Дії матрицууд болон їх vyzniki дээр. Матриц дээрх үндсэн үйлдлүүд (нугалах, үржүүлэх, шилжүүлэх) нь ижил хүч юм. Матрицыг үржүүлэх үйлдэл

Матрицууд. Матрицууд дээр шилжих. Матриц дээрх үйлдлүүдийн давамгайлал. Матрицыг үзнэ үү.

Матрицуудчухал хэсгийг энгийн хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрдөг хэрэглээний математикийн чухал утга байж болох юм математик загваруудобъект ба үйл явц. "Матриц" гэсэн нэр томъёо 1850 онд гарч ирсэн. Өмнө нь матрицыг эртний Хятадад, дараа нь Арабын математикчид таамаглаж байсан.

Матриц А=Амндарааллыг m * n гэж нэрлэдэг тоонуудын шулуун шугаман хүснэгт.

Матрицын элементүүд Айж, i=j-ийг диагональ i гэж нэрлэдэг үндсэн диагональ.

Квадрат матрицын хувьд (m=n) толгойн диагональ нь a 11 , a 22 ,..., a nn элементүүдээс бүрдэнэ.

Ривнист матрицууд.

A=Bзүгээр л матрицуудын дараалал Аі БГэсэн хэдий ч тэр a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Матрицууд дээр шилжих.

1. Матриц нэмэх - элемент тус бүрээр хийх үйлдэл

2. Матрицуудыг үзэх - элемент тус бүрээр нь үйлдэл хийх

3. Тоон дээр матриц нэмэх нь элемент тус бүрээр хийгддэг үйлдэл юм

4. Олон A*Bдүрмээр матриц дээд талд эгнээ(А матрицын баганын тоо нь В матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байж болно)

Amk * Bkn = Cmnяагаад арьсны элемент h ijматрицууд CmnА матрицын i-р эгнээний элементүүд болон В матрицын j-р баганын бусад элементүүдийн нийлбэрийг tobto.

Матрицыг үржүүлэх үйлдлийг жишээн дээр үзүүлье

5. Хөл дэх холбоосууд

m>1 нүд огноо. А нь квадрат матриц (m=n) tobto. квадрат матрицад хамааралтай

6. Матрицын шилжүүлэг A. Транспозлогдсон матрицыг A T эсвэл A гэж тэмдэглэнэ

Мөр, баганыг номлолд дурсав

өгзөг

Матриц дээрх үйлдлүүдийн хүч

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Види матрицууд

1. Тэгш өнцөгт: мі n- нэлээд эерэг тоо

2. Дөрвөлжин: m=n

3. Матрицын мөр: m=1. Жишээлбэл, (1 3 5 7) - олон практик даалгаврын хувьд ийм матрицыг вектор гэж нэрлэдэг.

4. Матрицын Стовпетууд: n=1. Жишээлбэл

5. Диагональ матриц: m=nі a ij = 0, гэх мэт i≠j. Жишээлбэл

6. Ганцаараа матриц: m=nі

7. Тэг матриц: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Трикот матриц: толгойн диагональ доорх бүх элементүүд 0-тэй тэнцүү байна.

9. Симметрик матриц: m=nі a ij = a ji(тэгш хэмтэй толгойн диагональ дээр тэнцүү элементүүдийг байрлуулах), мөн түүнчлэн A"=A

Жишээлбэл,

10. Халуу матриц: m=nі a ij =-a ji(Тийм учраас тэгш хэмтэй үндсэн диагональ дээр протилен элементүүд байдаг). Мөн толгойн диагональ дээр тэг байдаг (учир нь i=jмагадгүй a ii =-a ii)

би ойлгосон A"=-A

11. Гермитийн матриц: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- цогцолбор - хүртэл хүлээн авсан а жи, дараа нь. якчо A=3+2i, дараа нь нарийн төвөгтэй - олж авсан Ã=3-2i)

Үйлчилгээний даалгавар. Матрицын тооцоолуур 3A-CB 2 эсвэл A -1 +B T гэх мэт матриц вирусыг бий болгох даалгавар.

Заавар. Учир нь онлайн шийдлүүдматрицын хувьсагчийг тохируулах шаардлагатай. Өөр нэг үе шатанд матрицын хэмжээг тодруулах шаардлагатай болно. Зөвшөөрөгдсөн үйлдлүүд: үржүүлэх (*), нэмэх (+), нэмэх (-), урвуу матриц A^(-1), доошлох (A^2, B^3), матрицыг шилжүүлэх (A^T).

