Rozwijanie algebraiczne ciała. Wybacz ekspansję podlewania. Rozbudowa magazynu pól algebry

rozszerzenie pola algebraicznego- — Temat ochrony informacji Pole rozszerzenia EN … Tłumaczenie techniczne Dovіdnik

Pole E, które otrzymuje pole K jako podpole. Rozszerzenie typu Rozszerzenie rozszerzenia rozszerzenia algebry, wszystkie elementy takiego є algebraicznego nad K, czyli taki element takiego є jest pierwiastkiem bogatego wyrazu f(x) c... Wikipedia

Rozszerzenie algebraiczne ciała EÉ K, które jest normalne i rozłączne. Dla umysłów tsikh E będzie matką największą liczbę automorfizmów nad K (ponieważ E jest unikalne, to liczba automorfizmów jest również znaczącym i bardziej zaawansowanym stopniem ekspansji).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho zemsta Av jaka p_demigroup. Dźwięk o poszerzeniu nazw grupy A, związaniu się z Atemem z innymi umysłami. Najbardziej zaawansowana teoria idealnego R. nap_vgroup (nap_vgroup, co pomścić Av jaka ......) Encyklopedia matematyczna

Równy umysłowi bogatego terminu n-tego etapu w postaci jednej lub więcej zmian. A. w. z jednym nieznanym dźwiękiem. równy umysłowi: nie ma liczby, dźwięk. współczynniki są równe i є danimi, hnaz. nevidomim i?… Encyklopedia matematyczna

Pola k algebraiczne. rozszerzenie ciała k, które jest domkniętym ciałem algebraicznym. Takie rozszerzenie dla dowolnego pola jest jednoznacznie przypisane do izomorfizmu. A. godz. pola numery dniє pole Liczby zespolone(Dział … … Encyklopedia matematyczna

Normalnie rozszerzone rozszerzenie algebraiczne ciała EÉ K dla dowolnego nierozkładalnego wyrazu bogatego f(x) nad K, który może mieć jeden pierwiastek E, może zostać rozwinięte w E do mnożników liniowych. Równoważnie mianowany: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Rozdzielne rozszerzenie algebraicznego rozszerzenia ciała złożonego z elementów separowalnych, takich jak α, jest minimalnym anulatorem f(x) nad K, dla którego nie ma pierwiastków wielokrotnych. Pokhіdna f (x) może buti dla vishchevkaanim ... ... Wikipedia

Rozszerzenie pola tak, że E jest świetne nad K yak Przestrzeń wektorowa. Rozwinięcie przestrzeni wektorowej E nad K nazywamy stopniem rozwinięcia i jest wyznaczone. Moc ostatnich rozszerzeń W ... ... Wikipedii

Ciała są algebraicznym rozszerzeniem ciała L K, które spełnia jeden z postępujących umysłów równoważnych: 1) czy ciało L jest osadzone w ciele algebraicznym. domknięcie pola є przez automorfizm pola L; 2) L pole ułożenia danej rodziny wielomianów s ... ... Encyklopedia matematyczna

Algebraiczne rozwinięcie ciał

Wprowadzenie

Uniwersytety pedagogiczne uruchomiły program ujednoliconego kursu algebry i teorii liczb. Kierownikiem meta-kursu jest rozwój podstawowych systemów algebry i rozwój kultury algebraicznej, niezbędnej przyszłemu nauczycielowi do głębokiego zrozumienia celów i zadania głównego szkolnego kursu matematyki, a także szkolne kursy do wyboru.

Naszym zdaniem najważniejszym wprowadzeniem do szkolnego programu nauczania są elementy współczesnej algebry abstrakcyjnej.

Proces algebraizacji matematyki zapoczątkowany w XX wieku nie jest akceptowany, a raczej zmuszany do próby zrozumienia podstaw algebry w szkolnej edukacji matematycznej.

Matematyczna głębia i znakomicie szeroka sfera gęstości pól zostaną połączone z prostotą podstawowych zapisów - dla zrozumienia pól można sformułować i wydobyć na światło dzienne cały szereg ważnych twierdzeń, często pojawiających się w uniwersum teorii wielości. Dlatego teoria pola jest bardziej odpowiednia do pokazania uczniom wglądu we współczesną matematykę.

Ponadto rozwój elementów w teorii pola jest znany uczniom w wieku szkolnym, dążąc do ich rozwoju intelektualnego, co przejawia się w rozwoju tych wzbogaconych różnych stron ich umysłów, cech i cech, a także rozwoju naukowców , nauka i matematyka.

1. Proste rozszerzenie algebry ciał.

1.1.Po prostu rozwiń pole.

Niech P[x] będzie pierścieniem wielomianów takich jak x nad ciałem P, gdzie P są podciałami ciała F. Załóżmy, że element a ciała F jest nazywany algebraicznym nad ciałem P, ponieważ a jest pierwiastkiem taki wielomian dodatniego kroku P[x].

Wizyta, umówione spotkanie. Niech P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Niech a0F, P [x] - pierścień wielomianów w x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

więc P [a] jest bezosobowe w postaci a 0 + a 1 a + ... + a n an de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - będzie liczbą naturalną.

Łatwo zauważyć, że algebra +P[a], +, -, ., 1 jest podciałem ciała P(a) - podciałem; cały pierścień jest oznaczony symbolem P[a].

Twierdzenie 1.1. Niech P [x] - pierścień wielomianów w x nad P i P (a) - proste rozszerzenie ciała P. Niech y - rozwiń P [x] na P [a] tak, że y (f) = f ( a) dla be -th f іz P[x]. Todi:

(a) dla dowolnego a z P y (a) = a;

(c) y jest homomorfizmem pierścienia P[x] na pierścieniu P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) czynnik-koło P[x]/Ker y izomorficzny z pierścieniem P[a].

Przynoszący. Twierdzenie (a) i (b) piszczy bez pośrednika od mianowania y. Wprowadzenie y zapisuje główne operacje pierścienia P[x], więc dla każdego f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Twardość (d) płonie bez śladu z y.

Jeżeli pierścień y jest homomorfizmem pierścienia P[x] na P[a], to czynnik pierścień P[x]/Ker y jest izomorficzny z pierścieniem P[a].

Ostatnie 1.2. Niech a będzie elementem transcendentalnym nad ciałem P. Jeśli pierścień wielomianowy P[x] jest izomorficzny z pierścieniem P[a].

Przynoszący. Patrząc wstecz na transcendencję przez P Kery=(0). Do tego P[x]/(0) - P[a]. Ponadto współczynnik pierścienia P[x] za ideałem zerowym jest izomorficzny z P[x]. Również P[x] - P[a].

1.2.Wielomian minimalny elementu algebraicznego.

Niech P [x] będzie pierścieniem wielomianów nad ciałem P.

