Liczby algebraiczne i przestępne. liczby przestępne liczby przestępne

tj. dla a = 1 służył nam cel sumy postępu geometrycznego. Zakładając, że udowodniono twierdzenie Gaussa, przyjmuje się, że a = a 1 jest równy pierwiastkowi (17),

Biorąc pod uwagę virase s f(x) i terminy przegrupowania, bierzemy pod uwagę identyczność

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Przeszukując wzór (20), widzimy mnożnik x − 1 od członka skóry, a następnie obwiniamy Yogo za łuk, ponadto stopy bogatego członka, który pozostaje w łukach, stają się jednym mniej. Przegrupowując nowych członków, usuwamy identyczność

f(x) = (x − a1 )g(x),

gdzie g(x) jest wyrazem bogatym kroku n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Nazywamy się tutaj obliczaniem współczynników, które są znane przez b). Należy oddalić to samo obliczenie od wielomianu g (x). Zgodnie z twierdzeniem Gaussa pierwiastek kwadratowy a2 równa się g(x) = 0, więc

g(x) = (x − a2 )h(x),

gdzie h(x) jest nowym wielomianem kroku n − 2. Powtarzanie n − 1 razy

Z identyczności (22) nie tylko te, które są liczbami zespolonymi a1, a2,

An jest esencją pierwiastka równego (17) i tych, które nie mają innych pierwiastków równych (17). To prawda, że ​​liczba yakbi y była pierwiastkiem równego (17), a następnie s (22) przesunęło się bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Alemi Bachili (s. 115), że dodawanie liczb zespolonych do zera w ten i więcej niż tamten sposób, jako jeden z mnożników do zera. Również jeden z mnożników y−ar jest równy 0, więc y = ar, co należy ustawić.

§ 6.

1. Celem jest ten powód żywieniowy. Każda liczba x nazywana jest liczbą algebraiczną;

130 SYSTEM LICZBY MATEMATYCZNEJ rozdz. II

de numery ai numery. Na przykład liczba 2 jest algebraiczna do tej, która jest zadowolona z równym

x2 − 2 = 0.

W tej samej randze liczby algebraicznej, czy jest pierwiastek, czy jest równy, z całymi współczynnikami trzeciej, czwartej, piątej, czy jest to świat i niezależnie, dodatkowo może być wyrażony lub nie przez radykałów. Pojęcie liczby algebraicznej jest naturalnym rozumieniem pojęcia liczby wymiernej, w sposób potwierdzający okremy spadek n = 1.

Nie każda liczba rzeczywista jest algebraiczna. Tse vipliva z ofensywnymi twierdzeniami Kantora: bezosobowość wszystkich liczb algebry rachunków v. Bo bezlich usikh numery dni jest nie do odróżnienia, to obov'yazkovo ma używać rzeczywistych liczb, ponieważ nie są one algebraiczne.

Wskażmy jedną z metod rozwiązywania bezosobowych liczb algebraicznych. Skóra równa wyglądowi (1) równa liczbie docelowej

h = | | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

ze względu na styl nazywamy to „wysokim” równym. Aż do skóry stała wartość n to tylko ostatnia liczba równa formie (1) o wysokości h. Skóra z takich równych może mieć więcej niż n korzeni. W tym celu można użyć tylko ostatniej liczby liczb algebry, które są generowane przez równe o wysokości h; ojcze, wszystko liczby algebraiczne możesz roztashuvati na widok sekwencji, przekraczając ich głowę, ponieważ rodzą się o równych wysokościach wysokości 1, a następnie - wysokości 2 i tak dalej.

Ten dowód tożsamości bezosobowych liczb algebraicznych stanowi podstawę liczb rzeczywistych, ponieważ nie są one algebraiczne. Takie liczby nazywane są transcendentalnymi (od łacińskiego transcendere - przewróć, odwróć); Euler nadał mu takie imię, że śmierdzi „obaleniem ciasnoty metod algebry”.

Dowód Cantora istnienia liczb przestępnych nie znajduje się przed liczbami konstruktywnymi. Teoretycznie możliwe jest wywołanie liczby przestępnej dla dodatkowej procedury diagonalnej, która jest przeprowadzana na jawnej liście dziesiątek rozwinięć wszystkich liczb algebry; Ale taka procedura oszczędziła jakiegokolwiek praktycznego znaczenia i nie doprowadziłaby do liczby, którą można by zapisać w dziesiątkach (lub jakimkolwiek innym) drib. Większość problemów związanych z liczbami transcendentalnymi wiąże się z udowodnieniem, że peevn, konkretne liczby (tutaj są liczby p i e, około dz. 319-322) są przestępne.

**2. Twierdzenie Liouville'a i konstrukcja liczb przestępnych. Dowód powstania liczb transcendentalnych przekazał przed Kantorem J. Liouville (1809–1862). Pozwala nam to faktycznie skonstruować przykłady takich liczb. Dowód Lіouvila jest ważniejszy, niższy niż dowód Cantora, i nie jest to zaskakujące, odłamki budują tyłek, wyglądające na stan zapalny, złożone, niższe, aby przynieść fundament. Niżej znajduje się dowód Liouville'a, być może nie wygląda on na wyszkolonego czytelnika, który chce zrozumieć dowód z wystarczającą znajomością elementarnej matematyki.

Jak pokazał Llouville, niewymierne liczby algebraiczne mają tę moc, że nie mogą być aproksymowane przez liczby wymierne z już i tak dużą dokładnością, po prostu nie bierz sztandarów ułamków, które aproksymują, są znakomicie wielkie.

