Soluție de rând matrice. Matematică pentru ceainice Matrice și principalele de deasupra lor. Operația de transpunere a matricei

Ajutorul metodic danez vă va ajuta să învățați cum să câștigați dії cu matrice: adunarea (înlăturarea) matricelor, transpunerea matricelor, înmulțirea matricelor, semnificația matricei pivot. Toate materialele depunerilor sunt în forme simple și accesibile, sunt realizate în același mod, într-un astfel de rang, o persoană nepregătită poate învăța să lucreze cu matrice. Pentru autocontrol și autoverificare, puteți folosi calculatorul matricial >>> fără costuri.

Încerc să minimizez subpropozițiile teoretice, dacă poți explica „pe degete” acei termeni neștiințifici. Iubitorii de teoria terenului, fiți amabili, nu vă implicați în critici, sarcina noastră este învață cum să înveți cum să folosești matrice.

Pentru pregătirea superficială pentru subiect (cine „arde”) - un curs intensiv pdf Matrix, vyznachnik acea sală!

Matricea este un tabel dreptunghiular, indiferent dacă este elemente. În yakost elemente ne putem uita la numere, adică la matrice de numere. ELEMENT- Tse termin. Termenul ar trebui să fie amintit, vinurile sunt adesea mâzgălite, eu nu vikoristav pentru această viziune cu caractere aldine.

Desemnare: matricele sună cu litere mari latine

fund: Să aruncăm o privire la matricea de două câte trei:

Această matrice este compusă din șase elemente:

Toate numerele (elementele) din mijlocul matricei pot fi găsite singur, așa că nu puteți găsi nimic despre el:

Este doar un tabel (set) de numere!

Deci suntem acasă nu rearanja număr, care nu este menționat în explicații. Numărul pielii are propriul său loc de putrezire și este imposibil să le amestecați!

Matricea este privită, are două rânduri:

și trei piloni:

STANDARD: dacă vorbim despre expansiunea matricei, atunci Pe stiulete indicați numărul de rânduri și apoi - numărul de coloane. Încetul cu încetul, au sortat matricea „două câte trei” cu perii.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale matricei este ​​zbіgaєtsya, atunci matricea se numește pătrat, de exemplu: - matrice trei câte trei.

La fel ca într-o matrice un rând sau un rând, astfel de matrici se mai numesc vectori.

Cunoaștem cu adevărat matricele din școli, să ne uităm, de exemplu, la un punct cu coordonatele „iks” și „iplayer”: . De fapt, coordonatele punctului sunt scrise într-o matrice una câte două. Înainte de vorbire, axa pentru tine este un exemplu, de ce ordinea numerelor poate fi semnificativă: i - aceste două puncte diferite ale planului.

Acum să trecem fără probleme la nuntă diy din matrice:

1) Diya persha. Vina minusului din matrice (introducerea minusului în matrice).

Să ne întoarcem la matricea noastră . După cum ți-ai amintit cântând, matricea mea are prea multe numere negative. Este și mai neplăcut cu aspectul mâzgălitorului celor mici cu matricea, scrierea fără mânere a notelor minus, aia doar arată urât în ​​design.

Dăm vina pe minus pentru inter-matrice, schimbând semnul elementului SKIN al matricei:

La zero, după cum știți, semnul nu se schimbă, zero - vin și zero în Africa.

fundul Zvorotny: . Privesc condescendent.

Introducem un minus în matrice, schimbând semnul elementului SKIN al matricei:

Ei bine, axe, veyshlo bogat simpatic. Eu, naygolovnіshe, va fi MAI UȘOR să bate matricea. Pentru că este atât de matematic prikmeta oamenilor: cu cât mai multe minusuri – cu atât mai multe escroci și iertare.

2) Dia prieten. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

fund:

Este simplu, pentru a înmulți matricea cu un număr, ai nevoie Pieleînmulțiți elementul matricei cu număr întreg. La la acest tip anume- În trei.

Încă un fund maro:

– înmulțirea matricei prin drib

Pe ceafă, ne uităm la cei care sunt robiți NU ESTE NECESAR:

Adăugarea mai multor bani la matrice NU este NECESARĂ, în primul rând, este mai ușor să vă pliați mai departe de matrice, într-un mod diferit, este mai ușor să verificați din nou soluția de către vikladach (în special, yakscho - Rechizitie reziduala).

Tim mai mult, NU ESTE NECESAR dilitatea elementului de piele al matricei prin minus sim:

Trei statistici Matematică pentru manechini sau de ce altceva, ne amintim asta fracții zecimale cu care toți ceilalți matematicieni încearcă să fie unici.

Un lucru bagan robiti în aplicația dvs. - adăugați un minus matricei:

Și de la yakby TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fara exces, Atunci poți (și trebuie!) Boulo b podіlit.

fund:

În ce direcție pot i NECESARînmulțiți toate elementele matricei cu , astfel încât toate numerele matricei să fie împărțite la 2 fara exces.

Notă: teoretic matematică avansată nu există un școlar care să înțeleagă „podіl”. În loc de expresia „nu adăugați la aceasta”, puteți spune întotdeauna „înmulțiți cu mai mult”. Tobto podіl - tse okremia vpadok plural.

