Zavdannya, cosa capisci integrale di ferretto.

È accettabile che la funzione degli elementi sia assegnata e annotare l'importo

come si dice integrale.

D: Sotto l'integrale sing (o.i.) come funzione e come scelta

Designazione:

I numeri sono chiamati integrati (secondo Rіman) su .

T. іsnuvannya: Per la tua mente, sho.

Vіdpovіdno fino alla nomina di o.i. è significativo che l'integrale possa essere depositato nella forma

Vіdpovіdno fino a cl.17.1.1 e 17.1.2 e o. scriviamo le formule per l'area del trapezio curvilineo: , forze robotiche

sul:

Comprendere le somme subintegrali, integrali.

La base dell'integrale di ferretto, in modo che la somma interintegrale per il dato sia ovvia, poiché il confine fornisce il volume di un corpo cilindrico. Tuttavia, tse mirkuvannya non є suvorim. Nei corsi superiori di indurimento, è necessario richiamare e chiamare il teorema sulla base dell'integrale subverticale.

Teorema іsnuvannya. Perché se si tratta di una funzione, senza interruzione in un'area chiusa, dove posso misurare a, c'è un sub-integrale, così che c'è una somma interintegrale con un aumento illimitato del numero di piccole fanciulle per la mente, che la loro pelle sia tirata in un puntino. Il confine di Tsya non può essere depositato nel modo di scomporre la regione, ma da parte, non nella scelta dei punti.

Nadalі mi vzglyaditimemo nessuna funzione, senza interruzioni nella sfera dell'integrazione.

Dal teorema di fondazione possiamo, ad esempio, dividere la regione in piccoli rettangoli con i lati diritti paralleli agli assi delle coordinate (Fig. 230). Quando tsimu. Vibirayuchi potim sulla pelle piccolo retto per punti possiamo scrivere, zgіdno z denominazioni dell'integrale subverticale

Per comprovare che si può ricavare l'integrale sottostante, come tra la somma della mente, il nome del segno di vicorist è anche segno di

Viraz è chiamato un elemento di un quadrato in coordinate cartesiane e un quadrato aggiuntivo di un rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate.

È importante che, quando la borsa integrale è piegata, le fanciulle, che confinano con l'interregione, non formino rettangoli. Tuttavia, si può portare a zero la grazia per la sostituzione di tali fanciulle con quadrati tra i quadrati.

La potenza degli integrali subordinati

Il predominio del subintegrale (quello yogo visnovok) è analogo al predominio dell'integrale canoro di una volta.

1°. Additività. Qual è la funzione f(X, y) integrato nella regione D e come zona D per la curva di aiuto G l'area zero è divisa in due anelli e non attutisce i punti interni alti della regione D 1 ta D 2 , quindi la funzione f(X, y) integrato nelle aree cutanee D 1 ta D 2, inoltre

2°. Potenza lineare . Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, un α і β - che si tratti di numeri vocali, allora la funzione [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] è anche integrato nella regione D, inoltre

3°. Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, le funzioni aggiuntive di queste funzioni vengono integrate in D.

4°. Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione offensiva nella regione D e ovunque nella mia galleria f(X, y) ≤ g(X, y), poi

5°. Qual è la funzione f(X, y) integrato nella regione D, quelle funzioni | f(X, y)| integrato nella regione D, inoltre

(Certo, con integrazione | f(X, y)| in D non mostra integrazione f(X, y) in D.)

6°. Il teorema del valore medio. Che funzione offensiva f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, funzione g(X, y) è invisibile (non positivo) ovunque in questa galleria, Mі m- esatti limiti superiore e inferiore della funzione f(X, y) nella regione D, allora c'è un numero μ che soddisfa il nervosismo m ≤ μ ≤ M e in modo che la formula sia valida

Zocrema, in funzione f(X, y) è ininterrotto D, e la zona D zv'yazkova, allora in questa galleria c'è un punto del genere ( ξ , η ), che cosa μ = f(ξ , η ) e la formula (11) è simile

INTEGRALI IN MOVIMENTO

lezione 1

Integrali sostenuti.Lo scopo dell'integrale sottocorrente è quello del potere. Integrazioni ripetute. Collegamenti di integrali inferiori a quelli ripetuti. Posizionamento tra integrazione. Calcolo degli integrali sottostanti del sistema di coordinate cartesiane.

Il subintegrale è un approfondimento della comprensione dell'integrale sing in diverse funzioni di due variabili. In questo modo, il viceversa dell'integrazione sarà presente come una figura piatta.