Зөвшөөрөгдсөн үйлдлүүд: үржүүлэх (*), нэмэх (+), нэмэх (-), урвуу матриц A^(-1), доошлох (A^2, B^3), матрицыг шилжүүлэх (A^T).
Үйлдлийн жагсаалтыг харахын тулд кома (;) бүхий зэгсэн толбыг ашиглана уу. Жишээлбэл, виконаннягийн хувьд гурван үйл ажиллагаа:
a) 3A + 4B
б) AB-BA
в) (А-Б) -1
Та үүнийг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриц нь m мөр, n баганатай тэгш өнцөгт тоон хүснэгт тул тэгш өнцөгтийг хараад матрицыг бүдүүвчээр дүрсэлж болно.
Тэг матриц (цэг матриц)матрицыг, тэгтэй тэнцүү бүх элементүүдийг нэрлэж, 0 болгож тохируулна уу.
Ганцаараа матрицквадрат матриц гэж нэрлэдэг

А ба В хоёр матриц тэнцүүижил хэмжээтэй yakscho өмхий үнэр, їх vіdpovіdnі элементүүд іvnі.
Вироген матрицматрицыг дууддаг бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү (Δ = 0).

Чухал ач холбогдолтой матриц дээрх үндсэн үйлдлүүд.

Матрицын нэмэх

Уулзалт. Хоёр матрицын нийлбэр A = | | a i k | | i B=||b i k || ижил хэмжээтэй C=||c i k || матриц гэнэ чимээгүйхэн өөрсдийгөө razmіrіv, томъёоны хувьд perebuvayut гэх мэт элементүүд c би к =a би к + б би к. C=A+B хэлбэрээр харуулав.

Жишээ 6. .
Эвхэх матрицын үйл ажиллагаа нь нэмэлтүүдийн тоогоор өргөжиж байна. Мэдээжийн хэрэг, A+0=A.
Дахин нэг удаа бид таныг ижил хэмжээтэй матрицаас илүү нугалахыг зөвлөж байна; янз бүрийн өргөтгөлийн матрицуудын хувьд нэмэх үйлдлийг зааж өгөөгүй.

Алсын хараа матриц

Уулзалт. Жижиглэнгийн худалдаа B-Aижил хэмжээтэй В ба А матрицыг A+C=B байхаар C матриц гэнэ.

Матрицуудыг хуулбарлах

Уулзалт. Нэмэлт матриц A=||a i k || α тоог C = | матриц гэнэ |

Уулзалт. Хоёр матрицыг A=||a i k || өг (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), үүнээс гадна А дахь баганын тоо нь B дахь мөрийн тоотой тэнцүү байна. A-аас B хүртэлх doboot нь C=||c i k || матриц бөгөөд түүний элементүүд нь томъёоны ард байрладаг. .
C=A·B хэлбэрээр харуулав.
Схемийн хувьд матрицыг үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

ба бүтээлийн элементийг тооцоолох дүрэм:

Pidkremlimo нэг удаа цавчих, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, хэрэв эхний dorivnika Kilkosti-ийн алхмуудын тоо нь бусад, бүтээлч ажлын дор, цувисан цувисан галзуугийн тоо. Та үржүүлгийн үр дүнг тусгай онлайн тооцоолуураар шалгаж болно.

Жишээ 7. Матриц өгөгдсөн і . C = A B ба D = B A матрицуудыг мэдэх.
Шийдэл. Бид A B-г хүндэтгэдэг боловч А баганын тоо нь B мөрийн тоотой тэнцүү байна.

Хүндэтгэсэн, vipadku A·B≠B·A байна, тэгвэл. dobutok матрицууд эсрэгээр.
Бид B A (олон боломжтой) мэднэ.

Жишээ 8. Матриц өгөгдсөн . 3А 2 - 2А-г мэдэх.
Шийдэл.

.
; .
.
Энэ бол чухал баримт юм.
Эндээс харахад хоёр давхар тэг тоог нэмэх нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Матрицын хувьд нөхцөл байдал ижил төстэй байж болно, үгүй ​​ч байж болох тул тэгээс өөр матрицын үйлдвэрлэл нь тэг матрицтай тэнцүү харагдаж болно.

