Poznaj wszystkie racjonalne korzenie bogatego terminu w Internecie. Równanie w całej matematyce.Wymierny pierwiastek terminów bogatych. Schemat Hornera. Chi є tse liczba wymierna

Bogaty wyraz w postaci zmiennej x nazywamy inaczej: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n jest liczbą naturalną; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - czy są to liczby, zwane współczynnikami tego wielomianu. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 to elementy wielomianu, a 0 to arbitralny element. an - współczynnik przy xn, an-1 - współczynnik przy xn-1 i tak dalej. na przykład termin rozszerzony 0x2 + 0x + 0 ma wartość NULL. Z zapisu wielomianu jasno wynika, że ​​vin jest sumowane z liczby wyrazów. Brzmi jak termin „bogaty członek” (bogaty członek). Czasami bogaty termin nazywa się wielomianem. Termin ten przypomina greckie słowa πολι – bogaty i νομχ – członek.

Bogaty członek w postaci jednej zmiany x oznacza: . f (x), g (x), h (x) i tak dalej np. jako pierwszy wskazujący bogatsze wyrażenia w terminach f (x), to można napisać: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Bogaty wyraz h (x) nazywamy największym podkładem bogatych wyrazów f (x) i g (x), więc jest to możliwe dodać f (x), g (x) i skórzany dilnik. 2. Wyraz bogaty f(x) ze współczynnikami z pola P kroku n nazywamy redukowalnym nad ciałem P, ustalając w ten sposób bogate wartości h(x), g(x) Î P[x] kroku mniej n takie, że f (x) = h(x)g(x).

Jest to bogaty wyraz f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, wtedy liczba n nazywana jest etapem bogatego terminu f (x) (lub wydaje się, że f (x) jest n-tym etapem) i napisz art. f(x) = n. A tutaj an nazywa się starszym współczynnikiem, a anxn jest starszym członem tego wielomianu. Na przykład, jeśli f (x) = 5 x 4 -2 x +3, to art. f(x) = 4, współczynnik seniorów - 5, seniorów - 5 x4. Krok wielomianu jest największą z liczb jego współczynników, wiodącymi typami zera. Bogate wyrazy kroku zerowego to liczby całkowite, które są takie same jak zero. zero bogatego wyrazu kroku nie może być; składnik bogaty f(x) = a, gdzie a jest liczbą nie równą zeru, maksymalny krok wynosi 0; krok dobrze być jakimś innym wielomianem, który jest droższy od największego wskaźnika kroku zmiany x, współczynnik przy następnym wynosi zero.

Rwnista bogatych członków. Dwa wyrazy bogate f(x) i g(x) są uważane za równe, mimo że ich współczynniki są równe w tych samych krokach zmiany x i wyrazów swobodnych (równe współczynniki їх відпровідні). f(x) = g(x). Na przykład bogate wyrażenia f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nie są równe, pierwszy z nich ma współczynnik x3 bardziej równy do 1, a drugi ma zero ( Przy przyjętych inteligencjach możemy napisać: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. W takim przypadku: f (x) ≠ g (x) x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

A oś bogatego terminu f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 jednakowo, nawet jeśli a = 3 , ale b = -2. Podaj bogaty wyraz f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 to liczba c. Liczba f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 nazywamy wartością wielomianu f(x) przy x = c. W ten sposób, aby poznać f(c), należy uzasadnić x i przeprowadzić niezbędne obliczenia. Na przykład, jeśli f(x) = 2x3+3x2-x+5, to f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Można wziąć bogatego członka o różnych wartościach zmiany x różne wartości. Liczba nazywana jest pierwiastkiem wielomianu f (x), więc f (c) =0.

Należy zwrócić uwagę na różnicę między dwoma stwierdzeniami: „wyraz bogaty f(x) jest równy zero (w przeciwnym razie wyraz bogaty f(x) wynosi zero)” i „wartość wielomianu f(x) przy x=z jest równe zero”. Na przykład wielomian f (x) \u003d x 2 -1 nie jest równy zeru, mogą to być współczynniki niezerowe, tak jak wartość przy x \u003d 1 jest równa zeru. f(x) ≠ 0 oraz f(1) =0. Pomiędzy rozumieniem równoważności terminów bogatych a znaczeniem terminów bogatych istnieje ten sam ścisły związek. Jeśli dane są dwa równe wielomiany f(x) i g(x), to їх są równymi współczynnikami równych, a zatem f(c) = g(c) dla numeru skóry с.

Operacje na wielomianach Bogate człony można dodawać, oglądać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami rozszerzania łuku i redukcji podobnych członów. Dzięki temu ponownie wchodzę do bogatego członka. Wyznaczone operacje mogą mieć moc: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Pozwólcie, że dam wam dwa bogate wyrażenia f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Było jasne, że art. f(x)=n i art. g(x) = m. Jeśli pomnożysz qi przez dwa wielomiany, otrzymasz wyraz bogaty w postaci f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 i bn≠ 0, potem anbm≠ 0, także art. (f(x)g(x))=m+n. Dźwięki są głośne i ważne.

Kroki dodawania dwóch niezerowych wyrazów bogatych do sumy kroków mnożników, art. (f(x)g(x)) = ul. f(x) +św. g(x). Członek senior (współczynnik) utworzenia dwóch niezerowych członów bogatych w celu dodania członów seniora (współczynników) mnożników. Wolny członek z utworzenia dwóch bogatych członków jest godny utworzenia wolnych członków wspólnych mnożników. Kroki bogato artykułowane f(x), g(x) i f(x) ±g(x) są związane z nadchodzącą spivvіdnoshennią: sztuką. (f (x) ± g (x)) ≤ maks. (st. f (x), st. g (x)).

Wywoływana jest superpozycja wielu terminów f(x) i g(x). bogaty wyraz, który jest oznaczony przez f (g (x)), który może również przejść do wielomianu f (x) zamiast x, zastąp wielomian g (x). Na przykład, jeśli f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, to f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Widać, że f(g(x)) ≠g(f(x)), czyli superpozycja wielu wyrazów f(x), g(x) i superpozycja wielu wyrazów g(x), f( x) inny. W ten sposób operacja superpozycji nie ma mocy przemieszczenia.

, Algorytm niedoszacowania i przepełnienia Dla czy f(x), g(x) jest jasne q(x) (prywatnie) i r(x) (nadwyżka), tak że f(x)=g(x)q(x )+ r(x) i kroki r(x)

Słowniki wielomianu Słownik bogatego terminu f(x) to bogaty termin g(x) taki, że f(x)=g(x)q(x). Największe złoże dwojga bogato posegmentowanych Największe złoże bogato-segmentowane f(x) ig(x) to takie podwójne złoże d(x), które można podzielić na dowolne inne ich złoże.

Algorytm Euklidesa (algorytm ostatniego podlinii) największego wspólnego dziennika bogatych terminów f(x) i g(x) Todi jest największym dilnikem f(x) i g(x).

Zmień inne Rozwiązanie: Znamy NWD tych bogatych terminów, ustalając algorytm euklidesowy 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, wyraz bogaty (- x2 - 3 x - 2) Wynik znajduje się pod sztandarem wielomianu vіdomy.

Poznajmy wynik podziału liczby. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Schemat Hornera dzielenia ze zbyt bogatego składnika f(x) na niezerowy bogaty składnik g(x) - ne oznacza ujawnienie f(x) w widoku f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) - terminy bogate i lub r(x) = 0, lub st. r(x)

Bogate segmenty, które stoją po lewej i prawej stronie jej spіvvіdnoshennia, równe, a także równe їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Jest im równy, otwierając łuki z przodu i zaszczepiając podobne kończyny w prawej części linii równowagi. Minus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih równości: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Znaliśmy formuły, których można użyć do obliczenia współczynników nieparzystego prywatnego s (x) i nadmiaru r. W ten sposób opłaty są sporządzane z przodu stołu; nazywa się to schematem Hornera.

