Walang katapusang paraboloid. Elipsoid. Hyperboloids. Paraboloids. Raztashuvannya libreng ibabaw sa isang mangkok

Mayroong dalawang uri ng paraboloids: elliptic at hyperbolic.

Elliptic paraboloid ang ibabaw ay tinatawag, tulad ng sa kasalukuyang sistema ng Cartesian rectangular coordinate ito ay itinalaga pantay

Ang isang elliptical paraboloid ay maaaring magmukhang isang hindi mauubos na namamaga na mangkok. Vіn maє dvі kapwa patayo sa eroplano ng mahusay na proporsyon. Ang Krapka, na may ilang cob ng mga coordinate, ay tinatawag na tuktok ng isang elliptic paraboloid; ang mga numerong p at q ay tinatawag na i-parameter.

Ang isang hyperbolic paraboloid ay tinatawag na isang ibabaw, dahil ito ay kumakatawan sa katumbas

Hyperbolic paraboloid gumawa ng hugis saddle. Vіn maє dvі kapwa patayo sa eroplano ng mahusay na proporsyon. Ang Krapka, na may ilang cob ng mga coordinate, ay tinatawag na vertex ng isang hyperbolic paraboloid; numero Rі q ay tinatawag na mga parameter ng yoga.

Tama 8.4. Tingnan natin ang hyperbolic paraboloid mind

Hayaang kailanganin ang isang bahagi ng paraboloid na nasa mga hanay: xО[–3; 3], saО[–2; 2] na may crop D=0.5 para sa parehong mga pagbabago.

vikonannya. Sa likod ng iyong ulo z. Sa puwitan

Ipasok ang halaga ng pagbabago X sa mga stovpet PERO. Para kanino sa gitna A1 input na character X. Sa gitna A2 ipasok bago ang halaga ng argumento - natitira sa pagitan ng hanay (–3). Sa gitna A3- isa pang kahulugan ng argumento - ang kaliwa sa pagitan ng hanay kasama ang prompt (–2,5). Potim, na nakita ang bloke ng gitna A2:AZ, kinukuha ng autocomplete ang lahat ng mga halaga ng argumento (para sa kanang lower cut, ang block ay maaaring pahabain sa gitna A14).

Kahalagahan ng pagbabago sa ilagay sa isang hilera 1 . Para kanino sa gitna SA 1 ipasok bago ang halaga ng pagbabago - natitira sa pagitan ng hanay (-2). Sa gitna Z 1- ibang halaga ng pagbabago - ang kaliwa sa pagitan ng hanay kasama ang wake-up call (- 1,5). Potim, na nakita ang bloke ng gitna B1:C1, kinukuha ng autocomplete ang lahat ng halaga ng argumento (para sa kanang lower cut, ang block ay maaaring i-extend sa J1).

Pagkatapos ay ipasok ang halaga ng pagbabago z. Para sa kung aling tabular cursor ang dapat ilagay sa talahanayan SA 2 at ilagay ang formula - = $A2^2/18 -B$1^2/8, bakit pinindot ang key Pumasok. Sa gitna SA 2 ay 0. Ngayon ay kinakailangan upang kopyahin ang pag-andar mula sa silid SA 2. Para sa autocompletion na ito (lumalawak sa kanan) kopyahin ang formula pabalik sa hanay B2:J2, pagkatapos ng kung ano (stretched down) - y range Q2:J14.

Bilang isang resulta, sa hanay Q2:J14 lilitaw ang talahanayan ng mga punto ng hyperbolic paraboloid.

Upang hikayatin ang mga diagram sa toolbar pamantayan kailangang pindutin ang pindutan Meister Diagram. Sa dialogue vіknі, ano ang nangyari. Meister diagram (croc 1 ng 4): uri ng diagram ipahiwatig ang uri ng mga diagram - sa taas, at naghahanap- Drotov (clearance) ibabaw(Kanang itaas na diagram malapit sa kanang window). Pagkatapos ng kung ano ang pindutin namin ang pindutan Dali sa dialogue window.

Sa dialogue vіknі, ano ang nangyari. Meister diagram (croc 2 of 4): dzherelo danih Kailangang piliin ng mga diagram ang tab Saklaw ibigay ito sa bukid Saklaw bigyan ang mouse ng pagitan ng data Q2:J14.

Ang Dali ay kinakailangan upang ipahiwatig sa mga hilera ng kalinisan, ang mga hilera ng data ay nakatago. Piliin ang oryentasyon ng mga palakol Xі y. Sa puwitan ng lumulukso Papasok ang mga hilera para sa tulong ng tagapagpahiwatig ng misha, ilalagay namin ito sa posisyon ng mga tuod.

Pinipili namin ang tab na Row i sa field Mga lagda ng X axis ipahiwatig ang hanay ng mga lagda. Para sa susunod na field, i-activate ang field sa pamamagitan ng pag-click sa bagong mouse, at ilagay ang axis signature range X -A2: A14.

Ipasok ang halaga ng lagda ng axis y. Para kanino sa larangan ng pagtatrabaho hilera kinuha namin ang unang rekord Hilera 1 ang nag-activate ng working field ako gabay ni misha, ipinakilala namin ang unang halaga ng pagbabago y: -2. Pawisan tayo sa may field hilera pagkuha ng isa pang record Hanay 2 ako sa larangan ng pagtatrabaho ako magpasok ng isa pang halaga ng pagbabago y: -1.5. Ulitin sa ganitong pagkakasunud-sunod hanggang sa natitirang talaan - Hanay 9.

Kapag lumitaw ang mga kinakailangang tala, pindutin ang pindutan Dali.

