Цэгийн ортогональ проекцын координатыг шууд мэдэх. Шулуун дээрх цэгийн проекц Шулуун дээрх цэгийн проекцын координатууд. Шулуун шугам дээрх цэгийн проекц - онол, тэр шийдлийг хэрэглээрэй

Цэгийн нийтлэл шулуун шугам дээрх цэгийн проекцийг ойлгохыг хардаг (бүгд). Ми дамо йома vikoristannya бяцхан нэг нь томилогдсон байна, Би тайлбарлаж байна; Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцын координатыг тодорхойлох Вивчимо арга (хавтгай эсвэл жижиг орон зайд); Үүнийг туршаад үзье.

"Хавтгай дээрх цэгийн проекц, координат" өгүүлэлд бид дүрсийн загварыг перпендикуляр эсвэл ортогональ дизайны ойлголтоор ойлгох ёстой юу гэж бодож байсан.

Бүх геометрийн дүрсүүдийг цэг болгон нугалав; Иймд дүрсийг шулуун дээр төсөөлөхийн тулд цэгийг шулуун дээр төсөөлөх чадварыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Цаг 1

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекц- tse буюу тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуун дээр байх ёстой, эсвэл өгөгдсөн шулуун дээрх цэгээс унасан перпендикулярын суурь.

Доорх жижиг хэсгүүдийг харцгаая: H 1 цэг нь a шулуун дээрх М 1 цэгийн проекц болж үйлчилдэг ба шулуун шугам дээр байрлах M 2 цэг нь өөрөө проекц юм.

Энэ тэмдэглэгээ нь гадаргын болон тривимер орон зайд байгаа випадкагийн хувьд илүү зөв юм.

M 1 цэгийн проекцийг хавтгай дээрх а шулуун дээр авахын тулд өгөгдсөн M 1 i цэгийг a шулуунд перпендикуляр өнгөрөхийн тулд b шулуун зурна. Энэ дарааллаар a ба b шулуунуудын огтлолцох цэг нь a шулуун дээрх M 1 цэгийн проекц болно.

Өчүүхэн орон зайд шулуун шугам дээрх цэгийн проекцийг шулуун шугаманд перпендикуляр M 1 цэгээр дайран өнгөрөх a шулуун ба α хавтгайн хөндлөн шугамын цэг үйлчлэх болно.

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцын координатын утга

Хавтгай болон өчүүхэн талбайн дизайны ландшафтын гинжийг харцгаая.

Тэгш өнцөгт координатын системийн даалгаврыг O x y, цэг M1 (x1, y1) i шулуун шугам a. А шулуун дээрх М1 цэгийн проекцын координатыг мэдэх шаардлагатай.

Өгөгдсөн M 1 (x 1, y 1) цэгээр a шулуунд перпендикуляр b шулууныг дамжуулъя. Хагарлын цэгийг H1 гэж тэмдэглэв. H 1 цэг нь a шулуун дээрх М 1 цэгийн проекцын цэг болно.

Тайлбараас харахад a шулуун дээрх M 1 (x 1 y 1) цэгийн проекцын координатыг мэдэх боломжийг олгодог алгоритмыг томъёолж болно.

Эвхэх шулуун шугамууд (үүнийг заагаагүй тул). zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya хавтгай дээр гол rivnyan нь;

Шулуун шугамын тэгшлэлтийг тэмдэглэнэ b (М 1 цэгээр дамжин өнгөрөх ба шулуун a перпендикуляр). Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг тэгшлэх тухай өгүүллийг энд нэмж оруулах болно;

Проекцийн координатыг a ба b шулуун шугамын хөндлөн цэгийн координат болгон авах нь ойлгомжтой. Үүний тулд тэгш байдлын систем нотлогдсон, агуулахууд - a ба b шулуун шугамыг тэгшитгэх.

өгзөг 1

O x y хавтгай дээр өгөгдсөн цэг M 1 (1, 0) нь шулуун шугам a (илүү өндөр тэгшлэх - 3 x + y + 7 = 0). А шулуун дээрх М1 цэгийн проекцын координатыг зааж өгөх шаардлагатай.

