Zobaczcie matrycę tej jogi mocy. Macierze. Poruszaj się po macierzach. Dominacja operacji na macierzach. Zobacz macierz. Operacje składania i wizualizacji matryc

Macierze. Poruszaj się po macierzach. Dominacja operacji na macierzach. Zobacz macierz.

Matryce może być ważną wartością w matematyce stosowanej, którą można zapisać w prostej formie znaczącej części modele matematyczne obiekty i procesy. Termin „matryca” pojawił się w 1850 roku. Wcześniej matryce odgadywano w starożytnych Chinach, później u matematyków arabskich.

Matryca A=Amn kolejność m * n nazywa się prostoliniowa tablica liczb.

Elementy matrycy aij , dla których i=j nazywamy przekątnymi i główna przekątna.

Dla macierzy kwadratowej (m=n), przekątna głowy składa się z elementów a11,a22,...,ann.

Macierze rivnistów.

A=B tylko kolejność matryc Aі B jednak, że a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Poruszaj się po macierzach.

1. Dodawanie macierzy – operacja element po elemencie

2. Przeglądanie macierzy – operacja element po elemencie

3. Dodanie macierzy do liczby to operacja element po elemencie

4. Wiele A*B macierz według reguły rząd na górze(liczba kolumn w macierzy A może być równa liczbie wierszy w macierzy B)

Amk * Bkn = Cmn dlaczego element skóry? cześć matryce Cmn dodaj sumę elementów i-tego wiersza macierzy A i pozostałych elementów j-tej kolumny macierzy B, tobto.

Pokażmy działanie mnożenia macierzy na przykładzie

5. Linki u stóp

m>1 komórka data. A jest macierzą kwadratową (m=n) tobto. dotyczy macierzy kwadratowych

6. Transpozycja macierzy A. Macierz transponowana jest oznaczana przez A T lub A

Rzędy i kolumny zostały upamiętnione misjami

krupon

Moc operacji na macierzach

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Macierze Vidi

1. Prostokątne: mі n- całkiem pozytywne liczby

2. Kwadrat: m=n

3. Wiersz macierzy: m=1. Na przykład (1 3 5 7) - dla wielu praktycznych zadań taka macierz nazywana jest wektorem

4. Kuchenki Matrix: n=1. Na przykład

5. Macierz przekątna: m=nі a ij = 0, tak jak i≠j. Na przykład

6. Sama macierz: m=nі

7. Matryca zerowa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Macierz trykotowa: wszystkie elementy poniżej przekątnej nagłówka sumują się do 0.

9. Matryca symetryczna: m=nі a ij = a ji(stać równe elementy na symetrycznych przekątnych głowy), a także A”=A

Na przykład,

10. Pochyl macierz: m=nі a ij =-a ji(Dlatego na symetrycznych głównych przekątnych znajdują się elementy proteinowe). Również na głowie ukośnie stoją zera (ponieważ z i=j być może a ii =-a ii)

zrozumiałem A”=-A

11. Macierz hermitowska: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- złożony - odebrany do Ji, następnie. yakscho A=3+2i, następnie kompleks - otrzymany Ã=3-2i)

Kierownik algebry liniowej. Koncepcja macierzy. Zobacz macierz. Operacje na macierzach. Zadania Razv'yazannya do transformacji macierzy.

W przypadku różnych zadań matematycznych matkę często sprowadza się na prawo za pomocą tablic liczb, zwanych macierzami. Aby uzyskać dodatkowe macierze, popraw ręcznie system wyrównań liniowych, popraw bogate operacje za pomocą wektorów, popraw różne zadania grafiki komputerowej i inne zadania inżynierskie.

Matryca nazywa się prostoliniowa tablica liczb, co zemścić szprota m ryadkіv ta deyaka kіlkіst P stopciw. Liczby tі P są nazywane zamówieniami macierzowymi. W tym samym czasie t = P, macierz nazywa się kwadratem, a liczba m = n-її w kolejności.

Nadal do nagrywania matryc będzie blokowany albo przez podwójne grzbiety, albo przez okrągłe łuki:

Abo

W przypadku krótkiej wartości macierzy często używa się jednej dużej litery łacińskiej (na przykład A) lub symbolu || a ij ||, a czasem z objaśnieniami róż: ALE = || a ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Liczby aij , które wchodzą do magazynu danej matrycy, nazywamy elementami її. Na poczcie aij pierwszy indeks і oznacza numer wiersza, a drugi indeks j- Numer stacji. W macierzy kwadratowej

(1.1)

wprowadzić pojęcia głowy i przekątnych bocznych. Przekątna głowy matrycy (1.1) nazywana jest przekątną 11 12 … Anna co idzie od lewego górnego rogu matrycy do prawego dolnego rogu matrycy. Boczna przekątna tej samej matrycy nazywana jest przekątną a n 1 a (n -1) 2… 1 n , sho idź od lewego dolnego kut do prawego górnego kut.

Główne operacje na macierzach to operacje na mocy.

Przejdźmy do definicji głównych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy. Sumy dwie macierze A = | a ij || , de і B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) jedno i to samo zamówienie tі P zwana macierzą C = || h ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) cichy porządek tі P, elementy cześć które są przypisane do formuły

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Aby zrozumieć sumę dwóch macierzy, tworzony jest zapis Z \u003d A + U. Operacja składania sumy macierzy nazywa się ich złożeniem. Otzhe, dla mianowanych:

+ =

Z oznaczenia sumy macierzy, a raczej ze wzorów (1.2) wynika, że ​​operacja składania macierzy może mieć moc, że operacja składania liczb rzeczywistych i sama:

1) organ zmieniający: A + B = B + A,

2) o dobrej mocy: ( A + B) + C = A + (B + C).

Władze Tsі nie zezwalają na dbati o kolejności przejścia dodatkowych matryc przy składaniu dwóch lub większa liczba macierze.

Mnożenie macierzy przez liczbę. Dodatkowa macierz A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) w mowie liczba l nazywana jest macierzą Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) elementy, które są przypisane do formuły:

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

W celu rozpoznania powstania matrycy dla numeru dokonywany jest zapis Z \u003d l A lub Z \u003d A l. Operacja dodawania tworzenia macierzy do liczby nazywana jest mnożeniem liczby macierzy.

