Характеристичне рівняння. Способи складання характеристичного рівняння. Дивитись що таке "Характеристичне рівняння" в інших словниках

Визначення.Характеристичним рівнянням лінійного оператора f називається рівняння виду , де - будь-яке дійсне число, А - матриця лінійного оператора, Е - одинична матриця того ж порядку.

Багаточлен називається характеристичним багаточленомматриці А (лінійного оператора f). У матричному вигляді характеристичне рівняння має такий вигляд:

або

.

Отже, прирівнюючи характеристичний багаточлен до нуля, отримуємо рівняння ступеня n, Де як невідомого виступає λ, отримуємо значення його коренів - характеристичних чисел даної матриці. Характеристичні коріння відіграють велику роль у багатьох розділах математики. Розглянемо одне із застосувань характеристичного коріння – дуже важливий інструмент при дослідженні лінійних просторів, і навіть під час вирішення багатьох прикладних завдань лінійної алгебри.

Набір усіх коренів характеристичного рівняння називають спектром оператора f(кожен корінь розглядають із тією кратністю, що він має у характеристичному рівнянні).

приклад.Знайти характеристичні коріння матриці.

Складемо матрицю

Прирівнюючи характеристичний багаточлен до нуля, отримуємо квадратне рівняння

Тоді коріння рівняння дорівнює .

Визначення.Нехай f лінійний оператор простору та - деякий ненульовий вектор, для якого справедлива рівність

де – дійсне число. Тоді вектор називають власним вектором оператора і матриці задає - власним значенням, або власним числом перетворення. У цьому кажуть, що власний вектор належить до свого значення .

Власні вектори відіграють велику роль як у самій математиці, так і в її додатках. Наприклад, резонанс, у якому власні частоти коливань системи, збігаються з частою коливанням зовнішніх сил. У математиці власні вектори корисні під час вирішення систем диференціальних рівнянь.

Теорема. Якщо лінійний оператор f у базисі (перший базис) має матрицю А й у базисі (другий базис) – матрицю У, має місце рівність: .

Отже, при переході до нового базису характеристичний багаточлен лінійного оператора не змінюється.

◌ Якщо Т – матриця переходу від першого базису до другого, то . Тоді перетворимо праву частину рівності ●

Теорема. Для того щоб число 0 з поля Р було власним значенням вектора простору L n над Р необхідно і достатньо, щоб число 0 було характеристичним коренем оператора f.

Док-во. I.Необхідність. Нехай λ 0 власне значення оператора f, тоді в L nІснує власний вектор , такий, що .

Нехай – його координатний рядок у деякому базисі, тоді

З іншого боку, т.к. , де - матриця лінійного оператора в заданому базисі, то

Прирівнявши праві частини (1) та (2) отримаємо:

(3)

Рівності (3) означають, що числовий вектор з координатами є розв'язком наступної системи рівнянь (4).

(4)

Вектор відмінний від нульового (бо він власний), тому система (4) має ненульове рішення, отже її визначник дорівнює 0.

(5)

а значить і визначник, що транспонується, дорівнює 0.

(6)

Таким чином, λ 0 - Корінь характеристичного рівняння.

ІІ.Достатність. Нехай λ 0 - Характеристичний корінь оператора в деякому базисі . Доведемо, що λ 0 є власним значенням оператора A.

Справді, якщо λ 0 – характеристичний корінь, то виконуватиметься рівність (6), отже, рівність (5), але це означатиме, що система (4) має ненульові рішення.

Виберемо якесь ненульове рішення системи (4): числовий вектор . Тоді виконуються рівність (3).

Розглянемо вектор , а для нього виконуватиметься рівність (2) і, в силу формули , справедлива рівність (1), де – матриця оператора в базисі У. Звідси випливає рівність , яка означає, що вектор є власним вектором оператора , якому відповідають власне значення λ 0 . Це й потрібно було довести. Теорему доведено.

Зауваження.Щоб знайти власні значення оператора, треба скласти і розв'язати рівняння (5). Щоб знайти власні вектори оператора, потрібно скласти систему рівнянь (4) і знайти фундаментальний набір рішень цієї системи.

Для контролю над правильністю обчислення своїх значень (вони може бути збігаються, комплексні) застосовуються два факта:

1) , де остання сума слідує матриці – сума діагональних елементів.