Хүндэтгэсэн, матрицын элементүүд нь тооноос илүүгүй байж болно. Та номнуудаа тайлбарлаж, номын цагдаа дээрээ хэрхэн зогсох талаар бидэнд мэдэгдээрэй. Цагдаа нар дэг журам сахиулж, дуулах газар бүх номоо зогсоогоорой. Хүснэгт нь таны номын сангийн зохих тодорхойлолтын хувьд (цагдаагийн ажилтнууд болон цагдаагийн талаархи дараах номууд) мөн матриц байх болно. Ale, ийм матриц нь тоон биш байх болно. Хоёр дахь жишээ. Тоонуудын оронд өөр өөр функцууд зогсож, өөр хоорондоо нэг төрлийн уринш иддэг. Отриманы хүснэгтийг мөн матриц гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, матриц нь эвхэгдсэн тэгш өнцөгт хүснэгт юм төстэйэлементүүд. Энд, цаашлаад бид тоонуудаас нугалсан матрицуудын тухай ярьж байна.

Матрицыг бүртгэх дугуй гарыг дөрвөлжин эсвэл шулуун босоо шугам байрлуулж сольж болно.

(2.1*)

Цаг 2. Вирази шиг(1) m = n, дараа нь ярих квадрат матриц, гэхдээ якчо , дараа нь тухай тэгш өнцөгт.

m ба n-ийн уринш утга нь матрицын тусгай төрөлд хуваагдана.

Хамгийн чухал шинж чанар дөрвөлжинматрицууд є її vyznachnikэсвэл тодорхойлогч, Матрицын элементүүдээс юу үүсэхийг зааж өгсөн болно

D E = 1 гэдэг нь ойлгомжтой; .

Цаг 3. Якчо , дараа нь матрицА дуудсан онгон бус эсвэл ялангуяа биш.

Цаг 4. Якчо detA = 0, дараа нь матрицА дуудсан вируст эсвэл ялангуяа.

Цаг 5. Хоёр матрицА іБ дуудсан тэнцүү тэр бичдэг A=B өмхий үнэр нь адилхан байж болох юм шиг, ялгаа, амьдрах чадвартай элементүүд нь тэнцүү,.

Жишээлбэл, матриц ба тэнцүү, учир нь өмхий үнэр нь дэлхийд илүү ойр, нэг матрицын арьсны элемент нь нөгөө матрицын ижил төстэй элементтэй ойр байдаг. i матрицын тэнхлэгийг тэнцүү гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ хоёр матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү, матрицууд нь ижил боловч ижил тэнцүү цэгүүд дээр байрладаг бүх элементүүд биш юм. Матрицууд өөр өөр байдаг тул өөр ертөнц бий болох боломжтой. Эхний матриц нь 2х3, нөгөө нь 3х2 байна. Хэдийгээр элементүүдийн тоо ижил байдаг - 6 ба элементүүд нь ижил байдаг 1, 2, 3, 4, 5, 6, але нь арьсны матрицын ойролцоо өөр өөр газар дээр зогсоход өмхий үнэртдэг. Мөн матрицын тэнхлэг нь урагшлах, zgіdno z vznachennyam 5 юм.

Цаг 6. Матрицын шпратыг хэрхэн засах вэА дөрвөлжин матрицыг бий болгох багана, эгнээний тэмдэглэгээний торлог бүрхэвч дээр байрладаг ижил элементүүд нь түүний эгнээний тоо юм. n- th захиалга, үүний урьдал дуудсан багак- матрицын дараалалА.

өгзөг. Гурван насанд хүрээгүй хүнийг матрицын өөр дарааллаар бич

Энэ сэдвээр тухайн оролтын матрицыг нэмэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх, матрицыг матрицаар үржүүлэх, матрицыг шилжүүлэх зэрэг үйлдлүүдийг авч үзэх болно. Usі znachennya, ts_y талд scho vikoristovuyutsya, урд талын сэдвүүдээс авсан.

Тэр харааны матрицыг нугалж байна.

$A+B$ матрицуудын $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ба $B_(m\times n)=(b_(ij))$ матрицын нийлбэр нь $C_(m\) матриц болно. дахин n) =(c_(ij))$, энд $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ бүх $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1) , n) $.

Өөр өөр матрицуудад ижил төстэй тэмдэглэгээг оруулна уу:

$A-B$ матрицуудын $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ба $B_(m\times n)=(b_(ij))$ матрицын ялгаа нь $C_(m\times n) матриц юм. )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ бүх $i=\overline(1,m)$ болон $j=\overline(1,n) )$.

Нийтлэлийн өмнөх тайлбар $i=\overline(1,m)$: show\hook

"$i=\overline(1,m)$" гэсэн оруулга нь $i$ параметр 1-ээс m болж өөрчлөгдөнө гэсэн үг. Жишээлбэл, $i=\overline(1,5)$ гэсэн тэмдэглэгээ нь $i$ параметр нь 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн утгыг авдаг.