Ze wzoru (1.3) jasno wynika, że ​​pomnożenie macierzy przez liczbę może mieć tę samą potęgę:

1) z dobrą mocą jak mnożnik liczbowy: (lm) A = l (mA);

2) macierze rozpodіlnoyu mocy shkodo sum: l (A + B) = l A + l B;

3) liczby rozpodіlnoyu mocy shkodo sumi: (l + m) A = l A + m A

Szacunek. Sprzedaż detaliczna dwóch matryc ALEі Na to samo zamówienie tі P naturalnie nazwijmy taką macierz W cichy porządek tі P, jaka sumі z matrix B daje macierz A. Do określenia różnicy między dwiema macierzami stosuje się zapis naturalny: W = A - art.

Łatwo się pogubić w tym, co jest inne W dwie macierze ALEі Na może buti otrimana dla reguły C \u003d A + (-1) B.

Matryca telewizyjna lub mnożenie macierzy.

Macierz Dobootcom A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) ma zamówienia, vіdpovіdno równe tі n, na matrycy B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), ma zamówienia, vіdpovіdno równe nі R, zwana macierzą Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), zamówienia scho maє, vіdpovіdno równe tі R elementy, które są przypisane do formuły:

de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Za wiedzę o tworzeniu matrycy ALE na matrycy Na rekord zwycięzcy C = A × B. Operacja składania matrycy ALE na matrycy Na nazywa się mnożeniem macierzy.

Od sformułowanego vishche vznachennya viplivaє that macierz A można pomnożyć nie przez macierz, jest to konieczne, schob liczba kolumn macierzy ALE więcej niż liczba wierszy w macierzy Sztuka.

Wzór (1.4) to zasada składania elementów macierzy C, czyli tworzenie macierzy ALE na matrycy Sztuka. Zasadę tę można sformułować ustnie: element c i j, który stoi na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy C = AB, dodaje sumę kreacji parami tych samych elementów w i-tym wierszu macierzy A i j-tej kolumnie macierzy macierz B.

Jako przykład ustawienia przypisanej reguły przedstawiamy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych innego rzędu.

× =

Wzory (1.4) emanują taką mocą tworzenia matrycy ALE na matrycy W:

1) dobra moc: (AB) C = A (BC);

2) rozpodіlna schodo sumi macierze mocy:

(A + B) C = AC + BC lub A (B + C) = AC + AC.

Odżywianie o permutacji (przeniesieniu) mocy na tworzenie matrycy A na matrycy Na ustaw więcej sensu dla macierzy kwadratowych A i B To samo zamówienie.

Przynieśmy ważne macierze okremі vpadki, dla których jest sprawiedliwa i permutacja władzy. Dwie matryce do tworzenia tych, którzy słusznie permutują siły, zwyczajowo nazywa się dojazdami.

Środek matryc kwadratowych można uznać za klasę matryc diagonalnych, w skórze tych elementów szycie położenia przekątnej głowy jest równe zeru. Ukośna matryca skóry w kolejności P może wyglądać

D= (1.5)

de d1, d2,… dn-yakі zavgodno numery. To jest łatwe do bachiti, że liczby są między sobą równe. d1=d2=… = d n następnie dla dowolnej macierzy kwadratowej ALE zamówienie P sprawiedliwość jest sprawiedliwa A D = D A.

Środek matryc diagonalnych (1.5) składa się z elementów d1=d2=… = dn = = d Szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwsza z tych matryc wychodzi na d=1 zwana macierzą tożsamości n mi. Kolejna matryca do wprowadzenia w d=0 zwana macierzą zerową n rzędu, jest oznaczony symbolem Oh w taki sposób,

E= O=

Na mocy powyższego A E = E Aі AO = PRO A. Co więcej, łatwo to pokazać

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

Pierwszy ze wzorów (1.6) charakteryzuje szczególną rolę pojedynczej macierzy MI, podobny do twojej roli, jakbyś grał numer 1 podczas mnożenia rzeczywistych liczb. Jaka jest szczególna rola macierzy zerowej? O, wtedy pokazuje nie tylko przyjaciela formuł (1.7), ale także równość, która jest elementarnie odwrócona

A+0=0+A=A.

Podsumowując, należy uznać, że zrozumienie macierzy zerowej można wprowadzić dla macierzy niekwadratowych (zero nazywa się be-yaku macierz, której wszystkie elementy są równe zeru).

macierze blokowe

Powiedzmy, że macierz Deaka A = | a ij || za pomocą poziomych i pionowych linii prostych jest on rozbijany na komórki o prostym przekroju, skóra z matrycą o mniejszych rozmiarach i nazywana jest blokiem macierzy zewnętrznej. W takim czasie powodem jest umiejętność spojrzenia na zewnętrzną matrycę. ALE jak nowa (tzw. blokowa) macierz ALE = || A a b ||, których elementy są przypisane do bloków. Oznaczenia elementów oznaczają wielka litera łacińska, szlochający indeks dolny, co śmierdzi, pozory vzagali, macierze, a nie liczby і (jako podstawowy element liczbowy) są dostarczane przez dwa indeksy, z których pierwszy wskazuje liczbę wiersz bloku, a drugi - numer bloku.

Na przykład macierz

możesz wyglądać jak macierz blokowa

elementy takie jak te bloki:

Dziwne jest to, że główne operacje na macierzach blokowych przebiegają według tych samych zasad, za którymi smród podąża za najważniejszymi macierzami liczbowymi, bloki pełnią rolę elementów.

Wizjonerska koncepcja.

Spójrzmy na ładną macierz kwadratową, bez względu na kolejność P:

A= (1.7)

Z taką macierzą skóry łączymy jedną cechę liczbową, nazywam ją znaczącym, wyeksponowaną liczbą matrycy.