3) Diya al treilea. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune matricea, este necesar să scrieți rânduri în coloanele matricei transpuse.

fund:

Transpune o matrice

Există un singur rând aici și, conform regulii, este necesar să-l notați în coloană:

este matricea transpusă.

Matricea transpusă este indicată printr-un indice superscript sau o lovitură de anghilă dreptaci.

Cap de acoperire:

Transpune o matrice

Pe spate, rescriem primul rând la primul pas:

Să rescriem un alt rând pe alt rând:

І, nareshti, rescrie al treilea rând la al treilea stovpets:

Gata. Aparent, transpunerea înseamnă a roti matricea în lateral.

4) Diya a patra. Matricea sumei (cu amănuntul)..

Suma matricelor diya este incomodă.
NU TOATE MATRIXELE POT FI POLIATE. Pentru matricele de pliere vykonannya (vіdnіmannya), este necesar ca duhoarea bolilor să fie aceeași PENTRU ROZMIROM.

De exemplu, dacă se oferă o matrice „două câte doi”, atunci o puteți adăuga doar la matricea „două câte doi” și în orice alt mod!

fund:

Îndoiți matricele і

Pentru a plia matricele, este necesar să le pliați elementele necesare:

Pentru diferite matrice, regula este similară, este necesar să se cunoască diferența dintre diferitele elemente.

fund:

Cunoașteți diferența dintre matrici ,

Și cum poți face acest fund mai simplu, ca să nu te pierzi? Nu ezitați să adăugați minusurile, pentru care vom adăuga un minus la matrice:

Notă: teoretic, nu există o înțelegere de liceu a matematicii. În loc de expresia „orice vezi” poți spune întotdeauna „a adăuga un număr negativ”. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok pliat.

5) Diya p'yata. Reproducerea matricelor.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Astfel încât matricea să poată fi înmulțită cu matricea după cum este necesar, astfel încât numărul de coloane din matrice să fie egal cu numărul de rânduri din matrice.

fund:
Poți înmulți o matrice cu o matrice?

Din nou, puteți înmulți aceste matrici.

Și din aceeași matrice, rearanjați misiunile, apoi în acest fel, multiplicarea este deja imposibilă!

Otzhe, vikonati plural este imposibil:

Nu este atât de des că sarcinile sunt păcălite cu șmecherie, dacă un elev este încurajat să înmulțească matrici, a căror multiplicare este evident imposibilă.

Slide indică faptul că un număr de variabile pot multiplica matrice, așa, așa, așa.
De exemplu, pentru matrice, i poate fi multiplicat, deci i multiplicat

Matricea dreptunghiulară a expansiunii mxn este suma mxn numere, aranjate într-un tabel dreptunghiular, pentru a răzbuna rânduri de m și n coloane. Vom nota її la vedere

în caz contrar, când ne uităm la A = (a i j) (i = ; j = ), numerele a i j se numesc її elemente; primul index indică numărul rândului, celălalt - numărul rândului. A \u003d (a i j) și B \u003d (b i j) de aceeași dimensiune sunt numite egale, deoarece elementele sunt egale în perechi, deci stau pe aceleași locuri, apoi A \u003d B, deci a i j \u003d b i j.

O matrice care este pliată dintr-un rând sau dintr-o coloană se numește vector rând sau coloană. Vectorii stow și vectorii rând sunt numiți pur și simplu vectori.

O matrice care are un număr este mapată la acel număr. Un rozmіru mxn, toate elementele care sunt egale cu zero, se numesc zero și sunt atribuite prin 0. Elementele cu aceiași indici sunt numite elemente ale diagonalei capului. Dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de traverse, atunci m = n, atunci matricea se numește ordinul pătratului n. Matricele pătrate, care au zero sau mai multe elemente ale diagonalei capului, se numesc diagonală și sunt scrise după cum urmează:

.

Dacă toate elementele a i i în diagonală se adună până la 1, atunci se numește simplu și se notează cu litera E:

.

O matrice pătrată se numește tricot, deoarece toate elementele care stau mai sus (sau mai jos) decât diagonala capului sunt egale cu zero. O transpunere se numește o astfel de transformare, atunci când rândurile și coloanele sunt modificate de locuri în economiile numerelor lor. Este indicată de pictograma de transpunere T în partea de sus.

Deoarece în (4.1) putem rearanja rândurile cu coloane, atunci luăm

,

ca și cum ar fi transpus de A. Zokrem, la transpunerea vectorului-stovptsya, vor apărea vectorul-rând și navpacki.

Subcomponenta Și numărul b se numește matrice, ale cărei elemente provin din elementele secunde ale lui A pentru a înmulți numărul b: b A = (b a i j).

Suma A = (a i j) și B = (b i j) a unei dimensiuni se numește C = (c i j) de aceeași dimensiune, ale cărei elemente sunt atribuite formulei c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB este asociat cu admiterea, astfel încât numărul de coloane A este egal cu numărul de rânduri U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , atribuit ordinului alocat AB, numit C = (c i k), elementele sunt atribuite unei astfel de reguli:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4,2)

În caz contrar, s-ar părea că elementului creației AB i se atribuie următoarea ordine: elementul al-lea rând și al k-a coloană este cea mai frumoasă sumă a elementelor creative ale i-lea rând A de pe elemente dependente ale coloanei k-a B.

fund 2.1. Cunoașteți doboot AB i .