Tabela 1. Współczynniki f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Współczynniki s(x) są za duże. W kolejnym wierszu, w pobliżu pierwszej komórki, zapisz liczbę c. Wypełnia się klitynę Reshty rzędu, zliczając jeden po drugim współczynniki nieliniowego prywatnego s (x) i nadmiaru r. U innego klienta wypisz współczynnik bn-1, który jak zainstalowaliśmy jest droższy an.

Współczynnik stania przy ścianie ofensywnej skóry oblicza się zgodnie z następującą zasadą: liczba c mnoży się przez liczbę stania przy ścianie frontowej, a liczba jest dodawana do wyniku, aby stać nad ścianą, aby być zapamiętanym . Aby zapamiętać, powiedzmy, pięć clitin, aby wiedzieć, że stoimy przy jej współczynniku, należy pomnożyć c przez liczbę, która znajduje się w czwartym klitynie i dodać do wyniku liczbę, która jest powyżej piątego klityny. Podzielmy, na przykład, bogaty termin f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 na x-2 jest za dużo, schemat Hornera. Wypełniając pierwszy wiersz, nie można zapomnieć o liczbach schematu o zerowych współczynnikach wielomianu. Tak więc współczynniki f(x) są wartościami liczb 3, 0, - 5, 3, - 1. Inną rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że krok niepełnego prywatnego jest o jeden mniejszy niż krok bogaty wyraz f(x).

Wydaje się również, że została podzielona według schematu Hornera: Tabela 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Należy zauważyć, że prywatne s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 i nadwyżka r=33. Z poważaniem obliczyliśmy wartość wielomianu f (2) =33. Teraz podzielmy bardzo bogaty wyraz f(x) na x + 2, czyli za dużo. Mam vipadku z = -2. opcjonalnie: Tabela 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 W rezultacie f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Pierwiastek wielomianów Nehai с1, с2, …, сm - Inny pierwiastek wielomianu f(x). Wtedy f(x) jest podzielne przez x-c1, to f(x) = (x-c1) s1(x). Zapłaćmy za ten spokój x=c2. Odejmujemy f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, więc f(c2) =0, następnie (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, potem c2 -c1≠ 0, co oznacza, że ​​s 1 (c 2) = 0. Również c2 jest pierwiastkiem wielomianu s 1 (x). Pokazuje, że s1(x) jest podzielne przez x-c2, więc s1(x) = (x-c2) s2(x). Wyobraź sobie odjęcie virase dla s 1 (x) y równe f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Może f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Po umieszczeniu reszty równości x \u003d c3, aby to naprawić f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, zakładamy, że c3 jest pierwiastkiem wielomianu s 2 (x). Tak więc s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), a następnie f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) itd. dla korzeni które zostały utracone, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) jest odebrane, to jest sprowadzony do niższej formuły.

Ponieważ c1, c2, ..., cm jest innym pierwiastkiem wielomianu f (x), to f (x) można podać, patrząc na f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) cm (x). Brzmi jak ważna konsekwencja. Ponieważ c1, c2, ..., cm jest pierwiastkiem wielomianu f (x), to f (x) dzieli się przez wielomian (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Liczba różnych pierwiastków niezerowego wielomianu f(x) nie jest większa niż dolny krok. Prawdą jest, że skoro f(x) nie ma pierwiastka, jasne jest, że twierdzenie jest poprawne, więcej art. f (x) ≥ 0. Niech f (x) ma teraz m pierwiastków c1, c2, ..., cm, ponadto wszystkie smród są różne. Tak jak f(x) dzieli się przez (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Czasami art. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = ul. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + art. (x-cm) \u003d m, następnie ul. f(x)≥m, a m to liczba pierwiastków wyrazu bogatego, który można uwzględnić. A oś wyrazu zero bogatego jest nieskończenie bogata w pierwiastki, nawet jeśli ma znaczenie dla tego, co x jest piękniejsze 0. Zokrema, aby to spowodować, i nie karz za ten sam krok śpiewu. Z dobrze sprawdzonych twierdzeń wynika to samo twierdzenie.

Jeśli wielomian f(x) nie jest wielomianem kroku, większym, niższym n, i może być większy, niższy n pierwiastków, to f(x) jest wielomianem zerowym. Rzeczywiście, z umysłu firmy jasno wynika, że ​​f(x) jest zerowym wielomianem, czyli sztuką. f(x) ≤n. Zakładając, że wielomian f(x) nie jest zerem, to art. f(x) ≤n, a wtedy f(x) nie może być większe, poniżej n pierwiastków. Dochodzimy do perfekcji. Stąd f(x) jest niezerowym wyrazem bogatym. Niech f(x) i g(x) będą niezerowymi wyrazami bogatymi kroku, nie większymi, niższymi n. Jeśli wielomiany q przyjmą tę samą wartość dla n + 1 wartości zmiany x, to f (x) = g (x).

Jako dowód spójrzmy na bogaty wyraz h(x) = f(x) – g(x). Zaświtało mi, że - albo h (x) = 0, albo ul. h(x) ≤n, to h(x) nie jest wyrazem bogatym kroku, większym niż, mniejszym niż n. Pozwólcie, że teraz wezmę liczbę tak, że f (c) = g (c). Wtedy h(c) = f(c) - g(c) = 0, to h jest pierwiastkiem wielomianu h(x). Również bogaty wyraz h(x) ma n+1 pierwiastków, a jeśli, jak to zostało zrobione, h(x) = 0, to f(x) = g(x). Jeżeli f(x) i g(x) mają te same wartości dla wszystkich wartości zmiennej x, to

Wielomianowe pierwiastki wielomianu Ponieważ liczba є jest pierwiastkiem wielomianu f (x), ten wielomian jest najwyraźniej podzielny przez x-s. Możliwe, że f(x) można rozszerzyć do następnego kroku bugato-członek x-s, czyli na (x-c) k, k>1. Ta vipadka nazywana jest wielokrotnym korzeniem. Sformułujmy spotkanie jaśniej. Liczbę nazywamy pierwiastkiem krotności k (k-krotny pierwiastek) wielomianu f (x), więc wielomian jest podzielny przez (x-c) k, k>1 (k jest liczbą naturalną), ale nie jest podzielny przez ( x-c) k + 1. Jeśli k=1, to nazywamy go pierwiastkiem prostym, a jeśli k>1 nazywamy pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu f (x).

Tak więc wielomian f(x) można przedstawić jako f(x)=(x-c)mg(x), m jest liczbą naturalną, vin jest podzielne przez (x-c) m+1 a następnie jeśli g(x) jest podzielne przez x-c . Rzeczywiście, jeśli g(x) jest podzielne przez x-c, to g(x)=(x-c)s(x), wtedy f(x)=(x-c) m+1 s(x), a także f(x ) dzieli się przez (x-c) m+1. Wstecz, ponieważ f(x) jest podzielne przez (x-c) m+1, to f(x)=(x-c) m+1 s(x). Następnie przyjmuje się (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) i po krótkim czasie (x-c) m, g (x) = (x-c) s (x). Wygląda na to, że g(x) jest podzielone na x-s.

Jasne jest na przykład, że chi to liczba 2 jako pierwiastek bogatego wyrażenia f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, a jeśli tak, to znamy jego wielość. W celu weryfikacji pierwszego zasilania możemy sprawdzić dodatkowy schemat Hornera, który dzieli f(x) przez x-2. może być: Tabela 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Podobnie jak Bachimo, nadmiar przy dzieleniu f(x) przez x-2 jest większy niż 0, więc należy go podzielić przez x-2. Stąd 2-pierwiastek wielomianu. Dodatkowo odjęliśmy, że f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Teraz jest oczywiste, chi є f (x) na (x-2) 2. Tse do złożenia, jak przyniósł mi schoyno, biorąc pod uwagę podzielność wielomianu g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 na x-2.

