Өөр нэг нь экстремумын суурийн хангалттай шинж тэмдэг юм. Интервал, экстремум дээрх функцүүдийн өсөлт, өөрчлөлт. Хэт туйлширсан шинж тэмдэг хангалттай

Функцийн экстремум цэг нь функцийн утгыг хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгаар тохируулсан функцийн тэмдэглэгээний талбайн цэг юм. Эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг функцийн экстремум (хамгийн бага ба хамгийн их) гэж нэрлэдэг.

Уулзалт. Крапка x1 хуваарилагдсан чиг үүргийн хэсгүүд е(x) гэж нэрлэдэг хамгийн их функцийн цэг Хэдийгээр энэ цэг дэх функцийн утга нь ойролцоох цэгүүд дэх функцын утгаас их байсан ч баруун болон зүүн гараараа тархсан (тэгш бус байдлаас зайлсхийхийн тулд) е(x0 ) > е(x 0 + Δ x) x1 дээд тал нь.

Уулзалт. Крапка x2 хуваарилагдсан чиг үүргийн хэсгүүд е(x) гэж нэрлэдэг функцийн хамгийн бага цэгХэдийгээр энэ цэг дэх функцын утга нь ойролцоох цэгүүдийн функцийн утгаас бага боловч баруун гарт, ууртай (тийм ч учраас тэгш бус байдал) е(x0 ) < е(x 0 + Δ x) ). Энэ функц нь цэг дээр байж болох юм шиг хүн бүрт санагддаг x2 хамгийн бага.

Цэглэцгээе x1 - хамгийн их функцийн цэг е(x). хүртэлх зайд Todi x1 функц нэмэгддэгЭнэ нь тэгээс их функцтэй төстэй ( е "(x) > 0 ) болон дараах интервалд x1 функц өөрчлөгддөг, одоо, ба ижил төстэй функцуудтэгээс бага ( е "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Энэ нь бас боломжтой юм x2 - функцийн хамгийн бага хэсгийг заана е(x). хүртэлх зайд Todi x2 функц өөрчлөгдөж, ижил төстэй функц нь тэгээс бага байна ( е "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функц өсөх ба ижил төстэй функц нь тэгээс их байна ( е "(x) > 0). Хэний оюун ухаан ижилхэн байна x2 Pokhіdna функцүүд нь тэгтэй тэнцүү эсвэл үгүй.

Фермагийн теорем. Яасан юм бэ x0 - функцийн туйлын цэг е(x), тэгвэл n-р цэгт функц нь тэгтэй төстэй байна ( е "(x) = 0) эсвэл үгүй.

Уулзалт. Тэгтэй тэнцүү эсвэл үгүй ​​ижил төстэй функцтэй цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүд .

жишээ 1.Функцийг харцгаая.

Яг цэг дээр x= 0 x= 0 бол чухал цэг юм. Гэсэн хэдий ч, функцийн графикаас харахад томилолтын талбай бүхэлдээ нэмэгдэж байгаа нь гол зүйл юм. x= 0 нь функцийн экстремум биш юм.

Ийм маягаар функцийг тэгт хүрэхүйц зохистой, эсвэл шаардлагагүй, эсхүл хэт туйлшралын шаардлагатай оюун ухаан, эсвэл хангалттай биш, та функцүүдийн хэлтэрхий болон бусад хэрэглээг зааж өгч болно гэж бодоорой. Тэдэнд оюун ухаан нь залилан байж болно, эс бөгөөс экстремумын үйл ажиллагаа. Том эхэд хангалттай шинж тэмдэг хэрэгтэй, энэ нь танд дүгнэлт хийх боломжийг олгодог, чи є нь экстремумын тодорхой чухал цэгт болон yaky өөрөө - хамгийн их чи минимум.

Теорем (эхнийх нь функцийн экстремумын суурийн хангалттай тэмдэг).чухал цэг x0 е(x) ингэснээр энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц нь тэмдгийг өөрчилдөг бөгөөд хэрэв тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл хамгийн их цэг, хэрэв "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгдвөл хамгийн бага цэг.

Гол нь хэр ойрхон байна x0 , зүүн ба баруун гартай, хэрэв энэ нь тэмдэг авсан бол функц нь өөрчлөгддөг, эсвэл зөвхөн цэгийн ойролцоо ургадаг гэсэн үг юм. x0 . Ямар чиглэлд x0 экстремум байхгүй.

Отже, шаардлагатай бол функцийн экстремумд оноо өгөх :

1. Тохиромжтой функцийг ол.
2. Тэгтэй тэнцүү болгож, чухал цэгүүдийг онооно.
3. Бодлын хи цааснууд нь тоон тэнхлэгийн чухал цэгүүдийг тэмдэглэж, интервалыг хасах ижил төстэй функцийн тэмдгүүдийг тэмдэглэдэг. Хэрэв тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл эгзэгтэй цэг нь хамгийн их цэг, хэрэв "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгдвөл хамгийн бага цэг болно.
4. Функцийн утгыг экстремум цэгүүдэд тооцоол.

өгзөг 2.Экстремум функцуудыг мэддэг .

Шийдэл. Бид дараах функцуудыг мэддэг.

Чухал цэгүүдийг мэдэхийн тулд энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

.

