Aksjomaty liczb rzeczywistych. Kontynuacja aksjomatów teorii liczb

Numery mowy, które są wskazywane przez (tzw. R ruban), wprowadza się operację dodawania („+”), tak aby skóra pary elementów ( x,tak) z bezosobowymi numerami mowy umieszczonymi w elemencie vіdpovіdnіst x + tak z tsієї w mnożnik, tytuły sumo xі tak .

Aksjomaty mnogości

Wprowadzono operację mnożenia („·”), więc para skórek elementów ( x,tak) dla bezosobowych numerów mowy wstaw element (inaczej skrócony, xtak) s tsієї w mnożnik, tytuły stworzenia xі tak .

Zvyazok dodavannya w liczbie mnogiej

Aksjomaty na zamówienie

Na zadanie zlecenie "" (mniej niż jeden), a następnie na zakład x, y vykonuєtsya chcąc być jednym z umysłów.

Zv'yazok w celu złożenia

Zvyazok vіdnoshennia zamów tę liczbę mnogą

Aksjomat ciągłości

Komentarz

Ten aksjomat oznacza, że Xі Tak- dwa puste mnożniki liczb rzeczywistych takie, że jest dowolny element X nie przewracaj żadnego elementu Tak, możesz wstawić między nimi numer mowy. Do liczby wymierne ten aksjomat nie jest zwycięski; klasyczny tyłek: rozpoznawalnie dodatnie liczby wymierne i widocznie bezosobowość X te liczby, których kwadrat jest mniejszy niż 2, a drugi - do Tak. Todi Mizh Xі Tak nie można wstawić liczby wymiernej (nie liczby wymiernej).

Jest to kluczowy aksjomat, który zabezpiecza bezpieczeństwo, a tym samym umożliwia analizę matematyczną. Dla zilustrowania jego znaczenia, pozwolę sobie wskazać dwie podstawowe implikacje z tego wynikające.

Dziedzictwo aksjomatów

Bez aksjomatu pośredniczącego diakoni są ważni dla potęgi dzisiejszych liczb, na przykład

jedność zero,
jedność elementów proliferacyjnych i zjadliwości.

Literatura

Zorich V.A. Analiza matematyczna. Tom I.M.: Fazis, 1997, część 2.

Dyw. Również

Posilanya

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz także „Aksjomatyka liczb rzeczywistych” w innych słownikach:

Mowa, która jest liczbą rzeczywistą, jest abstrakcją matematyczną, której vinikla z wymaga użycia geometrycznych i fizycznych wielkości potrzebnego światła, a także wykonywania takich operacji jak wyrywanie pierwiastków, obliczanie logarytmów, rozwiązań.

Mowa, chi liczby rzeczywiste to matematyczna abstrakcja, czemu służyć, zokrema, przejaw tego podobieństwa wartości wielkości fizycznych. Taką liczbę można intuicyjnie przedstawić jako opisującą położenie punktu na linii prostej.

Wikisłownik zawiera artykuł „aksjomat” Aksjomat (w. grecki ... Wikipedia

Aksjomat stosowany w różnych systemach aksjomatycznych. Aksjomatyka liczb rzeczywistych Aksjomatyka Hilberta geometrii euklidesowej Aksjomatyka teorii imovirnosti Kołmogorowa ... Wikipedia

System liczbowy

Załóżmy, że pojawił się ciąg naturalny dla przenoszenia obiektów. Ale jeśli chcemy pracować z obiektami, potrzebujemy operacji arytmetycznych na liczbach. Tobto, jeśli chcemy złożyć jabłko lub podzielić ciasto, musimy przetłumaczyć liczbę cyfr.

To wstydliwy szacunek, że po wprowadzeniu operacji +і * w języku liczb naturalnych konieczne jest dodanie aksjomatów oznaczających moc tych operacji. Aletody i bezosobowe liczby naturalne tezh rozszerzanie.

Podziwiamy, jak rozszerzają się bezosobowe liczby naturalne. Najprostsza operacja, jaka była konieczna w przypadku jednego z pierwszych - ce dodavannya. Jeśli chcemy wyznaczyć dodatkową operację, konieczne jest wyznaczenie do niej zwrotu - decyzji. W rzeczywistości, jak wiemy, co zostanie dodane w wyniku, na przykład 5 i 2, to jesteśmy winni dodania do kolejności typu: co należy dodać do 4, aby wziąć 11. vimagatimut vminnya viroblyat ja zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya liczby naturalne dają ponownie Liczba naturalna, to patrząc na liczby naturalne daje wynik, który nie pasuje do N. Potrzebujemy więcej liczb. Przez analogię do sensownej wizji większa liczba mniejszy boulo wprowadził zasadę vidnіmannya z mniejszą większą - więc pojawiła się liczba liczb ujemnych.

Uzupełniając ciąg naturalny operacjami + і - mi, dochodzimy do bezosobowych liczb całkowitych.

Z=N+operacje(+-)

Układ liczb wymiernych yak mov arytmetyka

Przyjrzyjmy się teraz składaniu diu - liczby mnogiej. W rzeczywistości jest to dodatek bagatarazy. І dodatkowa liczba liczb całkowitych jest wypełniona liczbą całkowitą.

Ale, odwrotna operacja do wielokrotnego - tse podіl. Ale to nie zawsze daje dobry wynik. I znowu stajemy przed dylematem – albo przyjąć tak, jakby wyniku nie można było „zrozumieć”, albo odgadnąć numer nowego typu. Więc obwiniali liczby wymierne.

Weźmy układ liczb całkowitych i uzupełnijmy go aksjomatami, które określają działanie mnożenia i dolnego. Usuwamy system liczb wymiernych.

Q=Z+operacje(*/)

Ojcze, język liczb wymiernych pozwala ci pracować wszystkie operacje arytmetyczne nad liczbami. Język liczb naturalnych nie wystarczał.

Wprowadźmy aksjomatycznie system liczb wymiernych.

Wizyta, umówione spotkanie. Bezosobowe Q nazywa się bezosobowymi liczbami wymiernymi, podobnie jak elementy - liczby wymierne, jako postępujący kompleks umysłów, tytuły nazywane są aksjomatyką liczb wymiernych:

Aksjomaty operacji składania. Dla be-like-ordered bet x,y elementy Q element deyaky x+yÎQ, szeregi w sumie Xі w. Kiedy wygrasz, pomyśl w ten sposób:

1. (Isnuvannya zero) Iznuє element 0 (zero) taki, że dla any XОQ

X+0=0+X=X.

2. Dla dowolnego elementu X Q Q główny element - XО Q (naprzeciwko) X) taki, że

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Przemienność) Na cokolwiek x,y Q

4. (Łączność) Dla dowolnych x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksjomaty operacji mnożenia.

Dla be-like-ordered bet x, y elementy Q przypisane do rzeczywistego elementu takÎ Q, tytuły stworzenia Xі tak. Kiedy wygrasz, pomyśl w ten sposób:

5. (Isnuvannya pojedynczy element) Iznuє element 1 Q taki, że dla czegokolwiek X Q

X . 1 = 1. x = x

6. Dla dowolnego elementu X Q Q , ( X≠ 0) główny element X-1 ≠0 takie, że

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Stowarzyszenie) Dla bytów x, y, z Q

X . (w . z) = (x . y) . z

8. (Przemienność) Na cokolwiek x, y Q

Aksjomat zv'azku złożony i pomnożony.

9. (Dystrybucyjny) Na cokolwiek x, y, z Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Aksjomaty są w porządku.

Bądź jak dwa żywioły x, y, Q Q początek na końcu linii ≤. Kiedy wygrasz, pomyśl w ten sposób:

10. (X≤w)L ( w≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( Y≤ z) => x≤z

12. Dla be-yakah x, yО Q lub x< у, либо у < x .

Ustawienie< называется строгим неравенством,

Ratio = zwana równością elementów Q.

Aksjomat zv'yazku dodavannya ten porządek.

13. Dla dowolnych x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Aksjomat zv'yazku mnozhennya tej kolejności.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Aksjomat wieczności Archimedesa.

15. Dla czy a > b > 0, mamy m N i n Q tak, że m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Zatem system liczb wymiernych jest arytmetyką Zema.

Prote, poza praktycznymi zadaniami liczenia, sam film to za mało.

Metoda aksjomatyczna w matematyce.

Podstawowe rozumienie i rozumienie aksjomatycznej teorii szeregu naturalnego. Wyznaczenie liczby naturalnej.

Dodawanie liczb naturalnych.

Wzrost liczb naturalnych.

Potęga mnożnika liczb naturalnych

Vіdnіmannya raspodіl liczby naturalne.

Metoda aksjomatyczna w matematyce

Dzięki podpowiedziom aksjomatycznym uzupełniany jest pewien rodzaj teorii matematycznej śpiewać zasady:

1. Deyakі rozumiem teorię vibirayutsya jak poważny zostaje przyjęta bez nakazu.

2. Formułowane aksjomaty, które są akceptowane przez te teorie bez dowodów, które mają moc zrozumienia głównych.

3. Skóra rozumie teorię, aby nie zemścić się na liście głównych, jest ona podana wizyta, umówione spotkanie, dla nowego wyjaśniono Yogo zmist za pomoc głównych i front do tego zrozumienia.

4. Naskórkową propozycję teorii, której nie można pominąć w spisie aksjomatów, można wydobyć na światło dzienne. Takie propozycje nazywają się twierdzenia i przynieś je na podstawie aksjomatów i twierdzeń, które mają zostać przerobione.

System aksjomatów może być:

a) nierozważne: jesteśmy winni buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z danego systemu aksjomatów, nie dochodzimy do superechnosti;

b) niezależny: żaden z aksjomatów nie jest winny przestrzegania innych aksjomatów systemu.

w) ponownie, nawet w tych ramach, zawsze można sprowadzić chi firmy, do której wpisuje się Yogo.

Pierwszy dowód aksjomatycznej motywacji teorii ma być uwzględniony w księdze geometrii Euklidesa w Yogo „Cobs” (III w.). Znaczący wkład w rozwój metody aksjomatycznej inspirującej geometrię i algebrę opracował N.I. Łobaczewski i E. Galois. Na przykład 19 ul. Włoski matematyk Peano rozbił system aksjomatów dla arytmetyki.

