La procedura per calcolare l'integrale con perdita è simile al funzionamento generale dell'integrale mobile. Per її descrizione, introduciamo la comprensione dell'area banale corretta:

Appuntamento 9.1. La regione banale V, circondata da una superficie chiusa S, si dice regolare, perché:

1. sii sincero, parallelo all'asse Oz che viene tracciata per il punto interno della regione, incrociando S in due punti;
2. l'intera regione V è proiettata sul piano Oxy in una regolare regione D a due mondi;
3. se una parte dell'area V, visibile in essa da un piano, parallela al fatto che provenga dai piani delle coordinate, possa avere potenza 1) e 2).

Diamo un'occhiata all'area corretta V, confinerò la parte inferiore e quella superiore con le superfici z=χ(x,y) e z=ψ(x,y) e proietterò sul piano Oxu y, l'area D corretta, il centro di cui x cambierà nei confini da a a b, sarà circondato dalle curve y=φ1(x) e y=φ2(x) (Fig. 1). Sia f(x, y, z) una funzione continua nel dominio V.

Appuntamento 9.2. È chiamato integrale triplice della funzione f(x, y, z) sulla regione V nella forma:

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх senza conferma, i frammenti di fetore vengono sollevati in modo simile alla caduta dell'integrale del metro.

Calcolo dell'integrale con perdita.

Teorema 9.1. L'integrale triplo della funzione f(x,y,z) del dominio regolare V è uguale all'integrale triplo sullo stesso dominio:

. (9.3)

Portare.

Rozіb'ёmo area V piani, paralleli ai piani delle coordinate, su n aree regolari. Todі z power 1 che urla

dove è l'integrale tre volte della funzione f(x,y,z) nel dominio .

Formula di Vikoristovuyuchi (9.2), la parità diretta può essere riscritta a colpo d'occhio:

Comprendere la continuità della funzione f (x, y, z) è chiaro, che è il limite della somma integrale, che sta alla parte destra dell'equazione di uguaglianza, ed è uguale al terzo integrale. Quindi, passando al confine quando, prendiamo:

cosa era necessario portare.

Rispetto.

In modo simile alla caduta dell'integrale sottocorrente, si può portare che cambiando l'ordine di integrazione non cambia il valore dell'integrale tritemporale.

culo. Calcolare l'integrale de V è una piramide triangolare con vertici nei punti (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Її proiezione sul piano Oxy є tricutnik con vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Dal basso, l'area è delimitata dall'area z = 0, e dall'alto – dall'area x + y + z = 1. Passiamo all'integrale triplo:

I moltiplicatori, che non giacciono nell'integrazione mutevole, possono essere accusati del segno del doppio integrale:

Sistemi di coordinate curvilinee nello spazio banale.

1. Sistema di coordinate cilindriche.

Coordinate cilindriche del punto Р(ρ,φ,z) – coordinate cepolari ρ, φ della proiezione del punto sul piano di Ohu e dell'applicatore del punto dato z (Fig. 2).

Le formule per il passaggio da coordinate cilindriche a coordinate cartesiane possono essere impostate come segue:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sistema di coordinate sferiche.

Per le coordinate sferiche, la posizione del punto nello spazio è indicata dalla coordinata lineare ρ - la distanza dal punto alla pannocchia del sistema di coordinate cartesiane (o dai poli del sistema sferico), φ - il bordo polare tra il positivo pіvvіssyu Ox e la proiezione del punto sul piano Oxy, e θ - il kutom tra l'Oz positivo e il doppio OP (Fig. 3). Con cui

Data la formula per il passaggio da coordinate sferiche a cartesiane:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

zmist geometrico giacobino e yogo.

Diamo un'occhiata alla tendenza selvaggia di sostituire i cambiamenti nell'integrale della metropolitana. Viene fornito Nehai nell'area piatta di Ohu D, circondato da una linea L. Si supponga che х і у є siano funzioni a valore singolo e continuamente differenzianti di nuove u e v che cambiano:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Diamo un'occhiata al sistema di coordinate rettangolare Ouv, il punto P(u, v) che punta P(x, y) dalla regione D. Tutti questi punti formano la regione D vicino al piano Ouv, Sono circondato da una linea L?. Si può dire che le formule (9.6) stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra i punti delle regioni D e D. Per i quali rette u = const che

v = const sul piano di Ouv sarà simile alle linee sul piano di Ohu.

Possiamo vedere nel piano di Ouv una maidan rettangolare ΔS, delimitata da rette u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé curvilinear maidanchik ΔS vicino all'appartamento di Ohu (Fig. 4). Le aree di analisi di Maidanchiks saranno indicate come ΔS e ΔS. Per ciomu ΔS = Δu Δv. Conosciamo l'area ΔS. Significativamente, i vertici del chotyrikutnik curvilineo P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Sostituzione di piccoli differenziali di zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi. Todi

Con il quale chotirikutnik P1 P2 P3 P4 può essere preso come un parallelogramma e l'area può essere assegnata alla formula per la geometria analitica:

(9.7)

Appuntamento 9.3. La variante è chiamata variante funzionale o Jacobiana delle funzioni φ(x, y) e ψ(x, y).