Тэгэхээр, хэрэв "ix"-ийн аль нэг утгын хувьд баннер тэгтэй тэнцүү биш бол тоо нь тэгтэй тэнцүү байна:

Нэг чухал цэгийг хас x= 3. Эсрэг талын тэмдэг нь цэгээр тусгаарлагдсан интервалд чухал ач холбогдолтой.

3 хүртэлх хасах зөрүүний интервалд - хасах тэмдэг, ингэснээр функц өөрчлөгдөнө.

3-аас нэмэх зөрүүтэй хооронд - нэмэх тэмдэг, ингэснээр функц өсөх болно.

Тобто, цэг x= 3 - хамгийн бага оноо.

Бид функцийн утгыг хамгийн бага цэг дээр мэддэг.

Энэ дарааллаар функцийн экстремум цэг олддог: (3; 0), үүнээс гадна энэ нь хамгийн бага цэг юм.

Теорем (нөгөө нь функцийн экстремумын суурийн хангалттай тэмдэг).чухал цэг x0 є функцийн экстремум цэг е(x); е ""(x) ≠ 0); е ""(x) > 0 ), тэгвэл цэг нь хамгийн их, харин эсрэгээрээ тэгээс бага ( е ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Тайлбар 1. Энэ цэг дээр юу байна x0 тэг болон эхнийх нь эргэж, нөгөө нь үхсэн бол энэ үед экстремумын илрэлийг өөр хангалттай шинж тэмдгийн үндсэн дээр шүүх боломжгүй юм. Функцийн туйлын эхний хангалттай шинж тэмдгээр энэ төрлийн сэтгэлийн хөдөлгөөнийг түргэсгэх шаардлагатай.

Хүндэтгэл 2. Функцийн экстремумын өөр нэг хангалттай тэмдэг нь хангалтгүй бөгөөд эхнийх нь хөдөлгөөнгүй цэг дээр сайн биш байсан ч (өөр арга байхгүй). Энэ төрлийн хандлагыг үйл ажиллагааны туйлын эхний хангалттай шинж тэмдгээр түргэсгэх шаардлагатай.

Функцийн экстремумуудын орон нутгийн шинж чанар

Функцийн экстремум нь орон нутгийн шинж чанартай байж болох нь ойлгомжтой - функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгын утга нь хамгийн ойрын утгатай тэнцүү байна.

Нэг өдөр хурим хийх үедээ олсон орлогоо харлаа гэж бодъё. Хэрэв та өвснөөс 45,000 рубль, улирлаас 42,000 рубль, улаанаас 39,000 рубль олсон бол өвсний орлого нь хамгийн ойрын утгуудын хувьд орлогын функцийн дээд хэмжээ юм. Але шараас 71,000 рубль, хаврын улиралд 75,000 рубль, навч унахаас 74,000 рубль олсон тул ижил орлого - хамгийн бага орлогын функц нь хамгийн ойрын утгатай тэнцүү байна. Хавар-өвс-интоорын хамгийн их дундаж утга нь хавар-zhovtnya-навчны уналтын хамгийн бага хэмжээнээс бага байхын тулд та амархан бачит хийж болно.

Загалнено ярих нь завсрын хугацаанд функц нь туйлын шүрших эх байж болох юм, үүнээс гадна функцын доод хэмжээ нь дээд хэмжээнээс их байгаа мэт харагдаж болно. Тиймээс, бага зэрэг илүү дүрсэлсэн функцийн хувьд .

Тиймээс функцын хамгийн их ба хамгийн бага утгууд нь харагдахуйц бүх хэсгүүдийн хамгийн том, хамгийн бага утгатай гэж бодох шаардлагагүй юм. Хамгийн дээд цэгт функц нь эдгээр утгуудын хязгаарт хамгийн бага утгатай, хэрэв бүх цэгүүдэд хамгийн ихдээ ойрхон цэгт хүрэх боломжтой бол хамгийн бага цэгт - хамгийн бага утгатай байна. хамгийн бага цэг хүртэлх цэгүүдийн ойролцоо байвал эдгээр утгуудын хүрээ.

Тиймээс функцийн экстремумын цэгийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг тодруулж, хамгийн бага цэгүүдийг орон нутгийн минимумын цэгүүд, хамгийн их цэгүүдийг орон нутгийн максимумын цэгүүд гэж нэрлэж болно.

Shukaemo extreme функцүүд нэг дор

жишээ 3.

Шийдэл. Функц нь бүхэл тооны мөрөнд тасалдалгүйгээр хуваарилагдсан. Її pokhіdna іsnuє мөн бүхэл тооны мөрөнд. Том орлоо энэ тодорхой төрөлдчухал цэгүүд є бага ti, сарлагийн хувьд, тобто. , үүнийг од . Чухал цэгүүд ба томилогдсон функцийн талбайг бүхэлд нь монотон байдлын гурван интервалд хуваана: . Виберемо нь тэдний арьсанд нэг хяналтын цэгээр дамждаг бөгөөд бид дараагийнх нь тэмдгийг хоёр дахь цэг дээр мэддэг.

Интервалын хувьд хяналтын цэг нь дараах байж болно: мэдэгдэж байна. Интервал дахь цэгийг авч, бид хасаж, интервал дахь цэгийг авч болно. Мөн интервалаар i , интервалаар . Экстремумын эхний хангалттай тэмдэгтэй Zgіdno, цэг дээр экстремум байхгүй (хэсэг нь интервал дахь тэмдгийг авах магадлал өндөр), цэгүүдэд функц нь хамгийн бага байж болно (дараагийн дундуур өнгөрөхөд хэлтэрхий бага байдаг). цэг, тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх). Бид функцийн холбогдох утгуудыг мэднэ: , a . Интервалд функц өөрчлөгддөг, энэ интервал дахь өргөлтүүд, интервалууд нь нэмэгддэг, тэр интервалд өргөлтүүд нэмэгддэг.

