Porządkowanie bezosobowych liczb naturalnych. Pojęcie liczby naturalnej i zera. Wyrażanie „równie”, „mniej”, „większy” na bezosobowych liczbach naturalnych Zrozumienie odżywiania na potrzeby analizy matematycznej
Alternatywą dla ciągu naturalnego N jest bezosobowa liczba naturalna, która nie zmienia liczby naturalnej a, a więc N = (x | x N i x a).
Na przykład N ce bezosobowe liczby naturalne, więc nie zmieniaj 7, tak. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Znacząco dwie najważniejsze moce w serii naturalnej:
1) Be-yaky vіdrіzok N samotność zemsty. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka naturalna seria.
2) Jeśli liczba x znika z przeciwnika N і x a, to liczba x + 1 pojawia się po nich i znika w N .
Bezlich A nazywa się kіtsevim, jakby był równy temu samemu odpowiednikowi naturalnej serii N. Na przykład bez twarzy A szczyty trikutnika bez twarzy smród jest równy N = (1,2,3), to znaczy. A~B~N.
Ponieważ liczba A jest niepusta i równa N, to liczbę naturalną a nazywamy liczbą elementów mnożnika A i zapisujemy n(A) = a. Na przykład, jeśli A jest wielokrotnością wierzchołków trykotu, to n(A) = 3.
Gdyby nie był pusty, kіtsev bezlіch jest równy jednemu i więcej niż jednemu vіdrіzk naturalnej serii, tobto. skin endian mnoga I można ją umieścić w jednoznacznie równej liczbie a, czyli bezosobowe A jest wzajemnie jednoznaczne w stosunku do N .
Ustalenie wzajemnej i jedności szlacheckiej to etyka nieznośnych nieznośnego multi-livo i w naturalnym rzędzie do jadalnego pługu rakhunka A. Zkilka Za kultami tej samej liczby. W jednej klasie wszystkie jednoelementowe wielokrotności zostaną zredukowane, w innej dwuelementowe itd. Pierwsza liczba może być postrzegana jako ostateczna władza klasy książąt o równej sile. W tej kolejności, z teoretyczno-wielokrotności punktu widzenia, liczba naturalna jest potęgą główną klasy mnożników końcowych.
Liczba 0 może być również teoretyczna - powinna być ustawiona na pusty mnożnik: n() = 0.
Również liczbę naturalną jako cechę wielkości można zobaczyć z dwóch pozycji:
1) jako liczba elementów w zestawie A, wygrana za rahunka;
2) jak potężna jest moc klasy kіtsevyh równie silnych rzesz.
Ustalenie powiązań między końcowymi mnożnikami a liczbami naturalnymi pozwala nam podać teoretycznie mnożnikowe zmętnienie „mniej”.
Jeśli a = n(A), b = n(B), to liczba a jest mniejsza od liczby b, nawet jeśli mnożnik A jest równy podmnożnikowi mocy mnożnika. A ~ B, de B, B, B (ryc. 1). Abo, jeśli w naturalnej serii N є zdobądźmy dużo mocy vіdrіzka N, tobto. N N .
Liczby а і b równe, smród yakscho są równe równym wielokrotnościom: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Na przykład 2 = 2, ponieważ n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Dominacja terminu „mniej” dla liczb naturalnych jest również podobna do zmętnienia teoretycznego mnożnikowego: jest z nim związana przechodnia i antysymetria tego terminu, która jest przechodnia i antysymetryczna terminu „staje się mnożnikiem”.
Wykazano, że wieloteoretyczna interpretacja „mniej” dla liczb naturalnych, czyli 2
Weźmy mnożnik A, aby pomścić 2 elementy, i mnożnik B, aby pomścić 5 elementów, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Na przykład A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Z mnożnika B widać podwielokrotność, równy mnożnik A: na przykład B = (c, d) і A ~ B.
Uczciwość nad N
Tsyu nerіvnіst możesz spojrzeć na małe 2. Chodź 2 to liczba fałd, a 5 to liczba kwadratów. Jeśli umieścisz kółka na kwadratach, można śmiało powiedzieć, że część kwadratów pozostaje niedokończona.
Otzhe, liczba fałd jest mniejsza niż liczba kwadratów, tobto. 2
Teoretyczne mnożnikowe poczucie nierówności 0
Wyrównanie liczb w kolbowym kursie matematyki rozwija się na różne sposoby - opiera się na wszystkich podejściach, które przyjrzeliśmy się przed interpretacją wyrażenia „mniej”.
Twierdzenia o „największej” i „najmniejszej” liczbie
Twierdzenie 4 (o „najmniejszej” liczbie). Gdyby nie było puste, otoczone dołem bezosobowymi liczbami, zemścij się na najmniejszą liczbę. (Tu, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, słowo „wielokrotność” zastępuje się słowem „wielokrotność” E
Przynoszący. Niech O A Z i A jest otoczone od dołu, tobto. 36? Zva? b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Chodź teraz LA.
Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Zróbmy bezosobowe M ze wszystkich liczb w formie a - b, de probіgaє bezosobowe A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)
Jest oczywiste, że bezosobowe M nie jest puste, odłamki A 74 0
Jak jest wyższy, MC N . Później, zgodnie z twierdzeniem ra l n o m h i s l e (54, rozdz. III), mnożnik M ma najmniejszą liczbę naturalną m. A i odłamki przynajmniej w M, a następnie Wah? Na< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Twierdzenie 5 (o „największej” liczbie całkowitej). Bądź czymś nie pustym, otocz bestię bezosobowych liczb, aby pomścić największą liczbę.
Przynoszący. Niech O 74 AC Z i A jest otoczone przez bestię o liczbie b, tak. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b dla wszystkich liczb a? ALE.
Później mnożnik M (z g \u003d -a, a? A) nie jest pusty i jest otoczony liczbą (-6) poniżej. Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, mnożnik M ma najmniejszą liczbę, czyli. as? MTK? M (z< с).
Tse oznacza co Wah? Jak< -а), откуда Уа? А(-с >a)
Z. Różne formy metody indukcji matematycznej liczb całkowitych. Twierdzenie o podіl іz nadwyżki
Twierdzenie 1 (pierwsza postać metody indukcji matematycznej). Niech P(s) - pojedynczy predykat, przypisania do wielokrotności Z liczb całkowitych., 4 . W ten sam sposób Dla dowolnej LICZBY a Z twierdzenie P(o) і Dla wystarczającej liczby całkowitej K > a C P(K) przesunęło się P(K -4- 1), to zdanie P(r) jest poprawne Dla wszystkich liczb z > a (więc na mnożniku Z є prawdziwa formuła obliczania predykatów to:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
dla dowolnej stałej liczby całkowitej a
Przynoszący. Niech twierdzenia P (c) będą prawdziwe we wszystkim, idąc za rozumem twierdzenia, tobto.
1) P(a) - prawda;
2) KK SC do + również jest prawdziwe.
Rodzaj nie do przyjęcia. Załóżmy, że istnieje taka liczba
b> a, sho RF) - witam. Jest oczywiste, że a, oskіlki R (a) jest prawdziwe. Zadowalająco bezosobowe M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskіlki L? M i M są otoczone poniżej liczbą a. Później, po twierdzeniu o nai m e n n m e l e l o m h i sl (Twierdzenie 4, 2), mnożnik M ma najmniejszą liczbę c. Zvіdsi z\u003e a, sho, moja czerń, ciągnąc s - 1\u003e a.
