Układy linii liniowych. Transformacja elementarna układów wektorowych. Krok po kroku system systemów wektorowych

Spotkanie 5. Transformacje elementarne układy linii trasowania nazywamy przekształceniami postępowymi її:

1) permutacja dwóch równych miejsc;

2) pomnożenie obu części tej samej równej liczby;

3) dodanie do obu części jednej równej części drugiej równej, pomnożonej przez liczbę k;

(w tym samym czasie rzeki stają się trwałe).

Zero równa się nazwany równym ofensywnemu umysłowi:

Twierdzenie 1. Bądź jak ostatnia sekwencja przekształceń elementarnych i przekształcenie niedzieli zerowego wyrównania, aby przetłumaczyć jeden system równości liniowych równie silny i inny system równości liniowych.

Przynoszący. Rzut oka na autorytet czwartego akapitu, aby sprowadzić twierdzenie na skórę w celu przekształcenia okremo.

1. W przypadku permutacji rang systemu same stopnie się nie zmieniają, więc system jest równie silny w nominacjach.

2. Na mocy pierwszej części dowodu wystarczy, aby pierwszemu równemu zapewnić niezłomność. Mnożąc system (1) przez liczbę , bierzemy system

(2)

Daj spokój  system (1) . Te same liczby spełniają równania systemowe (1). Ponieważ oskіlki wszystkie równe systemu (2) pierwszego zbіgayutsya z równymi systemu (1), to liczby spełniają wszystkie równe. Odłamki liczby spełniają pierwszą równość systemu (1), może być pierwszą równością liczbową:

Mnożenie Yogo przez liczbę K, Bierzemy poprawną równość liczbową:

To. zainstalować, co?  system (2).

Tył, yakscho rozwiązanie układu (2), to liczby spełniają wąsy układu (2). Oskіlki wszystkie równe systemu (1) pierwszego zbіgayutsya z równymi systemu (2), wtedy liczby spełniają wszystkie równe. Odłamki liczby spełniają pierwszą równość systemu (2), wtedy obowiązuje równość liczbowa (4). Po podzieleniu obelg na liczbę, usuwamy równość liczbową (3) i wnioskujemy, że  oddzielenie systemu (1).

Zvіdsi na spotkania 4 system (1) jest równy systemowi (2).

3. Na mocy pierwszej części dowodu wystarczy utrwalić pierwszy i drugi równy system. Dodamo do obu części pierwszego wyrównania systemu K, weź system

(5)

Daj spokój rozwiązanie systemowe (1) . Te same liczby spełniają równania systemowe (1). Ponieważ liczby wszystkich równych systemu (5) pierwszego są połączone z równymi systemu (1), to liczby spełniają wszystkie równe. Odłamki liczby spełniają pierwszą równoważność systemu (1)

Dodanie terminu po terminie do pierwszej równości z przyjacielem, pomnożonej przez liczbę K bierzemy poprawną równość liczbową.

§7. Systemy liniowe

Równe systemy. Przekształcenie elementarne układu linii liniowych.

Daj spokój Z- pole Liczby zespolone. Równy umysł

de
, nazywane są liniowymi równymi n nevidomimi
. Zamawianie zestawu
,
zwane decyzjami równymi (1), jak .

system m liniowy rivnyan z n system nazywa się równym umysłowi:

- współczynniki układu linii trasowania, - Wolni członkowie.

Stół prostokątny

,

zwana macierzą świata
. Wprowadźmy notację: - i-Ta rząd matrycy,
- k-Ty macierz piecyków. Matryca ALE więcej znaczą
lub
.

Nadchodząca transformacja wierszy w macierzy ALE nazywane są elementarnymi:
) wyłączenie wiersza zerowego; ) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza przez liczbę
; ) dodatek do dowolnego wiersza dowolnego innego wiersza, pomnożony przez
. Podobne przekształcenia kolumn macierzy ALE nazywane są przekształceniami elementarnymi macierzy ALE.

Pierwszy niezerowy element (co ważniejsze po prawej) dowolnego wiersza macierzy ALE nazywa się przewodzącym elementem tego rzędu.