Шийдэл

Шулуун шугамаар өгөгдсөн тэгшитгэл нь алгоритмын дагуу бид шулуун шугамын тэгшитгэлийн хамгийн богино бичлэгт шилжинэ. b шулуун нь а шулуунд перпендикуляр байх тул а шулууны хэвийн вектор нь b шулууны шууд вектор болно. Дараа нь b шугамын шууд векторыг ингэж бичиж болно b → = (3, 1). Шулуун b-ийн каноник тэгшитгэлийг бичье, гэхдээ бид b шулуун шугамаар M 1 цэгийн координатыг тохируулах хэрэгтэй.

Эцсийн зүсэлт нь a ба b шулуун шугамын хөндлөн огтлолын координатыг харуулав. Үргэлжлүүлье каноник ривняншууд b to zagalny її тэнцүү:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 у ⇔ x - 3 у - 1 = 0

a ба b шулуунуудын дээд тэгшитгэлээс тэнцүүлэх системийг хийцгээе

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ у = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

За, бид 3 x + y + 7 = 0 шулуун дээрх M 1 (1, 0) цэгийн проекцын координатыг хасав: (- 2 , - 1) .

Зөвлөмж: (- 2 , - 1) .

Төслийн координатыг зааж өгөх шаардлагатай бол тайланг хянана тогтоосон цэгкоординатын шугам ба тэдгээртэй параллель шугамууд дээр.

Өгөгдсөн координатын шугамууд O x і O y, мөн M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Өгөгдсөн цэгийг y = 0 хэлбэрийн шулуун шугамын координат O x проекц нь (x 1, 0) координаттай цэг байх болно гэдгийг би ойлгосон. Тэгэхээр өгөгдсөн цэгийн шугамын координат O y проекц нь 0 , y 1 координат болно.

Бэ-яку маш шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ abscissa, та үүнийг буруу хэлж болно зэрлэг атаархал B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B ба шулуун, у тэнхлэгтэй параллель - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Дараа нь y \u003d - C B i x \u003d - CA шулуун шугам дээрх M 1 (x 1, y 1) цэгийн төсөөлөл нь x 1, - C B i - CA A, y 1 координаттай цэгүүд болно.

өгзөг 2

M 1 (7, - 5) цэгийн проекцын координатыг координатын шугам дээр O y , мөн O y 2 y - 3 = 0 шулуунтай параллель шулуун дээр авна.

Шийдэл

О y шулуун дээрх өгөгдсөн цэгийн проекцын координатыг бичье: (0 - 5) .

2 y - 3 = 0 сарлагийн y = 3 2 шулуун шугамын зэрэгцүүлэлтийг бичье. 7 3 2 координатын матрицтай y = 3 2 шулуун дээрх өгөгдсөн цэгийн проекц нь тодорхой болно.

Зөвлөмж:(0 , - 5) ба 7 , 3 2 .

Өчүүхэн орон зай нь тэгш өнцөгт координатын системтэй O x y z , цэг M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ба шулуун a шулуунтай байг. А шулуун дээрх М1 цэгийн проекцын координатыг бид мэднэ.

Бид α хавтгайг a шулуунд перпендикуляр M1 i цэгээр дамжуулна. Шулуун шулуун дээрх өгөгдсөн цэгийн проекц нь a шулуун ба α хавтгай дээрх цэг болно. Үүний үндсэн дээр бид a шулуун дээрх M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийн проекцын координатын утгын алгоритмыг танилцуулж байна.

Бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ a (үүнийг заагаагүй тул). Энэ даалгаврыг ойлгохын тулд сансар огторгуйд шулуун шугамыг тэгшлэх тухай энэ нийтлэлтэй танилцах шаардлагатай;

Бид тэгш байдлыг хадгалах боломжтой юу?

Шулуун шугам дээрх M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийн проекцын координатыг бид мэднэ - α шулуун ба α-ийн хавтгайн хөндлөн шугамын цэгийн координатууд байх болно. (тусламжийн хувьд - "Онгоцны шулуун шугамын хөндлөн шугамын цэгийн координат" нийтлэл).

өгзөг 3

Өгөгдсөн зөв өнцгийн координатын систем O x y z , i in nіy - цэг М 1 (0, 1, - 1) i шулуун a . Шулуун а шугам нь каноник тэгшитгэлд тохирно: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. М1 цэгийн а шулуун дээрх проекцын координатыг тодорхойл.