Нэмэх, дасгал хийх үйлдлүүд нь зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудад зориулагдсан гэдгийг анхаарна уу. Vzagali, нэмэх болон vіdnіmannya матрицууд - үйлдлүүд нь зөн совингоор тодорхой, илүү өмхий үнэртэй, үнэндээ энэ нь бага нийлбэр эсвэл илүү тодорхой элементүүд юм.

Өгзөг №1

Гурван матриц өгөгдсөн:

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(массив) \баруун)\;\; B=\left(\begin(массив) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(массив) \баруун); \;\; F=\left(\begin(массив) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(массив) \баруун). $$

Чи $A+F$ матрицыг мэдэж чадах уу? $C$ ба $D$, өөрөөр хэлбэл $C=A+B$, $D=A-B$ матрицуудыг мэдэх.

2 мөр, 3 баганыг шүүрдэхийн тулд $A$ матриц (өөрөөр хэлбэл $A$ матрицын өргөтгөл нь $2\ дахин 3$ байна), $F$ матрицаар 2 мөр, 2 мөрийг шүүрдэнэ. $A$ ба $F$ матрицуудын өргөтгөл нь гадагш гарахгүй тул бид тэдгээрийг нэгтгэж болно. Эдгээр матрицуудын $A+F$ үйлдлийг өгөөгүй.

$A$ ба $B$ матрицуудыг томруулж өгье. матрицын өгөгдөл нь мөр ба stovptsiv-ийн тоотой тэнцүү байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг нэмэх үйл ажиллагаа шаардлагатай болно.

$$ C=A+B=\left(\begin(массив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(массив) \баруун)+ \left(\begin(массив) ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(массив) \баруун)=\\= \left(\begin(массив) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \төгсгөл(массив) \баруун)= \left(\эхлэх(массив) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(массив) \баруун) $$

Бид $D=A-B$ матрицыг мэднэ:

$$ D=A-B=\left(\эхлэх(массив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(массив) \баруун)- \left(\эхлэх(массив)) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \төгсгөл(массив) \баруун)=\\= \left(\эхлэх(массив) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \төгсгөл(массив) \баруун)= \left(\эхлэх(массив) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(массив) \баруун) $$

Видповид: $C=\left(\begin(массив) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(массив) \баруун)$, $D=\left(\begin(массив) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(массив) \баруун)$.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх.

$\alpha$ тооны нэмэлт $A_(m\times n)=(a_(ij))$ матриц нь $B_(m\times n)=(b_(ij))$ матриц бөгөөд энд $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ бүх $i=\overline(1,m)$ болон $j=\overline(1,n)$.

Илүү энгийн мэт санагдах нь матрицыг тоогоор үржүүлэх нь өгөгдсөн матрицын арьсны элементийг бүхэл тоогоор үржүүлэх гэсэн үг юм.

Өгзөг №2

Өгөгдсөн матриц: $ A = \ left (\ begin (массив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(массив) \right)$. $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $ матрицуудыг мэдэх.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(массив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(массив) \баруун) =\left(\begin( массив) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(массив) \баруун)= \left(\begin(массив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \төгсгөл(массив) \баруун).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\эхлэх (массив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \төгсгөл(массив) \баруун) =\зүүн(\эхлэх(массив) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(массив) \баруун)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \төгсгөл(массив)\баруун). $$

$-A$ тэмдэглэгээ нь $-1\cdot A$-ын богино тэмдэглэгээ юм. Тэгэхээр $-A$-г мэдэхийн тулд $A$ матрицын бүх элементүүдийг (-1) үржүүлэх хэрэгтэй. Нэг ёсондоо $A$ матрицын бүх элементүүдийн тэмдэг нь сунгалт болж өөрчлөгдсөн гэсэн үг юм.

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(массив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(массив) \баруун)= \ зүүн(\эхлэх(массив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \төгсгөл(массив) \баруун) $$

Видповид: $3\cdot A=\left(\begin(массив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(массив) \баруун);\; -5\cdot A=\left(\begin(массив) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \төгсгөл(массив) \баруун);\; -A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(массив) \баруун)$.

Добуток хоёр матриц.