Ponownie przyspieszenie według schematu Hornera: Tabela 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Następnie f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Również f(x) jest podzielne przez (x-2) 2, teraz trzeba powiedzieć, że f(x) jest podzielne przez (x-2)3. Dla którego jest odwracalne, że h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 dzieli się przez x-2: Tabela 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -30 x-2, również, f(x) dzieli się przez (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Następnie analogicznie można sprawdzić, czy f(x) dzieli się przez (x-2)4, czyli s(x)=x 2+x-3 dzieli się przez x-2: Tabela 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Wiadomo, że nadmiar, gdy s(x) jest dzielony przez x-2 jest równy 3, to s(x) nie jest dzielony przez x-2. Ponadto, f(x) nie podsumuje na (x-2) 4. W ten sposób f(x) podsumuje na (x-2)3, ale nie podsumuje na (x-2)4. Ponadto liczba 2 jest pierwiastkiem z wielokrotności wyrazu bogatego 3 f(x).

Odtwórz pogłos pierwiastka dla wielości liczenia mniej przy stole. W tym zastosowaniu tabela może wyglądać tak: Tabela 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner odjął wielomian f (x) przez x-2, w kolejnym rzędzie usuwamy współczynniki wielomianu g (x). Następnie weźmy ten drugi rząd do pierwszego rzędu nowego systemu Hornera i odejmijmy g (x) przez x-2 i tak dalej. W ten sposób krotność pierwiastka jest równa liczbie otrimanih zerowych nadwyżek. Z rzędu, aby pomścić pozostałą niezerową nadwyżkę, istnieją również współczynniki części, gdy f (x) jest podzielone przez (x-2) 3.

Teraz, vikoristovuyuchi schoyno proponovan schemat reweryfikacji korzenia dla wielości, wydaje się, że zadanie nadchodzi. Dla dowolnego a i b bogaty wyraz f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 czy liczba - 2 może być pierwiastkiem z wielokrotności 2? Tak więc krotność pierwiastka - 2 należy dodać 2, a następnie, dzieląc go przez x + 2 dla schematu proponowanego, musimy podwoić, aby wziąć nadmiar 0, a w trzecim nadmiar, który jest równy zero. Maj: Tabela 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

W tej randze liczba - 2 є pierwiastek krotności 2 terminu bogatego w wydech, wtedy i tylko wtedy, jeśli

Wymierny pierwiastek wielomianu Jeśli niekrótki wyraz l/m (l, m są liczbami całkowitymi liczby) jest pierwiastkiem bogatego wyrazu f(x) z wieloma współczynnikami, to najwyższy współczynnik wielomianu jest podzielny przez m, a długi okres jest podzielny przez 1. Prawda, tak jak f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 są liczbami całkowitymi, potem f(l/m) = 0, potem an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Pomnóż naruszające części ceny ekwiwalentu przez mn. Weź anln+an-1 ln-1m+. . . +a 1 mn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Bachimo, liczba całkowita anln jest podzielna przez m. Ale l/m jest niekrótkim drybem, więc liczby l i m są wzajemnie proste, ale również, zgodnie z teorią ważności liczb całkowitych, liczby ln i m są również wzajemnie proste. Otzhe, anln do podziału na m i m jest wzajemnie proste od ln, również do podziału na m. Znamy racjonalny pierwiastek bogatego terminu f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Zgodnie z twierdzeniem, racjonalny pierwiastek wielomianu znajduje się wśród niekrótkich ułamków w postaci l / m, de l jest dilnikem wyrazu wolnego a 0 \u003d 8, a m jest dilnikem o najwyższym współczynniku a 4 \u003d 6. jeśli tak, to l / m jest ujemne, a znak „-” zbliża się do wybierania numeru. Na przykład - (1/3) = (-1)/3. Możemy również powiedzieć, że l jest współczynnikiem liczby 8, a m jest dodatnim współczynnikiem liczby 6.

Oscylatory liczby 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, a dodatnie rozszerzacze liczby 6 będą wynosić 1, 2, 3, 6, wtedy racjonalny korzeń wyglądającego bogatego terminu należy do liczby ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Chyba zapisaliśmy więcej niż krótkie ułamki. W tej kolejności możemy mieć dwadzieścia liczb - "kandydatów" na pierwiastki. Pozostało tylko przemyśleć ich skórę i wybrać te, jakby wierne korzeniom. Nadchodzi twierdzenie, które ułatwi robotowi to. Dopóki l/m jest pierwiastkiem wieloskładnikowego wyrażenia f(x) z wieloma współczynnikami, to f(k) dzieli się przez l-km dla dowolnej liczby całkowitej k, czyli l-km≠0.

Aby udowodnić twierdzenie, dzielimy f(x) na x-k za dużo. Odejmujemy f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskіlki f(x) jest bogatym wyrazem ze współczynnikami qlimi, wtedy tak bogatym wyrazem jest s(x), a f(k) jest liczbą całkowitą. Niech s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Wtedy f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Zapłaćmy za ten spokój 1 x=l/m. Jeśli f(l/m)=0, to f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+ …+b 1(l/m)+b 0). Pomnóż naruszającą część pozostałego kapitału przez mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Oczywiste jest, że liczbę mnf (k) dzieli się przez l-km. Ale oskіlki l і m są wzajemnie proste, to mn і l-km są również wzajemnie proste, również f (k) jest podzielone przez l-km. Twierdzenie zostało zakończone.

Zwróćmy się do naszego tyłka i po udowodnieniu twierdzenia, jest jeszcze bardziej dźwięczny w brzmieniu racjonalnego pierwiastka. Konieczne jest przypisanie twierdzenia dla k=1 і k=-1, to znaczy, ponieważ niekrótki drіb l/m jest pierwiastkiem terminu f(x), a następnie f(1)/(l-m), i f(-1)/(l + m). Łatwo stwierdzić, że w czasach f(1)=-5, a f(-1)=-15. Z całym szacunkiem, od razu wyłączyliśmy to na pierwszy rzut oka ± 1. Odtąd racjonalnym pierwiastkiem naszego bogatego terminu jest następująca liczba środkowych liczb ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8/3. Spójrzmy na l/m=1/2. Następnie l-m=-1 i f(1)=-5 dzielimy przez liczbę całkowitą. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, więc sam jest podzielony przez 3. Tak więc drіb 1/2 pozostaje pośrodku „kandydatów” u nasady.