Avanti D- Dejaka è un'area chiusa, delimitata e f(x,y) - una funzione sufficiente, è stata segnalata da questa galleria. Supponiamo che tra regioni D sono sommati dall'ultimo numero di curve, incarichi da parte dei pari mente y=f(X) o X=g( y), de f(X) Quello g(y) sono funzioni ininterrotte.

regione di Rozib'ёmo D grado decente su n parte. la zona io-ї delyanki è significativo con il simbolo D s io. Sulla pelle dilyantsi, una bella vibrazione è un punto Pi, e fallo uscire in be-yak_y fissando le coordinate maє del sistema cartesiano ( x io, y io). Sklademo somma integrale per la funzione f(x,y) per regione D, per cui il valore della funzione è noto in tutti i punti Pi, moltiplicando їх per l'area delle doppie trame Ds io E assumiamo che tutti i risultati vengano rimossi:

Nazvemo diam(G) le zone G la distanza maggiore tra i punti di confine della regione.

Integrante funzioni f(x,y) nell'area D si chiama confine, in che misura la successione delle somme intere (1.1) con aumento illimitato del numero delle pause n (a chi). Scrivi in ​​questo modo

Vale la pena notare che, a quanto pare, la somma integrale per una data funzione e una data area di integrazione è di ostacolo all'espansione dell'area D ta selezionare il punto Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse significa che tra le somme vіdpovіdny integralny non è possibile mentire tra il chinnikіv nominato. In ordine(o, come sembra, funzione generale f(x,y) è integrato nel dominio D), è sufficiente che la funzione integrale del bool ininterrotto nell'integrazione della galleria delle attività.

Forza funzione f(x,y) integrato nella regione D. I frammenti tra le somme cumulative per tali funzioni non possono essere accumulati con il metodo di divisione dell'area di integrazione, la divisione può essere eseguita con l'aiuto di linee verticali e orizzontali. Todі più uomini d'affari della regione D matime dall'aspetto dritto, l'area di un tale dorivnyu D s io=D x io D si io. Pertanto, il differenziale di area può essere scritto come ds=dxdy. Otzhe, nel sistema di coordinate cartesiane sotto gli integrali puoi scrivere alla vista

Rispetto. Come la funzione integranda f(x,y)º1, quindi il sottointegrale dell'area della regione di integrazione è:

È significativo che le integrazioni sottolineate possano essere la stessa potenza, oltre che singolarmente integrate. I loro atti sono significativi.

Potenza degli integrali subordinati.

1 0 .Potenza lineare. Integrale della somma delle funzioni dell'altra somma degli integrali:

e il moltiplicatore costante può essere accusato del segno dell'integrale:

2 0 .Potere additivo. Poiché l'area di integrazione D è divisa in due parti, il subintegrale è più completo della somma delle integrazioni sulla parte cutanea:

3 0 .Il teorema medio. Qual è la funzione f( x,y)è continuo nella regione D, quindi c'è un punto del genere nella galleria(x, h) , che cosa:

Ulteriore post nutrizione: come si calcolano i subintegrali? Yogo può essere virahuvati approssimativamente, con questo metodo è rotto metodi efficaci somme ripiegate di somme cumulative, che vengono quindi calcolate numericamente con EOM aggiuntiva. Con un calcolo analitico dei subintegrali si riducono a due integrali sing.

Integrali sospesi per teiere

Questa lezione introduce il grande argomento degli integrali multipli, da cui gli studenti svilupperanno un altro corso. Spostalo da integrali tripli puoi zalyakate il tappezziere non più in alto, più in basso differenziale è uguale a quel vіdrazu, diamo un'occhiata al cibo: beh, che cos'è? Zvichayno, deakim sarà coerente e, onestamente, ho diffamato un po 'con le statistiche di denominazione - per imparare a virishuvati podvіynі іntegrali, è necessario madre deyakі novizia. In primo luogo, se si tratta di integrazioni, ovviamente, si dovrà integrare. Logica. Otzhe, per lo sviluppo delle applicazioni, devi sapere integrali insignificanti che contano integrali lineari bi caldo al livello medio. Una buona novità sta nel fatto che con forze potenti si sono integrati in più grandi vipadkiv per farlo semplicemente.

Chi diventa duro? Ho capito a destra. Tim, che ha bevuto molta birra durante i primi semestri. Tuttavia, gli studenti normali possono essere sopraffatti: sul sito ci sono tutti i materiali per colmare le lacune o incomprensibilmente. Ti capita di passare più di un'ora. Possilannya su quelli, yakі fece scorrere vyvchiti o ripeti, dodavatimutsya pіd hour statti.

Nella lezione introduttiva, passo dopo passo, verranno discussi i seguenti momenti fondamentali:

– Comprendere l'integrale sottocorrente

– Area di integrazione. L'ordine di aggirare la regione di integrazione. Come modificare l'ordine di bypass?

Dopodiché, come hai capito BENE tutta l'Asia, puoi andare all'articolo Come calcolare l'integrale sottovalutato? Applicare la soluzione. Inoltre, vi è un compito più ampio di calcolo dell'integrale di corsa in coordinate polari quel tipico supplemento circa significato al baricentro di una figura circoscritta piatta.

Cominciamo con il cibo sfacciato: che cos'è?