Sa ikatlong window, kinakailangang ipasok ang pamagat ng mga diagram at ang mga pangalan ng mga palakol. Kung saan kailangan mong piliin ang tab Mga pamagat, pag-click dito gamit ang mouse. Pagkatapos ng kung ano ang nagtatrabaho field Tinatawag na mga diagram ipasok ang pangalan mula sa keyboard: Hyperbolic paraboloid. Pagkatapos, sa katulad na paraan, pumasok sa mga larangan ng trabaho Lahat ng X (mga kategorya),Lahat ng Y (mga hilera ng data)і Timbang Z (halaga) angkop na mga pangalan: x, yі z.

Ang kapangyarihan ng dotism ay dinala sa isang parabola, na higit na mahalaga, na ito ay sumisigaw mula dito, na ito ay nagbago, na ito ay lumilitaw mula sa pokus ng isang hubog na parabolic na salamin, na ang gayong salamin, sa ibabaw ng kung saan ang pambalot ng parabola ay lumilitaw sa tungkol sa axis nito, upang i-mirror ang sarili nito parallel .

Ang kapangyarihan ng parabolic mirrors zastosovuetsya na may kapangyarihan ng mga searchlight, sa mga headlight ng anumang kotse, pati na rin sa mirror telescope. Kasabay nito, sa natitirang bahagi ng taglagas, pabalik, pagbabago, upang pumunta sa langit; kung sila ay parallel, sila ay naka-set sa parallel sa focus ng teleskopyo mirror, at kaya kung magbabago ka, upang pumunta sa iba't ibang mga punto ng luminary, masaganang walang kapantay, at pagkatapos ay ang baho ay nakasentro sa focus sa iba't ibang mga punto, upang ang imahe ng luminary ay lilitaw sa focus, mas malaki, mas malaki ang parabola ng focal point. Ang larawang ito ay nasa mikroskopyo na (telescope eyepiece). Mahigpit na tila, pagbabago lamang, mahigpit na parallel sa axis ng salamin, umakyat sa isang punto (sa focus), parallel sa pagbabago, kung saan pupunta, sa ilalim ng dulo sa axis ng salamin, umakyat ng higit pa o mas kaunti sa isa punto, bukod dito, mas malayo sa focus, ang imahe ay mas bukas. Ang mga muwebles ng Yogo ay pumapalibot sa "patlang ng bukang-liwayway ng teleskopyo".

Hayaan ang panloob na ibabaw ng yoga - ang salamin na ibabaw ng parabolic na salamin ay nakabitin sa isang sinag ng liwanag na nagbabago parallel sa axis ng OS. Dapat baguhin, parallel sa axis ng OU, pagkatapos ng pagbabago upang lumiko sa isang punto ng axis ng OU (focus F). Ang kapangyarihan ng mga parabolic telescope ay itinatag sa kapangyarihang ito. Ang mga pagbabago mula sa malalayong mga bituin ay dumarating sa atin sa paningin ng isang magkatulad na sinag. Ang pagkakaroon ng paghahanda ng parabolic telescope at paglalagay ng photographic plate sa focus ng Yogo, maaari nating mapahusay ang liwanag na signal na nagmumula sa kalangitan.

Ang prinsipyong ito ay nakasalalay sa batayan ng parabolic antenna, na nagpapahintulot sa lakas ng mga signal ng radyo. Kung naglalagay ka ng ilaw sa pokus ng parabolic mirror, kung nakikita mo ang ibabaw ng salamin, ang palitan, na papunta sa direksyon ng salamin, ay hindi tumataas, ngunit umakyat mula sa makitid na sinag na kahanay sa axis ng ang salamin. Ang katotohanang ito ay dapat malaman kapag naghahanda ng mga projector at ilaw, iba't ibang mga projector, mga salamin na kung saan ay ginawa sa anyo ng mga paraboloids.

Nakatalaga sa mas malawak na optical power ng isang parabolic mirror, ang mga mirror telescope, iba't ibang sleepy heating installation, at projector lights ay sabay na binuo. Ang pagkakaroon ng paglalagay sa pokus ng parabolic mirror ng isang mas matalas na punto ng liwanag, inaalis namin ang matalim na daloy ng mga pagbabago na kahanay sa axis ng salamin.

Kapag binabalot ang isang parabola, lumilitaw ang isang pigura tungkol sa axis, na tinatawag na paraboloid. Kung ang panloob na ibabaw ng paraboloid ay parang salamin at nagdidirekta ng isang sinag ng mga pagbabago na kahanay sa axis ng symmetry ng parabola, kung gayon ang pagbabago ay kukunin sa isang punto, dahil ito ay tinatawag na isang focus. Sa parehong oras, na parang ang ilaw ay ilalagay sa pokus, kung gayon ang mga pagbabago sa ibabaw ng salamin ng paraboloid ay lilitaw na magkatulad at hindi tumaas.

Ang unang kapangyarihan ay nagpapahintulot sa iyo na kumuha ng mataas na temperatura sa pokus ng paraboloid. Zgidno z legend, tsyu vlastivist vikoristovuvav sinaunang Greek teachings of Archimedes (287-212 pp. BC). Sa panahon ng pagtatanggol ng Syracuse sa digmaan laban sa mga Romano, na nag-udyok ng isang sistema ng mga parabolic mirror, pinahintulutan niya ang pokus ng mga palitan ng sony sa mga barko ng mga Romano. Bilang isang resulta, ang temperatura sa foci ng parabolic mirror ay nagpakita ng isang mataas na sahig, na sa mga barko ay nasunog at ang baho ay nasunog.

Ang isa pang kapangyarihan ay nanalo, halimbawa, sa paghahanda ng mga searchlight at mga headlight ng kotse.

Hyperbole

4. Ang pagtatalaga ng hyperbole ay nagbibigay sa amin ng isang simpleng paraan upang makakuha ng її nang walang pagkagambala: kumuha ng dalawang mga thread, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga haba na kung saan ay mas mahal 2a, at ilakip ang isang dulo ng bawat thread sa point F "at F. Tulad ng trimming gamit ang iyong kamay, dalawang iba pang mga thread ay gumagalaw olіvtsya, dbayuchi tungkol sa mga na ang mga thread ay pinindot sa papel, hinila ng mahigpit at natigil, pochinayuchi sa vіd vіstrі, scho sa upuan, hanggang sa buwan ng z'єdnannya kintsіv, pagkatapos ay in_strya habi ng isang bahagi ng isa sa takong ng hyperbole (mayroong higit pa, mas kaunting mga thread) .).