Jak zamówić n macierze (1.7) są równe 1, wtedy ta macierz składa się z jednego elementu ja j jest znacznikiem pierwszego rzędu, który pasuje do takiej macierzy, nazywamy wartością elementu.

wtedy znak innej kolejności, który przedstawia taką macierz, nazywamy liczbą, która jest więcej a 11 za 22 - 12 za 21 i jest oznaczony jednym z symboli:

Ojcze, dla mianowanych

(1.9)

Formuła (1.9) to zasada składania zmiennej w innym porządku po elementach podobnej macierzy. Słowne sformułowanie tej reguły jest następujące: znaczące innego rzędu, druga macierz (1.8), droższe detaliczne dodawanie elementów, które powinny stać na przekątnej głowicy, oraz dodawanie elementów, które powinien stać na drugiej przekątnej. Przywódcy drugiego i wyższego rzędu znają szeroką zastosuvannya w godzinie doskonałości systemów linii liniowych.

Rzućmy okiem, jak mrugnąć operacje na macierzach w systemie MathCad . Najprostsze operacje algebry macierzowej MathCad implementuje jako operatory. Pisanie operatorów za kulisami jest jak najbardziej zbliżone do oryginalnej funkcji matematycznej. Operator skóry jest wyrażony tym samym znakiem. Rzućmy okiem na macierz i operacje wektorowe MathCad 2001. n x 1, Dlatego wszystkie operacje są dla nich ważne, podobnie jak dla macierzy, które nie są szczególnie nasycone (np. takie operacje ograniczają się tylko do macierzy kwadratowych) n x n). Jakie są dopuszczalne tylko dla wektorów (na przykład skalar twir) i jak, niezależnie od tego samego zapisu, w inny sposób na wektorach i macierzach.

W oknie dialogowym określ liczbę wierszy i kolumn macierzy.

q Po naciśnięciu przycisku OK wyświetlane jest pole do wprowadzania elementów matrycy. Aby wprowadzić element matrycy, umieść kursor na oznaczeniu pozycji i wprowadź liczbę lub ilość razy z klawiatury.

Aby vikonate jako operację dodatkowego paska narzędzi, potrzebujesz:

q zobaczyć matrycę i kliknąć w panelu na przycisk obsługi,

q lub kliknij przycisk na panelu i wpisz nazwę macierzy w pozycji wartości.

Menu "Symbole" ma trzy operacje - transpozycja, inwersja, oscylator.

Tse oznacza na przykład, że możesz obliczyć indeks macierzy, wpisując polecenie Symbole/Matryce/Podpis.

Numer pierwszego wiersza (i pierwszej kolumny) macierzy MathCAD pochodzi ze zmiany ORIGIN. W przypadku promocji rachunek prowadzony jest od zera. W notacji matematycznej często zwyczajowo zachowuje się wartość wpisu 1. W MathCAD, liczba wierszy i kolumn wpisu wynosi 1, konieczne jest ustawienie wartości zmiany ORIGIN:=1.

Funkcje przypisane robotom z procedur algebry liniowej są wybierane w sekcji „Wektory i macierze” okna dialogowego „Wstaw funkcję” (przypuszczalnie jest klikane przyciskiem na panelu „Standardy”). Główne ich funkcje zostaną opisane poniżej.

Transpozycja

Rys.2 Transpozycja macierzy

MathCAD może dodawać macierze, dzięki czemu można je zobaczyć jedna po drugiej. Dla tych operatorów rysowane są symbole <+> lub <-> oczywiście. Matryce należą się matce tego samego pokoju, w przeciwnym razie zobaczysz przypomnienie o ułaskawieniu. Element skóry to suma dwóch macierzy i suma pozostałych elementów macierzy-dodatków (tyczek na rys. 3).
Składanie macierzy, MathCAD obsługuje operację dodawania macierzy o wartości skalarnej, tobto. numer (tył rys. 4). Element skóry wynikowej macierzy jest równy sumie elementu macierzy wyjściowej i wartości skalarnej.
Aby wprowadzić symbol mnożenia, należy nacisnąć klawisz z zirochką<*>lub przyspiesz pasek narzędzi Matryca (Macierz), naciśnięcie przycisku Iloczyn skalarny (mnożenie)(Rys.1). Mnożenie macierzy jest oznaczane skrótem, jak pokazano w załączniku na rysunku 6. Symbol mnożenia macierzy można wybrać tak samo jak i w wyrażeniach skalarnych.
Inny przykład, który można pomnożyć przez wektor przez macierz-wiersz i, teraz wiersze przez wektor, pokazano na ryc. 7. W innym wierszu, który przykład pokazuje, jak wygląda formuła po wybraniu operatora mnożenia Brak przestrzeni (razem). Jednak ten sam operator mnożenia dzieli się na dwa wektory i to w inny sposób .

Podobne informacje.

Macierze. Zobacz macierz. Operacje na macierzach a joga mocy.

Macierz istotna n-tego rzędu. N, Z, Q, R, C,

Macierz rzędu m * n nazywana jest prostokątną tablicą liczb s, którą można zastąpić m-wierszem i n - kolumnami.

Macierze rivnist:

Dwie macierze nazywane są równymi, ponieważ liczba wierszy i kolumn jednej z nich jest bardziej zbliżona do liczby wierszy i kolumn drugiej i drugiej. el-ti tsikh macierze równe.

Uwaga: El-ty, yakі mogą mieć te same indeksy, є vіdpovіdnimi.

Zobacz macierz:

Macierz kwadratowa: macierz nazywa się kwadratową, ponieważ liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.

Prostokątny: macierz nazywa się prostokątną, ponieważ liczba rzędów nie jest równa liczbie kolumn.

Macierz wierszowa: Macierz 1 * n (m = 1) może wyglądać jak a11, a12, a13 i jest nazywana macierzą wierszową.

Kuchenki matrycowe:………….

Przekątna: przekątna macierzy kwadratowej, która biegnie od lewego górnego kuty do prawego dolnego kuty, którą tworzą elementy a11, a22 ... - nazywana jest przekątną głowy. (definicja: matryca kwadratowa ze wszystkimi elementami, które sumują się do zera, krem ​​jest cichy, który jest rozłożony po przekątnej głowy, nazywa się matrycą diagonalną.