Wizyta, umówione spotkanie. Niech a będzie elementem algebraicznym nad ciałem P. Minimalny wielomian elementu a nad P jest najmniejszym wielomianem wartościującym P [x], którego pierwiastkiem jest є a. Krok wielomianu minimalnego nazywamy krokiem elementu a nad P.

Łatwo się domyślić, że dla dowolnego elementu a, który jest algebraiczny nad P, istnieje minimalny wielomian.

Propozycja 1.3. Jeśli a jest elementem algebry nad ciałem P, a g i j są minimalnym wielomianem nad P, to g = j.

Przynoszący. Kroki wielomianów minimalnych g i j są pomijane. Jeśli g ¹ j, to element a (krok n nad P) będzie pierwiastkiem wielomianu g - j, którego krok jest mniejszy niż krok wielomianu j (mniejszy niż n), co jest niemożliwe. Później g = j.

Twierdzenie 1.4. Niech a będzie elementem algebry stopnia n nad ciałem P (aóP), a g będzie minimalnym wielomianem nad P. Wtedy:

(a) wielomian g nie jest indukowany w okręgu P [x];

(b) więc f (a) = 0, gdzie f 0 P[x], g podziel f;

(c) czynnik-koło P[x]/(g) izomorficzny z kołem P[a];

(d) P [x]/(g) jest polem;

(e) pierścień P [a] jest dopasowany do pola P (a).

Przynoszący. Załóżmy, że wielomian g jest indukowany w okręgu P [x], to w P [x] można ustalić takie wielomiany j i h, że

g = jh, 1£deg j, deg h

Wtedy g(a) = j(a)h(a) = 0. Skoro P(a) jest polem, to j(a) = Pro lub h(a) = 0, co jest niemożliwe, odłamki, za umysłem , kroki element a nad P to więcej p.

Załóżmy, że f 0 P[x] i f(a) = 0. Dla umysłu g(a) = 0. Wtedy f i g nie mogą być wzajemnie wybaczone. Jeśli wielomian g jest nierozkładalny, to g dzieli f.

Niech j będzie homomorfizmem pierścienia P[x] na pierścieniu P[a] (y(f)=f(a) dla dowolnego f ⊂ P[x]), w świetle Twierdzenia 2.1. 3(b) jądro homomorfizmu y składa się z wielokrotności wielomianu g, tak. Kery = (g). Również współczynnik pierścienia P = P[x]/(g) jest izomorficzny z pierścieniem P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), to P[a] to obszar ważności. Ponieważ P @ P [a], to iloraz P jest również dziedziną integralności. Musimy pokazać, że każdy niezerowy element f z P można sprowadzić do P. Niech f będzie elementem sumy klasy f. Oskіlki f ¹ 0, potem f(a)¹0; Dlatego wielomianu g nie można podzielić przez wielomian f. Wielomian Oskіlki g jest nieredukowalny, gwiazdy są jasne, ale wielomiany f i g są wzajemnie proste. Ponadto, Р[x] ustal takie wielomiany u i v, że uf + vg=1. Wartość uf = 1 pokazuje, że element f jest bestialski w pierścieniu P.

З (с) і (d) P [a] є pole i objętość P(a)ÌP[a]. Z drugiej strony oczywiście P[a]ÌP(a). Również P[a] = P(a). Również pierścień P[a] jest dopasowany do pola P(a).

1.3. Proste rozszerzenie algebry ciał według Budova.

Twierdzenie 1.5. Niech a będzie elementem algebraicznym klasy dodatniej n nad ciałem P. Dowolny element pola P(a) może być jednoznacznie reprezentowany przez liniową kombinację n elementów 1, a, ..., a n-1 o współczynnikach Р.

Przynoszący. Niech element b-be-yakie pola P (a). Z Twierdzenia 1.4, P(a) = P[a]; również w P[x] wielomian f jest taki, że

Niech g będzie minimalnym wielomianem dla a nad P; na mocy twierdzenia pierwszy krok jest bardziej zaawansowany.

(2) f = gh + r, de r = 0 lub der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Pokazano, że element jest jednoznacznie reprezentowany w liniowej kombinacji elementów 1, a, ..., a n-1 . Daj spokój

(4) b = d 0 + d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké taka manifestacja. Spójrzmy na wielomian j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, jeśli krok j jest mniejszy niż n, niemożliwie, oparzenia z powodu (3) і (4) j (a) = 0 w kroku j jest najmniejszym rodzajem kroku g. Zmiana jest mniej możliwa, jeśli j \u003d 0, to s 0 \u003d d 0. . . , Zn-1 = dp-1. Ponadto element b może być jednoznacznie przedstawiony jako liniowa kombinacja elementów 1, a,…,a n-1 .

1.4 Wariacja w postaci nieracjonalności algebraicznej w sztandarze ułamka.

Zadanie o zvіlnennya w postaci irracjonalności algebry w sztandarze ułamka w kroku. Niech a będzie elementem algebry stopnia n>1 nad ciałem P; f і h - wielomiany z kręgu wielomianów P[x] i h(a) ¹0. Należy podać element f(a)/h(a)0P(a) w przypadku liniowej kombinacji kroków elementu a, to w przypadku j(a),

Tse vdannya virishuєtsya tak. Niech g będzie wielomianem minimalnym dla a nad P. Oskilki, zgodnie z Twierdzeniem 1.4, wielomian nie jest indukowany nad P і h(a) ¹ 0, wtedy g nie dzieli h і, również wielomiany h і g są wzajemnie prosty. Dlatego P[x] ma takie wielomiany u i v, że

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Ponadto f(a)/h(a) = f(a)u(a), ponadto f,u 0P[x] i f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, my zvіlnilis vіd іrationalnosti f(a)/h(a) .

Brzmi jak irracjonalność u chorążego

Wyrazy bogate p(x) i g(x)=-x 2 +x+1 są wzajemnie proste. Dlatego istnieją tak bogate terminy j i y, że

Dla vіdshukannya j y zastosuemo Algorytm euklidesowy do wielomianów p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

w taki sposób,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki wiedzą

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

w taki sposób,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Składane rozszerzenie algebry ciał.

2.1. Rozbudowa pola Kіntseve.

Niech P będzie podciałami pola F. Następnie możemy spojrzeć na F jako przestrzeń wektorową nad P, więc możemy spojrzeć na przestrzeń wektorową +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - operacja mnożenia elementów F przez skalar l0P.

Wizyta, umówione spotkanie. Ekspansja pola F nazywana jest terminalem, podobnie jak F, ponieważ jako przestrzeń wektorowa nad P można zakończyć ekspansję. Tsya rozmirnіst oznaczał.

Propozycja 2.1. Jeśli a jest elementem algebraicznym stopnia n nad P, to = n.

Ta propozycja rażąco przebija się przez Twierdzenie 1.5.

Wizyta, umówione spotkanie. Rozszerzenie F ciała P nazywa się algebraicznym, ponieważ element skóry F jest algebraiczny względem P.

Twierdzenie 2.2. Czy skończone rozszerzenie ciała F jest algebraiczne względem P.