Ang pagpapalit ng mga tungkulin ng mga puntos na F "at F, inaalis namin ang bahagi ng kabilang leeg.

Halimbawa, sa paksang "Curves of the 2nd order" maaari mong tingnan ang sumusunod na gawain:

Manager. Dalawang istasyon ng tren A at B ay matatagpuan sa parehong istasyon, isa sa isa. Maaari mong ihatid ang punto M vantage mula sa istasyon A alinman sa pamamagitan ng direktang transportasyon sa kalsada (ang unang ruta), o sa pamamagitan ng zaliznitsi sa istasyon, ngunit sa pamamagitan ng kotse (sa ibang paraan). Ang taripa ng riles (ang presyo ng transportasyon na 1 tonelada bawat 1 km) ay nagiging m rubles, ang taripa para sa transportasyon ng motor - n rubles, n> m, ang taripa para sa vanity-distribution - k rubles. Italaga ang rehiyon sa vlivu ng istasyon ng tren, tobto, rehiyon na iyon, mas mura ang maghatid ng mataas na posisyon mula sa istasyon hanggang sa yak. magtalaga ng geometrically place point, kung saan ang isa pang paraan ay ang pinaka-halata para sa una.

Solusyon. Kapansin-pansing AM = r, BM = r, ang parehong variance ng paghahatid (transportasyon at paghahatid-distribusyon) ayon sa halagang AM ay nr + k, at ang pagkakaiba-iba ng paghahatid ayon sa gastos ABM ay ms + 2k + ng. Pagkatapos ay ang mga puntos na M, na tumutukoy sa pagkakaiba sa pagitan ng mga pagkakaiba-iba ng pantay, ay sumasagot sa katumbas nr + k = ms+2k+ng , chi

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

otzhe, ang linya na humahanggan sa rehiyon ay isa sa mga pangunahing lugar ng hyperbole | r - r | = Const. Para sa lahat ng mga punto ng eroplano, na nakahiga sa isang gilid na may punto A, sa direksyon ng hyperbole, ang pinaka-nakikitang unang landas, at para sa mga punto na nasa tabi ng susunod na gilid, - ang isa pa, na ang hyperbole na linya ay tinatawag na rehiyon ng istasyon.

Pagpipilian tsієї gawain.

Dalawang istasyon ng tren A at B ay matatagpuan sa parehong istasyon ng tren, isa sa isa. Sa puntong M, ang vantage ay maaaring maihatid mula sa istasyon A alinman sa pamamagitan ng direktang transportasyon, o sa pamamagitan ng hangin patungo sa istasyon, o sa pamamagitan ng kotse (Larawan 49). Kasabay nito, ang taripa ng riles (ang presyo ng transportasyon ng 1 tonelada bawat 1 km) ay nagiging m rubles, ang halaga ng gastos sa transportasyon ay k rubles (bawat 1 tonelada), at ang taripa para sa transportasyon ng motor ay n rubles (n). > m). Kapansin-pansin, ito ang pangalan ng zone ng iniksyon ng istasyon ng tren B, dahil ang zone na iyon, sa yak, ay mas mura upang maghatid ng mataas na posisyon mula sa ruta ng A zmіshanim: sa tabi ng riles at pagkatapos ay sa kalsada.

Solusyon. Variant ng delivery 1 t vantage para sa gastos AM upang maging r n, de r = AM, at para sa gastos AOM ito ay mas mahal 1m + k + r n. Kailangan nating pagtagumpayan ang pinagbabatayan na hindi pagkakapantay-pantay r n 1m+ k+ r n і upang matukoy kung paano i-subdivide ang mga punto sa eroplano (x, y), kung saan mas mura ang maghatid ng mataas na posisyon alinman sa una o sa kabilang paraan.

Alam natin ang mga pantay na linya na nagtatag ng kordon sa pagitan ng dalawang zone na ito, iyon ay isang geometrically space point, para sa mga ganitong pagkakasala ang mga landas ay "pantay na nakikita":

r n = 1m+ k+ r n

З цієї isip otrimuєmo r - r = = const.

Hinati ng parehong linya ang hyperbole. Para sa lahat ng mga panlabas na punto ng hyperbole, ang pinakatanyag na landas ay ang una, at para sa mga panloob ay isa pa. Samakatuwid, lagyan ng label ng hyperbole ang inflow zone ng istasyon B. Ang isa pang hyperbole na label ang inflow zone ng istasyon A (ang vantage ay inihatid mula sa istasyon B). Alam namin ang mga parameter ng aming hyperbole. Її great vsіs 2a = , at sa pagitan ng foci (tulad ng mga istasyon A at B) sa mga oras na 2с = l.

Sa ganoong ranggo, ang kakayahan ng isip na mag-isip ng gawain, na itinuturing na a< с, будет

Tse zavdannya pov'yazuє abstract geometric na pag-unawa sa hyperbole z transport at economic zavdannyam.

Ang Shukane geometrical na lugar ay isang punto, isang impersonal na punto, na nasa gitna ng kanang hyperbole, upang ipaghiganti ang punto.

6. Sa alam" Silgospmashin mahahalagang katangian ng pagpapatakbo ng isang traktor na gumagana sa sukat, na nagpapakita ng katatagan nito, є kut late sickness at lateral roll.

