nito, kung ang isa ay hindi katumbas ng zero, at sa gayon, na sa pantay na lahat ng mga coefficient sa X, saі z katumbas ng zero. At pagkatapos ay magkakaroon ng isang non-glazed beam, at tulad ng isang grupo ng mga tuwid na linya, dito kailangan nating maging mas magalang.

Sa artikulong ito, mayroong isang pagtatalaga ng isang sinag ng mga eroplano, na kinuha katumbas ng isang sinag ng mga eroplano ayon sa isang ibinigay na right-angle coordinate system, at ito ay malinaw na nakikita upang makilala sa pagitan ng mga katangian ng mga gawain na nauugnay sa mga konsepto. ng isang sinag ng mga eroplano.

Navigation sa gilid.

Ang isang grupo ng mga eroplano ay isang palatandaan.

Mula sa mga palakol ng geometry ay malinaw na sa isang maliit na espasyo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, ang isang eroplano ay dumaan. At dahil sa katigasan na ito, malinaw na may mga impersonal na flat, na ang paghihiganti ay ibinibigay nang diretso. Obguruntuemo tse.

Bigyan tayo ng tuwid na linya a . Kunin natin ang puntong M 1, upang hindi magsinungaling sa tuwid na linya a. Sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at punto M 1 maaari kaming gumuhit ng isang eroplano, at isa lamang. Makabuluhang її. Ngayon kunin natin ang isang punto M 2 na hindi malapit sa eroplano. Sa pamamagitan ng tuwid na linya i point M 2 ay dumaan sa isang eroplano. Kung kukuha ka ng isang puntong M 3 na hindi nakahiga alinman sa eroplano o sa eroplano, maaari mong hikayatin ang eroplano na dumaan sa tuwid na linya a at punto M 3 . Malinaw, ang buong proseso ng pag-induce ng mga eroplano na dumadaan sa isang tuwid na linya a ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan.

Kaya pumunta kami sa destinasyon ng isang bungkos ng mga flat.

appointment.

Sinag ng mga flat- Tse faceless ng lahat ng flat sa maliit na kalawakan, na maaaring dumaan sa isang tuwid na linya.

Direkta, na parang ipaghihiganti ang bigote ng eroplano ng sinag, ito ay tinatawag na sentro ng sinag ng mga eroplano. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, maє misce viraz "isang grupo ng mga eroplano na may gitnang a".

Ang isang tiyak na sinag ng mga eroplano ay maaaring tukuyin alinman sa pamamagitan ng pagpapakita nito sa gitna, o sa pamamagitan ng pagpapakita kung mayroong dalawang eroplano ng sinag, na sa pangkalahatan ay pareho. Sa kabilang panig, maging tulad ng dalawang flat, na magkakaugnay, magtakda ng isang grupo ng mga flat.

Pag-align ng isang sinag ng mga flat - isang pagkasira ng mga gawain.

Para sa mga praktikal na layunin, hindi kinakailangan na pumalakpak ng isang grupo ng mga flat sa geometrical na imahe ng kalangitan.

Tingnan natin ang lohikal na tanong: "Ano ang pagkakahanay ng isang sinag ng mga flat"?

Para kanino, mahalagang tandaan na sa maliit na espasyo, ang Oxyz ay ipinakilala, i tasks ang isang bundle ng mga eroplano para sa isang karagdagang pagpasok ng dalawang eroplano at ang pangatlo. Hayaang magpakita ang mga flat na higit na katumbas ng mga flat ng isip, ngunit ang mga flat ng isip. Kaya mula sa pagkakahanay ng sinag ng mga eroplano, ang pagkakahanay ay tinatawag, habang itinatakda mo ang pagkakahanay ng lahat ng mga eroplano ng sinag.

Sisihin ang gayong lohikal na dahilan: "Anong uri ng pagkakahanay ng isang sinag ng mga eroplano sa isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz"?

Ang pagtingin sa pagkakahanay ng isang grupo ng mga eroplano ay nagbibigay ng sumusunod na teorama.

Teorama.