Passando al confine con l'uguaglianza (9.7), togliamo lo spostamento geometrico Jacobiano:

quindi il modulo giacobino è il confine tra l'area dei quadrati infinitamente piccoli S e S.

Rispetto. Con un rango simile, si può designare la comprensione del Jacobiano e il suo significato geometrico per lo spazio n-mondiale: che x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), allora

(9.8)

Con questo, il modulo Jacobiano fornisce un confine tra "obsyagiv" piccole aree di spazio x1, x2, ..., xn e u1, u2, ..., un.

Sostituzione di modifiche in più integrali.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo integral.

Sia data una funzione continua z = f(x,y) nell'area D, lo stesso valore della funzione z = F(u, v) nell'area D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Diamo un'occhiata alla somma integrale

La somma disintegrale a destra viene presa sulla regione D. Passando al confine quando togliamo la formula per trasformare le coordinate nell'integrale ampio.

Prova gli integrali. Calcolo del volume del corpo.
Integrale di prova in coordinate cilindriche

Tre giorni nell'ufficio del preside il cielo giaceva, ai pantaloni delle vesti di Pitagora,
Nelle mani di Fikhtengolts c'è un volume di trimav, che lo yogi della luce bianca è vivo,
Per poco hanno legato il terzo integrale e avvolto il cadavere nella matrice,
E il deputato alla preghiera è come un nahabnik dopo aver letto il teorema di Bernoulli.

Le integrazioni perse sono quelle di cui non puoi più aver paura =) Perché se leggi tutto il testo, allora è meglio per tutto hai sbagliato teoria e pratica degli integrali "superiori"., così come integrali dipendenti. E lì, de podvіyny, vicino e perso:

In effetti, cosa c'è da temere? L'integrale è minore, l'integrale è maggiore.

Diamo un'occhiata al record:

- l'icona della trinità integrale;
- Pidіintegralna tripla funzione di cambio;
- Differenziali Dobutok.
- Area di integrazione.

Particolarmente degno di nota per integrazione della galleria. Yakscho dentro integrale sottolineato ha vinto figura piatta, poi qui - corpo disteso Sì, lo sai in cima. In questo grado, il crimine di chi ti ha indovinato visceralmente è colpevole di orientarti superfici principali e ricordati di vincere le più semplici poltrone trivimir.

I deyakiani erano imbarazzati, saggi…. Sfortunatamente, l'articolo non può essere definito "integrali utili per manichini", ed è necessario sapere / ricordare qualcosa. Ale, niente di terribile: tutto il materiale delle pubblicazioni nella forma più accessibile sarà padroneggiato nel più breve tempo!

Cosa significa calcolare l'integrale perduto e cosa ci vuole?

Calcola l'integrale perduto - tse significa conoscere KILO:

Nel modo più semplice, se, il terzo integrale è numericamente più avanzato rispetto al corpo. І deisno, vіdpovіdno a integrazione, tv uno infinitamente piccolo il volume della "ceglinka" elementare del corpo. E il terzo integrale lo è unito tutto Qi particelle infinitamente piccole per regione, dopo di che risulta il valore integrale (totale) del volume del corpo: .

Inoltre, il terzo integrale è importante programmi fisici. Ale su tse pіznіshe - nella seconda parte della lezione, dedizione calcolo delle perdite addizionali degli integrali, per cui la funzione della variabile è costante come costante ed è ininterrotta nella sfera. In questo articolo possiamo vedere nel dettaglio il significato dell'obbligo, in quanto la mia valutazione soggettiva viene osservata 6-7 volte più spesso.

Come risolvere l'integrale perduto?

Vidpovіd è logicamente viplivає dal punto precedente. È necessario nominare ordine di bypass del corpo vado a ripetiamo gli integrali. Successivamente, risolvi successivamente con tre integrali singoli.

Yak bachite, l'intera cucina è sempre più nagaduє integrali sottostanti, Dal tієyu vіdminnіstyu, scho allo stesso tempo ci è stato dato un dodatkova rozmіrnіst (all'incirca apparentemente, altezza). Io, singolarmente, molti di voi hanno già intuito come stanno violando le perdite degli integrali.

Riassumiamo ciò che abbiamo perso:

culo 1

Sii gentile, riscrivi con un timbro su carta:

І dare consigli sul prossimo pasto. Chi sa Tu, quali sono le superfici per porre qi uguale? Chi zrozumіly sei informale zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, yak in superficie raztashovanі nello spazio?

Non appena shilyatsya al volgare vіdpovіdі "more nі, nizh so", quindi lezione obov'yazkovo opratsyut, altrimenti non andrai più lontano!

Soluzione: formula vicorista

Per schob z'yasuwati ordine di bypass del corpo vado a ripetiamo gli integraliè necessario (tutto è ingegnosamente semplice) capire cosa fosse. Ed è bello mettere poltrone su una rosa del genere in ricchi vipadka.