Tingnan natin ang wheel tractor para sa pagiging simple. Sa itaas, de pratsyuє tractor (prinaimnі, її upang mow ng isang maliit na bahagi), vvazhatimutsya flat (flat ruhu). Ang huling taas ng traktor ay tinatawag na projection ng tuwid na linya, na kung saan ay ang hulihan ng gitna ng harap at likurang mga ehe, papunta sa eroplano ng sahig. Ang isang kut ng isang nakahalang roll ay tinatawag na isang kut, na may isang pahalang na eroplano ng isang tuwid na linya, patayo sa susunod na axis at nakahiga sa eroplano ng sahig.

Kapag nag-aaral sa kurso ng matematika na may mga paksang "Tuwid at patag sa bukas na espasyo", ang gawain ay isinasaalang-alang:

a) Alamin ang hiwa ng sakit ng huli na traktor, na bumabagsak sa isang kasanayan, upang ito ay humantong sa isang bagong kasanayan at isang hiwa upang palakasin ang trajectory ng traktor sa direksyon ng susunod na tuwid.

b) Ang limitasyong hiwa ng transverse roll ng traktor ay ang pinakamalaking pinahihintulutang hiwa ng karit, sa kabuuan kung saan ang traktor ay maaaring tumayo nang hindi ibinabato. Ang mga parameter ng Yaki ng traktor ay sapat na upang malaman para sa pagtatalaga ng hangganan kut ng transverse nahilu; kung paano malaman
kut?

7. Ang pagkakaroon ng mga straight-line na matagumpay na mga tagumpay ay matatagpuan sa pang-araw-araw na teknolohiya. Si Volodymyr Grigorovich Shukhov (1853-1939), isang Russian engineer, ang nagtatag ng praktikal na zastosuvannya tsgogo є vіdomiy rosіyskiy іnzhenier. Dinisenyo ni V. G. Shukhov ang pagtatayo ng mga kadena, hanger at suporta, na nakatiklop mula sa mga metal na beam, na inilatag sa kahabaan ng tuwid one-shot hyperbole wrap. Ang mataas na kalidad ng naturang mga konstruksyon ay may higit na liwanag, ang mababang kakayahang magamit ng paghahanda at paggawa ng malabnaw ay tinitiyak ang malawak na pagpapalawig ng mga ito sa pang-araw-araw na gawain.

8. LEGALIZE ANG BATAS NG VILLA SOLID TIL

Para sa isang malayang katawan, makikita ng isa ang lahat, ngunit hindi pa rin ito nangangahulugan na ang kamay ng isang malayang katawan ay walang hawak, hindi napapailalim sa anumang mga batas; navpak, ang pasulong na paggalaw ng isang solidong katawan ay independiyente sa anyo ng yogo ovnishnoi na malito ng batas tungkol sa sentro ng masa at humantong sa paggalaw ng isang punto, at ang obertal ay ang tinatawag na head axes ng pagkawalang-galaw. , ngunit ellipsoid ng inertia. Kaya, ang club, na itinapon sa bukas na espasyo, o ang butil, na lumilipad sa labas ng pag-uuri, atbp., ay unti-unting bumagsak, tulad ng isang punto (ang gitna ng masa), at sabay-sabay itong bumabalot sa gitna ng masa. Zagalom na may forwardal Russian, maging ito man ay matatag, ang katawan ay independiyente sa anyo nito, o ang natitiklop na kotse ay maaaring mapalitan ng isang punto (ang gitna ng masa), at sa lantad, na may isang elіpsoїdom іnertsії. , radii-vectors ng naturang pantay - de / - moment of inertia ng katawan ng anumang axes na dumadaan sa gitna ng ellipsoid.

Habang ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan sa ilalim ng oras ng pagbabalot ay maaaring magbago, ang bilis ng pagbabalot ay magbabago din. Halimbawa, pagkatapos ng isang oras ng isang gupit sa ulo, ang mga acrobat ay pumipiga sa dibdib, kung saan nagbabago ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan, at ang bilis ng pambalot ay tumataas, na kinakailangan para sa tagumpay ng gupit. Katulad nito, pagkatapos ng pagdila, inililipat ng mga tao ang kanilang mga kamay sa mga gilid, kung saan tumataas ang sandali ng pagkawalang-galaw, at nagbabago ang pag-ikot ng wrapper. Kaya ang mismong pagbabago ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng rake zhneї ng vertical axis ng oras at ang pagliko ng horizontal axis.

Elipsoid- Sa ibabaw sa isang walang kuwentang espasyo, na deformed ng pagpapapangit ng globo, mayroong tatlong magkaparehong patayo na mga palakol. Ang canonical alignment ng ellipsoid sa Cartesian coordinate, na umiiwas sa mga axes ng ellipsoid deformation: .

Ang mga halaga ng a, b, c ay tinatawag na ellipsoid pivos. Ang katawan ay tinatawag ding elіpsoid, na napapalibutan ng ibabaw ng isang elіpsoid. Elіpsoїd є isa sa mga posibleng form sa itaas ng isa pang order.

Dahil maaaring magkapareho ang haba ng isang pares ng pivos, maaaring alisin ang ellipse mula sa mga wrapper ng ellipse para sa halos isa sa mga yogo axes. Ang nasabing ellipsoid ay tinatawag na isang ellipsoid wrapper o isang spheroid.

Ang elipsoid ay mas tumpak, mas mababang sphere, na sumasalamin sa idealized na ibabaw ng Earth.

Dami ng ellipsoid:.

Lugar ng ibabaw ng elіpsoida wrap:

Hyperboloid- ang view ng ibabaw ng ibang pagkakasunud-sunod sa isang trivi-worldly space, na tinukoy sa Cartesian coordinate pantay - (single-spaced hyperboloid), kung saan ang a at b ay mga tunay na linya, at c - ay malinaw; abo - (double-spread hyperboloid), de a at b - vyavn_ pіvosі, at c - diysna pіvvіs.