Ang lugar ay namamalagi sa isang sinag ng mga eroplano, na nangangahulugan ng dalawang eroplano na magkakaugnay at, itinakda ng mga katumbas at pantay, pagkatapos at kaunti lamang, kung ang її zagalne pantay ay maaaring tumingin, de i - sapat diysnі numero, hindi katumbas ng zero nang sabay-sabay (ang natitirang bahagi ng isip ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay).

Nagdadala.

Upang patunayan ang sapat, kailangan mong ipakita:

Isulat muli natin ang mga kapantay. Otrimane katumbas ng wildest katumbas ng lugar, tulad ng isang viraz na huwag umabot sa zero sa magdamag.

Sabihin na natin na ang baho ay talagang hindi bumababa sa isang gabi sa pamamagitan ng paraan ng pag-ulit. Sabihin natin kung ano. Todi, parang, noon, parang, noon. Ang pag-withdraw ng selos ay nangangahulugan na ang mga vectors pov'yazanі spіvvіdnoshennymi abo (para sa pagkonsumo ng kahanga-hangang artikulo), din, vikonuєtsya i. Kaya ang yak ay ang normal na vector ng lugar, - ang normal na vector ng lugar at ang mga vector at ang collinears, pagkatapos ay ang mga eroplano at ang mga parallel ay maaaring iwasan (div. Umov's statute of parallelism of two planes). At hindi mo maaaring buti, na ang mga eroplano at magtakda ng isang grupo ng mga eroplano, at pagkatapos, sila ay tinted.

Otzhe, katumbas ng katotohanan ng mga ligaw na katumbas ng lugar. Ito ay ipinapakita na ang eroplano, bilang ito ay itinalaga bilang katumbas, upang dumaan sa linya ng peretina ng mga eroplano.

Kung gayon, kung gayon ang sistema ay katumbas ng isip ay maaaring isang impersonal na desisyon. (Kung ang sistema ay nakasulat na katumbas ng isang solong solusyon, kung gayon ang mga eroplano, mula sa mga katumbas kung saan ang sistema ay nakatiklop, ay maaaring gumawa ng isang punto, kung gayon, ang eroplano ay nagbabago nang tuwid, na ipinapahiwatig ng mga eroplano, na nagbabago at . na isang oras na nakahiga sa lahat ng tatlong eroplano, samakatuwid, ang eroplano ay parallel sa isang tuwid na linya, na ibinigay ng mga eroplano na nagsasapawan, i).

Dahil ang unang equalization ng equalization system ay naitala na may linear na kumbinasyon ng isa at ang pangatlong katumbas, maaari itong patayin nang walang bakas mula sa system (nagsalita sila tungkol dito sa artikulo). Tobto, ang panlabas na sistema ng equals ay katumbas ng sistema ng equals of mind . At ang sistemang ito ay maaaring isang impersonal na solusyon, mga shards ng lugar at maaaring impersonal na mga tuldok sa pamamagitan ng mga mabaho.

Sapat na dinala.

Lumipat tayo sa kumpirmasyon ng pangangailangan.

Upang patunayan ang pangangailangan, kinakailangan upang ipakita na hindi sana ito nang maaga ibinigay na lugar, scho na dumaan sa linya ng peretina ng mga eroplano at hindi magiging katumbas ng mga ibinigay na halaga ng mga parameter i .

Sumakay tayo ng eroplano, tulad ng pagdaan sa isang punto at sa pamamagitan ng linya ng crossbar ng mga eroplano i (M 0 ay hindi namamalagi sa linya ng crossbar ng mga eroplanong ito). Ipapakita na laging posible na pumili ng mga naturang halaga at mga parameter i, kung saan ang mga coordinate ng point M 0 ay nasiyahan sa pagkakapantay-pantay, upang ang pagkakapantay-pantay ay patas. Si Tsim ay dadalhin sa kaunlaran.

Katawanin natin ang mga coordinate ng punto М0: . Dahil ang mga eroplano ay hindi ako dumaan sa puntong M 0 nang sabay-sabay (sa nakaraan, ang mga eroplano zbіgali b), kung gayon kung isa lamang sa mga viraziv abo vіdmіnno vіd zero. Yakshcho, pagkatapos ay maaari mong baguhin ang pagpili ng parameter na yak i, pagkatapos bigyan ang parameter ng isang medyo hindi-zero na halaga, ito ay makalkula. Kaya, ang pagbibigay ng parameter sa halip na hindi zero na halaga, posible na kalkulahin .