Soluţie. Mai: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, apoi dobutok AB \u003d C іsnuє і elemente С egale

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

iar tvir BA nu este adevărat.

fund 2.2. Tabelul indică numărul de produse unice care sunt luate zilnic la fabricile de lapte 1 și 2 la magazinele M 1, M 2 și M 3, în plus, livrarea unui singur produs de la lactatoria pentru piele la magazinul M 1 a costat 50 de den. unul, la magazinul M 2 - 70, iar M 3 - 130 den. unu. Pіdrakhuvat schodennі transport vitrati fabrică de tăbăcărie.

lactat

Soluţie. Semnificativ prin A matrice, dată nouă spre înțelegere și prin
B - o matrice care caracterizează variabilitatea livrării unui singur produs al magazinului, tobto,

,

Todo matrix vitrate pe matima transportată arăta:

De asemenea, prima plantă de vitralii are în prezent un preț de 4.750 de grosz. unul, celălalt - 3680 den.

fund 2.3. Afacerea de cusut pregătește paltoane de iarnă, paltoane demi-sezon și impermeabile. Eliberarea planificată pentru un deceniu este caracterizată de vectorul X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya țesături chotirioh tipuri T1, T2, T3, T4. În tabel, normele de țesut vitrati (metri) pentru vibrația pielii. Vectorul С = (40, 35, 24, 16) indică variabilitatea metrului țesutului tipului de piele, iar vectorul P = (5, 3, 2, 2) - varianța metrului transportat al ţesut de tip dermic.

	Țesături Vitrată
palton de iarnă
Palton demi-sezon

Algebră liniară

Matrici

matrice rozmіru m x n - tse tabel rectiliniu de numere, pentru a răzbuna m rânduri și n stoptsіv. Numerele care alcătuiesc o matrice se numesc elemente de matrice.

Matricele sunt desemnate prin litere mari latine, iar elementele - prin aceleași, litere mici cu indexare cu fir.

De exemplu, să ne uităm la matricea A de 2 x 3 dimensiuni:

Această matrice are două rânduri (m = 2) și trei rânduri (n = 3), adică. won este compus din șase elemente a ij de i - numărul rândului, j - numărul rândului. Cu aceasta, valoarea este de la 1 la 2, iar valoarea unuia este de până la trei (înregistrată). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Se numesc matrice A și B de aceeași dimensiune (m x n). egal, astfel încât duhoarea să fie element cu element zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij pentru , atunci. pentru orice i și j (puteți scrie „i, j”).

matrice de rânduri- aceeași matrice care este pliată dintr-un rând și matrix-stampila- Tse matrice care este pliat dintr-o stovptsya.

De exemplu, este o matrice de rânduri și .

matrice pătrată la ordinul a n-a - matricea, până la un rând până la numărul de coloane și până la n.

De exemplu, o matrice pătrată de un ordin diferit.

Diagonală elemente matrice – elemente țintă, pentru care numărul rândului este egal cu numărul coloanei (a ij, i = j). Elementele Qi satisfac diagonala principală matrici. La fundul din față, diagonala principală este formată din elementele a 11 = 3 și a 22 = 5.

Matricea diagonală- Aceasta este o matrice pătrată, în care toate elementele în afara diagonalei sunt egale cu zero. De exemplu, - Matricea diagonală de ordinul trei. Dacă da, toate elementele diagonale sunt egale cu unul, atunci matricea este numită solitar(Sunetele sunt desemnate prin litera E). De exemplu, - Matrice singură de ordinul trei.

Matricea se numește zero astfel încât toate її elementele egale cu zero.

Matricea pătrată se numește tricotate deci toate elementele de sub (sau deasupra) diagonalei capului sunt egale cu zero. De exemplu, - Matrice Tricut de ordinul trei.

Operații pe matrice

Următoarele operații pot fi efectuate pe matrice:

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Matricea suplimentară pentru numărul l este matricea B = lА, ale cărei elemente sunt b ij = la ij pentru orice i i j.

De exemplu, yakscho, atunci .

2. Adăugarea de matrici. Suma a două matrice A і de aceeași dimensiune m x n se numește matricea C \u003d A + B, ale cărei elemente sunt ij \u003d a ij + b ij pentru "i, j.

De exemplu, ca apoi

.

Este semnificativ că prin operarea frontală se poate matricea vizuală aceeași mărime: diferenta A-B\u003d A + (-1) * Art.

3. Reproducerea matricelor. Matricea suplimentară A extinsă m x n la matricea extinsă n x p se numește o astfel de matrice C, al cărei element de piele s ij completează suma elementelor din rândul i al matricei A pe elementele vizibile ale j-lea. coloana matricei, tobto. .

De exemplu, ca

, atunci extinderea creării matricei va fi de 2 x 3 și aveți grijă de mamă:

În acest fel, matricea A se numește matrice îngustată.

Pe baza operației de înmulțire pentru matrice pătrată, operația legături la picioare. Treapta pozitivă A m (m > 1) a matricei pătrate A se numește m matrici suplimentare egale cu A, tobto.