Sama: matryca diagonalna nazywana jest pojedynczą, ponieważ wszystkie elementy są umieszczone na przekątnej głowy i dodają 1.

Tricut górny: A = | | aij | | nazywa się górną macierzą trykotową, więc aij=0. Pomyśl i>j.

Tricut dolny: aij=0. i

Zero: ce macierz El-ty jako dobre 0.

Operacje na macierzach.

1. Transpozycja.

2. Mnożenie macierzy przez liczbę.

3. Składanie matryc.

4. Mnożenie macierzy.

Główny sv-va podії nad matrycami.

1.A+B=B+A (przemienność)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (łączność)

3.a(A+B)=aA+aB (dystrybucja)

4.(a+b)A=aA+bA (dystrybutor)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asad.)

6.AB≠BA (dzień do kogo.)

7.A(BC)=(AB)C (powiązane) Zwycięskie są matryce Virobiv.

8.A(B+C)=AB+AC (dystrybutor)

(B+C)A=BA+CA (dystrybutor)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Znaczący kwadratowej matrycy jest oznaką tej jogi mocy. Układ vyznachnika w rzędach i rzędach. Sposoby obliczania nominowanych.

Jeśli macierz ma rząd m>1, to znaczącym tej macierzy jest liczba.

Dodatki algebraiczne Aij el-ta aij macierz A nazywa się minor Mij, mnożenia przez liczbę

TWIERDZENIE 1: Macierz istotna A jest dobrą sumą kreacji wszystkich elementów wystarczającego rzędu (stovptsya) wraz z ich dodatkami algebraicznymi.

Główne uprawnienia nominowanych.

1. Desygnator macierzy nie zmienia się w godzinie transpozycji.

2. Przy przestawianiu dwóch rzędów (stovptsiv) znaczący zmienia znak, ale bezwzględna wartość Yogo się nie zmienia.

3. Znacząca macierz, która może mieć dwa identyczne wiersze (stowpts) równe 0.

4. Mnożąc wiersz (stovptsya) macierzy przez liczbę її, mnoży się element znaczący przez liczbę całkowitą.

5. Jeżeli jeden z wierszy (stowpts) macierzy zostanie dodany do 0, to indeks wiersza macierzy jest równy 0.

6. Nawet jeśli wszystkie elementy i-tego wiersza (stowptsya) macierzy są reprezentowane przez spojrzenie na sumę dwóch dodatkowych macierzy, to ten sam znak można złożyć, patrząc na sumę sumy dwóch macierzy.

7. Osoba mianowana nie zmienia się, więc do elementów jednej kolumny (wiersza) należy dodać kolejny element drugiej kolumny (wiersza) przed wieloma. dla tego samego numeru.

8. Suma najważniejszych elementów następnej kolumny (wiersza) lidera na szczycie algebry elementów następnej kolumny (wiersza) jest równa 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metody obliczania zleceniodawcy:

1. Dla definicji chi według Twierdzenia 1.

2. Doprowadzony do wyglądu trykotu.

Znaczenie tej mocy matrycy skrętu. Obliczanie macierzy obrotów. Wyrównanie macierzy.

Oznaczenie: Macierz kwadratowa rzędu n nazywana jest osią macierzową I tego samego rzędu przypisujemy i

Aby macierz A była oparta na macierzy odwrotnej, konieczne i wystarczające jest, aby początek macierzy A wynosił 0.

Dominacja kluczowej matrycy:

1. Jedność: dla macierzy A її odwracalna - jedność.

2. oznaczenie macierzy

3. Operacja pobrania transpozycji i macierzy rotacji.

Wyrównanie macierzy:

Niech A i B będą dwiema macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Zrozumienie liniowości i niezależności kolumn macierzy. Dominacja błędu liniowego i liniowa niezależność układu partnerów.

Stovptsі A1, A2 ... An nazywane są odłogiem liniowym, ponieważ nie jest to trywialna kombinacja liniowa, która jest bliższa 0. kolumnie.

Kolumny A1, A2 ... An nazywane są liniowo niezależnymi, ponieważ nie są trywialną kombinacją liniową, która jest równa 0. kolumnie.

Kombinację liniową nazywamy trywialną, ponieważ wszystkie współczynniki С(l) są równe 0 i nie są trywialne w inny sposób.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. aby kolumny były liniowo odłogiem, jest konieczne i wystarczające, aby stanowiły liniową kombinację innych kolumn.

Przynieś 1 z kolumn z liniową kombinacją innych kolumn.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" liniowo odłogiem, wtedy wszystkie kolumny są liniowo odłogiem.

4. Tak jak układ podkładów jest liniowo niezależny, tak samo podsystem jest liniowo niezależny.

(Wszystko, co mówi się o stovptsiv, odnosi się również do rzędów).

Macierze drugorzędne. Podstawowy małoletni. Ranga macierzy. Metodę określają małoletni przy obliczaniu rangi macierzy.

Minor rzędu do macierzy A jest wyznacznikiem elementu jakiegoś sortowania na torze do wierszy i do kolumn macierzy A.

Jeżeli wszystkie drugorzędne rzędu macierzy A = 0, to czy jest małoletni do rzędu do +1 czy nawet 0.

Podstawowy małoletni.

Rząd macierzy A jest rzędem podstawy molowej.

Sposób obramowania drugorzędnych: - Wybieramy niezerowy element macierzy A (jeśli nie ma takiego elementu, to ranga A = 0)

Jest ujęty w ramkę przez nieletniego z frontu pierwszego rzędu przez nieletniego z drugiego rzędu. (Jeśli ta drugorzędna nie jest równa 0, to ranga jest >=2) Jeśli ranga pierwszej drugorzędnej wynosi 0, wtedy wibracje drugorzędne pierwszego rzędu są obramowane przez inne drugorzędne drugorzędne. (Jeżeli wszystkie dzieci drugorzędne drugiego rzędu = 0, to ranga macierzy = 1).

Ranga macierzy. Metody wyznaczania rangi macierzy.

Rząd macierzy A jest rzędem th podstawowego minora.