Ирээдүйн графикийг тодруулахын тулд бид координатын тэнхлэгүүдтэй йогийн шугамын цэгүүдийг мэддэг. Бид тэнцүү гэж авбал язгуур нь i, дараа нь функцийн графикийн хоёр цэг (0; 0) ба (4; 0) олдоно. Vikoristovuyuchi бүх otrimani vіdomosti, budєmo хуваарь (див. Тулгаа дээр).

Rozrachunkah ашиглан өөрийгөө баталгаажуулахын тулд та хурдасгаж болно ижил төстэй онлайн тооцоолуур .

өгзөг 4.Функцийн экстремумуудыг мэдэж, хуваарийг бий болго.

Функцийн хамрах хүрээ нь цэгээс бусад бүхэл тооны шулуун байна, tobto. .

Хурдан дагаж мөрдөхийн тулд та уурын өрөө, хэлтэрхий функцийг хурдасгаж болно . Тиймээс хуваарь нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өөтэр дагалт нь зөвхөн интервалд ашиглагдах боломжтой.

Намайг явахыг бид мэднэ функцийн чухал цэгүүд:

1) ;

2) ,

Гэхдээ хэрэв функц энэ цэгийн ялгааг мэддэг бол энэ нь экстремум цэг байж чадахгүй.

ийм байдлаар, функц тохируулагдсан байначухал хоёр цэг байна: i . Vrahovoyuchi функц хосолсон, экстремумын өөр нэг хангалттай шинж тэмдэг нь perevirim нь зөвхөн цэг юм. Бидний мэддэг найзын төлөө би үхэх болно і чухал її тэмдэг нь: otrimaєmo. i , тэгвэл є функцийн хамгийн бага цэг, аль үед .

Функцийн хуваарийн талаар нэмэлт мэдээлэл оруулахын тулд тогтоосон бүсийн хил дээрх зан үйлийг дагаж мөрдөх шаардлагатай.

(энд тэмдэг нь дасгалыг харуулж байна xбаруун гараараа тэг хүртэл, үүнээс гадна xэерэгээр дүүрэн байх; адил дасгал гэсэн үг xтэглэх ууртай, үүнээс гадна xсөрөг зүйлд дарагдах). Ийм зэрэглэлд, якчо, тэгвэл. Дали, бид мэднэ

,

tobto. ингэж.

График функцийн тэнхлэгүүдтэй таслах цэг байж болохгүй. Бяцхан нь - өгзөг дээр.

Rozrachunkah ашиглан өөрийгөө баталгаажуулахын тулд та хурдасгаж болно ижил төстэй онлайн тооцоолуур .

Prodovzhuєmo shukati туйлын чиг үүргийг нэг дор

Жишээ 8.Экстремум функцуудыг мэддэг.

Шийдэл. Бид томилогдсон функцийн хамрах хүрээг мэддэг. Тиймээс хэрэв сандрал нь ялж чадвал бид хэт автсан гэсэн үг.

Эхний pokhіdnu функцуудыг мэдэцгээе.

duje чухал мэдээлэлүйл ажиллагааны зан үйлийн тухай, өсөлт, задралын үеийг бий болгох. Їхнє perebuvannya є үйл явцын нэг хэсэг дагаж мөрдөх функцууд болон шуурхай графикууд. Тэр болтол өсөлтөөс бууралт эсвэл өөрчлөлтөөс өсөлт рүү шилждэг экстремум цэгүүдэд онцгой хүндэтгэлтэй ханддаг. функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгын утгаодоогийн интервал дээр.

Энэ өгүүлэлд тухайн функцийн өөрчлөлтийн интервал дахь өсөлтийн хангалттай шинж тэмдэг, экстремумын хангалттай шалтгааныг тодорхойлох, томъёолох шаардлагатай байгаа тул бид энэ даалгаврыг хэрэгжүүлснээр онолыг бүхэлд нь төгс төгөлдөр болгох болно.

Хажуу талд навигаци.

Интервал дээрх функцийн өсөлт ба өөрчлөлт.

Тодорхойлсон өсөлтийн функц.

y=f(x) функц нь X интервал дээр, түүнчлэн ямар ч i-д ургадаг nerіvnіst vykonuetsya. Үгүй бол аргументийн илүү их утга нь функцийн утгаас их байх шиг байна.

Зориулалтын задралын функц.

y=f(x) функц нь ямар ч i-ийн адил X интервалаар өөрчлөгдөнө nerіvnіst . Үгүй бол аргументийн илүү их утгыг функцийн бага утгаар өгдөг бололтой.

ТАЙЛБАР: Функц нь өсөлт, задралын интервалд (a; b) тасалдалгүйгээр томилогдсон тул x = a і x = b үед өсөлт, задралын интервалд qi цэгүүдийг оруулна. X интервалын өсөлт ба ялзралын функцийн зорилгыг бүү хэтрүүл.

Жишээлбэл, үндсэн үндсэн функцүүдийн хүчнээс бид y=sinx нь аргументийн бүх үр дүнтэй утгуудаар тодорхойлогддог бөгөөд тасалддаггүй гэдгийг мэддэг. Тиймээс интервал дээрх синусын функцийн өсөлтөөс бид интервал дээрх синусын функцийн өсөлтийг баталж чадна.