Nakumpleto na ang theorem.

Otzhe, pwede ko bang tingnan. Tinutukoy nito ang lahat ng lugar ng beam. Paano ko kukuha ng dalawang kahulugan ang deaco at ilagay sa pagkakahanay ng sinag ng mga eroplano, isinasaalang-alang namin ang pagkapantay-pantay ng isang eroplano ng ika-beam.

Kaya, tulad ng sa pantay na sinag ng mga eroplano, ang mga parameter at hindi umabot sa zero nang sabay-sabay, pagkatapos ay maaari itong isulat sa view, yakshcho, at sa view, yakshcho.

Gayunpaman, ang leveling ay hindi katumbas ng leveling ng sinag ng mga eroplano ng isip, upang para sa ilang mga halaga ng pagkakahanay ay hindi posible na kunin ang pagkakahanay ng eroplano ng isip, at para sa anumang mga halaga. hindi posible na kunin ang pagkakahanay ng eroplano ng isip.

Lumipat tayo sa tuktok ng mga application.

puwit.

Isulat ang pagkakahanay ng isang sinag ng mga eroplano, na, sa isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz, ay nagtatakda ng dalawang eroplano na magkakapatong. na .

Solusyon.

Ang pagtatakda ng pantay na lugar ng mga windrow ay pantay masigasig na selos patag na paningin. Ngayon ay maaari nating isulat ang pangangailangan para sa isang sinag ng mga eroplano: .

Mungkahi:

puwit.

Nakahiga si Chi sa isang grupo ng mga flat na may gitna?

Solusyon.

Kung ang eroplano ay nakahiga sa sinag, kung gayon ito ay tuwid, na siyang sentro ng sinag, upang humiga malapit sa eroplanong ito. Sa ganitong paraan, maaari kang kumuha ng dalawang magkaibang punto ng tuwid na linya at baligtarin ito, na mabaho malapit sa patag. Kung gayon, kung gayon ang flat ay dapat na nakahiga sa tinukoy na grupo ng mga flat, kung hindi - huwag magsinungaling.

Ang parametric alignment ng tuwid na linya sa espasyo ay nagbibigay-daan sa iyo upang madaling matukoy ang coordinate point na nasa ibabaw nito. Kumuha kami ng dalawang halaga ng parameter (halimbawa, i) at kalkulahin ang mga coordinate ng dalawang puntos na M1 at M2 nang tuwid:

Sa artikulo, madali nating mauunawaan ang bundle ng mga tuwid na linya. Nakikitang pantay na sinag ng mga tuwid na linya. Ilapat natin ang kaalaman sa pagkakahanay ng isang grupo ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito.

є tuwid na linya, scho na dumaan sa isang punto P. Bumalik, tuwid, sho pass through the point P vynachaetsya ay katumbas ng (3), na may tunay na mga numero λ 1 ta λ 2 .

Nagdadala. Una ay ipapakita na ito ay katumbas ng (3) є linear na katumbas(Katumbas ng unang pagkakasunud-sunod), tobto. katumbas, na may anumang koepisyent sa x o y ay hindi katumbas ng zero.

Mga coefficient ng pangkat sa xі y:

Todi, halimbawa, kapag λ 1 ≠ 0 λ 1 ta λ 2 ay hindi katumbas ng zero), maaari nating kunin ang:

Ang katumbas ni Otriman ay ang intelektwal na paralelismo ng mga linya, na ipinahiwatig ng mga pagkakapantay-pantay (1) at (2), na pumapalit sa mga teorema ng isip (ang mga linya ay nagsalubong at hindi naliligaw). Gayundin, ang pagnanais ng isa sa mga pagkakapantay-pantay (5) ay hindi nagwawagi, tobto. Gusto ko ng isang coefficient sa xі y katumbas ng (4) ay hindi katumbas ng zero. Zvіdsi vyplyaє, scho katumbas ng (4) sa linear katumbas (ilog ng unang hakbang) at katumbas ng deyak tuwid na mga linya. Ayon sa teorama ng pag-iisip, diretso itong dumaan sa isang punto P(x 0 , y 0), tulad ng isang tuwid na linya (1) na (2), tobto. vykonuyutsya rivnostі:

tobto. linya (3) na dumaan sa isang punto P.