Załóżmy, że liczba z spełnia równanie algebry o współczynnikach całkowitych

ale nie jesteś zadowolony z takiego wyrównania niższego poziomu. Todi

wydaje się, że samo x jest liczbą algebry stopnia n. Na przykład

liczba z = 2 jest liczbą drugiego poziomu algebry, tak że poziom x2 − 2 = 0√ jest spełniony z poziomem 2, ale nie poziom pierwszego poziomu nie jest spełniony; liczba z = 3 2 - krok 3, który spełnia x3 - 2 = 0, ale nie spełnia (jak pokazujemy w sekcji III) krok dolny. Liczba algebraiczna kroku n > 1

nie może być wymierna, ponieważ liczba wymierna z = p q

spełnia poziom qx − p = 0 krok 1. Skóra Liczba niewymierna z można, z pewnym stopniem dokładności, przybliżyć dodatkową liczbą wymierną; nie oznacza, że ​​zawsze można wskazać ciąg liczb wymiernych

p1, p2,. . .

q 1 q 2

nie jest otoczona rosnącymi transparentami, że Wołodia Tim-

co co

p r → z. qr

Twierdzenie Liouville'a jest oszałamiające: gdyby nie było liczby algebr z kroku n > 1, nie mogłoby być bliższe dodatkowemu wymiernemu

ukończyć wielkich chorążych obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Postanawiamy udowodnić twierdzenie, a wcześniej zostanie pokazane, w jaki sposób można uzyskać liczby przestępne, aby uzyskać dodatkową pomoc. Spójrzmy na liczbę

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + rano · 10 m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000. . . ,

de ai oznaczają pewne liczby od 1 do 9 (łatwiej byłoby umieścić wszystkie ai równe 1) oraz symbol n! . . n. Charakterystyczną mocą dziesiątej ekspansji takiej liczby są ci, którzy są grupami, które szybko dorastają za swoją dożyną, zera są wciągane do nowej z cyframi okremi, które wyglądają jak zero. Znaczące, przez zm, koniec dziesiątego zrzutu, który jest rozliczany, jeśli wszyscy członkowie zostaną uwzględnieni w układzie do am · 10−m! włącznie. Todi usuwa nerwowość

Załóżmy, że z jest numerem algebry kroku n. Todi, szanując nerwowość Lіouville (3) pq = zm = 22:00! , jesteśmy winnymi matkami

|z - zm | > 10(n+1)m!

przy wysokich wartościach m. Porównanie pozostałych nierówności z nerwowością (4) tak

gwiazdy podążają (n + 1) m! > (m+1)! − 1 za wielkie m. Alece myli się dla wartości m większych niż n (niech czytelnik spróbuje podać szczegółowy dowód tego twierdzenia). Robiliśmy super-ostrość. Również liczba z jest transcendentalna.

Pozostaje dokończyć twierdzenie Liouville'a. Załóżmy, że z jest liczbą algebry stopnia n > 1, która spełnia równanie (1), tak że

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Radzenie sobie z obraźliwymi częściami na zm − z i rdzeniowaniem za pomocą wzoru algebraicznego

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

Akceptujemy:

Ponieważ zm ​​jest właściwym z, to kiedy osiągniesz wielkie m, racjonalna jest liczba zm, którą należy wziąć pod uwagę z mniejsze o jeden. Dlatego za dawkowanie wielkiego m można zarobić takie przybliżone oszacowanie:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

ponadto, aby być praworęcznym, liczba M jest stała, odłamki z nie zmieniają się podczas procesu sprawdzania. Vibero teraz m podłoga świetnie, shob

ułamek z m = p m standard q m wyższe, niższe M; Również qm

tak, że można było również zobaczyć mnożnik (x − zm ) z wielomianu f(x), i, także, z był zadowolony z poziomu niższego n. Otzhe, f(zm) 6= 0. Liczba Ale w prawej części równości (9) W ten sposób zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) i (9) vyplyaє nerіvnіst

nadal magazyn zmіst zaznachenї twierdzenie.

Na przestrzeni kilku pozostałych dekad możliwość aproksymacji liczb algebraicznych przez wymierne pojawiła się daleko. Na przykład norweski matematyk A. Tue (1863-1922) stwierdził, że nierówność Liouville (3) może mieć wykładnik n + 1 zastąpiony mniejszym wykładnikiem n 2 + 1.

Siegel pokazuje, że można wziąć jeszcze mniejsze (mniejsze

z większym n) wskaźnik 2 n.

Liczby transcendentalne zawsze były tematem, ponieważ przykuły do ​​siebie szacunek matematyków. Ale, do ostatniej godziny w środku dnia, jak tsіkavі potężnych sił, nie było wielu takich, zainstalowano transcendentalną naturę takiego bulo. (Ze względu na transcendencję liczby p, jak to się dzieje w sekcji III, nie ma możliwości ułożenia pala przy pomocy linijki i cyrkla.) W swoim wystąpieniu na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu 1900 r. David Hilbert śpiewający trzydzieści matematycznych

problemy, które pozwalają na proste formularze, deyakі - navіt zovsіm elementarne i bardziej popularne, prawie wszystkie bіlka vyrіshenа, wszystko i nie były zdatne, ale dozwolone przez matematyków tej epoki. Qi „Problemy Hilberta” dał silny sygnał do wsparcia rozwoju matematyki w nadchodzącym okresie. Mayzhe wszystkie smród było dozwolone krok po kroku, a w bogatej vipadkah ich virishennia była spowodowana wyraźnie widocznymi sukcesami w sensie bardziej rażących i bezczelnych metod. Jeden z problemów, z jakimi odważył się uporać beznadziejny

dowód, że liczba

є transcendentalny (chi wanta b irracjonalny). Przez trzy dekady nie można było wywrzeć presji na takiej pidhіd, aby żywiła się z czyjejś strony, co dawało nadzieję na sukces. Zreshtoyu, Zigel i niezależnie młody rosyjski matematyk A. Gelfond odkryli nowe metody udowadniania transcendencji bogactwa

liczby, które mogą oznaczać znaczenie matematyki. Zokrema, Bulo włożona

transcendencja jak liczba Hilberta 2 2 i liczba całkowita do wielkiej klasy liczb postaci ab , gdzie a jest liczbą algebraiczną, a jest liczbą algebraiczną, ab jest niewymierną liczbą algebraiczną.

DODATEK DO RAZDILU II

Algebra wielokrotności

1. Gorąca teoria. Pojęcie klasy, sukupnostі, chi bezosobowych obiektów - jeden z najbardziej podstawowych w matematyce. Bezosobowe oznacza moc diako („atrybut”) A, która jest winą albo matki, albo nie matki analizy skóry obiektu; te przedmioty, takie jak moc A, składają się na bezosobowość A. Tak więc, jak widzimy, że celem liczby, na którą moc A jest fakt, że przebaczamy, jest bezosobowość A jest sumowana ze zwykłej liczby pierwszej numery 2, 3, 5, 7 , . . .