Крапки экстремум, экстремум функцууд.

Цэгийг нэрлэ хамгийн дээд цэг y=f(x) функцууд тул хөршийн бүх x нь шударга байна. Хамгийн дээд цэгт байгаа функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээби хэлж байна.

Цэгийг нэрлэ хамгийн бага цэг y=f(x) функцууд тул хөршийн бүх x нь шударга байна. Минимумын цэг дэх функцийн утгыг дуудна хамгийн бага функцби хэлж байна.

Цэгийн захын дор интервалыг ойлго , де - Жижиг эерэг тоог дуусга.

Хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд, мөн экстремум цэгүүдэд тохирох функцийн утгыг дуудна функциональ экстремум.

Хэт их функцийг хамгийн том функцтэй андуурч болохгүй хамгийн бага утгафункцууд.

Эхний жижиг дээр дээд талд байгаа функцын хамгийн их утга нь функцын хамгийн их цэг ба дараагийн максимум дээр, нөгөө жижиг дээр функцийн хамгийн их утга нь x = цэг дээр хүрдэг. b, гэхдээ хамгийн дээд цэг дээр биш.

Энэ өөрчлөгдсөн функцийн өсөлтийг ойлгоход хангалттай.

Өөрчлөгдсөн функцийн өсөлтийн хангалттай оюун ухаан (шинж тэмдэг) дээр үндэслэн тэр өөрчлөгдсөн функцийн өсөлтийн цоорхой байдаг.

Томъёоны тэнхлэг нь интервал дээрх функцийн өсөлт, өөрчлөлтийн шинж тэмдэг юм.

• хэрэв ижил төстэй y=f(x) функц нь X интервал дээрх дурын х-д эерэг байвал функц X дээр өснө;
• Хэрэв x нь X интервал дотор байгаа эсэхээс үл хамааран y=f(x) нь сөрөг байвал функц X болж өөрчлөгдөнө.

Энэ дарааллаар өсөлтийн өсөлт, үйл ажиллагааны өөрчлөлтийг илэрхийлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Алгоритмыг тайлбарлахын тулд интервенцийн өсөлт, функцийг өөрчлөх тухай мэдлэгийн жишээг авч үзье.

өгзөг.

Өсөлт, үйл ажиллагааны өөрчлөлтийн зөрүүг мэдэх.

Шийдэл.

Эхний газар тариалан дээр энэ нь зайлшгүй шаардлагатай функцийн хамрах хүрээг мэдэх. Виразын өгзөг дээр, баннерман дээр энэ нь тэг болж, дараа нь эргэж болно.

Бид танил функц руу шилжье:

томилох талбар дээр хангалттай тэмдэг vyrishuєmo nerіvієmі і нь zmenshennya funktії гэж promіzhkіv zrostannya зорилгоор. Интервалын аргыг хурдан ашиглах хэрэгтэй. Өдрийн тэмдэглэлийн нэг үндэс нь є x = 2 бөгөөд x = 0 үед znamennik тэг болж хувирдаг. ЦИ цэгүүд нь тогтоосон интервалын талбайг хуваадаг бөгөөд бусад функцүүдийн хувьд тэд тэмдгийг авдаг. Тооны шугаман дээр мэдэгдэхүйц Ци оноо. Давуу болон сул талууд нь оюун санааны хувьд чухал интервалууд бөгөөд эерэг ба сөрөг байдаг. Доод талд байгаа сумнууд нь өгөгдсөн интервал дахь функцийн өсөлт эсвэл өөрчлөлтийг бүдүүвчээр харуулдаг.

ийм байдлаар, і .

Яг цэг дээр x=2 функц өгөгдсөн бөгөөд тасалдалгүй, үүнд її өсөлтийн интервал болон задралын интервалд нэмэгдэх ёстой. x=0 цэгт функц хуваарилагдаагүй тул энэ цэгийг шоолж байгаа интервалд оруулаагүй болно.

Бид үүнээс үр дүнг гаргахын тулд функцийн графикийг зурдаг.

Зөвлөмж:

Функц нь цагт өсдөг , интервал дээр өөрчлөгдөх (0; 2] .

Хангалттай оюун ухаан нь үйл ажиллагааны туйл.

Функцийн хамгийн дээд ба доод хэмжээг мэдэхийн тулд функц нь таны сэтгэлд нийцдэг тул гурвын аль нэг нь экстремумын шинж тэмдэг мөн эсэхийг шалгаж болно. Хамгийн өргөн бөгөөд хамгийн тохиромжтой нь тэдний эхнийх нь юм.

Перша нь Умовын экстремумд хангалттай.

y=f(x) функцийг цэгийн ойролцоо ялгах боловч цэгийн өөрөө тасалдалгүй.

Өөрөөр хэлбэл:

Функцийн экстремумын эхний тэмдгийн дараах экстремум хүртэлх цэгийг олох алгоритм.