Podstawowe rozumienie i rozumienie aksjomatycznej teorii liczby naturalnej. Wyznaczenie liczby naturalnej.

Jako główne (nieistotne) zrozumienie w deakіy mnogości N wybierać migawka , i navіt vikoristovuyutsya teoretyczne-wielokrotne rozumienie, nawigacja zasad logiki.

Element, który podąża za elementem bez przerwy a, oznaczać a".

Pozornie „bez pośrednika podążają za” są zadowoleni z nadchodzących aksjomatów:

Aksjomaty Peano:

Aksjomat 1. Bez twarzy N іsnuє element, bez środka nie obraźliwe nie ma mnożników dla żadnego elementu. Nazwijmy jogę samotność które symbolizują 1 .

Aksjomat 2. Dla elementu skóry a h N podstawowy pojedynczy element a" , nieubłaganie posuwając się do przodu a .

Aksjomat 3. Dla elementu skóry a h Nіsnuє nie więcej niż jeden element, dla którego następuje bez pośrednika a .

Aksjomat 4. Bądź jak mnożnik M bez twarzy N spіvpadє z N , yakscho maє moc: 1) 1 zemścić się M ; 2) z czego a zemścić się M , dalej, co ja? a" zemścić się M.

Spotkanie 1. Bezlich N , do których elementów montowana jest roleta „Natychmiast podążaj", który spełnia aksjomaty 1-4, nazywa się bezlіchchu naturalne liczby i elementy jogi - liczby naturalne.

Ta wyznaczona osoba nie ma nic do powiedzenia o naturze elementów mnożnika N . Więc możesz tam być. Vibirayuchi jak bez twarzy N dzień jest konkretnym mnożnikiem, na którym podane jest konkretne odniesienie „bez pośredniego naśladowania”, co spełnia aksjomaty 1-4, przyjmujemy go model tego systemu aksjomaty.

Standardowym modelem systemu aksjomatów Peano jest ciąg liczb, który jest korzeniem procesu historycznego rozwoju sukcesji: 1,2,3,4,... Szereg naturalny zaczyna się od liczby 1 (aksjomat 1); po liczbie naturalnej skóry następuje bezpośrednio jedna liczba naturalna (aksjomat 2); liczba naturalna skóry następuje po nie więcej niż jednej liczbie naturalnej (aksjomat 3); zaczynając od liczby 1 i przesuwając się w kierunku liczb naturalnych postępujących jedna po drugiej, bierzemy wszystkie mnożniki liczb (aksjomat 4).

Otzhe, opracowaliśmy aksjomatyczny system pobudowa liczb naturalnych z wyborem głównego vodnosiny „bez pośrednika podążaj za” ten aksjomat w niektórych opisach jogi mocy. Nieco dalej teoria Pobudowa o przeniesieniu spojrzenia na potęgi liczb naturalnych i operacji z nich. Smród może być rozkritі w wyznaczonym i twierdzeniach, tobto. wprowadzone przez codzienną ścieżkę logiczną wprowadzenia „bez średniego rozważenia” i aksjomatów 1-4.

Pierwszą rzeczą do zrozumienia, jak wprowadzamy po wyznaczeniu liczby naturalnej, jest migawka "natychmiast do przodu" , yake często vikoristovuyut przez godzinę, aby spojrzeć na moce naturalnej serii.

Spotkanie 2. Co to jest liczba naturalna b śledzić bez pośrednika Liczba naturalna a, ten numer a nazywa bezpośrednio przed nami(inaczej przód) liczba b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє obok władz.

Twierdzenie 1. Jedność nie ma przedniej liczby naturalnej.

Twierdzenie 2. Skóra jest liczbą naturalną a, Vіdmіnne vіd 1, ma jeden numer do przodu b, Więc co b"= a.

Aksjomatycznego uzasadnienia teorii liczb naturalnych nie widać ani w gimnazjum, ani w gimnazjum. Prote dominion vіdnosinі „bez pośredników”, jak to było w aksjomatach Peano, przedmiot studiów na kursie matematyki. Już na pierwszych zajęciach jest godzina, aby przyjrzeć się liczbom pierwszej dziesiątki, widać, że można uzyskać numer skóry. U kogo rozumiane są słowa „przesunął się” i „przed”. Skórka to nowa liczba będąca kontynuacją pokręconego skrętu naturalnego ciągu liczb. Naucz się ponownie przemyśleć w tsiom, scho z numerem skóry, to samo i więcej niż jeden, że naturalna seria liczb jest niewyczerpana.

Dodawanie liczb naturalnych

Dla reguł podpowiadania teorii aksjomatycznej, wyznaczającej dodawanie liczb naturalnych, konieczne jest przeprowadzenie, zastępcze „natychmiast podążaj”, rozumiem "Liczba naturalna"і „poprzedni numer”.

Viperedimo vyznachennya złożony przez postęp mirkuvannyami. Jak do dowolnej liczby naturalnej a dodaj 1, a następnie weź liczbę a", nieubłagany postęp a, następnie. a+ 1= a" Następnie przyjmujemy zasadę dodawania 1 do dowolnej liczby naturalnej. Ale jak dodać do a Liczba naturalna b, vіdmіnne vіd 1? Przyspieszamy nadchodzący fakt: jeśli widzimy, że 2 + 3 = 5, to suma wynosi 2 + 4 = 6, co następuje po liczbie 5 bez pośrednika. W tej kolejności 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". W gorącym wyglądać jak może, .

Fakt ten jest podstawą wyznaczania liczb naturalnych w teorii aksjomatycznej.

Spotkanie 3. Dodawanie liczb naturalnych wywoływana jest operacja algebraiczna, która może być potężna:

Numer a + b nazywa suma liczb aі b , i same liczby aі b - dodanki.

PAŃSTWOWY UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY OMSK
ODDZIAŁ OMDPU w pobliżu G. TARI
LBC pracuje nad decyzjami redakcyjnymi i wydawniczymi
22. 73. filia OmDPU w pobliżu metra Tari
Ch67

Rekomendacje cieszą się uznaniem studentów uczelni pedagogicznych, którzy uczą dyscypliny „Algebra i teoria liczb”. W ramach tej dyscypliny w 6 semestrze rozwijany jest dział „Liczby systemu”. Zalecenia te obejmują materiał dotyczący aksjomatycznego uzasadnienia dla systemów liczb naturalnych (układ aksjomatów Peano), systemów liczb całkowitych i wymiernych. Aksjomatyka Tsya pozwala lepiej zrozumieć, czym jest taka liczba, jako jedna z głównych do zrozumienia szkolnego kursu matematyki. W celu jak najkrótszego przyswojenia materiału sugeruje się wprowadzenie odpowiednich tematów. Na przykład rekomendacje i rekomendacje, oświadczenia, zadania.

Recenzent: dr hab., prof. Dalinger V.A.

Podpisano do przyjaciela - 22.10.98

Gazeta
Nakład 100 egzemplarzy.
Metoda operacyjna dla siebie
OmDPU, 644099, Omsk, ul. Tuchaczewski, 14
filiya, 644500, Tara, ul. Szkilna, 69

1. LICZBY NATURALNE.

Przy aksjomatycznym rozumowaniu systemu liczb naturalnych ważne jest uwzględnienie rozumienia mnożnika, błękitu, funkcji i innych wieloteoretycznych rozumień.

1.1 System aksjomatów Peano i najprostsze wnioskowania.

Powszechne rozumienie w aksjomatycznej teorii Peano to bezosobowe N (jak nazywa się bezosobowość liczb naturalnych), zwłaszcza liczba zero (0) z nowej i binarnej relacji „następuje” do N, którą oznaczamy przez S ( a) (lub ().
AKSJOMAT:
1. ((a(N) a"(0 (Jest to liczba naturalna 0, która nie występuje po żadnej.))
2. a=b (a"=b"
3. a „=b” (a=b (Naturalna liczba skórek występuje po więcej niż jednej liczbie.)
4. (aksjomat indukcji) Jako mnożnik M(N i M spełnia dwa umysły:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a)(M, następnie M=N).
W terminologii funkcjonalnej ze oznacza, że S:N®N jest nieaktywny. Z aksjomatów 1 jasno wynika, że fermentacja S:N®N nie jest nadaktywna. Aksjomat 4 jest podstawą udowodnienia ciężkiej pracy „metodą indukcji matematycznej”.
Znaczące akty potęgi liczb naturalnych, które bez pośredników wołają o aksjomaty.
Potęga 1. Skórka jest liczbą naturalną a(0 po jednej i więcej niż jednej liczbie.
Przynoszący. Co ważne, poprzez M bezosobowe liczby naturalne, co oznacza zero i wszystkie liczby naturalne następujące po dowolnej liczbie. Wystarczy pokazać, że M=N, jedność wynika z aksjomatów 3. Udowodnijmy aksjomat indukcji 4:
A) 0(M - przez mnożnik podpowiedzi M;
B) nawet a(M, te a"(M, więcej a" następuje po a.
Średnia z aksjomatów 4 M=N.
Moc 2. Jak a (b, potem "(b").
Władzę przynosi metoda „z nieakceptowalnego” aksjomatu wikorystycznego 3. Podobnie, taką moc przynosi 3, aksjomat wikorysty 2.
Moc 3. Jak "(b", potem a (b.)"
Potęga 4. ((a(N)a(a). (po niej nie występuje liczba naturalna).)
Przynoszący. Niech M=(x(x(N, x(x))). ) w takim rzędzie Umov A) aksjomia 4 0(M - wygrywa. Jeśli x(M, to x(x"), to 2 x" ((x")", a tse oznacza, że wygrywa i Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodycznie podąża za aksjomatem 4 M=N."
Niech (- dwójka potęgi liczb naturalnych. Fakt, że liczba a ma potęgę (, zapisz ((a)).).
Zadanie 1.1.1. Powiem wam, że aksjomat 4 oznaczania bezosobowych liczb naturalnych jest bliższy twardości ofensywnej: dla wszelkiego rodzaju autorytetu (tak jak ((0) i, w takim razie).
Zadanie 1.1.2. Operacja jednoargumentowa (: a(=c, b(=c, c(=a)) jest zdefiniowana w ten sposób na trójelementowym mnożniku A=(a,b,c).)
Zadanie 1.1.3. Niech A \u003d (a) - mnożnik jednoelementowy, a (= a) Yaki z aksjomatami prawdy Peano na mnożniku A z operacją (?)
Zadanie 1.1.4. Na wielokrotności N istotna jest operacja znacząco jednoargumentowa, bez względu na to, kto. Wyjaśnij, co będzie prawdą w przypadku aksjomatów Peano sformułowanych w kategoriach operacji.
Zadanie 1.1.5. Daj spokój. Udowodnij, że A jest domknięte za pomocą operacji (. Odwróć prawdziwość aksjomatów Peano na mnożniku A za pomocą operacji (.).
Zadanie 1.1.6. Daj spokój, . Znacząco na A jest jednak operacją jednoargumentową. Jak aksjomaty Peano są prawdziwe na mnożniku A operacji?