Wizyta, umówione spotkanie. matryca
nazywa się to krokiem, tak jakby byli konsekrowani w ten sposób:

1) zerowe rzędy matrycy (jak smród) są mniejsze niż niezerowe;

2) yakscho
przeprowadzić elementy wiersza macierzy, a następnie

Być jak niezerowa macierz A w przypadku zwykłych przekształceń elementarnych można ją sprowadzić do macierzy schodkowej.

krupon. Matryca indukowana
do macierzy krokowej:
~
~
.

Macierz złożona ze współczynnikami systemowymi Linie liniowe (2) nazywane są główną macierzą układu. Matryca
Otriman, z dopuszczeniem wolnych członków, nazywany jest rozszerzoną macierzą systemu.

Uporządkowania zbioru nazywane są rozwiązaniami układu liniowych wyrównań (2), a także decyzjami układu liniowego układu skóry.

Układ wyrównań liniowych nazywamy koherentnym, ponieważ może być tylko jednym rozwiązaniem, a nie jest szalony, ponieważ nie da się go rozwiązać.

System wyrównań liniowych nazywamy śpiewem, ponieważ jest tylko jedno rozwiązanie, którego nie zaznaczono, ponieważ jest więcej niż jedno rozwiązanie.

Nadchodząca transformacja systemu linii trasowania nazywana jest elementarną:

) wykluczenie z systemu równego umysłowi;

) wielokrotności obu części, czy jest równe
,
;

) dodając do tego, czy istnieje jakakolwiek inna równa, pomnożona przez ,.

Dwa systemy linii liniowych n nieznane nazywa się równie silnymi, bo smród nie jest spójny, ale wiele ich decyzji jest podejmowanych.

Twierdzenie. Na przykład jeden system wyrównań liniowych został oddzielony od innych elementarnych przekształceń typu ), ), ), jest równie silny jak wizualny.

Rewizja systemu linii trasowania metodą ignorowania nieznanego (metodą Gaussa).

Pozwól systemowi odejść m liniowy rivnyan z n unwidomimi:

Jak system (1) pomszczenia umysłu

wtedy system nie jest spójny.

Załóżmy, że układ (1) nie jest równy postaci (2). Niech układ (1) zmieni współczynnik x 1 na początku równe
(jakby tak nie było, to poprzez przestawianie równych miejsc nie można osiągnąć czego, więc nie wszystkie współczynniki przy x 1 równa się zero). Zastosuyemo do układu linii liniowych (1) postępujące lancety elementarnych przekształceń:

, Dodamo na inny poziom;

Pierwszy równy, pomnożony przez
, Dodamo na trzeci poziom i tak dalej;

Pierwszy równy, pomnożony przez
dodamo do reszty systemu.

W rezultacie odejmujemy układ trasowań liniowych (najkrótszy SLN podaliśmy dla układu trasowań liniowych) równy sile układu (1). Może się okazać, że w innym systemie jest to liczba i, i 2, nie mścij się na nieznanym x 2. Daj spokój k tak najmniej Liczba naturalna, co jest niewiadome x k Chcę się zemścić w jednej równej liczbie i, i 2. System Todi otrimana rivnyan maє vyglyad:

System (3) jest równy systemowi (1). Zastosuєmo teraz do podsystemu
systemy wyrównań liniowych (3) mikroskopia, które zostały ocenione jako SLN (1). I do tej pory. W wyniku tego procesu dochodzi do jednego z dwóch wyników.

1. Odbieramy SLU, który jest równy umysłowi (2). A tutaj SLE (1) jest niespójny.

2. Przekształcenia elementarne, stazy do SLN (1), nie prowadzą do systemu, który mści wygląd (2). W tsomu vipadku SLP (1) przez przekształcenia elementarne
wskaż system równy umysłowi:

(4)

de, 1< k < ja < . . .< s,

Układ wyrównań liniowych w postaci (4) nazywamy krokowymi. Tutaj możesz mieć dwa upadki.

a) r= n wtedy system (4) może wyglądać

(5)

System (5) ma tylko jedno rozwiązanie. Ponownie, system (1) można rozwiązać tylko.