Шийдэл

Vykoristovuёmo vkazыvshee алгоритм. Rivnyannya шулуун шугам, эхний алхам нь алгоритмаар алгасаж байна. α талбайн тэгшитгэлийг бичье. Үүний хувьд тухайн талбайн хэвийн векторын координатууд чухал ач холбогдолтой. Шулуун шугамын өгөгдсөн каноник тэгшитгэлээс бид шулуун шугамын шууд векторын координатыг харж болно: (3, - 4, 1), энэ нь шулуун шугамд перпендикуляр α талбайн хэвийн вектор байх болно. а. Тоди n → = (3, - 4, 1) нь α талбайн хэвийн вектор юм. Энэ дарааллаар α матимагийн хавтгай тэнцүү харагдаж байв.

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Одоо бид шулуун ба α хавтгайн хөндлөн цэгийн координатуудыг мэдэж байгаа бөгөөд үүнд хоёр арга бий.

1. Каноник тэгшитгэлийн даалгаврууд нь a шулуун шугамыг илэрхийлдэг давхцаж буй хоёр хавтгайн байрлалыг авах боломжийг танд олгоно.

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 ба 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 шулуун шугамын хөндлөн шугамын цэгүүдийг мэдэхийн тулд.

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

At энэ тодорхой төрөлд vikoristovuєmo Крамерын арга, гэхдээ та энэ нь ruchny эсэх zasosuvat болно:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z = ∆ z = 0 - 78 = 0

Ийнхүү а шулуун дээрх өгөгдсөн цэгийн проекц нь координаттай (1, 2, 0) цэг болно.

1. Каноник тэгшитгэлийн даалгаврын үндсэн дээр орон зайд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичихэд хялбар байдаг.

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Параметрээр дамжуулан x , y і z їх илэрхийллийн оронд 3 x - 4 y + z + 5 = 0 гэж харж болох хавтгайн түвшинд төсөөлье.

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

λ = 1 үед шулуун шугамын параметрийн тэгшилгээний ард a шулуун ба α хавтгайн хөндлөн цэгийн координатыг тооцоолъё.

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Тиймээс шулуун шугам дээрх өгөгдсөн цэгийн проекц нь координаттай (1, 2, 0) байна.

Зөвлөмж: (1 , 2 , 0)

O x , O y і O z координатын шулуун дээрх M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийн проекцууд нь (x 1, 0, 0) , (0 ,) координаттай цэгүүд байх нь чухал юм. y 1 , 0 ) ба (0 , 0 , z 1) хүчинтэй.

Текст дэх өршөөлийг хэрхэн санаж байсан бэ, эелдэг байж, үүнийг хараад Ctrl + Enter дарна уу

өөр хүнд туслах онлайн тооцоолууршулуун шугам дээрх цэгийн проекцийг мэдэж болно. Бид тайлбартай шийдлийг мэдээлнэ гэж найдаж байна. Шулуун дээрх цэгийн проекцийг тооцоолохын тулд зайг (2- хавтгай дээр шулуун шугам шиг харагдана, 3- орон зайд шулуун шугам шиг харагдана), тухайн цэгийн координатыг оруулна уу. хайрцганд зэрэгцүүлэх элементийг оруулаад "Verishity" товчийг дарна уу.

×

Урьдчилгаа

Бүх өрөөг цэвэрлэх үү?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (хэрэглэх: 487, 5, -7623 нимгэн), арав дахь тоо (жишээ нь. 67., 102.54 нимгэн) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a / b, de a і b (b> 0) tsіlі эсвэл харах үед бичих шаардлагатай. хэдэн арван тоо. 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 нимгэн түрхэнэ.

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекц - онол, тэр шийдлийг хэрэглээрэй

Хоёр ертөнц ба гурван ертөнцийн даалгаврыг авч үзье.

1. Хоёр ертөнцийн орон зайд нэг цэг өгье М 0 (x 0 , y 0) би шулуун Л:

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцын алгоритм Лингэж өшөө авахын тулд:

• шууд сануулах Л 1 цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 i шулуун шугамд перпендикуляр Л,
• шулуун шугамын зайг мэдэх Лі Л 1 (цэг М 1)

Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам М 0 (x 0 , y 0) дараах байдлаар харагдаж болно.

Vіdkrієmo нум

(5)

Үнэ цэнийг нь авч үзье xі y 4-т):

де x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+у".