Kung a = b, kung gayon ang naturang ibabaw ay tinatawag na hyperbole wrap. Ang isang walang laman na hyperboloid wrapper ay maaaring alisin mula sa hyperbole wrapper sa її obvious axis, isang double-empty wrapper - sa її obvious axis. Ang isang two-way hyperboloid na bumabalot sa isang geometrical space point P, isang module ng pagkakaiba sa pagitan ng alinman sa hanggang dalawang ibinigay na mga puntong A at B ay pare-pareho: | AP−BP | = Const. Sa kasong ito, ang A at B ay tinatawag na foci ng hyperboloid.

Single-ported hyperboloid є double linear surface; na para bang ito ay isang hyperboloid wrapper, kung gayon ang alak ay maaaring alisin mula sa mga pambalot nang direkta sa kabilang panig ng linya na tumatawid dito.

Paraboloid ay isang uri ng ibabaw ng ibang pagkakasunod-sunod. Ang isang paraboloid ay maaaring ilarawan bilang isang hindi sarado, hindi gitnang ibabaw ng ibang pagkakasunud-sunod (na walang sentro ng simetrya).

Pagkakapantay-pantay ng kanonikal paraboloid sa mga coordinate ng Cartesian:

· kung ang a at b ay may parehong tanda, kung gayon ang paraboloid ay tinatawag na elliptical.

aka a at b magkaibang tanda, Ang Parabolic ay tinatawag na hyperbolic.

· Kung ang isa sa mga coefficient ay katumbas ng zero, kung gayon ang paraboloid ay tinatawag na parabolic cylinder.

ü - elіptichny paraboloid, de a at b ng parehong tanda. Ang ibabaw ay inilalarawan ng isang pamilya ng mga parallel na parabola na may mga karayom, diretso sa burol, ang mga tuktok nito ay naglalarawan ng isang parabola, na may mga karayom, diretso din sa burol. Tulad ng a = b, kung gayon ang elliptical paraboloid ay ang pambalot sa ibabaw, ang parabola na nakabalot sa patayong axis, na dumadaan sa tuktok ng parabola na ito.

ü ay isang hyperbolic paraboloid.

Sa ibabaw ng 2nd order, mayroon ding hyperbolic paraboloid. Tsya ibabaw ay maaaring kinuha ang layo sa pamamagitan ng zastosuvannym algorithm vikoristovu pambalot tulad ng isang linya bilang isang non-mapanirang axis.

Upang magbigay ng inspirasyon sa isang hyperbolic paraboloid, mayroong isang espesyal na modelo. Kasama sa modelong ito ang dalawang parabola, na nakaayos sa dalawang magkaparehong patayo na eroplano.

Hayaan ang parabola I roztashovuєtsya sa flat na masuwayin. Parabola II zdіysnuє natitiklop na paggalaw:

▫ її dumura posisyon zbіgaєtsya mula sa flat
, bukod dito, ang vertex ng parabola zbіgaєtsya na may cob ng mga coordinate: =(0,0,0);

▫ distansya parabola parallel transfer, saka, її vertex
zdіysnyuє trajectory, scho zbіgaєtsya na may parabola I;

▫ Dalawang magkaibang posisyon ng parabola II ang nakikita: ang isa ay ang mga pin ng parabola pataas, ang isa ay ang mga pin pababa.

Isulat natin ang pagkakahanay: para sa unang parabola I:
- Postiyno; para sa isa pang parabola II:
- Posisyon ng Pochatkove, rіvnyannya Rukh:
Di bale bachichi, what's the point
maaaring mag-coordinate:
. Kailangan ni Oscilki na kumatawan sa batas ng punto
: kung ang punto ay maglatag ng parabola I, kung gayon kinakailangan na patuloy na manalo sa linya: =
і
.

Mula sa mga geometric na tampok ng modelo, madaling bachiti, na ang ruhoma ay isang parabola tala ibabaw ng deaku. Sa ganoong oras, ang ibabaw, na inilarawan ng parabola II, ay makikita:

alinman →
. (1)

anyo
. Mayroong dalawang mga posibilidad:

isa). Mga palatandaan ng dami pі q iwasan: ang mga parabola I at II ay nakatiklop sa isang gilid ng eroplano OXY. Katanggap-tanggap: p = a 2 і q = b 2 . Ngayon otrimuєmo vіvnyannja vіdomoї surfіnі:

→ elliptic paraboloid . (2)

2). Mga palatandaan ng dami pі q naiiba: ang mga parabola I at II ay nakaayos sa magkaibang panig ng eroplano OXY. Halika na p = a 2 і q = - b 2 . Ngayon ito ay kinakailangan upang equalize ang ibabaw:

→hyperbolic paraboloid . (3)

Ibunyag ang geometric na hugis ng ibabaw, na parang ito ay katumbas ng (3) hindi mahalaga, upang hulaan ang kinematic na modelo ng interplay ng dalawang parabola, na kukuha sa kapalaran ng Russia.

Ang Parabola I ay ipinapakita sa isip sa maliit na may pulang kulay. Sa pamamagitan ng mga na ang hugis ng ibabaw ay kapansin-pansing lumalawak sa cavalry saddle, ang labas ng qiu ay madalas na tinatawag. saddle .

Sa physicist, na may pagtaas sa katatagan ng mga proseso, ipakilala ang mga uri ng pagkakapantay-pantay: stіyke - butas, swell down, pinaggapasan - swelled up sa ibabaw pataas at prom_zhne - saddle. Ang paninibugho ng ikatlong uri ay maaari ding dalhin sa uri ng hindi matatag na paninibugho, bukod dito, sa pulang linya lamang (parabola I) ay maaaring maging selos.

§ 4. Mga cylindrical na ibabaw.

Kapag tinitingnan ang ibabaw ng pambalot, nakilala nila ang pinakasimpleng cylindrical na ibabaw - ang pambalot na silindro, na isang pabilog na silindro.