B) r< n. Czyj umysł nie ma domu
w systemie (4) nazywane są głównymi niedominantami, inaczej niedominantami w tym systemie - wolnymi (sześć numer jeden) n- r). Nadamo sporo wartości liczbowych nie jest potrzebnych, nawet matime SLU (4) wygląda tak samo jak system (5). Z tego nagłówki są jednoznaczne. W tej randze system może być rozwiązany, więc jest spójny. Oskіlki vіlnim nevidomim dał dość liczbową wartość Z, to system (4) jest niezdefiniowany. Ponownie, system (1) jest niezdefiniowany. Viraziv w SLN (4) smut nevidomі przez vіlnі nevidomі, system otrimaemo, który nazywa się najdzikszymi rozwiązaniami systemu (1).

krupon. Rozwiąż system wyrównań liniowych metodą G Aussa

Piszemy rozszerzoną macierz układu wyrównań liniowych i za pomocą elementarnych przekształceń wierszy doprowadzamy ją do macierzy schodkowej:

~

~
~
~

~ . Pomijając macierz, możemy znaleźć układ wyrównań liniowych:
System Tsya jest równy systemowi zewnętrznemu. Jak głowa nieznanego
w nieskończoność. Nawiasem mówiąc, głowa nieznanego jest tylko przez dzikie nieznane:

Usunęliśmy pełne rozwiązanie SLN. Pozwól mi odejść

(5, 0, -5, 0, 1) to prywatne rozwiązanie dla SLP.

Zadanie niezależnej wizji

1. Aby poznać rozwiązanie globalne i jeszcze jedno rozwiązanie układu równego metodą wyłączania nieznanego:

1)
2)

4)
6)

2. Wiedz o różne wartości parametr a globalne rozwiązanie systemu rzek:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§osiem. Przestrzenie wektorowe

Koncepcja przestrzeni wektor. Najprostsza moc.

Daj spokój V ≠ Ø, ( F, +,∙) – pole. Elementy pola nazywane są skalarami.

Fermentacja φ : F× V –> V nazywa się operacją mnożenia elementów mnożenia V na skalarach z pola F. Znacznie φ (λ, a) poprzez λа skręcać element a do skalara λ .

Wizyta, umówione spotkanie. Bezlich V z danej operacji algebraicznej przez dodanie elementów do mnożnika Vże wiele elementów V na skalarach z pola F nazywana jest przestrzenią wektorową nad ciałem F, co oznacza następujące aksjomaty:

krupon. Daj spokój F pole, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Skórzany element wielokrotny F n nazywa n prosty wektor arytmetyczny. Przedstawmy operację dodawania n-wektory pokoju i mnożenie n-świat wektor na skalarne pole z F. Daj spokój
. Zróbmy to = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Bezlich F n gdzie wprowadzeniem operacji jest przestrzeń wektorowa i nazywa się n-prosta arytmetyczna przestrzeń wektorowa nad ciałem F.

Daj spokój V- Przestrzeń wektorowa nad polem F, ,
. Są takie cechy:

1)
;

3)
;

4)
;

Dowód wytrzymałości 3.

Z zazdrości o prawo szybkiej grupy ( V,+) może
.

Odłogi liniowe, niezależność systemów wektorowych.

Daj spokój V- Przestrzeń wektorowa nad polem F,

. Wektor nazywamy kombinacją liniową układu wektorów
. Anonimowość wszystkich kombinacji liniowych układu wektorów nazywa się powłoka liniowa tsієyu system vektorіv i poznayu.

Wizyta, umówione spotkanie. System wektorów nazywamy odłogiem liniowym, ponieważ używa się takich skalarów
nie wszystkie są równe zeru, więc

Jak równoważność (1) jest zwycięska lub mniej, jeśli: λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, system wektorów nazywany jest liniowo niezależnym.

krupon. Chi z'yasuvati chi є system wektorów = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) przestrzeń R 3 odłogiem liniowym lub niezależnym.