Przynoszący. Niech F będzie n-gładkie nad P. Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe, ponieważ n = 0. Załóżmy, że n>0. Jeśli n+1 elementów F leży liniowo odłogiem nad P. Sokrema, układ liniowo odłogowany elementów 1, a, ..., a n , to P takie elementy 0 , 1, ..., c n nie są równe zero , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Element a jest również algebraiczny nad P.

Istotne jest, że istnieją rozszerzenia algebry ciał, które nie są rozszerzeniami terminalnymi.

2.2. Rozbudowa magazynowa dziedziny algebry.

Rozszerzenie F pola P nazywamy zwijanym, ponieważ jest

lancet rosnący podpole L i pola F takie, że

P = L 0 - L 1 - ... L k = F w k>1.

Twierdzenie 2.3. Niech F - koniec rozszerzenia pola L і L - koniec rozszerzenia pola P. Następnie F - koniec rozszerzenia pola P i

=@[L:P].

Przynoszący. Daj spokój

(1) a 1 ,…,a m - baza ciała L nad P (jak przestrzeń wektorowa) oraz

(2) b 1 ..., b n - podstawa ciała F nad L . Dowolny element d z F można liniowo wyrazić za pomocą podstawy:

(3) d = l 1 b 1 +... + l n b n (l k 0L).

Współczynnik 1 k można wyrazić liniowo za pomocą podstawy (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Podstawiając punktację za współczynniki l k (3), jest dopuszczalne

d = p a b k .

W ten sposób element skóry pola F może być reprezentowany jako liniowa kombinacja elementów mnożnika B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Istotne jest, że mnożnik B sumuje do nm elementów.

Pokazujemy, że F jest bazą nad P. Musimy pokazać, że układ elementów mnożnika B jest liniowo niezależny. Daj spokój

(5) åc ik a i b k = 0,

de cik 0 P. Ponieważ układ (2) jest liniowo niezależny od L , to (5) wynika z równości

(6) s 1 k a 1 +... + s m k a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Ponieważ elementy a 1 , ..., a m są liniowo niezależne od P, to (6) wynika z równości

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

aby pokazać, że współczynniki w (5) są równe zeru. Zatem układ elementów B jest liniowo niezależny i stanowi podstawę F nad P.

Otzhe, wstawiony, scho = nm = ×. Również F є ostatnie rozszerzenia pola P і maє formuła misce (I).

Wizyta, umówione spotkanie. Rozszerzenie F ciała P nazywamy składaną algebraiczną, ponieważ jest to rosnąca lanca podpól ciała P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

takie, że dla i = 1,..., k pól L i є po prostu rozwińmy algebrę ciała L i-1 . Liczba k nazywana jest lancą dozhina (1).

Ostatnie 2.4. Rozszerzenia magazynowe algebry F pola P są końcowymi rozszerzeniami pola P.

Dowód można łatwo przeprowadzić przez indukcję za lancą (1) na uzasadnieniu Twierdzenia 2.3.

Twierdzenie 2.5. Niech a 1 ,..., ak będzie algebraiczne nad ciałem P elementów ciała F . To samo pole P(a 1 ,..., ak) jest ostatnim rozszerzeniem pola P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Wtedy L 1 = P jest prostym rozszerzeniem algebry ciała L 0 ; L 2 jest prostym rozszerzeniem algebry ciała L 1, ponieważ

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) itd.

w taki sposób,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) dla i = 1, ..., k, to wyraz skórny Lanziuka (2) jest prostym rozszerzeniem algebry przedniego wyrazu Lanziuka. Później ciało F jest zwijanym rozszerzeniem algebry ciała P. Ponownie, zgodnie z wnioskiem 2.4, ciało F jest końcowym rozszerzeniem ciała P .

Ostatnie 2.6. Rozszerzenie magazynu algebry ciał є rozszerzenie ciała algebraicznego.

2.3. Prostota rozbudowy magazynu algebry pól.

Twierdzenie 2.7. Niech pole liczbowe F będzie zwijanym rozszerzeniem algebry ciał P . Wtedy F є uprościmy rozszerzenia algebry ciała P.

Przynoszący. Niech P - L - F ponadto L = P (a), F = L (b) i, także F = P (a, b).

Niech f i g będą minimalnymi wielomianami nad P, co jest prawidłowe dla liczb a i b oraz deg f = m, deg g = n. Wielomiany f g nie mogą się nakładać na P, dlatego nie może znajdować się w polu E liczb zespolonych o wielu pierwiastkach. Daj spokój

a = a 1 ,..., a m - pierwiastki wielomianu f C i

b = b 1 ,..., b n - pierwiastek wielomianu g C.

Spójrzmy na kіtsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P jest mnożnikiem liczbowym (a zatem nieograniczonym), następnie P jest liczbą c, vidminne w elementach mnożnika M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

To prawda, że ​​w czasach równości a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo użył wyboru liczby c.

Niech F 1 = P(g) i F 1 - pierścień wielomianów w x. Niech h = f(g - cx) będzie wielomianem z F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Można wykazać, że x-b jest największą spółgłoską wielomianów h i g w pierścieniu F 1 [x]. Skale g(b) = 0, następnie x-b podziel g E[x]. Daly, z powodu (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Do tego x-b podziel wielomian h E[x]. W tej kolejności x-b jest podkładem h i g w pierścieniu E[x].

Poinformowano, że g і h С nie ma korzeni, vіdmіnkh vіd b. Powiedzmy, że b k , k0(2 ,..., n) jest jego dzikim pierwiastkiem. Wtedy h(b k) = f(g - сb k) = 0. Wtedy jest taki indeks i0(1 ,...,m) ). Dlatego jest możliwe, że x-b jest największym podkładem g i h w E[x]. Oskіlki x - b - wielomian normalizacyjny, wtedy gwiazda jest czysta, scho x - b є największy gorący dilnik g i h y kіltsi F 1 [x]. Tomek

(x-b) 0F1 [x] i b0F1 = P(g).

Ponadto a = g - cb 0 F 1 . w taki sposób,

F = P(a, b) F 1 , F 1 Ì F.

2.4. Pole liczby algebraiczne.

Jedną z najważniejszych jest klasa podpól ciała liczb zespolonych - ciało liczb algebraicznych.

Wizyta, umówione spotkanie. Liczba algebraiczna nazywana jest liczbą zespoloną, która jest pierwiastkiem wielomianu o dodatnim stopniu o współczynnikach wymiernych.

Istotne jest, że liczba algebry, czy to liczba zespolona, ​​jest algebraiczna nad ciałem Q. Sokrema, czy to liczba wymierna, jest algebraiczna.

Twierdzenie 2.8. Bezosobowe A wszystkich liczb algebraicznych jest zamknięte w pierścieniu E = +C, +, -, 1, liczb zespolonych. Algebra A = +А, +, -, , 1 jest ciałem, podciałem ciała E.