Эдгээр үйлдлүүдийн зорилго нь төвөгтэй бөгөөд эхлээд харахад үндэслэлгүй юм. Би танд илүү ноцтой уулзалтыг хэлье, дараа нь энэ нь юу гэсэн үг вэ, үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тайлагнах болно.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ матрицын $B_(n\times k)=(b_(ij))$ матриц дээрх дэд олонлог нь $C_(m\times k) матриц юм. )=(c_( ij))$, арьсны элементийн хувьд $c_(ij)$ i-р элементүүд$B$ матрицын j-р баганын элементүүд дээрх $A$ матрицын мөрүүд: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроковын матрицын үржүүлгийг өгзөгөөс авдаг. Гэхдээ бүх матрицыг үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид $A$ матрицыг $B$ матрицаар үржүүлэхийг хүсвэл $A$ матрицын баганын тоо $B$ матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байхаар ухрах шаардлагатай. ийм матрицуудыг ихэвчлэн нэрлэдэг гуйя). Жишээлбэл, $A_(5\times 4)$ матрицыг (матриц нь 5 мөр, 4 мөртэй) $F_(9\times 8)$ (9 мөр ба 8 мөр) матрицаар үржүүлэх боломжгүй. $A матрицын $ нь $ F $ матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү биш, тэгээд л болоо. $4\nq 9$. Мөн $A_(5\times 4)$ матрицыг $B_(4\times 9)$ матрицаар үржүүлэх боломжтой боловч $A$ матриц дахь баганын тоо тооноос их байна. $B$ матриц дахь мөрүүдийн. Энэ тохиолдолд $A_(5\times 4)$ ба $B_(4\times 9)$ матрицыг үржүүлсний үр дүн нь $C_(5\times 9)$ матриц болох бөгөөд энэ нь 5 мөр, 9-ийг хамарна. багана:

Өгзөг №3

Өгөгдсөн матриц: $ A = \ зүүн ( \ эхлэл (массив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ төгсгөл (массив) \баруун)$ i $ B=\left(\begin(массив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(массив) \баруун ) $. $C = A\cdot B$ матрицыг мэдэх.

$C$ матрицыг өргөтгөхөд хэмжээний дараалал чухал ач холбогдолтой. Хэрэв $A$ матриц нь $3\ үр 4$, $B$ нь $4\ үржүүлэх 2$ бол $C$ матриц нь $3\ үр 2$ болно:

Дараа нь $A$ ба $B$ матрицуудыг нэмсний үр дүнд бид гурван мөр, хоёр баганаас бүрдэх $C$ матрицыг ээлжлэн авна: $ C = \ орхисон ( \ эхлэл (массив)) ( cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \төгсгөл(массив) \баруун)$. Элементүүдийн утгын хувьд та урд талын сэдвийг харж болно: "Матриц. Матрицыг үзнэ үү. Үндсэн нэр томъёо", коб дээр матрицын элементүүдийн утгыг тайлбарласан болно. Бидний мета бол $C $ матрицын бүх элементүүдийн утгыг мэдэх явдал юм.

$c_(11)$ элементийг харцгаая. $c_(11)$ элементийг авахын тулд $A$ матрицын эхний эгнээ ба $B$ матрицын эхний баганын элементүүдийн бүтээлийн нийлбэрийг мэдэх шаардлагатай.

$c_(11)$ элементийг мэдэхийн тулд $A$ матрицын эхний эгнээний элементүүдийг $B$ матрицын эхний баганын хоёр дахь элементүүдээр үржүүлэх шаардлагатай. эхний элемент нь эхний, нөгөө нь нөгөө, гурав дахь нь гурав дахь, дөрөв дэх нь дөрөв дэх нь. Үр дүнг цуцлах төлөвтэй байна:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Бид шийдлийг үргэлжлүүлж, бид $c_(12)$-г мэднэ. Үүний тулд та $A$ матрицын эхний эгнээ болон $B$ матрицын нөгөө эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ.

Урд талынхтай төстэй, магадгүй:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

$C$ матрицын эхний эгнээний бүх элементүүд олддог. $c_(21)$ элементийг эхлүүлдэг өөр эгнээ рүү шилжье. Үүнийг мэдэхийн тулд $A$ матрицын өөр мөр болон $B$ матрицын эхний баганын элементүүдийг үржүүлнэ.

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

$c_(22)$ урагшлах элемент нь $A$ матрицын өөр эгнээний элементүүдийг $B$ матрицын өөр эгнээний хоёр дахь эгнээний элементүүдээр үржүүлэх замаар мэдэгддэг.

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$-г мэдэхийн тулд $A$ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүдийг $B$ матрицын эхний баганын элементүүдээр үржүүлнэ.

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Нэгдүгээрт, $c_(32)$ элементийн утгыг $A$ матрицын гуравдугаар эгнээний элементүүдээр $B$ матрицын өөр баганын бусад элементүүдээр үржүүлэх шаардлагатай.