Załóżmy, że Р(с-1) jest prawdziwe. Jeśli c-1 = a, to P (c-1) jest prawdziwe z mocy umysłu.
Niech c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, ciągnąc za sobą posiadanie s 1? M, które nie może być ale, liczba s jest najmniejsza w M.
W tej kolejności s - 1> a i P (c - 1) - prawda.
Pomyśl o zdaniu P((c-1) + 1) ze zdania P((c-1) + 1) - to prawda. R(s) - prawda. Tse superechit wybór liczby c, oskіlki? Twierdzenie zostało zakończone.
Z całym szacunkiem, twierdzenie to jest bliską konsekwencją wniosku 1 do aksjomatów Peano.
Twierdzenie 2 (inna forma metody indukcji matematycznej liczb całkowitych). Niech P (s) - deaky jeden-m_sny predshsatp, vizna-day) na wielokrotności liczb całkowitych Z. Jednak twierdzenie P (c) jest ważne dla dziesiętnej liczby całkowitej K i dla odpowiedniej liczby całkowitej s Aby poprawić twierdzenie P (c) dla wszystkich liczb całkowitych spełniających nieprawidłowości K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Zanim.
p align="justify"> Dowód tego twierdzenia jest bogaty, więc powtarzam dowód podobnego twierdzenia dla liczb naturalnych (Twierdzenie 1, 55, Rozdz.III).
Twierdzenie 3 (trzecia postać metody indukcji matematycznej). Niech P(s) - jeden pojedynczy orzeczenie, przypisania na mnożnik Z cіlіs CHІСі. Jeśli P(c) jest prawdziwe Dla wszystkich liczb mnożnika dziesiętnego M zerowych liczb naturalnych i Dla wystarczającej liczby całkowitej a C jest prawdziwe P(a) wtedy P(a - 1) jest prawdziwe, to zdanie P(c) jest prawdziwe prawda Dla wszystkich liczb.
Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia o podwójnym dla liczb naturalnych.
Proponuemo yogo jak prawo cykawy.
Warto zauważyć, że w praktyce trzecia forma indukcji matematycznej jest coraz wyraźniejsza, coraz niższa. Wyjaśniono, że dla її zastosuvannya konieczne jest poznanie nieskończonego podmnożnika M mnożnika liczb naturalnych, będzie to jasne w twierdzeniu. Znajomość takiego mnożnika może wydawać się trudnym zadaniom.
Ale przewaga trzeciej formy nad pozostałymi polega na tym, że dodatkowe zdanie P(c) sprowadza się do wszystkich liczb całkowitych.
Poniżej celujemy w kolbę trzeciej formy zastosuvanya ”. Ale, plecami do siebie, damo to jeszcze jedno pełne szacunku zrozumienie.
Wizyta, umówione spotkanie. Wartość bezwzględna liczby całkowitej a to liczba przypisana zgodnie z regułą
0, jeśli O a, jeśli a > O
Yakscho a< 0.
Otzhe, więc jak 0? N.
Czytelnikowi sugeruje się, że ma on prawo do wniesienia takiej mocy do absolutnej wielkości:
Twierdzenie (o przelewie). Dla dowolnej liczby liczb a i b, de b 0, iñnuє i wcześniej, istnieje tylko jedna para liczb q U m taka, że a r: bq + T L D.
Przynoszący.
1. Podstawa zakładu (q, t).
Niech a, b? Z i 0. Pokazano, że istnieje para liczb q i
Dowód jest przeprowadzany przez indukcję w trzeciej formie dla ilości a o stałej liczbie b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Jest oczywiste, że M lt jest wyrażeniem f: N M, które określa reguła f (n) = nlbl dla dowolnego n? N jest bijekcją. Tse oznacza, że M N, to. M-niewyraźnie.
Powiedzmy, że od pewnej liczby a? M (і L-fixed) twierdzenie o podstawie pary liczb q t jest prawdziwe.
Prawda, niech to będzie (- M. Todi a pf! dla prawdziwego p?
Jeśli b > 0, to a \u003d n + O. Biorąc pod uwagę teraz q \u003d n i m O, bierzemy niezbędną parę liczb q i m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo teraz dodatek indukcji. Załóżmy, że z wystarczającej liczby całkowitej s (i dostatecznie ustalonego b 0) twierdzenie twierdzenia jest zatem prawdziwe. jest parą liczb (q, m) taką, że
Można wykazać, że jest to bardziej poprawne i dla liczby (ç 1). Z równa się s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (jeden)
Ewentualnie spada.
1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. W tym momencie, po wprowadzeniu - t - 1, bierzemy z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) oczywiście podoba się umysł
0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1
Bez praktyki możliwe jest, że 0< < Д.
W tej kolejności twardość jest prawdziwa i dla zakładu liczb
Pierwsza część twierdzenia została zakończona.
P. Pojedynczy zakład q і itd.
Załóżmy, że dla liczb a i b 0 można ustalić dwie pary liczb (q, m) i (q1, tak aby zadowolić umysły (*)
Zobaczmy, że smród ucieka. Och przestań
ja a bq1 L O< Д.
Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1
Załóżmy teraz, że q ql, potem q - q1 0, gwiazdy lq - q1l 1. - q11 D. (3)
Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
U r a f n i n nia:
1. Uzupełnij dowody Twierdzeń 2 i 3 z 5 1.
2. Uzupełnij wniosek 2 z Twierdzenia 3, 1.
3. Aby dodać, jaka jest suma NS Z, co jest dodawane z podanych liczb w formularzu< п + 1, 1 >(n? N), zamknięty sposób składania tego mnożenia.
4. Niech N oznacza te same bezosobowe rzeczy, do których masz prawo 3. Przynieś to, co widzisz ј: M zadowala umysły:
1) ј - bієktsіya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) oraz j(nm) = j(n) j(m) dla dowolnych liczb n, m , i (H, +,).
5. Uzupełnij dowód Twierdzenia 1 z 2.
6. Aby udowodnić, że dla dowolnej liczby liczb a, b obowiązują następujące implikacje:
7. Powiedz przyjacielowi, że trzecia część twierdzenia z Z.
8. Udowodnić, że liczba Z liczb całkowitych nie pomści liczb zerowych.
Literatura
1. Bourbaki N. Teoria wielokrotności. M.: Świt, 1965.
2. Winogradów I. M. Podstawy teorii liczb. M.: Nauka, 1972. Z. Demidow I. T. Podaj arytmetykę. M: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Podstawy teorii grup.
M: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A.I. Wprowadzenie do algebry. M: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya Algebra i teoria liczb. M: Wiszcza. szkoła, 1979.
7. Kurosh AG Przebieg najbardziej zaawansowanej algebry. M: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Podstawowe pojęcia matematyki szkolnej. M: Prosvitnitstvo, 1987.