Metody obliczania:

1) Sposób obramowania małoletnich: - Wybierz niezerowy element macierzy A (jeżeli takiego elementu nie ma, to ranga = 0) - Obramuj drugorzędne pierwszego rzędu do przodu z drugorzędnym drugiego rzędu. gif" width="40" >r+1 Pan +1=0.

2) Sprowadzenie macierzy do stopniowego wyglądu: ta metoda opiera się na elementarnych przekształceniach. Przy elementarnych przekształceniach zmienia się ranga macierzy.

Następujące transformacje nazywane są transformacjami elementarnymi:

Permutacja dwóch rzędów (stovptsiv).

Mnożenie wszystkich elementów liczby deyago stovptsya (rzędów) nie wynosi =0.

Uzupełnij o wszystkie elementy następnego wiersza (wiersza) elementy następnego wiersza (wiersza), pomnożone przez tę samą liczbę.

Twierdzenie o podstawowym moll. Ta wystarczająca inteligencja jest konieczna dla równości zera znaczącego.

Podstawa molowa macierzy A jest molem największego rzędu pre-th dominującego widoku 0.

Podstawowe twierdzenie:

Podstawowe rzędy (stovpts) są liniowo niezależne. Czy wiersz (stovpets) macierzy A jest kombinacją liniową podstawowych wierszy (stovptsiv).

Rzędy i kolumny, na których siatkówce stoją podstawowe drobne, nazywane są w zasadzie podstawowymi rzędami i kolumnami.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Umysł konieczny i wystarczający, aby był równy zero znaczącego:

W tym celu lider n-tego rzędu = 0, jest konieczny i wystarczający, aby rzędy (stowpts) były liniowo odłogiem.

Układy linii liniowych, ich klasyfikacja i forma zapisu. Zasada Cramera.

Rzućmy okiem na system 3-liniowych linii z trio nevidomimi:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:l14image048" width="64" height="38 id=">!}!}

zwany arbitrem systemu.

Dodajemy jeszcze trzech liderów w nadchodzącej randze: zastępujemy kolejno D w kolejności 1, 2 i 3 filarów filaru wolnych członków

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:l14image052" width="93" height="22 id=">!}!}

Przynoszący. Później przyjrzyjmy się systemowi 3 równych z trio nevіdomimi. Mnożymy pierwsze wyrównanie układu przez dodanie algebry A11 elementu a11, drugiego wyrównania przez A21 i trzeciego przez A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:l14image056" width="247" height="31 id=">!}!}

Przyjrzyjmy się skórze szekli i prawej części tsy równej. Zgodnie z twierdzeniem o ustawieniu arbitra dla elementów pierwszej kolumny

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:l14image060" width="324" height="42 id=">!}!}

Podobnie można wykazać, że ja .

Nareshti nie chce o tym pamiętać

Otzhe, zazdrość otrimuemo:.

Ojciec, .

Podobnie pokazano równoważność i gwiazdy oraz zestalenie twierdzenia.

Układy linii liniowych. Sumowanie liniowego rivnyanu Umova. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Rozwiązania układu równań algebraicznych nazywamy taką mnogością n liczb C1,C2,C3……Cn, jak uzasadniając y, układ znajduje się na przestrzeni x1,x2,x3…..xn

System wyrównań liniowych algebry nazywany jest systemem łączonym, tak jakby nie mógł mieć jednego rozwiązania.

Rozszczepiony system nazywa się śpiewem, ponieważ jest tylko jedno rozwiązanie i jest niewidoczny, ponieważ istnieje rozwiązanie bezosobowe.

Umyj sumowanie układów liniowych prostych algebraicznych.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

przed godziną1 przed południem…..przed południem xn bn

TWIERDZENIE: Aby układ m wyrównań liniowych z n był niezmiennie koherentny, jest konieczne i wystarczające, aby rząd rozszerzonej macierzy był zwiększony do rzędu macierzy A.

Uwaga: Twierdzenie to podaje więcej niż kryterium podstawy rozwiązania, ale nie wskazuje metody poszukiwania rozwiązania.

10 posiłków.

Układy linii liniowych. Metoda podstawowego drugorzędnego jest dzikim sposobem badania wszystkich rozwiązań liniowych układów osiowania.

A=a21 a22…..a2n

Podstawowa metoda drugorzędna:

Niech układ będzie spilna, że ​​RgA=RgA'=r. Podaj podstawowy minor z napisów w lewym górnym rogu matrycy A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Jeśli ranga macierzy głównej i analizowanej wynosi r=n, to w tym przypadku dj=bj w systemie ma tylko jedno rozwiązanie.

Jednolite układy linii liniowych.

Układ równości liniowych algebry nazywamy jednorodnym, ponieważ wszystkie jego wyrazy wolne są równe zeru.

AX=0 – układ jednorodny.

AX \u003d B to system niejednorodny.

Jednorodne systemy dla każdej sypialni.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Twierdzenie 1.

Układy jednorodne mogą mieć rozwiązania niejednorodne, jeśli ranga macierzy układu jest mniejsza niż liczba układów niejednorodnych.

Twierdzenie 2.

Jednorodny układ n-liniowych równości z n-niepełnymi rozwiązaniami maє zero, jeśli znak macierzy A jest równy zero. (detA=0)

Moc systemów rozvyazkіv odnorodnyh.

Czy będzie to połączenie liniowe rozwiązania układu jednorodnego i rozwiązania układu.

a1C1 + a2C2; α1 i α2 są liczbami rzeczywistymi.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, tj. k. (A C1) = 0; (KP2) = 0

W heterogenicznym systemie nie ma miejsca na władzę.

Podstawowy system rozwiązań.

Twierdzenie 3.

Ponieważ rząd systemu macierzowego jest równy n-niezależnym dorivnyur, system ten może mieć n-r liniowo niezależnych rozwiązań.

Niech podstawowy minor w lewym górnym rogu. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Układ n-r liniowo niezależnych rozwiązań jednorodnego układu równości liniowych o n niezależnych rzędach r nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań.

Twierdzenie 4.