1.2. Niesuperelekcyjność i kategoryczność systemu aksjomatów Peano.

Układ aksjomatów nazywamy nienaddatkowymi, ponieważ w przypadku aksjomatów її nie można sprowadzić twierdzenia T i її poprzecznie (T. Zrozumiano, że superefektywne układy aksjomatów nie mogą mieć tej samej wartości w matematyce, ponieważ w takim Teorię można wydobyć wszystko, co W związku z tym brak doskonałości systemu aksjomatów jest absolutnie niezbędny.
Yakshcho w Aksjomatic Theoret nie strumieniował twierdzenia t і ї ї ї ї ї ї ї nie znaczy, że system aksi nie jest przytłoczony, na fakt, że interpretacja systemu aksjomatów w oczywiście nienadrównorzędnej teorii S, to sam system aksjomatów jest nienadrówny.
Dla systemu aksjomatów Peano można zbuduvat bogate różne interpretacje. Szczególnie bogata w interpretację teorii wielości. Jedna z takich interpretacji jest znacząca. Przez liczby naturalne możemy wziąć wielokrotności (, ((), ((())), (((())),..., zero rozróżnimy liczbą (. (M), jedynym elementem takie i takie M. W tej kolejności ("=((), (()"=((()) i tak dalej))) jest małe: pokazuje, że system aksjomatów Peano jest mimo, że teoria wielokrotności nie jest superlatyw, ale dowód na nienadrzędność systemu aksjomatów teorii wielokrotności jest jeszcze ważniejszy.
System aksjomatów, który nie jest najwyższy, nazywamy niezależnym, ponieważ aksjomat skóry tego systemu nie może być udowodniony jako twierdzenie na podstawie innych aksjomatów. Aby wydobyć na światło dzienne aksjomat
(1, (2, ..., (n, (1))
wystarczy, aby udowodnić, że system aksjomatów nie jest nadrzędny
(1, (2, ..., (n, ((2))
To prawda, yakby (można było różnić się od innych aksjomatów systemu (1), wtedy system (2) był supermądry, jego fragmenty byłyby prawdziwe dla twierdzenia (i aksjomatu (.)).
Również, aby doprowadzić do niezależności aksjomatów (od innych aksjomatów systemu (1), wystarczy zachęcić do interpretacji systemu aksjomatów (2).
Niezależność systemu aksjomatów to wielka neobov'yazkova. Czasami, aby uniknąć dowodu „ważnych” twierdzeń, stworzymy ponadświatowy (depozytowy) system aksjomatów. Jednak aksjomaty „zayv” ułatwiają dostrzeżenie roli aksjomatów w teorii, a także wewnętrznych powiązań logicznych między różnymi działami teorii. Ponadto interpretacja pobudova dla odłogowych systemów aksjomatów jest znacznie złożona, niższa dla niezależnych; nawet jeśli musisz ponownie rozważyć słuszność aksjomatów „zayvih”. Wśród dawnych aksjomatów nadano pierwsze znaczenie przyczynom odżywiania odłogów. Postaraj się zbliżyć do swojego czasu, że piąty postulat w aksjomatyce Euklidesa „To nie więcej niż jedna prosta przechodząca przez punkt A równolegle do prostej” (”, є przez twierdzenie (leżeć w innych aksjomatach) i doprowadził do konkluzji geometrii Łobaczewskiego).
System nienazwiskowy nazywa się dedukcyjnie nowym, tak jakby twierdzenie A danej teorii można było albo wysunąć, albo ogłosić, wtedy albo A, albo (A jest twierdzeniem danej teorii. aksjomat nazywa się dedukcją povnota - tezh nie obov'yazkova vimoga, na przykład system aksjomatów teorii grup, teorii terytorium, teorii podlewania - nieprawda, odłamki są oparte na grupach kіntsevі i neskіnchennі, kіltsya, polach, a następnie w tych teorie, o które nie możesz zapytać, nie możesz przedstawić propozycji.: „Grupa (kіltse, pole) w celu pomszczenia kіltse kіlkіst elementów”.
Należy zauważyć, że w bogatych teoriach aksjomatycznych (same samych, w niesformalizowanych) nie można dokładnie uwzględnić zdań bezosobowych i nie jest możliwe oddanie dedukcyjnej zupełności systemu aksjomatów takiej teorii. Druga zmiana jest często nazywana kategoryczną. System aksjomatów nazywa się kategorycznym, więc niech dwie interpretacje są izomorficzne, tak że istnieje takie wzajemnie jednoznaczne rozróżnienie między wieloma obiektami kolbowymi a innymi interpretacjami Kategoryczność - umysł tezh neobov'yazkova. Na przykład system aksjomatów teorii grup nie jest kategoryczny. Powodem jest to, że grupa Kintseva nie może być izomorficzną grupą bez skóry. Jednak wraz z aksjomatyzacją teorii systemu liczbowego, kategoryczna natura obov'yazkova; Na przykład kategoryczny charakter systemu aksjomatów, który oznacza liczby naturalne, oznacza, że aż do izomorfizmu istnieje tylko jeden ciąg naturalny.
Przybliżmy kategoryczność systemu aksjomatów Peano. Niech (N1, s1, 01) i (N2, s2, 02) będą dwiema interpretacjami systemu aksjomatów Peano. Należy wskazać takie biektivne (wzajemnie jednoznaczne) wyrażenie f: N1®N2, o którym należy pomyśleć:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) dla dowolnego x N1;
b) f(01) = 02
Jeśli jednoargumentowe operacje s1 i s2 są obrażane tym samym uderzeniem, to umova a) przepisz
a) f(x()=f(x)(.
Znacząco na mnożniku N1(N2)
1) 01f02;
2) jak xfy, x(fy(.
Zmieńmy, jakie jest zastosowanie fermentacji N1 na N2, a następnie dla skóry x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Znacząco przez elementy bezosobowe M1 x N1, dla niektórych umysłów (1) wygrywa. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 z mocy 2) i potęga 1 pkt 1).
Zatem zgodnie z aksjomatem 4 jest możliwe, że M1=N1, a tse i oznacza wprowadzenie f є fermentacji N1 N2. W tsimu z 1) jest oczywiste, że f (01) = 02. Umov 2) jest napisane tak: f(x)=y, potem f(x()=y(. Brzmi to jak f(x()=f(x)(. Również, dla odzwierciedlenia f, pomyśl o )) i b.
Znacząco przez M2, bezosobowe ciche elementy N2, skóra dowolnego z nich w postaci jednego i tylko jednego elementu N1, gdy f jest wyświetlane.
Odłamki f(01)=02, a następnie 02 є. Jeśli tak x(N2 і x(01), to dla potęgi 1 pozycja 1 x następuje po bieżącym elemencie c z N1 і wtedy f(x)=f(c()=f(c)((02. Średnia, 02 f) ranga pojedynczego elementu 01, potem 02 (M2.
Dalej y(M2 і y=f(x), gdzie x jest pojedynczym obrazem wstępnym elementu y. Następnie, na mocy a) y(=f(x)(=f(x()), to y( є obraz elementu x ) (. Niech c będzie wstępnym obrazem elementu y(, wtedy f(c)=y(. Skіlki y((02, then c(01 і c) jest elementem przednim, co ma sens przez d.)) Wtedy y( =f( c)=f(d()=f(d)(, zgodnie z aksjomatem 3 y=f(d)). M2 ® y
Cała matematyka przedgrecka ma niewiele charakteru empirycznego. Wszystkie elementy teorii tonęły w masie empirycznych podejść do opracowania praktycznych zadań. Grecy przekazali ten empiryczny materiał analizy logicznej, próbując znaleźć związek między różnymi danymi empirycznymi. Dla których całe poczucie geometrii ma wielką rolę odgrywaną przez Pitagorasa i szkołę (V w. n.e.). Idee metody aksjomatycznej zostały wyraźnie wyrażone w pracach Arystotelesa (IV wiek n.e.). Prote, praktyczny rozwój tych pomysłów został przeprowadzony przez Euklidesa w jodze „Kolby” (3 wieki naszej ery).
Można wymienić trzy formy teorii aksjomatycznych.
jeden). Aksjomatyka Zmistovny, jakby była jedną do połowy ubiegłego wieku.
2). Aksjomatyka napіvformalna, winyl scho w ostatnim ćwierćwieczu ubiegłego wieku.
3). Formalna (lub sformalizowana) aksjomatyka, za datę jej narodzin można przyjąć 1904, jeśli D. Hilbert opublikował swój słynny program o podstawowych zasadach sformalizowanej matematyki.
Nowa forma skóry nie jest zablokowana z przodu, ale wraz z rozwinięciem i wyjaśnieniem, to samo dotyczy rozwoju nowej formy skóry, niżej z przodu.
Aksjomatyka Zmistovny charakteryzuje się tym, że przed sformułowaniem aksjomatów można je intuicyjnie jasno zrozumieć. Tak więc w „Kolbach” Euklidesa, pod punktem zrozumienia, ci, którzy są intuicyjnie oczywiści w tym rozumieniu. Jednocześnie istnieje świetny język i wspaniała intuicyjna logika, która bardziej przypomina Arystotelesa.
Formalne teorie aksjomatyczne mają również mocny język i intuicyjną logikę. Jednak pierwsi rozumiejący nie opierają się na tym samym intuicyjnym sensie, charakteryzują się jedynie aksjomatami. Sam Tim porusza surowość, odłamki intuicji ze śpiewającym światem zwyciężają surowość. Ponadto narasta senność, ponieważ twierdzenie o skórze, wniesione w taką teorię, będzie sprawiedliwe w każdej interpretacji. Wyraźnie w formie formalnej teorii aksjomatycznej - teorii Hilberta, zawartej w książce "Imagine Geometry" (1899). Niedopałki teorii nap_vformalnyh to także teoria kiletów i innych teorii, prezentowana w toku algebry.
Sednem sformalizowanej teorii jest obliczenie liczby słów, które rozwija się w toku logiki matematycznej. Na aksjomatyce vіdmіnu vіd zmіstovnoї i napіvformalії, formalizacja teorii zwycięskiej, szczególnie symbolicznej mova. Alfabet teorii jest sobie przyporządkowany, jest więc dwójką bezosobowych symboli, które pełnią taką samą rolę jak litery w oryginalnym języku. Czy to sekwencja symboli kіntseva nazywana jest virazem lub słowem. Wśród wirusów istnieje klasa formuł, a dokładne kryterium, które pozwala na rozpoznanie wirusa skóry, wskazuje formuła. Formuły pełnią tę samą rolę, co mowa wielkiego języka. Deyakі formuły aksjomaty goloshuyutsya. Ponadto ustalone są logiczne zasady widzenia; Taka zasada oznacza, że w ciągu wszystkich formuł cała formuła jest bez środka. Dowodem samego twierdzenia jest koniec lanca formuł, reszta formuły to samo twierdzenie, a formuła skóry jest albo aksjomatem, albo twierdzenie zostało przyniesione wcześniej, w przeciwnym razie śpiewa ze środka przodu formuły lancy na jednej z zasad obserwacji. W tym rankingu nie powinniśmy opowiadać się za dowodami na słuszność dowodów: w przeciwnym razie duński lanciugє dowód lub є, nie ma jednoznacznych dowodów. W połączeniu z cim aksjomatyka jest sformalizowana, aby przyzwyczaić się do szczególnie subtelnych zasad torowania teorie matematyczne, jeśli oczywista intuicyjna logika może prowadzić do ułaskawienia, które jest głównym stopniem niedokładności i dwuznaczności naszego wielkiego ruchu.
Tak jak w formalizacji teorii o skórze viraz można powiedzieć, że jest to formuła, tak bezosobowe twierdzenia sformalizowanej teorii mogą być brane pod uwagę. W związku z tym można w zasadzie bez wchodzenia w interpretację rozbić spór o dowód rozumu dedukcyjnego, jak io dowód niepowierzchowności. Różnicę widać na kilka najprostszych sposobów. Na przykład brak powierzchowności obliczeń przeprowadza się bez interpretacji.
W niesformalizowanych teoriach zdania bezosobowe nie są jasno zdefiniowane, dlatego powód dowodzenia niepowierzchowności, bez wchodzenia w interpretację, jest postawiony głupio. Te same wartości i jedzenie o dowodzie dedukcyjnego povnoti. Skoro jednak słyszano takie twierdzenie teorii niesformalizowanej, bo nie można jej przytoczyć ani zapytać, to teoria jest oczywiście dedukcyjnie niedokładna.
Metoda aksjomatyczna jest od dawna ugruntowana nie tylko w matematyce, ale także w fizyce. Najpierw spróbuj bezpośrednio, próbował to zrobić Arystoteles, ale poprawił też własną metodę aksjomatyczną w fizyce, wyłączając roboty Newtona z mechaniki.
Na styku z burzliwym procesem matematyzacji nauk znajduje się również proces aksjomatyzacji. Żadna z metod aksjomatycznych nie znajduje się w różnych działach biologii, na przykład w genetyce.
Możliwości metody aksjomatycznej nie są nieograniczone.
Znamienne, że nie powinniśmy zapominać o formalizowaniu teorii bez ignorowania intuicji. Sama teoria jest sformalizowana bez jakiejkolwiek interpretacji pożądanego znaczenia. Wina za to jest niewielka w związku między sformalizowaną teorią a interpretacją. Ponadto, podobnie jak w formalizacji teorii, pojawia się pytanie o brak nadrzędności, niezależność i kompletność systemu aksjomatów. Całość takiego pożywienia staje się esencją innej teorii, jak to się nazywa metateorią teorii sformalizowanej. Na gruncie sformalizowanej teorii metateoria języka jest najważniejszym językiem potocznym, a logiczne odbicie odbywa się według reguł naturalnej logiki intuicyjnej. W ten sposób intuicja, ponownie zaczerpnięta ze sformalizowanej teorii, pojawia się ponownie w metateorii.
Ale główna słabość metody aksjomatycznej nie dotyczy tsomy. Wcześniej myślano już o programie D. Hilberta, ponieważ położył on podwaliny pod sformalizowaną metodę aksjomatyczną. Główną ideą Hilberta jest uczynienie matematyki klasycznej sformalizowaną teorią aksjomatyczną, aby wprowadzić nienaddatność. Program w swoich głównych punktach wydawał się jednak utopijny. W 1931 roku słynny austriacki matematyk K. Gödel opracował swoje słynne twierdzenia, z których jasno wynikało, że nie opublikowano obrażania głównych zadań postawionych przez Hilberta. Yomu wyszedł poza swoją metodę kodowania, aby nauczyć się za pomocą formuł sformalizowanej arytmetyki i przynieść pomoc metateorii, że formuły te nie są widoczne w formalizacji arytmetyki. W ten sposób sformalizowana arytmetyka wydawała się dedukcyjnie niedokładna. Z wyników Gödla było oczywiste, że nawet jeśli do liczby aksjomatów dołącza się niedowodliwa formuła, to istnieje inna niedowodliwa formuła, która wyraża to samo poprawne zdanie. Wszystko to sprawiło, że nie tylko cała matematyka, ale i nauka arytmetyki – najprostszej części, nie da się sformalizować. Zokrema, Gödel, który zainspirował formułę, która potwierdza twierdzenia „Sformalizowana arytmetyka jest nie do przezwyciężenia” i pokazuje, że formuły nie można pokazać. Fakt ten oznacza, że niedoskonałości sformalizowanej arytmetyki nie można sprowadzić do środka samej arytmetyki. Zrozumіlo, mozesz popierac silna sformalizowana teorie i poprzez sprowadzenie braku wyzszosci sformalizowanej arytmetyki, a jednoczesnie obwinianie, co wazniejsze, za brak wyzszosci nowej teorii.
Wyniki Gödla wskazują na słuszność metody aksjomatycznej. I, co ważniejsze, podstav dla pesymistycznych visnovkіv w teorii wiedzy tego, kto nie zna prawdy, - nie. Fakt, że ustalane są prawdy arytmetyczne, których nie można doprowadzić do formalizacji arytmetyki, nie oznacza przejawu nieznajomości prawd i niejasności ludzkiej myśli. Vin oznacza tylko, że możliwości naszego umysłu nie powinny być sprowadzane do procedur, że będą one bardziej sformalizowane, a ludzie wciąż muszą testować i znajdować nowe zasady dowodu.