Przynoszący. Niech a i b będą elementami A. Dla ostatniego 2.6, ciało Q(a, b) jest algebraiczne nad Q. Dlatego liczby a + b, -a, ab, 1 są algebraiczne, więc wielokrotności A leżą , bezosobowy A jest domknięty zgodnie z operacjami głowy cyklu E. Zatem algebra A jest podcyklem cyklu E - jest cyklem.

Dodatkowo, ponieważ a jest niezerowym elementem w A, a -10 Q (a, b) i że a -1 leży w A. Ponownie, algebra A jest ciałem, podciałami ciała E.

Wizyta, umówione spotkanie. Pole A = +A, +, -, , 1 nazywamy ciałem liczb algebraicznych.

Pokaż, że liczba a = algebraiczna.

Rozwiązanie. Z a \u003d krzyczy a-.

Zvedomly obraźliwe części pozostałej równoważności w trzecim kroku:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Teraz obraźliwe części zazdrości zostają przeniesione na inny poziom:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

W tej randze є pierwiastek bogatego terminu

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

ze współczynników racjonalnych. Ce oznacza, że ​​a jest liczbą algebraiczną.

2.5. Domknięcie algebraiczne ciała liczb algebry.

Twierdzenie 2.9. Pole liczbowe algebry jest algebraicznie domknięte.

Przynoszący. Niech A [x] będzie pierścieniem wielomianów w x nad ciałem A liczb algebraicznych. Daj spokój

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Bądź jakimś wielomianem dodatniego kroku A[x]. Musimy udowodnić, że f może być zakorzenione w A. Jeśli f0C[x] i pole E jest algebraicznie domknięte, to f można zakorzenić w E tak, że ma taką liczbę zespoloną s, że f (c) = 0. Niech L = Q (a 0 , ... i n) oraz L(c) będzie prostym rozszerzeniem algebry ciała L poza pomocą c. Wtedy Q - L - L (c) jest końcowym rozszerzeniem algebry ciała L. Z Twierdzenia 2.2, L jest końcowym rozszerzeniem ciała Q. Na mocy Twierdzenia 2.3, L (c) jest końcowym rozszerzeniem ciało Q. ciało L (c) jest rozszerzeniem algebry ciała Q i, stąd c0A. Tak więc, jeśli w A[x] jest jakiś wielomian o dodatnim kroku A może mieć pierwiastek, to ciało A jest algebraicznie domknięte.

3. Rozłączne i nierozłączne rozszerzenia.

Chodź D - pole.

Z pewnością, jak nierozkładalny wielomian D[x] może być matką wielu pierwiastków?

Aby f(x) było wielokrotnymi pierwiastkami, bogate składniki f(x) i fN(x) wynikają ze wspólnego podwójnego mnożnika matki, który można obliczyć już w D[x]. Nawet jeśli wielomian f(x) jest nierozkładalny, to z żadnym bogatym wyrazem niższego stopnia f(x) nie może być matką niezrozumiałych mnożników globalnych, a także może istnieć równość f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Zatem fN(x) = O, współczynnik skóry jest winny zeru:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Ważne jest charakterystyczne zero gwiazdy, że n \u003d 0 wszystkie n ¹ 0. Również niespójny wielomian może być matką wielu pierwiastków. W momencie charakterystyki p_równomierność na n \u003d 0 możliwe jest posiadanie n ¹ 0, ale może być również równe

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Wstecz: jeśli f(x) może wyglądać tak, to fN(x)=0.

Dzięki tej vipadce możemy napisać:

Sam Tim wysunął twierdzenie: w przypadku zerowej cechy bogaty wyraz f (x) nie jest podzielny w D [x], może to być tylko pierwiastek prosty, w przypadku cechy p wielomian f ( x) (który jest również taki sam jak stała) może być wielokrotnością pierwiastka, jeśli można to pokazać jako wielomian j vіd x p.

Czasami jest możliwe, że j(x) jest wielomianem na swój sposób x p . Wtedy f(x) jest wielomianem jak x p 2 . Niech f(x) - bogaty wyraz jak xpe

ale є wielomian vіd x pe +1 . Zrozumiałe jest, że wielomian y(y) jest nierozkładalny. Dali, y¢(y) ¹ 0, ponieważ w przeciwnym razie y(y) wyglądałoby jak c(y p) i, to f(x) wyglądałoby jak c(x pe + 1), co zastąpiłoby pominięcie. Otzhe, y (y) może być tylko prostym pierwiastkiem.

Rozwińmy wielomian y, aby rozwinąć główne pole na czynniki liniowe: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe-b i)

Niech a i będzie pierwiastkiem wielomianu x pe - bi. Następnie x ja pe \u003d b ja,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Również a i є r e - wielokrotny pierwiastek wielomianu x pe - b i

f(x) = J(x-ai)p e.

Wąsik pierwiastka wielomianu f(x) może w ten sposób mieć taką samą wielokrotność p e.

Krok m wielomianu y nazywamy krokiem redukcji wielomianu f(x) (lub pierwiastka a i); liczba e nazywana jest wykładnikiem wielomianu f (x) (lub pierwiastka a i) nad ciałem D.

de m droższa liczba różnych pierwiastków wielomianu f(x).

Jeśli q jest pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu w pierścieniu D[x], który może być tylko pierwiastkami prostymi, to q nazywamy elementem separowalnym nad D lub elementem pierwszego rodzaju nad D 1). W ten sposób nierozerwalnie bogaty termin, którego wszystkie korzenie można oddzielić, nazywa się rozdzielnym. W przeciwnym razie element algebraiczny q i nierozkładalny wyraz bogaty f(x) są nazywane nierozłącznymi lub elementem (jak wyraz bogaty) innego rodzaju. Otóż ​​rozszerzenie algebry S, której wszystkie elementy są rozłączne nad D, nazywamy rozłącznymi nad D, a każde inne rozszerzenie algebry nazywa się nierozłącznym.

W czasach charakterystycznego zera mówi się, że skóra nie jest nierozkładalnym terminem bogatym (a zatem rozszerzeniem skóry algebry) jest rozłączny. Chcielibyśmy wiedzieć, że większość najważniejszych i najważniejszych rozszerzeń pól jest separowalnych i że znamy jakość klasy pól, tak aby nierozłączne rozszerzenia (tzw. „ukończone pole”) nie były możliwe. Z tsієї causa all pov'yazane specjalnie z nierozłącznymi rozszerzeniami wpisanymi inną czcionką.

Przyjrzyjmy się teraz rozszerzeniu algebry S = D (q). Jeżeli kroki n są równe f(x) = 0, co oznacza krok większy, bardziej zaawansowany (S:D), to redukcja kroków m jest równa liczbie izomorfizmów pola S w sensie postępowym: my może patrzeć tylko na te izomorfizmy [e-mail chroniony]", ponieważ dowolne elementy podpola D są wypełnione bez przemocy i, to S jest przenoszone do równoważnego pola S" (izomorfizm pola S nad polem D) i dla dowolnego pola-obrazu S "leżą razem z polem S w środku pola W. tsikh umovah maє mistse twierdzenie:

Przy odpowiednim doborze ciała W rozszerzenie S=D(q) może mieć dokładnie m izomorfizmów nad D, a dla dowolnego wyboru ciała W, ciało S nie może mieć więcej niż m takich izomorfizmów.