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

$C$ матрицын бүх элементүүд олдсон тул $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end() гэж бичихэд хангалтгүй. массив) \right)$ . Або, би дахин илүү ихийг бичих болно:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(массив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(массив) \баруун)\cdot \left(\begin(массив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(массив) \баруун) =\left(\begin(массив) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(массив) \баруун). $$

Видповид: $C=\left(\begin(массив) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(массив) \баруун)$.

Үг хэлэхээс өмнө арьсны элементийн ач холбогдлыг матрицын үр дүнд мэдээлэх нь ихэвчлэн утгагүй байдаг. Тоо нь бага матрицуудын хувьд та дараах байдлаар олж болно.

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(массив) \баруун) =\зүүн(\эхлэх(массив) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \төгсгөл(массив) \баруун) =\зүүн (\эхлэх(массив) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \төгсгөл(массив) \баруун) $$

Матрицыг үржүүлэх нь солигддоггүй гэдгийг анхаарна уу. Цэ гэдэг нь зэрлэг вападка $A\cdot B\neq B\cdot A$ гэсэн үг. Зөвхөн тодорхой төрлийн матрицыг хэрхэн нэрлэх солих(бусад ажилдаа явах), тэнцүү $A cdot B = B cdot A $. Үржүүлэхийн маш солигддоггүй байдал нь тэр хи болон өөр матрицыг үржүүлэх замаар бид хэрхэн үрждэгийг харуулах шаардлагатай: баруун талд, чи муу юм. Жишээлбэл, "$3E-F=Y$ паритетийн зөрчилтэй хэсгийг $A$ баруун гартай" матрицаар үржүүлэх нь дараах паритетыг авах шаардлагатай гэсэн үг юм: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

Элементүүдийн хувьд $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ матриц нь $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Илүү энгийн мэт санагдахад $A^T$ шилжүүлсэн матрицыг авахын тулд гаднах матриц $A$-д дараах зарчмын дагуу баганыг давхар эгнээгээр солих шаардлагатай: эхний мөр - эхний эгнээ болно; өөр эгнээ - өөр эгнээ зогсох; гурав дахь эгнээ байх - гурав дахь алхам болох гэх мэт. Жишээлбэл, бид $A_(3\times 5)$ матриц руу шилжүүлсэн матрицыг мэднэ:

Гаралтын матриц нь $3\ дахин 5$-аар бага байх тул шилжүүлсэн матриц нь $5\ дахин 3$ байх нь ойлгомжтой.

Матриц дээрх үйлдлүүдийн бодит шинж чанар.

Энд $ alpha $, $ beta $ нь аравтын тоо, $ A $, $ B $, $ C $ нь матрицууд гэдгийг харуулж байна. Анхны Чотирионы эрх баригчдын хувьд нэрийг нь зааж өгсний дараа рештаг анхны чотирматай зүйрлэж нэрлэж болно.

Энэ нийтлэлд бид ижил эрэмбийн матрицууд дээр нэмэх үйлдлийг хэрхэн гүйцэтгэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх, матрицыг ижил дарааллаар үржүүлэх үйлдлийг аксиомат байдлаар сонгож болно. үйлдлүүд, мөн матрицууд дээрх үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэлийг хэлэлцэнэ. Онолтой зэрэгцэн бид матрицууд дээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг хэрэглээний тайлангийн шийдлүүдийг удирдан чиглүүлж байна.

Доор хэлсэн бүх зүйлийг є dіysnі (эсвэл комплекс) тоо гэх мэт элементүүдээр матриц руу буулгасан нь маш их хүндэтгэлтэй байдаг.

Хажуу талд навигаци.

Хоёр матрицыг нугалах үйлдэл.

Хоёр матрицыг нугалах зориулалтын ажиллагаа.

Нэмэх ажиллагааг ЗӨВХӨН НЭГ ЗАХИАЛГЫН МАтрицуудад зориулав. Өөрөөр хэлбэл, янз бүрийн хэмжээст матрицын нийлбэрийг мэдэх боломжгүй бөгөөд хувилбарын хэмжээст матрицын нугалах тухай ярих боломжгүй юм. Тиймээс та матриц ба тооны нийлбэр эсвэл матриц болон бусад элементийн нийлбэрийн талаар ярьж болохгүй.

Уулзалт.

Хоёр матрицын нийлбэр i - матриц, түүний элементүүд нь A ба B матрицуудын харгалзах элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, tobto.

Ийнхүү хоёр матрицыг нугалах үйлдлийн үр дүн нь ижил дарааллын матриц юм.

Эвхэх матрицын үйл ажиллагааны хүч.

