Macierze pierścieniowe i wektorowe. Liniowa przestrzeń wektorowa: wyznaczenie, autorytet. Wektorowa przestrzeń liniowa

Wykład 6. Przestrzeń wektorowa.

Podstawowe żywienie.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

2. Podstawą jest ekspansja przestrzeni.

3. Orientacja w przestrzeni.

4. Rozmieszczenie wektora za bazą.

5. Współrzędne wektorowe.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

Anonimowość, na którą składają się elementy o dowolnym charakterze, w których wskazane są operacje liniowe: dodanie dwóch elementów, czyli pomnożenie elementu przez liczbę otwarte przestrzenie, I їх elementy - wektory th przestrzeń jest przypisana jako і, jaka w wielkości wektorowe w geometrii: . Wektory takich abstrakcyjnych przestrzeni z reguły nie można sobie wyobrazić za pomocą największych wektorów geometrycznych. Elementami przestrzeni abstrakcyjnych mogą być funkcje, układ liczb, macierze itp., aw przypadku okreme wektory zmienne. Dlatego zwyczajowo nazywa się otwarte przestrzenie wektorowe .

Przestrzeń wektorowa, na przykład, nieskończona liczba wskazanych wektorów nieargumentowych V1 , bez wektorów współpłaszczyznowych V2 , bezosobowy wektor o dużej wielkości (przestrzeń rzeczywista) V3 .

W przypadku tej konkretnej vipadki można dać odskocznię do przestrzeni wektorowej.

Spotkanie 1. Nazywa się wektor anonimowy Przestrzeń wektorowa, Jako kombinacja liniowa, niezależnie od tego, czy w mnożniku są jakieś wektory, jest to również wektor tego mnożnika. Same wektory nazywają się elementy Przestrzeń wektorowa.

Ma to większe znaczenie zarówno w perspektywie teoretycznej, jak i stosowanej, a także w bardziej abstrakcyjnym (abstrakcyjnym) rozumieniu przestrzeni wektorowej.

Spotkanie 2. Bezlich R elementy, w których dla dowolnych dwóch elementów przypisana jest suma, a dla dowolnego elementu wywoływana jest szerokość="68" wektor(lub liniowy) otwarta przestrzeń, jak elementy - wektory, jak operacja dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, aby zadowolić nadchodzące umysły ( aksjomaty) :

1) dodawanie jest przemienne, więc gif width = „184” height = „25”;

3) użyj takiego elementu (wektora zerowego), który dla czegokolwiek https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) dla dowolnej liczby wektorów taka liczba λ może być równa;

6) dla dowolnych wektorów i dowolnych liczb λ і µ uczciwość https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ sprawiedliwy ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif”.

Z aksjomatów, które oznaczają przestrzeń wektorową, wykrzykuj najprostszy dowód :

1. Przestrzeń wektorowa ma więcej niż jedno zero - element jest wektorem zerowym.

2. Przestrzeń wektorowa ma jeden wektor.

3. Aż do zrównoważenia vykonuetsya elementu skóry.

4. Dla dowolnej liczby dni λ i wektora zerowego.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> nazywa się wektor, który spełnia równość https://pandia.ru/ tekst/ 80 /142/obrazy/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno i bezosobowy wszystkich wektorów geometrycznych w przestrzeni liniowej (wektorowej), a więc dla elementów, których mnożnik jest przypisany do dodawania i mnożenia przez liczbę, co spełnia sformułowanie aksjomatów.

2. Podstawą jest ekspansja przestrzeni.

Іstotnimi koncepcje przestrzeni wektorowej є zrozumienie podstawy i rozmіrnіst.

Wizyta, umówione spotkanie. Zbiór liniowo niezależnych wektorów pobranych z rzędu singlowego podstawa co za przestrzeń. Wektor. Baza magazynowa dla powierzchni, zwana podstawa .

Podstawą wektorów bezosobowych, rozłożonych na linii prostej, można użyć jednego współliniowego wektora prostego .

Podstawa na samolocie Wymieńmy dwa wektory niewspółliniowe na tej płaszczyźnie, wzięte w tej samej kolejności.

Jeśli wektory bazowe są parami prostopadłe (prostokątne), wówczas nazywa się bazę prostokątny, a jeśli wektory q mogą być podwójne, równe jeden, to baza nazywa się ortonormalny .

Największa liczba wektory liniowo niezależne są nazywane w przestrzeni pokój ta przestrzeń, tj. rozszerzenie przestrzeni wzrasta wraz z liczbą podstawowych wektorów w tej przestrzeni.

Otzhe, oczywiście chwalony Dagi:

1. Przestrzeń jednego świata V1 jest linią prostą, a podstawą jest jeden współliniowy wektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Wielka przestrzeń z trywialną przestrzenią V3 , którego podstawą jest trzy nie współpłaszczyznowe wektor_v.

Wydaje mi się, że liczba wektorów bazowych na prostej, na płaszczyźnie, w rzeczywistej przestrzeni, zmienia się o tę, którą w geometrii nazywa się zwykle liczbą prostej, płaszczyzny, przestrzeni. To naturalne, że prowadzi to do bardziej rażącej kary.