1.3 Przechowywanie liczb naturalnych

Nie postuluje się operacji składania i mnożenia liczb naturalnych przez układ osi Peano, lecz operacje.
Wizyta, umówione spotkanie. Dodawanie liczb naturalnych nazywa się binarną operacją algebraiczną + na mnożniku N, który może być potężny:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Obwinianie odżywiania - co to za operacja, ale jeśli tak, to co to jest?
Twierdzenie. Dodanie liczb naturalnych jest konieczne i tylko jedno.
Przynoszący. Operacją binarną algebry na krotności N jest fermentacja (:N(N®N. Konieczne jest doprowadzenie, aby była tylko jedna fermentacja (:N(N®N o potęgach: 1))) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Znacząco na mnożniku N, binarne wyrażenie fx przez umysły:
a) 0fxx;
b) jak yfxz, y(fxz(.
Zmieńmy, jakie jest zastosowanie N na N, to dla skóry y z N
(((z(N) yfxz (1)
Znacząco, poprzez M, mnożnik liczb naturalnych y, dla których zwycięża umysł (1). Pomyśl więc a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) i moc 1 p. i oznacza, że fx to fermentacja od N do N. Dla której fermentacji pomyśl:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - do b).
Sam Tim przedstawił argumentację za spasowaniem.
Przynosimy jedność. Niech + i (- będą jak dwie operacje binarne algebry na zbiorach N o potęgach 1c i 2c. Trzeba to sprowadzić
((x, y(N) x + y = x(y)
Jest ona ustalona na tyle, że liczba x i jest znacząca przez S bezosobowych liczb naturalnych y, dla których zrównoważenie
x+y=x(y (2)
wygrać. Skіlki zgіdno 1с x+0=x w x(0=x, to
A) 0(S
Teraz niech y(S, więc wygra równość (2). Więc x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, wtedy) ) aksjomaty 2 x+y(=x(y(, aby umysł wygrał)
B) r(S ® r((S.)
Tak więc aksjomat 4 S=N, który uzupełnia dowód twierdzenia.
Sprowadźmy władze do dodavannya.
1. Liczba 0 jest neutralnym elementem dodawania, więc a+0=0+a=a dla liczby naturalnej skóry a.
Przynoszący. Zrównoważenie a+0=a krzyczy z umysłu 1s. Przynosimy równość 0+a=a.
Znacząco przez liczby bezosobowe M, które nie wygrają. Oczywiście 0+0=0 i 0(M. Niech a(M, potem 0+a=a.) Wtedy 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M)) ) Otzhe, M=N, jak i trzeba sprowadzić.
Daj nam lemę.
Lemat. a(+b=(a+b)(.
Przynoszący. Niech M będzie liczbą bezosobową wszystkich liczb naturalnych b, dla których równość wynosi a(+b=(a+b)(prawda dla dowolnej wartości a.):
A) 0(M, odłamki a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Zdecydowanie, ponieważ b(M i 2c)) jest możliwe)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
więc b ((M. Średnia, M = N, co muszę przynieść).
2. Dodawanie liczb naturalnych jest przemienne.
Przynoszący. Niech M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Powiedz, że M=N. Może:
A) 0(M - koszt 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Średnia a((M, i z aksjomatu 4 M=N).
3. Dodawanie asocjacyjne.
Przynoszący. Daj spokój
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Konieczne jest doprowadzenie, że M=N. Czyli (a+b)+0=a+b i a+(b+0)=a+b, potem 0(M. Niech s(M, to (a+b)+c=a+(b+c)) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Średnia c((M i przez aksjomat 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Przynoszący. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Jeśli b(0), to ((a(N)a+b(a)).
Przynoszący. Niech M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, potem 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(inaczej a( +b (a)) oznacza a((M і M=N)).
6. Jeśli b(0, to ((a(N)a+b(0)))
Przynoszący. Jeśli a=0, to 0+b=b(0, jeśli a(0 і a=c(, wtedy a+b=c(+b=(c+b))((0. Więc y be- które czas a) + b (0.
7. (Prawo składania trichotomii). Dla dowolnych liczb naturalnych a i b tylko jedno i tylko jedno z trzech podobieństw jest prawdziwe:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Przynoszący. Ustalamy pewną liczbę a i jest ona znacząca przez M mnożnik wszystkich liczb naturalnych b, dla których jedna z konotacji 1), 2), 3) jest zwycięska. Konieczne jest doprowadzenie, że M=N. Niech b = 0. Jeśli a=0, to 1), a jeśli a(0, tylko 3), to a=0+a. Otzhe, 0(M.
Jest teraz akceptowalne, że b(M, więc odwrotność a jest jedną z odwrotności 1), 2), 3). Jeśli a=b, to b(=a(=a+1, to dla b(liczona jest wartość przesunięcia).) Jeśli b=a+u, to b(=a+u(, to dla b(przesunięcie 2 ) Jeśli a=b+v, to możliwe są dwie deklinacje: v=1 i v(1. Jeśli v=1, to a=b+v=b", to dla b" stosunek odwrotny 1 wynosi i v(1 , potem v=c", de c(0 a potem a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, więc dla b " mamy odwrotność 3). Później przynieśliśmy, że b (M ® b "(M, i, także M = N, więc dla czy a i b, chce się użyć jednej ze spółgłosek 1), 2), 3) nie można ich pokonać od razu spіvvіdnoshennia 2) i 3), a następnie małe b a = (a + u) + v = a + + (u + v), ale jest to niemożliwe dzięki potędze 5 i 6. Potęga 7 dobiega końca.
Zadanie 1.3.1. Niech 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))). Powiedz mi 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. MNOŻENIE LICZB NATURALNYCH.