Teoria matematyczna mnożniki wynikają z tego, że możliwe jest ustalenie nowych mnożników dla dodatkowych operacji (podobnie jak nowe liczby pojawiają się z liczb dla dodatkowej operacji zwijania tego mnożnika). Vyvchennya operuje na mnożeniach, aby stać się przedmiotem „algebry wielokrotnej”, ponieważ może być ona bogato spójna z wielką algebrą numeryczną, chcąc zobaczyć, dlaczego iw niej. Fakt, że metody algebry mogą być tak rozłożone, że zawierają obiekty nieliczbowe, takie jak bezosobowe, ilustrujące

strumień wielkiej zbieżności idei współczesnej matematyki. Przez resztę godziny było jasne, że algebra mnożeń rzucała nowe światło na bogatą magię matematyki, na przykład na teorię świata i teorię rzeczy urojonych; vona korisna to także godzina systematyzacji matematyka rozumiemże z'yasuvannі їх logiczny zv'yazkіv.

Nadal mam na myśli deak postiynu bezosobowych przedmiotów, naturę takiego baiduzh i, jak możemy to nazwać, uniwersalną bezosobowość (lub wszechświat mirkuvannya) i

A, B, C, . . . Jeśli I jest mnogością wszystkich liczb naturalnych, to A, powiedzmy, może oznaczać brak wszystkich liczb sparowanych, B - brak wszystkich liczb niesparowanych, C - brak wszystkich liczb pierwszych itd. na płaskim , wtedy A może być bezcelowym punktem w środku tej stawki, B - bezcelowym punktem w środku innej stawki itd. Przed „podzbiorami” możemy ręcznie włączyć I samego, a także „pusty” bez sensu, aby nie pomścić żadnych elementów. Meta, jakby podążając za takim kawałkiem ekspansji, szturchając w uratowaniu tej pozycji, że autorytet skóry A pokazuje wiele elementów z ja, które doprowadzą do władzy autorytetu. Czasem, jak A є powszechnie vykonuvan autorytet, którego kolbę możesz służyć (jak można znaleźć o liczbach) autorytet spełnia trywialną równoważność x = x, to w przypadku mnożnika będę sobą ja, element skóry może mieć takie uprawnienia; z drugiej strony, jako A є jako wewnętrznie superpotężna moc (na kshtalt x 6 = x), to nie można pomścić żywiołów, jest „pusta” i jest oznaczona symbolem.

Wydaje się, że mnożnik A jest podmnożnikiem mnożnika B, w skrócie „A wchodzi w B” lub „B mści się A”, ponieważ mnożnik A nie ma takiego elementu, który nie jest tym samym co mnożnik B.

A B lub B A.

Na przykład, bezosobowa A wszystkich liczb całkowitych, która jest podzielna przez 10, jest podwielokrotnością bezosobowej B wszystkich liczb całkowitych, która jest podzielna przez 5, więc liczba skórna, która jest podzielna przez 10, jest również podzielna przez 5. A B nie obejmuje B A. maє mіsce i te y inshe, więc

Tse oznacza, że ​​​​element skóry A є jednocześnie element B, wraca, więc pomnóż A i B, aby zastąpić te same elementy.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny bogaty w odgadywanie liczb spіvіdnoshennia a 6 b mizh. Zokrema, oczywiście śledzone

dmuchanie mocy tej spіvvіdnoshennia:

1) A.

2) Jeśli AB i BA, to A = B.

3) Jak A B i B C, potem A C.

Ze względu na spіvvіdnoshennia AB są czasami nazywane „na zamówienie”. Golovna Vidmіnniy Analizował SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b min w liczbach Polega w jednym, kuzyn krowy liczby aib nie jest rezerwą analogiczne twierdzenie jest błędne. Na przykład, że A jest bezosobowe, które składa się z liczb 1, 2, 3,

a B jest mnożnikiem, który jest sumowany z liczb 2, 3, 4,

wtedy nie ma czasu na A B lub B A. Nie ma powodów, aby powiedzieć, że A, B, C, . . . mnożniki I є „częściowo uporządkowane”, takie same jak liczby efektywne a, b, c, . . .

złożyć zamówienie „w pełni uporządkowane”.

Z szacunkiem m.in., że nie ma różnicy między A i B, że gdyby nie było mnożnika A, to mnożnik I,

Moc 4) może być nieco paradoksalna, ale jeśli się nad tym zastanowić, to logicznie podporządkowana jest dokładnej zmianie wyznaczonego znaku. To prawda, że ​​spіvvіdnosnya A został złamany tylko

w do tej vipadki, jakby pustej, wiele elementów przesadziło element, który nie pomścił b A; ale tak, jak pusty bezosobowy, nie mścij się na żywiołach, to nie możesz być, gdyby nie A.

Teraz oznaczamy dwie operacje na mnożeniu, które formalnie pozwalają ci być bogatym w potęgi algebraiczne, aby dodać tę wielość liczb, chcąc dla twojego wewnętrznego zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh arytmetyki diy. Niech A i B będą dwoma mnożnikami. Pod terminem lub „sumą logiczną” A i B rozumieją bezosobowość, która składa się z cichych elementów, które znajdują się w A lub

w B (w tym i te elementy, które można znaleźć w A i B). Ten mnożnik jest oznaczony przez A + B. 1 Pod „peretina”, czyli „kreacja logiczna”, A i B są rozumiane bezosobowo, które składają się z cichych elementów, które można znaleźć w A i B. Ten mnożnik jest wskazany przez AB.2

Wśród ważnych uprawnień algebry operacji A + B i AB ofensywa jest przytłoczona. Czytelnik może odwrócić uczciwość, w zależności od celu samych operacji:

Ponowna weryfikacja wszystkich tych praw jest najprostszą logiką po prawej stronie. Na przykład reguła 10) stwierdza, że ​​elementy są bezosobowe, że albo A, albo A, albo bezosobowe A; reguła 12) stwierdzająca, że ​​elementy bezosobowe, jeśli są w A i jednocześnie są albo B albo C, są elementami bezosobowymi, jeśli są albo w A i B, albo w A i C vykoristovuyutsya w udowodnieniu podobnego rodzaju zasady, ręcznie ilustrowane, tak jakbyśmy mogli sobie wyobrazić bezosobowe A, B, C, . . . na widok takich postaci na kwadracie będziemy pod tym względem bardziej szanować, aby nie przegapić możliwości logicznych, jeśli chodzi o obecność głównych elementów dwóch zestawów, lub przeciwnie, obecność jednego zestawu elementów, jeśli nie ma go w drugim.