Wizyta, umówione spotkanie. Przestrzeń wektorowa R nazywa n- spokojnie, jak w nowym świecie już nie n wektory liniowo niezależne i są przypisane R n. Numer n nazywa pokój przestrzeń.

Vіdpovіdno do rozmіrnostі otwartej przestrzeni podіlyayutsya kіntsevіі Nieograniczony. Otwartość zerowej przestrzeni poza spotkaniami uważana jest za równą zero.

Szacunek 1. W przestrzeni skóry możesz określić, ile zasad jest potrzebnych, ale wszystkie podstawy tej przestrzeni są sumowane z tej samej liczby wektorów.

Uwaga 2. Na n- do pokojowej przestrzeni wektorowej, podstawa jest nazywana, czy uporządkowany porządek jest n wektory liniowo niezależne.

3. Orientacja w przestrzeni.

Do aby ukierunkować przestrzeń, trzeba ustalić pewne podstawy i wyrazić ją pozytywnie .

Można pokazać, że bezosobowe podstawy przestrzeni dzielą się na dwie klasy, że są podzielone na dwie podwielokrotności, że się nie nakładają.

a) wszystkie zasady należące do jednej podwielokrotności (klasy) mogą: jednakże orientacja (podstawa tego samego menu);

b) dowolne dwie podstawy, które leżą życie p_dmnozhin (klasy), majut protilezhnu orientacja, ( różne podstawa).

Jeśli jedna z dwóch klas zasad jest dodatnia, a druga ujemna, to wydaje się, że przestrzeń zorientowany .

Często przy orientacji w przestrzeni nazywa się jedną podstawę rządzić, i інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nazwa reguła, Jednak gdy trzeci wektor jest strzeżony, najkrótszy obrót pierwszego wektora to strzałka antyroczna(ryc. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ryż. 1.8. Prawa podstawa (a) ta lewa podstawa (b)

Zadzwoń z pozytywną podstawą

Prawą (livy) podstawę można przypisać do przestrzeni, a dla dodatkowej reguły „prawej” („lewej”) śruby lub skręconej.

Przez analogię do cim wprowadzono pojęcie prawej i lewej strony trojaczki wektory niewspólne, które wynikają z uporządkowania (ryc. 1.8).

W ten sposób, w dzikim trendzie, dwie uporządkowane trójki wektorów nieplanowanych mogą mieć tę samą orientację (taką samą) w przestrzeni V3 jeśli smród ofensywy jest słuszny, lub jeśli jest obraźliwy, jest lewy, a przeciwna orientacja (inna), jeśli jeden z nich ma rację, a drugi jest lewy.

Podobny do dopasowania i przestrzeni V2 (Kwadraty).

4. Rozmieszczenie wektora za bazą.

Dla uproszczenia odbicie lustrzane można zobaczyć na przykładzie przestrzeni wektorowej trivimir R3 .

Chodź - dovіlny wektor przestrzeni tsgo.

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (przestrzeń liniowa), jedno z podstawowych pojęć algebry, które ułatwia zrozumienie całości (swobodnej) wektorów. W przestrzeni wektorowej wektory są brane pod uwagę, czy są obiektami, czy można je dodawać i mnożyć przez liczby; jeśli to konieczne, aby główne potęgi operacji algebraicznych były takie same jak dla wektorów w geometrii elementarnej. Pod dokładnie wyznaczoną liczbą zastępuje się je elementami ciała K. Przestrzeń wektorowa nad ciałem K nazywana jest bezosobową V z operacją dodawania elementów z V i operacją mnożenia elementów z V przez elementy z ciała K , co może doprowadzić do nadejścia władzy:

x + y \u003d y + x dla tego, czy x, y z V, aby V można było złożyć w grupę abelową;

λ(x + y) = λ χ + λy dla dowolnego λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх dla dowolnego λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) dla dowolnego λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x dla dowolnego x z V, tutaj 1 oznacza jedność pola K.

Kolby przestrzeni wektorowej є: mnożniki L 1 L 2 і L 3 wszystkich wektorów w elementarnej geometrii, najwyraźniej na linii prostej, płaszczyzny w przestrzeni z wybitnymi operacjami składania wektorów i mnożenia przez liczbę; przestrzeń współrzędnych K n , której elementy є wszystkie wiersze (wektory) są n z elementami z ciała K, a operacje są podane wzorami

bezosobowe F(M, K) wszystkich funkcji przypisanych do stałego mnożnika M i przyjmują wartości w polu To, z najważniejszymi operacjami na funkcjach:

Elementy przestrzeni wektorowej e 1 ..., e n nazywamy liniowo niezależnymi, ze względu na równość λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. W przeciwnym kierunku elementy e 1 , e 2 , ·· ·> e n nazywane są odłogiem liniowym. Jeżeli przestrzeń wektorowa V ma n + 1 elementów e 1 ,..., e n+1 liniowo niewyznaczalnych i n liniowo niezależnych elementów, to V nazywamy n-światową przestrzenią wektorową, a n jest wymiarem przestrzeni wektorowej V Tak jak przestrzeń wektorowa V dla dowolnych naturalnych n istniejących n liniowo niezależnych wektorów, tak V nazywamy nieskończoną przestrzenią wektorową. Na przykład przestrzeń wektorowa L 1 , L 2 , L 3 w K n w ten sam sposób 1-, 2-, 3- i n-mіrnі; jeśli M jest bezosobowe, to przestrzeń wektorowa F(M, K) nie jest ograniczona.