Czy rozwiązanie układu linii trasowania liniowego jest kombinacją liniową rozwiązania układu podstawowego.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Yakscho r

12 posiłków.

Zagalne rozvyazannya heterogeniczny system.

Sen (zag. niejednolity.) \u003d Coo + Mid (prywatny)

AX = B (układ heterogeniczny); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, więc (ACoo) = 0

Sen = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Metoda Gausa.

Metoda ostatnich winifikacji nieznanego (zmiany) - u tych, którzy za pomocą elementarnych przekształceń sprowadzają system równy do systemu równego o schodkowym spojrzeniu, z którego począwszy od reszty zmian, znać zmiany.

Niech a ≠ 0 (jeśli tak nie jest, to przez permutację równych odgadują który).

1) w tym zmiana x1 z drugiej, trzeciej... n-tej rangi, pomnożenie pierwszej rangi przez drugą liczbę i dodanie wyników do drugiej, trzeciej... n-tej rangi, to bierzemy:

Mamy system równie silny.

2) wyłącz zmianę x2

3) wyłącz zmianę x3 itp.

Kontynuacja procesu późniejszego wyłączania zamienników x4; x5 ... xr-1 jest brany pod uwagę (r-1).

Liczba zer pozostałych n-r w równych oznacza, jak wygląda jej lewa część: 0x1 +0x2+..+0xn

Jeżeli jedna z liczb vr+1, vr+2… nie chce być równa zero, to równość jest superrówna i układ (1) nie jest spójny. W tej kolejności, dla spójnego systemu be-like, vr+1 … vm jest równe zeru.

Pozostałe n-r równa się w systemie (1; r-1) є z identycznością i nie można ich szanować.

Istnieją dwie możliwości:

a) liczba równych w systemie (1; r-1) jest równa liczbie niewiadomych, więc r = n (w tym przypadku system wygląda podstępnie).

b) r

Przejście z układu (1) do układu równego (1; r-1) nazywamy przejściem bezpośrednim do metody Gaussa.

O zmianie zmiany z systemu (1; r-1) – punkt zwrotny do metody Gaussa.

Transformacja Gausów odbywa się ręcznie, budując je nie za pomocą równych sobie, ale z rozszerzoną macierzą ich współczynników.

13 posiłków.

Podobne macierze.

Spójrzmy tylko na macierze kwadratowe rzędu n/

Macierz A nazywana jest podobną macierzą (A~B), ponieważ istnieje taka nieosobliwa macierz S, że A=S-1BS.

Moc takich macierzy.

1) Macierz A jest do siebie podobna. (A~A)

Podobnie jak S=E, również EAE=E-1AE=A

2) Jeśli A ~ B, to B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Jeśli A~B i godzina B~C, to A~C

Zakładając, że A=S1-1BS1 i B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) Desygnatory podobnych macierzy są równe.

Przyjmuje się, że A ~ B, wymagane jest sprowadzenie detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (wkrótce) = detB.

5) Zmieniają się rangi podobnych macierzy.

Vlasnі vektori i vlasnі wartości matryc.

Liczbę λ nazywamy daną wartością macierzy A, ponieważ jest to niezerowy wektor X (kolumna macierzy) taki, że AX = λ X, wektor X nazywamy danym wektorem macierzy A, a kombinacja wszystkie wartości nazywane są widmem macierzy A.

Moc potężnych wektorów.

1) Podczas mnożenia wektora mocy liczba jest odejmowana od wektora mocy od tych samych wartości mocy.

AX = λ X; 0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Wektory mokre o parach różnych wartościach mokrych są liniowo niezależne λ1, λ2,.. λk.

Niech system będzie złożony z jednego wektora, niech będzie indukcyjny:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnóż przez A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Pomnóż przez λn+1 i zobacz

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Wymagany schob С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Charakterystycznie równe.

A-λE nazywamy macierzą charakterystyczną dla macierzy A.

Aby niezerowy wektor X był wektorem swobodnym macierzy A, konieczne jest dopasowanie wartości swobodnej, tak aby niezerowy wektor X był rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowo-algebraicznych (A - λE)X = 0

Nietrywialnym rozwiązaniem układu może być, jeśli det (A - XE) = 0 - jest charakterystycznie równe.

Jędrność!

Charakterystyki takich macierzy są różne.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Charakterystyczny bogaty członek.

det(A – λЕ) - funkcja parametru λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Ten wielomian nazywany jest wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Ostatni:

1) Jak macierze A~B, to suma ich elementów przekątnych jest zwiększana.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Istnieje wiele potężnych wartości podobnych macierzy.

Yakscho wyrównanie charakterystyczne matryce zbіgayutsya, potem smród neobov'yazkovo podіbnі.

Dla macierzy A

Dla macierzy B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Aby macierz A była diagonalizowana do rzędu n, konieczne jest zastosowanie liniowo niezależnych wektorów falowych macierzy A.

Konsekwencja.

Chociaż wszystkie wartości macierzy A są różne, jest ona przekątna.

Algorytm znajomości wektorów mocy i wartości mocy.

1) składany charakterystycznie równy

2) znamy rіvnyan

3) dodajemy system wyrównywania przypisania twojego wektora.

λi (A-λi E)X = 0

4) znamy system podstawowych rozwiązań

x1,x2..xn-r, de r - rząd macierzy charakterystycznej.

r = Rg(A - λi E)

5) wektor mocy, wartości mocy λi są rejestrowane na widoku:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) sprawdź, czy matrycę można zredukować do wyglądu diagonalnego.

7) znamy Ag

Ag=S-1AS S=

15 posiłków.

Podstawą linii prostej, kwadratu, przestrzeni.

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Moduł wektora jest równy zero, nawet jeśli wektor jest równy zero.

4.Orth wektor.

Orth tego wektora nazywa się wektorem, który jednak kieruje tym wektorem i może mieć moduł, który jest najczęstszą jednostką.

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Przetnij między dwoma wektorami.

Mniejszą część obszaru otaczają dwa węzły, które pochodzą z tego samego punktu i są prostowane tymi samymi wektorami.