Przynoszący. Izomorfizm skóry nad D jest odpowiedzialny za przełożenie elementu q na jego skojarzenia z elementem q" z W. Wybierz W tak, aby f(x) rozszerzało się nad W na mnożniki liniowe; wtedy okazuje się, że element q może mieć dokładnie m wystąpień elementy q,q Jeśli tak, jako bi, pole W nie zostało wybrane, element q nie jest matima w więcej niż m przypadkach. To godne uwagi, że izomorfizm skóry D(q)@D(q") nad D jest całkowicie zależny od danej tożsamości q® q". Oczywiście, jeśli q przejdzie do q "i wszystkie elementy z D zostaną na miejscu, to element

3a k q k (jak 0D)

winny idź do

a cym oznacza izomorfizm.

Sokrema, ponieważ q jest elementem rozłącznym, to m = n і, stąd liczba izomorfizmów w polu głównym jest bardziej równomiernie rozciągnięta.

Jeśli tak, to jeśli pole jest stałe, które może obejmować wszystkie badane pola, w których mogą znajdować się wszystkie pierwiastki wyrównania skóry f(x) = 0 (jak np. w polu liczb zespolonych) , to w pojemności W możesz raz na zawsze zająć pole i Do tego dodaj dodatek „w środku martwego W” we wszystkich stwierdzeniach o izomorfizmie. Zacznij więc naprawiać teoretycznie pola liczbowe. Przypominamy, że dla pól abstrakcyjnych można również użyć pola W.

Cytowane twierdzenie jest następującym stwierdzeniem:

Jak rozwinąć S, aby wyjść z D do kolejnych przyjazdów m

elementy algebraiczne a 1 , ..., a m , ponadto skórka za a i , є root

nierozszerzalny nad D(a 1 , ..., a i-1) jest równy stopniowi zredukowanemu n" i , wtedy

rozwinięcie S może być dokładnie ?n i ¢ izomorfizmy nad D i w ten sam sposób

bez rozszerzeń większa liczba takie izomorfizmy pola S.

Przynoszący. Dla m = 1 twierdzenie zostało dalej rozwinięte. Załóżmy, że її obowiązuje dla rozszerzenia S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є dokładnie n i ¢ izomorfizmy ciała S nad D.

Niech S 1 ®S 1 będzie jednym z izomorfizmów Õ n i ¢. Twierdzi się, że w odwrotnej kolejności odwróconego pola W wino może być kontynuowane do izomorfizmu S = S 1(am) @ S = S(am) nie więcej niż n_zh n m sposobów.

Element a m spełnia równanie f 1 (x) = 0 przez S 1 z n¢ m różnych pierwiastków. Po dodatkowym izomorfizmie S 1 ® S 1, bogaty składnik f 1 (x) może zostać przetłumaczony na inny bogaty składnik f 1 (x). Ale todі f 1 (x) w szeroko rozszerzony sposób, ale n m różnych korzeni i nic więcej. Niech m - jeden z tych korzeni. Patrząc na wybór elementu a m, izomorfizm S 1 @S 1 wynosi trzy do izomorfizmu S (a m) @ S (am) dla a m ®a m w jeden i tylko jeden sposób: kontynuację daje wzór

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Próbki doboru elementu a m można zdefiniować na n "m sposobów, używając n" m kontynuacji takiego rodzaju dla izomorfizmu odwrotnego å 1 ®å 1

Oskіlki mają własną linię, a ten izomorfizm można przekonwertować

Х n" i sposoby,

wtedy wszystko jest prawdą (to pole W, w którym znajdują się wszystkie pierwiastki wszystkich równych, na które patrzymy)

Õ n" ja × n" m = Õ n" i

izomorfizmy rozciągnięcia S nad polem D, które trzeba było sprowadzić.

Jeśli n i jest rzeczywistym (niezredukowanym) stopniem elementu a i nad D (a 1 ,...,a i-1), to n i więcej stopni rozszerzenia D (a 1 , ... , a i) pola D(a1,...,ai-1);

otzhe, kroki (S:D) więcej

Jak dopasować liczbę do liczby izomorfizmów

Liczba izomorfizmów rozszerzenia S = D(a 1 , ... , a m) nad D (dla dowolnego rozszerzenia W) jest dodatkowym krokiem (S:D) nawet wtedy, gdy element skóry a i jest separowany nad pole D(a 1 , ... , a i-1). Jeśli chcesz, aby jeden element a i był nierozdzielny na oddzielnym polu, to liczba izomorfizmów jest mniejsza niż stopień rozwinięcia.

Z punktu twierdzenia od razu pojawi się kilka ważnych uwag. Dla nas twierdzenie to mówi, że moc elementu skóry a i jest rozdzielna nad polem przednim, a moc samego rozszerzenia S jest niezależna od doboru elementów generujących a i . Ponieważ dodatkowy element pola może być traktowany jako pierwsza generacja, element b wydaje się być rozdzielny, tak jak wszystkie a i są takie. Ojciec:

Elementy a i , ... ,a n i są dodawane kolejno do pola D, element skóry a i pojawia się jako rozdzielny nad polem, usuwamy sąsiadujące elementy frontowe a 1, a 2 ,...,a i-1

S = D(a 1 , ... , a n)

możliwe do rozdzielenia nad D.

Zokrema, suma, retail, tvir, które prywatnie odseparowane elementy są rozdzielne.

Co więcej, ponieważ b jest separowalne przez S, a pole S jest separowalne przez D, to element b jest separowalne przez D. Wyjaśnia to fakt, że b spełnia ostateczną liczbę współczynników a 1 , ... , a m з Si, znowu, jest rozdzielne przez D (a 1, ..., a m). Sam Tim rozłączne rozszerzenie

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, dajmy to samo miejsce: liczbę izomorfizmów terminala separowalnego rozszerzenia S nad ciałem D o wyższym stopniu rozszerzenia (S:D).

4. Nieograniczona ekspansja nawadniania.

Pole skóry wyłania się ze swojego prostego podpola za pomocą ostatecznego chi niewyczerpanej ekspansji. W tym podziale widoczne są niezliczone rozwinięcia ciał, przede wszystkim algebraiczne, a następnie transcendentalne.

4.1. Pola algebraicznie domknięte

Wśród rozwinięć algebry danego ciała ważną rolę odgrywa zwłaszcza maksymalne rozwinięcie algebry, aby nie dopuścić do dalszego rozwinięcia algebry. Powód takiego przedłużenia zostanie przedstawiony w tym akapicie.