Przestrzeń wektorowa V i U nad polem K nazywamy izomorficzną, więc φ : V -> U jest wzajemnie jednoznaczne, tak że φ(x+y) = φ(x) + φ(y) dla x, y z V i φ (λx) = λ φ(x) dla dowolnego λ z Ki x z V. Izomorficzne przestrzenie wektorowe są algebraicznie nierozróżnialne. Klasyfikacja skończonych przestrzeni wektorowych aż do izomorfizmu wynika z ich różnorodności: czy istnieje n-wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem Do jest izomorficzna z przestrzenią współrzędnych Do n . Podziwiaj tę samą przestrzeń Hilberta, algebry liniowej.

Niech R - pole. Elementy a, b, ... н R nazwiemy skalary.

Spotkanie 1. klasa V obiekty (elementy) , , , ... o charakterze dostatecznym nazywamy przestrzeń wektorowa nad polem Р, a elementy klasy V nazywają się wektory chociaż V jest domknięte, ale operacja „+” jest operacją mnożenia przez skalary z P (czyli dla dowolnego нV + н V; "aÎ R aÎV) i vykonuyutsya więc pamiętaj:

A 1: Algebra - grupa abelowa;

A 2: czy a, bÎР, czy ÎV, a(b)=(ab)-odpowiednie prawo asocjacyjne;

A 3: dla czegokolwiek a, bÎP, dla czegokolwiek ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: dla dowolnego a z P, dla dowolnego s V, wygrywamy a(+)=a+a(zwiększone prawa rozdzielcze);

A 5: czy V zwycięży czy nie 1 = , de 1 - jedność pola P - siła jedności.

Elementy pola P nazywamy skalarami, a elementy mnożnika V wektorami.

Szacunek. Mnożenie wektora przez skalar nie jest operacją binarną na mnożniku V, ale skalowaniem jest PV®V.

Przyjrzyjmy się przestrzeniom wektorowym.

Przykład 1. Zero (świat zerowy) vector expanse - expanse V 0 =() - który składa się z jednego wektora zerowego.

Na cokolwiek aОР a=. Rozważmy ponownie słuszność aksjomatów przestrzeni wektorowej.

Z poważaniem, zerowymiarowa przestrzeń nad polem R. Zatem zerowymiarowa przestrzeń nad polem liczby wymierne ja nad polem numery dni vvazhayutsya raznimi, hoch sumują się z jednego wektora zerowego.

tyłek 2. Samo ciało P jest przestrzenią wektorową nad ciałem P. Niech V=P. Rozważmy ponownie słuszność aksjomatów przestrzeni wektorowej. Ponieważ P jest polem, to P jest grupą addytywną i wygrywa A1. Patrząc wstecz na zdіysnennostі w R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Aksjomaty A 3 i A 4 wygrywają ze względu na fakt, że R jest rozdzielne i swobodnie mnożone. Odłamki w polu R to pojedynczy element 1, siła unitarności A 5 . W tej kolejności pole P jest przestrzenią wektorową nad ciałem P.

przykład 3. Arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń wektorowa.

Niech R - pole. Znacznie bezosobowe V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Wprowadźmy na mnożniku V operację dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar według następujących zasad:

„= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, „aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Pierwiastki i wielokrotności V są nazywane wektory n-światów. Dwa wektory n-światów nazywane są równymi, ponieważ ich dwuwymiarowe składniki (współrzędne) są równe. Można pokazać, że V jest przestrzenią wektorową nad ciałem P. Ponieważ znana jest operacja składania wektora i mnożenia wektora przez skalar, V jest domkniętym wyborem tych operacji. Ponieważ dodanie elementów z V jest zredukowane do dodania elementów pola P, a P jest addytywną grupą abelową, to V jest addytywną grupą abelową. Ponadto = , de 0 jest zerem pola Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). W tym rankingu wygrywa A1. Skalowanie mnożenia elementu V przez element P sprowadza się do mnożenia elementów pola P, wtedy:

A 2 wygrywa dzięki połączeniu mnożnika na P;

A 3 i A 4 są połączone przez rozdzielcze mnożenie sposobu składania na P;

I 5 wygrywa, bo 1 P to element neutralny, który można pomnożyć przez R.

Spotkanie 2. Bezosobowe V = P n z operacjami określonymi wzorami (1) i (2) nazywamy arytmetyczną n-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem Р.

Przyjrzyjmy się sekwencji, którą tworzą elementy akcji proste pole GF(q) (a^, a......a p). Taka sekwencja nazywa się l-by

spójność nad polem GF)