Comprendere l'integrale sottocorrente

L'integrale sottovariante dell'ignorante si scrive come segue:

Diamo un'occhiata ai termini e alle definizioni:
- L'icona dell'integrale verticale;
- Area di integrazione (figura piatta);
- Funzione integrale di due variabili, spesso è semplice;
- Distintivi di differenziali.

Cosa significa calcolare l'integrale sottovalutato?

Calcola l'integrale sottostante - tse significa conoscere KILO. Numero più semplice:

І vkray bazhano conosce Yogo correttamente =)

Il risultato (numero) può essere negativo. E zero può essere facilmente inserito. Specialmente zupinivsya per un dato momento, gli studenti di oskolki chimalo erano irrequieti, se esci "qualcos'altro di meraviglioso".

Bagato che ricorda quel "superbo" valore integrale- Numero Tez. È proprio così qui. L'integrale del ferretto ha іsnuє i vіdminny zmist geometrico, Ale su tse pіznіshe, usumu svіy hour.

Come calcolare l'integrale sottovalutato?

Per calcolare l'integrale sottostante, è necessario richiamarlo come segue ripetiamo gli integrali. Zrobiti è possibile due strade. La più grande estensione del metodo offensivo:

L'approvvigionamento alimentare sostitutivo è necessario per creare tra l'integrazione. Inoltre, i segni nutrizionali dell'integrale esterno sono soli: tse numeri, e i fili secondari dei segni nutrizionali dell'integrale interno sono funzioni odnієї zminnoї , scho per depositare sotto forma di "iks".

Prendere le stelle tra l'integrazione? Il fetore è di trovarsi in un v_d tsgogo, come per la mente del capo di una determinata area. L'area è una splendida figura piatta, con la quale sei rimasto più volte unito, ad esempio, quando aree numerate di figure piatte o calcolo del volume di avvolgimento del corpo. Nezabar sai come posizionare correttamente i confini dell'integrazione.

Dopodiché, deciso il passaggio agli integrali ripetuti, si esegue il seguente calcolo senza intermediari: si prende prima l'integrale interno e poi quello esterno. Uno dopo l'altro. Nome Zvіdsi - integrali iterativi.

Apparentemente, il compito è contare fino al calcolo di due integrali cantanti. Come tutto non è così coerente e spaventoso, e come ti sei imbattuto nell'integrale "singolare", di cosa hai bisogno per essere separato da due integrali?!

Un altro modo per passare agli integrali iterati è più semplice:

Cosa è cambiato? L'ordine di integrazione è cambiato: ora l'integrale interno viene preso per "ix" e quello esterno - per "iplayer". Tra l'integrazione, contrassegnata da stelle - essere diverso! Una per una le stelle dell'integrale esterno - tse numeri, e le stelle sottostanti dell'integrale interno sono funzioni di svolta, scho a mentire sotto forma di "igrok".

Che bi mi non ha scelto la via del passaggio alle integrazioni ripetute, suono residuo di obov'yazkovo viide quello stesso:

Per favore, ricorda l'importanza del potere, come è possibile vikoristovuvati, zokrema, per una nuova verifica della soluzione.

Algoritmo per risolvere il subintegrale:

Sistemiamo le informazioni: in quale ordine dovresti guardare l'attività?

1) È necessario visconare la sedia. Senza una poltrona, il compito non è rompersi. Più precisamente, non vincerai, ma sarà simile a un gioco in assegni. Sulla poltrona, dipingi l'area come una figura piatta. Il più delle volte, la figura è semplice e circondata da linee, parabole, iperboli, ecc. Competente che shvidku tekhnіku pobudovі koslene possa essere padroneggiato nelle lezioni Grafici e poteri di base delle funzioni elementari, trasformazione geometrica della grafica. Otzhe, il primo stadio è il vikonati della poltrona.

2) Imposta tra le integrazioni e vai a integrazioni ripetute.

3) Prendi l'integrale interno

4) Prendi l'integrale corrente e sottrai la differenza (numero).

Area di integrazione. L'ordine di aggirare la regione di integrazione.
Come modificare l'ordine di bypass?

In questo paragrafo, possiamo vedere il cibo più importante: come andare alle integrazioni ripetute e posizionare correttamente tra le integrazioni. Come è stato detto di più, puoi farlo in questo modo:

Mi piace questo:

In pratica, l'apprendimento dei compiti più scomodi porta alla maggior parte delle difficoltà e gli studenti spesso si perdono nel processo di integrazione. Diamo un'occhiata a un esempio specifico:

culo 1

Soluzione: Visualizziamo l'area di integrazione sulla poltrona:

Zvichayna figura piatta e niente di speciale.