Pozwól mi teraz lm=-(1/2)=(-1)/2. W tym przypadku l-m=-3 w f(1) =-5 nie dzieli się przez - 3. Tak więc drіb -1/2 nie może być korzeniem tego bogatego terminu i możemy go wyłączyć z odległego widoku. Konieczne jest ponowne rozważenie skórek w pisaniu ujęć, bierzemy pod uwagę, że korzeń znajduje się wśród liczb 1/2, ± 2/3, 2, - 4. W tej randze, aby zakończyć tę samą prostą sztuczkę, region racjonalnych korzeni rozważanego wielomianu brzmiał sensownie. Cóż, aby ponownie sprawdzić pominięte liczby, możemy użyć schematu Hornera: Tabela 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 jest pierwiastkiem bogatego terminu f(x) i f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Było jasne, że pozostałe pierwiastki wielomianu f(x) są wzięte z pierwiastków wielomianu g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, a następnie ponowne sprawdzenie „kandydatów” w korzeń może być wykonany już z tego samego wielomianu. Wiemy: Tabela 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Wzięliśmy, że nadwyżka po podzieleniu g(x) przez x-2/3 jest większa - 80/9 , następnie. 2/3 nie jest pierwiastkiem wielomianu g(x), także i f(x). Ponadto wiemy, że - 2/3 to pierwiastek wielomianu g (x) i g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Wtedy f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Dalszą weryfikację można przeprowadzić dla wielomianu x 2+2 x-4, który jest znacznie prostszy, niższy dla g (x) lub większy dla f (x). W rezultacie bierze się pod uwagę, że liczby 2 i - 4 nie są zakorzenione. Również bogaty wyraz f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ma dwa pierwiastki wymierne: 1/2 i - 2/3. Ta metoda umożliwia poznanie tylko racjonalnego pierwiastka bogatego terminu o dużej liczbie współczynników. Tim jest czasami bogatym członkiem matki i irracjonalnym korzeniem. Tak więc, na przykład, patrząc na dolną część wyrazu bogatego, są tylko dwa pierwiastki: - 1±√5 (ten pierwiastek wyrazu bogatego to x2 + 2 x-4). wielomian można nazwać niematerialnym pierwiastkiem racjonalnym.

Podczas testowania „kandydatów” u źródła bogatego terminu f(x) po dalszym opracowaniu innych twierdzeń, lewą stronę dla kandydatów należy nazwać k=± 1. Innymi słowy, jeśli l/m jest „kandydatem” przy pierwiastek, wtedy zastanowisz się, czy f( 1 ) i f(-1) na l-m i l+m są poprawne. Ale może to być np. f(1) =0, czyli 1 jest pierwiastkiem, wtedy f(1) można rozszerzyć jako liczbę, a ponowna weryfikacja ma sens. W tym przypadku podziel f(x) przez x-1, więc weź f(x)=(x-1)s(x) i przetestuj wielomian s(x). Jeśli zapomnisz, że jeden pierwiastek wielomianu f(x)-x 1=1 - już wiedzieliśmy. Jeśli „kandydaci” są odwróceni u pierwiastka, które przepadły po innym twierdzeniu o pierwiastku wymiernym, to według schematu Hornera możliwe jest, że np. l/m jest pierwiastkiem, to powinieneś znać jego krotność. Jeśli jest droższe, powiedzmy k, to f(x)=(x-l/m)ks(x) i można przeprowadzić dalszą reweryfikację dla s(x), co skróci obliczenia.

Rozwiązanie. Po zmianie zmiany y=2 x przejdźmy do wielomianu o współczynniku równym jeden dla najwyższego kroku. Dla tego ramienia mnożymy viraz przez 4. Jeśli funkcja korzenia zostanie usunięta, smród znajduje się pośrodku wolnego członka. Zapisywalny ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Obliczamy sekwencyjnie wartość funkcji g(y) w tych punktach aż do zera. Tobto, y=-5 є pierwiastek, otzhe, є pierwiastek funkcji zewnętrznej. Prowadzone pod stovpchik (cewka) bogatego terminu na dwumianu

Ponowna weryfikacja dilnikowa, który został utracony, powinna być przeprowadzona niekompletnie, więc łatwiej jest rozłożyć kwadrat trójmianu Otzhe na mnożniki odejmowania,

Formuły Vykoristannya szybkiego mnożenia i dwumianu Newtona dla rozszerzenia bogatego terminu na czynniki Inodi stary wygląd wielomian, aby zasugerować metodę rozpowszechniania jogi na mnożnikach. Na przykład po niespójnych przekształceniach współczynniki vishikovyvayutsya z rzędu z trykotu Pascala dla współczynników dwumianu Newtona. krupon. Ułóż termin mnożnikowy.

Rozwiązanie. Odwracamy to do rzeczy: sekwencja współczynników w sumie w ramionach wyraźnie pokazuje, co to jest. Z tego samego, Teraz sformułujemy wzór na różnicę kwadratów: Viraz drugi łuk nie ma pierwiastków działania, ale dla bogatego wyrazu z pierwszego łuku ponownie formułujemy wzór na różnicę kwadratów

Wzory Viety wyrażają współczynniki wielomianu przez pierwiastek-ty. Za pomocą tych formuł można ręcznie skorygować poprawność znaczenia pierwiastka terminu bogatego, a także zwinięcie terminu bogatego dla danych pierwiastków. Wzór Jako pierwiastek wielomianu, współczynniki są wyrażane przez symetryczne, bogate wyrazy pierwiastków, oraz

Innymi słowy, ak droga suma wszystkich możliwych kreacji z k pierwiastków. Jako starszy współczynnik wielomianu, konieczne jest podzielenie wszystkich współczynników na 0 przed formułą Vieta. Z reszty formuły Vієta jest silna, jakby korzeń bogatego członka był liczbą całkowitą, to smród to dilnik wolnego członka jogi, który jest również liczbą całkowitą. Dowód opiera się na poglądzie równoważności, odrzucając ułożenie wyrazu bogatego według pierwiastków, vrakhovuchi, że a 0 = 1 Zrównanie współczynników na tych samych poziomach x ma obsesję na punkcie wzoru Vієta.

Rozwiąż linię x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Rozwiąż. Znacząco y \u003d x 3, mimo że równa się y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, w przeciwnym razie Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya jest równoważne małżeństwu rіvnyana: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, tj. X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Twierdzenie Bezout Cel 1. Element nazywamy pierwiastkiem wyrazu bogatego, więc f(c)=0. Twierdzenie Bezouta. Nadmiar w poddzieleniu wielomianu Pn(x) przez dwumian (x-a) zwiększa wartość wielomianu przy x = a. Przynoszący. Na mocy algorytmu f(x)=(xc)q(x)+r(x), de lub r(x)=0, w przeciwnym razie. Później f(x)=(x-c)q(x)+r, później f(c)=(c-c)q(c)+r=r i f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Ostatni 1: Nadmiar w poddzieleniu wielomianu Pn (x) przez dwumian ax+b jest bardziej wartościowy dla wielomianu przy x = -b/a, a następnie R = Pn (-b/a). Ostatni 2: Ponieważ liczba a jest pierwiastkiem wielomianu P (x), którego wielomian jest podzielny przez (x-a) bez nadmiaru. Lekcja 3: Jak wielomian P(x) może być parami różne pierwiastki a 1 , a 2 , … , an, vin dzielenie przez tvir (x-a 1) … (x-an) bez nadmiaru. Lekcja 4: Bogaty element kroku n może mieć trzy lub więcej niż n różnych pierwiastków. Lekcja 5: Dla dowolnego wielomianu P(x) ta liczba a jest inna (P(x)-P(a)) podzielna bez nadmiaru przez dwumian (x-a). Lekcja 6: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu P(x) stopnia nie mniejszego niż pierwszy i tylko wtedy, gdy P(x) jest dzielone przez (x-a) bez nadmiaru.

Układ ułamka wymiernego na najprostszy Pokażmy, czy poprawny ułamek wymierny można rozłożyć na sumę ułamków najprostszych. Niech otrzyma poprawny argument racjonalny (1).

Twierdzenie 1. Niech x=а є pierwiastek sztandaru stylu k, to , de f(a)≠ 0, wtedy ten sam poprawny ułamek może być podany jako suma dwóch innych ułamków regularnych w następującej kolejności: ( 2) , a F 1 (x) jest wyrazem bogatym, którego krok jest niższy niż krok normy

de richomember, stopień pewnego niższego stopnia standardu. І podobnie do formuły forward można przyjąć: (5)

Jak już zaznaczyliśmy, jednym z najważniejszych zadań teorii bogato zdefiniowanych pojęć jest zrozumienie ich korzeni. Za wykonanie tego zadania możesz wygrać metodę selekcji, tobto. weź liczbę rzeczywistą i zmień ją, które są pierwiastkami tego wielomianu.