Rozwiązanie. Niech λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – rozwiązanie systemowe. Otzhe, system wektorowy jest liniowo niezależny.

Dominacja błędu liniowego i niezależność systemu wektorowego.

1. Układ wektorów, który chce pomścić jeden wektor zerowy, jest ułożony liniowo.

2. Układ wektorów do pomszczenia podsystemu odłogu liniowego, odłogiem liniowym.

3. Układ wektorów, de
є liniowo odłogiem parzystym i tylko raz, jeśli chcemy mieć jeden wektor układu, pojedynczy wektor, є liniową kombinację wektorów do przodu.

4. Ponieważ układ wektorów jest liniowo niezależny, ale układ wektorów
liniowo odłogiem, to wektor możesz spojrzeć na liniową kombinację wektorów do tej samej rangi.

Przynoszący. Jeśli system wektorowy jest odłogiem liniowym, to
nie wszystkie są równe zeru, więc

W równoważności wektorowej (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, a następnie s (2) \u003d\u003e Widzimy, że system wektorów jest liniowo odłogiem, odłamki λ 1 , λ 2 , … , λ m nie wszystkie są równe zeru. Przyszli wytrzeć swoje umysły. Z (1) => de
.

Niech wektor będzie pokazany w ten sam sposób, w jaki go widzisz: Todo z równością wektorów
poprzez liniową niezależność systemu wektorów widzimy, że
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Podaj dane do dwóch systemów wektorów i
, m>k. Jeżeli wektor układu wektorowego można połączyć jako kombinację liniową układu wektorowego, to układ wektorowy jest odłożony liniowo.

Podstawa, rząd układu wektorów.

System wektorowy Kіntseva w przestrzeni V nad polem F sensownie przez S.

Wizyta, umówione spotkanie. Be-yaka liniowo niezależny podsystem układu wektorowego S nazywana jest podstawą układu wektorów S yakscho be-yaky system wektorowy S możesz spojrzeć na liniową kombinację systemu wektorów.

krupon. Znajdź podstawę systemu wektorów = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. System wektorów, liniowo niezależny, oskіlki, vіdpovіdno do dominium 5 system wektorów został usunięty z systemu wektorów dodatkowa pomoc podstawy elektromechanotronika: Inicjałdodatkowa pomoc Fundacja Inżynieria elektryczna"; ...

Przed elementarnymi przekształceniami widać:

1) Dodanie do obu części jednej równe części drugiej pomnożone przez tę samą liczbę, która nie jest równa zeru.

2) Permutacja równych misji.

3).

TWIERDZENIE KRONECKERA - CAPELLI

(Integralność systemu Umova)

(Leopold Kronecker (1823-1891) niemiecki matematyk)

Twierdzenie: System jest podzielony (może chcieć jedno rozwiązanie) albo mniej, jeśli ranga macierzy systemu jest równa randze macierzy rozszerzonej.

Oczywiście system (1) można zapisać jako:

x 1 + x 2 + … + x n

Przynoszący.

1) Jeśli decyzja zostanie podjęta, to kolumna swobodnych prętów jest kombinacją liniową kolumn macierzy A, która również jest dodawana do macierzy, czyli. przejście А®А* nie zmienia rangi.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse oznacza, że ​​smród może być w tym samym podstawowym mollu. Stovpets vіlnyh termіnі - liniowa kombinacja podstawy stovptsіv minor, z poprawną notacją, wskazaną wyżej.

krupon. Oblicz spójność układu linii trasowania:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

System jest szalony.

krupon. Określ sumę układu linii trasowania.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

System snu. Rozwiązanie: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 METODA GAUSS

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) niemiecki matematyk)

Na podstawie metody macierzowej i metody Cramera, metodę Gaussa można przekształcić na układy liniowych linii trasowania z dużej liczby linii trasowania i niewiadomych. Istota metody opiera się na późniejszym włączeniu pacjentów spoza kraju.