Aby ciało W było maksymalnym rozszerzeniem algebry, konieczne jest rozwinięcie umysłu: wielomian skóry okręgu W[x] można rozłożyć na mnożniki liniowe. Umysł Tsya jest wystarczający. Rzeczywiście, ponieważ wielomian skóry w W[x] jest rozkładany na mnożniki liniowe, to wszystkie proste wielomiany w W[x] są liniowe, a elementy skóry dowolnego rozszerzenia algebry W" ciała W wydają się być pierwiastkiem dowolnego składnik liniowy bogaty x - a w W[x] , czyli działa z rzeczywistym elementem a pola W.

Do tego damo jest ten sam los:

Ciało W nazywamy domknięciem algebry, ponieważ każdy wielomian w W [x] można rozłożyć na czynniki liniowe.

Równie ważne jest to, że ciało W jest algebraicznie domknięte, tak że wielomian w W[x] może być odrębnym wielomianem w W[x] z jednym pierwiastkiem, czyli z pojedynczym mnożnikiem liniowym w W[x] .

Rzeczywiście, jako taki sprytny vikonan i całkiem sporo wpływów, wielomian f (x) jest rozkładany na czynniki, które nie ulegają rozkładowi, wtedy cały smród jest winny, ale liniowy.

„Basic Theorem of Algebra” mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Zbliżająca się bryła ciała algebraicznie domkniętego może być ciałem wszystkich liczb zespolonych algebraicznych, a więc bezosobowych liczb zespolonych, jak bycie zadowolonym z dowolnego rodzaju równości ze współczynnikami wymiernymi. Złożony pierwiastek jest równy współczynnikom algebry є i jest naprawdę algebraiczny nie tylko nad ciałem liczb algebraicznych, ale także nad ciałem liczby wymierne, czyli same są liczbami algebraicznymi.

Tutaj pokażemy jak indukować domknięte rozszerzenie algebraiczne wystarczająco danego ciała P i to w sposób czysto algebraiczny. Steinitz położyć się w ten sposób

Twierdzenie główne. Dla ciała skóry P, domknięte rozszerzenie algebraiczne algebry W. Dokładnie aż do równoważności, rozszerzenie jest jednoznacznie zdefiniowane: czy istnieją dwa algebraicznie domknięte rozszerzenia algebraiczne W, W ”ciała P są równoważne.

Dowód tych twierdzeń wynika z nadwyżki lem:

Lemat 1. Niech W będzie rozszerzeniem algebry ciał P. Wystarczający umysł aby W było domknięciem algebry, є rozwinięcie na czynniki liniowe dowolnego wielomianu w P[x] w pierścieniu W[x].

Przynoszący. Niech f(x) będzie dodatkowym wielomianem z W[x]. Jeśli vin nie jest rozłożony na mnożniki liniowe, to można wziąć pierwiastek a i, aby dojść do wyższego nadciała W. Element a jest algebraiczny nad W, a W jest rozszerzeniem algebry ciała P; następny wielomian g(x) w P[x]

Lemat 2. Jeżeli ciało P jest uporządkowane holistycznie, to pierścień wielomianów P[x] może być uporządkowany holistycznie i do tego stopnia, że ​​to uporządkowane pole P będzie potrójne.

Przynoszący. Znacząco zmień kolejność między wielomianami f(x) w P[x] w następujący sposób: niech f(x)

1) etap f(x) jest mniejszym rodzajem etapu g(x);

2) krok f(x) więcej krok g(x) i więcej n, to.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i dla następnego indeksu k:

i i = b i dla i

K

Jeśli tak, to dla wielomianu 0 przypisuje się winę: przypisuje mu się krok 0. Jest oczywiste, że taki sposób uporządkowania jest taki, dla którego sensu P [x] jest całkowicie uporządkowane. Będzie to pokazane w następujący sposób: w karnacji niepusta liczba mnoga segmentów bogatych, istnieje niepusta podwielokrotność segmentów bogatych o najmniejszym stopniu; nie ma tak dobrej liczby. W każdej podwielokrotności znajduje się niepusta podwielokrotność wyrazów bogatych, współczynnik wynosi 0, co jest pierwszym w sensie głównego rzędu środka dużych części bogate terminy, na które się patrzy; przy wyznaczonej podwielokrotności є mieć własny podmnożnik linii bogatych członów z pierwszym a 1 itd. minimnosti, które są kolejno zwycięskie, do wyboru); ten wielomian jest pierwszym elementem danego mnożnika.

Lemat 3. Jeśli pole P jest uporządkowane jako całość, bogaty termin f(x) etapu n w n symbolach a 1 ..., a n następnie pole P (a 1 ,..., a n), w które f(x) zostanie rozwinięte na mnożniki liniowe

Õ(x-a i), będzie jednym rzędem i całością

zamówienie. Pole P w sensi tsiy є vіdrіzkom.

Przynoszący. Dodajemy pierwiastek a 1 ..., a n kolejno, po czym P = P 0 kolejno wygrywają pola Р 1 , ..., Р n . Załóżmy, że R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - pole zostało już indukowane i że P jest umową z R i-1; wtedy R i tak będzie.

Przed zadaniem 2 pierścień wielomianów Р i-1 [x] jest uporządkowany w całości. Wielomian f jest rozkładany na każdym kroku na nierozerwalne czynniki, których środek jest pierwszym miejscem x - a 1 ,..., x - a i-1 ; pośród innych form liczby mnogiej niech fi (x) będzie pierwszym w sensie jasnego porządku. Razem z symbolem a i, który oznacza pierwiastek wyrazu bogatego f i (x), oznaczamy pole P i = P i -1 jako sumę sum

de h jest krokiem bogatego wyrazu fi (x). Jeśli f i (x) jest liniowe, to oczywiście uwzględniamy P i = P i -1; znak a i nie jest potrzebny. Zachęcaj pole jako całość do zamówienia dodatkowej inteligencji ofensywnej: element skóry pola

być może bogaty członek

A elementy pola są uporządkowane w taki sam sposób, jak uporządkowanie ich bogatych terminów.

Oczywiście to samo Р i-1 jest w stosunku do Р i, a do tego і P - w stosunku do Р i.

Tim same pola P 1 ,..., P n motywowane są całym uporządkowaniem. Pole Рn można jednoznacznie przeszukiwać przez pierwsze pole P(a 1 ,..., a n).

Lemat 4

Przynoszący. Dla dowolnych dwóch elementów a, b połącz dwa pola S a , S b , tak aby zastąpić a, b i z dowolnego jednego przed drugim. W polu zachrypniętym elementy a + b i a × b są przypisane do elementów w polu skóry, aby aib można było pomścić, ponieważ dwa takie pola są jedno przed drugim i podpolem Yogo. Na przykład, aby wprowadzić prawo skojarzeń

abg = abg,

znamy środkowe pola S a , Sb, S g te, które pokrywają dwa inne pola (największe); w którym polu znajduje się a, b i g i w nowym prawie asocjacji vikonano. W ten sam sposób zmieniane są zasady reshta dotyczące obliczania elementów stowarzyszenia.