Эвхэх матрицын ажиллагаа ямар хүч чадалтай вэ? Гинжин дээр өгөгдсөн дарааллын хоёр матрицын нийлбэрээс хамаарч, бодит (або комплекс) тоог нугалах үйлдлийн хүчийг таахад хялбар байдаг.

1. Ижил эрэмбийн A, B, C матрицуудын хувьд ассоциацийн хүч нь A + (B + C) = (A + B) + C-ийг нэмэх шинж чанартай байдаг.
2. Нэгдүгээр эрэмбийн матрицын хувьд нэмсэний дараа саармаг элемент байдаг бөгөөд энэ нь тэг матриц юм. Тэгэхээр A+O=A-ийн хүч нь зүгээр юм.
3. Өгөгдсөн эрэмбийн тэг биш А матрицын хувьд нийлбэртэй (-А) матриц нь тэг матриц болно: A + (-A) = O .
4. Энэ эрэмбийн A i матрицуудын хувьд A + B = B + A нугалах шилжих чадвар нь үнэн юм.

Хожим нь өгөгдсөн эрэмбийн хувийн бус матрицууд нь нэмэлт Абел бүлгийг (Эвхэх алгебрийн үйлдэлтэй адил Абелийн бүлэг) үүсгэдэг.

Матриц нэмэх - хэрэглээний шийдэл.

Эвхэгдсэн матрицын жишээг харцгаая.

өгзөг.

i матрицуудын нийлбэрийг ол .

Шийдэл.

А ба В матрицуудын дарааллыг 4-өөр 2-оор нэмэгдүүлж, үр дүнд нь i матрицыг нэмэх үйлдлийг хийж, 4-р дарааллын матрицыг 2-оор авна. Хоёр матрицыг нугалах ажиллагааг зохион бүтээх шаардлагатай бөгөөд илүү олон элементийг элементээр нэмж оруулав.

өгзөг.

Хоёр матрицын нийлбэрийг ол і элементүүд нь комплекс тоо юм.

Шийдэл.

Oskіlki матрицын захиалга тэнцүү байна, бид dodavannya vikonat болно.

өгзөг.

Vikoite гурван матрицыг dodavannya .

Шийдэл.

Бид A z B матрицыг давхарлаж, дараа нь бид матрицыг устгана, dodamo Z:

Тэг матрицыг хас.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх тусгай үйлдэл.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг АЛЬ Ч ЭРХЭМ ЭРХЭМ МАтрицад зориулагдана.

Уулзалт.

Матриц болон аравтын (эсвэл комплекс) тоог нэмэх- бүхэл матриц, түүний элементүүд нь гаралтын матрицын харгалзах элементүүдээр тоогоор үржүүлсэн мэт харагддаг, өөрөөр хэлбэл .

Энэ дарааллаар матрицыг є тоогоор үржүүлсний үр дүн нь ижил эрэмбийн матриц болно.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийн хүч.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийн хүчнээс үзэхэд тэг матрицыг тэг тоогоор үржүүлэх нь тэг матрицыг өгөх боломжтой бөгөөд нэмэлт тоо болон тэг матрицыг нэмэх нь тэг матриц болно.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх - тэр шүлгийг хэрэглээрэй.

Матрицыг өгзөг дээрх тоогоор үржүүлэх үйлдлийг авч үзье.

өгзөг.

Нэмэлт 2 дугаар ба матрицыг ол .

Шийдэл.

Матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд элементийг бүхэл тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.

өгзөг.

Матрицыг тоогоор үржүүлэхийг ол.

Шийдэл.

Бид өгөгдсөн матрицын арьсны элементийг бүхэл тоогоор үржүүлнэ.

Хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдэл.

Хоёр матрицыг үржүүлэх тусгай үйлдэл.

А матрицын баганын тоо нь В матрицын мөрийн тоотой тэнцүү байвал А ба В хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдэл нь зөвхөн намрын үед л хэрэгжинэ.

Уулзалт.

А матрицыг матрицын дарааллаар дахин ачаална- 3-р эрэмбийн ийм матриц бол арьсны элемент нь В матрицын j-р баганын ижил төстэй элементүүд дээрх матрицын i-р эгнээний элементүүдийн хамгийн үнэ цэнэтэй нийлбэр бөгөөд дараа нь,

Тиймээс матрицыг дарааллаар нь матрицаар үржүүлэх үйл ажиллагааны үр дүн нь дарааллын матриц юм.

Матрицыг матрицаар хуулбарлах - хэрэглээний шийдэл.