Spotkanie 1. Mnożenie liczb naturalnych nazywa się taką operacją binarną (na mnożniku N, dla którego liczy się umysł:
1u. ((x(N) x(0=0);
2lat. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Znowu rewindykuję żywienie – po co taka operacja i jak to jest, to co jest jedyną rzeczą?
Twierdzenie. Operacja mnożenia liczb naturalnych jest tylko jedna.
Dowód można przeprowadzić w taki sam sposób, jak dowód dodatkowy. Konieczna jest znajomość takiego wyrażenia (:N(N®N), jako
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y))) = ((x, y) + x).
Ustalamy całkiem sporo x. Możliwe jest również dla skóry x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: autorytet N®N
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
następnie funkcja ((x,y), która jest równa ((x,y)=fx(y) i spełnia umysły 1) i 2).
Później dowód twierdzenia idzie do dowodu podstawy tej jedności dla skóry x funkcji fx(y) o potęgach 1") i 2"). Ustawmy liczbę wartości N zgodnie z następującą zasadą:
a) liczba zero jest ustawiona na liczbę 0,
b) skoro liczba y jest dana liczba c, to liczba y (liczba c + x jest równa).
Zastanówmy się, czy w takim układzie numer skóry y może być pojedynczym obrazem: a znamienne jest to, że można zamienić N na N. Co istotne, poprzez M bezosobowość wszystkich liczb naturalnych y można stworzyć jeden obraz. Pomyśl a), że aksjomat 1 jest poprawny, więc 0(M. Niech y(M. Pomyśl b) i aksjomat 2 są jasne, że y((M. Więc, M=N, więc nasz dowód to N) w N , jest znaczące - krzywo w sensie fx, to fx(0)=0 z powodu a) i fx(y()=fx(y)+x - z powodu b).
Później potwierdzono przyczynę operacji mnożenia. Pozwól mi teraz (i (- będzie dwiema operacjami binarnymi na mnożniku N o potęgach 1y i 2y. Pozostaje powiedzieć, że ((x,y(N) x(y=x(y) Ustalamy całkiem niezłą liczbę x i nie))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Przejdź przez 1y x(0=0 і x(0=0, then 0(S. Niech y(S), then x(y=x(y))))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, to y((S. Więc S=N, niższe i, dowód twierdzenia się kończy).
Znacząco wielu diakonów władzy.
1. Elementem neutralnym jest zwykle liczba 1=0(, czyli ((a(N) a(1=1(a=a))).
Przynoszący. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) W ten sposób równość a(1=a została spełniona. N) (1(a=a). Więc 1 (0=0, potem 0(M. Niech a(M, potem 1(a=a)). Wtedy 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a) (M. Czyli z aksjomatów 4 M=N, co trzeba było przywieźć).
2. Dla zbioru jarmarków prawo rozdzielcze, to
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Przynoszący. Niech M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))), potem 0(M. Więc c(M, to (a+b)) c=ac+bc), następnie (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) A więc c((M і M=N).
3. Mnożenie liczb naturalnych jest przemienne, czyli ((a,b(N) ab=ba).
Przynoszący. Zróbmy to dobrze dla b (N równe 0 (b = b (0 = 0. Równe b (0 = 0) jest jasne 1y. Niech M = (b (b (N (0 (b = 0)))) ) 0 =0, potem 0(M. Więc b(M, potem 0(b=0, potem 0(b(=0(b+0=0))) i, także, b((M. Więc, M= N, wtedy równość 0(b=b(0 sprowadzona do wszystkich b(N. Idźmy dalej) S=(a (a(N(ab=ba))).a) (S, potem ab = ba. Wtedy a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, potem a ((S. Więc S = N), co jest konieczne do doprowadzenia) .
4. Wielokrotne składanie rozdzielcze. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 i 4.
5. Liczba mnoga jest łączona, to znaczy ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Dowód odbywa się, podobnie jak w magazynie, indukcja na s.
6. Jeśli a(b=0, to a=0 i b=0, to N nie ma dzielników zera.
Przynoszący. Niech b(0 і b=c(. Jeśli ab=0, to ac(=ac+a=0, znaki następują po potędze 6 pkt 3, czyli a=0).
Zadanie 1.4.1. Niech 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))). Powiedz mi co 2(4 =8, 3(3=9.
Niech n, a1, a2, ..., an będą liczbami naturalnymi. Suma liczb a1, a2,...,an nazywana jest liczbą, ponieważ jest przez nią oznaczana przez umysł; dla dowolnej liczby naturalnej k
Podzbiór liczb a1, a2,...,an jest liczbą naturalną, ponieważ jest oznaczana przez i, a przez umysły: ; dla dowolnej liczby naturalnej k
Jak ta liczba jest wskazywana przez.
Zadanie 1.4.2. Przynieś co
a);
b);
w);
G);
mi);
mi);
oraz);
h);
і) .

1.5. ZAMÓWIENIE SYSTEMU NUMERÓW NATURALNYCH.

Stwierdzenie „podąża” jest antyrefleksyjne i antysymetryczne, ale nie przechodnie i nie jest zgodne z tym porządkiem. Znacząco zmieniamy kolejność, polegając na dodawaniu liczb naturalnych.
Spotkanie 1. a
Cel 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі liczby naturalne, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Przynoszący. Dominacja 1.1 i 1.2 emanuje wyjątkowością operacji składania i mnożenia. Yakscho a
2. ((a(N) a
Przynoszący. Oskils a(=a+1, potem a
3. Najmniejszy element N to 0, a najmniejszy element N\(0) to liczba 1.
Przynoszący. Czyli ((a(N) a=0+a, to 0(a, i, stąd 0 jest najmniejszym elementem N.) Wtedy, jak x(N\(0), then x=y(, y( N ) , w przeciwnym razie x = y + 1. Odpowiedź brzmi: ((x (N \ (0)) 1 (x, więc 1 jest najmniejszym elementem w N \ (0)).
4. Sugestia ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Przynoszący. Oczywiście dla każdego naturalnego a istnieje również liczba naturalna n, która
a Taka liczba є, na przykład n = a (. Dahl, jeśli b (N \ (0), to dla potęgi 3
1(b(2))
Z (1) i (2) na podstawie uprawnień 1.10 i 1.4 przyjmujemy aa.

1.6. PRAWDZIWA PORZĄDEK SYSTEMU NUMERÓW NATURALNYCH.

Spotkanie 1. Jako skórka niepusty podmnożnik mnożnika uporządkowanego (M; Zastanów się, czy nowy porządek jest liniowy. Niech a i b będą dwoma elementami z całego mnożnika uporządkowanego (M; Lema) . 1) a
Przynoszący.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))))
Twierdzenie 1. Naturalny porządek na zbiorze liczb naturalnych jest rzędem wyższym.
Przynoszący. Niech M będzie pozbawione bezosobowych liczb naturalnych, a S jest niematerialnością dolnych pośrednich w N, więc S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). Następnie 0(S Zwyciężył Yakby i inne aksjomaty Umova 4 n(S(n((S, potem małe b S=N)).
Twierdzenie 2. Jeśli istnieje niepusta granica dla bestii o bezosobowych liczbach naturalnych, może istnieć element największy.
Przynoszący. Niech M będzie niepustą granicą między bestią bezosobowych liczb naturalnych, a S jest bezosobowością górnych kordonów, więc S=(x(x(N((m(M)) m(x))).) Znacząco przez x0, najmniejszy element y S. Jeśli m
Zadanie 1.6.1. Przynieś co
a);
b);
w).
Zadanie 1.6.2. Daj spokój (- słaba potęga liczb naturalnych i k - więcej niż liczba naturalna. Przynieś co
a) być jak liczba naturalna może być potęgą (tak jak tylko 0 może być potęgą dla czegokolwiek n (0
b) czy jest to liczba naturalna, większa lub równa k, maє potęga (, jeśli tylko k maє tsyu potęga i dla czegokolwiek n (k (n) pominięcie, scho n maє potęga ( następnie scho liczba n + 1 również Wołodia tsієyu moc).;
c) czy jest to liczba naturalna, większa lub równa k, może mieć potęgę (ponieważ tylko k może mieć potęgę i dla czegokolwiek n (n>k) jest dopuszczalne, że wszystkie liczby t, przypisane przez mentalne k (t