Dowód głównego twierdzenia podzielony jest na części: podciało W i dowód jedności.

Ciała Pobudowa W. Lemat 1 udowodnij, że dla pozornie algebraicznie domkniętego rozszerzenia W ciała P wystarczy indukować takie rozszerzenie algebry ciała P, aby wielomian w P[x] mógł być rozwinięty na te rozszerzenia na mnożniki liniowe.

1. Pole P f є pole ob'ednannyam P we wszystkich polach S g dla g

2. Pole P f jest uporządkowane w taki sposób, że P i wszystkie pola S g z g

3. Pole S f pochodzi od R f do danych pierwiastków wyrazu bogatego f po dodatkowych symbolach a 1 ,..., a n jest ważne do lemi 3.

Należy stwierdzić, że w ten sposób całe uporządkowanie pól Р f , S f może być jednoznacznie przypisane przez całe pole porządkujące, jak również wszystkie przednie Р g , S g są już przypisane częściej.

Yakshcho vikonano 3, a następnie nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 widzimy, że pole P i skóra pole S g (g

Р - vіdrіzok Sh w h

S g - podwójne S h w g

Brzmi jak P i pola Sh (h b, jaka można uratować w Pf. Ta sama kolejność jest taka sama we wszystkich polach Pabo S g jaka jaka a, więc ib, do tego wszystkie pola ts v_drіzkami jedno z nich. Otzhe, wyznaczono ustawienie na zamówienie. Ci, którzy są całkowicie uporządkowani bezosobowi, oczywiście, tak jak skóra nie jest pusta bezosobowa x w Р f pomścić przynajmniej jeden element dzieła deyakogo pola S g, a to jest pierwszy element x x Ç Praca x Ç S g. Ten element to jedna godzina є i pierwszy element x.

Patrząc na swój umysł 3, wielomian f(x) ponownie rozkłada się na czynniki liniowe w polu S f . Dalej, po pomocy indukcji pozaskończonej, pokazano, że S f jest algebraiczne nad P. Rzeczywiście, zakłada się, że wszystkie pola S g (g

Teraz przechowujemy pulę W wszystkich pól Sf; zgіdno z lemoy 4 wygrał є pole. Całe ciało jest algebraicznie nad P i wszystkie bogate wyrazy f są nad nim rozwinięte (małe wielomiany skórki f są już rozwinięte nad S f). Również pole W jest algebraicznie domknięte (Lema 1).

Jedność ciała W. Niech W i W" będą dwoma ciałami, które są algebraicznymi i domkniętymi rozszerzeniami algebraicznymi ciała P. Sprowadźmy równoważność tych ciał. Rozważa również jeden z tych argumentów) podwielokrotność ¢ w W " i trochę izomorfizmu

P(Â) @ P(¢).

Reszta maja będzie usatysfakcjonowana nadchodzącym powracającym spivingiem.

1. Izomorfizm P(Â) @ P(¢) wynika z wyczerpania się elementu skóry pola P na polu.

2. Izomorfizm P(Â) @ P(¢) z ÁÌ Â może być rozszerzeniem izomorfizmu P(Â) @ P(Á").

3. Jeśli  jest pozostałym elementem a, tak że  = ÁÈ(a), i jeśli a jest pierwiastkiem bogatego wyrazu f(x), którego nie można rozłożyć na P (Á), to element a" ma winę za pierwszy pierwiastek rodzaju P(Á) @ P(I"), wielomian f¢(x) w dobrze uporządkowanym polu W".

Konieczne jest pokazanie, że izomorfizm P(Â) @ P(¢) jest efektywnie przypisywany w ten sam sposób, mimo że wina są już przypisaniami dla wszystkich przednich krawędzi ÁÌ Â. Tutaj należy rozróżnić dwa punkty.

Pierwsza kropla. Bezosobowe nie mogą mieć reszty żywiołu. Ten sam skórzany element powinien leżeć na śpiewającym przodzie zamka Á; do tego  є do łącznego podlewania Á, do tego P(Â) - do skumulowanych pól P(Á) dla ÁÌ Â. Jeżeli elementy skórki z izomorfizmów P(Á) @P(Á") pochodzą od poprzednich, to element skórki a ze wszystkimi tymi izomorfizmami ma tylko jeden element a". Dlatego istnieje jedna i więcej niż jedna odmiana P(Â) → P(¢), która kontynuuje wszystkie izomorfizmy do przodu P(Á) → P(Á"), a sama odmiana a®a". Jest oczywiste, że jest to izomorfizm i połączenie 1 i 2.

Kolejna kropla. Anonimowy maє pozostały element a; także,  = ÁÈ(a). Wreszcie element a" związany z elementem a jest jednoznacznie przypisany. Ponieważ a" nad ciałem P(I") (w sensie analizowanego izomorfizmu) spełnia "to samo" niespójnie równe, że ia nad P(I), wtedy izomorfizm P(I) → P(I") (w przypadku, gdy I jest pusty, to ten sam izomorfizm P®P) idzie w górę do izomorfizmu P(I, a) ®P(I", a¢ ), gdy przechodzi na a". Izomorfizm skóry został jednoznacznie zidentyfikowany na podstawie sugestii skóry, więc racjonalna funkcja skóry j(a) ze współczynnikami języka ogólnego przechodzi do funkcji j „(a”) z równoważnymi współczynnikami Á”. ) ® P(¢) oczywiście pasuje do 1 i 2.

Zatem podstawienie izomorfizmu P(Â)→P(¢) jest zakończone. Znacząco przez W" uogólnienie wszystkich pól P(В¢); wtedy mamy do czynienia z izomorfizmem P(W)®W" lub W®W", który dodaje element pola P do przestrzeni skóry. pole W jest algebraicznie domknięte, więc Buti і W ", a do tego W" jest dopasowane z wymaganym polem W¢.

Znaczenie algebraicznie domkniętego rozszerzenia danego ciała jest takie samo, że aż do punktu równoważności możliwe jest pokonanie możliwych rozszerzeń ciała algebraicznego. Dokładniej:

Jeśli W jest algebraicznie domkniętym rozszerzeniem algebry ciała P, a S jest dość algebraicznym rozszerzeniem ciała P, to w środku W znajduje się ogólne rozszerzenie S 0 , które jest równoważne rozszerzeniu S.

Przynoszący. Możemy rozszerzyć S do pewnego zamkniętego rozszerzenia algebraicznego W". Będzie to algebraiczne i ponad P, a zatem równoważne rozszerzeniu W. W każdym izomorfizmie, aby przetłumaczyć W" na W, biorąc nienaruszalny element skóry z P, pole S przechodzi w słaby odpowiednik podpola yoma S 0W.