Przechowywanie wektorów. Mnożenie wektora przez liczbę.

1) Dodanie dwóch wektorów

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Mnożenie wektora przez skalar.

Nowy wektor, który można nazwać podwektorem tego skalara, to:

a) = dodanie modułu mnożenia wektora przez wartość bezwzględną skalara.

b) bezpośrednio jednocześnie z pomnożonym wektorem, tak jakby skalar był dodatni, i odwrotnie, jakby skalar był ujemny.

λ a(wektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Potęga operacji liniowych na wektorach.

1. Prawo komunikatywności.

2. Prawo asocjacji.

3. Dodanie zera.

a(wektor)+ō= a(wektor)

4. Przechowywanie z pościelą.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Prawo dystrybucyjności.

Wektor Viraz przez moduł Yogo i ort.

Maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów nazywana jest podstawą.

Podstawą linii jest dowolny wektor.

Podstawą na płaszczyźnie są dwa wektory niekalendarzowe.

Podstawą przestrzeni jest układ trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych.

Współczynnik rozmieszczenia wektora przez rzeczywistą bazę nazywamy składowymi lub współrzędnymi wektora w danej bazie.

Vikonati ze względu na składanie i mnożenie przez skalar, a następnie w rezultacie należy wykonać kilka takich diy:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> nazywamy odłogiem liniowym, ponieważ istnieje nietrywialna kombinacja liniowa, co jest dobre?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> są nazywane niezależnymi od linii, ponieważ nie ma nietrywialnych kombinacji linii.

Dominacja odłogu liniowego i wektorów niezależnych:

1) układ wektorów zastępujących wektor zerowy jest odłożony liniowo.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> będzie liniowo odłogiem, konieczne jest, aby wektor był kombinacją liniową innych wektorów.

3) jako część wektora w układzie a1(vector), a2(vector) ... ak(vector) jest liniowy-depozyt, to wszystkie wektory są liniowe-depozyt.

4) jako wszystkie wektory.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Operacje liniowe na współrzędnych.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Siła kreacji skalarnej:

1. Przemienność

3. (a;b)=0, parzyste i tylko raz, jeśli wektory są ortogonalne lub jeśli pochodzą z wektorów, to są one mniej więcej równe 0.

4. Dystrybucja (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Viraz skalarna kreacja a i b przez їх współrzędne

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Kiedy myje się vykonannі (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> i wywoływany jest trzeci wektor, który jest zadowolony z nadchodzącego równa się:

3. - prawa

Siła kreatywności wektorowej:

4. wektor witvir ort współrzędnych

Podstawa ortonormalna.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Często do określenia bazy ortonormalnej używane są 3 symbole

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Yakscho jest więc bazą ortonormalną

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- wyrównanie linii prostej oś równoległa OH

2) - wyrównanie linii prostej równoległej do osi OS

2. Wzajemna ekspansja 2 linii prostych.

Twierdzenie 1

A) Todi jest konieczne, aby wystarczająco dużo uwagi, jeśli smród jest zabarwiony na pierwszy rzut oka:

B) To jest konieczne i wystarczające dla umysłu tego, co jest bezpośrednio równoległe do umysłu:

B) Cokolwiek jest konieczne wystarczająco psychiczne ten, który jest bezpośrednio zły w jednym umyśle:

3. Przejdź od punktu do linii prostej.

Twierdzenie. Przejdź od punktu do linii prostej za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Przetnij między dwiema prostymi liniami. Umyj prostopadłość.

Niech 2 bezpośrednie przypisania do kartezjańskiego układu współrzędnych z dużymi poziomami.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, to proste są prostopadłe.

24 posiłki.

Teren w pobliżu przestrzeni. Współdziałanie wektorowe i płaszczyznowe Umova. Vіdstan wskazuje na samolot. Równoległość Umova i prostopadłość dwóch płaszczyzn.

1. Współwspólnotowość Umova wektora i płaszczyzny.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:Bez'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:Bez'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Kut miż 2 mieszkania. Umyj prostopadłość.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Yakshcho, wtedy samoloty są prostopadłe.

25 posiłków.

Linia prosta w przestrzeni. Inaczej zobacz wyrównanie linii prostych w otwartej przestrzeni.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Wektor bezpośredniego wyrównania w przestrzeni.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Równość kanoniczna proste.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!JĘZYK:(!JĘZYK:Bez'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Z szacunkiem, elementy macierzy nie mogą być więcej niż liczbą. Daj nam znać, że opisujesz książki, jak stanąć na swojej policji książkowej. Niech policja pilnuje porządku, a wszystkie książki staną na miejscach śpiewania. Tabela, jako właściwy opis Twojej biblioteki (przez policję i kolejne książki o policji), będzie również macierzą. Ale taka macierz nie będzie liczbowa. Drugi przykład. Zamiast liczb pełnią różne funkcje, zjadane między sobą przez rodzaj odłogu. Stół Otrimana jest również nazywany macierzą. Innymi słowy, Matrix jest niejako prostokątnym stołem, złożonym podobny elementy. Tu i dalej mówimy o macierzach, składanych z liczb.

Wymień okrągłe ramiona do zapisu matryc, umieszczając ramiona kwadratowe lub proste pionowe linie.

(2.1*)

Spotkanie 2. Jak Virazi(1) m = n, potem porozmawiaj o macierz kwadratowa, ale yakscho , potem około prostokątny.

Odłogowana wartość m i n dzieli się na specjalne typy macierzy:

Najważniejsza cecha kwadrat macierze є її vyznachnik lub wyznacznik, Co powstaje z elementów matrycy i jest wskazane

Jest oczywiste, że DE = 1; .

Spotkanie 3. Yakscho , to macierz A nazywa nie dziewica lub niespecjalnie.

Spotkanie 4. Yakscho detA = 0, to macierz A nazywa roślinożerny lub szczególnie.

Spotkanie 5. Dwie macierze A і B nazywa równy ona pisze A=B jakby smród mógł być taki sam, różnice i їх żywotne elementy są równe,.