Dzięki temu możesz pić shvidko na korzeniu lub w ogóle nie możesz tego wiedzieć. Niemożliwe jest, aby aje wypaczył wszystkie liczby, dla tych, którzy są zbyt bogaci.

Rzeka Insha, yakby udało nam się wydobyć region dla żartu, na przykład, aby wiedzieć, jaki jest korzeń, powiedzmy, w środku trzydziestu określonych liczb. A dla trzydziestu numerów możesz też pracować nad pogłosem. Na łączu z wąsami mówimy ważniejsze i widzimy taką jędrność.

Dopóki l/m (l,m - liczby całkowite liczby) jest pierwiastkiem wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, to wyższy współczynnik wielomianu jest podzielny przez m, a większy składnik jest podzielny o 1.

Rzeczywiście, jeśli f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 są liczbami całkowitymi liczby, to f (l /m) = 0, a następnie (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Pomnóż naruszające części ceny ekwiwalentu przez mn. Weź anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Dźwięki krzyczą:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, liczba całkowita anln jest podzielna przez m. Ale l / m - nie krótki dryb, tobto. liczby l i m są wzajemnie proste, również, zgodnie z teorią podzielności liczb całkowitych, liczby ln i m są również wzajemnie proste. Otzhe, anln do podziału na m i m jest wzajemnie proste od ln, również do podziału na m.

Temat został poruszony, aby umożliwić sensowne zbadanie obszaru poprzez poszukiwanie racjonalnego pierwiastka bogatego terminu z wieloma współczynnikami. Zademonstrujemy to na konkretnej aplikacji. Znamy pierwiastek wymierny bogatego wyrażenia f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Zgodnie z twierdzeniem, racjonalny pierwiastek wielomianu znajduje się w środku niekrótkich ułamków w postaci l / m, de l to dilnik długookresowy a0 = 8, a m to dilnik o najwyższym współczynniku a4 = 6. jeśli tak, yakscho drіb l/m jest ujemny, to znak „-” vodnosimeme do cyfry. Na przykład - (1/3) = (-1)/3. Możemy również powiedzieć, że l jest współczynnikiem liczby 8, a m jest dodatnim współczynnikiem liczby 6.

Oscylatory liczby 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, a dodatnie rozwieracze liczby 6 będą wynosić 1, 2, 3, 6, wtedy wymierny pierwiastek badanego składnika bogatego to środkowy liczb ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Chyba zapisaliśmy więcej niż krótkie ułamki.

W tej kolejności możemy mieć dwadzieścia liczb - "kandydatów" na pierwiastki. Pozostało tylko przemyśleć ich skórę i wybrać te, jakby wierne korzeniom. Ale znowu będę musiał dużo przerobić. A oś nadchodzi, twierdzenie ułatwi robotowi.

Dopóki l/m jest pierwiastkiem wieloskładnikowego wyrażenia f(x) z wieloma współczynnikami, to f(k) dzieli się przez l-km dla dowolnej liczby całkowitej k, na przykład l-km?0.

Aby udowodnić twierdzenie, dzielimy f(x) na x-k za dużo. weź f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Ponieważ f(x) jest wyrazem bogatym z wieloma współczynnikami, to taki wielomian to s(x), a f(k) jest liczbą całkowitą. Niech s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Wtedy f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Zapłaćmy za ten spokój x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, jest to możliwe

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Pomnóż obrażającą część pozostałej zazdrości przez mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Oczywiste jest, że liczbę mnf (k) dzieli się przez l-km. Ale oskіlki l і m są wzajemnie proste, to mn і l-km są również wzajemnie proste, również f (k) jest podzielone przez l-km. Twierdzenie zostało zakończone.

Przejdźmy teraz do naszego tyłka i po udowodnieniu twierdzenia brzmi jeszcze głośniej, jeśli chodzi o dźwięk pierwiastka wymiernego. Konieczne jest przypisanie twierdzenia dla k=1 і k=-1, więc. jako niekrótki drіb l/m jest pierwiastkiem f(x), następnie f(1)/(l-m) i f(-1)/(l+m). Łatwo stwierdzić, że f(1) =-5, a f(-1) =-15. Z całym szacunkiem wyłączyliśmy zarazę na pierwszy rzut oka ±1.

Ponadto racjonalnym pierwiastkiem naszego bogatego terminu jest następowanie po środkowych liczbach ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Spójrzmy na l/m=1/2. Następnie l-m=-1 i f(1)=-5 dzielimy przez liczbę całkowitą. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, więc sam jest podzielony przez 3. Tak więc drіb 1/2 pozostaje pośrodku „kandydatów” u nasady.

Pozwól mi teraz lm = - (1/2) = (-1) / 2. W tym przypadku l-m=-3 і f(1) =-5 nie dzieli się przez - 3. Tak więc drіb - 1/2 nie może być korzeniem tego bogatego terminu i możemy go wyłączyć z odległego widoku. Konieczne jest ponowne rozważenie dermalnych zdjęć na receptę, bierzemy pod uwagę, że korzeń znajduje się wśród liczb 1/2, ±2/3, 2, - 4.

W tym szeregu, aby zakończyć tę samą prostą sztuczkę, sensownie sondowali region w poszukiwaniu racjonalnego pierwiastka analizowanego wielomianu. Cóż, do ponownego sprawdzenia liczb używamy schematu Hornera:

Tabela 10

Odjęli, że nadmiar, gdy g (x) został podzielony przez x-2/3 jest równy 80/9, więc 2/3 nie jest pierwiastkiem bogatego wyrażenia g (x), ale oznacza, i f (x) .

Co więcej, łatwo jest wiedzieć, że - 2/3 jest pierwiastkiem wieloskładnikowego wyrażenia g(x) i g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Wtedy f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Dalszą weryfikację można przeprowadzić dla wielomianu x2+2x-4, który jest oczywiście prostszy, niższy g(x) lub większy f(x). W rezultacie bierze się pod uwagę, że liczby 2 i - 4 nie są zakorzenione.

Również bogaty wyraz f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 ma dwa pierwiastki wymierne: 1/2 i - 2/3.

Zgadywanie, więcej opisów metody daje możliwość poznania racjonalnego pierwiastka bogatego terminu z wieloma współczynnikami. Tim jest czasami bogatym członkiem matki i irracjonalnym korzeniem. Na przykład, patrząc na tyłek bogatego członka, są tylko dwa pierwiastki: - 1±v5 (ten pierwiastek bogatego członka to x2 + 2x-4). I najwyraźniej bogaty członek może nie być matką racjonalnego korzenia.

Teraz pani jest szczęśliwa.

Wypróbowując „kandydatów” u podstaw bogatego terminu f(x), po dalszym opracowaniu większej liczby twierdzeń, wybrzmiewaj w lewo dla vipadkіv k=±1. Innymi słowy, ponieważ l/m jest „kandydatem” u podstawy, jest odwrócone, czy f (1) if (-1) można oczywiście podzielić na l-m i l+m. Ale może być tak, że np. f ​​(1) = 0, wtedy 1 jest pierwiastkiem, a potem f (1) można podzielić przez liczbę, a nasza reweryfikacja ma sens. І tutaj kolejnym krokiem jest podzielenie f (x) przez x-1, więc. weź f(x) = (x-1) s(x) i przetestuj wielomian s(x). Jeśli nie zapomnisz, że jeden pierwiastek bogatego wyrażenia f(x) – x1=1 – już wiedzieliśmy. Tak jak w przypadku odwracania „kandydatów” u pierwiastka, które przepadło po kolejnym twierdzeniu o pierwiastku wymiernym, tak po schemacie Hornera możliwe jest, że np. l/m jest pierwiastkiem, to należy znać jego wielokrotność. Jeśli jest droższy, powiedzmy k, to f(x) = (x-l/m) ks(x), a dalszą reweryfikację można wykonać dla s(x), co skróci obliczenia.