Bez wątpienia czytelnik, który stracił szacunek dla tych, którzy praw 6, 7, 8, 9) i 12) nazywa się tak samo dobrze znanymi prawami przemiennymi, asocjacyjnymi i rozdzielczymi algebry dźwiękowej. Zvіdsi viplivaє, scho tse rządzi algebrą zvichaynoї, prawami yakі z tsikh, skutecznymi w algebrze zbiorów. Navpaki, prawa 10), 11) i 13) nie ma odpowiedników oryginalnej algebry i nadają algebrze wiele prostych struktur. Na przykład wzór dwumianowy w algebrze mnożeń można sprowadzić do najprostszej równości

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

z mocy prawa 11). Prawa 14), 15) i 17), aby mówić o tych, w których potęga liczby mnogiej I w odniesieniu do liczby przed operacją dodawania tej liczby jest podobna do potęgi liczb 0 i 1 w odniesieniu do potęgi liczby 0 i 1 pod względem liczby przed operacją. Ale prawo 16) nie ma odpowiednika w algebrze numerycznej.

Jeszcze jedna operacja w algebrze zbiorów pozostaje do podania. Niech A będzie podmnożnikiem uniwersalnego mnożnika I. Tak więc pod dodatkiem A w I można zrozumieć bezosobowość wszystkich elementów I, jeśli nie w A. Dla mnożnika wprowadzamy wartość A0. Tak więc, jeśli I jest bezosobowe ze wszystkich liczb naturalnych, a A jest bezosobowe ze wszystkich liczb pierwszych, to A0 jest bezosobowe, które jest sumowane ze wszystkich liczb magazynowych i autorytetu liczby 1.:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Ponowna weryfikacja tych uprawnień I re-nadaemo chitachev.

Prawa 1)-26) leżą u podstaw algebry zbiorów. Smród cudownej mocy „dwoistości” w ofensywnym odczuciu:

Podobnie jak w jednym z przepisów 1)–26) zamień jeden na jeden

(dla wkładu skórnego), w rezultacie jedno z tych praw pojawia się ponownie. Na przykład prawo 6) przekształca się w prawo 7), 12) - w 13), 17) - w 16) właśnie. pączek. , „Dvіyna” їth twierdzenie, które wychodzi z pierwszego dla dodatkowych znaczeń permutacji symboli. To prawda, odłamki dowodu

Bramka. II ALGEBRA MNOZHIN 139

pierwsze twierdzenie składa się z kolejnych stagnacji (na różnych etapach uzgadniania, które ma być przeprowadzone) praw 1–26), następnie stagnacja w końcowych stadiach „dwóch” praw w magazynie jest dowodem „ twierdzenie o podwójnym”. (Ze względu na popęd takiej „podwójności” w geometrii działki. Dział IV.)

2. Logika matematyczna Zastosuvannya. Ponowna weryfikacja praw algebry mnożeń opierała się na analizie logicznego sensu spivingu A B oraz operacji A + B, AB i A0. Możemy teraz odwrócić ten proces i uznać prawa 1)–26) za podstawę „algebry logiki”. Mówiąc dokładniej: tę część logiki, ponieważ jest wiele, a właściwie te same, potęgi obiektów, na które patrzymy, można sprowadzić do formalnego systemu algebraicznego opartego na prawach 1) –26). Logiczna „mądra wszechwiedza” oznacza bezosobowe ja; Skórna moc A oznacza bezosobowe A, które składa się z cichych obiektów I, tak jakby mogła być mocą. Zasady tłumaczenia najbardziej logicznej terminologii na język

W zakresie algebry istnieje sylogizm „Barbara”, co oznacza „dla każdego A є B i dla każdego B є C, to dla każdego A є C”, wygląda to prosto:

3) Jeśli AB i BC, to AC.

Podobnie „prawo oporu”, które głosi, że „obiekt nie może jednocześnie przewodzić i nie może przewodzić takiej władzy” jest rejestrowane przez widza:

20) AA 0 = ,

a „Prawo włączonej trzeciej”, które mówi, że „obiekt jest winny matce, ale nie matka jest diakonem władzy”, jest napisane:

19) A+A0=I.

W ten sposób ta część logiki, widziana w kategoriach symboli, +, · і 0, może być interpretowana jako formalny system algebry, zgodnie z prawami 1)–26). Na podstawie logicznej analizy matematyki i Analiza matematyczna logiki powstała nowa dyscyplina - logika matematyczna, jak żadna z nich nie gani burzliwego rozwoju.

Z aksjomatycznego punktu widzenia, ze względu na szacunek dla tego cudownego faktu, który potwierdza 1)-26), wraz z innymi twierdzeniami algebry zbiorów, można logicznie zobaczyć z trzech nadchodzących równości:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Jest oczywiste, że algebra mnożeń może być motywowana jako teoria dedukcyjna, na podstawie geometrii euklidesowej, na podstawie tych trzech pozycji, które są akceptowane jako aksjomaty. Jak przyjęto aksjomatycznie, wtedy operacja AB i zdanie A B są zdefiniowane w terminach A + B i A0 :

Innym przykładem systemu matematycznego, w którym zakodowane są wszystkie formalne prawa algebry mnożników, jest system ośmiu liczb 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tutaj a + b oznacza,

najwyższa, najniższa wielokrotność a b, ab - najwyższa dіlnik a b, a b - twardość "b jest podzielona przez a" i a0 - liczba 30 a. Su-

Podstawa takich zastosowań spowodowała rozwój oburzających systemów algebraicznych, które spełniają prawa 27). Takie systemy nazywane są "algebrami Boole'a" - na cześć George'a Boole'a (1815-1864), angielskiego matematyka i logika, którego książka "Badanie praw myśli" ukazała się w 1854 roku.