Dietro la mente, il corpo è circondato da superfici kilkom. Perché iniziare chic? Pronuncio il prossimo ordine fai da te:

Sulla pannocchia è immaginabile parallela ortogonale proiezione del corpo sul piano delle coordinate. La prima volta che ho detto, qual è il nome della proiezione, lol =)

Se il progetto deve essere realizzato su larga scala, allora in Persh superfici, yakі parallelo all'asse tsієї. Immagino che tipo di superfici tali non vendicare le lettere "ze". Il manager esaminato ne ha tre:

- Rivnyannya imposta l'area delle coordinate, come passare attraverso il tutto;
- Rivnyannya imposta l'area delle coordinate, come passare attraverso il tutto;
- uguale compito piatto dritto "piatto". parallelo all'asse.

Shvidshe per tutto, proiezione shukana є in arrivo trikutnik:

Forse, non tutti avevano una conoscenza residua di dove andare. Mostra che tutto esce dallo schermo del monitor e rimane direttamente nel tuo trasferimento ( tobto. vieni fuori, ti meravigli della terza sedia mondiale della bestia). Le distese Doslіdzhuvane del corpo si trovano nel "corridoio" triedrico senza pelle e la sua proiezione sull'area del naimovіrnіshe є tricutnik ombreggiato.

Do un rispetto speciale a ciò che abbiamo frequentato più scuse per la proiezione e l'avvertimento "neishvidshe", "nayimovirnishe" erano vipadkovy. A destra, in quanto non tutte le superfici sono state ancora analizzate, e può essere, che anche da esse “scoprano” una parte del tricutnik. Come un culo di primer chiedi sfera centrato sulla pannocchia di coordinate con raggio inferiore a uno, ad esempio una sfera – її proiezione sul piano (colonna ) Non ripeterò l'area ombreggiata "nakry" e la proiezione del corpo sarà chiamata non tricot (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Dall'altro lato del palco, è z'yasovuєmo, chim il corpo è circondato dalla bestia, più in basso dal basso e vikonuemo la distesa della poltrona. Ci rivolgiamo alla mente e ci meravigliamo della superficie, come se la superficie fosse scomparsa. Il livellamento imposta il piano delle coordinate stesso e il livellamento - cilindro parabolico, riassaporando sopra piatto e passare attraverso il tutto. In questo grado, la proiezione del corpo è diisno є trikutnik.

Prima del discorso, qui è apparso sovramundano pensa: nella nuova lampadina, non è obov'yazkovo includere anche piani, frammenti di superficie, sporgenti dall'asse delle ascisse e quindi il corpo si chiude. Significa che in questo momento particolare non saremmo stati in grado di battezzare la proiezione - il tricutnik "disegnato" solo dopo l'analisi dell'equalizzazione.

Un frammento di un cilindro parabolico è raffigurato accuratamente:

Dopo la poltrona vikonannya s bypassando il corpo nessun problema!

Sulla parte posteriore della testa è significativo l'ordine in cui viene attraversata la proiezione (con l'aiuto della mano migliore, fatevi guidare dalle poltrone a due mondi). Sei timido ASSOLUTAMENTE COSI', yak io dentro integrali inferiori! Indovinando puntatore laser quella scansione di un'area pianeggiante. Scegli il primo metodo di bypass "tradizionale":

Dali prende nelle mani dell'affascinante accendino, meravigliandosi del trivimir della poltrona e rigorosamente in discesa illuminare il paziente. Cambia per entrare nel corpo attraverso la superficie ed uscire da esso attraverso la superficie. In questo ordine, l'ordine di bypassare il corpo:

Passiamo alle integrazioni ripetute:

1) Iniziare quanto segue dall'integrale "Z". Vikoristovuemo Formula di Newton-Leibniz:

Immagina il risultato dell'integrale "igame":

Quello che è successo? In effetti, la soluzione è stata ridotta a un sub-integrale e, essa stessa, a una formula. volume della trave cilindrica! Sapere più bene:

2)

Rispetta la tecnica razionale per risolvere il 3° integrale.

Vidpovid:

Il calcolo può essere scritto e “in una riga”:


Ma in questo modo, fai attenzione: se vinci a swidkost, rischi di perdere tempo e se hai un sedere importante, ci sono più possibilità di grazia.

Nota sull'alimentazione importante:

Perché è necessario lavorare una poltrona, in modo che la testa della mente non richieda la loro vikonannia?

Puoi bere chotirma con percorsi:

1) Disegna la proiezione dello stesso corpo. L'opzione migliore è che è possibile vikonare due poltrone decenti, non lamentarsi, derubare poltrone offese. Mi raccomando avanti.

2) Disegna più corpo. Adatto, se il corpo è goffo, quell'ovvia proiezione. Quindi, ad esempio, una poltrona a triplo petto è stata bloccata sul calcio selezionato. Tuttavia, ecco il meno: secondo l'immagine 3D, non è utile determinare l'ordine di bypass della proiezione, e in questo modo sono felice solo per le persone con un buon livello di formazione.

3) Mostra più proiezione. Tezh non è male, ma su obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, regione di nizh zamezhena da raznih storіn. Sfortunatamente, la terza opzione è spesso fonte di confusione: se è troppo tardi, è troppo grande per affrontare altre difficoltà. І takі applicare mi so razglyademom.