Na przykład macierze i równania, ponieważ smród jest bliższy światu, a element skóry jednej matrycy jest bliższy podobnemu elementowi innej matrycy. A osi macierzy i nie można nazwać równą, chociaż wyznaczniki obu macierzy są równe, a macierze są takie same, ale nie wszystkie elementy, które stoją w tych samych punktach równości. Matryce są różne, więc możliwy jest inny świat. Pierwsza macierz to 2x3, a druga 3x2. Chociaż liczba pierwiastków jest taka sama - 6 a same pierwiastki są takie same 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale smród stoi w różnych miejscach w pobliżu matrycy skóry. A oś matrycy to postęp, zgіdno z vznachennyam 5.

Spotkanie 6. Jak naprawić szprota matrycy A i taka jest liczba jego rzędów, te same elementy, które stoją na siatkówce oznaczeń kolumn i rzędów, aby utworzyć macierz kwadratową n- th porządek, poprzednik tego nazywa drobny k- kolejność macierzy A.

krupon. Napisz trzy nieletnie w innej kolejności macierzy

Wizyta, umówione spotkanie. Matryca rozmіru m'n, de m-liczba wierszy, n-liczba kolumn, wywoływana jest tabela liczb, ułożona w tej samej kolejności. Liczby Qi nazywane są elementami macierzowymi. Obszar elementu skóry jest jednoznacznie identyfikowany przez numer rzędu i szpatułkę, na której znajdują się żyły. Elementom macierzy przypisywany jest a ij , gdzie i to numer wiersza, a j to numer wiersza.

Podstawowe podziały nad macierzami.

Matrycę można złożyć w jednym rzędzie iw jednej kolumnie. Pamiętaj, że matrycę można złożyć z jednego elementu.

Wizyta, umówione spotkanie. Jeżeli liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy (m=n), to macierz nazywa się kwadrat.

Wizyta, umówione spotkanie. Yakscho = , wtedy macierz nazywa się symetryczny.

krupon.- macierz symetryczna

Wizyta, umówione spotkanie. Nazywa się macierz kwadratową przekątna matryca.

Wizyta, umówione spotkanie. Matryca diagonalna, która ma mniej niż jedną na przekątnej głowy:

= mi, nazywa pojedyncza macierz.

Wizyta, umówione spotkanie. Matryca, która ma mniej niż zero elementów pod przekątną głowy, nazywa się górna matryca trykotowa. Jeśli macierz nad przekątną głowy ma mniej niż zero elementów, nazywa się to dolna matryca trykotowa.

Wizyta, umówione spotkanie. Dwie macierze nazywają się równy jak smród jednego wędrowania i spokoju vykonuєtsya:

· Dodatkowe informacje macierze budowane są do kolejnych operacji na ich elementach. Najwyższym autorytetem tych operacji są ci, którzy śmierdzą zarezerwowane tylko dla matryc tego samego rozmiaru. W tej kolejności można wyznaczyć operację składania tej matrycy wizualnej:

Wizyta, umówione spotkanie. torba (detaliczna) macierz є macierz, której elementy stanowią sumę (detal) elementów macierzy wyjściowych.

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Operacja liczba mnoga (podіlu) macierz, niezależnie od tego, czy jest rozszerzona o określoną liczbę, jest sprowadzana do wielokrotności (podzielenia) elementu skóry macierzy przez liczbę całkowitą.

a (A + B) \u003d aA ± aB

А(a±b) = aА ± bА

krupon. Dana macierz A = ; B = poznaj 2A + B.

2A = , 2A + B = .

· Wizyta, umówione spotkanie: Tvorom Matryca nazywana jest macierzą, której elementy można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

Z indukowanego oznaczenia widać, że operacja mnożenia macierzy jest przypisana tylko do macierzy, liczba kolumn pierwszego jest równa liczbie rzędów drugiego.

krupon.

· Wizyta, umówione spotkanie. Macierz B nazywa się transponowany macierz A i przejście z A do B transpozycja Na przykład elementy wiersza skóry macierzy A są zapisywane w tej samej kolejności w kolumnach macierzy B.

A =; B = AT =;

Innymi słowy, = .

macierz odwrócona.

Wizyta, umówione spotkanie. Są to macierze kwadratowe X i A tego samego rzędu, które cieszą umysł:

de E jest pojedynczą macierzą tego samego rzędu co macierz A, wtedy macierz X nazywa się odwracalny do macierzy A i przypisuje się A-1.

Macierz skin square z osią nierówną zero może mieć macierz odwróconą i więcej niż jeden.

macierz odwrócona

Możesz zostać poproszony o taki schemat:

Cóż, wtedy matryca się nazywa nie dziewica i w inny sposób - wirogen.

Macierz odwrócona może być indukowana tylko dla macierzy innych niż pierwotne.

Potężne macierze.

1) (A-1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (T)-1 = (T-1) T .

Ranga macierzy nazywa znalezienie porządku w postaci zer w minorach macierzy.

Dla macierzy rzędu m´n, minor, rząd r nazywa się podstawa yakscho vin nie jest równe zeru, ale wszystkie niepełnoletnie są w porządku r+1 i równy zero, w przeciwnym razie trzeba to udowodnić. r zbіgaєtsya z mniejszą liczbą m lub n.

Kolumny i wiersze macierzy, na których opiera się podstawa pomniejsza, są również nazywane podstawowy.

Macierz może mieć niewielką liczbę różnych podstawowych elementów drugorzędnych, które mogą mieć tę samą kolejność.

Ważniejszymi autorytetami elementarnych przekształceń macierzy są ci, którzy nie zmieniają rangi macierzy.

Wizyta, umówione spotkanie. Macierze, otrimani po elementarnym przekształceniu, nazywają się równowartość.

Następnie wskaż co równy macierze i równowartość macierze - zrozum zupełnie inaczej.

Twierdzenie. Największa liczba liniowo niezależne wiersze w macierzy są równe liczbie liniowo niezależnych wierszy.

Dlatego transformacja elementarna Jeśli nie zmienisz rangi macierzy, możesz po prostu uprościć proces przypisywania rangi macierzy.

krupon. Znajdź rangę macierzy.