Ora ti vedrò uno strumento per la cura della pelle: un bastone da scavo, un puntatore laser. Il compito è scansionare il punto della pelle dell'area ombreggiata:

Promin il laser per passare l'area di integrazione rigorosamente in discesa, quindi devi completare l'ordine minore figure piatte. Promin per entrare nella regione attraverso l'intera ascissa, come richiesto da pari ed uscire dalla regione attraverso una parabola (freccia rossa). Per illuminare l'intera regione, è necessario bruscamente arrabbiato a destra disegna un vkazіvka vzdovzh osі da 0 a 1 (freccia verde).

Otzhe, cosa è successo:
"Іgrek" cambia da 0 a ;
"ix" cambia da 0 a 1.

Per gli incarichi, in caso di incongruenze si dice che quanto sopra sia scritto:

Denominare i dati di incoerenza bypassando la galleria di integrazione o semplicemente ordine di integrazione

Dopo aver risolto l'ordine di bypass, possiamo passare dall'integrale sottocorrente agli integrali iterati:

Metà del compito è completato. Ora è necessario passare agli integrali iterati in modo diverso. Per chi dovresti conoscere le funzioni fondamentali. Chi ha familiarità con un altro paragrafo della lezione Impacco volumetrico sarà più facile. Guardando le funzioni che definiscono l'area . È ancora più semplice, quindi vai alle funzioni di ritorno, che significa dire "iksi" tramite "igreeks". Funzione singola, de є io "iks" e "iplayer", є.

Yakscho, poi, inoltre:
la funzione di inversione imposta il lato destro della parabola;
La funzione di inversione imposta l'angolo sinistro della parabola.

Non è raro incolpare sumniv, l'asse, ad esempio, la funzione di segnare la sinistra o la destra della parabola? Riassumere le differenze è ancora più semplice: prendi un punto parabolico, ad esempio, (dall'ago destro) e imposta le coordinate in linea retta, ad esempio la stessa linea:

Viene tolta la corretta uguaglianza, d'ora in poi la funzione è assegnata alla mano destra della parabola, ma non alla sinistra.

Più di quello riverbero tsyu(pensieri abo in nero) passare la serata dopodiché, poiché sei passato alle funzioni di ritorno. Non prenderò in prestito nulla per un'ora, ma canterò il perdono sulla costa!

La regione di integrazione viene aggirata in un altro modo:

Ora possiamo tagliare il puntatore laser levoruch visualizza l'integrazione della galleria. Area di passaggio laser Promin bruscamente arrabbiato a destra. In a questo particolare tipo entrando nella regione attraverso l'ago parabolico e uscendo dalla regione attraverso una linea retta, come indicato dall'uguale (freccia rossa). Per scansionare l'intera area con un laser, è necessario eseguire un asse vzdovzh rigorosamente in discesa immettere da 0 a 1 (freccia verde).

In questo modo:
"iks" cambia da un massimo di 1;
"Іgrek" cambia da 0 a 1.

La procedura per aggirare l'area accanto a registrare come irregolarità:

Quindi, il passaggio alle integrazioni ripetute è il seguente:

Vidpovid si può scrivere così:

Ancora una volta, immagino che il risultato residuo non possa essere calcolato in base all'ordine in cui le regioni sono state bypassate (per questo è stata stabilita l'ammissibilità). Tuttavia, è ancora lontano dal risultato finale, ora il nostro compito non è più quello di posizionare correttamente l'interintegrazione.

culo 2

Subintegrale della Danimarca con la regione di integrazione. Vai a integrazioni ripetute ed espandi tra le integrazioni in due modi.

Questo è un esempio di soluzione indipendente. Svegliare con competenza la sedia prendere una linea retta sulla deviazione(stelle e dove brillare con un puntatore laser). Zrazok design raffinato come una lezione.

Più compiti tipici i troch sono avvizziti in una formula diversa:

culo 3

Indurre l'area di integrazione

Soluzione: Per la mente è stato dato il primo modo per aggirare la regione. Le decisioni ricominciano dalla sedia. Qui la regione non giace su un piatto d'argento con un blaky oblyamіvkoy, ma per incoraggiarti a non creare difficoltà speciali. Sul dorso della mano "knіmaєmo" funziona dall'interintegrazione: , . La funzione, arbitrariamente, imposta una retta, ma cosa imposta la funzione? Facciamo її cambiare troch:
- vicino al centro sulla pannocchia di coordinate di raggio 2. La funzione w imposta la linea superiore (non dimenticare, se la riepiloghi, puoi sempre impostare un punto che si trova sulla linea superiore o inferiore).

Ci chiediamo tra l'integrale esterno: "ix" cambia da -2 a 0.

Poltrone Vikonaemo:

Per essere precisi, ho indicato con le frecce il primo modo per aggirare la regione, che a sua volta racconta gli integrali iterativi della mente: .