4) Muoversi senza poltrona. È necessario che ogni persona presenti il ​​corpo del pensiero e commenti il ​​modulo/formato per iscritto. È bello scegliere i più semplici fino a chi zavdan, de vikonannya sia la poltrona è importante. Ma lo stesso, è meglio se vuoi usare piccoli abbozzati, i frammenti di una soluzione "obiettivo" possono essere rifiutati.

Vieni corpo per un aiuto indipendente:

culo 2

Per l'aiuto dell'integrale di perdita, calcola il volume del corpo, circondato da superfici

In a questo particolare tipo l'area di integrazione è data in modo più importante dalle irregolarità e il prezzo è più breve, senza irregolarità imposta il 1° ottante, inclusi i piani delle coordinate, e l'irregolarità - napіvspіr, come vendicare la pannocchia di coordinate (inversione)+ l'area stessa. Il piano “verticale” è disteso da una parabola paraboloide e sulla poltrona bazhan è necessario indurre i denti di leone. Per i quali è necessario conoscere il punto di riferimento aggiuntivo, in parole povere, la sommità della parabola. (Possiamo vedere il significato e rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Continuiamo a capire:

culo 3

Calcolare per l'aiuto della perdita integrale il volume del corpo circondato da superfici designate. Poltrona Vikonati.

Soluzione: la formula "viconati della poltrona" ci regala deak libertà, ale, meglio per tutto, trasferendo la vikonanny di una spaziosa poltrona. Tuttavia, anche la proiezione non può essere liquidata, non è la cosa più semplice da fare qui.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї tattiche precedenti superfici, come se fosse parallelo all'asse dell'applicazione. L'equalizzazione di tali superfici non deve essere vendicata cambiando chiaramente la "Z":

- Rivnyannya imposta il piano delle coordinate in modo che passi attraverso l'intero ( yak nell'appartamento è assegnato allo "stesso nome" è uguale);
- uguale compito piatto, per passare per la "stessa linea" dritto "piatto". parallelo all'asse.

Il corpo che scherza è circondato da un fondo piatto e cilindro parabolico bestia:

Mettiamo insieme una procedura per bypassare il corpo, con la quale "iksovі" e "igrokovі" si integrano, immagino, sia meglio cantare dietro le poltrone dei due mondi:

In questo modo:

1)

Quando l'integrazione dietro "iplayer" - "ix" è considerata una costante, allora la costante dovrebbe essere incolpata del segno dell'integrale.

3)

Vidpovid:

Quindi, senza dimenticare un po ', zdebіlshogo otmany il risultato di piccole (e navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym poltrone, oskolki z great ymovіrnіstyu vinikne l'illusione obbliga, A proposito di yaku ho rozpov_shche alla lezione Impacco volumetrico. Quindi, stimando il corpo del leader guardato, sono stato particolarmente fortunato che ci siano più di 4 "cubi" in quello nuovo.

Un calcio offensivo per una visione indipendente:

culo 4

Calcolare per l'aiuto della perdita integrale il volume del corpo circondato da superfici designate. Il lavoro della poltrona di questo corpo e la sua proiezione sul piano.

Zrazok progettato come compito per una lezione.

Non è raro, se il vikonnanny della sedia trivimir è più difficile:

culo 5

Per l'aiuto dell'integrale con perdita, conoscere il volume del corpo, dato dalle superfici, che lo circondano.

Soluzione: la proiezione qui è goffa, ma oltre l'ordine del bypass, devi pensare a come scegliere il 1° metodo, quindi la figura dovrà essere divisa in 2 parti, che inevitabilmente minacceranno il calcolo di sumi Due Integrali trinitari. Per qualcuno con una prospettiva più ricca, c'è un altro percorso. Può essere visto e visualizzato dalla proiezione di questo corpo sulla poltrona:

Chiederò ancora l'esattezza di tali immagini, le trascino direttamente dai miei stessi manoscritti.

Scegliamo un ordine più praticabile per aggirare la figura:

Ora a destra dietro il corpo. Dal basso è circondata da una zona pianeggiante, dalla bestia - da una zona pianeggiante, in modo da passare per tutta l'ordinata. E tutto sarebbe niente, ma il resto dell'appartamento è troppo ripido e non è così facile girare la zona. La scelta qui non è invidiabile: o il robot gioielliere è su piccola scala (perché era sottile per renderlo sottile), oppure la poltrona è alta circa 20 centimetri (questo e quelli che possono stare).

Ale e il terzo metodo tranquillamente russo per risolvere il problema è segnare =) e un appartamento di lato, un appartamento in basso e un appartamento per la bestia.

L'interintegrazione "verticale" è ovviamente così:

Calcoliamo il volume del corpo, senza dimenticare che abbiamo aggirato la proiezione in modo più piccolo e allargato:

1)

Vidpovid:

Come ricorderete, appoggiarsi nello zavdannya del corpo non è costoso per cento dollari, spesso circondato da un appartamento sottostante. Ma non è una regola, quindi devi essere pronto: puoi passare la giornata, de tilo roztashovani pid piatto. Quindi, ad esempio, se guardi l'appartamento nello zamіst selezionato, il corpo sarà rappresentato simmetricamente nello spazio inferiore e sarà circondato da un appartamento dal basso e da un appartamento alla bestia!