Przyjrzyjmy się systemowi wyrównań liniowych:

Podzielmy obraźliwe części pierwszej równej na 11 ¹ 0, a następnie:

1) pomnóż przez 21 widzę od innej równej

2) pomnóż przez 31 widzę od trzeciego równego

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

krupon. Ujawnij układ linii liniowych metodą Gaussa.

, Gwiazdy są dopuszczalne: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

krupon. Sprawdź system metodą Gaussa.

Rozwińmy macierz systemu.

W tej randze system zewnętrzny można przedstawić w następujący sposób:

, Gwiazdki są dopuszczalne: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana dla tego systemu metodą Cramera i metodą macierzową.

Dla niezależnej wizji:

Propozycja: (1, 2, 3, 4).

TEMAT 3. ELEMENTY ALGEBRII WEKTOROWEJ

PODSTAWOWE OZNACZENIE

Wizyta, umówione spotkanie. Wektor zwane liniami prostymi (kilka punktów jest uporządkowanych). Przed vector_v_vіdnosti również zero wektor, kolba tego rodzaju zbіgayutsya.

Wizyta, umówione spotkanie. Dowżyna (moduł) wektor jest wywoływany między kolbą a końcem wektora.

Wizyta, umówione spotkanie. Wektory nazywają się współliniowy jak smród rozprzestrzeniający się na jednej lub równoległej linii. Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem.

Wizyta, umówione spotkanie. Wektory nazywają się współpłaszczyznowy jak prawdziwe mieszkanie, jak równoległy smród.

Wektory współliniowe są zawsze współpłaszczyznowe, ale nie wszystkie współpłaszczyznowe są współliniowe.

Wizyta, umówione spotkanie. Wektory nazywają się równy jakby były współliniowe, jednak są wyprostowane i mogą być tymi samymi modułami.

Wektory Be-yaki i mogą przynieść obfite kolby, tobto. indukować wektory i vidpovidno równe dane i zrobić gorącą kolbę. Z oznaczenia równości wektorów wynika, że ​​wektor może być wektorem bezosobowym, równym tobie.

Wizyta, umówione spotkanie. Operacje liniowe nad wektorami nazywa się dodawaniem i mnożeniem przez liczbę.

Sumoyu vector_v є wektor -

Twir - , w którym kolіnearen .

Wektor kierunku z wektorem ( ), więc a > 0.

Wektor dyrektyw protivolezhnoy z wektorem (?), więc a< 0.

MOC WEKTORIV

1) + = + - przemienność.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asocjatywność

6) (a + b) = a + b - dystrybucyjność

7) a(+) = a + a

Wizyta, umówione spotkanie.

1) Podstawa przestrzeń nazywa się tak, jakby 3 wektory niewspółpłaszczyznowe, wzięte w tej samej kolejności.

2) Podstawa na płaskim są nazywane 2 wektorami niewspółliniowymi, pobranymi w tej samej kolejności.

3)Podstawa na linii prostej nazywa się wektorem niezerowym.

Dwa układy trasowania liniowego w jednym zestawie x 1 ..., x n

Nazywa się je równoważnymi, ponieważ unika się ich bezosobowych decyzji (dlatego unika się mnożenia i K n). Tse oznacza, sho: lub smród naraz є puste podwielokrotności (więc systemy ofensywne (I) i (II) są niespokojne) lub smród od razu nie pusty, ja (więc roztwór skóry systemu I є rozwiązania systemu II і roztwór skóry Systemu II є rozwiązania systemu I ).

Zdjęcie 3.2.1.

Metoda Gaus

Plan algorytmu zaproponowany przez Gausa jest dość prosty:

1. zastosovuvat do systemu wyrównań liniowych sekwencyjnie, aby nie zmieniać rozwiązania bezosobowego (w ten sposób przyjmujemy bezosobowe rozwiązanie systemu wizualnego) i przejść do równoważnego systemu, który może być „prosto wyglądający” (to jest nazwa formularza kroku);
2. dla „prostego umysłu” systemu (z macierzą schodkową) opisz bezosobowe rozwiązanie, które jest używane do bezosobowego rozwiązania systemu wzrokowego.