9. Lyapina ES. to w. Prosto z teorii grup. M: Nauka, 1967.
10. Maltsev A. I. Systemy algebraiczne. M: Nauka, 1970.
11. MenDelson Ege. Wprowadzenie do logiki matematycznej. M: Nauka, 1971.
12. Nieczajew W.I. Systemy numeryczne. M: Prosvitnitstvo, 1975.
13. Nowikow P.S. Elementy logiki matematycznej. M..Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Wykłady z algebry i geometrii.: U 2 rok.
CHL. M: Vlados, 1999.
15. Sochasni zasadzka kurs matematyki w szkole Avt. źródło: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.
16. L. A. Kushnir, Elementy algebry. M: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Bezosobowość, logika, teorie aksjomatyczne. M.; Osvita, 1968.
18. Stolyar A. A. Logiczne wprowadzenie do matematyki. Mińsk: VISCHII. szkoła, 1971.
19. V.P. Filippov, Algebra i teoria liczb. Wołgograd: VGPІ, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hiel I. Podaj teorię wielokrotności. M: Świt, 1966.
21. Systemy zamawiania Fuchs L. Chastkovo. M.: Świt, 1965.
Początkowo widziany
Wołodymyr Konstantinowicz Kartaszow
KURS WPROWADZAJĄCY Z MATEMATYKI
Główna pomoc
Przygotowanie redakcyjne O. I. Molokanova Oryginalny układ zaprojektowany przez O. P. Boshchenko
„PR 020048 z dnia 20.12.96”
Podpisano między sobą 28.08.99. Format 60x84/16. Biuro Druku. Bum. typ. M 2. Uel. pich. l. 8.2. Uch.-widok. l. 8.3. Nakład 500 egzemplarzy. Zaklęcie 2
Widawnictwo „Żmina”
Liczba naturalna to liczba całkowita, jakby wygrywała za rahunka przedmiotów. Vono viniklo z praktycznymi potrzebami ludzi. Rozwój zrozumienia liczby naturalnej można podzielić na kilka etapów: 1. ludzie starzy, aby przezwyciężyć nieistotność, ustalili podstawowe elementy: na przykład wkładki, palce u rąk. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli, ale jedna godzina do wglądu. 2. Bezlich - pośrednicy, na przykład kamienie, żółwie, patyki. Pojęcie kіlkіst jest bardziej złożone. І numery związane z określonymi tematami. 3. Wygląd numeru (oznaczenie numeru przez widoczne cyfry). Narodziny matematyki. Arytmetyka jako nauka powstała na ziemiach starożytnego pochodzenia - Chinach, Indiach, Egipcie, odległy rozwój w Grecji. Termin „liczba naturalna” został po raz pierwszy użyty w rzymskich naukach Boecjusza. Rakhunok jest niezbędny do wyznaczenia dużej ilości pieniędzy. Rozіb'єmo wszystkie mnożniki kіlkіsnі w klasie równoważności, na przykład w jednej klasie równoważności. zobaczyć pozbawione twarzy szczyty trikutników, boki placu, pozbawione twarzy litery słowa światło. Jeśli kontynuujesz ten proces, to przez te, które mają równoważność - wszystko jest równie silne. Kіntsevі pomnożył vyyavlyatsya na zajęcia. To. teoretycznie - mnogość liczby naturalnej kіlkіsnogo - є zagalna vlastіvіst klasa kіncevih równie silna liczba mnoga. Klasa skóry ma swój własny numer. Zero jest ustawione na pusty mnożnik.
Liczby A i B nazywane są równymi, ponieważ są równe pod względem liczby.
Taka metoda stagnuje w klasach kolb.
Technika pracy nad zadaniami, które ujawniają specyficzne znaczenia arytmetycznego majsterkowania.
Poważne miejsce zajmują zadania arytmetyczne na zajęciach z matematyki. Mayzhe pół godziny przed godziną lekcji matematyki ma być wprowadzony do wykonania zadania. Cała ta wielka duchowa i pouczająca rolka, jaką smród gra pod godziną edukacji dzieci. Zadania arytmetyczne Virishennya pomagają ujawnić podstawowe zrozumienie działań arytmetycznych, skonkretyzować je i odnieść do sytuacji życiowej śpiewania. Zavdannya do przejęcia matematyka rozumiem, Vіdnosin, prawa. Kiedy zadanie zostanie wykonane, dzieci nabierają szacunku, ostrożności, bardziej logiczne myślenie, Mova, kmіtlivist. Celem jest rozwój takich procesów aktywności poznawczej, jak analiza, synteza, wyrównanie i udoskonalenie.
W procesie rozwiązywania zadań arytmetycznych uczący się uczą się planować i kontrolować swoje działania, otwierają się na akceptację, samokontrolę (ponowna weryfikacja zadań, następnie szacowanie zadań) kołyszą się w swojej arogancji, woli, rozwijają zainteresowanie do sedna rozwiązywania zadań. Świetna jest rola virishennya zavdan w przygotowaniu dzieci do życia, na przyszłość aktywność zawodowa. Rozwiązując zadania fabularne, uczniowie zaczynają przechodzić między przedmiotami i wartościami do „języka matematyki”. W zadaniach arytmetycznych zwycięża materiał liczbowy, który inspiruje sukces kraju w różnych galeriach państwa, kultury i nauki ludowej. Tse spryaє poszerzają horyzonty uczniów, wzbogacone o nową wiedzę na temat aktualnego działania. Uminnyam vyrishuvati arytmetyka zavdannya uchnі opanovuyut z wielkimi trudnościami.
Powody przebaczających zadań dzieci wołają o nas w obliczu osobliwości ich umysłów. W procesie navchannya rozvyazannyu zadania powinny być wyjątkowo rozciągnięte na szczycie zadania pierwszego umysłu, należy wziąć pod uwagę podejście do rozvyazannya zadań, zorientować się w prostej sytuacji życiowej, opisach zadania , rozważenie zadania, rozważenie danej wizji. W trakcie pracy nad dowolnym problemem arytmetycznym możesz zobaczyć następujące etapy:
1. Praca nad menedżerem zadań.
2. Rozwiązywanie problemów z Poshuk.
3. Rozwiązywanie problemów.
4. Formułowanie opinii.
5. Powtórzenie rozwiązywania problemów.
6. Z dala od robota nad najwyższymi zadaniami.
Mam na myśli szacunek kolejnego do przyczepienia robotów nad zmistem fabryki, tobto. nad zrozumieniem sytuacji w zadaniach, założeniem odłogów między danim a shukanim. Kolejność prac nad podbojem zadania;
a) analiza ignoranckich słów i virazivów;
b) czytanie tekstu podanego przez nauczyciela i nauka;
c) zapis pilnowania zadania;
d) powtórzenie zadania żywieniowego.
Vyraznym czyta tekst kierownika kolejnego badania. Należy pamiętać, że dzieci szczególnie potrzebują lektury promocyjnej, nie potrafią samodzielnie poprawnie odczytać zadania, nie potrafią ułożyć logicznych głosów itp.
Kolejność konkretyzacji zadania dla przedmiotów dodatkowych, szablonów i maluszków w praktyce robotów w szkołach o szerokim zakresie została utworzona w taki sposób, aby zapisać zadanie zadania:
1. Forma notatki jest skrócona, z tekstem zadania, zapisz dane liczbowe i tylko kilka słów i słów, niezbędnych do zrozumienia logicznego sensu zadania.