È facile passare per vedere lo stesso risultato:

(Ricorda che è necessario spostarsi rigorosamente in discesa!)

Inoltre, "innamorato" dell'appartamento può apparire davanti non a destra, il sedere più semplice: un sacco, nascosto più dell'appartamento - con il calcolo dell'obbligo yogico, non è necessario guardare davanti.

Possiamo vedere tutti questi punti di vista, ma per il momento il compito di una visione indipendente è simile:

culo 6

Per l'aiuto dell'integrale con perdita, per conoscere il corpo, circondato da superfici

In breve, la soluzione è illustrare la lezione.

Passiamo a un altro paragrafo con materiali non meno popolari:

Integrale di prova in coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche - ce, infatti, coordinate polari nello spazio.
In un sistema di coordinate cilindriche, la posizione di un punto nello spazio è determinata dalle coordinate polari del punto: la proiezione del punto sul piano e l'applicazione del punto stesso.

Il passaggio dal sistema cartesiano trivimer al sistema di coordinate cilindrico avviene con le seguenti formule:

Centocinquanta delle nostre trasformazioni si presentano così:

Io, a quanto pare, in un modo semplice, che si vede facilmente in questo articolo:

Golovne, non dimenticare il moltiplicatore aggiuntivo "er" e sistemalo correttamente polarità tra integrazione quando si bypassa la proiezione:

culo 7

Soluzione: dotrimuєmosya dello stesso ordine fai da te: guardiamo avanti all'uguale, in alcuni giorni la "Z" è cambiata Ce n'è solo una qui. proiezione superficie cilindrica nell'area є "con lo stesso nome" colo .

Piazze circondano il corpo shukane dal basso e la bestia (yoga "appendere" dal cilindro) e sono disegnati nel colo:

Su una poltrona nera in trivimir. La difficoltà principale risiede nella superficie, come se il cilindro fosse attorcigliato sotto il cofano "obliquo", dopodiché andare elips. Chiariamo analiticamente questa riscrittura: per la quale riscriviamo il piano della vista funzionale e calcoliamo il valore della funzione (“altezza”) nei punti che chiediamo, come per giacere sull'interproiezione:

Sembra che tu conosca i punti sulla poltrona e con attenzione (e non così, come me =)) zadnuєmo їх linea:

La proiezione del corpo sul piano è la lunghezza e la lunghezza dell'argomento per la velocità di transizione verso un sistema di coordinate cilindrico:

Conosciamo l'allineamento della superficie alle coordinate cilindriche:

Ora segui la procedura per bypassare il corpo.

Diamo un'occhiata alla parte posteriore della testa dalla proiezione. Come determinare l'ordine di bypass? Esattamente come quello calcolo dei subintegrali in coordinate polari. Qui il vino è elementare:

Anche l'interintegrazione "verticale" è ovvia: entra nel corpo attraverso l'aereo ed esce da esso attraverso l'aereo:

Passiamo alle integrazioni ripetute:

Per cui il moltiplicatore "er" è immediatamente inserito nell'integrale "proprio".

Vinik yak zavzhd è più facile sfondare i ramoscelli:

1)

Prendiamo il risultato dell'integrale offensivo:

E qui non si dimentica che fi è importante come costante. Ale tse fino all'ora del canto:

Vidpovid:

Compito simile per una visione indipendente:

culo 8

Calcolare per l'aiuto dell'integrale di perdita il volume del corpo circondato da superfici. Poltrona Vikonati di questo corpo e la sua proiezione sulla piazza.

Zrazok design raffinato come una lezione.

A dire il vero, che nella mente dei problemi della stessa parola non si parla del passaggio a un sistema di coordinate cilindrico e non si conoscerà la persona per lottare con integrali importanti in coordinate cartesiane. ... O forse non lo sarà, anche se è il terzo modo tranquillamente russo di risolvere i problemi.

Tutto inizia! …in senso buono: =)

culo 9

Per l'aiuto dell'integrale con perdita, per conoscere il corpo, circondato da superfici

Con modestia e con gusto.

Soluzione: totale superficie finitaі paraboloide ellittico. Lettori, che hanno rispettosamente familiarità con i materiali dell'articolo Principali superfici dello spazio, già presentato, come se guardasse il corpo, ma in pratica i vipad piegati spesso intrappolano, quindi condurrò un rapporto sul mondo analitico.

Conosciamo le linee sul retro, con le quali le superfici sono colorate. Costruiamo e realizziamo il seguente sistema:

Dal 1° uguale, possiamo vederci in termini di:

Di conseguenza, vengono tolte due radici:

Immagina di conoscere il significato di se il sistema è uguale:
le stelle stanno urlando
Otzhe, radice vіdpovіdaє punto singolo: la pannocchia di coordinate. Naturalmente - anche le cime delle cime delle cime salgono.

Ora immaginiamo un'altra radice, la stessa per se il sistema è uguale:

Qual è la sostituzione geometrica del risultato? "Sulle alture" (vicino all'aereo) il paraboloide e il cono sono colorati insieme Coca Cola- raggio singolo centrato nel punto.