3. Jeden z przystanków przed teorią nieruchomości. Algebra może być znacznie bliższa teorii nieruchomości i pozwala spojrzeć na nią w nowym świecie. Rzućmy okiem na najprostszy przykład: zróbmy własny eksperyment z ostatniej liczby możliwych nasledkiv, jak wszyscy myślą jak "równie zdolny". Eksperyment może na przykład polegać na tym, że możemy dobrać kartę z nowej talii, która jest dobrze potasowana. Jeżeli mnożnik wszystkich wyników eksperymentu jest znaczący przez I, a A oznacza, że ​​jest to podmnożnik I, to możliwość, że wynik eksperymentu będzie się zgadzał z podmnożnikiem A, jest oznaczana jako rozszerzenie

p(A) = liczba elementów w A. liczba elementów w I

Jeśli myślimy o liczbie elementów w dowolnym mnożniku A jako n(A), to resztę równości można podać patrząc na

Idee algebry liczby mnogiej pojawiają się przy liczeniu możliwości, jeśli jest to możliwe, znając imowirność jednych liczby mnogiej, liczyć imowirność innych. Na przykład, znając dynamikę p(A), p(B) i p(AB), możemy obliczyć dynamikę p(A + B):

Nie ma znaczenia, czy to przynieść. Mi maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

odłamki elementów, które mogą być zajęte jednocześnie w A i B, to elementy AB są brane pod uwagę przy liczeniu sumy n(A) + n(B), a zatem konieczne jest wzięcie n(AB ) z sumy n(A + B) litera podziału jest prawidłowa. Trzymajmy sprawców obrażonych częścią równoważności na n(I), odbierzemy spontaniczność (2).

Formuła Cіkavіsha do wyjścia, więc istnieje około trzech mnożników A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Prawo (12) z poprzedniego paragrafu daje nam (A + B) C = AC + BC. Dźwięki krzyczą:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Zastępując w poprzedniej kolejności wartość p[(A + B)C] i wartość p(A + B), wziętą z (2), otrzymujemy niezbędny wzór:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Jak tyłek możemy przyjrzeć się obraźliwemu eksperymentowi. Trzy cyfry 1, 2, 3 są napisane w dowolnej kolejności. Co oznacza fakt, że przyjmuje się, iż jedna z cyfr opiera się na przestrzeni narzutu (w numeracji sensi)? Niech A będzie permutacją bezosobową, dla której liczba 1 powinna kosztować pierwsze miejsce, B - permutacją bezosobową, dla której liczba 2 powinna kosztować inne miejsce, C - permutacją bezosobową, za którą liczba 3 powinna kosztować trzecie miejsce . Musimy obliczyć p(A+B+C). zdałem sobie sprawę

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

efektywnie, jakby figura stała na właściwym miejscu, to są dwie możliwości przestawienia rozwiązania dwóch cyfr z liczby głównej 3 2 1 = 6 możliwych permutacji trzech cyfr. Dali,

Prawidłowy. Wprowadź poprawny wzór na p(A + B + C + D) i poczekaj na eksperyment, który obejmuje 4 cyfry. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Może wyglądać typowa formuła łączenia n mnożników

kombinacje, aby pomścić jeden, dwa, trzy, . . . , (n − 1) litera z liczby A1 , A2 , . . .

jakiś. Wzór ten można wstawić po dodatkowej indukcji matematycznej - tak jak wzór (3) został wprowadzony ze wzoru (2).

Ze wzoru (4) można dodać kosmyki, tak aby było n cyfr 1, 2, 3, . . . n pisane w dowolnej kolejności, to większa jest możliwość przyjęcia jednej z cyfr do oparcia się o odpowiednie miejsce

ponadto przed pozostałym członem znajduje się znak + lub −, wołający te, które są sparowane i niesparowane. Zocrema, dla n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

W dywizji VIII chcielibyśmy wiedzieć, że jeśli nie ma niezgodności, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

pragne między 1 e, którego znaczenie, z pięcioma znakami po Komi,

jeden 0,36788. Ze wzoru (5) wynika, że ​​pn = 1 − Sn, to gwiazda jest czysta, że ​​dla n → ∞

pn → 1 − e 0,63212.

Słowo „transcendentalny” kojarzy się z transcendentalną medytacją i różnymi ezoterykami. Aby jednak prawidłowo żyć jogą, trzeba co najmniej wskrzesić jogę z terminu „transcendentalna”, a maksymalnie – odgadnąć rolę jogi w robotach Kanta i innych filozofach.

Tse zrozumiałe, aby przypominało łacińskie transcendens - „przekraczać”, „przekraczać”, „wychodzić poza”. Ogólnie rzecz biorąc, wina oznaczają te, które są w dużym stopniu niedostępne dla wiedzy empirycznej lub oparte na dowodach. Zastanów się nad terminem viniklische filozofia neoplatonizmu - założyciel bezpośrednio Plotyn uczynił wchennya o Jednym - wszechdobrej pershopochce, ponieważ niemożliwe jest rozpoznanie myśli za pomocą umysłu, bez pomocy wrażliwego umysłu. „Jeden nie istnieje, ale ojciec Yogo” – tłumaczy filozof.

Najnowszy termin „transcendentalny” został opracowany w filozofii Immanuela Kanta, de vin vikoristovuvsya, aby scharakteryzować, wyraźnie niezbędne dla wiedzy i tego, jak odczuwać, że nasze ciała są wrażliwe, pozostając w zasadzie nierozpoznawalne, tak jak w praktyce i w teorii. Rozprzestrzenianie się transcendencji - oznacza albo niewidzialność, wewnętrzne połączenie, czy to tak, jak przedmiot jest z samym przedmiotem, czy rozpoznanie przedmiotu na specjalny certyfikat. Załóżmy na przykład, że cały świat kreacji, stojący za świetnym pomysłem, uważał się za transcendentny dla nas - możemy tylko stawiać hipotezy na temat czegoś nowego. A jednak, tak jak to sobie wyobrażałem, to prawda, a konsekwencje dla nas są immanentne, wpływając na prawa fizyczne i warunki, które możemy konsumować. Dlatego w niektórych koncepcjach teologicznych Bóg jest transcendentną i perebuvaet postawą stworzoną przez niego tyłkami.

Rzeczywiste wypowiedzi są nadal dostępne dla wiedzy a priori: na przykład przestrzeń i czas, idee Boga, dobroć i piękno, kategorie logiczne. Przedmioty transcendentalne Tobto - tse, pozornie w przenośni, „ustawione za linią” w naszym umyśle

Stwierdzenie o naturze transcendentalnej w matematyce: liczba transcendentalna to liczba, której nie można obliczyć za pomocą dodatkowej algebry lub algebraicznie (czyli nie może być pierwiastkiem bogatego wyrazu z wieloma współczynnikami, który nie jest równy zero). Przed nimi wprowadź na przykład liczby π і e.