Ora è necessario modificare l'ordine di aggiramento della regione, per cui andremo alle funzioni di svolta (vale a dire da "iksi" a "іgreki"):

Non molto tempo fa abbiamo riorganizzato la funzione al livello della puntata, diciamo "iks":
Di conseguenza, sono necessarie due funzioni fondamentali:
- Firma del pivkolo giusto;
- Significativo leva pіvkolo.
Lo so lo stesso, come se incolpare sumniv, prendere una puntata e dire, de sinistra e de destra.

Modificare l'ordine di bypass dell'area:

Zgidno con un altro modo, laser promin accedere alla regione levoruch attraverso il leone pivkolo i vai a destra attraverso una linea retta (freccia rossa). Alla stessa ora inserimento laser essere eseguito sull'asse delle ordinate salita immettere da 0 a 2 (freccia verde).

In questo ordine, l'ordine per bypassare l'area:

Zagal può essere scritto suggerimento:

culo 4

Questo è un esempio di soluzione indipendente. Il calcio non è più pieghevole, ma rispetta la procedura per aggirare una manciata di compiti in modo diverso! Perché lavorare in tale vipadka? Innanzitutto, incolpando le difficoltà delle sedie, i frammenti della sedia mi fanno insinuare improvvisamente il programma della funzione emorragica. Raccomando il prossimo ordine fai da te: prima di tutto, prendiamo la funzione "primaria" (diciamo "gravets" tramite "iks"). Ti forniremo un programma per la funzione "estremo" (puoi sempre sbizzarrirti se vuoi krapkovo). Allo stesso modo, possiamo usare una funzione lineare semplice più grande: possiamo “scolpire” e condurre una linea retta.

Analizziamo i gap di interintegrazione: entriamo nella regione mediana attraverso i e usciamo attraverso . Quando fai tutto bene, puoi passare alla fluidità "greca" da -1 a 0. Poiché hai designato un'area di integrazione sulla sedia, cambia l'ordine di giro nel magazzino di difficoltà speciali. Zrazok ha progettato una soluzione per una lezione.

Un calcio simile lo risolverò un po' più tardi.

Navіt yakscho hai capito tutto bene, sii gentile, non avere fretta, vai dritto fino al calcolo dell'integrale corrente. L'ordine della deviazione è ricco, ed è importante mettere le mani su alcune teste, è di più, non ho ancora guardato tutto!

Nei mozziconi di chotyroh anteriori, l'area di integrazione era vista nel suo insieme nei quarti di coordinata 1a, 2a, 3a e 4a. Perché aspettare così? No, ovviamente.

culo 5

Modificare l'ordine di integrazione

Soluzione:È come una sedia, con la quale il grafico della funzione è in realtà una parabola cubica, semplicemente non "sdraiato di lato":

L'ordine di bypass della regione, che istruisce gli integrali iterati , contrassegnato da frecce. Va venerato che nel corso della vikonnanny della sedia sia stata dipinta un'altra figura delineata (levoruch nell'asse delle ordinate). Pertanto, dobbiamo rispettare l'integrazione della regione - per la regione si può perdonare la cifra sbagliata.

Passiamo alle funzioni di ritorno:
- ci vuole la testa destra di una parabola;

Cambiamo l'ordine di bypass della regione. Come ricorderete, con un altro modo per aggirare l'area, è necessario scansionare l'area con un interruttore laser a destra. Ale qui posterіgaєtsya cіkava rіch:

Come riparare in situazioni simili? In questi casi, dividi l'area di integrazione in due parti e per la parte della pelle, somma la tua integrazione ripetuta:

1) Se la "gravità" cambia da -1 a 0 (freccia verde), si prega di entrare nella regione attraverso una parabola cubica ed uscire attraverso una linea retta (freccia rossa). Pertanto, l'ordine di aggirare l'area sarà il seguente:

2) Se la "gravità" cambia da 0 a 1 (freccia marrone), entrare prontamente nell'area attraverso l'ago parabolico ed uscire attraverso quella linea molto retta (freccia cremisi). Quindi, l'ordine per bypassare l'area sarà il seguente:

Ho ripetuto gli integrali ripetuti:

Il canto e gli integrali multipli hanno un certo potere additività in modo che possano essere piegati, che in un dato modo e prossimamente a crescere:
- E l'asse e il nostro giro della regione in modo diverso, guardando la somma di due integrali.

Vidpovid scrivi così:

Quale ordine di elusione è il più ovvio? Zvichayno quello, quale lettera viene data nella mente di un compito: conterai due volte di meno!

culo 6

Modificare l'ordine di integrazione

Questo è un esempio di soluzione indipendente. In quello nuovo c'è un pivkol, la cui analisi sarebbe stata rivista nell'Appendice 3. La soluzione è stata elaborata come una lezione.

E subito, obіtsyane zavdannya, se un elenco di attività è un altro modo per aggirare la regione:

culo 7

Modificare l'ordine di integrazione

Soluzione: Se la procedura per aggirare i compiti in modo diverso, prima della sedia sveglia, è necessario passare alle funzioni "superiori". A chi culo, ci sono due pazienti per la trasformazione: i.
Con una funzione lineare, tutto è semplice:

Il grafico della funzione è una parabola con pretesa di canonicità.