Quando la "coppa" del paraboloide contiene l'"imbuto" del cono, placare la superficie finale va attraversata con una linea tratteggiata (dietro la vite c'è una vista distante di noi, vista da questa angolazione):

La proiezione del corpo sul piano colo con il centro sulla pannocchia di coordinate di raggio 1, che non ho osato rappresentare attraverso l'evidenza di questo fatto (commento della lettera prote robimo!). Prima del discorso, alle due sedie in prima fila sulla sedia, le proiezioni potevano essere battute, yakby non importa.

Quando si passa a coordinate cilindriche, le formule standard possono essere utilizzate per annotare le irregolarità nel modo più semplice e per aggirare la proiezione di problemi quotidiani:

Conosciamo l'allineamento della superficie del sistema di coordinate cilindrico:

Poiché il problema riguarda la parte superiore del cono, si può vedere:

"Scanuemo body" dal basso in salita. Cambia la luce per entrare prima del nuovo passaggio paraboloide ellittico ed uscire dalla superficie terminale. In questo ordine, l'ordine "verticale" di bypassare il corpo:

Seconda tecnica a destra:

Vidpovid:

Non è raro, se si chiede al corpo di non circondarlo di superfici, ma senza irregolarità:

culo 10

Zmist geometrica distesa di irregolarità, secondo quanto riferito ho spiegato dallo stesso articolo di prova. Le principali superfici dello spazio.

Tse zavdannya vuole e nasconde il parametro, ma tiene conto della poltrona esatta, che ispira un aspetto importante del corpo. Pensa come un vikonati pobudova. In breve, la soluzione è dimostrarlo, come una lezione.

... beh, cosa, è uno spratto? Sto pensando di finire la lezione, ma poi immagino cosa vuoi di più =)

culo 11

Per l'aiuto dell'integrale con perdita, calcola il volume del corpo dato:
, De - Numero più positivo.

Soluzione: irregolarità imposta la colonna con il centro sulla pannocchia di coordinate sul raggio e l'irregolarità - "Interiorità" di un cilindro circolare con tutta la simmetria del raggio. In questo ordine, il corpo, come sussurrando, è circondato da un cilindro circolare sul lato e segmenti sferici simmetrici alla superficie in alto e in basso.

Prendendo per l'unità base del mondo, prendiamo la poltrona:

Più precisamente, lo yoga dovrebbe essere chiamato piccolo, ma le proporzioni lungo l'asse non le ho viste meglio. Prote, per motivi di giustizia, per la mente, non era necessario sollevare nulla, e tale illustrazione sembrava abbastanza sufficiente.

Per mostrare rispetto, che qui non è obov'yazkovo z'yasovuvati altezza, su un tale cilindro appeso alla parte posteriore del "cappello" - basta prendere una bussola e segnare una colonna con il centro sulla pannocchia di coordinate con un raggio di 2 cm, poi appariranno da soli i punti della traversa con il cilindro.

1. Le coordinate cilindriche sono un insieme di coordinate polari sul piano xy e dal significativo applicatore cartesiano z (Fig. 3).

Sia M(x, y, z) un punto sufficiente nello spazio xyz, P è la proiezione del punto M sul piano xy. Il punto M è assegnato in modo univoco da una trinità di numeri - le coordinate polari del punto P, z - l'applicata del punto M. Le formule che li chiamano cartesiane possono sembrare

Fermentazione giacobina (8)

culo 2.

Calcola l'integrale

de T - area circondata da superfici

Soluzione. Passiamo dall'integrale alle coordinate sferiche usando le formule (9). Stessa area di integrazione può essere impostata con irregolarità

E questo significa

culo 3 Conosci il volume del corpo, sfrangiato:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - una sfera con raggio R \u003d v8 con un centro nel punto O (000),

La parte superiore del cono z2 = x2 + y2 con tutta la simmetria di Oz e l'apice nel punto O (Fig. 2.20).

Conosciamo la linea della traversa della sfera del cono:

І frammenti per la mente z? 0, allora

Cerchio R=2, che giace vicino al piano z=2.

Esatto (2.28)

de area u delimitata dalla bestia

(parte di una sfera),

(Parte di un cono);

l'area U è proiettata sull'area di Ohu area D - raggio 2.

Inoltre, per passare incrementalmente nell'integrale alle coordinate cilindriche, formule vittoriose (2.36):

Tra i cambi, r è significativo in base alla distanza D v fuori dalla colonna R=2 con il centro nel punto O, allo stesso modo: 0?c?2p, 0?r?2. In questo modo, la regione U in coordinate cilindriche è contrassegnata da irregolarità in avanzamento:

Lo rispettiamo

Zavantage da Depositfiles

Integrale potenziale.

Controlla il cibo.

Integrale coerente, yoga del potere.

Sostituzione di modifiche nell'integrale terzo. Calcolo dell'integrale con perdita in coordinate cilindriche.

Calcolo dell'integrale con perdita in coordinate sferiche.