Să zicem, că adunarea (înlăturarea) și înmulțirea matricelor nu sunt destinate pentru două matrice, ci doar pentru cântarea celor mai multe, ceea ce mulțumește, în propria măsură. Pentru matrice znakhodzhennya sumi chi rіznitі їх rozmіr obov'yazkovo poate fi același. Pentru crearea matricelor, numărul de coloane din prima poate fi mărit cu numărul de rânduri din cealaltă (astfel de matrici se numesc pleasezhenimi).

Să ne uităm la puterile operațiilor privite, analoge cu puterile operațiilor asupra numerelor.

1) Legea comutativă (de schimbare) a plierii:

A + B = B + A

2) Legea de pliere asociativă (fericită):

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Legea distributivă a înmulțirii cum se pliază:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Legea asociativă (fericită) a înmulțirii:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Se susține că legea de deplasare a înmulțirii pentru matrice nu se schimbă în sens invers, adică. AB ¹ BA. Mai mult, de la baza AB, baza BA nu este neapărat pronunțată (matricele pot să nu fie acceptabile, și nici măcar aceleași dobuturi nu sunt atribuite, ca în cazul fundului indus, pluralitatea de matrice). Ale navіt yakscho ofense, do it, stink roar raznі.

Într-un mod bun, legea comutativă poate adăuga o matrice pătrată A la o singură matrice de același ordin, în plus, aceasta se adaugă la A (înmulțirea cu o singură matrice aici este similară cu înmulțirea cu unu la înmulțirea numerelor):

AE = EA = A

Adevărat,

Mai adăugăm o multiplicitate de matrice la înmulțirile de numere. Mai multe numere pot fi adăugate la zero fie, fie mai puține, dacă doriți ca unul dintre ele să fie egal cu zero. Este imposibil de spus despre matrice, tobto. la matricele zero pot fi adăugate matrici suplimentare diferite de zero. De exemplu,

Să aruncăm o privire la operațiile pe matrice.

4. Transpunerea matriceiє operația de tranziție de la matricea A la expansiune m x n la matricea A T la extindere n x m, în aceleași rânduri și coloane au fost comemorate prin spații:

%.

Puterea operației de transpunere:

1) Am ales următoarele, astfel încât matricea să poată fi transpusă în două, ne vom întoarce la matricea de ieșire: (AT) T = A.

2) Multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul de transpunere: (lА) T = lА T .

3) Transpunerea matricelor suplimentare multiplicate distributiv: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matrici

Pentru matricea pătrată a pielii A, introduceți numărul |A| vyznachnik. Innodi yoga este notat cu litera D.

Tse є important pe partea de sus a sarcinilor practice scăzute. În mod semnificativ yoga prin metoda de calcul.

Pentru o matrice de ordinul întâi її elementul unic |А| = D1 = a11.

Pentru o matrice de ordin diferit її, un număr se numește semnificant, deoarece este calculat după formula |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Pentru o matrice A de ordinul al treilea її numărul se numește semnificant, deoarece se calculează după formula

Reprezintă suma algebrei, care constă din 6 adăugiri, în pielea cărora intră exact un element din rândul pielii și matricea matricei pielii. Pentru memorarea formulei vyznachnikului, se obișnuiește să se accelereze așa-numita regulă a trucurilor sau regula lui Sarrus (Fig. 6.1).

Pe micul 6.1, se arată schema răului, cum să alegeți elementele pentru adăugiri cu un semn plus, - duhoarea este perebuvayut la diagonala capului și în vârful trikutnik-urilor egal-femorale și puneți-le în paralel. Schema zlіva vikoristovuєtsya pentru dodankіv zі semn „minus”; pe ea, adjunctul diagonalei capului este luat așa-numitul lateral.

Liderii ordinelor superioare sunt calculați în mod recursiv, tobto. succesor de ordinul al patrulea prin succesorul de ordinul al treilea, succesorul de ordinul al cincilea prin succesorul de ordinul al patrulea etc. Pentru a descrie metoda, este necesar să se introducă conceptul de minor al acelui element complementar algebric al matricei (cel mai semnificativ este faptul că metoda în sine, care va fi analizată în continuare, este potrivită pentru a treia și altă ordine).

Minor M ij element a ij matrice de ordinul n se numește inițiala matricei de ordinul (n-1)-lea, luată din matricea A și potrivirea i rândului i al coloanei j-a.

Matricea pielii de ordinul n este n2 minor în ordinul (n-1).

Adunări algebrice O matrice ij element ij de ordinul al n-lea se numește yogo minor, luând semnul zі (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, care este suma numerelor din rând și coloana perechii, і A ij \u003d -M ij, care nu este pereche.

De exemplu, ca , apoi ; si etc.

Metoda de calcul a principalului poligaє în ofensivă: semnificantul matricei pătrate este mai avansată suma creațiilor elementelor în orice ordine (stovptsya) pe adăugările lor la algebră:

(aspect conform elementele i-ale rânduri; );

(Dispunerea elementelor coloanei j-a;).

De exemplu,

În mod semnificativ, la început modelul primordial al matricei tricot este mai avansat decât elementele diagonalei capului.

Să formulăm principalele puteri ale magistraților.

1. Dacă există un rând sau dacă matricea este compusă doar din zerouri, atunci arbitrul este egal cu 0 (urmează metoda rozrahunka).