1.7. ZASADA INDUKCJI.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost systemu liczb naturalnych, możesz przynieść takie twierdzenie, jedną z podstaw metod dowodowych, tytuły metodą indukcji matematycznej.
Twierdzenie (zasada indukcji). Usі vyslovlyuvannya z sequent A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 jest prawdziwe;
2) jak używać Ak z k
Przynoszący. Dopuszczalne jest nie zaakceptowanie: pomyśl 1) i 2), aby wygrać, ale jeśli twierdzenie nie jest prawdziwe, to nie pozwolimy є bezosobowe M = (m (N (N \ (0), Am - hibno))). element, który ma znaczenie w kategoriach n. mentalnie 1) A1 jest prawdziwe, a An jest złe, to 1(n, i, aka, 1)
W celu potwierdzenia metodą indukcji można zobaczyć dwa etapy. Na pierwszym etapie, zwanym podstawą indukcji, odwraca się mentalność umysłu 1). Po drugiej stronie sceny, zwanej garnkiem indukcyjnym, przywodzi nas umysł 2). Najczęściej przemierzane są vipady, jeśli do udowodnienia prawdziwości An nie można wykorzystać zwycięstwa prawdziwości Ak przy k
krupon. Wnieść nierówności Płatne = Sk. Konieczne jest sprowadzenie prawdziwości konstelacji Ak=(Sk Kolejność zużycia , jak opisano w Twierdzeniu 1, może pochodzić z predykatu A(n) przypisanego do zbioru N lub do podzbioru Nk=(x( x(N, x(k)), gdzie k jest stałą liczbą naturalną.
Sokrema, jeśli k=1, to N1=N(0), a numerację można przeprowadzić dla dodatkowych równości A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Jeżeli k(1, to ciąg wystąpień można pobrać z dodatkowych parzystości A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . ...Vidpovidno do takich wartości, Twierdzenie 1 można sformułować w innej formie.
Twierdzenie 2. Predykat A(m) jest również prawdziwy na mnożniku Nk, więc wiesz:
1) A(k) jest prawdziwe;
2) jak używać A(m) do m
Zadanie 1.7.1. Powiem wam, że taka równość nie decyduje w galerii liczb naturalnych:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Zadanie 1.7.2. Przynieś zwycięską zasadę indukcji matematycznej:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
w);
G);
mi);
mi).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA NUMERY NATURALNE.

Oznaczenie 1. Różnica między liczbami naturalnymi a i b jest taką liczbą naturalną x, że b+x=a. Różnica liczb naturalnych a i b jest oznaczona przez a-b, a działanie różnicy różnicy nazywamy różnicą. Vіdnimannya nie jest operacją algebry. Twierdzenie Tse vyplyvaє iz nastupnoї.
Twierdzenie 1. Detal a-b jest jedyną różnicą i tylko jedną, jeśli b(a. Jeśli jest różnica, to tylko jedna).
Przynoszący. Jeśli b(a, to dla oznaczenia odniesienia (jeśli jest to liczba naturalna x, to b+x=a. Ale ce i oznacza, że x=a-b. że b + x = a. Alece oznacza, że b (a .
Przynosimy jedność sprzedaż detaliczna a-b. Niech a-b=x i a-b=y. To samo dotyczy spotkań 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, także x=y.
Cel 2. Ułamek dwóch liczb naturalnych aib(0) nazywamy liczbą naturalną c taką, że a = bc.
Twierdzenie 2. Jest bardziej prywatne niż jedno.
Przynoszący. Daj spokój = x to = y. To samo dotyczy spotkań 2 a=bx i a=by. Zvіdsi bx=by і, również x=y.
Na uwagę zasługuje fakt, że operacje przeprowadzone przy tej okazji można liczyć dosłownie tak samo, jak w przypadku asystentów szkolnych. Tse oznacza, że w paragrafach 1-7, na podstawie aksjomatów Peano, położono teoretyczne podstawy arytmetyki liczb naturalnych, a następnie ustalono dalsze postępy w licealnym kursie matematyki i na uniwersyteckim kursie „Algebra i liczby Teoria".
Zadanie 1.8.1. Doprowadź sprawiedliwość do takich twierdzeń, przyznając, że wszystkie różnice, które są wyrażone w ich formułach, są jasne:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
do) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Zadanie 1.8.2. Aby wymierzyć sprawiedliwość nadchodzących trudów, przyznając, że wszystko jest prywatne, że są one określone w podanej formule, jest jasne.
a); b); w); G); mi); mi); oraz); h); i); do); l); m); n); o); P); R).
Zadanie 1.8.3. Aby udowodnić, że matki dwóch różnych rozwiązań naturalnych nie mogą być tak równe: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Zadanie 1.8.4. Rozwiąż liczby naturalne równe:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Zadanie 1.8.5. Aby udowodnić, że nie ma takiego równego rozwiązania w sferze liczb naturalnych: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; w); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Zadanie 1.8.6. Rozwikłanie naturalnych liczb nierówności: a) ; b); w); d) x+y2 Zadanie 1.8.7. Powiedz mi, że w dziedzinie liczb naturalnych początek spivingu jest sprawiedliwy: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 KILKISNIY ŚMIERĆ liczby naturalne.
Tak naprawdę liczby naturalne powinny być umieszczone jako główny rząd rahunki pierwiastków, a które teoretycznie Peano musi umieścić w rachunku liczb naturalnych.
Cel 1. Anonimowy (x(x(N, 1(x(n)) jest wywoływany w przeciwieństwie do ciągu naturalnego) i jest oznaczony przez (1; n ()).
Spotkanie 2. Nazywa się mnożnik kіntsevoj, niezależnie od tego, czy jest to mnożnik, równy dowolnemu licznikowi serii naturalnej, a także pusty mnożnik. Bezlich, podobnie jak nie є kіtsevim, nazywany jest nieoskórowanym.
Twierdzenie 1 na mokro(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Przynoszący. Jak A=(, twierdzenie jest prawdziwe, nie ma pustych odłamków pustych podwielokrotności. Niech A((і A równie trudne (1,n((A((1,n()).)) Możemy udowodnić twierdzenie przez indukcję na n. Yakscho n=1 , to A((1,1(, wtedy używamy pojedynczego mnożnika A jest pustym mnożnikiem). Było jasne, że A(i, również, dla n=1 , twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=m, wtedy wszystkie mnożniki końcowe, równe siły na wietrze (1,m(, nie myśl o równych siłach na wietrze). odwrotność)) (1, m+1(w A. Jeśli ((k) jest znane przez ak, k=1,2,...,m+1, to bezosobowe A można zapisać jako A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Naszym celem jest udowodnienie, że A nie ma równie silnych podwielokrotności potęgi.
Przyjrzyjmy się mnożnikom A1 = A (przed południem + 1) i B1 = B (przed południem + 1). Ponieważ f(am+1)=am+1, to funkcja f zdіysnyuvatime bioaktywnie wyświetla mnożnik A1 przez mnożnik B1. W tej randze bezosobowe A1 będzie równe swojej potężnej podwielokrotności B1. Ale oskіlki A1((1,m(, nie zastępuj naddatku indukcji).
Wniosek 1. Brak liczb naturalnych nie jest ograniczony.
Przynoszący. Z aksjomatów Peano jasno wynika, że S:N®N\(0), S(x)=x(obiektywnie) ulega fermentacji.
Wniosek 2. Jeśli mnożnik kіntseva A nie jest pusty, jest równy jednemu i tylko jednemu odpowiednikowi szeregu naturalnego.
Przynoszący. Niech A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, dzięki Twierdzeniu 1 jest jasne), więc m=n.)).)).
Ostatnie 2 umożliwiają wprowadzenie oznaczenia.
Oznaczenie 3. Jako A((1,n(, to liczbę naturalną n nazywamy liczbą elementów w mnożniku A), a proces ustalania wzajemnie jednoznacznego podobieństwa między mnożnikami A i (1,n (zwanym liczbą elementów w mnożniku A. Liczba elementów naturalnych wielokrotności pustego wpisu) liczba zero.
O wielkim znaczeniu rahunki w praktycznym życiu mów zajve.
Z poważaniem, znając rachunek liczby naturalnej, można by obliczyć operację mnożenia poprzez samo dodawanie:
.
Na razie nie wysłaliśmy tej drogi, aby pokazać, że sama arytmetyka nie jest wymagana w sensie rachunku różniczkowego: sens rachunku różniczkowego liczby naturalnej jest potrzebny tylko w dodatkach do arytmetyki.

1.10. SYSTEM LICZB NATURALNYCH JAKO DYSKRETNY REWERS TO PORZĄDEK BAGATO.

Wykazaliśmy, że bezosobowe liczby naturalne są zgodne z porządkiem naturalnym i całym porządkiem. Jeśli tak, ((a(N) a
1. dla dowolnej liczby a(N іsnuє sudіdnє nadchodzące po nim 2. dla dowolnej liczby a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma przed tobą) Cała kolejność bezosobowego (A;()) z mocami 1 i 2 nazywa się cyklem dyskretnym memo Okazuje się, że uporządkowanie o potęgach 1 i 2 jest mocą charakterystyczną systemu liczb naturalnych (element i, również aksjomat 1 Peano wygrywa).
Więc to jest jak porządek liniowy, wtedy dla każdego elementu a jest pojedynczy element następujący po nim i nie więcej niż jeden element do przodu sudidny.
1) a0(M, gdzie a0 jest najmniejszym elementem A;
2) a(M (a((M.))
Powiedzmy, że M=N. Dopuszczalne nie jest akceptowane, wtedy A\M((. Znacząco, poprzez b, najmniejszy element w A\M.
Wprowadziliśmy również możliwość innego oznaczenia systemu liczb naturalnych.
Wizyta, umówione spotkanie. System liczb naturalnych nazywa się, czy wielokrotność jest uporządkowana jako całość, na której liczy się umysły:
1. za każdym elementem znajduje się następny element postępowy;
2. dla każdego elementu, najmniej widoczny element, główny element sądowy.
Іsnuyut іnshі pіdhodi przeznaczenie systemu liczb naturalnych, na którym nie mamy tutaj zupinaєmosya.