• Бид томилогдсон функцийн хамрах хүрээг мэддэг.
• Бид томилогдсон хэсгийн чиг үүргийг мэддэг.
• Дугаарын утсанд мэдэгдэхүйц тэг, заасан хэсгийн харгалзах цэгийн хошууны тэг, дотор нь байхгүй болзошгүй туйлын цэгүүд, qi цэгүүдээр дамжин өнгөрч, таны тэмдгийг өөрчлөх боломжтой).
• Ци цэгүүд нь promyzhki-ийн үйл ажиллагаанд зориулагдсан талбайг хувааж, зарим хүмүүсийн хувьд тэмдгийг авах нь дээр. Бид ижил төстэй арьсны интервалын шинж тэмдгийг харж болно (жишээлбэл, сайн авсан интервалын аль ч цэгт ижил төстэй функцын утгыг тооцоолох).
• Бид функц нь тасалддаггүй цэгүүдийг сонгож, сарлагийн дундуур өнгөрөхөд энэ нь шинж тэмдгийг өөрчилдөг - өмхий экстремум цэгүүд.

Хэтэрхий баян үгс, илүү сайхан харагдав kіlka эхний тусламжийн функцийн экстремум болон экстремумуудад чухал цэгүүдийг ашигласан. ухаан хангалттайфункцийн экстремум.

өгзөг.

Экстремум функцуудыг мэддэг.

Шийдэл.

Функцийн талбар нь бүгд хувийн шинж чанартай байдаг өдрийн тоо, Крим x = 2.

Би явахыг бид мэднэ:

Тоолуурын ө цэгүүдийн тэг нь x = -1 і x = 5 znamennik x = 2 үед тэг болж хувирдаг. Тоон тэнхлэг дээрх цэгүүдийн мэдэгдэхүйц тоо

Арьсны ижил төстэй интервалын шинж тэмдгүүд харагдаж байгаа бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар ижил төстэй арьсны интервалын утгыг тооцоолно, жишээлбэл, x=-2, x=0, x=3, x=6 цэгүүд.

Мөн интервал дээр эерэг байна (цим интервал дээрх жижиг дээр нэмэх тэмдэг тавьдаг). Үүнтэй адил

Бид өөр нэг интервал дээр хасах, гурав дахь интервал дээр хасах, дөрөвний нэгээс илүү дээр нэмэх.

Функц нь тасалдалгүй, її pokhіdna тэмдэг өөрчлөгдөхөд оноог сонгохдоо алдсан. Tse i є экстремум цэгүүд.

Яг цэг дээр x=-1 функц нь тасалдалгүй бөгөөд тэмдгийг нэмэхээс хасах руу аажмаар өөрчилдөг бол эхний тэмдгийн дараа экстремум руу х=-1 нь хамгийн их цэг, хоёр дахь нь функцийн хамгийн их утга юм. .

Яг цэг дээр x=5 функц нь тасалдалгүй бөгөөд хасах тэмдэгийг нэмэхээр аажмаар өөрчилдөг, тэгвэл x=-1 нь минимумын цэг бөгөөд энэ нь функцийн хамгийн бага гэсэн үг юм. .

График дүрслэлүүд.

Зөвлөмж:

Урвуу ХҮНДЭЛТ: эхний тэмдэг нь экстремумд хангалттай бөгөөд энэ нь цэгийн дифференциал функцэд нөлөөлөхгүй.

өгзөг.

Экстремум цэг болон экстремум функцийг ол .

Шийдэл.

Функцийн хамрах хүрээ нь бүх хувийн бус бодит тоонууд юм. Функцийг өөрөө харагдах байдалд бичиж болно:

Бид дараах функцуудыг мэддэг.

Яг цэг дээр x=0 боломжгүй, аргументыг хэтрүүлсэн үед нэг талын интервалуудын утгуудын хэсгүүд тэг хүрэхийг зөвшөөрдөггүй.

Яг тэр цагт гаралтын функц x=0 цэг дээр тасалдалгүй байна (div. split тасралтгүй байдлын функцийг дагаж мөрдөх):

Бид тэг рүү эргэх нь зүйтэй гэсэн аргументийн утгыг мэддэг.

Тооны шугам дээрх бүх цэгүүд мэдэгдэхүйц ба арьсны интервал дээр мэдэгдэхүйц бага тэмдэг байна. Үүний тулд арьсны интервалын тодорхой цэгүүдэд харьцангуй утгыг тооцоолох боломжтой, жишээлбэл, хамт x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

Энэ дарааллаар, экстремумын эхний шинж тэмдгийн дараа хамгийн бага оноо , хамгийн их є-г зааж байна .

Хамгийн бага функцүүдийн тооцоо

Функцийн максимумыг тооцоолох

График дүрслэлүүд.

Зөвлөмж:

.

Функцийн туйлын өөр нэг шинж тэмдэг.

Бачетын нэгэн адил функцийн экстремумын шинж тэмдгийн хувьд ижил төстэй, ядаж оноогоор ялгаатай дарааллыг шаарддаг.

Экстремумын эхний хангалттай шинж тэмдгийг эгзэгтэй цэгээр дамжих эхний сайн цагийн тэмдгийн өөрчлөлтийг сайжруулах замаар томъёолсон болно. Экстремумын өөр шинж тэмдгийн талаар § 6.4-ээс үзнэ үү.

Теорем (экстремумын эхний тэмдэг) : ЯкчоX 0 - Функцийн чухал цэгу=е(x) мөн цэгийн бодит ойролцооX 0 , түүгээр дамжин баруун тийш zlіva, pokhіdna тэмдгийг сунгах болгон өөрчлөх, дараа ньX 0 є экстремум цэг. Түүнээс гадна эсрэг талын тэмдэг нь "+" -ээс "-" болж өөрчлөгдсөн тул дараа ньX 0 нь хамгийн дээд цэг бөгөөде(x 0 ) нь функцын хамгийн их утга бөгөөд "-" тэмдгийг "+" болгон өөрчлөхтэй адил юмX 0 нь хамгийн бага цэг бөгөөде(x 0 ) - Хамгийн бага функц.