2. Dacă înmulțiți toate elementele unui fel de rând (stowptsya) ale matricei cu același număr, atunci același număr este înmulțit cu numărul întregului număr).

Notă: pentru semnul simbolului, puteți da vina pe multiplicatorul fierbinte al rândului în sine (pentru semnul matricei, pentru semnul căruia puteți da vina pe multiplicatorul fierbinte al elementelor). De exemplu, , .

3. Când se transpune matricea її, semnificantul nu se modifică: | A T | = | A | (Dovada nu va fi efectuată).

4. La rearanjarea spațiilor a două rânduri (stowptsiv) ale matricei, arbitrul schimbă semnul prolegiului.

Pentru a confirma valoarea cobului, este acceptabil ca două rânduri consecutive ale matricei să fie rearanjate: i-lea și (i + 1)-th. Pentru rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrice arunc, iar pentru noua matrice (cu rânduri rearanjate) - prin (i + 1) - th (ca și în niy este la fel, deci se mișcă element cu element). Apoi, când celălalt semn este extins, pielea completează matima algebrică cu semnul prolege, deci (-1) se va reduce nu la treptele (i + j), ci la treptele (i + 1 + j), iar într-o altă formulă, formulele nu vor fi adăugate. În acest fel, semnul primatei este schimbat în protil.

Acum este acceptabil ca nu instanțele să fie rearanjate, ci încă două rânduri, de exemplu, i-th și (i + t)-th. O astfel de permutare este posibilă ca o schimbare ulterioară a rândului i cu t rânduri în jos, iar rândul (i + t) - cu (t-1) în sus. Pentru care semnul primatei schimbă (t + t - 1) = 2t - 1 numărul de ori, adică. de un număr neîmperecheat de ori. Otzhe, lasă vița să schimbe restul.

Oglindirea similară poate fi schimbată pentru stovptsiv.

5. Dacă matricea trebuie să înlocuiască două rânduri identice (stowptsya), următorul este egal cu 0.

Adevărat, dacă aceleași rânduri (stovptsі) sunt rearanjate de misiuni, atunci acea matrice în sine va fi luată de aceiași numiți. Pe de altă parte, în spatele venelor frontale yakistyu, puteți schimba simbolul, tobto. D = -D D = 0.

6. Deoarece elementele a două rânduri (stowptsіv) ale matricei sunt proporționale, atunci numărul unu este egal cu 0.

Această putere se bazează pe puterea directă a acelui vin pentru cătușa multiplicatorului capului (dacă vinul pentru cătușa coeficientului de proporție din matrice va fi aceleași rânduri de abo stovpts și, ca urmare, coeficientul va fi fi înmulțit cu zero).

7. Suma elementelor creative ale oricărui rând (stowptsya) al matricei pe adăugarea algebrică a elementelor din următorul rând (stowptsya) din aceeași matrice este întotdeauna mai mare de 0: pentru i ¹ j.

Pentru a aduce putere, este suficient să înlocuiți rândul j din matricea A cu rândul i. Vor fi două rânduri egale în matricea prescurtată, deci următorul este egal cu 0. Pe de altă parte, poate fi calculat de elementele rândului j: .

8. Indicele matricei nu se modifică, doar la elementele rândului sau la matrice, se adună elementele rândului următor (stow), înmulțit cu același număr.

Corect, permiteți-mi să adaug elementele din rândul I j-lea element rânduri înmulțite cu l. Se vor vedea elementele Todi ale noului i-lea rând
(a ik + la jk , "k). Să calculăm semnul noului aspect al matricei după elementele rândului i (este semnificativ că adunările algebrice ale elementelor її nu se schimbă atunci când se schimbă):

Am înlăturat faptul că această primată nu arată ca primatul matricei externe.

9. Matrici dobutku semnificative mai scumpe dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (Dovada nu va fi efectuată).

S-au uitat la mai multe autorități ale vyznachnikilor și vicoriștilor de dragul iertării calculelor lor. Zzvichay namagayutsya perevorit matrice la o astfel de formă, shchob be-yaky stovpets sau un rând de răzbunare yaknabіlshe zero. Este ușor să cunoști următorul arbitru pentru așezarea primului rând sau a celuilalt.

matrice de inversare

Se numește matricea A-1 reversibilîn funcție de raportul față de matricea pătrată A, chiar dacă matricea este înmulțită cu matricea A, este dreptaci, astfel încât matricea unică iese: A -1 * A = A * A -1 = E.

Rezultă că matricea inversă este o matrice pătrată de același ordin ca și matricea A.

Se poate observa că înțelegerea matricei pivot este similară cu înțelegerea numărului pivot (numărul întreg, atunci când este înmulțit cu un număr dat, dă unul: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Numerele de mustață, crim zero, pot înfășura numere.

Pentru a afla puterea, care este matricea pătrată a returului, este necesar să se cunoască arbitrul. Dacă matricea este egală cu zero, atunci se numește o astfel de matrice virogenă, sau mai ales.

Necesar destulă minte Baza matricei serice: matricea serică este aceeași și numai dacă nu se utilizează matricea non-virogene.

Vom aduce nevoia. Fie matricea matricea inversă A -1, atunci. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Mai târziu,
|A| ¹0.