Тулгаа дээрх матрицын үржүүлэлтийг авч үзье, үүний дараа бид матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хүчийг эргүүлэх рүү шилжих болно.

өгзөг.

С матрицын бүх элементүүдийг олох, матрицыг хэрхэн үржүүлэх талаар і .

Шийдэл.

А матрицын дарааллыг p = 3-аар n = 2-оор, матрицын дарааллыг n = 2-оор q = 4-ээр нэмэгдүүлж, матрицын дарааллыг p = 3-аар q = 4 болгоно. . Томъёогоор хурдасгаж байна

Тууштай байдлаар бид 1-ээс 3-т i-ийн утгыг (масштаб p=3) 1-ээс 4-т j арьсны хувьд (хэмжээ q=4), манай тохиолдолд n=2 гэсэн утгыг авна.

Тиймээс Z матрицын бүх элементүүд ба матрицыг тооцоолоход өгөгдсөн хоёр матрицыг үржүүлэхэд харагдах болно. .

өгзөг.

Үржүүлэгчийн матрицыг дижитал болгох .

Шийдэл.

Гаднах матрицуудын дараалал нь үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Үүний үр дүнд бид 2-оос 3 хүртэлх дарааллын матрицыг авч болно.

өгзөг.

Матриц өгөгдсөн . Нэмэлт A ба B матрицууд, түүнчлэн B ба A матрицуудыг ол.

Шийдэл.

Хэрэв матрицын дараалал 3-аас 1, матриц нь 1-ээс 3 бол A⋅B нь 3-аас 3-ын дараалал, нэмэлт В ба А матриц нь 1-ээс 1-ийн дараалал юм.

Сарлаг бахит, . Энэ нь матрицыг үржүүлэх үйл ажиллагааны нэг хүч юм.

Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хүч.

Хэрэв A, B, C матрицууд ижил дарааллаар байвал дараахь зүйл үнэн болно матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хүч.

Дараах утга нь өөр өөр эрэмбийн хувьд тэг матрицыг А матрицад нэмэхэд тэг матрицыг өгдөг. Добуток А нь мөн тэг матрицыг өгдөг тул магнитудын дараалал нь матрицыг үржүүлэх үйлдлийг зөвшөөрдөг.

Дунд квадрат матрицуудыг ингэж нэрлэдэг орлуулах матрицууд, Үржүүлэх үйлдэл нь солигддог тул . Оролцох матрицын өгзөг нь ижил эрэмбийн өөр матриц ч бай, хос дан матриц тул энэ нь шударга юм.

Матриц дээрх үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэл.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх, матрицыг матрицаар үржүүлэх үйлдлүүд ижил ач холбогдолтой. Үйлдлийн яг тэр цагт тэргүүлэх ач холбогдол өндөр, доод ажиллагаа нь хоёр матрицыг нугалах явдал юм. Энэ дарааллаар матрицын үржвэрийг тухайн матрицын үржүүлгийн тоогоор тоолж, дараа нь матрицыг нэмж хийнэ. Гэхдээ матриц дээрх үйлдлийн дарааллыг нэмэлт нумын хувьд тодорхой зааж өгч болно.

Мөн матриц дээрх үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэл нь бодит тоог нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэлтэй төстэй юм.

өгзөг.

Матриц өгөгдсөн . dії-д хуваарилагдсан өгөгдсөн матрицуудаас олж мэд .

Шийдэл.

Бид А матрицыг В матрицаар үржүүлж эхэлнэ.

Одоо бид өөр E дарааллын нэг матрицыг хоёроор үржүүлнэ.

Бид хоёр хасагдсан матрицыг нэмнэ:

Устгасан матрицыг А матрицаар үржүүлэх үйлдэл алдагдсан.

А ба В зэрэгтэй ижил матрицуудыг харах үйлдлүүд шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Хоёр матрицын ялгаа нь үндсэндээ А матриц ба матрицуудын нийлбэрийг урд талд нь хасах нэгээр үржүүлсэн байна: .

Байгалийн ертөнцөд дөрвөлжин матриц барих үйл ажиллагаа нь өөрөө бие даасан биш, харин матрицын дараалсан үржүүлгийн хэлтэрхий юм.

Цүнх авчирцгаая.

Хувь хүний ​​бус матрицуудад гурван үйлдлийг гүйцэтгэдэг: ижил эрэмбийн матрицуудыг нэмэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх, ижил эрэмбийн матрицуудыг үржүүлэх. Өгөгдсөн эрэмбийн хувийн бус матрицууд дээр нэмэх үйлдэл нь Абелийн бүлгийг үүсгэдэг.