W tym rankingu nauczyliśmy się znać racjonalny pierwiastek bogatego terminu o dużych współczynnikach. Wydaje się, że sami nauczyliśmy się znać irracjonalny pierwiastek bogatego wyrazu o racjonalnych współczynnikach. W rzeczywistości, o ile mogę, na przykład bogaty termin f (x) \u003d x4 + 2/3x3 + 5/6x2 + 3/8x + 2, a następnie po dodaniu współczynników do śpiącego banera i dodaniu jogi za ramiona bierzemy f (x) \u003d 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Było jasne, że pierwiastki wielomianu f(x) powstają z pierwiastków wyrazu bogatego, które stoją na ramionach, aw nowym współczynniku - z liczb. Powiedzmy na przykład, że sin100 jest liczbą niewymierną. Przyspieszenie z domową formułą sin3?=3sin?-4sin3?. Gwiazdy sin300 = 3sin100-4sin3100. Patrząc wstecz na te, które sin300=0.5 i przeprowadzając niezręczne transformacje, możemy założyć 8sin3100-6sin100+1=0. Również sin100 jest pierwiastkiem wyrażenia f(x) = 8x3-6x+1. Tak jak racjonalnie shukatimemo korzeń tego bogatego członka, tak perekaєmosya, nie mamy ich. Otzhe, korzeń sin100 jest liczbą wymierną, tobto. sin100 to liczba niewymierna.

Daj spokój

- bogaty wyraz kroku n ≥ 1 w wartości efektywnej zmiennej zespolonej z z wartością efektywną współczynników zespolonych a i . Udowodnijmy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1

Poziomowanie P n (z) = 0 Czy chcę jednego korzenia.

Chodźmy Lema.

Lemat 1

Niech P n (z)- bogaty wyraz kroku n, z 1 - korzeń rzeki:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) można ujawnić w jeden sposób, patrząc na:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- krok bogatszy n - 1 .

Przynoszący

Aby to udowodnić, zróbmy twierdzenie (div. Dzielenie wielu wyrazów przez wiele wyrazów przez fałdę i pniak), jest to możliwe dla dowolnych dwóch bogatych wyrazów P n (z) ja Q k (z), kroki n i k, ponadto n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- bogaty wyraz kroku n-k, U k- 1(z)- bogaty wyraz kroku nie jest wyższy niż k- 1 .

Postawmy k = 1 , Qk (z) = z - z 1 Również
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - szybko. Wyobraź sobie tutaj z = z 1 że vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
co trzeba było przynieść.

Rozszerzenie terminu bogatego na mnożniki

Również, na podstawie Twierdzenia 1, bogaty wyraz P n (z) Czy chcę jednego korzenia. Znacząco yak z 1 , P n (z1) = 0. To samo na stoisku lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, jak n > 1 , to wielomian P n- 1(z) więc czy mogę chcieć jeden korzeń, który ma znaczenie jak z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Kontynuując ten proces dochodzimy do wniosku, że mamy n liczb z 1, z 2, ..., z n takie, że
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Zrównując współczynniki z n , wiadomo , że jest to droższe a n . W rezultacie mamy obsesję na punkcie formuły dzielenia bogatego wyrazu na mnożniki:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Liczby z i є do pierwiastków bogatego wyrazu P n (z).

Na zagalnym vpadku nie wszystkie z i, scho wejść wcześniej (1) , Riznі. Wśród nich mogą być te same wartości. Jak rozszerzyć termin bogaty na mnożniki (1) możesz napisać na widok:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Tutaj z i ≠ z j dla i ≠ j. Yakscho n i = 1 , następnie źródło zi zwany wybaczyć. Wejdź do układu dla mnożników na widok (z-z i ). Yakscho n i > 1 , następnie źródło zi zwany wielokrotnym pierwiastkiem wielości n ja . Wchodzimy w układ mnożników, patrząc na ekstrakcję n i mnożników pierwszych: (z-z ja )(z-z ja ) ... (z-z ja ) = (z-z ja ) n ja.

Bogate terminy z efektywnymi współczynnikami

Lemat 2

Ponieważ jest to pierwiastek zespolony wielomianu o efektywnych współczynnikach, liczba ta jest również w sposób złożony powiązana z pierwiastkiem wielomianu, .

Przynoszący

Współczynniki deisno, yakscho i wielomianu - numery diysnі, następnie.

W tej kolejności złożony rdzeń jest zawarty w układzie na mnożnikach w parach z ich złożonymi znaczeniami:
,
de, - liczby rzeczywiste.
Ten sam układ (2) bogaty termin z efektywnymi współczynnikami dla mnożników można złożyć na pierwszy rzut oka, w obecności tylko skutecznego szybkiego:
(3) ;
.

Metody dzielenia wyrazu bogatego na mnożniki

Wraz z poprawą tego, co zostało powiedziane powyżej, do rozkładu wielomianu na czynniki konieczne jest poznanie wszystkich pierwiastków równania P n (z) = 0 i wyznaczyć ich wielość. Mnożniki o złożonych pierwiastkach należy grupować w złożony sposób. Ten sam układ zależy od wzoru (3) .

W tej randze w ofensywie stosowany jest sposób rozłożenia bogatego terminu na mnożniki:
1. Znamy korzeń z 1 wyrównanie P n (z1) = 0.
2.1. Korzeń Yakshcho Z 1 skuteczne, następnie w układzie dodajemy mnożnik (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), zaczynając od punktu (1) , Aż poznamy wszystkie korzenie.
2.2. Jako pierwiastek zespolony liczbę є otrzymuje się w sposób kompleksowy jako pierwiastek bogatego terminu. Todі przed rozłożeniem wprowadź mnożnik

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Moim zdaniem w układzie dodajemy mnożnik (z 2 + b 1 z + c 1) Rozcieńczam wyraz bogaty P n (z) przez (z 2 + b 1 z + c 1). W rezultacie bierzemy bogaty termin kroku n - 2 :
.
Powtórzmy proces dla wielomianu P n- 2(z), zaczynając od punktu (1) , Aż poznamy wszystkie korzenie.

Znajomość korzenia bogatego członka

główne biuro, wraz z rozwinięciem wielomianu na czynniki, znaczenie pierwiastka Yogo. Niestety nie zawsze możesz pracować analitycznie. Tutaj przeanalizujemy szprota vipadkiv, jeśli możesz analitycznie poznać rdzeń bogatego terminu.

Korzeń bogatego członka pierwszego etapu

Bogaty element pierwszego kroku jest funkcją integralną. Jest tylko jeden korzeń. Układ może być tylko jednym mnożnikiem, aby pomścić zmianę z:
.

Korzeń bogatego członka innego poziomu

Aby poznać pierwiastek bogatego wyrazu innego poziomu, konieczne jest rozwiązanie kwadratu równego:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Jako wyróżnik istnieją dwa prawdziwe korzenie:
, .
Wystarczy spojrzeć na mnożniki:
.
Co to jest wyróżnik D = 0 , to równy może jeden korzeń dvorazovy:
;
.
Jako wyróżnik D< 0 , to korzeń jest bardziej złożony,
.

Bogato wyartykułowany krok wyżej za kolejny

Formuły Іsnuyu dla znaczenia korzeni bogatych segmentów trzeciego i czwartego kroku. Rzadko się z nimi gryzą, odłamki smrodu są nieporęczne. Nie ma formuł na znajomość pierwiastków bogato artykułowanego stopnia wyższego niż IV. Ignorancko na miejscu, w deyakih vipadkas, zabiera się do rozprowadzania bogatego terminu na mnożniki.