2) .

приклад.Знайти власні значення та власні вектори .

Прирівнюючи до нуля отримуємо. .

3) . , .

Нехай - вільна змінна, тоді Отримуємо вектор .

Вправа. Зробити перевірку для вектора.

.

Вільний режим схеми залежить від джерел енергії, визначається лише структурою схеми та параметрами її елементів. З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння p1, p2, ... pn будуть однаковими для всіх змінних функцій(струмів і напруг).

Характеристичне рівняння можна скласти різними методами. Перший метод – класичний, коли характеристичне рівняння складається строго відповідно до диференціального за класичною схемою. При розрахунку перехідних процесів у складній схемі складається система із “m” диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа для схеми ланцюга після комутації. Оскільки коріння характеристичного рівняння є спільними всім змінних, то рішення системи диференціальних рівнянь виконується щодо будь-якої змінної (на вибір). В результаті рішення одержують неоднорідне диференціальне рівняння з однією змінною. Складають характеристичне рівняння відповідно до отриманого диференціального і визначають його коріння.

приклад. Скласти характеристичне рівняння та визначити його коріння для змінних у схемі рис. 59.1. Параметри елементів задані у загальному вигляді.

Система диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа:

Розв'яжемо систему рівнянь щодо змінної i3, в результаті отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння:

Другий спосіб складання характеристичного рівняння полягає у прирівнюванні нуля головного визначника системи рівнянь Кірхгофа для вільних складових змінних.

Нехай вільна складова довільного струму має вигляд iксв=Аkept, тоді:

Система рівнянь для вільних складових виходить із системи диференціальних рівнянь Кірхгофа шляхом заміни похідних від змінних на множник р, а інтегралів – на 1/р. Для прикладу, що розглядається, система рівнянь для вільних складових має вигляд:

Характеристичне рівняння та його корінь:

Третій спосіб складання характеристичного рівняння (інженерний) полягає у прирівнюванні нуля вхідного операторного опору схеми щодо будь-якої її гілки.

Операторний опір елемента виходить з його комплексного опору шляхом простої заміни множника jω на р, отже

Для прикладу, що розглядається:

Третій спосіб є найбільш простим та економічним, тому він частіше за інших застосовується при розрахунку перехідних процесів в електричних ланцюгах.

Коріння характеристичного рівняння характеризує вільний перехідний процес у схемі без джерел енергії. Такий процес протікає із втратами енергії і тому згасає у часі. З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння має бути негативним або мати негативну речову частину.

У загальному випадку порядок диференціального рівняння, яким описується перехідний процес у схемі, і, отже, ступінь характеристичного рівняння та число його коренів дорівнюють числу незалежних початкових умов, чи числу незалежних накопичувачів енергії (котушок L і конденсаторів C). Якщо в схемі ланцюга містяться паралельно включені конденсатори С1, С2, ... або послідовно включені котушки L1, L2, ..., то при розрахунку перехідних процесів вони повинні бути замінені одним еквівалентним елементом СЕ = С1 + С2 + ... або ЛЕ = L1 + L2 + ...

Таким чином, загальний вид рішення для будь-якої змінної при розрахунку перехідного процесу може бути складений лише з аналізу схеми ланцюга, без складання та розв'язання системи диференціальних рівнянь.

Для прикладу, що розглядається вище.

Характеристичне рівняння складається для ланцюга після комутації. Воно може бути отримано такими способами:

• безпосередньо з урахуванням диференціального рівняння виду (2) (див. лекцію №24), тобто. шляхом виключення із системи рівнянь, що описують електромагнітний стан ланцюга на підставі першого та другого законів Кірхгофа, всіх невідомих величин, крім однієї, щодо якої записується рівняння (2);
• шляхом використання виразу для вхідного опору ланцюга на синусоїдальному струмі;
• з урахуванням висловлювання головного визначника.

Відповідно до першого способу попередньої лекції було отримано диференціальне рівняння щодо напруги на конденсаторі для послідовної R-L-C-ланцюга, на базі якого записується характеристичне рівняння.