Sa elementarya na geometry, ang silindro ng mga appointment ay kahalintulad sa mga pangunahing appointment ng isang prisma. Ito ay mas natitiklop upang gatasan ito:

▫ hayaan mo akong magkaroon ng patag na bagatokutnik malapit sa espasyo
- Makabuluhang yak , at kasama nito ang isang bagatokutnik
- Makabuluhang yak
;

▫ zastosovuєmo sa bagatokutnik
ilipat parallel: tuldok
gumalaw kasama ang mga tilapon na kahanay sa ibinigay na tuwid na linya ;

▫ yakscho
, pagkatapos ay yoga flat
parallel sa eroplano ;

▫ ang ibabaw ng prisma ay tinatawag na: ,
– isipin mo prisms, pati na rin parallelograms
,
,... – ibabaw ng bichna prisma.

Sa pagpapabilis hanggang sa elementarya na pagtatalaga ng prisma para sa layunin na magbigay ng inspirasyon sa isang mas malaking zagalny na pagtatalaga ng prisma at її mababaw, ngunit sa sarili nito, ito ay naiiba:

▫ hindi napapalibutan ng isang prisma - lahat ng mayamang katawan, napapalibutan ng mga tadyang ,,... na flat sa pagitan ng mga tadyang;

▫ ang prisma ay napapalibutan ng isang mayaman na mukha, na napapalibutan ng mga tadyang ,,... at paralelograms
,
,...; bіchna ibabaw ng zієї prism - ang koleksyon ng mga parallelograms
,
,...; ang mga pundasyon ng prisma - ang sukupnіst bahatokutnikov ,
.

Hayaan akong magkaroon ng walang limitasyong prisma: ,,... Ilipat natin ang prisma na may malaking lugar . Ilipat natin ang prisma sa ibang lugar
. Sa peretina ay inaalis namin ang bagatokutnik
. Sa pinaso na dalisdis, mahalaga na ang patag
hindi parallel sa eroplano . Nangangahulugan ang Tse na ang prisma ay hindi inspirasyon ng mga parallel na paglipat ng bagatokutnik .

Kasama sa proponated prisms hindi lamang ang mga tuwid na prisma, ngunit kahit na pinutol.

Sa analytical geometry, ang cylindrical surface ng rozumitely lining ay minarkahan, na ang uncircumscribed cylinder ay may kasamang uncircumscribed prism na parang ozone drop: hindi mo kailangang bitawan ito, na ang bagatokutnik ay maaaring palitan ng mahabang linya, hindi sarado ang ob'yazkovo - direkta silindro. tuwid pangalan masiyahan silindro.

Mula sa kung ano ang sinabi, ito ay malinaw: para sa pagtatalaga ng isang cylindrical ibabaw, ito ay kinakailangan upang magtakda ng isang tuwid na linya at isang tuwid na linya.

Ang mga cylindrical na ibabaw ay itinayo batay sa mga kurba ng eroplano ng ika-2 order, mga serbisyo direkta para sa huminahon .

Sa yugto ng cob, ang pagpuputong ng mga cylindrical na ibabaw ay katanggap-tanggap upang mabawasan ang allowance:

▫ Huwag hayaan ang cylindrical na ibabaw nang diretso at roztashovuetsya sa isa sa mga coordinate na eroplano;

▫ direktang nagbibigay-kasiyahan zbіgaєtsya z one z axes ng mga coordinate, iyon ay patayo sa eroplano, kung saan ito ay direktang itinalaga.

Ang pagtanggap ng palitan ay hindi humahantong sa pagkawala ng antok, ang mga shards ay pinagkaitan ng posibilidad ng rahunok na pumili ng overcut ng mga flat і
maging mas geometric na mga hugis: tuwid, payat, pinaikling mga cylinder.

Eliptic na silindro .

Hayaang dumiretso ang silindro, kinuha nila ang mga elips :
, kumakalat sa coordinate plane

: eliptic cylinder.

Hyperbolic cylinder .

:

, ngunit direktang pinatutunayan ang lahat
. Sa direksyon na ito, ang pagkakahanay ng silindro ay ang parehong linya : hyperbolic cylinder.

Parabolic cylinder .

Hayaan itong pumunta tulad ng isang tuwid na silindro, kinuha nila ang isang hyperbole :
, pinalawak sa coordinate plane
, ngunit direktang pinatutunayan ang lahat
. Sa direksyon na ito, ang pagkakahanay ng silindro ay ang parehong linya : parabolic cylinder.

Paggalang: vrakhovuyuchi pandaigdigang mga tuntunin hikayatin ang pagkakahanay ng mga cylindrical na ibabaw, pati na rin ang pagtatanghal ng mga pribadong butts ng isang elliptical, hyperbolic at parabolic cylinders, ito ay makabuluhan: ang pangangailangan para sa isang silindro para sa kung ito ay kahit papaano ay nagbibigay-kasiyahan, para sa mga tumatanggap ng kapatawaran ng isip, ay hindi guilty sa araw-araw na paghihirap!

Tingnan natin ngayon ang malalim na pag-iisip, magbigay ng inspirasyon sa pagkakahanay ng mga cylindrical na ibabaw:

▫ tuwid na cylindrical na ibabaw na roztashovuetsya sa isang sapat na lugar ng espasyo
;

▫ direktang nagbibigay-kasiyahan sapat na ang pinagtibay na coordinate system.

Tanggapin ang mapanlikhang maliit.

▫ tuwid na cylindrical na ibabaw roztashovuetsya malapit sa isang malaking lugar space
;

▫ sistema ng coordinate
kinuha mula sa coordinate system
parallel transfers;

▫ direkta sa flat pinakamahusay: para sa isang curve ng 2nd order, ito ay mahalaga na ang cob ng mga coordinate spіvpadє z gitna symmetry ng curve, kung ano ang nakikita;

▫ direktang nagbibigay-kasiyahan dovilne (maaaring ibigay ng alinman sa mga pamamaraan: vector, direct at in).

Mangyaring tandaan na ang mga coordinate system
і
takbo. Nangangahulugan ang Tse na ang unang hakbang ng cryptic algorithm ay nagpapahiwatig ng mga cylindrical na ibabaw, na sumasalamin sa parallel na paglipat:
→
, Sa harap ng vicons.