2. Krótka strukturalna forma pisania, jeśli logiczna część zadania jest napisana z nowego wiersza.
3. Schematyczna forma zapisu.
4. Graficzna forma pisma.
Ponieważ funkcja kontroli u dzieci jest osłabiona, można oświetlić ponowne badanie rozvyazannya zavdannya i jego znaczenie. W młodszych klasach konieczne jest:
1. Werbalnie formułuj zadania, wędrując po obiektach.
2. Ponownie rozważ rzeczywistość sytuacji.
3. Zastanów się nad adekwatnością umysłu i pokarmu rośliny. Ponowne sprawdzenie rozwiązania zadań na inne sposoby її vyshennya jest możliwe z 4 klasy.
W celu kontroli poprawności wykonania zadania konieczne jest dobieranie i działanie na elementy zaprogramowanego treningu. Ten element jest jeszcze bardziej banalny, że jeszcze raz wezmę pod uwagę poprawność chi i ułaskawienie własnych czynów. Na ułaskawienie decyzji win, istnieją nowe sposoby wiśni.
Nauczyciel w szkole najprawdopodobniej będzie śpiewał, że rozvyazannya avdannya została oświecona naukami. Lepiej dla niego, aby wykonał pracę naprawy wykonania tego zadania. Praca o stałych zadaniach może być wykonywana na różne sposoby.
1. Przygotuj jedzenie uniwersyteckie, aby uratować dzień.
2. Proponuetsya rozpovіsti wszystkie rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.
3. Włóż jedzenie do okremih diy chi. Dla uczniów ważna jest liczba wariancji analogicznych zadań, ważne jest zrozumienie sytuacji przedmiotowej między nimi. Tsіy spotkał się z daleka jako robot nad zadaniami zadania, ponieważ widać, jak ważne jest tworzenie początków rozwiązywania zadań tego typu. Aby lepiej zrozumieć przedmiot, zadanie, ułom między danymi a shukani, doskonałość zadania z codziennych danych liczbowych, zapisanych nie liczbami, ale słowami. Bądź ostrożny, aby pokazać, że najlepsi nauczyciele są powszechnie zwycięzcami jako jedna z metod nauczania zadań polegających na organizowaniu zadania samodzielnego organizowania zadań.
Uporządkowanie zadania pomaga dzieciom lepiej zrozumieć życiowe i praktyczne znaczenie zadania, lepiej zrozumieć jego strukturę i nauczyć się rozróżniać zadania różnych gatunków, rozumieć decyzję. Porządkowanie zadań odbywa się równolegle z decyzjami przygotowanych zadań. Dosvid ta ostrożność pokaże, że łatwiej jest wykonać złożone zadanie uchnіv chastkovo. Przesunięty, aby stymulować tworzenie nauk szefów różnych wątków. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet ułaskawienie, inіtsiativi. To bardziej zawstydzające, jeśli do przechowywania dyrektora szkoły dostaną materiał, który „dostają” na godzinę wycieczek, z dovіdnikіv, gazet, czasopism itp. Uczniowie klas starszych muszą nauczyć się pisać i pisać dokumenty biznesowe związane z tymi i innymi rosrahunkami. Na przykład napisz list zatwierdzający, wypełnij formularz zamówienia groszowego w porządku. Wszystkie wyższe nominacje mogą być szeroko stosowane przy celebrowaniu wszelkiego rodzaju zadań.
Proste zadanie arytmetyczne nazywa się zadaniem, tak jakby jedno zadanie arytmetyczne miało zostać rozwiązane. Wybacz zavdannya, aby odgrywała nadrzędną rolę godziny nauczania matematyki. Najprostsze zadania pozwalają poszerzyć podstawową wiedzę i skonkretyzować funkcje arytmetyczne, sformułować te i inne pojęcia matematyczne. Wybacz kolejność składania magazynu, później, kształtując vminnya virishuvati їx, nauczyciel przygotowuje uczniów do otwarcia kolejności składania.
Na podstawie gruntowania skórnego naucz się poznawać nowe rodzaje najprostszych zadań. Wprowadzenie ich krok po kroku tłumaczy się różnymi etapami problemu rozumienia matematycznego, procesem kultywowania cichych procesów arytmetycznych, ujawnia się konkretne rozwiązanie takiego smrodu. Nie mniej szacunku dla nauczyciela przy wyborze przywódcy jakiego rodzaju zasługi i konkretyzacji tego zaszczytu. Nareshti, czytelnik, który skonkretyzował zmіst zavdannya, rozkryvayuchi nieświeżość między danim i shukanimi dla dodatkowych form krótkiego nagrania.
Zakończenie pracy najlepszych czytelników pokazuje, że przygotowanie do wykonania zadań arytmetycznych należy rozpocząć od doskonalenia rozwijania praktycznej wiedzy o uczeniu się, ukierunkowania ich na niezbędną skuteczność. Po nauce należy prowadzić w takiej sytuacji życiowej, w której można się doskonalić, powtarzać zadania arytmetyczne, pracować nad zmianą. Co więcej, takie sytuacje nie są następną rzeczą do stworzenia kawałek po kawałku, jest mniej prawdopodobne, że odwrócą się i obiorą szacunek uczniów. Nauczyciel organizuje pilnowanie zmieniającej się liczby elementów w wielości przedmiotów zamiast naczyń. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst do znajomstvo їх іz śpiewać termіnologiєyu, jaka zstrіnetsya z ustnym sformułowaniem zadania: stało się, wszystko stracono, wzięli to, wzrosło, zmieniło się itp. Konieczne jest zorganizowanie tak zabawnej i praktycznej aktywności uczniów, aby będąc nieprzerwanymi uczestnikami tej działalności, a także posterigayuchi, sami uczniowie mogli pracować nad visnovką w kremowej kropli skóry; wzrosła liczba elementów mnożnika lub zmieniła się liczba elementów mnożnika, a niektóre operacje, które werbalny viraz pokazują wzrost lub zmianę. Ten etap przygotowania pracy zaczyna się od nagromadzenia pracy na liczbach pierwszej dziesiątki i znajomości działań arytmetycznych, rozwiązań i składania wniosków operacji z podmiotowej liczby mnogiej.