Слід зазначити, що, оскільки лінійний ланцюг охоплений єдиним перехідним процесом, корені характеристичного рівняння є спільними для всіх вільних складових напруг і струмів гілок схеми, параметри яких входять до характеристичного рівняння. Тому за першим способом складання характеристичного рівняння як змінну, щодо якої воно записується, може бути обрана будь-яка.

Застосування другого та третього способів складання характеристичного рівняння розглянемо з прикладу ланцюга рис. 1.

Складання характеристичного рівняння за методом вхідного опору полягає в наступному:

записується вхідний опір ланцюга на змінному струмі;

jw замінюється на оператор р;

отриманий вираз дорівнює нулю.

Рівняння

збігається з характеристичною.

Слід наголосити, що вхідний опір може бути записано щодо місця розриву будь-якої гілки схеми. При цьому активний двополюсник замінюється пасивним за аналогією з методом еквівалентного генератора. Даний спосіб складання характеристичного рівняння передбачає відсутність у схемі магнітозв'язаних гілок; за наявності таких необхідно здійснити їхнє попереднє розв'язування.

Для ланцюга на рис. 1 щодо затискачів джерела

.

Замінивши jw на р і прирівнявши отриманий вираз до нуля, запишемо

При складанні характеристичного рівняння на основі виразу головного визначника число рівнянь алгебри, на базі яких він записується, дорівнює числу невідомих вільних складових струмів. Алгебраїзація вихідної системи інтегро-диференціальних рівнянь, складених, наприклад, на підставі законів Кірхгофа або за методом контурних струмів, здійснюється заміною символів диференціювання та інтегрування відповідно на множення та поділ на оператор нар. Характеристичне рівняння утворюється шляхом прирівнювання записаного визначника до нуля. Оскільки вираз головного визначника залежить від правих частин системи неоднорідних рівнянь, його складання можна проводити основі системи рівнянь, записаних для повних струмів.

Для ланцюга на рис. 1 алгебраїзована система рівнянь на основі методу контурних струмів має вигляд

Звідси вираз для головного визначника цієї системи

Прирівнявши D до нуля, отримаємо результат, аналогічний (1).

Загальна методика розрахунку перехідних процесів класичним методом

У випадку методика розрахунку перехідних процесів класичним методом включає такі этапы:

Приклади розрахунку перехідних процесів класичним методом

1. Перехідні процеси в R-L ланцюга при підключенні до джерела напруги

Такі процеси мають місце, наприклад, при підключенні до джерела живлення електромагнітів, трансформаторів, електричних двигунів тощо.

Розглянемо два випадки:

Згідно з розглянутою методикою для струму в ланцюзі на рис. 2 можна записати

Характеристичне рівняння

звідки та постійна часу .

Таким чином,

Підставляючи (4) і (5) у співвідношення (3), запишемо

.

Відповідно до першого закону комутації. Тоді

,

Таким чином, струм у ланцюгу в перехідному процесі описується рівнянням

,

а напруга на котушці індуктивності – виразом

.

Якісний вид кривих і відповідних отриманим рішенням, представлений на рис. 3.

При другому типі джерела вимушена складова розраховується за допомогою символічного методу:

,

Вираз вільної складової залежить від типу джерела напруги. Отже,

.

Оскільки , то

Таким чином, остаточно отримуємо

Аналіз отриманого виразу (6) показує:

Якщо значна за величиною, то за півперіоду вільна складова суттєво не зменшується. У цьому випадку максимальна величина струму перехідного процесу може істотно перевищувати амплітуду струму режиму, що встановився. Як видно із рис. 4, де

максимум струму має місце приблизно через . У межі при .

Таким чином, для лінійного ланцюга максимальне значення струму перехідного режиму не може перевищувати подвоєну амплітуду вимушеного струму: .

Аналогічно для лінійного ланцюга з конденсатором: якщо в момент комутації вимушена напруга дорівнює своєму амплітудному значенню і постійна часу ланцюга досить велика, то приблизно через половину періоду напруга на конденсаторі досягає свого максимального значення, яке не може перевищувати подвоєної амплітуди вимушеної напруги: .

2. Перехідні процеси при відключенні котушки індуктивності від джерела живлення

При розмиканні ключа ланцюга на рис. 5 вимушена складова струму через котушку індуктивності.