Virazimo da "iplayer" a "ix":

Prendiamo due perni della parabola: i. Yaku da loro vibra? La cosa più semplice è vedere il viconato della poltrona. Se hai dimenticato il materiale della geometria analitica su una parabola, allora tutto un insulto può essere fatto a krapkovo:

Ancora una volta rispetto il fatto che su questa poltrona c'era una spolverata di figure piatte ed è importante scegliere una figura! Nella scelta delle figure, che scherzano, ti aiuteranno tra l'integrazione degli altri integrali:
, a quel punto non dimenticare cosa imposta la funzione di inversione tutto parabola.

Le frecce, che indicano la deviazione delle figure, indicano esattamente i confini dell'integrazione delle integrazioni .

Dosit shvidko impari a svolgere tale analisi nella tua mente e conosci la necessità di un'area di integrazione.

Se la figura viene trovata, la parte finale della soluzione è ancora più semplice, cambiamo l'ordine di bypass dell'area:

Sono già note le funzioni di ritorno e la procedura necessaria per bypassare l'area:

Suggerimento:

L'ultimo esempio di un paragrafo per lo sviluppo indipendente:

culo 8

Modificare l'ordine di integrazione

Esternamente, la soluzione è che è simile alla lezione.

Iniziamo osservando il processo di calcolo dell'integrale sottovariante e conoscendolo con complessità geometrica.

Il subintegrale è numericamente superiore all'area di una figura piatta (regioni di integrazione). La forma più semplice del sottointegrale, se la funzione di due mutevoli è: .

Possiamo guardare la parte posteriore della testa allo sguardo famigerato. Allo stesso tempo, ti muovi, tutto è davvero semplice! Calcola l'area delle figure piatte, circondato da linee. Per cantare, è importante che tu abbia un vіdrіzku. Le aree delle figure sono numericamente più avanzate:

Rappresentiamo l'area sulla poltrona:

Scegli il primo modo per aggirare l'area:

In questo modo:

І una volta un trucco tecnico importante: si possono inserire integrali ripetuti. Innanzitutto l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Consiglio vivamente il modo danese di quelle teiere.

1) Calcolare l'integrale interno, con il quale si effettua l'integrazione per il cambio "gravet":

Integrale di non significato ecco la più semplice e più vittoriosa formula di Newton-Leibnitz, con la stessa differenza che tra le integrazioni non ci sono numeri, ma funzioni. La parte posteriore della testa è stata inserita nel limite superiore "igrok" (funzione originale), quindi nel limite inferiore

2) Il risultato, sottraendo dal primo punto, deve essere aggiunto all'integrale corrente:

Un record compatto più grande dell'intera soluzione è simile al seguente:

Formula di Otrimano - questa è esattamente una formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta per l'aiuto dell'integrale canoro "estremo"! Lasciati stupire dalla lezione Calcolo dell'area per l'aiuto dell'integrale di canto, Eccolo sulla pelle croci!

Totò, il compito di calcolare l'area per l'aiuto dell'integrale di ferretto poche persone si preoccupano per l'aiuto del canto integrale! In effetti, è lo stesso!

Chiaramente, non è colpa di eventuali difficoltà! Darò un'occhiata ai piccoli mozziconi, i frammenti di te, infatti, più di una volta si sono uniti a questi compiti.

culo 9

Per l'aiuto dell'integrale di ferretto, calcola l'area della figura piatta, circondata da linee,

Soluzione: Rappresentiamo l'area sulla poltrona:

L'area della figura viene calcolata per l'aiuto dell'integrale subverticale per la formula:

Scegli il prossimo ordine per bypassare l'area:

Qui e oltre, non mi soffermo su come guardare in giro per la regione, i frammenti nel primo paragrafo sono stati sollevati in modo ancora più chiaro.

In questo modo:

Come ho già indicato, è più facile per i cittadini calcolare più rapidamente gli integrali ripetuti, che aggiungerò al metodo:

1) La riga dietro la schiena delle formule di Newton-Leibniz viene analizzata con l'integrale interno:

2) Il risultato, sottraendo il primo croc, viene sostituito all'integrale esistente:

Punto 2 - infatti, respingendo l'area della posizione piatta con l'aiuto dell'integrale di canto.

Suggerimento:

L'asse è così cattivo e naїvne zavdannya.

Cicala Cicavi per ciliegio indipendente:

culo 10

Per l'aiuto dell'integrale di ferretto, calcola l'area della figura piatta, circondata da linee,

Uno scorcio di una soluzione progettuale finale per una lezione.

In Prikladakh 9-10, è molto più importante vincere il primo modo per aggirare la regione, bere di più leggendo, prima di parlare, puoi cambiare l'ordine del bypass e calcolare l'area in un altro modo. Se non perdoni, allora, naturalmente, vedrai la tua area significativa.