Өмсөхөд хэтрүүлсэн харагдаж байна орон нутгийн(Misceviy) шинж чанар, эгзэгтэй цэгийн жижиг захын эмзэг байдал.

Экстремум ба тэлэлтийн цэгүүд нь монотон байдлын интервалын хуваарилагдсан функцын талбайг хуваадаг.

Жишээ 6.3.Жишээ нь 6.1. Бид чухал цэгүүдийг мэддэг байсан X 1 =0 і X 2 =2.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр цэгүүдэд үнэн зүйл нь функц юм у=2х 3 -6x 2 +1 экстремум байж болно. її pokhіdnu-д төсөөлөөд үз дээ
утга учир X, авсан zliva болон цэг дээр баруун гар X 1 =0 захын ойролцоо байрлах, жишээлбэл, x=-1і x = 1. авсан. Oskіlki pokhіdna тэмдгийг "+" -ээс "-" болгон өөрчил X 1 =0 - функцийн дээд ба хамгийн ихийг заана
. Одоо бид x = 1 i гэсэн хоёр утгыг авч байна x = 3өөр нэг чухал цэгийн ойр орчмоос X 2 =2 . Үүнийг аль хэдийн харуулсан
, a
. Oskіlki pokhіdna "-" тэмдгийг "+" болгож өөрчилнө үү X 2 =2 - Хамгийн бага оноо. Мөн наад зах нь функцууд
.

Салхинд саад учруулахгүйгээр функцын хамгийн их ба хамгийн бага утгыг мэдэх
ороомгийн бүх эгзэгтэй цэгүүд болон гинцүүд дэх її утгыг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд энэ нь bv хамгийн бага ба хамгийн багаыг сонгох явдал юм..

6.3. Функцийн график хавдах, агшилтын шинж тэмдэг. Хагарлын цэгүүд

Ялгаварласан функцийн графикийг нэрлэнэопуклиминтервалд, roztashovaniya нь дарс гэх мэт тэр интервалд таны dotichnu байсан эсэх нь доогуур;доош бөхийх (доошоо)yakscho vіn raztashovaniya vshee интервал дээр be-yakoї dotichї.

6.3.1. Графикийн хаван, агшилтын шаардлагатай, хангалттай шинж тэмдэг

a) Шаардлагатай тэмдэг

Функцийн хуваарь гэж юу вэу=е(x) хавдар интервал дээр(а, б) , тэгвэл найз нь сайн байна
ямар интервалаар; хуваарь болгонайлган сүрдүүлэх дээр(а, б) , дараа нь
дээр(а, б) .

П st хуваарийн функц у=е(x) хавдар (а, б) (Зураг 6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh хавдсан муруй zlіva баруун тийш, її kut муу өөрчлөгдсөн (
), үүнтэй зэрэгцэн цэгийн эцсийн коэффициент өөрчлөгдөж байгаа нь эхний удаа өөрчлөгдөж байна гэсэн үг юм
дээр (а, б) . Харин Ale нь рецессив функцтэй төстэй тул эхнийхтэй төстэй боловч сөрөг байж болно, tobto
дээр (а, б) .

Функцийн хуваарь гэж юу вэ айлган сүрдүүлэхдээр (а, б) , Тэр, mirkuyuchi адил, Bachimo, гэж dotic vzdovzh муруй хуурамчаар үйлдэх үед (Зураг. 6.3b) өвчтэй дотик өсөлтийг бууруулах (Зураг.
); Мөн энэ нь өсөн нэмэгдэж буй функц шиг харагдаж байсан ч эерэг байж болно, тиймээс
дээр (а, б) .

б ) Хангалттай шинж тэмдэг

Функцийн хувьд дуртайу=е(x) бүх цэгүүд ижил интервалтай байх болно
, дараа нь функцийн графикайлган сүрдүүлэх ямар интервалаар, гэхдээ яаж
, дараа ньхавдар .

"Дошу дүрэм" : Өөр нэг pokhіdnoї pov'yazuvati z хавдсан зарим шинж тэмдгийг санахын тулд графикийн муруй нумаас аль нь болохыг санах нь зүйтэй: нэмэх ус тахир сарануудад, "хасах ус" - товойсон саранд (Зураг 6.4).

Крапка график тасалдалгүй функц, товойсон хэсэг нь чи навпакийн товойсон хэлбэрт шилждэгийг нэрлэдэгнугалах цэг .

Теорем (нугаралтын цэгийн тэмдгийн хувьд хангалттай).

Якчо цэг дээр функц
dvіchі найз нь tsіy цэгээрээ тэгтэй төстэй эсвэл үгүй, тэр ч байтугай цэгээр дамжин өнгөрөх үед ч ялгаагүй. сайн найз
тэмдэг, дараа нь цэгийг өөрчил є гулзайлтын цэг. Кинк цэгийн координатууд
.

Оноо, зарим найзын хувьд тэг рүү эргэх боломжтой эсвэл үгүй ​​бол өөр төрлийн чухал цэгүүд гэж нэрлэгддэг.