Характеристичне рівняння

,

звідки і .

Відповідно до першого закону комутації

.

Таким чином, вираз для струму в перехідному режимі

та напруга на котушці індуктивності

.

(7)

Аналіз (7) показує, що при розмиканні ланцюгів, що містять індуктивні елементи, можуть виникати великі перенапруги, які без вживання спеціальних заходів можуть вивести апарат з ладу. Справді, за модуль напруги на котушці індуктивності в останній момент комутації в багато разів перевищуватиме напруга джерела: . За відсутності резистора R, що гасить, вказана напруга прикладається до контактів ключа, що розмикаються, в результаті чого між ними виникає дуга.

3. Заряд та розряд конденсатора

При переведенні ключа в положення 1 (рис. 6) починається процес заряду конденсатора:

.

Вимушена складова напруги на конденсаторі.

З характеристичного рівняння

визначається корінь . Звідси постійна часу.

) А = ||a ik||n 1 відніманням величини з діагональних елементів. Цей визначник є багаточленом відносно Х - характеристичний багаточлен. У розкритому вигляді Х. в. записується так:

де S 1 = a 11 + a 22 +... a nn- Т.зв. слід матриці, S 2- сума всіх головних мінорів 2-го порядку, тобто мінорів виду i k) і т.д., а S n- Визначник матриці А. Коріння Х. в. λ 1 , λ 2 ,..., λ nназиваються власними значеннями матриці А. У дійсної симетричної матриці, а також у ермітової матриці все kдійсні, у дійсної кососиметричної матриці всі λ kчисто уявні числа; у разі дійсної ортогональної матриці, а також унітарної матриці всі | k| = 1.

Х. в. зустрічаються у найрізноманітніших галузях математики, механіки, фізики, техніки. В астрономії щодо вікових обурень планет також приходять до Х. у.; звідси і друга назва для Х. в. - вікове рівняння.

2) Х. в. лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

a 0λ y (n) + a 1 y (n-1) +... + a n-1 y" + a n y = 0

Алгебраїчне рівняння, що виходить із даного диференціального рівняння після заміни функції ута її похідних відповідними ступенями величини λ, тобто рівняння

a 0λ n + a 1λ n-1 + ... + a n-1 y" + a n y = 0.

До цього рівняння приходять при відшуканні приватного рішення виду у = се λ хдля цього диференціального рівняння. Для системи лінійних диференціальних рівнянь

Х. в. записується за допомогою визначника

Х. в. матриці A =

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Характеристичне рівняння" в інших словниках:

У багатьох випадках фізичні процеси, що відбуваються в системах, описуються системою звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, яка в загальному випадку може бути зведена до диференціального рівняння. Енциклопедія техніки

Алгебраїчне рівняння виду Визначник у цій формулі виходить з визначника матриці відніманням величини x з діагональних елементів; він є багаточленом щодо x і називається характеристичним багаточленом … Великий Енциклопедичний словник

характеристичне рівняння- - [В.А.Семенов. Англо-російський словник з релейного захисту] Тематики релейний захист EN characteristic equation … Довідник технічного перекладача

Алгебраїчне рівняння виду. Визначник у цій формулі виходить із визначника матриці х із діагональних елементів; він є многочлен щодо х і називається характеристичним многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧНЕ… … Енциклопедичний словник

характеристичне рівняння- b?dingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. характеризує Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристичний рівняння, n pranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas

характеристичне рівняння- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. характеризує Gleichung, f rus. характеристичний рівняння, n pranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas

характеристичне рівняння Енциклопедія «Авіація»

характеристичне рівняння- Характеристичне рівняння. У багатьох випадках фізичні процеси, що відбуваються в системах, описуються системою звичайних лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами, яка у досить загальному випадку може бути зведена … Енциклопедія «Авіація»

Вікове рівняння, див. ст. Характеристичний багаточлен. Математична енциклопедія

Характеристичний многочлен це багаточлен, що визначає власні значення матриці. Інше значення: Характеристичний багаточлен лінійної рекуренти це багаточлен. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Книги

• Книжка присвячена систематичному викладу алгебраїчного підходу до дослідження нелінійних інтегрованих рівнянь у приватних похідних та їх дискретних аналогів, заснованого на понятті…