Znaczenie całego korzenia

Wydaje się, że jest to bogate pojęcie, dla niektórych współczynników - liczba liczb, liczba pierwiastków, które można poznać sortując wszystkie możliwe wartości.

Lemat 3

Daj mi bogatego kutasa
,
współczynniki a i w tym - liczba liczby, która może być pierwiastkiem z 1 . Ten sam rdzeń co dilnik liczby a 0 .

Przynoszący

Przepiszmy równe P n (z1) = 0 na widok:
.
Todi - tsil,
Mz 1 = - a0.
Podzielone przez z 1 :
.
Oskіlki M - qile, potem ja - qile. Co trzeba było przynieść.

Dlatego jako współczynniki wielomianu - liczby liczb, można spróbować poznać liczby pierwiastka. Dla kogo konieczne jest poznanie wszystkich dilników wolnego członka? 0 і, podstawienie wyrównujące P n (z) = 0, perverti, chi є śmierdzi do korzeni tego równego.
Notatka. Ponieważ współczynniki wielomianu są liczbami wymiernymi, to mnożenie równa się P n (z) = 0 na wysokim standardzie liczb a i przyjmujemy wyrównanie dla wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Znaczenie racjonalnego korzenia

Ponieważ współczynniki wielomianu - liczby liczby i liczby pierwiastków nie są, to dla n ≠ 1 , możesz spróbować poznać racjonalny korzeń. Dla kogo konieczne jest utworzenie zastępstwa?
z = r/a n
i pomnóż równe przez n n- 1 . W rezultacie uwzględniamy równość dla wyrazu bogatego w postaci zmiany i liczby współczynników. Dali shukaimo korzeń bogatego członka środkowego członka wolnego członka. Skoro znaliśmy taki pierwiastek y i , to przechodząc do zmiany x , przyjmiemy pierwiastek wymierny
z ja = y ja / n.

Kolorowe formuły

Wprowadzamy wzory, za pomocą których możliwe jest rozwinięcie wielomianu na czynniki.

Mieć bardziej dziki temperament, aby ułożyć bogatego członka
P n (z) = z n - a 0,
de a 0 - jest bardziej złożony, konieczne jest poznanie wszystkich korzeni jogi, abyś mógł rozwikłać równe:
zn = a 0 .
Tsіvnyannya łatwo się pomylić, jak gdyby do udowodnienia 0 przez moduł r i argument?
.
Oskilki a 0 nie zmieniaj, jak dodać do argumentu 2 pi, a następnie wyobraź sobie 0 na widok:
,
de k – qile. Todi
;
.
Przypisywanie wartości k k = 0, 1, 2, ... n-1, Bierzemy n pierwiastków wielomianu. Układ Todi Yogo dla mnożników może wyglądać:
.

Bisquare termin bagatoniczny

Przyjrzyjmy się terminowi dwukwadratowe:
.
Termin bogaty w dwie kwadraty można podzielić na mnożniki bez pierwiastka.

Kiedy może:

,
de.

Segmenty dwusześcienne i bogate, które można zredukować do kwadratu

Spójrzmy na bogatego członka:
.
Yogo root oznacza równe:
.
Wygrał być prowadzony do wyrównanie do kwadratu podstawienie t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, znamy korzeń joga, t 1 , t 2 . Jeśli znamy układ na widok:
.
Dali metodą, spójrzmy na to, rozwiń go na mnożniki z n - t 1 ja z n - t 2 . Wisnowka ma grupę mnożników, które kompleksowo mszczą korzeń.

Łodygi obrotowe

Bogaty członek nazywa się zwrócić Współczynniki yakscho Yogo są symetryczne:

Kolba składowanej bagato-członka:
.

Ponieważ kroki wielomianu odwrotnego n są niesparowane, taki wielomian może mieć pierwiastek z = -1 . Dzielenie tak bogatego terminu na z + 1 , bierzemy bogaty termin zwrotu kroku

W przypadku rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі często vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє wielomian razvіdnіє na wielomianach, stupіnіy w trzech lub więcej. Możemy spojrzeć na te statystyki, jak to uprościć.

Jak zavzhd, bestialski za pomoc w teorii.

Twierdzenie Bezouta stverzhuє, scho nadwyżka w dzieleniu wielomianu na dwumianowy dorivnyuє.

Ale to, co jest dla nas ważne, to nie samo twierdzenie, ale konsekwencja z tego:

Ponieważ liczba jest pierwiastkiem wielomianu, wielomian można podzielić bez zbytniego dwumianu.

Przed nami zadanie poznania jednego pierwiastka wyrazu bogatego, następnie dzielimy wyraz bogaty na de - pierwiastek wyrazu bogatego. W rezultacie bierzemy bogaty członek, stopa jednego jest o jeden mniejsza, im dolne jest żebro zewnętrznego. A następnie do konsumpcji możesz powtórzyć proces.

Tse zavdannya podzielił się na dwie części: jak poznać rdzeń bogatego terminu i jak podzielić bogaty termin na dwumian.

Zdajmy relację z tych punktów.

1. Jak poznać korzeń bogatego członka.

Grzbiet dłoni jest czczony, chi to liczba 1 i -1 korzeni bogatego członka.

Oto kilka faktów, które mogą nam pomóc:

Ponieważ suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa zeru, liczba jest pierwiastkiem wielomianu.

Na przykład wielomian sumy współczynników jest równy zero: . Łatwo jest błędnie zinterpretować, co jest korzeniem bogatego członka.

Ponieważ suma współczynników wielomianu w sparowanych krokach jest taka sama jak suma współczynników w niesparowanych krokach, liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Współczynnik vvazhaetsya członka Vilniy na podwójnym poziomie, oskolki i - liczba facetów.

Na przykład w wielomianu sumy współczynników w sparowanych krokach : i sumy współczynników w niesparowanych krokach : . Łatwo jest błędnie zinterpretować, co jest korzeniem bogatego członka.

Jeśli nі 1, nі -1 є do korzeni wielomianu, wtedy odległość się zapada.

Dla indukowanego członu bogatego kroku (tobdo członu bogatego, w którym współczynnikiem senioralnym jest współczynnik przy - wiodący) obowiązuje następujący wzór:

De jest korzeniem bogatego członka.

Jest więcej formuł Vієta, że ​​istnieją inne współczynniki wielomianu, ale sami możemy o tym mówić.

Z tsієї formuła Vієta viplivaє, scho jako pierwiastek bogatego członka liczby całkowitej, to smród dilników członka wolnego od jogi, który jest również liczbą całkowitą.

Vihodyachi z tsogo, musimy ułożyć termin zmienny wyrazu bogatego w wielokrotności i kolejno od najmniejszego do największego, odwracając, która z liczby mnogiej jest pierwiastkiem wyrazu bogatego.

Spójrz na to na przykład bogaty członek

Darmowe pamiętniki członków: ; ; ;

Suma wszystkich współczynników wielomianu jest droższa, więc liczba 1 przestała być pierwiastkiem wielomianu.

Suma współczynników dla kroków bliźniaczych:

Suma współczynników dla niesparowanych kroków:

Również liczba -1 jest również pierwiastkiem wielomianu.

Jest odwracalne, że chi jest liczbą 2 jako pierwiastkiem bogatego terminu: również liczba 2 jest pierwiastkiem bogatego terminu. Później, zgodnie z twierdzeniem Bezouta, bogaty wyraz można podzielić bez nadmiaru na dwumian.

2. Jak odjąć wyraz sformatowany od dwumianu.

Bogaty termin można podzielić na dwumianowy z kikutem.

Bogaty termin dzielimy na dwumianowy ze stompchikiem:

Drugim sposobem podziału wielomianu na dwumian jest schemat Hornera.