1.1 Determinazione dell'integrale verticale

1.2 Dominanza del subintegrale

Il predominio del subintegrale (quello yogo visnovok) è analogo al predominio dell'integrale canoro di una volta.

1°. Additività. Se la funzione f(x, y) è integrata nel dominio D e se il dominio D oltre la curva addizionale à l'area zero è divisa in due collegamenti e non può avere punti interni congiunti del dominio D 1 e D 2, allora il la funzione f(x, y) è inoltre integrata nella pelle delle aree D 1 e D 2

2°. Potenza lineare. Come sono le funzioni f(x, y) e g(x, y) integrabili nello spazio D, eh? io? - siano numeri vocali, allora la funzione [? f (x, y) + ? g (x, y)] è inoltre integrato nel dominio D

3°. Poiché le funzioni f(x, y) e g(x, y) sono integrabili nel dominio D, le funzioni aggiuntive di queste funzioni sono integrabili in D.

4°. Come si possono integrare le funzioni f(x, y) e g(x, y) nel dominio D e incrociare f(x, y)? g(x, y), allora

5°. Poiché la funzione f(x, y) è integrata dal dominio D, allora la funzione th |f(x, y)| integrato nella regione D, inoltre

(Ovviamente, l'integrazione di | f (x, y) | D non mostra l'integrazione di f (x, y) in D.)

6°. Il teorema del valore medio. Sebbene le funzioni offensive f(x, y) e g(x, y) siano integrate nel dominio D, la funzione g(x, y) è invisibile (non positiva) ovunque in questa regione, M e m sono le esatte limiti superiore e inferiore della funzione f( x, y) nella regione D, allora esiste un numero? che soddisfa l'irregolarità di m? ? ? M i in modo che la formula sia valida

Sokrema, poiché la funzione f(x, y) è continua D e il dominio D è connesso, allora in questo dominio c'è un tale punto (?, ?), Cosa? = f(?, ?) e la formula è simile

7°. Importante potere geometrico. zona giorno D

Lascia che il corpo T (Fig. 2.1) sia assegnato allo spazio, sotto l'area D, alla bestia - un grafico di una funzione ininterrotta e invisibile) z \u003d f (x, y,) come è assegnato allo spazio D, dai lati - una superficie cilindrica, una diretta є tra l'area D e parallela all'asse di Oz. Un corpo di questo tipo è chiamato corpo cilindrico.

1.3 Interpretazione geometrica dell'integrale verticale

1.4 Comprendere l'integrale verticale di un rettangolo

Assegna ovunque una funzione sufficiente f(x, y) al rettangolo R = ? (div. Fig. 1).

spicchio di rosmarino a? X? b di n segmenti parziali oltre il punto ausiliario a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya per l'aiuto delle linee rette, assi paralleli Ox і Oy divide il rettangolo R in n · p rettangoli parziali R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Indicato dalla divisione del rettangolo R, è significativo con il simbolo T. Gli abbiamo dato una divisione sotto il termine "rettangolo" per intendere il rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate.

Sulla pelle chastkovy rettangolo Rkl, scegliamo un punto intero (?k,?l). Posto ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, è significativo per ?R kl dell'area del rettangolo R kl . Ovviamente, ?R kl = ?x k ?y l .

è detta somma integrale della funzione f(x, y), che dà una data distribuzione T di un rettangolo R e una data scelta di punti intermedi (? k, l) su rettangoli parziali di una distribuzione T.

La diagonale è chiamata diametro del rettangolo R kl . Un simbolo? Significativamente il più grande dei diametri di tutti i comuni rectocut R kl .

Il numero I è chiamato limite delle somme integrali (1) in? > 0, come può essere un numero positivo? puoi dirlo? Data?, Cosa a?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Io |< ?.

La funzione f(x, y) è chiamata integrata (secondo Riemann) sul rettangolo R, perché c'è un confine finale tra le I somme integrali della funzione a? >0.

Il confine designato I è chiamato subintegrale della funzione f(x, y) dal rettangolo R ed è indicato da uno dei seguenti simboli:

Rispetto. Quindi, proprio come per un integrale sing una tantum, si stabilisce che la funzione f(x, y) è integrata sul rettangolo R ed è circoscritta a questo rettangolo.

Questo dà l'opportunità di guardare più lontano dal confine delle funzioni f(x, y).

Il sottointegrale ha la potenza, analoga alla potenza dell'integrale cantato. Significativamente meno dei principali:

1. Quali sono le funzioni
integrazione nella regione
, quindi l'integrazione in essi è l'importo e la differenza, inoltre

2. Il moltiplicatore costante può essere accusato del segno dell'integrale sottovariante:

3. Yakscho
integrato nella regione
, e quest'area è divisa in due aree che non si sovrappongono і
, poi

.