4.2. Wybacz transcendentną ekspansję.

Skóra jest po prostu transcendentalnym rozszerzeniem ciała D, pozornie równoważnym polu prywatnego D(x) pierścienia wielomianów D[x]. Do tego prywatnego pola mi vivchimo tse

Elementy ciała W są funkcjami wymiernymi

Twierdzenie. Transcendentalny element h kroku n jest transcendentalny nad D w polu D(x) jest rozszerzeniem algebry pola D(h) kroku n.

Przynoszący. Zgłoszenie h = f(x)/g(x) nie jest krótkotrwałe. Ten sam element x zadowolony

g(x)×h - f(x)=0

ze współczynnikami D(h). Liczby współczynników nie mogą być równe zeru. Rzeczywiście, jeśli wszystkie smród były równe zeru i ak litera bi w tym samym świecie x będzie niezerowym współczynnikiem wielomianu g (x), a b k - niezerowym współczynnikiem wielomianu f (x), to nie wystarczyłoby, aby matka była równa

gwiazdy h = b k / ak = const, co jest przesądem. Ponownie, element x jest algebraiczny nad D(h).

Jeśli element h jest aczkolwiek algebraiczny nad D, to x jest aczkolwiek bialgebraiczny nad D, co jednak tak nie jest. Ponownie, element h jest transcendentalny nad D.

Element x jest pierwiastkiem bogatego wyrazu kroku n

w pierścieniu D(h)(z). Ten wielomian jest nierozkładalny w D(h)[z], odłamki są również vin bouv bi można rozłożyć n w kіlci D, і, odłamki vin są liniowe w h, jedna z wielokrotności maw bi nie jest możliwa wpłacić h lub mniej z. Ale taki mnożnik nie może być, ponieważ g(z) i f(z) są wzajemnie proste.

Ponadto element x jest krokiem algebry n nad ciałem D(h). Gwiazdy są stałe, więc (D(x) : D(h)) = n

Dla złośliwego ważne jest, że bogaty członek

nie ma wielokrotności, które mogą leżeć tylko w pobliżu z (leżeć blisko D[z]). Zestalenie Tse jest nadpisane, jeśli h zostanie zastąpione jego wartościami f (x) / g (x) i pomnożone przez sztandar g (x), my sami jesteśmy wielomianem.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D nie ma mnożników, wchodzą tylko w z.

Z twierdzeń przedstawionych powyżej wynikają trzy uwagi.

1. Krok funkcji h - f(х)/g(х) należy umieścić tylko w polach D(h) i D(x), a nie w wyborze innego elementu generującego x.

2. Rivnist D(h) = D(x) jest mniejsze niż to samo, jeśli h jest mniejsze niż 1, to jest funkcją liniową strzału. Tse oznacza: nadrzędny element pola, crim elementu x, może być funkcją ułamkowo-liniową jak x i tylko taką funkcją.

3. Każdy automorfizm pola D(x), który pozostawia na płótnie element pola D, jest winny przetłumaczenia elementu x na dowolny element tego pola. Wstecz, jeśli x jest tłumaczone na element nadrzędny x = (ax + b) / (cx + d) i funkcję skóry j (x) - y funkcję j (x), to pojawia się automorfizm, gdy wszystkie elementy D są pozostawione na cel. Otzhe,

Wszystkie automorfizmy pola D(x) nad polem D są podstawieniami strzałowo-liniowymi

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Ważne dla niektórych osiągnięć geometrycznych

Twierdzenie Lurota. Pole pośrednie skóry S, dla którego DÌSID(x) jest prostymi rozszerzeniami transcendentalnymi: S = D(q).

Przynoszący. Element x jest winny bycia algebraicznym nad S, bo jeśli h - jeśli jakikolwiek element S nie należy do ciała D, to, jak pokazano, element x jest algebraiczny nad D (h) i jeszcze bardziej algebraiczny nad S S [z] wyraz bogaty ze współczynnikiem seniora 1 i pierwiastkiem x może wyglądać

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (jeden)

Bogaty członek Z'yasuєmo Budova.

Elementy a i є funkcje wymierne x. Aby pomóc pomnożyć przez śpiący baner їх, możesz go użyć z wieloma funkcjami wymiernymi, a ponadto weź bogaty termin, taki jak x iz zamiast 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Kroki wielomianu są znaczące pod względem m, az - pod względem n.

Współczynniki a i \u003d b i / b 0 z (1) nie mogą być niezależne w x, więc w przeciwnym razie x pojawiłby się jako element algebraiczny nad D; więc jeden z nich, powiedz,

q = a ja = b ja (x) / b 0 (x),

jest faktycznie winny osadzenia vіd x; Zapiszmy w skrócie jogę:

Stopnie wielomianów g(x) i h(x) nie przekraczają m. Wielomian

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(co nie jest tym samym zerem) jeśli pierwiastek z = x, to vin jest podzielna przez f 0 (z) w pierścieniu S[z]. Jeśli chcesz przejść od thir racjonalnego w kategoriach x bogatych do tsilih w kategoriach x bogatych za pomocą zmist 1, powinieneś zapisać swoją podzielność, a my to weźmiemy

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x,z)f(x,z).

Lewa część tego zrównoważenia ma kroki wzdłuż x, ale nie porusza się t. Ale po prawej jest już bogatym członkiem ogłupiałego; otzhe, stopnie lewej części są dokładnie stare i q(x, z) nie leżą w x. Nie można jednak wpłacić mniej niż mnożnik z, aby podzielić lewą część (dział więcej); do tego q(x, z) jest stałą:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Ponieważ obecność stałej q nie odgrywa żadnej roli, wielomian Budowa f(x, z) jest całkowicie opisany. Kroki wielomianu f(x, z) w x są bardziej zaawansowane (z symetrią symetrii), a kroki w z są bardziej zaawansowane, więc m = n. m, później funkcja i q jest zależna od matki kroków m x.

Sam Tim, odłamki z jednej strony są równe

(D(x):D(q)) = m,

a poza tym zazdrość

te odłamki, by pomścić D(q),

Visnovok.

Roboty wyglądały tak, zobacz rozwinięcie pola numerycznego P:

Proste rozszerzenie algebry ciał.

Rozbudowa magazynowa dziedziny algebry.

Rozłączne i nierozłączne rozszerzenia.

Nieograniczona ekspansja podlewania.

Analizując pracę, możesz stworzyć deaky visnovki.

Z przyjrzał się dwóm pierwszym częściom rozszerzenia, takim jak:

proste rozwinięcie algebry;

koniec ekspansji;

rozbudowa magazynu algebry.

Następnie, jeśli widzisz rozszerzenia zbіgayutsya і, zokrema, są rysowane przez proste rozszerzenia algebraiczne pola P.

Lista referencji

1. L.Ya. Kulików. Algebra i teoria liczb. - M.: Wiszcz. Szkoła, 1979.-528-538s.

2. ŚW. Van der Waerdena. Algebra.-M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Szmigiryow, S.V. Ignatowicz. Teoria terminów bogatych. - Mosir 2002.

Do przygotowania tej pracy zebraliśmy materiały ze strony