Hulaan, na parang natatakot kang maging parallel sa paglilipat sa kasumpa-sumpa, nakatingin sa isang simpleng puwit.

puwit 6–13 : Sistema ng coordinate
sa nakikita:
=0. Isulat ang direktang linya sa system
.

Solusyon:

isa). Makabuluhang magandang punto
: sa sistema
yak
, ako sa sistema
yak
.

2). Isulat natin ang pagkakapantay-pantay ng vector:
=
+
. Sa coordinate form, maaari kang sumulat sa view:
=
+
. Ngunit sa paningin:
=
–
, o:
=.

3). Isulat natin ang pagkakahanay ng tuwid na silindro sa coordinate system
:

I-verify: straight line conversion: =0.

Gayundin, mahalaga, na ang gitna ng kurba, na direktang kumakatawan sa silindro, ay dapat palaging ilagay sa cob ng mga coordinate ng system
sa flat .

kanin. Sa . Pangunahing pagguhit kapag ang silindro ay pinasigla.

Higit pang isang allowance, na magpapaalam sa iyo sa natitirang mga mumo ng cylindrical na ibabaw. Nakakalat sa coordinate system, hindi mahalaga na dumiretso sa axis
mga sistema ng coordinate
mula sa normal ng lugar , at mga tuwid na palakol
і
na may tuwid na mga palakol ng mahusay na proporsyon , pagkatapos ay isasaalang-alang namin na ang sitwasyon ay direkta maaaring baluktot, napunit sa patag
, saka, isa її lahat ng simetrya zbіgaєtsya z vіssyu
, at isang kaibigan ko
.

Paggalang: kaya, bilang ang operasyon ay parallel sa paglipat at ang pambalot ng medyo hindi masira axis ng operasyon, ito ay madaling gawin, at pagkatapos ay ang pagtanggap ng allowance ay hindi tunog tulad ng isang zastosuvannya sa algorithm ng stimulating ang cylindrical ibabaw sa ang pinakakasumpa-sumpa na taglagas!

Mi Bachili kumalat malapit sa flat
, at ang twirl ay parallel sa axis
, sapat na upang ipahiwatig lamang nang direkta .

Dahil ang isang cylindrical na ibabaw ay maaaring hindi malabo na italaga sa isang naibigay na linya, na isinasaalang-alang sa hiwa ng ibabaw ng isang medyo patag na lugar, kung gayon ito ay katanggap-tanggap na gumamit ng tulad ng isang ligaw na algorithm para sa paglutas ng mga problema:

1 ▫ . Hayaan mo akong magtuwid cylindrical surface ay ibinibigay ng vector . Direktang na-project , ibinigay ay katumbas ng:
\u003d 0, sa isang eroplano, patayo sa isang tuwid na linya, na gumagawa , saka sa eroplano
. Bilang resulta, ang cylindrical na ibabaw ay ibibigay sa coordinate system
katumbas ng:
=0.

2 ▫
sa axis
sa kut
: smist kuta
makipag-ugnayan sa system
, at ang pagkakahanay ng panghuling ibabaw ay nagiging alignment:
=0.

3 ▫ . Nako-customize ang pambalot ng sistema ng coordinate
sa axis
sa kut
: smist kuta maraming katalinuhan mula sa isang maliit. Huling wrapping coordinate system
makipag-ugnayan sa system
, At ang equalization ng panghuling ibabaw ay nagiging
=0. Tse i є vnyannya cylindrical ibabaw, na may mga direktang gawain. at tvirna sa coordinate system
.

Ang application sa ibaba ay isang paglalarawan ng pagpapatupad ng naitala na algorithm at ang pagkalkula ng mga paghihirap ng mga katulad na gawain.

puwit 6–14 : Sistema ng coordinate
ang pagkakahanay ng tuwid na silindro ay tinukoy sa nakikita:
=9. Tiklupin ang silindro upang ito ay parallel sa vector =(2,–3,4).

R
Yeshenya:

isa). Direktang ipininta sa silindro sa isang patayong eroplano . Tila ang gayong pagbabago ng isang naibigay na gawain, binabago ko ito sa isang elіps, ang mga palakol na kung saan ay magiging: mahusay =9, ngunit maliit =
.

Tsey mga maliliit na naglalarawan ng disenyo ng isang stake na ibinigay sa isang eroplano
papunta sa coordinate plane
.

2). Ang resulta ng disenyo ng stake ay elips:
=1, kung hindi
. Ang aming pananaw ay:
, de
==.

3
). Muli, ang pagkakahanay ng cylindrical na ibabaw sa coordinate system
kinuha. Shards para sa mental na responsibilidad ng ina ng pagkakahanay ng silindro sa coordinate system
, pagkatapos ay hindi na posible na ihinto ang conversion ng mga coordinate, na nagsasalin ng coordinate system
y coordinate system
, contagion at equalization ng cylinder:
pantay, ipinahayag sa pamamagitan ng mga pagbabago
.

apat). bilisan mo basic maliit at isulat ang lahat ng kinakailangang halaga ng trigonometriko para sa solusyon ng problema:

==,
==,
==.

5). Isulat natin ang formula para sa pagbabago ng mga coordinate para sa paglipat sa system
sa sistema
:
(AT)

6). Isulat natin ang formula para sa pagbabago ng mga coordinate para sa paglipat sa system
sa sistema
:
(MULA)

7). Pagsusumite ng mga pagbabago
mula sa system (B) hanggang sa system (C), pati na rin ang mga baligtad na halaga ng mga function ng trigonometriko na matagumpay, isinulat namin:

=
=
.

=
=
.

walo). Kulang sa kaalaman і sa straight line cylinder :
sa coordinate system
. Vikonavshi maingat lahat ng reworkings ng algebra, kinakailangang katumbas ng finite surface sa coordinate system
: =0.