Aducem suficientă. Pentru a o aduce în discuție, este necesar să se descrie pur și simplu metoda de calcul a matricei serice, care poate fi întotdeauna făcută pentru matricea nevirgină.

Otzhe, haide | A | ¹ 0. Transpuneți matricea A. Pentru elementul de piele А Т vino(Reciproc, aliat):.

Cunoaștem realitatea matricei primite și a rezultatului. La pachet . În această ordine, matricea este diagonală. Pe diagonala capului її există semnele matricei de ieșire, iar liniile elementelor sunt zerouri:

În mod similar, puteți arăta că.

Dacă împărțiți toate elementele matricei în |A|, atunci veți elimina singura matrice E.

Un asemenea rang , apoi. .

Aducem unitatea matricei pivot. Să presupunem că matricea inversă principală pentru A, implicit este A -1 . În mod semnificativ її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Unitatea adusă.

De asemenea, algoritmul pentru calcularea matricei pivot este compus din următorii pași:

1. Cunoașteți arbitrul matricei | A | . Yakscho |A| = 0, atunci matricea A este un virogen, iar matricea inversă nu poate fi cunoscută. Yakscho |A| ¹ 0, apoi treceți la croșetat în trepte.

2. Încurajează transpunerea matricei AT.

3. Cunoașteți elementele complementare algebrice ale matricei transpuse și induceți matricea dată.

4. Calculați matricea înfășurată împărțind matricea primită în |A|.

5. Puteți inversa corectitudinea calculului matricei pivot într-un mod corect până la punctul: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Să știm numărul unu al matricei din spatele regulii trucurilor:

Să sărim peste rescrie.

Puteți aduce la putere următoarele matrice:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Rangul matricei

Ordine k-a minoră la o matrice de m x n dimensiuni, pentru a numi semnificantul unei matrice pătrate de ordinul k, așa cum este luată din matricea A pentru a se potrivi dacă există rânduri și coloane.

Este important de menționat că ordinea minorului nu o depășește pe cea mai mică, tobto. k £ min (m; n). De exemplu, din matricele A 5x3 este posibilă eliminarea submatricilor pătrate de primul, alt și al treilea ordine (este posibil să extindeți ordinele minore).

rang numele matricelor găsirea ordinii sub formă de zerouri în minorele matricei (indicați rangul A sau r(A)).

Wow

1) rangul matricei este selectat din cel mai mic s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 și atunci, dacă matricea este zero (toate elementele matricei sunt egale cu zero), atunci. r(A) = 0 A = 0;

3) pentru o matrice pătrată de ordinul al n-lea, r(A) = n și atunci, dacă matricea A este nevirgenă, atunci. r(A) = n | | ¹0.

De fapt, pentru cine este suficient să calculeze mai mult de un astfel de minor (cel care a fost luat de la învierea coloanei a treia (pentru că va fi o a treia coloană zero în resht, iar duhoarea va fi egală cu zero) ).

În spatele regulii tricotului = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Fragmentele tuturor minorilor de ordinul al treilea sunt zero, r(А) £ 2. Fragmentele au un minor diferit de zero de un ordin diferit, de exemplu,

Este evident că vikoristanii de către noi acceptăm (o privire la diverșii minori) nu se potrivesc pentru rangul superior în tendințele mai complexe prin mare muncă. Sună semnul rangului matricei fapte victorioase de transformare, așa cum le numesc elementar:

unu). V_dkidannya zero rânduri (stovpts_v).

2). Reproducerea tuturor elementelor unui rând sau unei matrice printr-un număr, fără a număra zero.

3). Modificarea ordinii rândurilor (stovptsiv) ale matricei.

patru). Addendum la elementul de piele dintr-un rând (stovptsya) din aceleași elemente din rândul următor (stovptsya), înmulțit cu un număr.

5). Transpune.

Deoarece matricea A este preluată din matricele B prin transformări elementare, aceste matrici sunt numite echivalent notez A~B.

Teorema. Transformările elementare ale matricei nu schimbă rangul.

Dovada teoremei este evidentă din dominanța matricei. De fapt, în timpul acestor transformări, matricele pătrate sunt fie salvate, fie înmulțite cu un număr care nu este egal cu zero. Prin război, cea mai mare ordine a zerourilor principale ale minorilor matricei exterioare este lăsată de la sine, adică. rangul її nu este schimbat.

Pentru ajutorul transformărilor elementare, matricea este adusă la așa-numitul aspect în trepte (relucrat pe matricea pasilor), apoi. Se presupune că matricea echivalentă de sub diagonala capului avea doar zero elemente, iar diagonala capului avea elemente diferite de zero:

Rangul matricei cu frecvența pasului este egal cu r, fragmentele de potrivire încrucișată de la ea se opresc, începând de la (r + 1) și departe, puteți lua matricea tricurrency de ordinul r, cel scalar va fi același cu zero, de ordinul al treilea, nu este egal cu zero):

fundul. Aflați rangul unei matrice

unu). Dacă un 11 \u003d 0 (ca în cazul nostru), atunci prin rearanjarea rândurilor și stovptsіv se poate ajunge la un 11 ¹ 0. Aici ne amintim rândurile 1 și 2 ale matricei:

2). Acum este 11? 0. Transformări elementare Dob'єmosja, shchob shta elementіv la primul stovptsi doіvnyuvali zero. Celălalt rând are un 21 = 0. Al treilea rând are un 31 = -4. Sob (-4) în picioare 0, adăugând la al treilea rând primul rând, înmulțiri cu 2 (tobto cu (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). În mod similar, la al patrulea rând, adăugați primul rând (înmulțiri cu unul, apoi cu (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). În matricea subtractivă a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, apoi puteți rearanja rândurile din nou). Să ne asigurăm că diagonalele de sub cealaltă parte au fost zero. Pentru al 3-lea și al 4-lea rând, adăugați un alt rând, înmulțiri cu -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

patru). În matricea prescurtată, două rânduri rămase sunt zero și їх poate fi eliminat:

S-a îndepărtat matricea de trepte, care este pliată în două rânduri. De asemenea, r(A) = 2.

Tse înțelegere, scho zagalnyu є toate operațiunile posibile, yakі viroblyayutsya cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o astfel de masă, de m rowkіv ta n stoptsіv, se pare că matricea poate fi rozmirnіst m pe n.

Aspectul luminos al matricei:

Pentru matricea soluției este necesar să înțelegem care este matricea și să cunoașteți principalii parametri. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala capului, care este compusă din elemente un 11, un 22 ..... un mn.
• Diagonala laterală, care este compusă din elemente un 1n, un 2n-1 …..a m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătrat - o astfel de matrice, numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - matrice La, iac bula otrimana din matricea externa A cu o potecă, înlocuiți rândurile de pe stâlpi.
• Singur - toate elementele diagonalei capului = 1, linia = 0.
• O matrice inversă este o matrice, atunci când este înmulțită cu o matrice inversă, rezultă o singură matrice.

Matricea poate fi simetrică atât față de diagonalele capului, cât și față de cele laterale. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1 atunci matricea este simetrică de-a lungul diagonalei principale. Matricele mai mult decât pătrate pot fi simetrice.

Metode de matrice rozvyazannya.

Mayzhe toate metoda de transformare a matricei zace la faimosul її vyznachnik n comandă și mai multe dintre ele să facă greoaie. Pentru a cunoaște primatul de ordinul 2 și 3, există alte moduri, mai raționale.

Znakhodzhennya vyznachnikі în al doilea ordin.

Pentru calculul matricei DAR Ordinul 2, este necesar pentru crearea elementelor în diagonala capului să adăugați elemente suplimentare în diagonala laterală:

Metode de cunoaștere de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru cunoașterea ordinului al 3-lea.

Regula trikutnik a fost simplificată, ca una metode de matrice de cireș, poate fi reprezentat astfel:

Cu alte cuvinte, primirea elementelor de la primul arbitru, ca și cum ar fi drepte, se ia cu semnul „+”; exact așa, pentru al 2-lea funcționar - cele mai importante creații sunt luate cu semnul „-”, deci pentru o astfel de schemă:

La rezolvarea matricilor prin regula Sarrus, cu mâna dreaptă, în direcția semnatarului, se adaugă primele 2 coloane și se creează cele mai importante elemente pe diagonala capului și pe diagonale, ca paralela i-a, se ia 3 cu semnul „+”; dar creați două elemente de diagonale laterale și diagonale, ca paralele, cu semnul „-”:

Razkladannya vyznachnik în ordinea numărului de matrice stovptsyu pіd oră vіrіshennya.

Vyznachnik-ul este o sumă mai bună de creații ale elementelor unui rând de vyznachnik pe addendumurile lor de algebră. Sunați pentru a alege acel rând / stovpets, într-un mod care este zero. Un rând sau un rând, în funcție de care se realizează aspectul, va fi desemnat ca o săgeată.

Aducerea primatei la un aspect tricot la ora matricelor de cireșe.

La matricea soluției Cu ajutorul aducerii primatei într-un aspect tricot, exersați astfel: cu ajutorul celor mai simple transformări peste rândurile de cântece, primatul devine un aspect tricot și același sens, aparent la puterea primatei, elemente dobutku , ca stând pe diagonala capului.

Teorema lui Laplace pentru perfecțiunea matricelor.

Văzând matricele din spatele teoremei lui Laplace, este necesar să cunoaștem teorema însăși fără un punct de mijloc. Teorema lui Laplace: Haide Δ - tse vyznachnik n comanda. Vibiraemo în noul be-yakі k rowkiv (abo stovptsiv), pentru minte k≤ n - 1. Un astfel de timp are o sumă de lucrări k ordinul, ce să răzbune pe ales k rânduri (stowptsyah), pe adăugările lor algebrice la vyznachnik.

Matricea Virishennya.

Secvență pentru soluție a matricei serice:

1. Înțelegeți că este dată o matrice pătrată. În vremuri de opinie negativă, devine clar că matricea salivară nu poate fi.
2. Calcularea adunărilor la algebră.
3. Creăm o matrice aliată (reciproc, vin). C.
4. Adăugarea unei matrice inversă cu adunări la algebră: toate elementele matricei date C dilimo pe matricea cob. Matricea sub-suma va fi o matrice pivot definită aleatoriu.
5. Verificăm robotul vikonan: înmulțim matricea pochatkov și omitem matricea, rezultatul poate fi o singură matrice.