Znamienne jest, że bliska metoda "fan-chen" była używana już w starożytnej chińskiej matematyce.

Przekształcenie elementarne układów linii trasowania (wiersz macierzy)

Oznaczenie 3.4.1 (przekształcenie elementarne pierwszego typu). Gdy do i-tego poziomu systemu dodawany jest k-ty poziom pomnożony przez liczbę (oznaczoną: (i) „=(i) + c(k); wtedy tylko jeden i-ty poziom (i ) zostaje zastąpiony nowym poziomem (i) „=(i)+c(k)). Może wyglądać nowe i-e równe (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k lub w skrócie

To znaczy w nowej i-tej dzielnicy a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Oznaczenie 3.4.2 (podstawowy typ przebudowy 2). Dla i -е і k -е równe są zmieniane według rang, inne równe nie są zmieniane (znaki: (i)"=(k) , (k)"=(i) ;.,n

Szanuj 3.4.3. Dla jasności, dla konkretnych obliczeń, możesz dodać podstawowe przekształcenia trzeciego typu: i-te obliczenie jest mnożone przez liczbę niezerową , (i)" = c (i).

Twierdzenie 3.4.4. Tak jak typ układu, który przeszedłem do układu II za pomocą końcowej liczby przekształceń elementarnych typu I i II, tak w postaci układu II można przejść do układu I oraz przekształceń elementarnych I i II Drugi typ.

Przynoszący.

Szanuj 3.4.5. Twardość jest prawdziwa i wchodzi w skład przekształceń elementarnych przekształceń elementarnych trzeciego typu. Yakscho ja (i)"=c(i) , to ta(i)=c-1(i)".

Twierdzenie 3.4.6.Po ostatnim zatrzymaniu ostatniej liczby przekształceń elementarnych I lub II typu układ wyrównań liniowych, równoważny kolbie, dochodzi do układu wyrównań liniowych.

Przynoszący. Ważne jest, aby przyjrzeć się przejściu z systemu I do systemu II, aby dodać jedną transformację elementarną i doprowadzić rozwiązanie inkluzji do bogactwa (odłamki poprzez przyniesioną propozycję systemu II można obrócić do systemu I i do tego , integracja, która ma być spokojna).

Spotkanie 1. System wyrównań liniowych umysł (1) , de , pole nazywa się układ m linii liniowych od n nevidomimi nad polem, - Współczynniki dla niedomowych, , , - wolnych członków systemu (1).

Spotkanie 2. Zamówione n-ka (), de, zwany na szczyt systemu linii liniowych(1), nawet podczas wymiany zmiany na skórze, system (1) jest zmieniany na prawidłowe wyrównanie numeryczne.

Spotkanie 3. senny Yakscho próżno może chcieć podjąć jedną decyzję. W przeciwnym razie system (1) nazywa się zwariowany.

Spotkanie 4. System wyrównań liniowych (1) nazywa się śpiewanie może być tylko jedno rozwiązanie. W przeciwnym razie system (1) nazywa się niewyznaczony.

System linii liniowych

(є decyzja) (brak decyzji)

senny szalony

(jedna decyzja) (nie jedna decyzja)

pevna jest nieznana

Spotkanie 5. System linii liniowych nad polem R nazywa jednorodny yakscho wszystkie vіlnі warunki równe zeru. W przeciwnym razie system nazywa się heterogeniczny.

Przyjrzyjmy się systemowi linii liniowych (1). Ten sam jednorodny system na uwadze nazywa się systemem jednorodnym, powiązany z systemu (1). Jednorodny SLN po raz pierwszy na oskolki może się zdecydować.

W przypadku skórnego SLN można na pierwszy rzut oka wprowadzić dwie macierze – główna jest rozszerzona.

Spotkanie 6. Główna macierz układu linii trasowania(1) macierz nazywa się, składa się ze współczynników bez typu ofensywnego: .

Spotkanie 7. Rozszerzona macierz układu linii trasowania(1) macierz nazywa się, odciętą od macierzy ścieżką do niej przylegającą zbiorem wolnych elementów: .