Жишээ 6.4.Гулзайлтын цэгүүдийг мэдэж, муруйн хаван, доголын интервалыг тэмдэглэ
(Гаус муруй).

Р шийдэл.Бид тэр найз pokhіdnі pershu мэднэ:
,. Найз бол чамд сайн . Тэгтэй тэнцүү, виришима отриман нь тэнцүү
, де
бас
, одод
,
- Өөр төрлийн чухал цэгүүд. Эгзэгтэй цэгийг давахад өөр сайн цагийн тэмдгийн өөрчлөлтийг буцаах
. Якчо
Жишээлбэл,
, дараа нь
, гэхдээ
Жишээлбэл,
, дараа нь
Тобто найз тэмдгийг өөрчил. Отже,
- гинк цэгийн абсцисса, її координат
. Паритет функцээр дамжуулан
, алаг
, тэгш хэмтэй цэг
, тэж ирэли мэ’дэн нэзэрдэ тутулмушдур.

Теорем (эхнийх нь Умовын экстремумд хангалттай). Функц нь цэг дээр тасалдалгүй байг, гэхдээ тухайн цэгээр цаг өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөнө. Тоди - экстремум цэг: хамгийн дээд цэг нь "+"-ээс "-" болж, тэмдэг нь "-"-ээс "+" хүртэл өөрчлөгддөг гэсэн үг юм.

авчирч байна.Би-тэй хамт ирээрэй.

Лагранжийн теоремын хувьд , де .Тоді якшчо, тэгвэл; тэр рүү , otzhe, , эсвэл . Тэгэхээр дараа нь; тэр рүү , otzhe, эсвэл .

Otzhe авчирсан, ойрын аль ч цэгт scho, tobto. нь функцийн хамгийн их цэг юм.

Минимум цэгийн теоремийн нотолгоог үүнтэй ижил аргаар гүйцэтгэдэг. Теорем дууссан.

Цаг нь цэгээр өнгөрөхөд тэр тэмдэг өөрчлөгддөггүй, тэгвэл цэг нь туйл биш юм.

Теорем (Умовын экстремумд найз нь хангалттай). Цэг нь ижил төстэй функцтэй байг, энэ нь хоёртын ялгах, 0 () авах, нөгөө нь одоогийн цэг дээр тэг () -тэй төстэй бөгөөд цэгийн идэвхтэй хөршид тасалдалгүй байна. Тоди - туйлын цэг; аль цэгт хамгийн бага, аль үед хамгийн их байна.

Экстремумыг шийдвэрлэх эхний хангалттай шалтгааны дараа экстремум функцийг таних алгоритм.

1. Заль мэхийг мэдэх.

2. Функцийн чухал цэгүүдийг тодорхойлно уу.

3. Арьсны эгзэгтэй цэг, туйлын илрэлийн тухай visnovo-ийн өсөлтийн зүүн гар, баруун гарын тэмдгийг дагаж мөрдөнө.

4. Функцийн хэт утгыг мэдэх.

Экстремумыг арилгах өөр хангалттай шалтгааны тусламжтайгаар экстремум функцийг таних алгоритм.

1. Заль мэхийг мэдэх.

2. Найз нөхөрөө танил.

3. Та оноогоо мэдээрэй, у яких.

4. Эдгээр цэгүүдэд тэмдэг онооно.

5. Зробити экстремумуудын шинж чанарын тухай vysnovok.

6. Функцийн хэт утгыг мэдэх.

өгзөг.Хараач . Бид мэднэ . Дэйли, би дээр. Эхний хангалттай оюун ухаан экстремум тусламж Dolіdzhuєmo чухал оноо. Магадгүй, what for i at , i at . i цэгүүдэд тэдгээрийн тэмдгийг өөрчлөх нь дээр: "+" дээр "-", "-" дээр "+". Tse цэгийн функц нь максимумтай, цэг нь минимумтай гэсэн үг; . Тэнцвэржүүлэхийн тулд бид өөр хангалттай оюун ухаан, экстремумын тусламжтайгаар эгзэгтэй цэгт хүрэх ёстой. Найз нь үхнэ гэдгийг мэдэцгээе. May: , ба tse нь цэг нь хамгийн их функцтэй, цэг нь хамгийн багатай гэсэн үг юм.

Функцийн графикийн асимптотикийг ойлгох. Хэвтээ, сул ба босоо асимптотик. өргөдөл гаргах.

Уулзалт. p align="justify"> Функцийн графикийн асимптотыг шулуун шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь графикийн цэгээс холгүй байх үед шулуун шугамын төв рүү цэгээс тэг рүү шилжих боломжийг олгодог. координатын координат.

Босоо (зураг 6.6 а), хэвтээ (зураг 6.6 б) ба ганхалт (зураг 6.6 в) асимптотуудыг ялгана.

Зураг дээр. 6.6a-г үзүүлэв босоо асимптот.

Зураг 6.6b-д - хэвтээ асимптот.

Зураг дээр. 6.6v - асимптот.

Теорем 1.Босоо асимптотуудын цэгүүдэд (жишээлбэл, ) функц нь шугамын хоорондох ялгааг мэддэг ба цэгүүдийн баруун гар нь:

Теорем 2.Ихийг дуусгаж, эцсийн хилийг тогтоох чиг үүргийг томилогтун

І .

Дараа нь энэ нь шулуун, функцийн графикийн бүдгэрсэн асимптот юм.