Zrozumienie, bliskie "transcendentalnemu", a nawet poza znaczeniami - "transcendentalne". Z tyłu oznaczało to po prostu obszar abstrakcyjnych kategorii rozumu, a do końca roku, wychowując Kanta, pijąc makaron z własnu: niemożliwe było wywołanie systemu filozoficznego tylko na danych empirycznych, ale było niemożliwe do rozpoznania cudzych starych, zbrodnia empirii, bez znajomości wina. Aby się odwrócić, filozofowie mieli okazję przyznać, że niektóre wypowiedzi są nadal dostępne dla wiedzy apriorycznej: na przykład przestrzeń i czas, idee Boga, dobroć i piękno, kategorie logiczne. Że transcendentalne obiekty – tse, pozornie w przenośni „zanim umieścimy za mózgiem” w naszych umysłach – dla których informacja o nich jest oczywista i nie wynika z naszej wiedzy.

Jest jeszcze jedno kontrowersyjne rozumienie – transcendencja. W szerokim znaczeniu słowo „vono” oznacza przejście do kordonu między dwoma różnymi regionami, zwłaszcza przejście ze sfery tego świata do sfery przyszłości, transcendentnej. Dla uproszczenia weźmy przykład z science fiction: równoległy świat dla wspaniali ludzie- manifestacja transcendentalna. Ale jeśli bohater pił z jego równoległego światła, wydaje się, że rangę manifestuje budująca joga spriymati, transcendencja tse. Ale składany przykład filozofii egzystencjalnej: Jean-Paul Sartre, zdając sobie sprawę, że osoba jest transcendentna, odłamki nie wykroczą poza granice jakiejkolwiek możliwej mokrej prawdy: możemy navkolishniy svit z różnych stron, ale w żadnym wypadku nie możemy zbliżyć się do pełnego rozpoznania samych siebie. Ale od razu człowiek może zbudować transcendencję: przekracza to, czy jest to rzeka, nadając jej znaczenie. Transcendencja jest ważnym elementem religii: pomaga ludziom wzrastać w ich materialnej naturze i osiągnąć coś obcego.

Z filozofii pojęcie transcendentalności przeniosło się do psychologii: szwajcarski psycholog Carl Jung rozwinął pojęcie „funkcji transcendentalnej” – tej samej funkcji, która towarzyszy tej niezrozumiałości. Zocrema, funkcja transcendentalna może zostać przezwyciężona przez psychoanalityka - pomóc pacjentowi analizować obrazy niewidzialnego (na przykład śniącego) i pokazać je od razu z własnych procesów psychicznych.

Jaka rozmowa

Niepoprawnie „Zapisałem się na zajęcia z medytacji transcendentalnej”. Zgadza się - „transcendentalny”.

Zgadza się, „Kiedy idę do świątyni, oglądam coś transcendentnego”.

Prawidłowo: „Sztuka transcendencji zna nas przedmioty ze świata materialnego, przypominając je największym światłem”.

Ilja Szczurow

Matematyk Illya Shchurov o dziesiątkach ułamków, transcendencji i irracjonalności liczby Pi.

W jaki sposób „samotność” pomogła zainspirować pierwsze miejsce i to wielkie imperium? Jak wysadziłeś umysły ludzi? Jaką rolę odegrała w wyglądzie groszy? Jak "jeden" zjednoczony z zerem, aby rządzić nowoczesny świat? Historia stanu wolnego jest nierozerwalnie związana z historią cywilizacji europejskiej. Terry Jones jest virushaya w humorystyczny sposób droższy dzięki metodzie łączenia cudownej historii naszej najprostszej liczby. Za pomocą grafiki komputerowej w tym programie ożywa się w różnych formach. Z historii samotności stało się jasne, że gwiazdy pojawiły się dzisiaj i podobnie jak wady zera, vryatuvav w świetle potrzeby zdobycia cyfr rzymskich.

Jacques Cesiano

Niewiele wiemy o Diophantusie. Cóż, Vin żyje u Oleksandriyi. Żaden z greckich matematyków nie zrozumiał tego aż do IV wieku, ponieważ ymovirno żyje w połowie III wieku. Głowa robota Diofantusa, „Arytmetyka” (Ἀριθμητικά), została wzięta na kolbę 13 „książek” (βιβλία), do podziału. Dziś możemy mieć ich 10, a samo w sobie: 6 w tekście greckim i 4 inne w tłumaczeniu środkowoarabskim, kilka w środku ksiąg greckich: księgi I-III po grecku, IV-VII po arabsku, VIII -X po grecku. „Arytmetyka” Diofantusa wyprzedza harmonogram, tylko blisko 260. Teorie pozornie prawdziwe, nic; Na początku książki nie ma bardziej ogólnych instrukcji, aw razie potrzeby więcej prywatnego szacunku dla innych dyrektorów. „Arytmetyka” już wygląda jak traktat algebraiczny. Diofant na kolbie różne znaki, schob vyslovlyuvati nevidome ten krok Yogo, również rachunek różniczkowy; podobnie jak wszystkie algebraiczne symbole środka, jego symbolika przypomina słowa matematyczne. Następnie Diophantus wyjaśnia, jak rozwiązać problem za pomocą metody algebry. Ale zadanie Diofantusa nie jest algebraiczne w pierwotnym znaczeniu, aby wszystko można było sprowadzić do wysokości nieokreślonej równości lub systemów takich równości.

Jerzy Szabat

Program kursu: Historia. Pierwsze oceny. Problem konsystencji palika o średnicy її. Neskіchennі wiersze, utwórz to іnshі vrazi dla π. Zbіzhnist i її yakіst. Virazi, co do zemsty π. Sekwencje, które szybko zbiegają się aż do π. Nowoczesne metody obliczenie π, liczba komputerów. O irracjonalności i transcendencji liczby π i innych. Do kursu nie jest potrzebna wiedza do przodu.

Urzędnicy z Uniwersytetu Oksfordzkiego powiedzieli, że wczesne wprowadzenie cyfry 0 oznaczającej liczbę dni z rzędu (jak w przypadku liczby 101) powinno uwzględniać tekst indyjskiego rękopisu Bachszali.

Vasil Pispanen

Kogo nie grawerują dzieci z grupy „wymień największą liczbę”? Millioni, trylioni i inne "-oni" już płynnie widać w myślach, ale spróbujemy rozgryźć "mastodonta" w matematyce - liczbę Grahama.