2. TSILI I LICZBY WYROKOWE.

2.1. ZNACZENIE I MOC SYSTEMU LICZB.
Wydaje się, że w umyśle intuicyjnego umysłu nie ma liczb całkowitych, a pierścień jest w stanie złożyć ten mnożnik, a ponadto pierścień ma pomścić liczby naturalne. Zrozumiano, że nie ma przeklinania w liczbach kіltsі tsіlih, jakby pomściły wszystkie liczby naturalne. Wydaje się, że qi władzy można położyć jako podstawę ścisłego wyznaczenia systemu liczb. W pkt 2.2 i 2.3 zostanie doprowadzona poprawność takiego oznaczenia.
Spotkanie 1. System liczb nazywamy systemem algebraicznym, dla którego umysł to:
1. System algebraiczny є kіltse;
2. Należy wziąć pod uwagę anonimowość liczb naturalnych, ponadto dodanie tego mnożenia w liczbach na podwielokrotności jest pobierane z dodania tego mnożnika liczb naturalnych, tobto
3. (minimalność umova). Z to minimum do włączenia mnożnika o potędze 1 i 2. Innymi słowy, aby pomścić liczby naturalne, wtedy Z0=Z.
Nominacji 1 można nadać charakter aksjomatyczny. Pierwszymi pojęciami w tej teorii aksjomatycznej będą:
1) Anonimowe Z, którego elementy nazywane są liczbami całkowitymi.
2) Specjalna liczba całkowita, ponieważ nazywa się ją zerem i jest oznaczona przez 0.
3) Ternary vіdnosini + ta (.
Przez N, jak zwykle, bezosobowe liczby naturalne są oznaczane przez składanie (i mnożenie (. W rzeczywistości, aż do oznaczenia 1, system liczb całkowitych nazywa się takim systemem algebry (Z; +, (, N ), dla której zwyciężają następujące aksjomaty:
1. (Aksjomaty kіltsya.)
1.1.
Ten aksjomat oznacza, że + є jest binarną operacją algebry na zbiorze Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, więc liczba 0 może być dodana jako element neutralny).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0)), więc dla liczby całkowitej skóry jest przeciwna liczba a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ten aksjomat oznacza, że mnożenie jest binarną operacją algebry na mnożniku Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Aksjomaty związku między Z a systemem liczb naturalnych.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Aksjomat minimalności.)
Jeżeli Z0 jest końcem pierścienia Z i N(Z0, to Z0=Z.
Znaczące akty władzy systemu liczb.
1. Liczbę skórek można przedstawić, patrząc na różnicę między dwiema liczbami naturalnymi. Wygląd jest ponadto niejednoznaczny, z=a-b iz=c-d, de a, b, c, d (N, oba i tylko wtedy, gdy a+d=b+c).
Przynoszący. Znacząco, poprzez Z0, brak wszystkich liczb całkowitych, skóra którejkolwiek z nich, wygląda jak dwie liczby naturalne. Oczywiście, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Idźmy x,y(Z0, potem x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Wtedy x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c).) Widać, że x-y, x(y(Z0 i, odtąd Z0 jest podzbiorem pierścienia Z, aby pomścić bezosobowe N.)).
2. Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem przemiennym z jednością, a zero pierścienia jest liczbą naturalną 0, a jedność pierścienia jest liczbą naturalną 1.
Przynoszący. Niech x,y(Z. Obowiązuje do potęgi 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Wtedy x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c))), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c(a(d(b)-(d(a(c(b)))) Dlatego, ze względu na przemienność mnożenia liczb naturalnych, pasuje, że xy=yx. Przemienność mnożenia w przyniesiono pierścień Z. 2 vyplyvayut z ofensywnych oczywistych równości, w których przez 0 i 1 znane są liczby naturalne zero i jeden: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b) 1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SYSTEM NUMER CYLIKH.

System liczb jest przypisany do 2.1 jako minimum do włączenia pierścienia, który mści liczby naturalne. Vikaє pitanya - co to jest ta sama kіltse? Innymi słowy, system aksjomatów 2.1 jest bardzo uproszczony. Aby doprowadzić do nienadrzędności systemu aksjomatów, konieczne jest wywołanie interpretacji w teorii wyraźnie nienadzorowanej. Taką teorię uwzględnia arytmetyka liczb naturalnych.
Ponownie konieczne jest wyjaśnienie interpretacji systemu aksjomatów 2.1. Zostawmy to, co bezosobowe. Dla kogo bezosobowe są istotnie dwie operacje binarne i ustawienie binarne. Jeśli dodawanie tego mnożenia par sprowadza się do dodania tego mnożenia liczb naturalnych, to w przypadku liczb naturalnych dodawanie mnożenia par jest przemienne, łączne, a mnożenie jest dystrybucyjnie podobne do dodawania. Rozważmy na przykład przemienność dodawania par: +===+.
Rzućmy okiem na moc vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, potem ~, a następnie ustawiając ~ odruchowo. Jeśli ~, to a+b1=b+a1, potem a1+b=b1+a, potem ~. Otzhe, ustawienie ~ symetrycznie. Śmiało ~ ja ~. Równania a+b1=b+a1 i a1+b2=b1+a2 są również poprawne. Sumując liczby równości, odejmujemy a + b2 = b + a2, a następnie ~. Otzhe, ustawienie ~ również przechodnie і, otzhe, równoważne. Klasa równoważności, która mści parę, zostanie określona przez. W tej randze klasę równoważności można przypisać do własnej pary, a wraz z nią
(1)
Anonimowość wszystkich klas równoważności jest przez to istotna. Naszym zadaniem jest pokazanie, że mnożnikiem w przypadku określonej operacji składania i mnożenia będzie interpretacja systemu aksjomatów z 2.1. Operacje na bezimiennych są znaczące pod względem równości:
(2)
(3)
Jeśli i jest, to na mnożniku N równość a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)) jest prawidłowa, równość (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), co na mocy (1) jest akceptowalne, co. Tse oznacza, że równoważność (2) oznacza jednoznaczną operację dodawania na mnożniku, tak jak nie kłamać w doborze par, co oznacza dodatki) i jednoznaczności mnożenia klas W ten sposób równości (2) i (3) przypisuje się wielokrotności binarnych operacji algebry.
Oskіlki dodające i mnożące klasy mogą być budowane w celu składania i mnożenia par, operacje te są przemienne, klasy asocjacyjne i mnożące są łatwo składane dystrybucyjnie. Z równości wynika, że klasa jest neutralnym elementem sposobu fałdowania, a klasa skóry jest klasą proliferacyjną. Tak więc mnożnik jest kołem, więc liczone są aksjomaty grupy 1 od 2,1.
Rzućmy okiem na kіl'tsі podmnozhina. Jeśli a(b, to przez (1) , a jeśli a
W bezosobowym binarny jest istotny (po (; sam, podąża za klasą, za klasą, de x (є liczba naturalna, następująca po x. Klasa, następująca po naturalnie oznaczanym przez). Klasa podąża za klasą i przed nią jest tylko jeden.
Spójrzmy na obraz. Oczywistym jest, że cel fermentacji jest biaktywny, a umysł f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Innymi słowy, algebra (;, () jest interpretacją systemu aksjomatów Peano. Pochodzący z algebr izomorficznych, więc możesz z szacunkiem uznać, że samo bezosobowe N jest mnożone. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, co oznacza, że dodanie tego mnożenie w kіltsi na podwielokrotności N zbіgayutsya zі złożone i mnożenia liczb naturalnych W ten sposób instalowane jest dodawanie aksjomatów grupy 2.
Chodź Z0 - bądź jak kіltse pіdkіltse, scho, aby pomścić bezosobowe N i. Z szacunkiem, scho th, otzhe. Ale oskіlki Z0 - kіlce, wtedy różnica między tymi klasami może również leżeć w kіltsu Z0. З równości -= (= dopasowanie, sho (Z0 і, aka, Z0=. Wprowadzono brak nadrzędności systemu aksjomatów punktu 2.1).

2.3. JEDNOŚĆ SYSTEMU LICZB.

Mam tylko jeden system liczb dla mojego intuicyjnego umysłu. Tse oznacza, że system aksjomatów, który oznacza liczby liczb, może być kategoryczny, więc interpretacja systemu aksjomatów może być izomorficzna. Kategoryczny i oznacza, że aż do izomorfizmu istnieje tylko jeden system liczb. Perekonayemosya, scho tse true so.
Niech (Z1;+,(,N) i (Z2;(,(,N)) będą dwiema interpretacjami układu aksjomatów punktu 2.1.) wypełnione niesfornymi i kremowymi dla dowolnych elementów x i y z pierścienia Z1 uczciwość
(1)
. (2)
Z poważaniem, odłamki N(Z1 i N(Z2, then .)
, a(b=a(b. (3)
Niech x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Ustaw element x=a-b na element u=a(b, de) , gwiazdki z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse oznacza, że nasza zdolność do bycia reprezentantem elementu x jako różnica między dwiema liczbami naturalnymi i cim jest pokazana w f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Rozumiejąc, że v(Z2 і v=c(d), a następnie v=f(c-d).) wyrażenie f jest sur'jective.
Jeśli x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N w f (x) = f (y), to a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) siła (3) a+d=b+c, czyli a-b=c-d Przyprowadziliśmy, że równość x=y wynika z równości f(x)=f(y), to wyrażenie f jest nieaktywny.
Jeśli a(N, to a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Tak więc, liczby naturalne są bez przemocy, gdy f jest przesadzone. Daleko, jak x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, wtedy x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Sprawiedliwość równości (1) została udowodniona. Równość odwracalna (2). Skale f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), a z drugiej strony f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Czyli f(xy)=f(x) (f(y)) , co dopełnia dowód kategoryczności systemu aksjomatów n.) 2.1.