Obejrzyj wideo, aby zrozumieć jak podzielić wyraz bogaty na wyraz binarny z krokiem i dla dodatkowego schematu Hornera.

Będę szanować to, kiedy rozpodіlі stovpchik jak kroki nieznane vyhіdny wielomianowi vіdsutnya, її mіstsі napisz 0 - jak і, jak ze złożonego stołu dla schematu Hornera.

W związku z tym, ponieważ musimy podzielić wyraz bogaty na wyraz binarny i w rezultacie weźmiemy wyraz bogaty, to możemy poznać współczynniki stojące za schematem Hornera:

Możemy również wikariusza Schemat Hornera w celu odwrócenia, jeśli liczba jest podana jako pierwiastek wyrazu bogatego: jeżeli liczba jest pierwiastkiem wyrazu bogatego, to nadmiar w podpolu wyrazu bogatego jest równy zero, więc w pozostałej kolumnie wyrazu bogatego drugi rząd schematu Hornera bierzemy 0.

Schemat Vikoristovuyuchiego Hornera, „pukamy w dwa ptaki jednym kamieniem”: przez godzinę sprawdzamy, czy liczba jest pierwiastkiem bogatego terminu i dzielimy bogaty termin na dwumian.

krupon. Virishiti, Równina:

1. Zapisz dilnik wolnego członka, a shukatimemo rdzeń bogatego członka środkowych dilników wolnego członka.

Dialogi numeru 24:

2. I odwrotnie, chi jest pierwiastkiem numer 1 bogatego terminu.

Suma współczynników wielomianu, również liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu.

3. Podziel na zewnątrz bogaty termin na termin binarny, korzystając ze schematu Hornera.

A) Zapisz pierwszy wiersz tabeli współczynników wielomianu wyjściowego.

Członek Oskіlki, scho vengeance vіdsutnya, przy tym stole, który może mieć współczynnik, gdy piszemy 0. Piszemy zły korzeń wiedzy: numer 1.

B) Zapisz pierwszy wiersz tabeli.

W pozostałej części kolumny, jakby było jasne, odjęliśmy zero, świat podzielił ostatni bogaty wyraz na dwumian bez nadmiaru. Współczynniki wielomianu, które wynik ma pod obrazem w kolorze niebieskim w kolejnym wierszu tabeli:

Łatwo nie zrozumieć, że liczby 1 i -1 nie są korzeniami bogatego terminu

C) Kontynuujemy stół. Odwrotnie, chi jest liczbą 2 jako rdzeń bogatego terminu:

Tak więc krok wielomianu, który pojawia się w wyniku podwyrazu jest o jeden mniejszy od kroku wyjściowego wyrazu bogatego, również liczba współczynników i liczba kolumn jest o jeden mniejsza.

W pozostałej części kolumny odjęliśmy -40 - liczbę, która nie dodaje się do zera, dlatego wyraz bogaty jest dzielony przez wyraz binarny od nadmiaru, a liczba 2 nie jest pierwiastkiem wyrazu bogatego.

C) Odwrotnie, chi to liczba -2 jako rdzeń bogatego terminu. Czyli tak jak poprzednio do testu nie było daleko, żeby nie było szwindlu ze współczynnikami, z rzędu potwierdzam swój test:

Cudowny! Zero zostało odjęte od nadmiaru, następnie bogaty wyraz został podzielony na dwumian bez nadmiaru, a liczba -2 jest pierwiastkiem bogatego wyrazu. Współczynniki wielomianu, które w wyniku dzielą wielomian na dwumian w tabeli obrazu w kolorze zielonym.

W rezultacie odjęliśmy trójmian kwadratowy , którego rdzeń jest łatwy do poznania za twierdzeniem Vieta:

Otzhe, korzeń zewnętrznego przebudzenia:

{}

Sugestia: ( }

Bogaty członek Yakscho

Przynoszący

Miejmy współczynniki wielomianu є przez liczby całkowite i niech liczba a będzie pierwiastkiem th bogatego wyrazu. Do tego, w którym dźwięk świeci w każdej chwili, współczynnik dzieli się przez a.

Szacunek. To twierdzenie w rzeczywistości pozwala poznać pierwiastki najbogatszych terminów w takim przypadku, jeśli współczynniki tych bogatych terminów są liczbami, a pierwiastek jest Liczba wymierna. Twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: tak jak wiemy, że współczynniki wielomianu są liczbami, a pierwiastek yogo jest wymierny, tak wymierny pierwiastek może być tylko taki jak de p jako dilnik liczby (wyraz wolny), a liczba q jest rozszerzeniem liczby (senior coy) .

Twierdzenie o całym korzeniu, co zemścić się na sobie

Tak jak liczba α jest pierwiastkiem bogatego wyrazu o wielu współczynnikach, tak α jest dilnikem jogicznego wyrazu wolnego.

Przynoszący. Daj spokój:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

bogaty termin ze współczynnikami qlimi i liczbą qile α - pierwiastek yogo.

Wtedy wartość pierwiastka jest wyrównywana P(α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny mnożnik α dla łuków, usuń równoważność:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , gwiazdy

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Odłamki liczby a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, to łuki powinny być liczbą całkowitą, a następnie podzielić a n przez α, tak jak miało być zakończone.

Twierdzenie zostało poruszone, ale można je sformułować w ten sposób: liczba pierwiastków wielomianu wraz z liczbą współczynników jest dilatorem pierwszego członu wolnego.
Na twierdzeniu o fundamentach algorytm wyszukiwania pierwiastka całkowitoliczbowego wyrazu bogatego z całkowitą liczbą współczynników:

2. Twierdzenie Dodatkovej o wartości pierwiastka

Oprócz liczby pierwiastków α wyrazu bogatego P(x) o współczynnikach całkowitych, to dzielnik α-1 liczby P(1), dzielnik α+1 liczby P(-1)

Przynoszący. 3 identyczność

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

widać, że z liczby liczb b і c liczba bⁿ-cⁿ jest podzielna przez b∙c. Ale dla każdego bogatego członka P retail

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

Również dla wielomianu P ze współczynnikami zlimi w liczbach b i c różnica P(b)-P(c) jest podzielona na b-c.

Pamiętajmy: dla b = α, z = 1, P(α)-P (1) = -P (1), co oznacza, że ​​P (1) dzieli się przez α-1. Podobnie jest z innym poglądem.

Schemat Hornera

Twierdzenie: Niech krótkoterminowy drіb p / q є rdzeń równy a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 z wieloma współczynnikami, ta sama liczba q є dilnik współczynnika seniora a0 i liczby R є dilnik wolny członek an.

Szacunek 1. Bądź korzeniem związku z liczbą współczynników i dilnikem członka wolnego jogi.

Szacunek 2 Ponieważ współczynnik seniora jest równy liczbie współczynników drogi 1, wszystkie racjonalne pierwiastki, jak wiadomo smród - liczba.

Korzeń bogatego członka. Korzeń bogatego członka f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , Więc co f (c)=0 .

Uwaga 3. Yakscho x = c korzeń bogatego członka , to bogaty termin można zapisać jako: f(x)=(x−c)q(x) , de tse prywatny widok pod bogatym członkiem f(x) w jednomian x-c

Możesz podzielić bogaty termin na jednomian za pomocą schematu Hornera:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , to kiedy rozpodіlі f (x) na g (x) prywatnie q(x) może wyglądać q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. nadwyżka r znać formułę r=c b n − 1 +a n

Rozwiązanie: Współczynnik na poziomie seniorskim wynosi 1; 2; 3; cztery; 6; 12. Schemat Vikoristovuyuchiego Hornera, wiemy, że liczba korzeni jest równa:

Jest jeden wybór dla schematu Hornera. wtedy możesz to zrobić w ten sposób x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3