Forza funzione tu= f(x,y,z) assegnato all'area chiusa V spazio R 3. regione di Rozib'ёmo V grado decente su n aree chiuse elementari V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n ovviamente. In modo significativo d- il più grande dei diametri delle regioni V 1 , … ,V n. Nella zona della pelle V K scegli un buon punto P K (X K ,y K ,z K) e deposito somma integrale funzioni f(X, y,z)

S =

Appuntamento.Integrale di prova tipo di funzione f(X, y,z) per regione V chiamata somma interintegrale
yakscho vin isnuє.

In modo tale,

(1)

Rispetto. Somma integrale S deposito in modo da disgregare la regione V ta selezionare il punto P K (K=1, …, n). Tuttavia, se c'è un confine, allora non ostacolerà la rottura della regione V ta selezionare il punto P K. Se si confrontano la designazione della sottovariante e degli integrali incrementali, è facile utilizzare la stessa analogia in essi.

Ragionamento sufficiente per l'integrale con perdita. L'integrale di prova (13) viene utilizzato come funzione f(X, y,z) è bordato V sono ininterrotto V, dietro la corona del numero finale di superfici lisce e grumose, in decomposizione V.

Atti di potenza dell'integrale potry.

1) Yakscho w- Costante numerica, quindi

3) Additività per regione. regione di Yakscho V diviso in regioni V 1 і V 2, quindi

4) Montare il corpo V dorivnyuє

(2 )

Calcolo dell'integrale con perdita in coordinate cartesiane.

Avanti D proiezione del corpo V sull'appartamento xOy, superficie z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) circondano il corpo V sotto quella bestia è chiaro. Tse significa cosa

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Un tale corpo è chiamato z- Cilindrico. Integrale di prova (1) z-corpo cilindrico V calcolato dalla transizione all'integrale ripetuto, che viene sommato dal tipo a cerniera dell'integrale:

(3 )

In questo integrale ripetuto della spina dorsale, viene calcolato l'integrale di canto interno della modifica z, al quale X, y vvazhayutsya imminente. Contiamo integrale inferiore visualizzazione della funzione selezionata per regione D.

Yakscho V X- cilindrico o si- corpo cilindrico, quindi correggere la formula

Per la prima formula D  proiezione del corpo V al piano delle coordinate yOz, e nell'altro - sull'aereo xOz

applicare. 1) Calcola il totale del corpo V, circondato da superfici z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Soluzione. Contiamo per l'aiuto dell'integrale di perdita dietro la formula (2)

Passiamo all'integrale ripetuto dopo la formula (3).

Avanti D- colo X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 +y 2. Si prende Todi seguendo la formula (3).

Per calcolare questo integrale si passa alle coordinate polari. Quando tsimu kolo D trasformarsi in senza volto

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tillo V circondato da superfici z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Calcola

Piazze z=y , z=-y per circondare il corpo dal basso e alla bestia, piatto x= 0 , x= 2 circondano il corpo nella parte posteriore e anteriore e l'appartamento y= 1 mano destra V-z- corpo cilindrico, proiezione yoga D sull'appartamento hoyє rettangolo OABC. Mettiamolo giù φ 1 (X , y ) = -y

Rielaborazione dell'integrale verticale sotto forma di coordinate rettangolari alle coordinate polari
, connesso con coordinate ad angolo retto
,
, segui la formula

Qual è l'area di integrazione
circondato da due scambi
,
(
), che escono dai poli, quei due sono storti
і
, quindi l'integrale sottostante viene calcolato utilizzando la formula

.

culo 1.3. Calcola l'area della figura, circondata da queste linee:
,
,
,
.

Soluzione. Per calcolare l'area della regione
accelerato dalla formula:
.

Zona immaginabile (Fig. 1.5). Per chi convertiamo le curve: , , , . Passiamo alle coordinate polari: , . . Nel sistema di coordinate polari, l'area essere descritto da uguale:

.

1.2. Integrali potenziali

Le potenze principali degli integrali terzi sono analoghe alle potenze degli integrali inferiori.

In coordinate cartesiane, il terzo integrale dovrebbe essere scritto come segue:

.

Yakscho
, quindi il terzo integrale sulla regione volume del corpo numericamente maggiore :

.

Calcolo dell'integrale con perdita

Lascia che l'area di integrazione è circondato dal basso e verso la bestia da superfici ininterrotte chiaramente inequivocabili
,
, inoltre, la proiezione dell'area al piano delle coordinate
є zona pianeggiante
(Figura 1.6).

Lo stesso con valori fissi applicazioni valide punto dell'area cambiamento ai confini. Todi otrimuemo: . Che, del resto, una proiezione significano irregolarità , , de - inequivocabile funzioni ininterrotte sul , poi

.

culo 1.4. Calcolare
, de - solido, circondato da appartamenti:

	, , , ( , , ). Soluzione. L'area di integrazione è la piramide (Fig. 1.7). Proiezione dell'area є trikutnik , per linee rette , , (Fig. 1.8). In Punto applicativo soddisfare il nervosismo a tale .
	Organizzazione dell'interintegrazione per tricoutnik , prese

Integrale di prova in coordinate cilindriche

Quando si passa alle coordinate cartesiane
a coordinate cilindriche
(Fig. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, inoltre

	, ,, il terzo integrale è convertito in: culo 1.5. Calcola il volume del corpo, circondato da superfici: , , . Soluzione. Volume del corpo, su cosa scherzare dorivnyuє .
	Le zone di integrazione fanno parte di un cilindro, circondato da un fondo piatto. , ma la bestia è piatta (Figura 1.10). Proiezione dell'area є kolo centrato sulla pannocchia di coordinate e con un raggio unico. Passiamo alle coordinate cilindriche. , , . In Punto applicativo , soddisfa il nervosismo o in coordinate cilindriche:

Regione
, circondato da una curva
, non vedo l'ora di vedere, altrimenti
a tsimu polar kut
. Possano i risultati

.