Matrice de sisteme Virishennya.

Pentru solutii pentru sisteme matriceale Cea mai comună metodă este metoda Gauss.

Metoda Gauss este modalitatea standard de derivare a sistemelor de aliniamente liniare de algebră (SLAE) și vin polygaє prin aceea că, în secvență, modificările sunt pornite, astfel încât, pentru modificări elementare suplimentare, sistemul de aliniamente este adus la echivalent (în spatele numărul) cunosc elementul de piele al sistemului.

metoda Gausє cel mai universal și cel mai bun instrument pentru rezolvarea matricilor. La fel cum sistemul are o soluție impersonală, sau sistemul este non-rezumat, atunci este imposibil să se încalce regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss de transfer este, de asemenea, directă (reducerea matricei extinse la un aspect în trepte, astfel încât zerourile sunt îndepărtate sub diagonala capului) și inversă (zerourile sunt eliminate deasupra diagonalei capului matricei extinse). Direcția directă este metoda Gauss, invers - metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan este similară cu metoda Gauss, cu excepția secvenței modificărilor.

Numirea 1. Matricea A către lumem n un tabel dreptunghiular se numește cu m rânduri și n coloane, care se adună cu numere sau alte variabile matematice (rangurile elementelor matricei), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, sau

Numirea 2. Două matrice
і
sunt numite de aceeași dimensiune egal, care sunt sortate element cu element, adică. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Pentru matrice suplimentare, este ușor să notăm actele de depozite economice, de exemplu, tabele de distribuție a resurselor în funcție de deak-urile economiei.

Numirea 3. Astfel, numărul de rânduri din matrice este ​​zbіgaєtsya de la її stovptsіv, deci. m = n, atunci se numește matricea ordine pătratăn, și într-o altă lumină rectilinie.

Numirea 4. Trecerea de la matricea A la matricea A t, în care rândurile și coloanele au fost comemorate de locuri din ordinea de salvare, se numesc transpunere matrici.

Vezi matricea: pătrat (dimensiunea 33) -
,

rectiliniu (dimensiune 25) -
,

diagonala -
, singur -
, zero -
,

matrice-rând -
, matrice-stowpets -.

Numirea 5. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei capului, adică. elemente ce:
.

Numirea 6. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n se numesc elemente ale unei diagonale laterale, deoarece indicii lor sunt n + 1, adică. Elemente: .

1.2. Operații pe matrice.

1 0 . sumoyu două matrice
і
aceeași dimensiune se numește matricea С = (з ij), ale cărei elemente sunt egale cu ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,... ,n).

Puterea operațiunii de pliere a matricelor.

Pentru be-yakah matricele A,B,C one rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (comutativitate),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (asociativitate).

2 0 . Tvorom matrici
pe număr  numită matrice
de aceeași dimensiune cu i este matricea A, în plus b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Puterea operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

(А) = ()А (asociativitatea multiplicatoare);

(А+В) = А+В (distributivitatea multiplicității matricelor de pliere aleatorie);

(+)А = А+А (distributivitatea înmulțirii numerelor pliate aleatoriu).

Numirea 7. Combinație liniară de matrici
і
aceeași dimensiune se numește sub forma A + B, de  și  - numere suficiente.

3 0 . Dobutcom A  Matrici A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk se numește o matrice 3 expіrum mk, astfel încât elementul z ij este suma elementelor creative din rândul i al matricei A în coloana j. a matricei B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB este utilizat, numai în acest caz, deoarece numărul de coloane ale matricei A variază cu numărul de rânduri ale matricei.

Puterea operației de înmulțire a matricilor:

(АВ)С = А(ВС) (asociativitate);

(А+В)С = АС+ВС (distributivitatea matricelor de pliere aleatorie);

А(В+С) = АВ+АС (distributivitatea matricelor de pliere aleatorie);

АВВА (nu comutativ).

Numirea 8. Matricele A și B, pentru care AB = BA, se numesc navetă sau navetă.

Reproducerea unei matrice pătrate, indiferent de ordinea unei matrice unice diferite, nu schimbă matricea.

Numirea 9. Transformări elementare matricele se numesc astfel de operații:

Înlocuirea a două rânduri (stovptsiv) cu misiunile.

Reproducerea elementului de piele al unui rând (stovptsya) printr-un număr, diferit de zero.

Adăugarea la elementele unui rând (stowptsya) a elementelor din al doilea rând din rândul următor (stowptsya).

Numirea 10. Matrice, otrimana din matrice Si pentru ajutorul transformarilor elementare se numeste echivalent(semnat BA).

fundul 1.1. Cunoașteți combinația liniară a matricelor 2A-3B, cum ar fi

,
.

,
,

.

fundul 1.2. Cunoașteți matricea doboot
, ca

.

Rezolvare: numărul de coloane din prima matrice se modifică de la numărul de rânduri din altă matrice, apoi se utilizează matricea suplimentară. Ca rezultat, luăm o nouă matrice
, de

Drept urmare, luăm
.

Curs 2. Numiți. Calculul vyznachniki într-un alt ordin al treilea. Puterea persoanelor desemnatencomanda.