Spotkanie 8.Przekształcenia elementarne układu linii trasowania nazywane są następująco: 1) pomnożenie obu części tego samego równego systemu przez skalar; 2) dodanie do obu części jednego poziomu układu drugich części drugiego poziomu, pomnożonych przez element; 3) uzupełnianie lub udowadnianie równego umysłu.

Spotkanie 9. Dwa układy linii liniowych nad polem R jak nazywa się ta zmiana równie silny, ponieważ unika się ich bezosobowych decyzji.

Twierdzenie 1 . Tak jak jeden system liniowych równości został odebrany drugiemu za pomocą elementarnych przekształceń, tak systemy te są równie silne.

Ręczne przekształcenia elementarne nie są sprowadzane do systemu wyrównań liniowych, ale do rozszerzonej macierzy.

Spotkanie 10. Podajmy macierz z elementami z pola R. Transformacje elementarne macierze nazywane są tak:

1) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza na macierzy przez aО Р # ;

2) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza na macierzy przez aО Р # i dodanie pozostałych elementów następnego wiersza;

3) permutacja miejsc przez dwa rzędy macierzy;

4) dodanie lub zwolnienie wiersza zerowego.

8. Rozwiązanie SLU: m metoda późniejszego wykluczenia niewiadomych (metoda Gaussa).

Przyjrzyjmy się jednej z głównych metod odsprzęgania układów linii trasowania, która nazywa się metodą późniejszego włączenia nieznanego, co jeszcze, Metoda Gaussa. Zobacz system(1) m liniowy rivnyan z n nevidomimi nad polem R:(1) .

System (1) chce jednego ze współczynników, jeśli nie jest dobry 0 . Іnakshe (1) - system równych z () nevіdomimi - tse superechit minds. Zapamiętujemy równości według miesięcy, aby współczynnik przy pierwszym wyrównaniu nie był dobry 0 . W tej randze możesz vvazhati, sho. Pomnóż obrażające części pierwszej równej i dodaj do drugiej części drugiej, trzeciej, ..., m równy. Bierzemy na uwadze system: , de s- najmniejsza liczba, więc chcę jeden ze współczynników, jeśli nie jest zdrowy 0 . Zapamiętujemy równości według miesięcy, aby drugi wiersz miał współczynnik przy zmianie kosztu 0 , następnie. możemy zgadywać co. Pomnóżmy obraźliwe części drugiego równego i dodajmy do równych części trzeciego, ..., m równy. Kontynuując ten proces, bierzemy pod uwagę system:

Układ równości liniowych, jak, zgodnie z Twierdzeniem 1, jest równy układowi (1) . System nazywany jest schodkowym systemem wyrównań liniowych. Istnieją dwie możliwości: 1) Chęć jednego z elementów nie jest dobra 0 . Chodź na przykład. Tak samo z systemem liniowych wyrównań, podobnie jak w umyśle, jest to niemożliwe. Tse oznacza, że ​​system nie ma rozwiązania, a zatem system (1) nie może mieć rozwiązania (czasami (1) jest systemem niespójnym).

2) Chodź, ...,. Todi za pomoc elementarnej transformacji Z) zabieramy system - system r liniowy rivnyan z n nieznany. Przy każdej zmianie dla współczynników są one nazywane zmiana głowy(tse), їх suma r. нші ( n-r) zmień imiona darmowy.

Istnieją dwie możliwości: 1) Yakshcho r=n, a następnie - system trykotowego wyglądu. Dla tego od ostatniego równego znamy zmianę, od ostatniego - zmianę, od pierwszego równego - zmianę. Ponadto istnieje tylko jedno rozwiązanie dla układu trasowań liniowych, a także układu trasowań liniowych (1) (czasami układ (1) jest przypisany).

2) Chodź r . I tu główne zmiany przechodzą przez podki i wygrywają decydujące rozwiązanie układu linii liniowych (1). Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut różne prywatne rozwiązania systemu linii liniowych (1) (system (1) nie jest w tym przypadku widoczny).