Dinadala namin sa isa pang bahagi ng theorem. Ipapakita na kung ito ay tuwid, kung paano dumaan sa may batik-batik P ay katumbas ng (3) sa aktwal na mga halaga λ 1 ta λ 2 .

Maglaan ng isang araw nang diretso sa mga batik Pі M"(x", y"). Ipapakita na ito ay direktang nauugnay sa katumbas ng (3) para sa ilang mga halaga λ 1 ta λ 2, hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

Sa unang bahagi ng patunay ng theorem, ipinakita namin na ito ay tuwid, tulad ng pagdaan sa isang batik. P vynachaetsya katumbas ng (3). Ngayon, paano makakadaan ang isang tuwid na linya sa isa pang punto M"(x", y"), kung gayon ang mga coordinate ng punto ay dahil sa kasiyahan ng pagkakahanay (3):

Sa paggalang, ang pagbitin sa mga tanikala ay imposibleng maabot ang zero sa isang gabi, dahil tse meant b, scho offense equal to pass through the points Pі M"(x", y") ako, otzhe, zbіgayutsya. Halika, halimbawa, λ 1 (A 1 x" 0 +B 1 y" 0 +C 1) ≠0. Todi paglalagay λ Ang 2 ay medyo isang numero, na binibilang bilang zero λ 1:

Isipin ang mga coordinate ng punto M para sa katumbas (12):

Pagpapatawad (13):

Sa pagtatanong, halimbawa, λ 2 = 4, opsyonal λ 1 =−5.

Lagyan natin ng halaga λ 1 ta λ 2 (12):

Mungkahi:

Halimbawa 2. Hikayatin ang pagkakahanay ng mga tuwid na beam sa gitna M(4,1):

Solusyon. Kumuha kami ng dalawang magkaibang punto, na hindi umiiwas sa isang punto M: M 1 (2,1), M 2(-1.3). Hinihikayat ka naming ipasa ang mga puntos Mі M isa. Normal na vector n 1 linya ng linya ay dahil sa orthogonal sa vector Mі M 1:=(2-4, 1-1)=(-2.0). Tobto. maaari kang kumuha ng n 1 = (0.1). Direktang pagkakapantay-pantay ng Todi sa normal na vector n 1 upang dumaan sa punto M maaaring ganito ang hitsura:

Mungkahi:

Sa paggalang, pagkuha ng iba pang mga puntos M 1 ta M 2, kinukuha namin ang equalization ng parehong bundle ng mga tuwid na linya, ngunit sa iba pang dalawang tuwid na linya.

Sinasabi namin sa harap namin na ang flat

є linear na kumbinasyon ng mga eroplano

gaano kapantay (1) ang isang linear na kumbinasyon ng mga katumbas (2) at (3)

Mula sa pagkakapareho (4) vyplivaє, scho every point), scho satisfies both equals (2) і (3), satisfies і equals (1) - maging ito ay isang punto na namamalagi sa parehong flats (2) і (3), lie і mga flat (1) . Sa ibang salita:

Ang eroplano, na isang linear na kumbinasyon ng dalawang ibinigay na eroplano, na nagsasapawan (2) at (3), ay dumadaan sa isang tuwid na linya ng mga eroplanong ito. Sabihin nating i, pabalik, kung ito man ay isang eroplano (1), upang dumaan sa isang tuwid na linya d ng dalawang ibinigay na eroplano (2) at (3), o isang mas mahusay na kumbinasyon ng mga eroplanong ito.

Kung walang intermediation ng antok, maaari nating ipagpalagay na ang lugar (1) ay hindi nagsasapawan sa parehong lugar (2) at (3). Ang patunay ay kapareho ng para sa mga tuwid na linya (Kabanata V, §5).

Ang lugar na dumadaan sa tuwid na linya d ay itatalaga muli, tulad ng ipahiwatig namin bilang isang punto (Larawan 122), na hindi namamalagi sa tuwid na linya d.