Przede wszystkim na początku nauki zadań arytmetycznych nauczyciel jest winny wyraźnego ujawnienia się, podobnie jak wiedza, konieczne jest przekazanie tych umiejętności uczniom. Aby rozwiązać zadanie, naucz się obowiązków arytmetyki arytmetycznej, wysłuchaj, a następnie przeczytaj zadanie, powtórz zadanie z jedzenia, na krótką notatkę, z pamięci, zobacz składniki magazynu w zadaniu, sprawdź zadanie i odwróć poprawność awarii. Na I klasie uczniowie zaczynają sprawdzać zadanie nagany i nadmiaru. Qi zadania wpisuje się przed początkiem godziny początku liczb pierwszej dziesiątki. Na początku rozvyazannya zadaniem była zmiana sumy tych samych dodankivów, na dole na równej części chi poszło na srebro, po czym nastąpiło spiralne zrozumienie codziennych procesów arytmetycznych mnożenia i dół. Przed otwarciem kolejności różnicy między naukami konieczne jest zrozumienie kolejności przedmiotów w jednej całości, dwóch obiektywnych całości, wielkości, liczb, ustawiając ich s-podobieństwo w tej samej linii równoważność i nerwowość. Połączmy to razem, zadania arytmetyczne nazywamy zadaniami, tak jak dwie osoby nie potrafią jeszcze procesy arytmetyczne. Psychologiczne badania rozwoju cech zadań hurtowni arytmetycznej pokazują, że dzieci nie rozpoznają prostych zadań w kontekście nowego zadania magazynowego. Przygotowanie pracy do wykonania zadań magazynowych ma być realizowane przez system uprawnień, dopuszczeń i zarządzeń placówek oświatowych do czasu wykonania zadań magazynowych. Przed zakończeniem pracy kierownika magazynu możesz przejść w to samo miejsce, jeśli zmienisz zdanie, że naukowcy opanowali układanie prostych zadań za pomocą sztuczek, jeśli pójdziesz do kierownika magazynu, możesz sam umieścić razem proste zadanie śpiewającego umysłu. Kiedy rozv'yazannі magazynowanie zavdan uchnі povinnі lub danih umieścić jedzenie lub jedzenie, aby uzyskać dane. Również w okresie przygotowawczym, tobto. rozciągając ostatni z pierwszego losu, który na kolbie innego losu, ucząc się, zgodnie z naukami zadania:
1. Umyj jedzenie, zanim będzie gotowe.
2. Z jedzenia zsumuj zadanie, zbierając dzienne dane liczbowe.
Składanie zadań prostych i magazynowych, nauka krok po kroku uczenia się z zadań magazynowych jest prosta, nawet jeśli wykonałeś je jeszcze poprawniej, masz prawo składać zadania składane. Tse akceptują najkrótsze opanowanie widoków prostych zadań, usprawniają je, aby odróżnić je od zadań magazynowych i pomagają uczącym się analizować zadania. Kiedy vyrіshennі magazyn zavdan uchnіv sanki nauchit zagalnyh priyom_v praca z zavdannyam; vminnyu do analizy zadań zmist, widząc w podanych danych, shukane (aby ustalić, co jest konieczne do rozpoznania w zadaniu), w zależności od tego, które dane nie są używane do przeglądu na czele żywienia w zadaniu. W praktyce praca szkoły jest wierna sobie poprzez użycie pracy z kartami, zadań, w których ustalana jest kolejność pracy nad zadaniami. Po zrealizowaniu zamówienia zapisuje się decyzję wraz z odżywianiem lub rejestruje i wyjaśnia działanie skóry. Zmienność określonego sposobu układania zadań danego typu zapewnia wariantowe układanie zadań z różnymi typami, fabułami, rozwiązaniami przygotowanymi i składanymi przez samych uczniów, zadania danego typu z rodzajami problemów, które były wcześniej rozwiązywane, i tak dalej.
1. Wyjaśnij metodę liczenia dla vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 należy liczyć ze stężeniem stu.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4d+2d=5d 4d=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8d-3d=4d 5d=45
Usі priyomi i liczenie usnі i vykonuyutsya na podstawie szeregów składania i vіdnіmannya.
Jak się okazuje, niezliczone liczby naturalne można ułożyć w celu uzyskania dodatkowego wyrażenia „mniej”. Należy jednak podkreślić zasady teorii aksjomatycznej, aby cel nie tylko został określony, ale także poprawiony na podstawie już wyznaczonych w tej teorii do zrozumienia. Możesz zrobić więcej, dokonując płatności „mniej” poprzez dodawanie.
Wizyta, umówione spotkanie. Liczba a jest mniejsza niż liczba b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Aby umysły tsikh powiedziały to samo, numer scho b jeszcze a ona pisze b > a.
Twierdzenie 12. Dla dowolnych liczb naturalnych aі b może być jedną i tylko jedną z trzech wykonalności: a = b, a > b, a < b.
Dowód tego twierdzenia jest pominięty. Z tego twierdzenia jest oczywiste, co to jest?
a¹b, te chi a< b, lub a > b Tobto. vіdnoshennia "mniej" może być mocą pov'yazanostі.
Twierdzenie 13. Yakscho a< b і b< с. następnie a< с.
Przynoszący. Twierdzenie to wyraża moc przechodniości, sugerując „mniej”.
więc jaka a< b і b< с. wtedy, na potrzeby nazywania „mniej”, istnieją takie liczby naturalne zanim i co b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / і na podstawie asocjatywności składania przyjmuje się: h \u003d + (do +/). Oskilki do + ja - jest liczbą naturalną, to a< с.
Twierdzenie 14. Yakscho a< b, to nieprawda, że b< а. Przynoszący. Twierdzenie Tsya wyraża potęgę antysymetria vodnosini „mniej”.
Zacznijmy od początku, co dla dowolnej liczby naturalnej a nie wi-!>! ■ ) їїrezygnacja a< a. Nie akceptujmy tego, tobto. Co a< а Mam mgłę. Todi, na potrzeby niebieskiego „mniej”, jest taka liczba naturalna Z, Co a+ h= a, i nie zastępować Twierdzenia 6.
Teraz powiedzmy, że yakscho a< b, to nieprawda, że b < a. Nie akceptujmy tego, tobto. co yakscho a< b , następnie b< а wygrać. Lista równości w Twierdzeniu 12 a< а, co jest niemożliwe.
Tak więc, jak mówimy, „mniej” jest antysymetryczne i przechodnie i może mieć moc w stosunku do porządku liniowego, ale bezosobowość liczb naturalnych uporządkowane liniowo bez twarzy.
Z określenia „mniej”, że jogę mocy można wprowadzić do domu mocy mnożnika liczb naturalnych.
Twierdzenie 15. Ze wszystkich liczb naturalnych jedna jest najmniejszą liczbą, tobto. I< а для любого натурального числа a1.
Przynoszący. Daj spokój a - być liczbą naturalną. Wtedy są dwie możliwości: a = 1 ta ¹ 1. Jakscho a = 1, to jest to liczba naturalna b, za co należy a: a \u003d b " \u003d b + ja = 1+ b, tobto, na potrzeby vodnosini „mniej”, 1< a. Otzhe, czy to naturalnie droższe o 1 chi więcej niż 1. Abo, samotność to najmniejsza liczba naturalna.
Wprowadzenie „mniej” wiąże się ze składaniem i mnożeniem liczb siłą monotonii.
Twierdzenie 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c że a c \u003d b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c i ac > bc.
Przynoszący. 1) Sprawiedliwość tej stanowczości wynika z jedności składania i mnożenia.
2) Jakscho a< b,
wtedy jest to liczba naturalna k, Co a
+ k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ do)= (a + c) + k. Kapitał b+ c = (a + c) + do oznacza, że a + c< b
+ Z.
Więc jest rzeczą oczywistą, że a< b =>as< bс.
3) Bądź przyniesiony w ten sam sposób.
Twierdzenie 17(Odwrotne twierdzenie 16).
1) a+ c = b + c lub ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с lub as< pneÞ a< Ь:
3) a + c > b+ bez ac > bcÞ a > b.