Wiktor Kleptsin

Właściwą liczbę można aproksymować dokładnie przez liczby wymierne. A jeśli zrobimy to uprzejmie, czy możemy się do siebie zbliżyć – czy jest to zgodne ze składaniem jogi? Na przykład łamanie dziesiąty wpis liczby x włączone k-ta cyfra następnie odejmujemy bliskość x≈a/10^k z ułaskawieniem rzędu 1/10^k. I vzagali, po ustaleniu banera q w zbliżającym się ułamku, zdecydowanie możemy przyjąć podejście z ułaskawieniem rzędu 1/q. A co możesz zrobić lepiej? Znając wszystkim, bliskość π≈22/7 daje ułaskawienie rzędu 1/1000 - czyli wyraźnie lepiej, niższe mogłoby być skorygowane. Czemu? Oszczędzono nas, dlaczego π jest tak bliskie є? Wydaje się, że dla dowolnej liczby niewymiernej є ułamki bezosobowe p/q, która jest jej bliższa, jest mniejsza 1/q^2. Twierdzenie Tseverzhuє Dirichleta - i kurs mi pochnemo z її troha niestandardowy dowód.

W 1980 roku Księga Rekordów Guinnessa powtórzyła twierdzenia Gardnera, jeszcze bardziej zwiększając zainteresowanie opinii publicznej aż do tej daty. Liczba Grahama w imię, ile razy więcej, niżej inaczej dobrze w domu wielkie liczby, więc podobnie jak googol, googolplex i navit more, niższa liczba Skekes i liczba Moser. Prawdę mówiąc, cały świat jest zbyt mały, aby można było policzyć swój dziesiąty rekord liczby Grahama.

Dmitro Anosow

Wykłady czytał Anosov Dmitro Viktorovich, doktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor, akademik Rosyjskiej Akademii Nauk. Szkoła Letnia „Nowoczesna Matematyka”, Dubna. 16-18 kwietnia 2002 r.

Nie można poprawnie zareagować na łańcuch pokarmowy, odłamki seria liczb nie rób górnej granicy. Tak więc do określonej liczby wystarczy dodać jeszcze jedną, aby liczba była jeszcze większa. Chociaż same liczby nie są ograniczone, ich nazwiska nie są tak bogate i bogate, więc większość z nich jest zadowolona z imion, które są sumowane z mniejszych liczb. Zdałem sobie sprawę, że w ostatecznym zestawie liczb, które ludzie zebrali dla swoich potężnych imion, mogą być najbardziej. Ale jak to się nazywa i dlaczego jest równe? Daj spokój, spróbujmy to jakoś rozgryźć i rozpoznać infekcję, matematycy wymyślili kilka świetnych liczb.

Numer nazywa się algebraiczny yakscho to rdzeń mizernego, bogatego terminu z wieloma współczynnikami

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(tj. pierwiastek równości a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de jakiś, n-1, ..., 1, 0--- liczby, n 1, 0).

Bezosobowa liczba algebraiczna to znacząca litera .

Łatwo zauważyć, czy liczba wymierna jest algebraiczna. To prawda - korzeń rzeki qx-p=0 z wieloma współczynnikami a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Jednak nie wszystkie liczby algebraiczne są wymierne: na przykład liczba jest pierwiastkiem równości x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebraiczny numer.

Stara godzina pozostała nietknięta, ważna dla odżywiania matematyki: ? Mniej niż 1844 losy Lіouville po raz pierwszy natrafiły na przykład liczby transcendentalnej (tobto. niealgebraicznej).

Pierwszego dnia miesiąca dowód jego transcendencji jest jeszcze bardziej składany. W znacznie prostszy sposób można sprowadzić twierdzenie na podstawie liczb przestępnych, wskazując na równoważność i nierównoważność wielokrotności liczbowych.

I samo w sobie, możemy przynieść, że bezosobowe liczby algebraiczne to Rachunkow. Jednak odłamki wszystkich liczb rzeczywistych nie są równe, możemy ustalić podstawę liczb niealgebrycznych.

Rozróżnijmy wzajemnie jednoznacznie między i z tuzinem . Tse ma znaczenie, sho - To dobre chi rakhunkovo. Ale oskilki , następnie neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Chodź - liczba deyake algebry. Spójrzmy na wszystkie wyrazy bogate z liczbą współczynników, których pierwiastkiem jest є, i wybierzmy środek wyrazów bogatych P krok minimalny (aby nie był pierwiastkiem tego samego wyrazu bogatego z całymi współczynnikami kroku mniejszego).

Na przykład dla liczby wymiernej taki wielomian może mieć krok 1, a liczby - krok 2.

Podzielmy wszystkie współczynniki członka bogatego P do ich największego śpiocha. Odbieramy wielomian, którego współczynnik jest od razu wzajemnie prosty (ich największy podkład to 1). Zreshtoyu, jako starszy współczynnik jakiś vіd'єmniy, mnożymy wszystkie współczynniki wielomianu przez -1 .

Odejmowanie wyrazu bogatego (czyli wyrazu bogatego o dużych współczynnikach, którego pierwiastkiem jest liczba, która może być najmniejszym możliwym krokiem, współczynnik wzajemnie prosty i dodatni współczynnik seniora) nazywamy wyrazem minimalnym bogatym numer.

Można udowodnić, że taki wielomian jest jednoznacznie przypisany: liczba skórek algebry może być dokładnie jednym wielomianem minimalnym.

Liczba rzeczywistych pierwiastków wielomianu jest nie większa niż dolny stopień. Możesz także ponumerować (na przykład dla wzrostu) korzenie tak bogatego terminu.

Teraz, czy to liczba algebry, jest ona teraz rozpoznawana przez jej minimalnie bogaty wyraz (to znaczy przez zbiór jej współczynników) i liczbę, która różni się od pozostałych pierwiastków wielomianu: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Później, dla liczby algebraicznej skóry, ustalamy rozróżnienie końcowego zbioru liczb całkowitych, co więcej, po nim następuje jednoznacznie ten zbiór (więc różne zbiory są przypisywane różnym liczbom).

Wszystkie liczby pierwsze są ponumerowane w kolejności wzrostu (nie ma znaczenia, że ​​są zbyt bogate). Usuwamy niewybaczalną sekwencję (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Teraz zbiór liczb całkowitych (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) możesz umieścić ci vіdpovidnіst tvіr

(Ta liczba jest bardziej pozytywna i racjonalna, ale nie bądź naturalna, nawet środek liczb 0, 1, ..., n-1, może być ujemna). Z szacunkiem, że liczba nie jest krótkotrwała, odłamki są prostymi mnożnikami, które należy wprowadzić przed wyłożeniem księgi liczbowej i sztandaru, różne. Warto też pamiętać, że dwa niekrótkie ułamki z liczebnikami dodatnimi i zwrotkami są równe, nawet jeśli są równe liczebnikom, to te їх są równymi zwrotkami.