Vidpovid: cone alignment: =0.

puwit 6–15 : Sistema ng coordinate
ang pagkakahanay ng tuwid na silindro ay tinukoy sa nakikita:
=9, =1. Tiklupin ang silindro upang ito ay parallel sa vector =(2,–3,4).

Solusyon:

isa). Hindi mahalaga na tandaan na ang puwit na ito ay hinihipan sa harap lamang, na direktang inilipat nang kahanay sa 1 pataas.

2). Nangangahulugan ang Tse na sa spіvvіdnannyah (B) ay dapat tanggapin: =-isa. Vrahovyuchi virazi system (C), sa lalong madaling panahon itala para sa pagbabago :

=
.

3). Ang pagbabago ay madaling ayusin sa pamamagitan ng pagwawasto ng huling talaan ng pagkakahanay para sa silindro mula sa harap na butt:

Vidpovid: cone alignment: =0.

Paggalang: hindi mahalagang tandaan na ang mga pangunahing paghihirap sa kaso ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo ng mga sistema ng coordinate sa mga problema sa mga cylindrical na ibabaw ay kalinisan і kasiglahan sa margaphones ng algebra: hayaang mabuhay ang sistema ng kaliwanagan, pinagtibay sa ating bansang mayamang nagdurusa!

Elliptic paraboloid

Elliptic paraboloid para sa a=b=1

Elliptic paraboloid- Ibabaw, na inilalarawan ng pag-andar ng isip

de aі b isang tanda. Ang ibabaw ay inilalarawan ng isang pamilya ng mga parallel na parabola na may mga karayom, diretso sa burol, ang mga tuktok nito ay naglalarawan ng isang parabola, na may mga karayom, diretso din sa burol.

Yakscho a = b pagkatapos ay isang elliptical paraboloid ang ibabaw na pambalot, ang parabolic wrapper ay inilalagay sa vertical axis, na dumadaan sa tuktok ng parabola na ito.

Hyperbolic paraboloid

Hyperbolic paraboloid para sa a=b=1

Hyperbolic paraboloid(tinatawag sa pang-araw-araw na buhay na "gipar") - isang simplistic na ibabaw, na inilarawan sa isang hugis-parihaba na coordinate system na katumbas ng isip

Mula sa isa pang pagpapakita, malinaw na ang hyperbolic paraboloid ay isang linear na ibabaw.

Ang ibabaw ay maaaring takpan ng paggalaw ng isang parabola, ang mga karayom ​​nito ay itinutuwid pababa, na may isang parabola, ang mga karayom ​​nito ay itinuwid pataas, para sa isip na ang unang parabola ay dumikit sa kabilang tuktok nito.

Paraboloids malapit sa mundo

Sa teknikal

Sa mistiko

Panitikan

Kalakip, mga paglalarawan ni Hyperboloid engineer Garin maw buti paraboloid.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Elon Menachem
• Eltang

Mamangha sa ganitong "Eliptic paraboloid" sa iba pang mga diksyunaryo:

ELLIPTIC PARABOLOYD Mahusay na Encyclopedic Dictionary

elliptic paraboloid- isa sa dalawang uri ng paraboloids. * * * ELLIPTIC PARABOLOID ELLIPTIC PARABOLOID, isa sa dalawang uri ng paraboloids (div. PARABOLOID) ... Diksyonaryo ng ensiklopediko

Elliptic paraboloid- isa sa dalawang uri ng paraboloids. Great Radianska Encyclopedia

ELLIPTIC PARABOLOYD- Unclosed surface ng ibang order. Canonical rivnyannya E. p. maє ay tumingin sa E. p. roztashovaniya sa isang gilid ng lugar ng Ohu (div. fig.). Pererizi E. p. na may mga flat, parallel na eroplano Wow, may mga ellipse na may parehong eccentricity (tulad ng r... Mathematical Encyclopedia

ELLIPTIC PARABOLOYD- isa sa dalawang uri ng paraboloids. Likas na agham. Diksyonaryo ng ensiklopediko

PARABOLIC- (Griyego, vіd parabole parabola, i eidos podіbnіst). Ang katawan, na nagiging parabola, na bumabalot sa paligid. Glossary ng mga inshomonic na salita na umabot na sa stock ng wikang Ruso. Chudinov A.N., 1910. Ang PARABOLID ay isang geometrical na katawan, na itinago ang sarili sa anyo ng isang pambalot ng isang parabola, kaya ... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

PARABOLIC- PARABOLOYD, paraboloid, tao. (div. parabola) (mat.). Sa ibabaw ng isa pang order ay hindi nangangahulugang sentro. Parabolic wrapping (ang mga wrapping ng parabola ay naayos sa її axis). Elliptic paraboloid. Hyperbolic paraboloid. Tlumachny diksyunaryo ng Ushakov. Tlumachny diksyunaryo ng Ushakov

PARABOLIC- PARABOLID, ang ibabaw, na kinuha mula sa Russian parabola, ang tuktok na kung saan ay kovza kasama ang isa, hindi masusunod na parabola (mula sa buong simetrya, parallel axis mga parabola na bumagsak), pagkatapos ay ang parehong eroplano, na gumagalaw parallel sa sarili nito, ay inabandona ... Modern Encyclopedia

Paraboloid- ay isang uri ng ibabaw ng ibang pagkakasunod-sunod. Ang isang paraboloid ay maaaring ilarawan bilang isang hindi sarado, hindi gitnang ibabaw ng ibang pagkakasunud-sunod (na walang sentro ng simetrya). Ang canonical alignment ng paraboloid sa Cartesian coordinate: kahit isa ... ... Wikipedia

PARABOLIC- Unclosed non-central surface ng ibang order. Canonical Rivnyannia P.: elliptic paraboloid (kapag ang p = q ay tinatawag na P. wrapper) at hyperbolic paraboloid. A. B. Ivanov ... Mathematical Encyclopedia