2. Elementi di teoria dei campi

Proviamo a indovinare in anticipo come calcolare gli integrali curvilinei e di superficie.

Calcolo dell'integrale curvilineo sulle coordinate delle funzioni assegnate alle curve , essere ridotto al calcolo dell'integrale primo nella forma

quanto storto dato parametricamente
mostrando la pannocchia della curva , un
- Її punti finali.

Calcolo dell'integrale di superficie in funzione
, segnato sulla superficie bifacciale , sommare al calcolo dell'integrale sottovalutato, ad esempio mente

,

come la superficie , assegnato a pari
, proiettato in modo univoco sull'aereo
alla regione
. Qui - taglio tra un singolo vettore normale alla superficie e tutto
:

.

Consumato dalle menti del lato testa della superficie è determinato dalla scelta del segno della formula (2.3).

Appuntamento 2.1. campo vettoriale
è chiamata funzione vettoriale del punto
subito dall'area її assegnata:

campo vettoriale
caratterizzato da un valore scalare - divergenza:

Appuntamento 2.2. fluire campo vettoriale
attraverso la superficie è chiamato integrale di superficie:

,

de - un singolo vettore normale al lato selezionato della superficie , un
- doboot scalare vector_v і .

Appuntamento 2.3. circolazione campo vettoriale

Su curva chiusa detto integrale curvilineo

,

de
.

Formula di Ostrogradskij-Gauss impostare un collegamento tra il flusso del campo vettoriale attraverso una superficie chiusa e la divergenza del campo:

de - Sopra, circondato da un anello chiuso , un - Singolo vettore normale alla superficie. Direttamente normale, potrebbero esserci vantaggi da un bypass diretto del contorno .

culo 2.1. Calcola l'integrale di superficie

,

de - Zovnishnya parte del cono
(
), che è visto dall'aereo
(Figura 2.1).

Soluzione. in cima progettato in modo unico nella zona
appartamenti
, e l'integrale viene calcolato secondo la formula (2.2).

Singolo vettore normale alla superficie sappiamo dalla formula (2.3): . Qui, per il normale, viene selezionato il segno più, i frammenti vengono tagliati mezz'aria che normale - stupido io, otzhe, può essere negativo. Vrakhovuyuchi sho , sulla superficie accettabile

Regione
є kolo
. Pertanto, nell'integrale rimanente si passa alle coordinate polari, per cui
,
:

culo 2.2. Trova la divergenza e l'arricciatura di un campo vettoriale
.

Soluzione. Per la formula (2.4) prendiamo

Il rotore del campo vettoriale è noto dalla formula (2.5)

culo 2.3. Conoscere il valore del campo vettoriale
attraverso una parte del territorio :
, roztashovanu al primo oktantі
).

	Soluzione. La forza della formula (2.6) . Rappresentiamo una parte del territorio : , raztashovanu al primo ottante. L'allineamento dell'area data ai frangivento potrebbe apparire (Figura 2.3). Il vettore normale al piano può coordinare: , singolo vettore normale
	. . , , stelle , otzhe,

de
- proiezione dell'area sul
(Figura 2.4).

Esempio 2.4. Calcola il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa , sistemato da un appartamento
quella parte del cono
(
) (Fig. 2.2).

Soluzione. Accelerato dalla formula di Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Conosciamo la divergenza del campo vettoriale formula (2.4):

de
- cono obsyag, yakim condotto іtegruvannya. Accelera con la formula di casa per calcolare il volume del cono
(- raggio della base del cono, - Altezza Yogo). Per la nostra mente, possiamo prendere
. Residuo

.

culo 2.5. Calcola la circolazione del campo vettoriale
lungo il contorno , ricoperto di peratin in cima
і
(
). Verifica il risultato usando la formula Stokes.

Soluzione. Peretina zaznachenih superficie є colo
,
(Figura 2.1). Bypassando direttamente la vibrazione, suono quelli schob circondati da esso, l'area è stata lasciata con il male. Annotiamo l'allineamento parametrico del contorno :

stelle

inoltre il parametro cambiare in prima
. Dietro la formula (2.7) dalle equazioni (2.1) e (2.10) prendiamo

.

Enunciamo ora la formula di Stokes (2.9). Yak superficie , allungato sul contorno , puoi prendere una parte dell'area
. Direttamente normale
a tsієї surfy zgodzhuєtsya z bypass del circuito diretto . Il rotore del esimo campo vettoriale dei calcoli nell'applicazione 2.2:
. Quindi circolazione shukana

de
- area della regione
.
- vicino al raggio
, stelle