Przynoszący. Przynosimy np. co as< bс następny a< b Nie akceptujmy tego, tobto. twierdzenie nie jest zwycięskie. Todi nie może buti, scho a = b. do tego, że nawet wtedy zwyciężyłaby zazdrość ac = bc(Twierdzenie 16); nie mogę być ja a> b, tak czy inaczej ac > bc(Twierdzenie!6). Dlatego jeśli chodzi o twierdzenie 12, a< b.
Z Twierdzeń 16 i 17 można wprowadzić zasadę dodawania wyraz po wyrazie i mnożenia nieprawidłowości. Pomijamy to.
Twierdzenie 18. Dla dowolnych liczb naturalnych aі b; jest również liczbą naturalną n, która pa.
Przynoszący. Dla kogo a znajdź taki numer P, Co n > za. Dla kogo wystarczy wziąć n = a + 1. Mnożenie terminu przez termin nierówności P> aі b> 1, dopuszczalne pb > a.
Patrząc na autorytety, widać niebieskie "mniej" do wyróżnienia ważnych osobliwości mnożnika liczb naturalnych, które indukujemy bez dowodu.
1. Ні dla jednej liczby naturalnej a nie ma takiej liczby naturalnej P, Co a< п < а +
1. Nazywa się moc Tsya u władzy
dyskrecja bezosobowe liczby naturalne i liczby aі + 1 nazwa sądowy.
2.
Be-yak nie pusty podmnożnik liczb naturalnych do zemsty
najmniejsza liczba.
3. Jakscho M- Pusta liczba bezosobowych liczb naturalnych
i to ten sam numer b, co dla wszystkich liczb x s M nie wygra
zrównoważenie x< b, potem w bez twarzy Mє większość.
Ilustruje moc 2 i 3 na tyłku. Daj spokój M- anonimowe numery dwucyfrowe. więc jaka Mє podmnożnik liczb naturalnych dla wszystkich liczb< 100, то в множестве Mє największa liczba to 99. M, - Numer 10.
W ten sposób wprowadzenie „mniej” pozwoliło przyjrzeć się (i wprowadzić szereg vipadkiv) na znaczenie potęgi mnożnika liczb naturalnych. Zokrema, jest ułożona liniowo, dyskretna, co najmniej 1.
Dzięki ustawieniu „mniej” („więcej”) dla liczb naturalnych, młodzi uczniowie są zaznajomieni z samym początkiem nauki. I często, w porządku interpretacji teorii mnożników jogi, definicja podana przez nas w ramach teorii aksjomatycznej jest implicite słuszna. Na przykład uczniowie mogą wyjaśnić, że 9 > 7, odłamki 9 - nie 7 + 2. Często i bezwarunkowo zwycięska moc monotonii składanie i mnożenie. Na przykład dzieci wyjaśniają, że „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
prawo
1, Dlaczego nie można uporządkować bezosobowych liczb naturalnych za pomocą niebieskiego „za linią”?
Sformułuj wizję a > b i udowodnić, że jest zarówno przechodnia, jak i antysymetryczna.
3. Powiedz mi, co to jest a, b, c- liczby naturalne, to:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ h< b + su> a< Ь.
4. Niektóre twierdzenia o monotoniczności dodawania i mnożenia mogą:
vykoristovuvaty młodzi uczniowie, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, nie obliczaj vykonuyuchi":
a) 27+8...27+18;
b) 27-8...27-18.
5. Podobnie jak moc mnożnika liczb naturalnych, młodzi uczniowie pośrednio wygrywają, wygrywają to samo zadanie:
A) Zapisz liczby, takie jak większa, mniejsza 65, mniejsza, mniejsza 75.
B) Nazwij następny numer zgodnie z datą przed liczbą 300 (800 609 999).
C) Podaj najmniejszą i największą trzycyfrową liczbę.
Widnimannia
Na motywacja aksjomatyczna Wiadomo, że teoria liczb naturalnych brzmi jak operacja, która wraca do akcji.
Wizyta, umówione spotkanie. Biorąc pod uwagę liczby naturalne a i b, wywoływana jest operacja, która cieszy umysł: a - b = s tylko i tylko kilka, jeśli b + c = a.
Numer a - b nazwał różnicę liczb a i b, numer a- zmiana i numer b- widziany.
Twierdzenie 19. Odmiana liczb naturalnych a- bіsnuє todі і mniej niż todі, jeśli b< а.
Przynoszący. Niech sprzedaż detaliczna a- bсnuє. Todi, dla wyznaczonego sklepu, jest taka naturalna liczba Z, Co b + c = a, a tse oznacza, że b< а.
Yakshcho b< а, wtedy, w celu nazwania „mniej”, jest to również liczba naturalna, która b + c = a. Todi, dla wyznaczonej sprzedaży detalicznej, c \u003d a - b, Tobto. sprzedaż a - bсnuє.
Twierdzenie 20. Jaka jest różnica między liczbami naturalnymi aі b Jestem pewien, że jest tylko jeden.
Przynoszący. Dopuszczalne jest, że są dwa różne wartości różnica liczb aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, co więcej c₁ ¹ c₂ . Todi dla wyznaczonych sprzedawców, może: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Zobacz, co następuje b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : i na podstawie Twierdzenia 17 można dopasować c₁ = c₂. Doszli do punktu przeoczenia, więc jest źle, ale twierdzenie jest poprawne.
Vyhodyachi z vznachennya raznitsі naturalne liczby, które myślą її іsnuvannya, możesz przestrzegać zasady liczb vіdomі vіdnіmannya z sumi i sumi z liczb.
Twierdzenie 21. Daj spokój a. bі h- liczby naturalne.
ale yakscho a > c, następnie (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Yakscho b > c. następnie (a + b) - h - a + (b - c).
c) Jakscho a > c i b > c. wtedy możesz vikoristovuvati czy-yaku z tych formuł.
Przynoszący. Czasem a) różnica w liczbach aі cіsnuє, oskelki a > c. Znacząco її przez x: a - c \u003d x. gwiazdy a = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d r. następnie za ustaloną cenę, a+ b = h+ w. Reprezentujemy w qiu zrównoważenie zamіst a wiraz h + x:(h + x) + b = c + y. Przyspieszamy moc skojarzeń, aby dodać: c + (x + b) = c+ w. Zmieńmy ten spokój na podstawie potęgi monotonii, dodając, weźmy:
x + b = tak.. Zastąpione w duńskim odpowiedniku x przez viraz a-c, miejmy mamo (a - G) + b = r. W tej randze zostaliśmy przywiezieni, scho yakscho a > c, to (a + b) - c = (a - c) + b
Podobnie dowód przeprowadza się w przypadku b).
Wynik twierdzenia można sformułować jako prostą do zapamiętania regułę: aby z sumy wyciągnąć liczbę, wystarczy wziąć liczbę z jednej sumy magazynowej i wynik dodawania kolejnych dodatków.
Twierdzenie 22. Daj spokój a, b ja c - liczby naturalne. Yakscho a > b+ c, to a- (b + c) = (a - b) - c lub a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Dowód tej teorii jest podobny do dowodu Twierdzenia 21.