Жишээ 1. Цэгийн проекцийг мэдэх М 0 (1, 3) шулуун

Тобто. м=4, х=5. Шулуун шугамын (6) тэгшитгэлээс харахад энэ нь цэгээр дамжин өнгөрөх нь тодорхой байна М" (x", у")=(2, −3)(өөрчлөхөд хялбар - (6) утгыг орлуулснаар 0=0 таних тэмдэг авна), тэгвэл. x"=2, у"=-3. Үнэ цэнийг нь авч үзье m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"-д):

2. Гурван ертөнцийн орон зайд нэг цэг өгье М 0 (x 0 , y 0 , z 0) би шулуун Л:

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцын утга Лингэж өшөө авахын тулд:

• байрыг урамшуулах α , цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 i шулуун шугамд перпендикуляр Л,
• нүдний торлог бүрхэвчийг мэддэг α би шулуун Л(тодорхой М 1)

Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгш байдал М 0 (x 0 , y 0 , z 0) дараах байдлаар харагдаж болно.

Vіdkrієmo нум

Үнэ цэнийг нь авч үзье xі y 9 орчим):

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцийг хийхэд хялбар бөгөөд сүүлийн хэдэн үйлдлүүдийн хувьд тэг ойртлыг цэгэн шулуун дээрх цэгийн проекцоор тооцдог. Хамтарсан даалгаврын энэ олон талыг авч үзье.

Үүнийг шууд явуул

би толбо. Хамгийн чухал нь w шулуун шугамын вектор нэлээд урт байж болно. Шулуун шугам нь t параметр нь тэгтэй тэнцүү байх цэгийг дайран өнгөрч, w вектор шулуун байж болно. Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцийг мэдэх шаардлагатай. Ганцхан шийдэл бий. Шулуун шугамын цэгээс цэг рүү вектор болон тооцоологдох скаляр хатуу вектор ба шулуун шугамын вектор w-ийг индукц болгоно. Зураг дээр. 4.5.1 w шугамын шууд векторыг харуулсан, өгсөн оноо. Хэрэв бид энэ скаляр өргөтгөлийг w векторын уртад хуваавал векторын шулуун шугам дээрх проекцын уртыг хасна.

Цагаан будаа. 4.5.1. Шулуун шугам дээрх цэгийн проекц

Хэрэв бид скаляр өргөтгөлийг w векторын уртын квадратад хуваах юм бол шулуун шугам дээрх векторын проекцын уртыг w векторын уртын нэгжээр авна, тэгэхээр бид t параметрийг авна. шулуун шугам дээрх цэгийн проекц.

Ийнхүү шулуун шугам дээрх цэгийн проекцийн параметр ба проекцын радиус-вектор; томъёогоор тооцоолно

(4.5.3)

Хэрэв векторын урт w 1-тэй тэнцүү бол (4.5.2) дээд налуу дахь муруй дээрх проекцийг цэгээс хасах шаардлагагүй векторын уртыг тооцно. Та цэгээс її проекц хүртэлх зайг шулуун шугамаар тооцоолж болно, харин цэгийн проекцийг тооцоолох замаар биш харин томъёог хурдасгах замаар тооцоолж болно.

Окреми унав.

Аналитик муруй дээрх цэгийн проекцийг тоон аргын мэдлэггүйгээр мэдэж болно. Жишээлбэл, эцсийн зүсэлт дээрх цэгийн проекцийг мэдэхийн тулд проекц хийж буй цэгийг төгсгөлийн зүсэлтийн координатын системд хөрвүүлэх, төгсгөлийн зүсэлтийн хавтгайд цэгийг проекцлох, өгөгдсөн цэгийн хоёр хэмжээст проекцын параметр.

Загалный впадок.

Муруй шугам дээрх цэгийн бүх төсөөллийг мэдэх шаардлагатай байг.

(4.5.5)

Зорилго нь нэг үл мэдэгдэх утгаас өшөө авах явдал юм - параметр t. Өмнө дурьдсанчлан, аль ажлыг дуусгах нь хоёр үе шатанд хуваагдсан. Эхний үе шатанд бид муруй дээрх цэгийн төсөөлөл дэх параметрүүдийг тэг орчимд тооцдог бөгөөд нөгөө шатанд өгөгдсөн цэгийн проекцийг хуваарилдаг муруйн параметрүүдийн яг утгыг мэддэг. z шугам хүртэлх муруй дээр