4. Yakscho
і
integrazione nella regione
, in parole povere

, poi

.

5. Cosa c'è nella zona
funzione
soddisfatto delle incongruenze


de
і
atti numeri disordinati, poi

,

de – zona della regione
.

Le dimostrazioni di queste potenze sono analoghe alla dimostrazione dei secondi teoremi per l'integrale semplice.

Calcolo dell'integrale verticale in coordinate cartesiane rettangolari

Sia necessario calcolare l'integrale sottostante
, di zona - Rettangolare, caratterizzato da irregolarità ,.

Assumiamo che
è ininterrotta nello stesso rettangolo e si gonfia nel nuovo valore sconosciuto, anche se l'integrale del volume del corpo con la base , orlato con la bestia in cima
, dai lati - appartamenti
,
,
,
:

.

Dall'altro lato, una tale cifra può essere calcolata con l'aiuto dell'integrale sing:

,

de
- l'area di attraversamento di questo corpo con un piano che passa per un punto e perpendicolare all'asse
. Frammenti di analisi incrociati con un trapezio curvilineo
, circondato dalla bestia con un grafico funzionale
, de fisso, e , poi

.

Z tsikh triokh uguaglianze vyplivaє, scho

.

D'ora in poi, il calcolo dell'integrale di base era il calcolo dei due integrali sing; quando si calcola l '"integrale interno" (scritto in archi) essere immutabile.

Rispetto. Puoi spiegare che il resto della formula è corretto quando
, nonché a colpo d'occhio, se la funzione
cambia il segno del rettangolo indicato.

I diritti della parte della formula sono detti integrali iterati e sono designati come segue:

.

Allo stesso modo, si può dimostrare che

.

Al di sopra di ciò che è stato detto, piagnucoli

.

Rimanere uguaglianza significa che il risultato dell'integrazione dovrebbe rientrare nell'ordine dell'integrazione.

Per dare un'occhiata alla pendenza più profonda, introduciamo la comprensione dell'area standard. L'area standard (o corretta) assegnata direttamente all'asse è chiamata tale area, per la quale dovrebbe essere diritta, parallela al centro dell'asse, non più intervallata dall'area, più in basso in due punti. Altrimenti, sembra, ribaltando la regione stessa, che її cordone sia solo una brezza diritta.

È accettabile che la regione sia circondata

che è circondato dalla bestia con un grafico di funzione
, in basso - grafico della funzione
. Forza R ( ,) - rettangolo minimo, in cui è posata la regione
.

Vai in zona
quella funzione ininterrotta è assegnata
. Introduciamo una nuova funzione:

,

simile alle potenze dell'integrale di ferretto

.

io, dopo,

.

Oskіlki vіdrіzok
per coprire l'area
poi più tardi,
a


, ma sdraiati in una posizione vіdrіzkom, quindi
.

Con fisso possiamo scrivere:

.

Il primo e il terzo integrale sul lato destro dell'integrazione si sommano quindi a zero

.

Otzhe,

.

Perché è necessario utilizzare la formula per calcolare l'integrale di corsa sull'area dell'asse standard
tramite il collegamento all'integrale ripetuto:

.

regione di Yakscho
є standard y asse rettilineo
si presenta come incongruenze ,

, allo stesso modo, si può dimostrarlo

.

Rispetto. Per la regione
, standard y assi diritti
і
, ci saranno vicons

Per questa formula cambia l'ordine di integrazione e l'ora del calcolo dell'integrale sublineare.

Rispetto. Non appena l'area di integrazione cessa di essere standard (corretta) su entrambi gli assi delle coordinate, її suddividere alla somma delle aree standard e rappresentare l'integrale come somma delle integrazioni in queste aree.

culo. Calcola l'integrale corrente
per regione
, circondato da linee:
,
,
.

Soluzione.

Area di Tsya є asse standard di yak schodo
, così io
.

Calcoliamo l'integrale, tenendo conto dell'area dell'asse standard
.

.

Rispetto. Come calcolare l'integrale, tenendo conto dell'area dell'asse standard
, prendiamo lo stesso risultato:

.

culo. Calcola l'integrale corrente
per regione
, circondato da linee:
,
,
.

Soluzione. Rappresentativamente, la regione di integrazione è data al piccolo.

Area Tsya є asse schodo standard
.

.

culo. Modificare l'ordine di integrazione per l'integrazione ripetuta:

Soluzione. Immaginiamo la regione dell'integrazione.

Dalle linee di interintegrazione, conosciamo le linee che racchiudono l'area di integrazione: ,
,
,
. Per cambiare l'ordine di integrazione, possiamo come funzioni in e conosciamo il punto di incrocio:

,
,
.

Quindi, su uno degli intervalli, la funzione è espresso da due virasi analitiche, quindi l'area di integrazione va divisa in due aree, e l'integrale ripetuto dell'imposta è la somma di due integrazioni.

.