Twierdzenie 22 można sformułować jako regułę wizualną, aby uwzględnić sumę liczb z liczby, wystarczy rozważyć sumę liczb kolejno, jedna po drugiej.
Na kaczan matematycy vyznachennya vіdnіmannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, na widok, dźwięk, nie dają, ale są stale koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya dіy nad liczbami jednocyfrowymi. Naucz się być winnym dobre zrozumienie tego, co masz do powiedzenia na temat fałd i wygraj wzajemne powiązania podczas obliczania. Zobacz na przykład od liczby 40 liczba 16, naucz się oznaczać w ten sposób: „Spójrz na liczbę 16 z 40 - co oznacza znajomość takiej liczby, składając ją z liczbą 16, wpisz 40; ta liczba będzie wynosić 24, więc 24 + 16 = 40. Średnia. 40-16 = 24".
Zasady interpretacji liczb z sumy i sumy z liczb w kolbowym kursie matematyki є podstawy teoretyczne Oblicz inne dochody. Na przykład wartość virasy (40 + 16) - 10 można poznać nie tylko licząc sumę w ramionach, ale potem licząc od niej liczbę 10, ale w takiej kolejności;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
prawo
1. Chi jest prawidłowe, jaka jest naturalna ilość skóry, aby wyjść z nieprzerwanie postępującej samotności?
2. Dlaczego struktura logiczna Twierdzenia 19 jest wyjątkowa? Czy potrafisz її zwycięsko sformułować słowa „konieczne, że wystarczające”?
3. Przynieś co:
ale yakscho b > c, następnie (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) yakscho a > b + c, następnie a - (b+ c) = (a – b) – str.
4. Chi może, nie licząc, powiedzmy, znaczenia takiego virazіv dorivnyuvatimut:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16 -14 ),
b) (50-14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50-14) + 16;
b) (50-16) + 14; e) (50-14)-16;
c) (50-16)-14; e) 50-16-14.
5. Yakі power vіdnіmannya є teoretyczne podstawy postępu rachunku priyomіv, scho vychayutsya na kursie matematyki w kolbie:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Opisz możliwe metody obliczania wartości za pomocą wzroku. a - b- h i zilustruj je na konkretnych tyłkach.
7. Powiedz mi co? b< а i być jakimkolwiek naturalnym spokojem virna (a - b) c \u003d ac - bc.
Wkaziwka. Dowód opiera się na aksjomie 4.
8. Oblicz wartość virazu, nie licząc liter. Okład Vidpovidi.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5 b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.
Podol
Zgodnie z aksjomatyczną teorią liczb naturalnych rozpodil brzmi jak operacja, przekształcona w mnożenie.
Wizyta, umówione spotkanie. Podział liczb naturalnych a i b to operacja, która zadowala umysł: a: b \u003d s todi i tylko todi, zanim jeśli b× h = a.
Numer a:b nazywa prywatny liczby aі b, numer a dilimim, liczba b- dilnik.
Jak się wydaje, nie jest konieczne rozróżnianie liczb naturalnych od bezosobowych liczb naturalnych i nie ma tak oczywistych oznak prywatnej bazy, jak to jest konieczne w handlu detalicznym. tilki konieczny umysł podstawa prywatnego.
Twierdzenie 23. Aby prywatnie stworzyć dwie liczby naturalne aі b niezbędny b< а.
Przynoszący. Zachowaj prywatne liczby naturalne aі b Wiem to. jest taką liczbą naturalną c, że bc = a. Oskіlki dla dowolnej liczby naturalnej 1 jest ważny nerіvnіst 1 £ Z, następnie pomnożenie obraźliwej części przez liczbę naturalną b, zajęty b£ pne. ale bc \u003d a, otzhe, b£ a.
Twierdzenie 24. Jak prywatne są liczby naturalne aі b nie, jest tylko jeden.
Dowód twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia o jedności różnicy liczb naturalnych.
Vyhodyachi z vyznachennya części liczb naturalnych, które mają na uwadze yogo іsnuvannya, możesz odwrócić zasady subіlu sumi (sprzedaż detaliczna, tworzenie) na numer.
Twierdzenie 25. Jakie są liczby? aі b dziel przez liczbę Z, wtedy ta kwota a + b udostępniać i bardziej prywatnie a+ b za liczbę Z, jedna suma prywatnych a na hі b na h, następnie. (a + b):c = a: c + b:Z.
Przynoszący. Numer Oskіlki a być podzielonym na Z, to jest to liczba naturalna x = a; h, sho a = cx. Podobny do istniejącej liczby naturalnej y = b:Z, Co
b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse znaczy co a + b podzielone przez c, ponadto jest bardziej prywatne, co jest odbierane przy rozkładaniu sumi a+ b do liczby c, która jest droższa x + tak, Tobto. topór + b: c.
Wynik twierdzenia można sformułować stosując zasadę dzielenia sumy przez liczbę: aby podzielić sumę przez liczbę, wystarczy podzielić sumę przez liczbę dodanych skórek i odjąć wyniki.
Twierdzenie 26. Jak liczby naturalne aі b dziel przez liczbę hі a > b następnie sprzedaż detaliczna a - b być podzielone przez c, ponadto jest prywatne, wygrywane, gdy różnica jest dzielona przez liczbę c, bardziej prywatne, wygrywane, gdy różnica jest dzielona a na hі b do c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Dowód tego twierdzenia przeprowadza się podobnie jak dowód poprzedniego twierdzenia.
Twierdzenie to można sformułować jako zasadę podziału różnicy liczby: dla Ponadto, aby podzielić różnicę przez liczbę, wystarczy podzielić przez liczbę całkowitą, która się zmienia i jest widoczna od pierwszej prywatnej wizyty przyjaciela.
Twierdzenie 27. Co to jest liczba naturalna a być podzielne przez liczbę naturalną c, to dla dowolnej liczby naturalnej b Tvir ab udostępnij na s. W przypadku jakiejkolwiek prywatności, co jest odbierane, gdy rozpowszechniasz kreatywność? ab do liczby z , jedna dobutka szeregowca a na Z, ja numer b: (a × b): c - (a: c) × b.
Przynoszący. więc jaka a być podzielonym na Z, wtedy istnieje liczba naturalna x, która a:c= x, gwiazdki a = cx. Pomnożywszy obraźliwe części zazdrości przez b, zajęty ab = (cx) b. Oskіlki liczby mnogiej w połączeniu asocjacyjnym (cx)b = c(xb). Zwіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Twierdzenie można sformułować jako zasadę podziału liczby na liczbę: podziel liczbę przez liczbę, podziel liczbę przez jeden z mnożników, odejmij wynik i pomnóż drugi mnożnik.
Dla znającego się na kolbach matematyka podil jest przypisany jako operacja zwrotu, dla dzikiego wyglądu nie wydaje dźwięku, ale są stale koristuyutsya, zaczynając od pierwszych lekcji znajomości podila. Naucz się obwiniać słuszny powód, że podczas obliczeń podał powody mnożenia i zwycięskich wzajemnych relacji. Na przykład podzielił 48 przez 16, uczniowie mówią tak: „Podzielenie 48 przez 16 oznacza poznanie takiej liczby, gdy pomnożymy ją przez 16, otrzymamy 48; ta liczba będzie wynosić 3, odłamki 16 × 3 = 48. Również 48: 16 = 3.
prawo
1. Przynieś co:
a) tylko ułamek liczb naturalnych b jeśli tak, to jest tylko jeden;
b) jak liczby b zasubskrybuj hі a > b następnie (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Co można potwierdzić, że wszystkie dane są prawidłowe:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850: 170 = 850: 10:17.