Kunin natin ang gayong punto sa ating eroplano (1) at isulat ang katumbas ng dalawang hindi alam:

Kaya, para sa mga allowance, ang punto ay hindi namamalagi sa tuwid na linya d, kung isa lamang sa mga arko sa kaliwang bahagi ng linya (5) ang makikita mula sa zero; kung saan ang pagiging karapat-dapat (5) ay malinaw na tinutukoy

Ngayon ipaalam sa akin ang mga numero na nakakatugon sa mga proporsyon (6). Parehong vikonano at pagkakapantay-pantay (5), na nangangahulugan na ang punto ay nasa eroplano

Ale tsya area, bilang isang linear na kumbinasyon ng mga eroplano (2) і (3), dumaan sa tuwid na linya d і upang masakop ang punto , na nasa eroplano (ibig sabihin ang lugar (1) ay sumasama sa eroplano (7) at є linear na kumbinasyon ng mga eroplano (2) і ( 3).

Gayundin, dahil ang eroplano (1) ay dumaan sa isang tuwid na linya ng dalawang eroplano (2) at (3), ito ay kinakailangan at sapat, upang ang eroplano (1) ay isang linear na kumbinasyon ng mga eroplano (2) at (3). ).

Ngayon dalhin ang mga eroplano (2) at (3) parallel. Kaya, tulad ng sa § 5 ng Kabanata V, tayo ay muling isasaalang-alang diyan, maging ito ay isang patag, na ito ay isang linear na kumbinasyon ng mga flat (2) at (3), ito ay parallel at na, pabalik, maging ito ay isang flat, parallel sa dalawa ( parallel to each other) planes (2) at (3), є їх linear combination.

Tinatawag namin ang kabuuan ng lahat ng mga eroplano na dumadaan sa ibinigay na tuwid na linya d, isang basang grupo ng mga eroplano mula sa itaas, tinatawag namin ang hindi makinis na grupo ng mga eroplano na kabuuan ng lahat ng mga eroplano, parallel (sa isang malawak na kahulugan ng salita) sa isa eroplano. Nareshty, tinatawag namin ang impersonality ng lahat ng mga eroplano, na mga linear na kumbinasyon ng dalawang tulad-nebud flat at isang-dimensional na magkakaibang mga eroplano, na nabuo ng dalawa sa kanilang mga elemento at . Dinala namin, na maging isang bungkos ng mga flat (Vlasny chi unsmooth) sa one-world rіznomanіttyam, isinilang ng kanilang sariling dalawang elemento.

Bumalik, ang lahat ng parehong-mundo na magkakaibang mga flat (binuo ng ilang uri ng dalawang flat i 62) - isang grupo ng mga flat - vlasny, tulad ng mga flat i 62 ay tinted, hindi makintab, tulad ng baho ay parallel.

Sa dibisyon ng XXIII tsikh "Lektsii" lilikha kami ng isang disenyong kalawakan, na napunan muli ang kahanga-hangang kalawakan ng mga hindi malinaw na malayong (hindi makinis) na mga punto sa isang ranggo na ang pagsasama-sama ng mga walang katapusan na mga puntong ito ay nagtatatag ng isang hindi malinaw na malayo (hindi- malayong) eroplano;

Lahat ng tuwid, na nasa patag na ito, ay tatawaging hindi malinaw na malayo o malabo. Ang balat ay "vlasna" (tobto zvichayna) ang lugar ng kalawakan ay magkakaugnay sa isang magaspang na lugar kasama ang isang magaspang na tuwid na linya - sa likod ng isang solong magaspang na tuwid na linya ng isang basang lugar. Sa pamamagitan nito, lumilitaw na ang dalawang lugar na may tubig ay magkapareho at magkapareho lamang, kung ang baho ay nalulula (sa kanyang nakakapaso) na hindi maiiwasang mga tuwid na linya. Sa ganitong paraan, sa projective space ay may pagkakaiba sa pagitan ng malinaw at unsmooth beam ng flats: ang clear beam ay isang chain ng flats, ang taas nito ay isa sa mga tuwid na linya ng projective space.