2.4. WARTOŚĆ I MOC SYSTEMU LICZB WYROKOWYCH.

Anonimowe liczby wymierne Q w danym intuicyjnym polu rozumіnnі, dla niektórych bezosobowych liczb całkowitych Z є pіdkіltsem. Jeśli tak, to oczywiste jest, że Q0 jest podpolem pola Q, aby pomścić liczby, to Q0 = Q.
Cel 1. System liczb wymiernych to taki system algebry (Q; +, (; Z), do którego używany jest umysł:
1. system algebraiczny (Q; +, () pole;
2. pierścień Z liczby całkowite є pіdkіltsem pole Q;
3. (minimum) jeżeli podpole Q0 pola Q mści podpole Z, to Q0=Q.
W skrócie, system liczb wymiernych jest minimum dla zawartego pola, aby pomścić liczbę liczb. Możesz podać więcej raportów na temat aksjomatycznej definicji systemu liczb wymiernych.
Twierdzenie. Liczba wymierna x skóry może być reprezentowana jako prywatne dwie liczby całkowite, więc
, de a, b (Z, b (0. (1)
Wygląd jest zresztą niejednoznaczny, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Przynoszący. Co istotne, jeśli chodzi o Q0, istnieją bezosobowe liczby wymierne, jak widać w (1). Aby zakończyć uzgodnienie, więc Q0 = Q. No dalej, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Wtedy dla potęgi pola jest to możliwe: , a dla c (0) Średnia Q0 jest domknięta na niezerowej liczbie, i, to є podpola pola Q. Czyli jeśli liczba a jest reprezentowana w zasięgu wzroku, to Z (Q0. Z uwagi na to, że jest minimalna i oczywista , Q0 = Q. Dowód drugiej części oczywistego twierdzenia.

2.5. Podstawa systemu liczb wymiernych.

System liczb wymiernych jest wyznaczony jako minimalne pole do pomszczenia liczby liczb. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє takie pole, że chi є є nesuperechlivuyu system aksjomatów, scho vyznaє liczby wymierne. Aby potwierdzić brak nadrzędności, konieczne jest wywołanie interpretacji systemu aksjomatów. U kogo można spiralnie ułożyć podstawę systemu liczb całkowitych. Poświęćmy chwilę, aby zinterpretować Z(Z\(0) jako liczbę niezmienną. Dwie operacje binarne algebry mają znaczenie na mnożniku
, (1)
(2)
ten binarny
(3)
Dotsіlnіst sama takie oznaczenie operacji i vіdnosinі ~ vyplyaє z że w іyіnpretatsії, jak będę, kilka słów jest bardziej prywatnych.
Łatwo jest pomyśleć, że operacje (1) i (2) są przemienne, asocjacyjne i mnożące rozdzielczo. Wszystkie moce władzy są czczone na podstawie wyższych mocy dodawania tego mnożenia liczb. Pereverimo, na przykład asocjatywność wielu par: .
Podobnie, ponownie rozważa się, że różnica jest ~ równoważna, a zatem bezosobowe Z(Z \ (0)) dzieli się na klasy równoważności.W parach i na mocy umysłu (3) przyjmujemy:
. (4)
Naszym zadaniem jest wyznaczenie operacji składania tego mnożnika w mnożnik, tak aby był to pole. Liczba operacji jest istotna według równości:
, (5)
(6)
Czyli wtedy ab1=ba1, a potem cd1=dc1, następnie mnożąc wartości równości, bierzemy (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), a tse oznacza, że Tse zmieni nas z tego, który jest Równość (6) ) w rzeczywistości oznacza jednoznaczną operację na bezosobowej klasie, taką jak wybór przedstawicieli klasy skóry. Podobnie zmienia się wyjątkowość operacji (5).
Ponieważ dodawanie i mnożenie klas można sprowadzić do par składania i mnożenia, to operacje (5) i (6) są przemienne, asocjacyjne i rozdzielcze mogą być dodawane.
W przypadku równości ustalono, że klasa jest elementem neutralnym po uzupełnieniu, a dla klasy skóry stosuje się element protella yoma. Podobnie jest oczywiste, że klasa jest neutralnym elementem mnogości, a dla skóry jest klasą korekcyjną. Również є obszar działalności (5) i (6); 1. Umov w wyznaczonym punkcie 2.4 wygrywa.
Spójrzmy na bezosobowy dystans. Oczywiście, . Bezosobowość zamyka się widząc liczbę mnogą, a później pidkil pola. Prawidłowy, . Rzućmy okiem na wizję . Sur'jektywność tej manifestacji jest oczywista. Jeśli f(x)=f(y), to x(1=y(1 lub x=y. Znaczenie f i iniekcyjnie. Ponadto, izomorficzna kіltsya, można zrozumieć, że Z kіlce jest subkіlcem pola, więc umysł bije 2 w wyznaczonym punkcie 2.4. pola ja, Pospiesz się. Bo, ach, w takim razie. Ale oskіlki - pole, a następnie prywatne elementy tsikh tezh leżą na polu. Sam Tim podniósł to, co to jest, tobto. Uzupełniono podstawy systemu liczb wymiernych.

2.6. JEDNOŚĆ SYSTEMU LICZB WYROKOWYCH.

Jeśli istnieje tylko jeden system liczb wymiernych we współczesnym intuicyjnym sensie, to aksjomatyczna teoria liczb wymiernych, jak się tu pojawia, może być kategoryczna. Kategoryczny i oznacza, że aż do izomorfizmu istnieje tylko jeden system liczb wymiernych. Pokażmy, że to prawda.
Niech (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) - będą jak dwa układy liczb wymiernych.
(1)
(2)
dla dowolnych elementów x i y z pola Q1.
Prywatne elementy aib w polu Q1 oznaczymy, aw polu Q2 - a:b. Ponieważ Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 w Q2, to dla dowolnej liczby liczb a і b równoważności
, . (3)
Chodź i de . Do danego elementu x przypisujemy element y=a:b z pola Q2. Mimo że równość jest prawdziwa w polu Q1, de, twierdzenie z punktu 2.4 w pierścieniu Z zwycięża równość ab1=ba1, w przeciwnym razie z powodu (3) równości i analogicznie dla tego samego twierdzenia równość a:b =a1:b1 obowiązuje w polu Q2. Tse oznacza, że przypisując do elementu pola Q1 element y=a:b z pola Q2, wyświetlimy go, .
Dowolny element z pola Q2 można przedstawić jako a:b, de, otzhe, є ranga elementu z pola Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Tak, to w polu Q1 i to samo. W ten sposób fermentacja f є bієktivnym i wszystkie liczby stają się niesforne. Konieczne jest wymierzenie sprawiedliwości równości (1) i (2). Powiedzmy, że a,b,c,d(Z, b(0, d(0)). Wtedy i, znaki wynikające z (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Podobnie, i gwiazdy.
Izomorfizm interpretacji postępów (Q1; +, (; Z) i (Q2; (, (; Z))).

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Rozwiązanie. Aksjomia 4 Nehaia Umowa jest prawdziwa (taka potęga liczb naturalnych, że ((0) i. Zróbmy to. Czyli M spełnia potęgi aksjomatu 4, odłamki ((0) (0(M i. Otzhe), M=N, więc bądź naturalny) ).liczba jest potężna (. Wstecz. Dopuszczalne jest, aby niezależnie od tego, czy istnieje potęga (z tego ((0)) i, dalej. Niech M będzie podmnożnikiem N, że 0(M i. ) Pokażemy, że M = N. Wprowadźmy moc (, z szacunkiem. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Werdykt: Prawdziwe stwierdzenie pierwszego i czwartego aksjomatu Peano. Potwierdzenie 2 aksjomatów Hibne.
1.1.3. Werdykt: prawdziwe stwierdzenie 2,3,4 aksjomatów Peano. Potwierdzenie 1. aksjomatów Hibne.
1.1.4. Twierdzenia prawdziwe 1, 2, 3 Aksjomaty Peano. Stwierdzenie 4. aksjomatów Hibne. Vkazіvka: przynieść, scho zadowolony z możliwości aksjomatu 4, sformułowanego w kategoriach operacji, ale.
1.1.5. Vkazіvka: aby udowodnić prawdziwość aksjomatu 4, spójrz na podmnożnik M z A, ponieważ zadowala umysły: a) 1 ((M, b) i bezosobowy.
1.1.6. Prawdziwe twierdzenie aksjomatów 1,2,3 Peano. Stwierdzenie 4. aksjomatów Peano Hibne.
1.6.1. a) Decyzja: Proszę dać mi znać, jeśli jest 1 w nocy. Z powrotem. Chodź, jestem
1.6.2. a) Decyzja: do przyjęcia. Poprzez M jesteśmy znacząco bezosobowi w stosunku do wszystkich liczb, aby nie być potężnym (. Z założenia, M((. Na mocy Twierdzenia 1, M ma najmniejszy element n(0). Czy liczba x
1.8.1. f) Zaznacz p. e) i p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, także (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Zdobywaj władzę.
l) Zaznacz p. b).
l) Zaznacz p. b) i p. h).
1.8.2. c) Mammo, otzhe,. Ojciec, .
d) Maemo. Ojciec, .
oraz).
1.8.3. a) Jak (i (inne rozwiązanie równa się ax2+bx=c), potem a(2+b(=a(2+b(.)) . Dokładnie ((. Jednak (2=a(+b>a(, również (>a.))).
c) Nehai (i (- różne pierwiastki równe i (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Później, a((+()=2), ale (+(>2), później, a((+()>2), co jest niemożliwe).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y jest liczbą naturalną; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Dokładnie do permutacji x=1, y=2, z=3. Rozwiązanie: Na przykład powiedzmy x(y(z. Wtedy xyz=x+y+z(3z, więc xy(3.) Więc xy=1, to x=y=1 і z=2+z, więc) Niemożliwe : jeśli xy = 2, to x = 1, y = 2. W takim przypadku 2z = 3 + z, to z = 3. Jeśli xy = 3, to x = 1, y = 3. Wtedy 3z = 4+z , więc z=2, aby nałożyć dodatek y(z.
1.8.5. b) Jeśli x=a, y=b jest podziałem, to ab+b=a, to. a>ab, co jest niemożliwe. d) Jeśli x=a, y=b jest podziałem, to b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - wystarczająca liczba naturalna i y(1. b) x - wystarczająca liczba naturalna, y=1. c) x jest liczbą naturalną y=1. d) Nie ma rozwiązania. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Jeśli a = b, to 2ab = a2 + b2. Chodź, na przykład,

LITERATURA

1. Redkov M.I. Systemy numeryczne. /Zalecenia metodyczne do kursu "Systemy liczbowe". Część 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Erszowa T.I. Systemy numeryczne. / Rozwój metodyczny do praktycznego ujęcia. - Swierdłowsk: SDPI, 1981. - 68s.