Jaka jest zasada pogarszania tych vipadkіv? Sformułuj jogę i przynieś ją.
3. Yakі power podіlu є teoretyczne podstawy
wikonana nadchodzące dni głoszony uczniom klasy kolb:
Jak możesz, nie uzależniając się od dna, powiedzieć, że znaczenie takich słów będzie takie samo:
a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;
Chi vіrnі іvnostі:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Opisz możliwe sposoby obliczania wartości wirusa
umysł:
a) (a+ pne; b) a:b: Z; w) ( a × b): s .
Sugerowane metody i ilustracje na konkretnych niedopałkach.
5. Poznaj sens wyrażenia w sposób racjonalny; własny
zawinąć:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Zaokrąglij kolejne kroki i dół na podwójnej liczbie:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Nie bij się pod kanapą, znajdź najbardziej racjonalne
w sposób prywatny; wybierz sposób na przygotowanie:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Wykład 34
1. Anonimowa liczba nieznanych numerów. Potęga wielu liczb tsilih nevid'emnyh.
2. Rozumienie naturalnego ciągu liczb i elementów mnożnika końcowego. Porządkowe i kіlkіsnі liczby naturalne.
Do suwerenności specjalizacji
1. Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad polem. stosować. W kosmosie najprostsza moc. Wektory liniowe i niezależne.
2. Podstawa i spokój Przestrzeń wektorowa. Macierz współrzędnych układu wektorów. Przejście od jednej bazy do drugiej. Izomorfizm przestrzeni wektorowej.
3. Domknięcie algebraiczne ciała liczb zespolonych.
4. Pierścień z liczb całkowitych. Porządkowanie liczb całkowitych. Twierdzenia o „największej” i „najmniejszej” liczbie.
5. Grupuj, zastosuj grupę. Najprostsze grupy mocy. Podgrupy. Homomorfizm i izomorfizm grup.
6. Główna siła fałszywych liczb. Wybacz liczby. Nieskończoność bezosobowych liczb pierwszych. Tą wyjątkowością jest kanoniczny układ numeru seryjnego.
7. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego (kryterium integralności systemu) rzeki liniowe).
8. Główne cechy dróg. Povna, która jest indukowana przez system v_drahuvan modulo. Kіltse kіltse v_drahuvan dla modułu. Twierdzenie Eulera i Fermata.
9. Dodatek teorii porіvnyan do vysnovki jest oznaką fałszu. Zvernennya zvichaynogo frakcja do dziesiątej i wyznaczenie ostatniego okresu Yogo.
10. Sukces jawnego pierwiastka wielomianu o efektywnych współczynnikach. Zdarzyło się na polu liczb rzeczywistych z bogatymi terminami.
11. Wyrównanie liniowe z jedną zmianą (kryterium rozvyaznosti, sposoby rozvyazannya).
12. Równe układy linii trasowania. Metoda późniejszego wykluczenia jest nieznana.
13. Kiltse. Zastosuj kil. Najprostsza moc kilotów. Pidkiltse. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścienia. Pole. Przykład nawadniania. Najprostsza moc. Minimalność ciała liczb wymiernych.
14. Liczby naturalne (podstawy aksjomatycznej teorii liczb naturalnych). Twierdzenia o „największej” i „najmniejszej” liczbie naturalnej.
15. Bogate segmenty nad boiskiem. Twierdzenie o nadwyżce podіl. Największy kolaboracyjny dilnik dwóch bogatych członków, potęga tego sposobu poznania.
16. Binarny blues. Propozycja równoważności. Klasy równoważności, mnożnik czynnikowy.
17. Indukcja matematyczna dla liczb naturalnych i całkowitych.
18. Dominacja liczb wzajemnie pierwszych. Najmniejsza znacząca wielokrotność liczb, potęga tego sposobu poznania.
19. Ciała liczb zespolonych, pola numeryczne. Wygląd geometryczny forma trygonometryczna Liczba zespolona.
20. Twierdzenie o nadwyżce dla liczb całkowitych. Największy zbiór liczb, potęga tego sposobu poznania.
21. Operatory liniowe w przestrzeni wektorowej. Jądro i obraz operatora liniowego. Algebra operatorów liniowych w przestrzeni wektorowej. Wartości mocy i wektory mocy operatora liniowego.
22. Ateńska transformacja mieszkania, ich panowanie jest drogą zavdannya. Grupa ateńskich przekształceń płaszczyzny i podgrup її.
23. Bagatokutniki. Plac Bagatokutnika. Twierdzenie o rozumu i jedności.
24. Równoważność i równość bagatokutników.
25. Geometria Łobaczewskiego. Nienadrzędność systemu aksjomatów geometrii Łobaczewskiego.
26. Pojęcie równoległości w geometrii Łobaczewskiego. Wzajemna ekspansja prostego obszaru Łobaczewskiego.
27. Formuły ruhіv. Klasyfikacja ruin terenu. Dodatki do zadań rozvyazannya.
28. Wzajemna ekspansja dwóch mieszkań, mieszkań prostych, dwóch mieszkań prostych w pobliżu przewyższenia (w prezentacji analitycznej).
29. Transformacja projekcyjna. Twierdzenie o rozumu i jedności. Formuły przekształceń rzutowych.
30. Skalarny, nie wektorowy utwórz zmіshane wektory, їх dodatki do rozwoju zadań.
31. System aksjomatów Weyla trywimetrycznej przestrzeni euklidesowej i nienadrzędności її zmistovna.
32. Ruhi obszaru i joga mocy. Grupa ruin płaskich. Twierdzenie o fundamencie i jedności ruchu.
33. Płaszczyzna rzutowa tego modelu її. Transformacja projekcyjna, moc. Grupa zmian konstrukcyjnych.
34. Reformacja podobieństwa do mieszkania, ich panowanie. Grupa przekształceń podobna do podgrup płaszczyzny i її.
35. Gładkie powierzchnie. Pierwszą kwadratową formą powierzchni jest zastosuvannya.
36. Równoległe rzutowanie tej jogi mocy. Obrazy płaskich i przestronnych postaci w rzucie równoległym.
37. Gładkie linie. Krzywizna krzywej przestrzennej jest taka sama.
38. Elips, hiperbola i parabola jako skończona parabola. Równość kanoniczna.
39. Siła kierownicza elipsy, hiperboli i paraboli. Wyrównanie biegunowe.
40. Pod wpływem niektórych punktów linii prostej moc tego obliczenia. Harmonijne podzielone kropki pary. Povniy chotirikutnik i joga władzy. Dodatek do zadań rozvyazannya na pobudova.
41. Twierdzenia Pascala i Brianchona. Polacy i bieguny.
Dobre jedzenie Analiza matematyczna
Entuzjazm...