Teraz spójrzmy na to z przymrużeniem oka:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki różne liczby algebry ustawiły różne zestawy liczb całkowitych i różne zestawy --- różne liczb wymiernych, to w tej kolejności ustaliliśmy wzajemnie jednoznaczną ważność między wielokrotnością i z tuzinem . Dlatego bezosobowe liczby algebraiczne są znaczące.

Odłamki bezosobowych liczb rzeczywistych są nie do odróżnienia, przynieśliśmy podstawę liczb niealgebrycznych.

Jednak twierdzenie o rozumowaniu nie pokazuje, jak określić, co cały numer algebraiczny. A odżywianie jest czasami ważne w matematyce.

transcendentna liczba

liczba (dіysne abo yavne), która nie jest zadowolona z żadnego wyrównania algebry (Div. Algebraic equalization) z wieloma współczynnikami. W tej randze T. h. są przypisane do liczb algebraicznych. Іsnuvannya TH po raz pierwszy założył J. Liouville (1844). Właściwym punktem dla Liouville'a było twierdzenie, które mówi, że żaden rząd aproksymacji ułamka wymiernego o danym standardzie do irracjonalnej liczby algebraicznej nie może być wystarczająco wysoki. Najbardziej algebraiczna liczba a spełnia niezredukowaną równą algebry n z wieloma współczynnikami, to dla dowolnej liczby wymiernej do złożenia tylko α ). Dlatego dla danej liczby niewymiernej α można wykazać bezosobowe przybliżenia racjonalne, które nie spełniają indukcji nierównomierności dla żadnej hі n(trochę i cicho dla wszystkich blisko), wtedy α є T. h. Tyłek takiej liczby to tak:

R. Kantor (1874), wspomniawszy, że bezosobowość wszystkich liczb algebraicznych jest rozróżnialna (aby można było przenumerować wszystkie liczby algebraiczne; dz. teoria wielości), to bezosobowość wszystkich liczb rzeczywistych jest niezmienna. Brzmiało to jak bezosobowe T.h.

Najważniejszym zadaniem teorii T. h. jest wyjaśnienie wartości funkcji analitycznych, które mogą mieć te inne arytmetyczne moce arytmetyczne z algebraicznymi wartościami argumentu. Zadanie, które rodzina stoi przed najważniejszym zadaniem współczesnej matematyki. U 1873 Sz.

W 1882 r. niemiecki matematyk F. Lindemann uzyskał bardziej znaczący wynik: skoro α jest liczbą algebry, to miα - Wynik T. h. Lipdemana został znacznie pogorszony przez niemieckiego matematyka K. Siegela (1930), który udowodnił np. transcendencję wartości szerokiej klasy funkcji cylindrycznych z wartościami argumentu algebry. W 1900 roku na Kongresie Matematycznym w Paryżu D. Hilbert wśród 23 nienaruszalnych problemów matematyki wskazał na ofensywę: chi є liczba transcendentalna α β , de α і β - liczby algebraiczne, ponadto β - liczba niewymierna, i, zokrema, chi є liczba przestępna e π α β bula pierwsza w formie prywatnej została umieszczona przez L. Eulera, 1744). Zewnętrzną wersję problemu (w sensie solidnym) mniej więcej uwzględnił w 1934 r. A. O. Gelfond. Ze stwierdzenia Gelfonda, zokrema wynika jasno, że wszystkie dziesiątki logarytmów liczb naturalnych (czyli „logarytmy tabelaryczne”) to T. h. Metody teorii T. h.

Oświetlony.: Gelfond A. O., Liczby transcendentalne i algebraiczne, M., 1952.

Wielka Encyklopedia Radiańska. - M: Encyklopedia Radiańska. 1969-1978 .

Zachwyć się taką „liczbą transcendentną” w innych słownikach:

Liczba, której nie spełnia żadna równa algebry o dowolnej liczbie współczynników. Liczby transcendentalne є: liczba? 3.14159...; logarytm dziesiąty dowolnej liczby całkowitej, która nie jest reprezentowana przez jedynkę z zerami; liczba e = 2,71828 ... ta w ... Świetny Słownik encyklopedyczny

- (łac. transcendere przejdź, odwróć) tse recheve abo Liczba zespolona, który nie jest algebraiczny, innymi słowy, liczba, która nie może być pierwiastkiem bogatego wyrazu z wieloma współczynnikami. Zmist 1 Moc 2 ... ... Wikipedia

Liczba, której nie spełnia żadna równa algebry o dowolnej liczbie współczynników. Liczby przestępne є liczba π = 3,14159...; logarytm dziesiąty dowolnej liczby całkowitej, która nie jest reprezentowana przez jedynkę z zerami; liczba e = 2,71828... ta cal. Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie spełnia tej samej algebry. ur nіu ze współczynnikami qіlimi. T. rok. є: liczba ПІ = 3,14159...; logarytm dziesiąty dowolnej liczby całkowitej, która nie jest reprezentowana przez jedynkę z zerami; liczba e = 2,71828... ta cal. Naturalna nauka. Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie jest pierwiastkiem tego samego bogatego wyrazu o tych samych współczynnikach. Zakres takich liczb to zero liczb rzeczywistych, zespolonych i promieniowych. Іnuvannya, który najwyraźniej skłonił do działania T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Encyklopedia matematyczna

Równe, jak nie є algebraiczne. Nazwij cenę równą, która może być pokazana, logarytmiczne, trygonometryczne, odwracalne funkcje trygonometryczne, na przykład: Suvorishe o oznaczeniu typu: Transcendentalna równa wartość ... Wikipedia

Liczba, około 2,718, jest często używana w matematyce i naukach przyrodniczych. Na przykład, gdy mowa radioaktywna załamuje się po upływie godziny t, pod koniec okresu mowy traci się część, która jest droższa e kt, de k numer, ... Encyklopedia Colliera

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i transcendentalną. Innymi słowy, liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tak zwanymi liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Jest to oznaczone małą łacińską literą „e”.

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i transcendentalną. Innymi słowy, liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tak zwanymi liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Jest to oznaczone małą łacińską literą „e”.