Теорем 3.чиг үүрэг dosit агуу болон іsnuє чиг үүрэг хооронд томилогдсон байг. Дараа нь шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Хэвтээ асимптот є бид үүнийг муу асимптот гэж нэрлэдэг, хэрэв . Үүний тулд шулуун шугамд муруй нь хэвтээ асимптоттой боловч тэр шулуун шугамд муу, азгүй гэж байдаггүй.

өгзөг.Функцийн графикийн асимптотикийг мэдэх.

Шийдэл. Тухайн үед функц хуваарилагдаагүй тул бид зүүн ба баруун гартай функцүүдийн хооронд дараахь зүйлийг мэддэг.

; .

Мөн босоо асимптот юм.

Чиг үүрэг, тэдгээрийн хуваарийг урамшуулах үндсэн схем. өгзөг.

Хяналтын функцийн ерөнхий схем тэр шуурхай її график.

1. Зорилтот бүсээ мэдэх.

2. Паритет - unparity функцийг дагаж мөрдөөрэй.

3. Өргөлтийн цэгийн босоо асимптотикийг мэдэх (Ө гэх мэт).

4. Тогтворгүй байдал дахь функцийн зан төлөвийг дагаж мөрдөх; хэвтээ ба өвчтэй асимптотуудыг мэддэг (Ө гэх мэт).

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

6. Нэмэлт цэгүүдийг мэдэхийн тулд бүдүүвч диаграммд зайлшгүй шаардлагатай тул i координатын тэнхлэгтэй графикийн шулууны цэгүүдийг ол.

7. Схемийн дагуу хуваарийг дууд.

Нарийвчилсан схемдагаж мөрдөх функцууд Энэ нь графикийг дэмждэг .

1. Очих бүсээ мэдэх .

а. Yakshcho є znamennik, вин 0-д zratatisya гэм буруутай.

б. Хосолсон үе шатны язгуурын дэд үндэс нь сөрөг биш (тэгээс их эсвэл тэнцүү) байж болно.

в. Сублогарифмын вирус эерэг байж болно.

2. Паритет - тэгш бус байдлын функцийг дагана уу.

а. Yakscho , дараа нь функц хосолсон байна.

б. Yakshcho , дараа нь функц нь хосгүй байна.

в. Якшчо виконано биш, үгүй, үгүй , дараа нь дэлхийн үзэл бодлын функц юм.

3. Өргөтгөх цэгийн босоо асимптотикийг мэдэх (Ө гэх мэт).

а. Босоо асимптот нь томилогдсон функцийн бүс хоорондын бүсэд бага тод харагдаж болно.

б. Yakscho (эсвэл ), тэгвэл график асимптот босоо байна.

4. Тогтворгүй байдал дахь функцийн зан үйлийг дагаж мөрдөх; хэвтээ ба өвчтэй асимптотуудыг мэддэг (Ө гэх мэт).

а. Якшо, тэгвэл графикийн асимптот нь хэвтээ байна.

б. Якшчо и тэгвэл шулуун шугам нь графикийн сул асимптот болно.

в. a, b-д заасан хил хязгаарын хувьд, энэ нь зөвхөн нэг талын хэтрүүлсэн тохиолдолд (эсвэл) нийцэхгүй байх боломжтой бөгөөд асимптотик нь нэг талт байх болно: зүүн талтай, баруун талтай.

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

а. Похиднуг мэднэ.

б. Чухал цэгүүдийг мэдэх (ти цэг, де чи де немає).

в. Тоон тэнхлэг дээр зориулалтын талбай болон чухал цэгүүдийг зааж өгнө.

г. Тоон интервалын агуулгын арьсан дээр дараагийн тэмдгийг тэмдэглэнэ.

д. Эдгээр төрлийн эрс тэс байдлын илрэлийн талаар сахалтай ижил төстэй судалгааны шинж тэмдгүүдийн дагуу.

е. Хэт их үнэ цэнийг мэддэг.

g. Өсөлт, өөрчлөлтийн тухай сахалтай марш өсөлтийн шинж тэмдгүүдийн дагуу.

6. Нэмэлт цэгүүдийг мэдэхийн тулд бүдүүвч диаграммд зайлшгүй шаардлагатай тул i координатын тэнхлэгтэй графикийн шугамын цэгүүдийг мэдэж аваарай.

а. Schob графикийн шугамын цэгүүдийг vіssyu-аас мэдэхийн тулд шугамыг салгах шаардлагатай. z vyssyu графикийн шугамын цэгүүд , де 0 цэгүүд байх болно .

б. Графикийн шугамын цэгийг дээрээс нь харж болно. Вон іsnuє, энэ нь томилогдсон функцийн талбарт орох цэг шиг бага юм.

8. Хуваарийг схемийн дагуу дууд.

а. Координатын систем ба асимптотыг индукц.

б. Хэт их цэгүүдийг зааж өгнө үү.

в. Графикийн таслах цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдээр тодорхойлно.

г. Зориулалтын цэгүүдийг дайран өнгөрч, асимптотуудад ойртох байдлаар графикийг бүдүүвчээр үүсгэ.

өгзөг.Функцийг дагаж, її графикийг схемийн дагуу үүсгэнэ үү.

2. - зэрлэг оюун ухааны үйл ажиллагаа.

3. Oskіlki i , дараа нь шулуун шугам є босоо асимптотууд; цэгүүд цэгтэй. , томилогдсон функцийн талбар руу орохгүй байх үед